Đề thi thử THPT Quốc gia lần 1 môn Toán - Mã đề 003 - Năm học 2018-2019 - Trường THPT Trần Nguyên Hãn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử THPT Quốc gia lần 1 môn Toán - Mã đề 003 - Năm học 2018-2019 - Trường THPT Trần Nguyên Hãn (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN I TRƯỜNG THPT TRẦN NGUYÊN HÃN MÔN TOÁN MÃ ĐỀ 003 NĂM HỌC: 2018 – 2019 Thời gian làm bài: 90 phút Mục tiêu: +) Đề thi thử THPTQG lần I môn Toán của trường THPT Trần Nguyên Hãn gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm nội dung chính của đề vẫn xoay quanh chương trình Toán 12, ngoài ra có một số ít các bài toán thuộc nội dung Toán lớp 11, lượng kiến thức được phân bố như sau: 90% lớp 12, 10% lớp 11, 0% kiến thức lớp 10. +) Đề thi được biên soạn dựa theo cấu trúc đề minh họa môn Toán 2019 mà Bộ Giáo dục và Đào tại đã công bố từ đầu tháng 12. Trong đó xuất hiện các câu hỏi khó như câu 49, 50 nhằm phân loại tối đa học sinh. Đề thi giúp HS biết được mức độ của mình để có kế hoạch ôn tập một cách hiệu quả nhất. Câu 1: Cho cấp số cộng un biết u1 3,u2 1. Tìm u3. A. u3 = 4B. = 2C. = u-53 D. = 7 u3 u3 Câu 2: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm số nào dưới đây? 1 2x 2x 1 2x 1 2x 1 A. yB. C. y D. y y x 1 x 1 x 1 x 1 3 2 Câu 3: Hàm số yđồng xbiến 3 trênx khoảng9x 20 nào sau đây? A. 3; B. (1;2)C. D. (-3;1) ;1 2 2x Câu 4: Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y . x 1 A.x 1 B. C. y =x 2D. 2 y = -2 Câu 5: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng a. Tính diện tích xung quanh S của khối trụ đó. 1
2. a2 A. SB. 2 a2 C. S D. S a2 S 4 a2 2 Câu 6: Một mặt cầu có đường kính bằng a có diện tích S bằng bao nhiêu? 4 a2 a2 A.S B. C.S D. S a2 S 4 a2 3 3 Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình log 3 2 3. 2 x 8 10 16 11 A. xB. C. D.x x x 3 3 3 3 Câu 8: Cho biểu thức P 2x.2y x;y ¡ . Khẳng định nào sau đây đúng? A. PB. 2x y C. P D. 4xy P 2xy P 2x y Câu 9: Cho hình lập phương ABCD.A' B'C' D' có cạnh bằng a. Tính thể tích V của khối chóp D'.ABCD. a3 a3 a3 A. VB. C. VD. V V a3 4 6 3 10 Câu 10: Trong khai triển nhị thức 2x 1 . Tìm hệ số của số hạng chứa x8. A. 45B. 11520C. -11520D. 256 Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy ABC. Tam giác ABC vuông cân tại B và SA a 2,SB a 5. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC). A. 4B.50 C. D. 30 0 1200 600 Câu 12: Phương trình sin2 x 3 sinxcosx 1 có bao nhiêu nghiệm thuộc 0;2 ? A. 5B. 3C. 2D. 4 Câu 13: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 4 x2 . Tính M – m. A. MB. m 2 2 C.M m 2 2 D. 2 M m 4 M m 2 2 2 Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2. Biết SA vuông góc với đáy và SC a 5. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 2a3 a3 a3 3 A. VB. C. V D. 2a3 V V 3 3 3 Câu 15: Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ. Tìm khoảng đồng biến của hàm số. 2
3. A.B. 3 ; và C. và;1 D. (-2;0) 0; ; 2 0; Câu 16: Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho hai người được chọn có ít nhất một nữ. 7 8 1 1 A. B. C. D. 15 15 5 15 Câu 17: Cho hai số thực a, b với a 0,a 1,b 0. Khẳng định nào sau đây sai? 1 1 2 A. lB.og 3 b log b log b log b a 2 a 2 a a 1 1 C. log a2 1 D. log b 2 log b 2 a 2 a a Câu 18: Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị? 2 A. yB. x3 6x2 9x 5 y x2 1 C. y 2x4 4x2 1 D. y x4 3x2 4 3 Câu 19: Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x x2 x 1 x 2 . Hàm số f x có mấy điểm cực trị? A. 3B. 2C. 0D. 1 3 3 Câu 20: Cho loga b 2;loga c 3. Tính giá trị của biểu thức P loga ab c . A. P = 251B. P = 21C. P = 22D. P = 252 Câu 21: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R? x 2 A. yB. x4 2x C.2 1 y Dsi.n x y y x3 2x x 1 Câu 22: Trong hộp có 7 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh kích thước giống nhau. Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp. Hỏi có bao nhiêu cách lấy được số quả cầu xanh nhiều hơn số quả cầu đỏ? A. 3360 B. 3480 C. 246 D. 245 3
4. 1 1 Câu 23: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x trên ;3 . Tính x 3 3M 2m. 16 A.3M 2m B. 3M 2 15m C. 3 14M D. 2 m 12 3M 2m 3 2x 1 Câu 24: Tìm nghiệm của phương trình 7 4 3 2 3 1 3 1 A. x B. x C. D. x 1 x 4 4 4 x2 5x 9 Câu 25: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình 7 343. Tính x1 x2. A. x1 x2 = 4 B. x1 x2 = 6 C. x1 x2 = 5 D. x1 x2 = 3 Câu 26: Thiết diện qua trục của hình nón tròn xoay là một tam giác đều cạnh 2a. Tính thể tích V của khối nón đó. a3 3 a3 3 3 a3 A. V a3B.3 C. V D. V V 3 24 8 Câu 27: Cho hàm số y ax4 bx2 c có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng? A.a 0,b 0,c 0 B. a C.0 , b D. 0 ,c 0 a 0,b 0,c 0 a 0,b 0,c 0 Câu 28: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng 2a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. a 3 a 2 a 2 A. RB. C. R D. R a 2 R 2 4 2 Câu 29: Cho lăng trụ tam giác đều, có độ dài tất cả các cạnh bằng 2. Tính thể tích V của khối lăng trụ đó. 2 3 9 3 27 3 A. VB. 2 3 C. V D. V V 3 2 4 4
5. Câu 30: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 3x2 1 biết nó song song với đường thẳng y 9x 6. A. yB. 9x 26;y 9x 6 y 9x 26 C. y 9x 26;y 9x 6 D. y 9x 26 Câu 31: Cho lăng trụ ABC.A' B'C' có đáy là tam giác vuông tại A, AB a, AC a 2. Biết góc giữa mặt phẳng A' BC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 và hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm H của AB. Tính thể tích V của khối lăng trụ đó. a3 a3 a3 6 a3 2 A. VB. C. V D. V V 6 2 2 2 Câu 32: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC 600,SA SB SC a 2. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. a3 5 a3 5 a3 2 a3 5 A. VB. C. V D. V V 6 2 3 3 2x 1 Câu 33: Có bao nhiêu số nguyên dương m sao cho đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số y tại x 1 hai điểm phân biệt A, B và AB 4? A. 1B. 6C. 2D. 7 Câu 34: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, biết AB = a; SA = SB = a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính SC biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng a. a 2 A. SB.C a 3 C. SC = SaCD. a 2 SC 2 4x 4 Câu 35: Đồ thị hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận? x2 2x 1 A. 1B. 2C. 3D. 0 Câu 36: Cho hàm số f x x3 2m 1 x2 2 m x 2. Tìm tất cá các giá trị thực của tham số m để hàm số y f x có 5 cực trị. 5 5 5 5 A. B.2 m C. m D. 2 m 2 m 2 4 4 4 4 Câu 37: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a 2. Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng, song song với trụ của a hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng ta được thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích V 2 của khối trụ đã cho. 5
6. 2 a3 7 A. VB. a3 3 C. V D. V 2 a3 7 V a3 3 Câu 38: Cho tập hợp X gồm các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau có dạng abcdef Từ. tập X lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số lấy ra là số lẻ và thõa mãn a b c d e f . 29 1 31 33 A. B. C. D. 68040 2430 68040 68040 Câu 39: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO a 2. Tính khoảng cách d giữa SC và AB. a 3 a 5 a 2 2a 2 A. dB. C. d D. d d 5 5 3 3 5 x 2 Câu 40: Tìm tất cả các giá trị khác nhau của tham số m để hàm số y đồng biến trên ;0 . 5 x m A. m < -2B. C. m 2 D. -2 < m < 1 2 m 1 Câu 41: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m 3 9x 2m 1 3x m 1 0 có hai nghiệm trái dấu. 3 3 A. -3 < m < -1B. 3 m C. D.1 m m 3 4 4 1 Câu 42: Tìm tất cá các giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 2mx2 4x 5 đồng biến trên ¡ . 3 A. 0 < m < 1B. 1C. m 1 D. –1 < 0m <m 1 1 Câu 43: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3 3x2 2 m 0 có ba nghiệm phân biệt. A. 0 < m < 1B. 1 < m < 2C. -2 < m < 0D. -2 < m < 2 121 Câu 44: Đặt a log 11,b log 7. Hãy biểu diễn log3 theo a và b. 7 2 7 8 121 9 121 9 A. l og3 6a B. log3 6a 7 8 b 7 8 b 121 121 2 9 C. l og3 6a 9b D, log3 a 7 8 7 8 3 b 2 Câu 45: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log2 x log2 x m 0 có nghiệm x (0;1). 1 1 A. m 0 B. m C. D. m 1 m 4 4 Câu 46: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: 6
7. x -1 1 2 5 + f ' x + 0 - 0 + 0 + 0 - Hàm số y 3 f x 3 x3 12x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (-1;0) B. (0;2) C. ; 1 D. 2; Câu 47: Giả sử hàm số y f x có đạo hàm là hàm số y f ' x có đồ thị được cho như hình vẽ dưới đây và f 0 f 1 2 f 2 f 4 f 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y f x trên [0;4]. A.m f 4 B. m f 0 C. D. m f 2 m f 1 Câu 48: Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ song như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ song lần lượt là 118m và 487m. Một người đi từ A đến bờ song lấy nước mang về B. Tính đoạn đường ngắn nhất mà người ấy có thể đi. A. 779,8 mB. 671,4 mC. 741,2 mD. 596,5m x y Câu 49: Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log ( 3) ( 3) . Tìm giá trị 5 x x y y xy x2 y2 xy 2 3x 2y 1 lớn nhất của biểu thức P . x y 6 7
8. A. mB.a x P 1 4C. ma 2xD.P 3 max P max P Câu 50: Cho lăng trụ ABC.A' B'C' có thể tích bằng 2. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh 1 AA',BB' sao cho M là trung điểm của AA' và BN NB'. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C' Atại' P, 2 đường thẳng CN cắt đường thẳng C' B' tại Q. Tính thể tích V của khối đa diện A' MPB'NQ. 13 23 5 7 A. VB. C. D.V V V 18 9 9 18 8
9. MA TRẬN Cấp độ câu hỏi Chuyên Vận STT Đơn vị kiến thức Nhận Thông Vận Tổng đề dụng biết hiểu dụng cao C27 1 Đồ thị, BBT C2 C46 4 C30 C18 2 Cực trị C36 3 C19 C3 3 Đơn điệu C15 C40 C42 5 Hàm số C21 4 Tương giao C33 C43 2 C13 5 Min - max C47 3 C23 6 Tiệm cận C4 C35 2 7 Bài toán thực tế C48 1 8 Hàm số mũ - logarit C17 C49 2 Biểu thức mũ - 9 C8 C20 C44 3 logarit Mũ - C7 logarit Phương trình, bất 10 phương trình mũ - C24 C41 C45 5 logarit C25 11 Bài toán thực tế 12 Nguyên hàm 13 Nguyên Tích phân hàm – 14 Tích phân Ứng dụng tích phân 15 Bài toán thực tế 16 Dạng hình học 17 Số phức Dạng đại số 18 PT phức 19 Hình Oxyz Đường thẳng 9
10. 20 Mặt phẳng 21 Mặt cầu C6 1 Bài toán tọa điểm, 22 vecto Bài toán về min, 23 max C9 Thể tích, tỉ số thể C31 24 C14 C50 6 tích C32 HHKG C29 25 Khoảng cách, góc C11 C39 2 26 Khối nón C26 1 27 Khối tròn Khối trụ C5 C37 2 xoay Mặt cầu ngoại tiếp 28 C28 C34 2 khối đa diện 29 Tổ hợp – chỉnh hợp C10 1 Tổ hợp – C16 30 xác suất Xác suất C38 3 C22 CSC - Xác định thành phần 31 C1 1 CSN CSC - CSN 32 PT - BPT Bài toán tham số C12 1 NHẬN XÉT ĐỀ Mức độ đề thi: KHÁ Đề thi gồm 50 câu trắc nghiệm khách quan. Kiến thức tập trung trong chương trình lớp 12, câu hỏi lớp 11 chiếm 12%. Không có câu hỏi thuộc kiến thức lớp 10. Cấu trúc tương tự đề thi minh họa năm 2018-2019. 18 câu hỏi VD-VDC phân loại học sinh. 5 câu VDC. Chủ yếu các câu hỏi ở mức thông hiểu và vận dụng. Đề thi phân loại học sinh ở mức khá 10
11. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-C 2-B 3-D 4-D 5-C 6-C 7-B 8-D 9-C 10-B 11-B 12-D 13-B 14-A 15-C 16-B 17-D 18-C 19-B 20-C 21-D 22-C 23-C 24-A 25-C 26-B 27-C 28-C 29-A 30-B 31-B 32-A 33-A 34-B 35-B 36-D 37-C 38-C 39-D 40-C 41-C 42-B 43-D 44-B 45-B 46-D 47-A 48-A 49-A 50-B Câu 1: Chọn C. Phương pháp 11
12. Công thức tổng quát của CSC có số hạng đầu là u1 và công sai d là: un u1 n 1 d. Tìm công sai d rồi suy ra u3. Cách giải: d u2 u1 1 3 4 u3 u2 d 1 ( 4) 5 Câu 2: Chọn B. Phương pháp ax b a Sử dụng: đồ thị hàm số y nhận đường thẳng y làm đường tiệm cận ngang và dường thẳng cx d c d y làm đường tiệm cận đứng. c Tìm một số điểm mà đồ thị hàm số đi qua rồi thay tọa độ vào mỗi hàm số để loại trừ đáp án. Cách giải: Từ hình vẽ ta thấy đồ thị nhận đường thẳng y = 2 là đường tiệm cận ngang và đường thẳng x 1 làm tiệm cận đứng. Và đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (0;-1). 1 2x + Đáp án A: Đồ thị y nhận y = -2 làm TCN và x = -1 làm TCĐ nên loại A. x 2 2x 1 + Đáp án B: Đồ thị y nhận y = 2 làm TCN và x = -1 làm TCĐ và điểm có tọa độ (0;-1) thuộc đồ thị x 1 nên chọn B. 2x 1 + Đáp án C: Đồ thị y nhận y = 2 làm TCN và x = 1 làm TCĐ nên loại C. x 1 2x 1 + Đáp án D: Đồ thị y nhận y = 2 làm TCN và x = -1 làm TCĐ nhưng điểm có tọa độ (0;-1) không x 1 thuộc đồ thị nên loại D. Câu 3: Chọn D. Phương pháp - Tính y' và xét dấu y' . - Hàm số đồng biến trên khoảng a;b y' 0x a;b và bằng 0 tại hữu hạn điểm. Cách giải: 2 x 1 Ta có: y' 3x 6x 9 0 . x 3 y' 0 3 x 1 nên hàm số đồng biến trên khoảng (-3;1). Câu 4: Chọn D. Phương pháp 12
13. ax b a Sử dụng : đồ thị hàm số y nhận đường thẳng y làm đường tiệm cận ngang và đường thẳng cx d c d x làm đường tiệm cận đứng. c Cách giải: 2 2x Ta có : lim 2 y 2 là TCN của đồ thị hàm số. x x 1 Câu 5: Chọn C. Phương pháp Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ Sxq 2 Rh. Cách giải: a Do thiết diện là hình vuông cạnh a nên bán kính đáy bằng và chiều cao h = a. 2 a Diện tích xunh quanh: S 2 . .a a2. 2 Câu 6: Chọn C. Phương pháp Sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu bán kính r là S 4 r2 Chú ý rằng : Đường kính mặt cầu gấp đôi đường kính. Cách giải: a Vì đường kính mặt cầu bằng a nên bán kính mặt cầu là r . 2 2 a 2 Diện tích mặt cầu là S 4 a . 2 Câu 7: Chọn B. Phương pháp m Giải phương trình logarit cơ bản loga f x m f x a . Cách giải: 2 Điều kiện: 3x 2 0 x . 3 10 Ta có: log (3x 2) 3 3x 2 23 3x 10 x (tm). 2 3 Câu 8: Chọn D. Phương pháp 13
14. Sử dụng công thức am.an am n. Cách giải: Ta có P 2 x.2y 4x y. Câu 9: Chọn C. Phương pháp 1 Tính diện tích đáy và suy ra thể tích khối chóp theo công thức V Sh. 3 Cách giải: 2 Diện tích đáy ABCD là SABCD a , chiều cao D' D a. 1 1 a3 Do đó V S .D' D a2.a . D'.ABCD 3 ABCD 3 3 Câu 10: Chọn B. Phương pháp n n k n k k Sử dụng khai triển a b  Cn a .b 0 k n;k;n ¥ k 0 Từ đó suy ra hệ số của số hạng chứa x8. Cách giải: 10 10 10 k 10 k k k 10 k 10 k k Ta có 2x 1  C10 2x .( 1)  C10.x .2 . 1 k 0 k 0 Số hạng chứa x8 trong khai triển ứng với 10 k 8 k 2 8 2 10 2 2 Nên hệ số của số hạng chứa x là C10.2 . 1 11520. Câu 11: Chọn B. Phương pháp Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (nhỏ hơn 900 ) là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. Cách giải: 14
15. Vì SA  (ABC) nên góc  SC,(ABC)  SC, AC SCA (vì SCA A 900) Tam giác SAB vuông tại A có SA a 2,SB a 5 AB SB2 SA2 a 3 BC a 3. Do đó AC AB2 BC2 3a2 3a2 a 6. Tam giác SAC vuông tại A có SA a 2 1 tan SCA SCA 300. AC a 6 3 Câu 12: Chọn D. Phương pháp 1 cos2x Ta sử dụng các công thức: sin2 x ;sin 2x 2sin x cos x;cos a b cosacosb sinasinb. 2 Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc nhất giữa sin và cos Acos X Bsin X C A2 B2 C , chia cả hai vế cho A2 B2 để ta đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản. Cách giải: 1 cos2x 3 Ta có: sin2 x 3 sinxcosx 1 sin 2x 1 2 2 3 1 1 1 3 1 sin 2x cos2x cos2x sin 2x 2 2 2 2 2 2 1 cos .cos2x sin sin 2x 3 3 2 15
16. 2x k2 x k 3 3 cos 2x cos k,m ¢ 3 3 x m 2x m2 3 3 3 Vì x 0;2  nên ta có k 0 x 0 + 0 k 2 0 k 2 k 1 x k 2 x 2 1 7 2 + 0 m2 2 m m 1 x . 3 6 6 3 Vậy có bốn nghiệm thuộc 0;2 . Câu 13: Chọn B. Phương pháp - Tính y' , tìm các nghiệm của y' = 0 . - Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và các điểm vừa tìm được ở bước trên và so sánh kết quả. Cách giải: TXĐ: D = [-2;2]. x x 0 y' 1 0 4 x2 x x 2. 2 2 4 x2 4 x x Ta có: y( 2) 2, y(2) 2, y 2 2 2. Vậy M 2 2,m 2 M m 2 2 2. Câu 14: Chọn A. Phương pháp Tính chiều cao SA theo định lý Pytago 1 Tính thể tích khối chóp theo công thức V h.S với h là chiều cao hình chóp và S là diện tích đáy. 3 Cách giải: 16
17. Vì SA  (ABCD) SA  AC Vì ABCD là hình vuông cạnh a 2 nên AC AB2 BC2 2a2 2a2 2a. Tam giác SAC vuông tại A có 2 2 SA SC2 AC2 a 5 2a a 1 1 2 2a3 Thể tích V SA.S a. a 2 . S.ABCD 3 ABCD 3 3 Câu 15: Chọn C. Phương pháp Quan sát đồ thị hàm số và tìm khoảng mà đồ thị hàm số đí lên từ trái qua phải. Cách giải: Quan sát đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có hướng đi lên từ trái qua phải trên các khoảng ; 2 và 0; . Hay hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 và 0; . Câu 16: Chọn B. Phương pháp n A Tính xác suất theo định nghĩa P(A) với n(A) là số phần tử của biến cố A, n  là số phấn tử n  của không gian mẫu. Cách giải: 2 Số phần tử của không gian mẫu n  C20 17
18. Gọi A là biến cố “Hai người được chọn có it nhất một nữ” thì A là biến cố hai người được chọn không có nữ nào, tức là ta chọn 2 người trong số 7 nam. 2 2 2 Khi đó n A C7 n A C10 C7 C2 C2 8 Xác suất để hai người được chọn có it nhất một nữ là P 10 7 . 2 15 C10 Câu 17: Chọn D. Phương pháp Xét tính đúng sai của từng đáp án, chú ý các tính chất của logarit. Cách giải: Dễ thấy các đáp án A, B, C đều đúng theo tính chất logarit. Đáp án D sai vì chưa biết b > 0 hay b 0. Cách giải: + Đáp án A: y' 3x2 6x 9 0 vô nghiệm nên hàm số không có cực trị. Loại A. + Đáp án B: y' 4x x2 1 0 x 0 nên hàm số có 1 cực trị. Loại B. + Đáp án C: Đây là hàm trùng phương có ab 8 0 nên hàm số có 3 cực trị. Chọn C. + Đáp án D: Đây là hàm trùng phương có ab 3 0 nên hàm số có 1 cực trị. Loại D. Câu 19: Chọn B. Phương pháp Hàm đa thức đạt cực trị tại các điểm là nghiệm bội lẻ của đạo hàm. Cách giải: 3 Do f ' x x2 x 1 x 2 có các nghiệm x 0 (bội 2) nên loại. Ngoài ra f '(x) 0 có hai nghiệm bội lẻ, đó là x1 1;x2 2. Vậy hàm số có có 2 điểm cực trị. Câu 20: Chọn C. Phương pháp 18
19. Sử dụng các công thức loga(bc) loga b loga c;loga b loga b 0,a 1;a,b,c 0 Cách giải: 3 3 3 3 Ta có P loga ab c loga a loga b loga c 1 3loga b 5loga c 1 3.2 5.3 22. Câu 21: Chọn D. Phương pháp Nhận xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng tính chất các hàm số cơ bản đã biết. Cách giải: Đáp án A sai vì hàm bậc bốn trùng phương không nghịch biến trên R (nó luôn có cực trị). 3 Đáp án B sai vì hàm y sinx nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 . 2 2 x 2 Đáp án C sai và hàm số y nghịch biến trên mỗi khoảng ;1 và 1; . x 1 Đáp án D đúng vì hàm số y x3 2x có y' 3x2 2 0,x ¡ nên hàm số nghịch biến trên ¡ . Câu 22: Chọn C. Phương pháp: Sử dụng kiến thức về tổ hợp và hai qui tắc đếm cơ bản. Chia các trường hợp có thể xảy ra để tìm kết quả. Cách giải: Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu mà số quả cầu xanh lớn hơn số quả cầu đỏ ta có các trường hợp sau : 5 TH1: 5 quả cầu xanh, 0 quả cầu đỏ thì số cách chọn là C5 (cách) 4 1 TH2 : 4 quả cầu xanh, 1 quả cầu đỏ thì số cách chọn là C5 .C7 (cách) 3 2 TH3 : 3 quả cầu xanh, 2 quả cầu đỏ thì số cách chọn là C 5.C7 (cách) 5 4 1 3 2 Vậy số cách chọn thỏa mãn đề bài là C5 C5 C7 C5C7 246 (cách) Câu 23: Chọn C. Phương pháp 1 - Tính y' và tìm nghiệm thuộc đoạn ;3 của y’. 3 1 - Tính giá trị của hàm số tại các điểm x ;x 3 và các điểm vừa tìm được ở trên. 3 - So sánh các giá trị này và tìm GTLN, GTNN. Cách giải: 19
20. 1 2 x 1 ;3 1 x 1 3 Ta có: y' 1 0 x2 x2 1 x 1 ;3 3 1 10 10 Lại có y ;y(1) 2, y(3) . 3 3 3 10 10 Vậy M ,m 2 suy ra 3M 2m 3. 2.2 14. 3 3 Câu 24: Chọn A. Phương pháp f x g x Giải phương trình bằng cách đưa về cùng cơ số a a f x g x a 0 f x Hoặc dùng phương pháp logarit hóa : a b f x loga b 0 a 1;b 0 Cách giải: 2 1 Ta có: 7 4 3 2 3 ;2 3 . 2 3 2x 1 7 4 3 2 3 2 1 log 2 3 x 7 4 3 1 1 1 1 2x 1 log 2 2x 1 2x x . 2 3 2 3 2 2 4 Câu 25: Chọn C. Phương pháp f x m Giải phương trình mũ cơ bản a a f x m. Cách giải: x2 5x 9 x2 5x 9 3 2 2 x 2 Ta có: 7 343 7 7 x 5x 9 3 x 5x 6 0 x 3 Do đó tổng hai nghiệm x1 x2 2 3 5. Câu 26: Chọn B. Phương pháp 1 Sử dụng công thức tính thể tích khối nón V r2h với r là bán kính đáy, h là chiều cao hình nón 3 Cách giải: Cắt hình nón bằng mặt phẳng qua trục ta dược thiết diện là tam giác 20
21. a 3 đều SAB có cạnh AB 2r 2a R a và trung tuyến SO . 2 1 1 a3 3 Thể tích khối nón là V r2h a2.a 3 . 3 3 3 Câu 27: Chọn C. Phương pháp: Quan sát, nhận xét dáng của đồ thị hàm số và suy ra điều kiện của a, b, c. Cách giải: Quan sát dáng đồ thị hàm số ta thấy a < 0, loại B và D. Đồ thị cắt trục Oy tại (0;-3) nên c = -3 < 0. Hàm số có ba điểm cực trị nên phương trình y' 4ax3 2bx 2x 2ax2 b 0 có ba nghiệm phân biệt. b b 0 0 b 0 (do a < 0). 2a 2a Vậy a 0,b 0,c 0. Chú ý khi giải: Các em cũng có thể tìm trực tiếp a, b, c dựa vào đồ thị hàm số sẽ ra kết quả a 1,b 4,c 3 và kết luận. Câu 28: Chọn C. Phương pháp: Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều là giao của đường trung trực 1 cạnh bên và chiều cao của hình chóp. Từ đó sử dụng tam giác đồng dạng để tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều. Cách giải: Gọi O là tâm hình vuông ABCD và E là trung điểm SB. Vì S. ABCD là hình chóp đều nên SO  (ABCD) 21
22. Tưởng (SBO) kẻ đường trung trực của SB cắt SO tại I , khi đó IA = IB = IC = ID = IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu là R = IS. Ta có ABCD là hình vuông cạnh BD 2a BD BC 2 CD2 2a 2 BO a 2. 2 2a Ta có SA SB SC SD 2a (vì S.ABCD là hình chóp đều) nên SE EB a 2 Xét tam giác SBO vuông tại O (vì SO  (ABCD) SO  OB) có SO SB 2 OB2 4a2 2a2 a 2. SI SE SB.SE 2a.a Ta có SEI đồng dạng với tam giác SOB(g g) IS 2a. SB SO SO a 2 Vậy bán kính R a 2. Chú ý : Các em có thể sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều có cạnh bên là a và a2 chiều cao h là R . 2h Câu 29: Chọn A. Phương pháp: Thể tích lăng trụ V = Bh với B là diện tích đáy, h là chiều cao. Cách giải: 22 3 Diện tích đáy tam giác đều cạnh 2 là S 3. 4 Thể tích lăng trụ: V S.h 3.2 2 3. Câu 30: Chọn B. Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại M x0;y0 có dạng y f ' x0 x x0 f x0 Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là k f ' x0 . Chú ý rằng hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau, từ đó ta tìm được x0 y0, từ đó viết phương trình tiếp tuyến. Cách giải: Ta có y' 3x2 6x 3 2 Gọi M x0;y0 la tiếp điểm của tiếp tuyến (d) và đồ thị hàm số y x 3x 1. 2 Khi đó hệ số góc của (d) là k f ' x0 3x0 6x0 22
23. 2 2 x0 1 y0 3 Mà (d) song song với y 9x 6 f ' x0 9 3x0 6x0 9 3x0 6x0 9 0 x0 3 y0 1 + Với M( 1; 3) (d) : y f ' x0 x x0 y0 9(x 1) 3 9x 6 (loại vì trùng với đường thẳng y 9x 6) + Với M(3;1) (d) : y f'(x0) x x0 y0 9(x 3) 1 9x 26 (thỉa mãn) Chú ý: Một số em không loại đường thẳng y 9x 6 dẫn đến chọn sai đáp án. Câu 31: Chọn B. Phương pháp: - Xác định góc 600 (góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến). - Tính diện tích đáy và chiều cao rồi suy ra thể tích theo công thức V = Sh. Cách giải: Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H, A lên BC. HD  BC Ta thấy: A' HD  BC A' D  BC. A' H  BC Khi đó A' BC và (ABC) chính là góc giữa hai đường thẳng A' D và HD hay A' DH 600. Xét tam giác vuông ABC có AB  AC BC AB2 AC2 a2 2a2 a 3. AB.AC a.a 2 a 6 1 1 a 6 a 6 Nên AE suy ra HD AE . BC a 3 3 2 2 3 6 a 6 a 2 Từ đó A' H HD.tan600 . 3 . 6 2 23
24. 1 1 a 2 a3 Vậy V S .A' H AB.AC.A' H a.a 2. . ABC.A' B'C' ABC 2 2 2 2 Câu 32: Chọn A. Phương pháp: + Xác định chiều cao của hình chóp bằng cách sử dụng: Nếu SA = SB = SC thì S thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay chân đường cao hạ từ S xuống (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . ABC + Tính chiều cao SH dựa vào định lý Pyatgo 1 + Tính thể tích theo công thức V h.S với h là chiều cao hình chóp, S là diện tích đáy. 3 Cách giải: Vì ABCD là hình thoi nên AB = BC mà ABC 600 nên ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, O là giao điểm hai đường chéo hình thoi. Vì SA = SB = SC nên S thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay chân đường cao hạ từ S xuống (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp H của tam giác ABC. Hay SH  (ABC) SH  (ABCD) + Vì ABC đều cạnh a tâm H nên a 3 2 2 a 3 a 3 AC a;BO ;BH BO 2 3 3 2 3 + Vì SH  (ABCD) SH  BD 2 2 a 3 a 5 + Xét tam giác BHD vuông tại H có 2 2 2 SH SB BH a 3 3 1 1 1 a 3 a2 3 + Diện tích hình thoi ABCD là AC.BD AC.2BO a.2. . 2 2 2 2 2 24
25. 1 1 a 5 a2 3 a3 5 Thể tích VS.ABCD SH.SABCD . . . 2 3 3 2 6 Câu 33: Chọn A. Phương pháp: - Xét phương trình hoành độ giao điểm. - Đưa điều kiện bài toán về điều kiện tương đương đối với phươn trình hoành độ vừa xét. Cách giải: TXĐ: D ¡ \ { 1}. Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2x 1 x m 2x 1 x 1 x m x2 (m 1)x m 1 0 (1). x 1 Đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1 2 2 m 3 2 3 (m 1) 4(m 1) m 6m 3 0 m 3 2 3 2 m 3 2 3 ( 1) (m 1).( 1) m 1 0 m 3 2 3 3 0 Gọi tọa độ giao điểm A x1;x1 m , B x2;x2 m với x1, x2 là nghiệm của (1). 2 2 2 2 Khi đó AB 2 x2 x1 AB 4 AB 16 2 x2 x1 16 2 2 x2 x1 8 x2 x1 4x1x2 8 (1 m)2 4(m 1) 8 m2 6m 3 8 0 m2 6m 11 0 3 2 5 m 3 2 5 m 3 2 3 3 2 3 m 3 2 5 Kết hợp với ta được m 3 2 3 3 2 5 m 3 2 3 Mà m nguyên dương nên m = 7. Vậy chỉ có duy nhất 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 34: Chọn B. Phương pháp: + Gọi H là trung điểm BC. Ta chứng minh AH  (ABC) và AH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC + Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S. ABC là giao của AH và đường trung trực cạnh AB. + Chỉ ra tam giác SBC vuông tại S từ đó tính SC theo định lý Pytago. 25
26. Cách giải: Lấy H là trung điểm BC suy ra AH  BC (do tam giác ABC cân tại A) SBC  (ABC) Lại có nên AH  (SBC) tại H. (SBC) (ABC) BC Từ đề bài ta có AS = AB = AC nên A thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC , lại có AH  (S BC) 1 tại H nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC HB HS HC hay HS BC nên tam giác 2 SBC vuông tại S. Gọi M là trung điểm của AB, kẻ đường trung trực của AB cắt AH tại O. Khi đó ta có OA = OB = OC = OS hay O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC OA R a. a OA MA a a + Ta có OMA đồng dạng với BHA g g 2 HA . AB HA a HA 2 a2 a 3 + Xét tam giác vuông AHC có HC AC2 AH2 a2 BC 2HC a 3. 4 2 + Xét tam giác SBC vuông tại S(cmt) có SC BC2 SB2 3a2 a2 a 2. Câu 35: Chọn B. Phương pháp: Thu gọn hàm số và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Cách giải: 4x 4 4 x 1 4 Ta có: y 2 2 x 2x 1 x 1 x 1 TXĐ: D ¡ \ 1. Do đó đồ thị hàm số có đường TCĐ: x 1 và TCN: y = 0. 26
27. Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận. Câu 36: Chọn D. Phương pháp: Sử dụng tính chất đồ thị hàm đa thức bậc ba luôn cắt trục tung và đồ hàm số y f x luôn nhận trục tung làm trục đối xứng để suy ra x 0 luôn là một cực trị của hàm y f x . Lập luận để suy ra hàm f x có hai điểm cực trị dương phân biệt thì hàm số y f x có 5 điểm cực trị phân biệt. Cách giải: Nhận thấy rằng nếu x0 là điểm cực trị của hàm số y f x cũng là điểm cực trị của hàm số y f x (1) Lại thấy vì đồ thị hàm số y f x nhận trục Oy làm trục đối xứng mà f x là hàm đa thứ bậc ba nên x 0 luôn là một điểm cực trị của hàm số y f x (2) Từ (1) và (2) suy ra để hàm số y f x có 5 điểm cực trị thì hàm số f x x3 (2m 1)x2 (2 m)x 2 có hai điểm cực trị dương phân biệt. Hay phương trình f '(x) 3x2 2(2m 1)x 2 m 0 có hai nghiệm phân biệt dương. m 1 5 2 2 m (2m 1) 3(2 m) 0 4m m 5 0 4 ' 0 2m 1 1 1 5 S 0 0 m m m 2. 3 2 2 4 P 0 2 m 0 m 2 m 2 Chú ý : x x Các em có thể sử dụng đạo hàm hàm hợp f(u) ' u'.f' u và x ' để sauy ra f x ' .' x từ x x đó hàm số y f x có 5 cực trị khi phương trình f ' x 0 có 4 nghiệm phân biệt. Do đó phương trinh f ' x 0 có hai nghiệm dương phân biệt. Câu 37: Chọn C. Phương pháp: Tính chiều cao hình trụ và tính thể tích theo công thức V R2h. 27
28. Cách giải: a Gọi O, O' lần lượt là tâm các đáy, khi đó thiết diện là hình vuông DGEF và d OO',(DGEF) OH . 2 Tam giác OEH vuông tại H nên a 2 a 7 HE OE2 OH2 2a2 4 2 OO' GD GE 2HE a 7 3 Vậy thể tích V R2h . a 2 2.a 7 2 a 7 Câu 38: Chọn C. Phương pháp: n(A) Tính xác suất theo định nghĩa P(A) với n(A) là số phần tử của biến cố A,n  la số phân tử của n  không gian mẫu. + Chú ý rằng: Nếu số được lấy ra có chữ số đứng trước nhỏ hơn chữ số đứng sau thì không thể có số 0 trong số đó. Cách giải: + Số có 6 chữ số khác nhau là abcdef với a,b,c,d,e, f 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 Nên a có 9 cách chọn, b có 9 cách chọn, c có 8 cách chọn, d có 7 cách chọn, e có 6 cách chọn và f có 5 cách chọn.Suy ra số phần tử của không gian mẫu n  9.9.8.7.6.5 136080 + Gọi A là biến cố abcdef là số lẻ và a b c d e f . Suy ra không thể có chữ số 0 trong số abcdef và f 7;9. + Nếu f 7 a,b,c,d,e 1;2;3;4;5;6 mà với mỗi bộ 5 số được lấy ra ta chỉ ó duy nhất 1 cách sắp xếp 5 theo thứ tự tăng dần nên có thể lập được C6 6 số thỏa mãn. + Nếu f 9 a,b,c,d,e 1;2;3;4;5;6;7;8 mà với mỗi bộ 5 số được lấy ra ta chỉ ó duy nhất 1 cách sắp 5 xếp theo thứ tự tăng dần nên có thể lập được C8 56 số thỏa mãn. n(A) 62 31 Suy ra n A 6 56 62 nên xác suất cần tìm là P(A) n  136080 68040 Câu 39: Chọn D. Phương pháp: Sử dụng lý thuyết d a,b d a,(P) d M,(P) với a, b là các đường thẳng chéo nhau, (P) là mặt phẳng chứa chứa b và song song với a, M là một điểm bất kì thuộc a. 28
29. Cách giải: Gọi M, E là trung điểm của AB, CD và F, G là hinh chiếu của O, M lên SE. AB / /CD  (SCD) Ta thấy: d AB,SC d AB,(SCD) SC  (SCD) d M,(SCD) 2d O,(SCD) Dễ thấy CD  (SME) CD  OF. Mà OF  SE OF  (SCD) d O,(SCD) OF. Xét tam giác SOE vuông tại O có a a 2. SO.OE SO.OE a 2 OF 2 SE SO2 OE2 a2 3 2a2 4 2a 2 Vậy d M,(SCD) 2d O,(SCD) 2OF . 3 Chú ý khi giải: a 2 Nhiều em khi tính được d O,(SCD) mà quên không nhân 2 rồi chọn ngay C là sai. 3 Câu 40: Chọn C. Phương pháp: y' 0 ad bc 0 x at b Biến đổi và đặt 5 t(t 0) rồi sử dụng hàm số y đồng biến trên K d d ct d  K  K c c Cách giải: ĐK: 5 x m. 29
30. 1 2 5 x 2 x 2.5x 1 Ta có: y 5 x 1 x 5 m m m5 1 5 x x 2t 1 1 Đặt 5 t(t 0) y t . Với x ;0 t (0;1) mt 1 m 5 x 2 2t 1 Để hàm số y đồng biến trên ;0 thì hàm số y đồng biến trên (0;1). 5 x m mt 1 2 m 0 2 m y' 0 1 m 2 2 2 m 0 ( mt 1) 0 m m 0 2 m 1. 1 0 m 1 (0;1) 1 0 m 1 m 1 m Câu 41: Chọn C. Phương pháp: - Đặt t 3x 0 đưa về phương trình ẩn t, Đưa điều kiện bài cho về điều kiện tương đương đối với phương trình ẩn t. - Từ đó tìm m và kết luận. Cách giải: Đặt t 3x 0 ta được: m 3 t2 (2m 1)t m 1 0 (1). Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu (giả sử x1 0 x2 ) (1) có hai nghiệm dương phân biệt thỏa x1 x2 Mãn 0 t 1 3 1 3 t2, nghĩa là 0 t1 1 t2 2m 1 t t 1 2 m 3 Áp dụng định lý Vi-ét ta có: . m 1 t t 1 2 m 3 30
31. m 3 m 3 0 11 m 3 m 2 20 (2m 1) 4(m 3)(m 1) 0 20m 11 0 m 1 2m 1 t1 1 t2 1 0 t1t 2 t1 t2 1 0 1 0 m 3 m 3 t1t2 0 t1t2 0 m 1 0 t1 t2 0 t1 t2 0 3 m 2m 1 0 m 3 m 3 m 3 11 11 m m 20 20 4m 3 3 3 0 3 m 1 m . m 3 4 4 m 1 m 3 0 3 m m 1 2m 1 0 1 3 m m 3 2 Câu 42: Chọn B. Phương pháp: 3 2 2 a 0 Hàm số y ax bx cx d a 0 đồng biến trên ¡ y' 3ax 2bx c 0;x ¡ 0 Cách giải: Ta có: y' x2 4mx 4 a 1 0 Để hàm số đồng biến trên y' 0;x 1 m 1 ¡ ¡ 2 ' ( 2m) 4 0 Câu 43: Chọn D. Phương pháp: - Chuyển vế đưa về dạng m f x , sử dụng phương pháp hàm số xét y f x . - Phương trình có ba nghiệm phân biệt đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y f x tại ba điểm phân biệt. Cách giải: 31
32. Ta có: x3 3x2 2 m 0 m x3 3x 2 2. 3 2 2 x 0 Xét hàm f x x 3x 2 có f ' x 3x 6x 0 . x 2 Phương trình có ba nghiệm phân biệt đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y f x tại ba điểm phân biệt. Bảng biến thiên: x 0 2 + f ' x0 0 0 f x 2 + - -2 Quan sát bảng biến thiên ta thấy, với -2 < m < 2 thì đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y f x tại ba điểm phân biệt hay phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt. Vậy -2 < m < 2 là các giá trị cần tìm. Câu 44: Chọn B. Phương pháp: Sử dụng các công thức: b log log b log c log b log b; a c a a a a 1 1 log b log b log b 0 a,b 1 a a a  log b a Cách giải: Ta có: 121 2 3 log3 log3 121 log3 8 log 1 11 log 1 2 7 8 7 7 73 73 1 9 6 log7 11 9log7 2 6 log7 11 9. 6a . log2 7 b Câu 45: Chọn B. Phương pháp: - Đặt t log2 x, tìm điều kiện của t từ điều kiện của x. - Đưa điều kiện bài toán về điều kiện của phương trình ẩn t và tìm m. Cách giải: 32
33. Đặt t log2 x, , vì 0 x 1 nên t < 0 hay t ;0 . Phương trình trở thành t2 t m 0 m t2 t. Xét hàm f t t2 t trên ;0 . 1 Đồ thị hàm số y f t là parabol có hoành độ đỉnh t ;0 . 2 Bảng biến thiên: t 1 0 2 f t 0 1 4 1 Quan sát bảng biến thiên ta thấy, khi m thì đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số đã cho tại ít nhất 1 4 điểm thuộc ;0 . Do đó phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1). 1 Vậy m là giá trị cần tìm. 4 Câu 46: Chọn B. Phương pháp: Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp f u ' u'. f ' u Đặt x 3 t, ta tính y' theo t. Nhận xét rằng khi ytrên' 0K thì hàm số y nghịch biến trên K Dựa vào bảng xét dấu của f ' x suy ra dấu của f '(t) và điều kiện của t. Thay trở lại cách đặt ta tìm được x. Cách giải: Ta có: y' 3. f ' x 3 3x2 12 2 Đặt t x 3 x t 3 ta có y' 3 f ' t 3 t 3 12 3 f ' t 3t2 18t 15 Để hàm số nghịch biến thì y' 0 3. f ' t 3t 2 18t 15 0 f ' t t2 6t 5 f '(t) 0 Ta chọn t sao cho 2 t 6t 5 0 33
34. 1 x 1 1 t 1 Từ bảng xét dấu hàm f '(x) ta thấy f '(x) 0 nên f '(t) 0 x 5 t 5 1 t 1 f '(t) 0 t 5 1 t 1 Khi đó: 2 t 6t 5 0 t 5 t 5 t 1 1 t 1 1 x 3 1 4 x 2 Mà t x 3 nên t 5 x 3 5 x 2 Vậy hàm số y 3 f x 3 x3 12x nghịch biến trên (-4;2) và 2; . Câu 47: Chọn A. Phương pháp: Lập bảng biến thiên của hàm số y f x trên đoạn [0;4], từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;4]. Cách giải: Quan sát đồ thị hàm số y f ' x ta thấy: +) Trên khoảng (0;2) thì f '(x) 0. +) Trên khoảng (2;4) thì f ' x 0. Ta có bảng biến thiên: x 0 1 2 3 4 f '(x) + + - - f x f 2 f 1 f 3 f 0 f 4 Từ bảng biến thiên ta thấy GTNN của hàm số đạt được bằng f 0 và f 4 . Ta sẽ so sánh f 0 và f 4 như sau: f 0 f 1 2 f 2 f 4 f 3 f 0 f 4 2 f 2 f 1 f 3 f 2 f 1 f 2 f 3 0 (do f 2 f 1 , f 2 f 3 ). Do đó f 0 f 4 0 f 0 f 4 . Vậy m f 4 . 34
35. Câu 48: Chọn A. Phương pháp: Lấy A’ đối xứng với A qua bờ sông, nối A’B cắt bờ sông tại M khi đó ta có AM + MB = A’B là quãng đường ngắn nhất mà người đó đi. Sử dụng định lý Pytago và định lý Ta-lét để tính toán. Cách giải: Gọi H, K là hình chiếu của A, B trên bờ sông, lấy A’ đối xứng với A qua bờ HK. Nối A’B cắt bờ HK tại M. Suy ra AM = A’M. Ta có AM + MB = A' M MB A' B nên quãng đường ngắn nhất người đó đi là AM MB A' B. Kẻ AC  BK tại C AHKC là hình chữ nhật có CK AH 118m CB BK CK 487 118 369m Tam giác CAB vuông tại C AC AB2 BC2 6152 3692 492 HK AC 492m HM A' M A' H 118 Ta có HA'/ /BK MK MB BK 487 HM 118 HM 118 118 HM 118 MK 487 HM MK 118 487 605 HK 605 HM 118 58056 HM 492 605 605 2 2 2 58056 2 Xét tam giác HMA' có MA' HM HA' 118 152,093 605 A' M 118 A' M 118 A' M 118 A' M.605 Tù đó: A' B 779,8m MB 487 A' M MB 118 487 A' B 05 118 Câu 49: Chọn A. Phương pháp: - Biến đổi điều kiện bài cho về dạng fu fv với u, v là các biểu thức của x, y. 35
36. - Xét hàm f (t) suy ra mối quan hệ của u, v rồi suy ra x, y. - Đánh giá P theo biến t x y bằng cách sử dụng phương pháp hàm số. Cách giải: x y Điều kiện : 0. x2 y2 xy 2 x y log ( 3) ( 3) 3 x x y y xy x2 y2 xy 2 log ( ) log 2 2 2 2 2 3( ) 3 x y 3 x y xy x y xy x y log 3 log 2 2 2 2 2 3 x y x y 3 x y xy x y xy log 3 2 log 2 2 2 2 2 2 3 x y x y 3 x y xy x y xy log 3 3 log 2 2 2 2 2 2 3 x y x y 3 x y xy x y xy 1 Xét hàm số f t log t t,t 0 có f '(t) 1 0,t 0 3 t ln 3 Vậy hàm số f t luôn đồng biến và liên tục trên khoảng 0; Do đó: f 3 x y f x2 y2 xy 2 3 x y x2 y2 xy 2 (1) 2  xy x y 3 x y 2 2 x y 1 Ta có: x x xy xy x(y 1) xy xy 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y 1. 2 x y 1 2 Do đó từ (1), suy ra: x x y 3 x y 2. 4 Đặt t x y,t 0 2 t 1 2 2t 1 t 3t 2 2 2 x y 1 x 3t 22t 3 Suy ra: P 4 f t x y 6 t 6 4(t 6) 3t2 36t 135 Ta có: f '(t) 0 t 3(tm0 2 4 t 6 Bảng biến thiên: 36
37. t 0 3 f ' t + 0 - f t x y 1 x 2 Dựa vào BBT, ta có max P max f t f 3 1 . 0; x y 3 y 1 Chú ý khi giải : Cách 2: (Trắc nghiệm) x 11 Ta có: P 2 . x y 6 Trong (1) coi y là ẩn, x là tham số. Ta có: y2 x 3 y x2 3x 2 0 có nghiệm khi 2 3 2 3 3 2 3 x 3 4 x2 3x 2 0 x 3 x 11 0. 3 3 Vậy P < 2 nên trong 4 phương án thì Pmax 1 khi đó x 2, y 1. Cách 3: (Trắc nghiệm) y 17 Ta có: P 3 3 với x, y 0. x y 6 3x 2y 1 + Nếu P = 2 thì 2 x 11. Thay vào 1 ta được: y2 3y 90 0 (vô lý). x y 6 3x 2y 1 + Nếu P = 1 thì 1 2x y 5 y 5 2x. Thay vào (1), ta được: x y 2 3 x 5 2x x2 5 2x x 5 2x 2 3x2 12x 12 0 x 2 y 1. Vậy Pmax 1. Câu 50: Chọn B. Phương pháp: Phân chia khối hộp để tính thể tích VC.ABNM VCC'B'NMA' Tính thể tích khối chóp VC.C' A' B' VC.C' PQ Tính VA' MPB'NQ VC.C' PQ VCC'B'NMA' 1 Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp V h.S với h là chiều cao hình chóp và S là diện tích đáy. 3 Công thức tính thể tích lăng trụ V = h.S với h là chiều cao hìnhlăng trụ và S là diện tích đáy. 37
38. Cách giải: 1 1 2 Ta có V d C,(A' B'C') .S V C.A' B'C' 3 A' B'C' 3 ABC.A' B'C' 3 2 4 Suy ra V V V 2 C.ABB' A' ABC.A' B'C' C.A' B'C' 3 3 Ta thấy ABNM là hình thang nên AA' BB' .d BB',AA' AM BN d BN; AM 2 3 S ABNM 2 2 AA' BB' .d BB',AA' 2 3 5 AA'.d BB',AA' 2 12 5 Mà S AA'.d AA', BB' S .S ABB' A' ABNM 12 ABB' A' 1 1 5 V d C,(ABNM) .S d C,(ABB' A') . .S C.ABNM 3 ABCNM 3 12 ABB' A' 5 1 5 . d C,(ABB' A') .S .V . 12 3 ABB' A' 12 CABB' A' 4 5 4 5 Mà V (cmt) V . C.ABB' A' 3 C.ABNM 12 3 9 5 13 Suy ra V V V 2 . CC' B'NMA' ABC.A' B'C' C.ABNM 9 9 38
39. PA' A' M 1 1 Ta có A' M / /CC' PA' PC' A'C' PC' 2A'C' PC' CC' 2 2 B'N QB' 2 Và B'N / /CC' QC' 3B'C' CC' QC' 3 1 Mà S C' A'.C' B'sin C' A' B'C' 2 1 1 1 SC' PQ C' P.C'Q.sin C' .2.A'C'.3B'C'sin C 6. A'C'.B'C'sin C 6SA' B'C' 2 2 2 1 1 2 Ta có: V d C;(A' B'C') .S d C;(A'B'C') .6S 6.V 6. 4 C.C' PQ 3 C' PQ 3 C' A' B' C.A' B'C' 3 13 23 Từ đó V V V 4 . A' MPB'NQ C.C' PQ CC' B'NMA' 9 9 39