Đề thi thử vào Lớp 10 THPT môn Toán lần 3 - Năm học 2019-2020 - Nguyễn Thu Hà (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử vào Lớp 10 THPT môn Toán lần 3 - Năm học 2019-2020 - Nguyễn Thu Hà (Có đáp án)

1. 1/8 Với cô Hà, Toán học là đam mê! I love Mathematics! Đề thi thử Lương Thế Vinh lần 3 Năm học 2019 - 2020 Bài 1 (2 điểm) 2 x 1 1) Cho biểu thức A x 0 . Tính giá trị của A tại x = 9. x2 x 14 x 5 x x 2 2) Cho biểu thức B: với x ≥ 0, và x ≠ 25 x 25 x 5 x 5 a) Rút gọn B b) Tìm x để B2 < B Bài 2. (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 54 km, cùng lúc đó một khúc gỗ cũng trôi tự do theo dòng nước từ A. Khi ca nô đến B, nó ở lại đó 2 giờ rồi ngược dòng trở lại A. Trên đường về, ca nô gặp khúc gỗ tại vị trí cách A 19 km. Tính vận tốc thực của ca nô biết vận tốc dòng nước là 4 km/h. Bài 3. (2điểm) 1 10 3 x 2 xy 1) Giải phương trình 3 6 3 48x xy 4 2) Cho parabol ()P : yx 2 và đường thẳng ()d : y 2 mx 2 m 3 a. Tìm m để ()d cắt ()P tại 2 điểm phân biệt AB; nằm khác phía của Oy b. Với các giá trị của m ở câu a, kẻ AH  Ox tại H , BK  Ox tại K và gọi P là giao điểm của ()d với Oy .Tìm m để PHK vuông tại P . Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn OR; đường kính AB . Dây CD vuông góc với AB tại điểm I cố định nằm giữa A và O . Lấy M bất kì trên cung nhỏ BC ( M không trùng với B,C ) AM cắt CI tại điểm K . a. Chứng minh tứ giác BMKI nội tiếp. b. Chứng minh AK AM AI AB AC 2 . c. Nếu quay tam giác BIC quanh cạnh BI một vòng ta sẽ được một hình nón đỉnh B . Hãy tính thể tích hình nón này khi ABC 30 . d. Tìm vị trí của điểm trên cung nhỏ để chu vi tứ giác ABMC lớn nhất. Bài 5. (0,5 điểm) Cho xy, là các số thực thỏa mãn: x22 2 y 2 xy 24 5 x 5 y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x22 y x y 22 xy Giáo viên: Nguyễn Thu Hà – 08.1386.1995 – Trường THCS An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội
2. 2/8 Với cô Hà, Toán học là đam mê! I love Mathematics! Hướng dẫn giải: Bài 1 (2 điểm) 2 x 1 1) Cho biểu thức A x 0 . Tính giá trị của A tại x = 9. x2 x 14 x 5 x x 2 2) Cho biểu thức B: với x ≥ 0, và x ≠ 25 x 25 x 5 x 5 b) Rút gọn B b) Tìm x để B2 < B Lời giải: 1) Thay x = 9 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức ta có: 2.3 1 7 A . 3 2 5 7 Vậy A khi x = 9 5 2) a) Rút gọn B x 14 x 5 x x 2 x 14 x 5 x 5 x x 5 B:  x 25 x 5 x 5 x 5 x 5 x 2 2x+9 x 5 2 x 1 x 5 2 x 1 B x 5 x 2 x 5 x 2 x2 b) Tìm x để BB2 Xét hiệu: B2 B B B 1 2 x 1 2 x 1 x 2 x 3 Có: B 1 1 x 2 x 2 x 2 2 x 1 x 3 2 B B B B 1 2 0 x2 2 2 x 1 x 3 0 vi x 2 0khi x 0 1 x9 4 Bài 2. (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 54 km, cùng lúc đó một khúc gỗ cũng trôi tự do theo dòng nước từ A. Khi ca nô đến B, nó ở lại đó 2 giờ rồi ngược dòng trở lại A. Trên đường về, ca nô gặp khúc gỗ tại vị trí cách A 19 km. Tính vận tốc thực của ca nô biết vận tốc dòng nước là 4 km/h. Giáo viên: Nguyễn Thu Hà – 08.1386.1995 – Trường THCS An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội
3. 3/8 Với cô Hà, Toán học là đam mê! I love Mathematics! Lời giải Gọi vận tốc thực của ca nô là x x 4; km / h Vận tốc khi ca nô đi xuôi dòng là: + 4 (km/h) 54 => Thời gian ca nô đi xuôi dòng là: (giờ) x 4 Vận tốc khi ca nô đi ngược dòng là: - 4 (km/h) Quãng đường ngược dòng khi ca nô gặp khúc gỗ là: 54 – 19 = 35 (km) 35 => Thời gian ca nô đi ngược dòng tới khi gặp khúc gỗ là: (giờ) x 4 54 35 Vì đến B, ca nô ở lại đó 2 giờ nên tổng thời gian ca nô đi tới khi gặp khúc gỗ là: 2 (giờ) xx 44 19 Thời gian khúc gỗ trôi tới khi gặp ca nô là: (giờ) 4 Vì ca nô và khúc gỗ cùng xuất phát nên tới khi gặp nhau thời gian ca nô đi và thời gian khúc gỗ trôi là bằng nhau. Ta có phương trình: = 54.4 x 4 2.4 x22 16 35.4. x 4 19 x 16 216x 864 8 x22 128 140 x 560 19 x 304 11xx2 356 128 0 2 356 ' 11 . 128 30276 ' 174 2 178 174 4 x (loai) 1 11 11 178 174 x 32( tm ) 2 11 Vậy vận tốc thực của ca nô là 32 km/h. Bài 3. (2điểm) 1 10 3 x 2 xy 1) Giải phương trình 3 6 3 48x xy 4 2) Cho parabol ()P : yx 2 và đường thẳng ()d : y 2 mx 2 m 3 a. Tìm m để ()d cắt ()P tại 2 điểm phân biệt AB; nằm khác phía của Oy Giáo viên: Nguyễn Thu Hà – 08.1386.1995 – Trường THCS An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội
4. 4/8 Với cô Hà, Toán học là đam mê! I love Mathematics! b. Với các giá trị của m ở câu a, kẻ AH  Ox tại H , BK  Ox tại K và gọi P là giao điểm của ()d với Oy .Tìm m để PHK vuông tại P . Lời giải 1 10 1 10 33 xx 22x y x y 1) Giải phương trình ĐKXĐ: x 2; x y 3 6 3 3 6 3 4xx 8x y44 2 2 x y 11 Đặt ab ; Ta có hệ phương trình: x 2 xy 1 ab 10 3 b a 10 b 3 2 a 20 b 6 28 b 7 4 33 ab 6 2a 8 b 1 2 a 8 b 1 a 10 b 3 1 24 a 2 11 x 2 2 x 22 xx 2 4 2 Thay O ()TMDK 11 x y 46 y xy 4 xy 4 x 2 Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm là y 6 2) a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của ()d và ()P ta có: x22 2 mx 2 m 3 x 2 mx 2 m 3 0 1 Để ()d cắt ()P tại 2 điểm phân biệt AB; nằm khác phía của Oy phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu. Giáo viên: Nguyễn Thu Hà – 08.1386.1995 – Trường THCS An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội
5. 5/8 Với cô Hà, Toán học là đam mê! I love Mathematics! 3 Khi đó ac.0 tức là 1( 2mm 3) 0 2 3 Vậy khi m thì ()d cắt ()P tại 2 điểm phân biệt AB; nằm khác phía của Oy . 2 b) Theo giả thiết: ()d cắt Oy tại P P(0;2 m 3) Giả sử cắt tại 2 điểm phân biệt nằm khác phía của nên A x1;;; y 1 B x 2 y 2 với xx12 0 ; 0 Ta có AH  Ox tại H Hx 1;0 , BK  Ox tại K Kx 2;0 2 2 2 2 2 Áp dụng định lý pytago vào POH vuông tại O ta có: HP OH OP x1 23 m 2 2 2 2 2 Áp dụng định lý pytago vào POK vuông tại O ta có: KP OK OP x2 23 m Mà HKOHOK x1 x 2 xx 1 2( Dox 1 0; x 2 0) 222 2 2 HK xx2 1 xx 1 2 24 xx 1 2 xx 1 2 xx 1 2 Để HPK vuông tại P HK2 HP 2 PK 2 22 2 2 2 2 2 2 xx1 2 4 xxxm 1 2 1 2 3 xm 2 2 3 xx 1 2 2 2 m 3 22 x1 x 2 2 x 1 x 2 2 2 m 3 (2) Theo câu (a) khi thì phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x12 x2 m Theo hệ thức vi-et ta có x12 x 23 m 2 2 2 Từ (2) x1 x 2 4 x 1 x 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 2 m 3 2 2 2 Nên: 2m 4232 m m 223223 m m 4m2 8 m 124 m 2 4 m 68 m 2 24 m 18 8m22 20 m 12 0 2 m 5 m 3 0 Ta có : 5 1 3 25 24 1 m ( KTM ) 1 42 51 m 1( TM ) 2 4 Vậy khi m 1 thì thỏa mãn điều kiện bài toán Giáo viên: Nguyễn Thu Hà – 08.1386.1995 – Trường THCS An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội
6. 6/8 Với cô Hà, Toán học là đam mê! I love Mathematics! Bài 4 (3,5 điểm). Cho đường tròn OR; đường kính AB . Dây CD vuông góc với AB tại điểm I cố định nằm giữa A và O . Lấy M bất kì trên cung nhỏ BC ( M không trùng với B,C ) AM cắt CI tại điểm K . a. Chứng minh tứ giác BMKI nội tiếp. b. Chứng minh AK AM AI AB AC 2 . c. Nếu quay tam giác BIC quanh cạnh BI một vòng ta sẽ được một hình nón đỉnh B . Hãy tính thể tích hình nón này khi ABC 30 . d. Tìm vị trí của điểm trên cung nhỏ để chu vi tứ giác ABMC lớn nhất. Lời giải M N C K A B I O D a. Chứng minh tứ giác nội tiếp. Ta có CIB 90 ( AB CD tại I ) Và AMB 90 ( góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) CKB AMB 180  Suy ra tứ giác nội tiếp O (đpcm). b. Chứng minh . Xét AIK và AMB , có: MAB chung. AIK AMB 90  Giáo viên: Nguyễn Thu Hà – 08.1386.1995 – Trường THCS An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội
7. 7/8 Với cô Hà, Toán học là đam mê! I love Mathematics! AK AB AK. AM AI . AB 1 AI AM Lại có ABC vuông tại C ( ACB 90 góc nội tiếp chắn nữa đường tròn), và CI là đường cao AC2 AI.2 AB Từ 1 và 2 suy ra AK AM AI AB AC 2 (đpcm). c. Nếu quay tam giác BIC quanh cạnh BI một vòng ta sẽ được một hình nón đỉnh B . Hãy tính thể tích hình nón này khi ABC 30 . Ta có A là điểm chính giữa cung CD OA CD Suy ra CBA ABD BA là phân giác CAD Mặt khác AB CD BCD là tam giác cân, và có góc CBD 60 nên BCD là tam giác đều. Ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD O là trọng tâm 23R OB IB IB 32 3RR 3 3 IC ID IB tan 30  . . 2 3 2 33R BC 2 IC 2. R 3 . 6 2 1 1 RRR 3 3 3 3 V IC2 IB nonBCD 3 3 2 2 8 d. Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để chu vi tứ giác ABMC lớn nhất. Vì AB, AC không đổi nên chu vi BMC lớn nhất khi MB MC lớn nhất. Trên tia đối của tia MC , chọn MN sao cho MN MB Suy ra MB MC MN MC CN và MNB cân tại M 1 CNB CMB (tính chất góc ngoài) (Không đổi do BC, cô định) 2 1 Suy ra N thuộc cung chứa góc CMB dựng trên đoạn BC 2 Suy ra CN lớn nhất khi là đường kính của vòng tròn ngoài tiếp CNB CBN 90  (do là đường kính) Giáo viên: Nguyễn Thu Hà – 08.1386.1995 – Trường THCS An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội
8. 8/8 Với cô Hà, Toán học là đam mê! I love Mathematics! NCB MBC (cùng phụ với 2 góc bằng nhau là MNB MBN ) MCB cân tại M MC MB . Mà MB MN Nên MC MB MN M điểm chính giữa cung BC nhỏ ( MC MB do MC MB ) Vậy chu vi BMC lớn nhất khi M nằm chính giữa cung nhỏ. Bài 5. (0,5 điểm) Cho xy, là các số thực thỏa mãn: x22 2 y 2 xy 24 5 x 5 y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x22 y x y 22 xy Lời giải Có 2 52 121 x y y 24 2 5 121 2 xy (vì y 0) 24 5 11 xy 22 83 xy 17 1 5 xy 2 2 2 2 1 289 xy 24 Xét P x y 2 x y 2 2 1 9 289 9 P x y 70 2 4 4 4 y 0 1 17 x 8 Dấu “=” xảy ra xy 22 y 0 22 x 2 y 2 xy 24 5 x 5 y x 8 Vậy giá trị lớn nhất của P là 70 khi y 0 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà – 08.1386.1995 – Trường THCS An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội