Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Vĩnh Phúc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Vĩnh Phúc (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2017-2018  ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Dành cho tất cả các thí sinh Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề. —————————————— Câu 1 (1,5 điểm). Cho hàm số y (m 2)x 1 có đồ thị là đường thẳng d , m là tham số. a) Tìm tất cả các giá trị của m để d đi qua điểm M (2;3) . b) Tìm tất cả các giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến d là lớn nhất. Câu 2 (2,0 điểm). Cho phương trình (2m 3)x2 2(m 1)x 1 0 , trong đó m là tham số và x là ẩn số. a) Giải phương trình khi m 0 . b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm dương nhỏ hơn 1. x 2 x 2 x 1 Câu 3 (2,0 điểm). Cho biểu thức A : 1 . x 2 x 1 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức.A b) Tính giá trị của A khi 2 x 1 3 . Câu 4 (3,0 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB. Trên nửa đường tròn đã cho lấy điểm C (C khác A, C khác B) và D là điểm chính giữa cung AC. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Gọi F là điểm thuộc đường thẳng AC sao cho C là trung điểm của đoạn thẳng AF. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng AC và BD, đường thẳng EH cắt đường thẳng AB tại K, đường thẳng KC cắt đường thẳng EF tại I. Chứng minh rằng: a) Tam giác ABE cân và E·FA E·BD . b) Tứ giác EIBK nội tiếp đường tròn. HF EI EK c) . BC BI BK Câu 5 (1,5 điểm). Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x y 2017 . Tính giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P x(x2 y) y(y2 x) . Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh số báo danh
2. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2017-2018 (Đáp án gồm 04 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN Dành cho tất cả các thí sinh ———————— Câu 1 (1,5 điểm). Cho hàm số y (m 2)x 1 có đồ thị là đường thẳng (d), m là tham số. Nội dung Điểm a) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) đi qua điểm M (2;3) . 1,00 Thay tọa độ M vào (d) có: 3 (m 2).2 1 0,50 2m 6 0,25 m 3. Vậy giá trị cần tìm của m là m 3. 0,25 b) Tìm tất cả các giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến (d) là lớn nhất. 0,50 Gọi h là khoảng cách từ gốc tọa độ đến d . 0,25 Nếu m 2 thì (d): y 1 , khi đó khoảng cách từ O đến (d) là h 1 . Nếu m 2 thì (d) cắt Oy tại điểm có tung độ là 1, cắt Ox tại điểm có hoàng độ là 1 1 1 1 2 . Ta có: 2 2 2 1 2 m 1 h 1. 2 m h 1 1 0,25 2 m Từ đó suy ra h 1 . Vậy khoảng cách từ O đến (d) lớn nhất bằng 1 khi m 2 . Câu 2 (2,0 điểm). Cho phương trình (2m 3)x2 2(m 1)x 1 0 , trong đó m là tham số và x là ẩn số. Nội dung Điểm a) Giải phương trình khi m 0 . 1,00 Thay m = 0 phương trình trở thành 3x2 2x 1 0 0,50 Ta có ' 1 3. 1 4 0 phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là: 0,25 1 2 1 2 1 1 x1 1, x2 . Do đó phương trình có tập nghiệm làS 1; . 0,25 3 3 3 3 b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm dương nhỏ hơn 1. 1,00 3 Th1. Nếu m thì phương trình có dạng: x 1 0 x 1. Không thỏa mãn. 0,25 2 3 Th2. Nếu m thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 2 ' m 1 2 1 2m 3 0 0,25 ' m2 4m 4 0 ' m 2 2 0 (luôn đúng với mọi m). Phương trình có hai nghiệm là m 1 m 2 m 1 m 2 1 0,25 x 1, x . 1 2m 3 2 2m 3 2m 3 Từ đó phương trình đã cho có nghiệm dương nhỏ hơn 1 khi và chỉ khi 1 2m 3 0 0 1 m 1. 0,25 2m 3 2m 3 1 Vậy các giá trị cần tìm của m là: m 1. 1
3. x 2 x 2 x 1 Câu 3 (2,0 điểm). Cho biểu thức: A : 1 . x 2 x 1 1 x x 1 Nội dung Điểm a) Rút gọn biểu thức.A 1,00 Điều kiện xác định: 0 x 1 0,25 x 2 x 2 (x 1) (x 1) A : 2 0,25 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 2 2 : 0,25 x 1 x 1 x 1 6 x x 1 3 x . 2 0,25 x 1 x 1 2 x 1 b) Tính giá trị của A khi 2 x 1 3 . 1,00 2 x 1 3 Có 2 x 1 3 0,25 2 x 1 3 Th1. 2 x 1 3 x 2 x 4. 0,25 Th2. 2 x 1 3 x 1 vô nghiệm. 0,25 Do đó với x 4 thì A 6 . 0,25 Câu 4 (3,0 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB. Trên nửa đường tròn đã cho lấy điểm C (C khác A, C khác B) và D là điểm chính giữa cung AC. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Gọi F là điểm thuộc đường thẳng AC sao cho C là trung điểm của đoạn thẳng AF. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng AC và BD, đường thẳng EH cắt đường thẳng AB tại K, đường thẳng KC cắt đường thẳng EF tại I. Chứng minh rằng: Nội dung Điểm 2
4. E I F D C H A O K B a) Tam giác ABE cân và E·FA E·BD . 1,50 »AD C»D ·ABD D· BE 0,50 B·DE 900 BD là phân giác và đường cao của tam giác ABE ABE cân tại B. 0,50 Có AC FC, BE  AF BE là trung trực AF 0,25 FE EA AEF cân tại E E·FA E·AF Mặt khác E·AF C·BD E·FA E·BD . 0,25 b) Tứ giác EIBK nội tiếp đường tròn. 1,00 EFA cân tại E ·AEC F·EC (1) 0,25 Có: E·DH E·CH 900 EDHC nội tiếp ·AEC C·HB (2) 0,25 Có: B·CH B·KH 900 BCHK nội tiếp C·HB C·KB (3) 0,25 Từ (1), (2), (3) suy ra F·EC C·KB EIBK nội tiếp. 0,25 HF EI EK c) . 0,50 BC BI BK Có: EIBK nội tiếp E·KB 900 E· IB 900 E·FC E· BI (cùng phụ F·EB ). · · · · Mặt khác: EFC CBH (câu a) CBH EBI . 0,25 EI BI EI HC Có: CBH đồng dạng IBE (g.g) (1). HC BC BI BC Có: BAF cân tại B B·FC B·AC mà B·AC B·EK (cùng phụ ·ABC ) EK BK EK FC B·FC B·EK KEB đồng dạng CFB (g.g) (2). FC BC BK BC 0,25 EI EK CH FC HF Từ (1), (2) (đpcm). BI BK BC BC BC 3
5. Câu 5 (1,5 điểm): Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x y 2017 . Tính giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P x(x2 y) y(y2 x) . Nội dung Điểm Có: P x y 3 3xy(x y) 2xy 20173 2 3.2017 xy 0,25 Vì x y 2 x y 2 4xy 20172 4xy 1 2 0,25 xy x y 20172 4 1 2 P 20173 3.2017 2 x y 20172 0,25 4 Do x, y nguyên dương và x y 2017 nên 1 x y 2015 1 x y 2 20152 0,25 1 Suy ra P 20173 3.2017 2 1 20172 khi min 4 0,25 x y 1 (x; y) (1008; 1009), (1009; 1008) x y 2017 1 Suy ra P 20173 3.2017 2 20152 20172 khi max 4 0,25 x y 2015 (x; y) (1; 2016), (2016; 1) x y 2017 Lưu ý khi chấm bài: - Hướng dẫn chấm (HDC) chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Bài hình học nếu không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Hết 4