Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2015-2016 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Bắc Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2015-2016 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Bắc Ninh (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT BẮC NINH NĂM: 2015 – 2016 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 17 tháng 7 năm 2015 Câu I. (3,0 điểm) 1) Giải phương trình 3x + 2 = x + 3 2) Tìm m để hàm số y = (m – 2 )x + 1 đồng biến. a a a 5 a 3) Rút gọn biểu thức A 3 3 với a ≥ 0, a ≠ 25 a 1 a 5 Câu II. (2,0 điểm) Cho phương trình x2 2mx 2m 10 0 (1), m là tham số. 1) Giải phương trình (1) khi m = -3 2) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1x2 sao cho 2x1 x2 4 Câu III. (1,0 điểm) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28m. Đường chéo của hình chữ nhật dài 10m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật đó. Câu IV. (2,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (khác với điểm A). Tiếp tuyến kẻ từ điểm E cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm E. 1) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn. DM CM 2) Chứng minh rằng DE CE 3) Chứng minh rằng khi điểm E thay đổi trên tia đối của tia AB, tích AC.BD không đổi. Câu V. (1,5 điểm) a 5(a2 1) 1) Cho a là số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S . a2 1 2a 2) Cho đường tròn (O,R) và hai dây cung AB, CD (AB > CD). Hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại M. Chứng minh rằng MA + MB > MC + MD. HẾT
2. ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu I. (3,0 điểm) 1) Giải phương trình 3x + 2 = x + 3 3x x 3 2 2x 1 1 x 2 2) Tìm m để hàm số y = (m – 2 )x + 1 đồng biến. Hàm số = (m – 2 )x + 1 đồng biến. m 2 0 m 2 Vậy m > 2 thì hàm số đã cho đồng biến a a a 5 a 3) Rút gọn biểu thức A 3 3 với a ≥ 0, a ≠ 25 a 1 a 5 a( a 1) a( a 5) 3 3 a 1 a 5 (3 a)(3 a) 9 a Câu II. (2,0 điểm) Cho phương trình x2 2mx 2m 10 0 (1), m là tham số. 1) Giải phương trình (1) khi m = -3 Khi m =-3 (1) trở thành : x2 6x 16 0 ' 32 16 25 0 x1 3 5 8 PT có 2 nghiệm phân biệt x2 3 5 2 Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt : x = -8, x =2 2) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1x2 sao cho 2x1 x2 4 PT (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ ∆’ > 0 m2 (2m 10) 0 m2 2m 1 9 0 (m 1)2 9 0 (luôn đúng) => thì PT luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. x1 x2 2m Theo Vi –ét và đầu bài cho ta có : x1x2 2m 10 2x1 x2 4
3. 4 x1 2m x1x2 2m 10 x2 4 2x1 x1 4 2m x2 4 4m x1x2 2m 10(*) Thay x1, x2 vào (*) ta có : ( 4 2m)(4 4m) 2m 10 8m2 26m 6 0 4m2 13m 3 0 132 4.4.3 121 0 13 11 m 3 1 8 (TM ) 13 11 1 m 2 8 4 1 Vây m =- 3 hoặc m = thỏa mãn yêu cầu bài toán 4 Câu III. (1,0 điểm) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28m. Đường chéo của hình chữ nhật dài 10m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật đó. Gọi chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là a (m) ( 0 b = 14 – a thay vào (2) được : a2 (14 a)2 100 a2 196 28a a2 100 2a2 28a 96 0 a2 14a 48 0 ' 49 48 1 a 7 1 6 b 8(loai) a 7 1 8 b 6(tm) Vậy chiều dài của HCN là 8m Chiều rộng của HCN là 6m Câu IV. (2,5 điểm)
4. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (khác với điểm A). Tiếp tuyến kẻ từ điểm E cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm E. 1) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn. Vì AC là tiếp tuyến của (O) nên OA ⊥ AC => OAC = 90o Vì MC là tiếp tuyến của (O) nên OM ⊥ MC => OMC = 90o => OAC + OMC = 180o. Suy ra OACM là tứ giác nội tiếp DM CM 2) Chứng minh rằng DE CE Xét hai tam giác vuông OAC và OMC có OA OM R OAC OMC (cạnh huyền – cạnh góc vuông) chung _ OC CM CA DM DB ⇒ CA = CM . Tương tự ta có CE CE DE DE CA CE CA DB CM DM Mà AC // BD (cùng vuông góc AB) nên DB DE CE DE CE DE 3) Chứng minh rằng khi điểm E thay đổi trên tia đối của tia AB, tích AC.BD không đổi. 1 Vì OAC OMC AOC MOC AOC AOM 2 1 Tương tự: BOD BOM 2 1 Suy raAOC BOD (AOM BOM ) 90o 2 Mà AOC ACO 90o ACO BOD AO AC AOC ~ BDO(g.g) AC.BD AO.BO R2 (không đổi, đpcm) BD BO Câu V. (1,5 điểm) a 5(a2 1) 1) Cho a là số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S . a2 1 2a Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương, ta có:
5. a a2 1 a a2 1 2 . 1 a2 1 4a a2 1 4a a2 1 9 a2 1 9 a2 1 2 a2.1 2a 2 . a 4 a 2 9 11 S 1 2 2 a a2 1 2 a 1 4a 2 Dấu bằng xảy ra a 1 a 1 a 0 11 Vậy giá trị nhỏ nhất của S là , xảy ra khi a = 1. 2 2) Cho đường tròn (O,R) và hai dây cung AB, CD (AB > CD). Hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại M. Chứng minh rằng MA + MB > MC + MD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB, CD. Suy ra OE ⊥ AB, OF ⊥ CD Có MA + MB = (MB + BA) + MB = (MB + 2BE) + MB = 2(MB + BE) = 2ME Tương tự MC + MD = 2MF Vì ∆ MOE vuông tại E nên ME = MO2 OE 2 AB2 Tam giác AOE vuông tại E nênOE 2 AO2 AE 2 R2 4 AB2 Suy ra MA + MB = 2ME = 2MO2 R2 4 CD2 Tương tự MC + MD = 2MF = 2MO2 R2 4 Mà AB > CD => MA + MB > MC + MD (đpcm)