Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên KHTN môn Toán - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên KHTN môn Toán - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN KHTN HÀ NỘI NĂM HỌC 2019 - 2020 Đề chính thức Môn: TOÁN ( Chung) (26/5/2019) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Tên : Trương Huỳnh Nhật Vinh Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871.Nguồn gốc :sưu tầm đề và tự tay gõ đáp án Câu I. 26x 5 1.Giải phương trình 2 26x 5 3x2 30 x2 30 xy22 2 2.Giải hệ phương trình 2 (x 2)(2 y 3 y 4x) y 27 Câu II. 1. Tìm các cặp (x;y) nguyên thỏa mãn (x22 x 1)( y xy ) 3x 1 x2 4 2.Với x,y là các số thực thỏa 1 y 2; xy 2 2 y ,tìm giá trị nhỏ nhất của M y2 1 Câu III. Cho hình vuông ABCD, đường tròn (O) nội tiếp hình vuông tiếp xúc với các cạnh AB,AD lần lượt tại các điểm E,F.Gọi giao điểm của CE và BF là G. a.Chứng minh 5 điểm cùng thuộc 1 đường tròn b.Gọi giao điểm của FB và đường tròn (O) là M (M khác F). Chứng minh M là trung điểm của BG. c.Chứng minh trực tâm tam giác GAF nằm trên đường tròn (O). Câu IV. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx 1. Chứng minh rằng 1 1 1 2 x y z 3 2 2 2 () 1 x 1 y 1 z 3 1 x2 1 y 2 1 z 2 Câu I. 5 1.Ta có điều kiện x .Ta có 26 26x5 2 26x5 26x5 226x53 x 30 22 2 30 .Ta đặt x2 30 xx 30 30 26x 5 2 t 1( tm ) t 2 0 .Phương trình đã cho tương đươngtt 2 3 0 . x 30 t 3( ktm ) 26x 5 x 1( tm ) Với t 1 thì t 2 1 . x 30 x 25( tm ) x2 y 2 22 x 2 y 2 2.Ta có 2 2 2 (x 2)(23 y y 4x)27 y ( x 2)( y x 4 y 4x)27 y
2. x 1 y 1 x2 y 2 22 x 2 y 2 1 3 x . (x 2 y ) 27 x 2 y 3 5 7 y 5 Câu II. 1.Ta có (x2 x 1)( y 2 xy ) 3x 1 (3x 1) ( x 2 x 1) x 2 x 1 3x 1 . 1 TH1: x x2 x1 3x 1 2 2 x 2 2 .Mà x nguyên nên ta có x 1;2;3 . 3 1 TH2: x x2 x 1 3x+1 2 x 0 .Mà x nguyên nên ta có x  1; 2;0 .Xét 3 từng trường hợp của x ta có y. 11 2(y 1) 2.Ta có 12 y .Ta có xy 2 2 y x 0.Ta có y2 1 2x 3 y 2 x 42 1 1 x 1 Mx 22 ( 4). (2x 3). 1 .Vậy giá trị nhỏ nhất của yy 1 1 2x 3 y 2 x2 4 x 1 M 2 là 1 khi . y 1 y 2 Câu IV. Ta có 1 x2 1 xyyzzx xyxz ;1 y 2 xyyz ;1 z 2 xzyz 1 1 1 1 1 1 2(x y z ) Nên 1 x2 1 y 2 1 z 2 xyxz xyyz xzyz xyyzxz x y z x y z 1 x2 1 y 2 1 z 2 xyxz xyyz xzyz x y z13 x x y y z z 1 x2 1 y 2 1 z 2 22 xyxzxyyzxzyz Mặt khác áp d ng Bunhiacopsky ta có : 2 x y z x y z x y z 2 2 2 M 2 2 2 x y z 1 x 1 y 1 z 1 1 1 x y z M x y z xyxz xyyz xzyz 22 xyzxyyzzx xyz M . Ta có xyyzzx xyyzzx 32 22 x y z x y z x y z VP 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 3111 x y z 3111 x y z 111 x y z 42 x y z 3 x y z 1 1 1 VP . . 3 xyyzxz 2 xyyzxz 1 x2 1 y 2 1 z 2
3. 3 1 1 1 3 x y z Vậy . Dấu xảy ra khi 2 2 2 2 2 2 1 x 1 y 1 z 2 1 x 1 y 1 z 1 x y z 3