Đề tự luyện thi học sinh giỏi môn Toán 9 (Ngày 25. 02. 2020)

Nội dung text: Đề tự luyện thi học sinh giỏi môn Toán 9 (Ngày 25. 02. 2020)

1. ĐỀ TỰ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 (25. 02. 2020) Bài 1. (4,0 điểm) x y xy Cho biểu thức P = − −  (x+ y)(1 − y) (x + y)(x + 1) (x + 1)(1 − y) 1. Rút gọn biểu thức P. 2. Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = 2. Bài 2. (4,0 điểm) 1. Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn18a+ 4b 2013. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: 18ax4bx6719a0.2 ++−= 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên x, y của phương trình 323 x2x3x2y.+++= Bài 3. (4,5 điểm) 1. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4p + 1 là một hợp số. 2. Giải phương trình 4x3x34x3x22x1.232++=++− Bài 4. (6,0 điểm) Cho góc xOy có số đo bằng 60o. Đường tròn có tâm K nằm trong góc xOy tiếp xúc với tia Ox tại M và tiếp xúc với tia Oy tại N. Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP > 2.OM. Tiếp tuyến của đường tròn (K) qua P cắt tia Oy tại Q khác O. Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN ở E. Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN ở F. 1. Chứng minh tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ. 2. Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp. 3. Gọi D là trung điểm của đoạn PQ. Chứng minh tam giác DEF là tam giác đều. Bài 5. (2,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a+ b + c = 3. Chứng minh rằng: a+ 1 b + 1 c + 1 + + 3. 1+ b2 1 + c 2 1 + a 2 HẾT