Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2019-2020 - Tỉnh Đồng Nai

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2019-2020 - Tỉnh Đồng Nai

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC : 2019 – 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. (1,75 điểm) 2 1) Giải phương trình 2x -7x + 6 = 0. ì2x 3y 5 2) Giải phương trình ï - = - í3x 4y 18 îï + = 4 2 3) Giải phương trình x + 7x -18 = 0. Câu 2. (2,25 điểm) -1 2 1) Vẽ đồ thị của hai hàm số y = x , y = 2x -1 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. 2 2 2) Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng y = (m + 1)x + m và y = 2x -1 song song với nhau. 1 3) Tìm các số thực x để biểu thức M 3x 5 xác định. = - - 3 2 x - 4 Câu 3. ( 2 điểm) 1) Cho tam giác MNP vuông tại N có MN = 4a, NP = 3a với 0 < a Î . Tính theo a diện tích xung quanh của hình nón tạo bởi tam giác MNP quay quanh đường thẳng MN . 2 2) Cho x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trìnhx - 3x + 1 = 0 . Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là 2 và 2 2x1 -(x2 ) 2x2 -(x1 ) . 3) Bác B vay ở một ngân hàng 100 triệu đồng để sản xuất trong thời hạn 1 năm. Lẽ ra đúng 1 năm sau bác phải trả cả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết 2 năm bác B phải trả tất cả 121 triệu đồng. Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm trong 1 năm? Câu 4. ( 1 điểm) æ a + aöæa - 3 a + 2ö 1) Rút gọn biểu thức P ç ÷ç ÷ ( với a 0 và a 4 ). = ç ÷ç ÷ ³ ¹ èç1 + a ø÷èç a - 2 ø÷ 2 ïì4x - xy = 2 2) Tìm các số thực x và y thỏa mãn ï . í 2 ïy 3xy 2 îï - = - Câu 5. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H .
2. Biết ba góc C AB, A BC,B CA đều là góc nhọn. 1) Chứng minh bốn điểm B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh DE vuông góc với OA. . 3) Cho M,N lần lượt là trung điểm của hai đoạn BC, AH . Cho K,L lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng OM và CE , MN và BD . Chứng minh KL song song với AC . Câu 6. (0,5 điểm) Cho ba số thực a,b,c . Chứng minh rằng: 2 3 2 3 2 3 2 2 2 (a -bc) +(b -ca) +(c - ab) ³ 3(a -bc)(b -ca)(c - ab). HẾT
3. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI VÀO 10 MÔN TOÁN – TỈNH ĐỒNG NAI Câu 1. (1,75 điểm) 2 1) Giải phương trình 2x -7x + 6 = 0. ì2x 3y 5 2) Giải phương trình ï - = - í3x 4y 18 îï + = 4 2 3) Giải phương trình x + 7x -18 = 0. Lời giải 2 1) Giải phương trình: 2x -7x + 6 = 0. 2 2 Ta có: D = b - 4ac = (-7) - 4.2.6 = 1 > 0 é 7 + 1 êx1 = = 2 ê 2.2 Þ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ê . ê 7 - 1 3 êx2 = = ëê 2.2 2 ïì3 ïü Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = íï ;2ýï. îï2 þï ì2x 3y 5 2) Giải hệ phương trình : ï - = - í3x 4y 18 îï + = ïì17y = 51 ïìy = 3 ïì2x - 3y = -5 ïì6x -9y = -15 ï ï ïìx = 2 ï Û ï Û ï 3y 5 Û ï 3.3 5 Ûï . í3x 4y 18 í6x 8y 36 í - íx - íy 3 îï + = îï + = ïx = ï = îï = îï 2 îï 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x; y) = (2;3). 4 2 3) Giải hệ phương trình: x + 7x -18 = 0. 2 2 Đặt x = t(t ³ 0) . Khi đó ta có phương trình Û t + 7t -18 = 0 (1) 2 Ta có: D = 7 + 4.18 = 121 > 0 é -7 + 121 -7 + 11 êt1 = = = 2 tm ê 2 2 ( ) Þ (1) có hai nghiệm phân biệt: ê ê -7 - 121 -7 -11 êt2 = = = -9(ktm) ëê 2 2 2 Với t = 2 Þ x = 2 Û x = ± 2.
4. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: S = {- 2 ; 2}. Câu 2 ( 2,25 điểm): -1 2 1) Vẽ đồ thị của hai hàm số y = x , y = 2x -1 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. 2 2 2) Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng y = (m + 1)x + m và y = 2x -1 song song với nhau. 1 3) Tìm các số thực x để biểu thức M 3x 5 xác định. = - - 3 2 x - 4 Lời giải -1 2 1) Vẽ đồ thị hai hàm số y = x , y = 2x -1 trên cùng một mặt phẳng tọa độ 2 1 2 +) Vẽ đồ thị hàm số y = - x 2 Ta có bảng giá trị: x -4 -2 0 2 4 1 2 y = - x 2 -8 -2 0 -2 -8 1 2 Vậy đồ thị hàm số y = - x là đường cong đi qua các điểm -4;-8 , -2;2 , 0;0 , 2;-2 , 2 ( ) ( ) ( ) ( ) (4;-8) và nhận trục Oy làm trục đối xứng. +) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x -1 Ta có bảng giá trị: x 0 -2 y = 2x -1 -1 -5 Vậy đường thẳng y = 2x -1 là đường thẳng đi qua hai điểm: (0;-1), (-2;-5).
5. 2 2) Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng y = (m + 1)x + m và y = 2x -1 song song với nhau. 2 Hai đường thẳng y = (m + 1)x + m và y = 2x -1 song song với nhau. 2 2 ïìém = 1 ïìm + 1 = 2 ïìm = 1 ïê Û íï Û íï Û íïêm = -1Û m = 1. ïm ¹ -1 ïm ¹ -1 ïë îï îï ïm 1 îï ¹ - Vậy m = 1 thỏa mãn bài toán. 1 3) Tìm các số thực x để biểu thức M 3x 5 xác định. = - - 3 2 x - 4 ïì 5 ïì 5 ïì3x - 5 ³ 0 ïì3x ³ 5 ïx ³ ïx ³ Biểu thức M đã cho xác định Û ï Ûï Ûï 3 Û ï 3 . íx2 4 0 íx2 4 í í îï - ¹ îï ¹ ïx 2 ïx 2 îï ¹ ± îï ¹ 5 Vậy biểu thức M xác định khi và chỉ khi x ³ ,x ¹ 2. 3 Câu 3( 2 điểm) (VD): 1) Cho tam giác MNP vuông tại N có MN = 4a, NP = 3a với 0 < a Î . Tính theo a diện tích xung quanh của hình nón tạo bởi tam giác MNP quay quanh đường thẳng MN . 2 2) Cho x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trìnhx - 3x + 1 = 0 . Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là 2 và 2 2x1 -(x2 ) 2x2 -(x1 ) .
6. 3) Bác B vay ở một ngân hàng 100 triệu đồng để sản xuất trong thời hạn 1 năm. Lẽ ra đúng 1 năm sau bác phải trả cả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết 2 năm bác B phải trả tất cả 121 triệu đồng. Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm trong 1 năm? Lời giải 1) Cho tam giác MNP vuông tại N có MN = 4a, NP = 3a với 0 0 ) Do đó hình nón có độ dài đường sinh là l = MP = 5a. 2 Vậy diện tích xung quanh của hình nón là S xq = pRl = p.3a.5a = 15pa . 2 2) Cho x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trìnhx - 3x + 1 = 0 . Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là 2 và 2 2x1 -(x2 ) 2x2 -(x1 ) . x x 3 2 ïì 1 + 2 = Phương trình x - 3x + 1 = 0 có 2 nghiệm x1 ,x2 ( gt) nên áp dụng định lí Vi-ét ta có: íx x 1 îï 1 2 = Xét các tổng và tích sau: 2 2 S 2x x 2x x 2 x x x2 2 = 1 -( 2 ) + 2 -( 1 ) = ( 1 + 2 )-( 1 +2 ) é 2 ù 2 = 2 x1 + x2 - x1 + x2 - 2x1x2 = 2.3- é3 - 2.1ù = -1 ( ) ëê( ) ûú ëê ûú é 2 ù é 2 ù 3 3 2 P = 2x1 - x2 2x2 - x1 = 4x1x2 - 2x1 - 2x2 + x1x2 ëê ( ) ûú ëê ( ) ûú ( ) 2 4x x 2 x3 x3 x x = 1 2 - ( 1 + 2 )+( 1 2 ) 4.1 2 é33 3.1.3ù 12 31. = - ëê - ûú + = - 2 2 Ta có S = (-1) = 1 ³ 4P = -124
7. 2 và 2 là 2 nghiệm của phương trình Þ 2x1 -(x2 ) 2x2 -(x1 ) 2 2 X -SX + P = 0 Û X + X - 31 = 0. 3) Bác B vay ở một ngân hàng 100 triệu đồng để sản xuất trong thời hạn 1 năm. Lẽ ra đúng 1 năm sau bác phải trả cả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết 2 năm bác B phải trả tất cả 121 triệu đồng. Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm trong 1 năm? Gọi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là x ( %/năm) ( ĐK: x > 0 ). Số tiền lãi bác B phải trả sau 1 năm gửi 100 triệu đồng là 100x% = x ( triệu đồng). Þ Số tiền bác B phải trả sau 1 năm là 100 + x ( triệu đồng). Do số tiền lãi của năm đầu được tính gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau nên số tiền lãi bác B (100 + x)x phải trả sau 2 năm là 100 + x x% = ( triệu đồng). ( ) 100 Hết 2 năm bác B phải trả tất cả 121 triệu đồng nên ta có phương trình: (100 + x)x 2 100 + x + = 121 Û 10000 + 100x + 100x + x = 12100 100 2 2 Û x + 200x - 2100 = 0 Û x -10x + 210x - 2100 = 0 Û x(x -10)+ 210(x -10) = 0 Û (x -10)(x + 210) = 0 éx -10 = 0 éx = 10 (tm) Û ê Û ê êx 210 0 êx 210 ktm ë + = ëê = - ( ) Vậy lãi suất cho vay của ngân hàng đó là 10%/ năm. Câu 4 ( 1 điểm) æ a + aöæa - 3 a + 2ö 1) Rút gọn biểu thức P ç ÷ç ÷ ( với a 0 và a 4 ). = ç ÷ç ÷ ³ ¹ èç1 + a ø÷èç a - 2 ø÷ 2 ïì4x - xy = 2 2) Tìm các số thực x và y thỏa mãn ï . í 2 ïy 3xy 2 îï - = - Lời giải æ a + aöæa - 3 a + 2ö 1) Rút gọn biểu thức: P ç ÷ç ÷ ( với a 0 và a 4 ). = ç ÷ç ÷ ³ ¹ èç1 + a ø÷èç a - 2 ø÷
8. Với a ³ 0 và a ¹ 4 thì: a 1 a æ a + aöæa - 3 a + 2ö + a - 2 a - a + 2 P ç ÷ç ÷ ( ). = ç ÷ç ÷ = èç1 + a ø÷èç a - 2 ÷ø 1 + a a - 2 a a - 2 - a - 2 a -1 a - 2 = a. ( ) ( ) = a.( )( ) a - 2 a - 2 = a.( a -1) = a - a Vậy P = a - a. 2 ïì4x - xy = 2 1) Tìm các số thực x và y thỏa mãn ï . í 2 ïy 3xy 2 îï - = - ì4x2 xy 2 1 ï - = ( ) í 2 ïy 3xy 2 2 îï - = - ( ) Lấy (1) cộng (2) vế với vế ta được: 2 2 2 2 4x - xy + y - 3xy = 0Û 4x - 4xy + y = 0 2 Û (2x - y) = 0Û 2x - y = 0 Û y = 2x Thay y = 2x vào (2) ta được: 2 2 Û -2x = -2 Û x = 1 Û x = ±1 Với x = 1 thì y = 2.1 = 2. Với x = -1 thì y = 2.(-1) = -2. Vậy hệ có nghiệm (x; y) Î {(1;2),(-1;-2)}. Câu 5 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H . Biết ba góc C AB, A BC,B CA đều là góc nhọn. 2) Chứng minh bốn điểm B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn. 3) Chứng minh DE vuông góc với OA. .
9. 4) Cho M,N lần lượt là trung điểm của hai đoạn BC, AH . Cho K,L lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng OM và CE , MN và BD . Chứng minh KL song song với AC . Lời giải Phương pháp: 1) Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh các góc bằng nhau. 2) Kẻ tiếp tuyến Ax chứng minh Ax //DE. Cách giải: ì ïBD ^ AC Þ BDC = 90° 1) Ta có: íï ïCE AB C EB 90 îï ^ Þ = ° Tứ giác BEDC có B DC = B EC = 90° nên nó là tứ giác nội tiếp ( tứ giá có hai đỉnh kề nhua cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau) Suy ra bốn điểm B , D , C , E cùng thuộc một đường tròn. 2) Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) tại A . Khi đó Ax ^ AO ( tính chất tiếp tuyến). Ta có: C Ax = C BA ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC ) (1)
10. Do tứ giác BEDC nội tiếp (cmt) Þ C BA = E DA ( góc ngoài tại một đỉnh bằng góc đối diên đỉnh đó) (2) Từ (1) và(2) suy ra C Ax = E DA(= C BA) . Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DE //Ax . Mà Ax ^ AO (cmt) nên DE ^ AO (đpcm). Câu 6 (0,5 điểm) Cho ba số thực a,b,c . Chứng minh rằng: 2 3 2 3 2 3 2 2 2 (a -bc) +(b -ca) +(c - ab) ³ 3(a -bc)(b -ca)(c - ab). Lời giải Phương pháp: 2 2 2 3 3 3 - Đặt x = a -bc, y = b -ca, z = c - ab đưa bất đẳng thức cần chứng minh về x + y + z ³ 3xyz. 3 3 3 2 2 2 - Chứng minh đẳng thức x + y + z - 3xyz = (x + y + z)(x + y + z - xy - yz - zx) 3 3 3 - Từ đó đánh gái hiệu x + y + z - 3xyz và kết luận. 2 2 2 Đặt x = a -bc, y = b -ca, z = c - ab 3 3 3 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành : x + y + z ³ 3xyz. Ta có: 3 3 3 3 3 3 x + y + z - 3xyz = (x + y )- 3xyz + z 3 3 = (x + y) - 3xy(x + y)- 3xyz + z 3 3 = (x + y) + z - 3xy(x + y + z) 2 2 = x + y + z é x + y - x + y z + z ù - 3xy x + y + z ( )ëê( ) ( ) ûú ( ) x y z éx2 2xy y2 xz yz z2 3xyù = ( + + )ëê + + - - + - ûú 2 2 2 = (x + y + z)(x + y + z - xy - yz - zx) Dễ thấy:
11. 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x + y + z - xy - yz - zx = x - 2xy + y + y - 2yz + z + z - 2zx + x 2 ( ) 1 2 2 2 = é x - y + y - z +(z - x) ù ³ 0, "x, y, z 2 ëê( ) ( ) ûú Do đó ta đi xét dấu của x + y + z 2 2 2 Ta có: x + y + z = a -bc + b -ca + c - ab 2 2 2 1 2 2 2 = a + b + c - ab -bc -ca = é a -b + b -c + c - a ù ³ 0, "a,b,c 2 ëê( ) ( ) ( ) ûú 2 2 2 Suy ra x + y + z ³ 0Þ(x + y + z)(x + y + z - xy - yz - zx) ³ 0 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 Þ x + y + z ³ 3xyz hay (a -bc) +(b -ca) +(c - ab) ³ 3(a -bc)(b -ca)(c - ab) (đpcm) Dấu “ =” xảy ra khi a = b = c