Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2019-2020 - Tỉnh Thái Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2019-2020 - Tỉnh Thái Bình (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2019-2020 THÁI BÌNH Mơn: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu 1. (2,0 điểm) x x 1 1 x 2 x 1 Cho A và B với x 0 , x 1 . x 1 x 1 x x 1 x x 1 a).Tính giá trị của biếu thức A khi x 2 . b).Rút gọn biểu thức B . c).Tìm x sao cho C A.B nhận giá trị là số nguyên. Câu 2. (2,0 điểm) 4x y 3 a).Giải hệ phương trình (khơng sử dụng máy tính cầm tay). 2x y 1 b).Một mảnh vườn hình chữ nhật cĩ diện tích 150m2 . Biết rằng, chiều dài mảnh vườn hơn chiều rộng mảnh vườn là 5m . Tính chiều rộng mảnh vườn. Câu 3. (2,0 điểm) Cho hàm số y m 4 x m 4 ( m là tham số) a).Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên . b).Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đồ thị hàm số đã cho luơn cắt parabol P : y x2 tại hai điểm phân biệt. Gọi x1 , x2 là hồnh độ các giao điểm, tìm m sao cho x1 x1 1 x2 x2 1 18 . c).Gọi đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng d . Chứng minh khoảng cách từ điểm O 0;0 đến d khơng lớn hơn 65 . Câu 4. (3,5 điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB . Kẻ dây cung CD vuơng gĩc với AB tại H ( H nằm giữa A và O , H khác A và O ). Lấy điểm G thuộc CH ( G khác C và H ), tia AG cắt đường trịn tại E khác A . a).Chứng minh tứ giác BEGH là tứ giác nội tiếp. b).Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng BE và CD . Chứng minh: KC.KD KE.KB . c).Đoạn thẳng AK cắt đường trịn O tại F khác A . Chứng minh G là tâm đường trịn nội tiếp tam giác HEF . 1
2. d).Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A và B lên đường thẳng EF . Chứng minh HE HF MN . Câu 5. Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn a b c ab bc ac 6 . Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3. b c a Hướng dẫn giải Câu 1. (2,0 điểm) x x 1 1 x 2 x 1 Cho A và B với x 0 , x 1 . x 1 x 1 x x 1 x x 1 a).Tính giá trị của biếu thức A khi x 2 . b).Rút gọn biểu thức B . c).Tìm x sao cho C A.B nhận giá trị là số nguyên. Lời giải x x 1 1 x 2 x 1 Cho A và B với x 0 , x 1 . x 1 x 1 x x 1 x x 1 a).Tính giá trị của biếu thức A khi x 2 . x x 1 x 1 x x 1 x3 1 Cĩ A x 1 x 1 x 1 Khi x 2 A 2 2 1 . b).Rút gọn biểu thức B . c).Tìm x sao cho C A.B nhận giá trị là số nguyên. 1 x 2 x 1 Cĩ B x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 2 x 1 x 1 x x x B x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x3 1 x x 1 Cĩ C A.B . 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 Cĩ x 1 1, x 0 , x 1 . C nhận giá trị là số nguyên x 1 1 x 0 (nhận). Câu 2. (2,0 điểm) 2
3. 4x y 3 a).Giải hệ phương trình (khơng sử dụng máy tính cầm tay). 2x y 1 b).Một mảnh vườn hình chữ nhật cĩ diện tích 150m2 . Biết rằng, chiều dài mảnh vườn hơn chiều rộng mảnh vườn là 5m . Tính chiều rộng mảnh vườn. Lời giải 4x y 3 a).Giải hệ phương trình (khơng sử dụng máy tính cầm tay). 2x y 1 2 x 4x y 3 6x 4 3 Cĩ . 2x y 1 2x y 1 1 y 3 2 1 Vậy nghiệm của hệ là ; 3 3 b).Một mảnh vườn hình chữ nhật cĩ diện tích 150m2 . Biết rằng, chiều dài mảnh vườn hơn chiều rộng mảnh vườn là 5m . Tính chiều rộng mảnh vườn. Gọi x , y lần lượt là chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn, điều kiện x 0 y 0 , x y . x y 5 x y 5 Cĩ xy 150 y y 5 150 1 y 10 nhận 1 y2 5y 150 0  . y 15 loại Vậy chiều rộng mảnh vườn là 10 m Câu 3. (2,0 điểm) Cho hàm số y m 4 x m 4 ( m là tham số) a).Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên . b).Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đồ thị hàm số đã cho luơn cắt parabol P : y x2 tại hai điểm phân biệt. Gọi x1 , x2 là hồnh độ các giao điểm, tìm m sao cho x1 x1 1 x2 x2 1 18 . c).Gọi đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng d . Chứng minh khoảng cách từ điểm O 0;0 đến d khơng lớn hơn 65 . Lời giải a).Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên . 3
4. y m 4 x m 4 đồng biến trên m 4 0 m 4 . Vậy m 4 thì hàm số đồng biến trên . b).Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đồ thị hàm số đã cho luơn cắt parabol P : y x2 tại hai điểm phân biệt. Gọi x1 , x2 là hồnh độ các giao điểm, tìm m sao cho x1 x1 1 x2 x2 1 18 . d : y m 4 x m 4 , . P : y x2 Phương trình hồnh độ giao điểm của d , P : x2 m 4 x m 4 x2 m 4 x m 4 0 1 , Cĩ a 1 0 2 2 2 Cĩ m 4 4 m 4 m 4m 32 m 2 28 0,m a 0 Do cĩ 0, m Suy ra d cắt luơn cắt P tại hai điểm phân biệt . 2 2 Cĩ x1 x1 1 x2 x2 1 18 x1 x2 x1 x2 18 0 2 x1 x2 m 4 x1 x2 2x1x2 x1 x2 18 0 , mà x x m 4 1 2 2 2 m 5 m 4 2 m 4 m 4 18 0 m 7m 10 0 m 5 m 2 0  . m 2 Vậy m 5 , m 2 thỏa yêu cầu bài c).Gọi đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng d . Chứng minh khoảng cách từ điểm O 0;0 đến d khơng lớn hơn 65 . m 4 d : y m 4 x m 4 cắt trục Ox ,Oy lần lượt ở A ;0 và B 0;m 4 . m 4 *Trường hơp 1: Xét m 4 0 m 4 , thì d :y 8 , d song song trục Ox , d cắt trục Oy tại B 0;8 Cĩ khoảng cách từ O đến đường thẳng d là OB 8 Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng d . OAB vuơng tại O cĩ OH  AB , Cĩ OH.AB OA.OB 4
5. 2 2 1 1 1 m 4 1 m 4 1 2 2 2 2 2 2 OH OA OB m 4 m 4 m 4 2 m 4 OH 2 2 m 4 1 2 m 4 Giả sử OH 65 OH 2 65 65 m2 8m 16 65 m2 8m 17 2 m 4 1 2 2 64m2 528m 1089 0 8m 2.16.8m 332 0 8m 33 0 (sai) Vậy OH 65 . Câu 4. (3,5 điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB . Kẻ dây cung CD vuơng gĩc với AB tại H ( H nằm giữa A và O , H khác A và O ). Lấy điểm G thuộc CH ( G khác C và H ), tia AG cắt đường trịn tại E khác A . a).Chứng minh tứ giác BEGH là tứ giác nội tiếp. b).Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng BE và CD . Chứng minh: KC.KD KE.KB . c).Đoạn thẳng AK cắt đường trịn O tại F khác A . Chứng minh G là tâm đường trịn nội tiếp tam giác HEF . d).Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A và B lên đường thẳng EF . Chứng minh HE HF MN . 5
6. K N E C F T M G O B A H Q D Lời giải a).Chứng minh tứ giác BEGH là tứ giác nội tiếp. Cĩ B HG B EG 90 B HG B EG 180 . Tứ giác BEGH nội tiếp đường trịn đường kính BG . b).Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng BE và CD . Chứng minh: KC.KD KE.KB . KE KC Cĩ K EC K DB , E KC D KB (gĩc chung) KEC ∽ KDB KC.KD KE.KB KD KB c).Đoạn thẳng AK cắt đường trịn O tại F khác A . Chứng minh G là tâm đường trịn nội tiếp tam giác HEF . KAB cĩ ba đường cao AE , BF , KH đồng qui tại G . Suy ra G là trực tâm của KAB . 1 Cĩ G HE G BE sđG E (trong đường trịn BEGH ) 2 1 Cĩ G BE G AF sđE F (trong đường trịn O ) 2 1 Cĩ G AF G HF sđE G (tứ giác AFGH nội tiếp đường trịn đường kính AG ) 2 Suy ra G HE G HF HG là tia phân giác của E HF . Tương tự EG là tia phân giác của F EG . 6
7. EHF cĩ hai tia phân giác HG và EG cắt nhau tại G . Suy ra G là tâm đường trịn nội tiếp EHF . d).Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A và B lên đường thẳng EF . Chứng minh HE HF MN . Gọi Q là giao điểm của tia EH và đường trịn O . Cĩ E OB 2E FB sđE B , 2E FB E FO (do FG là tia phân giác của E FH ) E OB E FH Tứ giác EFHO nội tiếp đường trịn. 1 1 1 F OH F EH sđE Q F OQ F OH F OQ . 2 2 2 OH là tia phân giác của F OQ OFH, OQH cĩ OH chung, OF OQ , F OH Q OH OFH OQH HF HQ Do đĩ HE HF HE HQ EQ . Cĩ AMN M NT N TA 90 . Suy ra AMNT là hình chữ nhật, nên AT MN . Suy ra A Q F A E T AE // QT , mà AETQ nội tiếp đường trịn O . AETQ là hình thang cân EQ AT MN Vậy .HE HF MN Câu 5. Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn a b c ab bc ac 6 . Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3. b c a Lời giải a3 b3 c3 Đặt P . b c a Cĩ a , b , c là các số thực dương, theo bất đẳng thức AM-GM cĩ: 3 a 2 ab 2a b 3 3 3 3 b a b c 2 2 2 bc 2b2 . P 2 a b c ab bc ac , mà c b c a 3 c 2 ac 2c a a b c ab bc ac 6 . P 2 a2 b2 c2 a b c 6 . 7
8. 2 2 2 Cĩ a b b c a c 0 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 2 3 a2 b2 c2 a b c . 2 2 Suy ra P a b c a b c 6 . 3 2 Cĩ ab bc ca a2 b2 c2 3 ab bc ac a b c . 1 2 1 2 Do đĩ 6 a b c ab bc ac a b c a b c a b c a b c 6 0 . 3 3 2 a b c 3 , a b c 9 . 2 Suy ra P .9 3 6 3 . Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c . 3 a3 b3 c3 Vậy 3 . b c a 8