Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán năm 2020 - Trường THPT chuyên KHTN (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán năm 2020 - Trường THPT chuyên KHTN (Có đáp án)

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I: (4 điểm) x2 y2 xy 7 1)Giải hệ phương trình 3 2 9x xy 70(x y) 2) Giải phương trình 11 5 x 8 2x 1 24 3 (5 x)(2x 1) Câu II: (2 điểm) 1) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn x2 y2 16xy 99 9x2 36y2 13x 26y. 2) Với a,b là những số thực dương thỏa mãn 2 2a 3b 5; 8a 12b 2a2 3b2 5ab 10. Chứng minh rằng 3a2 8b2 10ab 21 Câu III. (3 điểm) Cho tam giác ABC có BAC là góc nhỏ nhất trong ba góc của tam giác và nội tiếp đường tròn (O). Điểm D thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác BAC. Lấy các điểm M , N thuộc (O) sao cho các đường thẳng CM và BN cũng song song với đường thẳng AD. 1) Chứng minh rằng AM AN 2) Gọi giao điểm của đường thẳng MN với các đường thẳng AC, AB lần lượt là E, F. Chứng minh rằng bốn điểm B,C, E, F cùng thuộc một đường tròn. 3) Gọi P,Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AM , AN. Chứng minh rằng các đường thẳng EQ, EP và AD đồng quy. Câu IV. (1 điểm) Với a,b,c là những số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng a(a bc)2 b(b ca)2 c(c ab)2 minh rằng 4 b(ab 2c2 ) c(bc 2a2 ) a(ca 2b2 ) HẾT . 1
2. Hướng dẫn câu IV 2 A2 B2 C 2 A B C A B C Ta có Áp dụng BĐT dau " " x y z x y z x y z (a2 abc)2 (b2 abc)2 (c2 abc)2 (a2 b2 c2 3abc)2 VT ;(1) ab(ab 2c2 ) bc(bc 2a2 ) ca(ca 2b2 ) (ab bc ca)2 Trong 3 số a 1;b 1;c 1 theo nguyên tắc DIRICHLET luôn có hai số cùng dấu. giả sử a 1;b 1 cùng dấu (a 1)(b 1) 0 ab a b 1 2 c abc c(2 c) M a2 b2 c2 3abc a2 b2 c2 3abc 2(ac bc) 2c(a b) M a2 b2 c2 3c 2 c 2(ac bc) 2c 3 c 2(ab bc ca) c2 6c 3c2 6c 2c2 a2 b2 c2 3abc M 2(ab bc ca) a2 b2 c2 3abc 2(ab bc ca) 2 ab bc ca (a2 b2 c2 3abc)2 4;(2) (ab bc ca)2 a(a bc)2 b(b ca)2 c(c ab)2 Từ (1) và (2) ta có : 4 b(ab 2c2 ) c(bc 2a2 ) a(ca 2b2 ) a2 abc b2 abc c2 abc) 2 2 2 ab(ab 2c ) bc(bc 2a ) ca(ca 2b ) Dấu “=” xảy ra (a b)(b 1) 0;a b c 0 a b c 1 a b 0 2