Đề thi vòng loại đồng hành gặp gỡ Toán học - Vật lý năm 2019

Nội dung text: Đề thi vòng loại đồng hành gặp gỡ Toán học - Vật lý năm 2019

1. VÒNG LOẠI ĐỒNG HÀNH GẶP GỠ TOÁN HỌC - VẬT LÝ 2019 Nhóm thi môn Toán Luật chơi. Đề thi gồm 10 câu hỏi. Người chơi sẽ trả lời câu hỏi vào Form Online theo hướng dẫn trên Fanpage và gửi câu trả lời trong 60 phút kể từ thời điểm mở đề. Mỗi câu trả lời đúng người chơi nhận 10 điểm, trả lời sai hoặc không trả lời người chơi không bị trừ điểm. Bài 1. Tìm số nguyên dương n sao cho 1 = 0.abcabcabc = 0.abc, n trong đó a,b,c là các chữ số khác nhau từ 0 đến 9. Bài 2. For a positive integer n, let dn be the units digit of 1+2+···+n. Find the remainder 2019 when ∑ dn is divided by 1000. n=1 Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b 2  c 2 4 2 (a − 1)2 + − 1 + − 1 + − 1 , a b c với a,b,c thoả mãn điều kiện 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 4. (Kết quả làm tròn tới một chữ số thập phân) Bài 4. How many non-negative integers can be written in the form 7 6 5 4 3 2 0 a7 · 3 + a6 · 3 + a5 · 3 + a4 · 3 + a3 · 3 + a2 · 3 + a1 · 3 , where ai ∈ {−1,0,1} for 0 ≤ i ≤ 7 ? Bài 5. Trên hệ trục tọa độ Oxy, một con robot bắt đầu tại gốc tọa độ và di chuyển trình tự 1 1 theo các hướng sau: sang phải 1 đơn vị, lên trên 2 đơn vị, sang phải 4 đơn vị, xuống dưới 1 1 1 8 đơn vị, sang phải 16 đơn vị, lên trên 32 đơn vị, v.v. Giả sử con robot này di chuyển liên tục vô hạn lần theo trình tự trên, khi đó nó sẽ tới điểm nào trên hệ trục tọa độ. (Viết đáp số dưới dạng (a,b)) ! n + 1 n 2k Bài 6. Tính lim · . n→∞ n+1 ∑ 2 k=1 k
2. Bài 7. Quadrilateral ABCD has right angles at B and C, 4ABC ∼ 4BCD, and AB > BC. There is a point E in the interior of ABCD such that 4ABC ∼ 4CEB and the area of AB 4AED is 17 times the area of 4CEB. What is ? (Kết quả làm tròn đến phần nguyên) BC Bài 8. Trong mặt phẳng cho đa giác đều 10 cạnh. Ta đặt n1 là số tam giác tạo thành từ các đỉnh của đa giác, n2 là số tam giác có đúng 2 cạnh của đa giác, n3 là số tam giác có đúng 1 cạnh của đa giác, n4 là số tam giác không chứa cạnh nào của đa giác. Hãy tính n1 + n2 + n3 + n4. Bài 9. Chia bàn cờ vuông 8 × 8 thành p hình chữ nhật không đè lên nhau theo hai điều kiện như sau: (1) Số ô trắng bằng số ô đen trong mỗi hình chữ nhật. (2) Không có 2 hình chữ nhật có cùng số ô vuông. Tìm số p lớn nhất để có thể thực hiện việc chia trên. Bài 10. The diagram shows a diagonal of a 4-by-3 rectangle passing through 6 unit squares. Find the number of unit squares passed through by a diagonal of a 2019-by-1346 rectangle. 2