Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên môn Toán - Năm học 2020-2021 (Kèm đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên môn Toán - Năm học 2020-2021 (Kèm đáp án)

1. MÃ KÍ HIỆU ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN Năm học 2020 – 2021 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 06 câu, 01 trang) Câu 1 (2 điểm). x2 x 2x x 2 x 1 1. Cho biểu thức: P với x 0; x 1 x x 1 x x 1 a. Rút gọn biểu thức P; b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P; 2 x c. Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên. P 2. Cho phương trình: x2 + (m - 2)x - 8 = 0. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức 2 2 Q = (x1 - 1)(x2 - 4) đạt giá trị lớn nhất. Câu 2 (2 điểm). 1. Giải phương trình: 7 x x 5 x2 12x 38 x y z 9 1 1 1 2. Giải hệ phương trình: 1 x y z xy yz zx 27 Câu 3 (1 điểm). Cho a, b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M 2a bc 2b ca 2c ab . Câu 4 (1 điểm). Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình: x2 xy y2 x2y2 Câu 5 (3 điểm): Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K. a. Chứng minh bốn điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn. b. Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi. c. Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME. Câu 6 (1 điểm). Cho hai số nguyên dương a và b. Biết rằng trong bốn khẳng định sau đây P, Q, R, S chỉ có duy nhất một khẳng định sai. P = “a = 2b + 5” Q = “a + 1 chia hết cho b” R = “a + b chia hết cho 3” S = “a + 7b là số nguyên tố”. a. Hãy chỉ ra khẳng định nào sai trong bốn khẳng định trên, giải thích vì sao? b. Hãy tìm các cặp số nguyên dương (a; b) thỏa mãn ba khẳng định đúng còn lại. Hết
2. MÃ KÍ HIỆU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN Năm học 2020 – 2021 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Chú ý: + Học sinh làm đúng bằng cách nào cũng cho điểm tối đa. + Bài làm sai từ đâu phần tiếp theo có liên quan không chấm. + Hình vẽ sai hoặc không khớp lời chứng minh thì không chấm. Câu Đáp án Điểm 1. (1,5 điểm) a. (0,5 điểm): ĐKXĐ: x 0; x 1 x2 x 2x x 2 x 1 P x x 1 x x 1 3 x x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 1 P x x 1 x x 1 P x x 1 2 x 1 2 x 2 0,25 P x x 2 x 1 2 x 2 P x x 1 0,25 b. (0,5 điểm). Với x 0; x 1 2 1 3 P x x 1 x 2 4 1 3 Lập luận chỉ ra P 0,25 (2 điểm) 4 3 1 Chỉ ra P khi x (thỏa mãn ĐKXĐ) 4 4 3 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là đạt được khi x 0,25 4 4 c. (0,5 điểm). Với x 0; x 1 2 x 2 Ta có Q 1 x x 1 x 1 x Vì P > 0 nên với x 0; x 1 thì Q xác định Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 1 x 2. Dấu “=” xảy ra khi x = 1 (không thỏa mãn ĐKXĐ) x 1 Nên x 2 0,25 x
3. Câu Đáp án Điểm 1 x 1 1 0 Q 2 Q 1 x 3 5 Giải phương trình Q = 1 đối chiếu ĐKXĐ được x là giá trị 2 0,25 cần tìm 2. (0,5 điểm). Phương trình x2 + (m - 2)x - 8 = 0 Viết được m 2 2 32 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. x1 x2 2 m 8 Theo hệ thức Vi-ét ta có Khi đó có x2 0,25 x1x2 8 x1 2 64 2 16 Viết được Q x1 1 4 68 4 x1 2 68 4.8 36 x1 x1 Dấu “=” xảy ra khi x1 2 Với x1 = 2 thì m = 4, với x1= -2 thì m = 0 Vậy Q có giá trị lớn nhất là 36 khi m = 0 hoặc m = 4. 0,25 1.(1,0 điểm): Phương trình: 7 x x 5 x2 12x 38 ĐKXĐ: 5 x 7 Ta có: 7 x x 5 x2 12x 38 2 x2 12x 38 2 7 x x 5 0 0,25 2 x2 12x 36 7 x 2 7 x 1 x 5 2 x 5 1 0 2 2 2 x 6 7 x 1 x 5 1 0 0,25 x 6 0 7 x 1 0 0,25 2 x 5 1 0 (2 điểm) x 6 ( thỏa mãn ĐK) 0,25 Vậy phương trình có nghiệm là x = 6 2.(1,0 điểm). ĐK x;y;z 0 Từ x + y + z = 9 Ta có x2 y2 z2 2 xy yz zx 81 0,25 x2 y2 z2 2.27 81 x2 y2 z2 27 x2 y2 z2 xy yz zx 0,25 2 x2 y2 z2 2(xy yz zx) 2 2 2 x y y z z x 0 0,25
4. Câu Đáp án Điểm x y z x y z Khi đó ta có: x y z 9 x y z 3 ( thỏa mãn ĐK) 1 1 1 1 x y z Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y; z) = (3; 3; 3) 0,25 Vì a + b+ c = 2 nên 2a + bc = (a + b + c)a + bc hay 2a + bc = (a + b)(a + c) 0,25 Theo bất đẳng thức Cô-sy ta có a b a c 2a b c 2a bc a b a c 0,25 2 2 Tương tự ta có : 2b c a 2b ac b c b a 2 3 2c a b (1 điểm) 2c ab c a c b 2 4 a b c 4.2 Khi đó Q 4 0,25 2 2 a b c 2 2 Dấu “=” xảy ra khi a b c a b b c c a 3 2 Vậy giá trị lớn nhất của Q bằng 4 đạt được khi a b c 0,25 3 Phương trình x2 xy y2 x2y2 (1) Ta có: x2 xy y2 x2y2 4 x2 xy y2 4x2y2 0,25 2x 2y 2 2xy 1 2 1 0,25 4 2xy 1 2x 2y 2xy 1 2x 2y 1 (1 điểm) Suy ra 2xy 1 2x 2y 2xy 1 2x 2y Hay x + y = 0 0,25 Thay x = -y vào phương trình (1) được x = 0, y = 0 hoặc x = 1, y = -1 hoặc x = -1, y = 1 Vậy có ba cặp số (x ; y) thỏa mãn phương trình là 0,25 (0 ; 0 ), (1 ; -1), (-1 ; 1) Hình vẽ M Q H O D P A d B K I C N E a. (1,0 điểm)
5. Câu Đáp án Điểm Chứng minh được O· IA 900; O, I, A nằm trên đường tròn đường kính OA 0,25 5 Chứng minh được O·MA 900; (3 điểm) O, M, A nằm trên đường tròn đường kính OA 0,25 O·NA 900; O, N, A nằm trên đường tròn đường kính OA 0,25 Khẳng định bốn điểm O, M, N, I cùng nằm trên đường tròn đường kính OA 0,25 b. (1,0 điểm) Chứng minh được OA  MN Chứng minh được AB.AC = AN2 0,25 Chứng minh được AH.AO = AN2 Chứng minh được AI.AK = AH.AO 0,25 Suy ra AI.AK = AB.AC AB.AC AK 0,25 AI Do A, B, C cố định nên I cố định suy ra AK cố định. Mà A cố định 0,25 nên K cố định. c. (1,0 điểm) Chỉ ra được P·MQ 900 Chỉ ra được M· EH D·MQ (cùng phụ D·MP ) E·MH M· QD (cùng phụ M· PO ) 0,25 Chứng minh được đồngMH dạngE với QDM ME MH Chi ra được 0,25 MQ DQ Chỉ ra được P·MH M· QH (cùng phụ H·MQ ) Chứng minh được đồngPM Hdạng với MQH 0,25 MP MH MH Chi ra được MQ HQ 2DQ MP 1 ME Suy ra được  MQ 2 MQ Suy ra ME = 2 MP P là trung điểm của ME 0,25 a. (0,5 điểm) Dựa vào a = 2b + 5 ta có a + b = 3b + 5 Lại có a + 7b = (a + b) + 6b 0,25 Do đó: 6 Nếu khẳng định R đúng thì cả hai khẳng định P và S đều sai, điều đó (1 điểm) trái giả thiết.Vậy khẳng định R sai, còn ba khẳng định P, Q, S đúng 0,25 b. (0,5 điểm) Vì a + 1 chia hết cho b nên a + 1 = n.b với n nguyên dương Mà a = 2b + 5 Suy ra b(n - 2) = 6 b 1; 2; 3; 6 0,25
6. Câu Đáp án Điểm Để khẳng định S đúng thì b 2; 6 Khi b = 2 thì a = 9. Khi b = 6 thì a = 17 Vậy các cặp số nguyên dương (a; b) cần tìm là (9; 2) và (17; 6) 0,25 Hết