›
›
›

Giải bài toán chứa căn - Nguyễn Tiến

pdf 89 trang thaodu 3872
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giải bài toán chứa căn - Nguyễn Tiến", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiai_bai_toan_chua_can_nguyen_tien.pdf

Nội dung text: Giải bài toán chứa căn - Nguyễn Tiến

  1. “Giải bài tốn chứa căn” MỤC LỤC PHÂN DẠNG TỐN CHỨA CĂN 4 A. TÌM HIỂU VỀ CĂN BẬC HAI. 4 B. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC XÁC ĐỊNH (CĨ NGHĨA, TỒN TẠI) 5 C. CÁC BÀI TỐN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN 7 DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ. 7 I.1: Loại 1: Dạng chứa căn số học đơn giản. 7 I.2: Loại 2: Dạng “biểu thức số trong căn” tiềm ẩn “là hằng đẳng thức” 10 I.3: Loại 3: Dạng sử dụng biểu thức liên hợp, trục căn thức, quy đồng 12 I.4: Loại 4: Chứng minh đẳng thức số. 15 I.5: Loại 5: Chứng minh bất đẳng thức 17 I.6: Loại 6: Căn bậc ba. 18 DẠNG 2: CÁC DẠNG TỐN CĂN CHỨA CHỮ (CHỨA ẨN) 20 II.1. DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 20  Loại 1: Phương trình trong căn cĩ thể viết dưới dạng bình phương của một biểu thức. 20  Loại 2: Phương trình dạng f()() x g x 20  Loại 3: Phương trình chứa biểu thức dưới dấu căn khơng viết được dưới dạng bình phương (trong phương trình chỉ chứa một căn thức ) 21  Loại 4: Phương trình chứa nhiều căn thức, các căn thức cĩ thể đưa về dạng giống nhau. 23  Loại 5: Phương trình chứa các căn khác nhau, biểu thức trong căn khơng viết được dưới dạng bình phương. 23  Loại 6: Quy về phương trình bậc hai bằng phương pháp đặt ẩn phụ. 24 Loại 7: Phương trình chứa căn mà biểu thức trong căn ở dạng thương hoặc dạng tích 25  Loại 8: Giải các phương trình căn bậc ba 26 II.2 DẠNG TỐN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN 28 Loại 1: Sử dụng các Hằng đẳng thức 28 Loại 2: Sử dụng phương pháp quy đồng: 29 Loại 3: Làm xuất hiện nhân tử chung rồi đơn giản biểu thức chứa căn sau đĩ quy đồng. 31 II. 3. DẠNG TỐN CHỨA CĂN VÀ BÀI TỐN PHỤ 34 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 1
  2. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tốn 1: Tìm ẩn để biểu thức thỏa mãn một điều kiện cho trước. (lớn hơn, nhỏ hơn, bằng một giá trị cho trước) 34 Bài tốn 2. Tính giá trị của biểu thức tại giá trị cho trước. 34 Bài tốn 3: Tìm a nguyên để biểu thức nguyên. 34 Bài tốn 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 37 2. PHẦN BÀI TẬP (Cĩ hướng dẫn giải) 40 99 BÀI TỐN TỔNG HỢP – TỰ GIẢI. (Sưu tầm) 44 PHẦN ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN GIẢI 59 DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ. 59 I.1: Loại 1: Dạng chứa căn số học đơn giản. 59 I.2: Loại 2: Dạng “biểu thức số trong căn” tiềm ẩn “là hằng đẳng thức” 60 I.3: Loại 3: Dạng sử dụng biểu thức liên hợp, trục căn thức, quy đồng 61 II.2 DẠNG TỐN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN 64 Loại 1: Sử dụng các Hằng đẳng thức 64 Loại 2: Sử dụng phương pháp quy đồng: 66 Loại 3: Làm xuất hiện nhân tử chung rồi đơn giản biểu thức chứa căn sau đĩ quy đồng. 71 II. 3. DẠNG TỐN CHỨA CĂN VÀ BÀI TỐN PHỤ 80 Tài liệu này tơi tổng hợp kiến thức các nguồn trên mạng và của các nhà giáo trong các sách, mục đích sử dụng cho chính bản thân sử dụng trong quá trình dạy học học sinh lớp 9, dùng làm tài liệu tham khảo, cho học sinh làm các đề bài và dạy kèm nên khi tổng hợp cịn nhiều thiếu xĩt về các dạng và cách giải. Rất mong sự thơng cảm của quý bạn độc giả. Tài liệu khơng cĩ các bài tập dạng nâng cao, phức tạp. Phù hợp với các đối tượng học sinh học lớp 9 và học ơn thi vào 10 các trường cơng lập trên cả nước với các dạng đề về căn bậc hai khơng khĩ. Cĩ bản word. Nếu quý thầy cơ nào cĩ nhu cầu dùng nĩ để chế thành các dạng bài học để làm giáo án vui lịng liên hệ SDT: 0986 915 960 Hoặc theo fb: Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 2
  3. “Giải bài tốn chứa căn” KIẾN THỨC LÝ THUYẾT 1. KIẾN THỨC QUAN TRỌNG CẦN NHỚ. A.M A a, Tính chất về phân số (phân thức: (M 0, B 0) B.M B b, Các hằng đẳng thức đáng nhớ: A B 2 A22 2 AB B A B 2 A22 2 AB B ABABAB22 A B 3 A3 3 A 2 B 3 AB 2 B 3 A B 3 A3 3 A 2 B 3 AB 2 B 3 A3 B 3 A B A 2 AB B 2 A3 B 3 A B A 2 AB B 2 2, CÁC KIẾN THỨC VỀ CĂN BẬC HAI 2 A AB 1) Nếu a ≥ 0, x ≥ 0, a = x  x = a 9) (với A, B 0 và B 0 ) B B 2) Để A cĩ nghĩa thì A ≥ 0 A A B 3) A2 A 10) (với B > 0 ) B B 4) AB A. B ( với A 0 và B 0 ) CCAB() 11) A A AB AB 2 5) ( với A 0 và B > 0 ) B B (với A 0 và A B2 ) 6) A2 B A B (với B 0 ) CCAB() 12) AB AB 7) A B A2 B ( với A 0 và B 0 (với A 0, B 0 và A B ) A B A2 B ( với A < 0 và B 0 ) Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 3
  4. “Giải bài tốn chứa căn” PHÂN DẠNG TỐN CHỨA CĂN A. TÌM HIỂU VỀ CĂN BẬC HAI. I. LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa: Căn bậc hai của số a khơng âm là số x sao cho x2 = a. 2. Ký hiệu:  a > 0: a : Căn bậc hai của số a a : Căn bậc hai âm của số a  a = 0: 00 3. Chú ý: Với a 0: ( a )22 ( a ) a 4. Căn bậc hai số học:  Với a 0: số được gọi là căn bậc hai số học của a  Phép khi phương là phép tốn tìm căn bậc hai số học của số a khơng âm. So sánh các căn bậc hai số học: Với a 0, b 0: a b a b II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. 1.1 Điền vào ơ trống trong bảng sau: x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x2 1.2 Tính: a) 0,09 b) 16 c) 0,25. 0,16 d) ( 4).( 25) 4 6 16 e) f) g) 0,36 0,49 25 5 0,04 1.3 Trong các số sau, số nào cĩ căn bậc hai: a) 5 b) 1,5 c) 0,1 d) 9 1.4 Trong các biểu thức sau, biểu thức nào cĩ căn bậc hai: a) xx– 4 – 6 1 b) 3–xx – 5 – 4 c) xx2 6 – 9 d) 5xx2 8 – 4 e) x x–1 x 1 x 2 1 f) xx2 20 101 (HD: Học sinh chứng minh biểu thức khơng âm) 1.5 Dùng kí hiệu viết nghiệm của các phương trình đưới đây, sau đĩ dùng máy tính để tính chính xác nghiệm với 3 chữ số thập phân. a) x2 = 2 b) x2 = 3 c) x2 = 3,5 d) x2 = 4,12 e) x2 = 5 f) x2 = 6 g) x2 = 2,5 h) x2 = Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 4
  5. “Giải bài tốn chứa căn” B. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC XÁC ĐỊNH (CĨ NGHĨA, TỒN TẠI) I. LÍ THUYẾT 1. Căn thức bậc hai:  Nếu A là một biểu thức đại số thì A gọi là căn thức bậc hai của A. A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.  các định (cĩ nghĩa) khi A 0  Chú ý: a) Điều kiện cĩ nghĩa của một số biểu thức: . A(x) là một đa thức A(x) luơn cĩ nghĩa. A( x ) . cĩ nghĩa B(x) 0 B( x ) A()() x C x . : cĩ nghĩa khi B() x 0; C() x 0; D () x 0 B()() x D x A()() x C x . : cĩ nghĩa khi A() x 0; B () x 0; C() x 0; D () x 0 B()() x D x . A( x ) cĩ nghĩa A(x) 0 . 1 cĩ nghĩa A(x) > 0 A( x ) b) Với M > 0, ta cĩ: . XMXMMXM22 . XMXMXM22 hoặc XM 2. Hằng đẳng thức (A)A2 a khi a 0  Định lí: Với mọi số a, ta cĩ: aa2 a khi a 0  Chú ý: Tổng quát, với A là một biểu thức đại số, ta cũng cĩ: A khi A 0 AA2 A khi A 0 II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau cĩ nghĩa: a) 3x b) 4 2x c) 32x d) 31x e) 92x f) 61x 2 1 2 1 ĐS: a) x 0 b) x 2 c) x d) x e) x f) x 3 3 9 6 Bài 2. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau cĩ nghĩa: x x x a) x 2 b) x 2 c) x 2 x 2 x 2 x2 4 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 5
  6. “Giải bài tốn chứa căn” 1 4 2 d) e) f) 3 2x 23x x 1 3 3 ĐS: a) x 2 b) x 2 c) d) x e) x f) x 1 2 2 Bài 3. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau cĩ nghĩa: a) x2 1 b) 43x2 c) 9xx2 6 1 d) xx2 21 e) x 5 f) 21x2 ĐS: a) xR b) c) d) x 1 e) x 5 f)khơng cĩ Bài 4. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau cĩ nghĩa: a) 4 x2 b) x2 16 c) x2 3 d) xx2 23 e) xx( 2) f) xx2 56 ĐS: a) x 2 b) x 4 c) x 3 d) x 1 hoặc x 3 e) x 2 hoặc x 0 f) x 2 hoặc Bài 5. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau cĩ nghĩa: a) x 1 b) x 13 c) 4 x 1 1 d) xx 21 e) f) 9 12xx 4 2 xx 21 ĐS: a) x 1 b) hoặc x 4 c) x 4 3 d) x 1 e) x f) 2 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 6
  7. “Giải bài tốn chứa căn” C. CÁC BÀI TỐN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ. I.1: Loại 1: Dạng chứa căn số học đơn giản. 2 A nếu A 0 1. Phương pháp: AA A nếu A 0 Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Dễ dàng đặt thừa số chung. Khai phương một tích: ABABAB. . ( 0, 0) Nhân các căn bậc hai: ABABAB. . ( 0, 0) AA Khai phương một thương: (AB 0, 0) B B AA Chia hai căn bậc hai: (AB 0, 0) B B Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì ABAB2 + Với A < 0 và B ≥ 0 thì ABAB2 Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì ABAB 2 + Với A < 0 và B ≥ 0 thì ABAB 2 2. Ví dụ minh hoạ: Bài tập 1: Rút gọn M 45 245 80 Giải M 45 245 80 32 .5 7 2 .5 4 2 .5 3 5 7 5 4 5 6 5 Bài tập 2: Khơng sử dụng máy tính. Tính giá trị của biểu thức: A 2015 36 25 Giải Cĩ A 2017 36 25 = 2017 6–5 2018 Bài tập 3: Rút gọn biểu thức : A 5 8 50 2 18 Giải =5.2 2 5 2 2.3 2 10 2 5 2 6 2 (10 5 6) 2 9 2 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 7
  8. “Giải bài tốn chứa căn” 3. Bài tập (cĩ đáp án) Bài tập 01. Rút gọn biểu thức A 3( 27 4 3) Bài tập 02. Rút gọn các biểu thức sau: A (2 3 5 27 412): 3 Bài tập 03. Rút gọn biểu thức : A 27 2 12 75 Bài tập 04. Rút gọn biểu thức: A= 12 27 48 Bài tập 05 Rút gọn biểu thức: B 2 3 3 27 300 Bài tập 06 .Rút gọn các biểu thức sau: Bài tập 07. Rút gọn các biểu thức sau: A 125 4 45 3 20 80 Bài tập 08. Rút gọn biểu thức: A 3 2 4 18 Bài tập 09. Rút gọn các biểu thức sau: A 2 3 4 27 5 48 Bài tập 10. Rút gọn các biểu thức sau : M (350 518 38) 2 Bài tập 11. Rút gọn biểu thức sau 2 9 25 5 4 Bài tập 12. Tính 232 527 48 375 Bài tập 13. Rút gọn biểu thức: A 2 3.52 3. 3.2 2 3.3 2 Bài tập 14. Tính: A 2 5 3 45 500 Bài tập 15. Rút gọn các biểu thức sau : Bài tập 16. Rút gọn các biểu thức sau: A 3 12 27 Bài tập 17. Rút gọn: B 20 45 2 5 4. Bài tập tự luyện. (khơng cĩ hướng dẫn) Bài tập 1: Rút gọn 1. a) 0,09.64 b) 24.( 7)2 c) 12,1.360 d) 22.34 e) 45.80 f) 75.48 g) 90.6,4 h) 2,5.14,4 2. a) 7. 63 b) 2,5. 30. 48 c) 0,4. 6,4 d) 2,7. 5. 1,5 e) 10. 40 f) 5. 45 g) 52. 13 h) 2. 162 3. a) 132 122 b) 172 82 c) 1172 1082 d) 3132 3122 e) 6,82 3,22 f) 21,82 18,22 g) 146,52 109,52 27.256 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 8
  9. “Giải bài tốn chứa căn” 9 25 9 4. a) b) c) 1 169 144 16 7 d) 2 e) 0,0025 f) 3,6.16,9 81 2 15 5. a) b) c) 12500 18 735 500 5 , d) 6 e) 2300 f) 12 5 23.35 23 0,5 9 4 1652 1242 6. a) 1 .5 .0,01 b) 16 9 164 1492 762 c) d) 1,44.1,21 1,44.0,4 4572 3842 7. a) 2 12 3 27 5 3 b) 32 50 8 3 2 Bài tập 2: Thực hiện các phép tính sau: 2 a) 0,8 ( 0,125)2 b) ( 2)6 c) 32 2 2 11 2 d) 2 2 3 e) f) 0,1 0,1 2 2 ĐS: a) 0,1 b) 8 c) 23 11 d) 3 2 2 e) f) 0,1 0,1 2 2 Bài tập 3: Thực hiện các phép tính sau: 22 22 a) 3 2 2 3 2 2 b) 5 2 6 5 2 6 22 22 c) 2 3 1 3 d) 3 2 1 2 22 22 e) 5 2 5 2 f) 2 1 2 5 ĐS: a) 6 b) 46 c) 1 d) 4 e) 25 f) 2 2 4 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 9
  10. “Giải bài tốn chứa căn” I.2: Loại 2: Dạng “biểu thức số trong căn” tiềm ẩn “là hằng đẳng thức” 2 A nếu A 0 1. Phương pháp: AA A nếu A 0 Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A 0 thỏa mãn m + n = A và m . n = B ta cĩ: A 2 B m n 2 m.n ( m n)2 2. Ví dụ minh hoạ: Bài tập 1. a) Rút gọn biểu thức sau: N 6 2 5 6 2 5 2 3 2 3 b) Rút gọn biểu thức: A 22 Giải aN) 6 2 5 6 2 5 5 2 5 1 5 2 5 1 ( 5 1)22 ( 5 1) |51||51| 51 512 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 bA) 2 2 4 4 1 ( ( 3 1)22 ( 3 1) ) 2 11 (| 3 1| | 3 1|) ( 3 1 3 1) 1 22 3. Bài tập (cĩ đáp án) Bài tập 01. Rút gọn biểu thức sau : B (3 2 6) 6 3 3 Bài tập 02. Rút gọn biểu thức sau B ( 5 1) 6 2 5 1 Bài tập 03. Rút gọn các biểu thức: A 7 2 10 20 8 2 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 10
  11. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 04. Tính B (2 3)2 3 22 Bài tập 05: Rút gọn biểu thức : B 2123 625 623 35 Bài tập 06. Rút gọn biểu thức : B (3 2 6) 6 3 3 4 2 3 4 2 3 Bài tập 07. Tính giá trị của biểu thức: P và B 13 62 4. Bài tập tự luyện. (khơng cĩ hướng dẫn giải) Bài tập 1. Thực hiện các phép tính sau: a) 5 2 6 5 2 6 b) 7 2 10 7 2 10 c) 4 2 3 4 2 3 d) 24 8 5 9 4 5 e) 17 12 2 9 4 2 f) 6 4 2 22 12 2 g) 2 3 2 3 h) 21 12 3 3 ĐS: a) 22 b) 22 c) 23 d) 3 5 4 g) 2 h) 33 2 4 2 3 3 1 3 1 Tương tự: 23 222 Bài tập 2. Thực hiện các phép tính sau: a) 5 3 29 12 5 b) 13 30 2 9 4 2 c) 3 2 5 2 6 d) 5 13 4 3 3 13 4 3 e) 1 3 1343 1 3 1343 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 11
  12. “Giải bài tốn chứa căn” I.3: Loại 3: Dạng sử dụng biểu thức liên hợp, trục căn thức, quy đồng 1. Phương pháp: A AB AAB Với A.B ≥ 0 và B 0 thì + Với B > 0 thì B B B B CCAB() Với A ≥ 0 và AB 2 thì AB AB 2 CCAB() Với A ≥ 0, B ≥ 0 và A B thì AB AB 2. Ví dụ minh hoạ: Bài tập 01. (PP cơ bản: khai phương, rút gọn ) 1 1 3 4 1 Rút gọn biểu thức sau A= 2 200 : 2 2 2 5 8 Giải 1 1 3 4 1 1 2 3 4 1 A 2 200 : 2 102 .2 : 2 2 2 5 8 2 22 2 5 8 13 2 2 8 2 .8 2 2 12 2 64 2 54 2 42 Bài tập 02. (PP quy đồng) 1 1 2 2 6 Rút gọn biểu thức A 3 1 3 1 2 Giải 31 31 2(2 3) 23 A 2 3 3 2 3 2 ( 3 1)( 3 1) 2 31 Bài tập 03. (PP đặt thừa số chung) 33 Rút gọn biểu thức : P ( 3 1) 23 Giải 3 3 3(31) (31)(31) 31 P ( 3 1) ( 3 1) 1 2 3 2 3 22 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 12
  13. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 04. (PP liên hợp và đặt thừa số chung): 1 8 10 Khơng dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: A 2 1 2 5 Giải 1 8 10 2 1 2(2 5) A 2 1 2 1 2 1 2 51 2 5 Bài tập 05. (PP liên hợp và hằng đẳng thức trong căn): 2 3 2 3 Rút gọn biểu thức : A 7 4 3 7 4 3 Giải. 2 3 2 3 (2 3)22 (2 3) 2 3 2 3 2 3 2 3 (2 3)22 (2 3) (322 3)(2 32 3) 83 3. Bài tập (cĩ đáp án) 5 Bài tập 01. Rút gọn biểu thức : P 25 52 11 Bài tập 02: Rút gọn biểu thức : B 3 7 3 7 11 Bài tập 03. Rút gọn biểu thức : P 5 2 5 2 11 Bài tập 04. Rút gọn biểu thức sau B 3 2 3 2 21 Bài tập 05. Tính: . 18 22 3 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 13
  14. “Giải bài tốn chứa căn” 2 Bài tập 06. Rút gọn biểu thức : B 28 54 76 A Bài tập 07: Cho AB 3 1; 3 1. Tính giá trị của biểu thức ABABAB ;.;; 22 B 23 Bài tập 08. Rút gọn biểu thức: P 27 3 1 3 Bài tập 09. Rút gọn biểu thức : 5 5 5 3 5 Bài tập 10. Rút gọn biểu thức sau: A 5 2 5 1 3 5 6 Bài tập 11. Cho biểu thức : M (2 3)2 75 . Rút gọn M. 23 1 Bài tập 12. Rút gọn biểu thức A 7 4 3 23 7 4 3 Bài tập 13. Khơng dùng máy tính, rút gọn biểu thức: A ( 5 2)( 5 2) 32 2 3 2 3 Bài tập 14. Thu gọn biểu thức A 1 4 2 3 1 4 2 3 3 3 4 3 4 Bài tập 15. Rút gọn biểu thức sau: A 2 3 1 5 2 3 Bài tập 16. Rút gọn biểu thức sau: 11 A 5 3 5 3 1 2 2 C 2 3 6 3 3 4. Bài tập tự luyện. (khơng cĩ hướng dẫn giải) Bài tập 1: Rút gọn các biểu thức: 15 6 10 15 a) b) 35 14 8 12 2 15 2 10 6 3 2 3 6 8 16 c) d) 2 5 2 10 3 6 234 3 5 32 ĐS: a) b) c) d) 12 . Tách 16 4 4 7 2 12 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 14
  15. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 2: Thực hiện các phép tính sau: 7 5 6 2 7 6 5 2 2 5 a) b) 247 2 4 7 6 2 6 2 6 11 6 2 5 1 c) d) : 3 2 5 3 2 5 1 3 5 5 2 1 1 1 5 1 2 3 3 13 48 e) f) 3 3 2 312 6 62 32 7 20 17 6 30 3 ĐS: a) b) c) d) 3 e) f) 1 9 6 6 2 I.4: Loại 4: Chứng minh đẳng thức số. 1. Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi để biến đổi VT hoặc VP để được đẳng thức bằng nhau. 2. Ví dụ minh hoạ: Bài tập 01: Chứng minh các đẳng thức sau: 2 a/ 2 2 3 2 1 2 2 2 6 9 b/ 2 3 2 3 6 44 c/ 22 8 2 5 2 5 Giải: a) Biến đổi vế trái ta cĩ : 2 VT 22 32 122 2626421428269 VP Vậy đẳng thức đã được chứng minh. 2 2 3 2 3 b) Biến đổi vế trái ta cĩ : VT 2 3 2 3 2 22 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1 22 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3 6 VP . 2 2 2 Vậy đẳng thức đã được chứng minh. Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 15
  16. “Giải bài tốn chứa căn” 44 c/ 22 8 2 5 2 5 Biến đổi vế trái ta cĩ : 4 4 222 2 VT 22 22 2 5 2 5 2 5 2 5 2 2 2 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 5 5 2 5 2 5 2 5 2 2 5 4 2 5 4 8 VP 54 Vậy đẳng thức đã được chứng minh. 3. Bài tập tự luyện (khơng cĩ hướng dẫn) Bài tập 01: Chứng minh: a) (2 3)(2 3) 1 b) 9 17. 9 17 8 c) ( 2014 2013) . ( 2014 2013) =1 d) 2 2( 3 2) (1 2 2)2 2 6 9 Bài tập 02: Chứng minh các số sau đây là số nguyên: 3 3 2 2 6 6 a) A 3 2 6 1 15 4 12 b) B 6 11 6 1 6 2 3 6 2 3 2 3 2 3 2 2 c) C 2 3 3 1 Bài tập 03: Chứng minh rằng: a) 9 4 5 ( 5 2)2 b) 9 4 5 5 2 c) 23 8 7 (4 7)2 d) 17 12 2 2 2 3 Bài tập 04: Chứng minh các đẳng thức sau: 2 3 6 216 1 1. a)  1,5 8 23 6 14 7 15 5 1 b) :2 1 2 1 3 7 5 c) 2 3 2 3 6 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 16
  17. “Giải bài tốn chứa căn” 44 d) 8 (2 5)2 (2 5)2 3 2 3 3 2 3 e)  6 2 4   6 2 4 2 2 3 2 2 3 2 I.5: Loại 5: Chứng minh bất đẳng thức 1. Phương pháp :Với a 0, b 0: a b a b Một số tính chất của bất đẳng thức: 1) a b b a ab  2)  ac bc  3) a b a c b c (cộng 2 vế với c) a c b a b c (cộng 2 vế với – c) a b a b 0 (cộng 2 vế với – b) a b a b 0 (cộng 2 vế với – b) ab  4)  a c b d cd  5) a b a.c b.c (nếu c > 0: giữ nguyên chiều) a b a.c b.c (nếu c < 0: đổi chiều) a b 0 6)  a.c b.d c d 0 7) a b 0 an b n ( n * ) 11 a b 0 ab 2. Ví dụ minh họa Bài tập 1: So sánh a) 17 26 1 và 99 b) 37 14 và 6– 15 Giải: a) 17 26 1 16 25 1 10 và 102 100 99 10 99 Vậy 17 26 1 10 99 17 26 1 99 b) Ta cĩ 37 6 1 và 1 14 15 37 6 14 15 37 14 6 15 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 17
  18. “Giải bài tốn chứa căn” 3. Bài tập tự luyện (khơng cĩ hướng dẫn) Bài tập 01: So sánh hai số sau (khơng dùng máy tính): a) 1 và 2 b) 2 và 3 c) 6 và 41 d) 7 và 47 e) 2 và 2 1 f) 1 và 1 g) 2 31 và 10 h) và 12 i) -5 và 29 j) 2 5 và 19 k) 3 và l) 2 3 và 3 2 m) 2 + 6 và 5 n) 7 – 2 và 4 o) 15 + 8 và 7 Bài tập 02: So sánh hai số sau (khơng dùng máy tính): a) 72 và 1 b) 85 và 76 Bài tập 03: So sánh hai số sau (khơng dùng máy tính): a) 9 và 6 + 2 b) + và 3 c) 16 và 9 + 4 d) 11 3 và 2 Bài tập 04: So sánh hai số sau (khơng dùng máy tính): a) 3 3 và 12 b) 20 và 3 5 1 1 1 1 c) 54 và 150 d) 6 và 6 3 5 2 2 5 3 e) và f) 30 29 và 29 28 3 7 5 2 13 g) 2012 2014 và 2 2013 h) 2014 2013 và 2013 2012 Bài tập 05: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: a) 25, 2 6 , , b) 36, 33, 47, 2 14 Bài tập 06: Cho các số khơng âm a, b, c. Chứng minh: ab 1 a) ab b) a b a b c) a b a b 2 2 a b a b d) a b c ab bc ca e) 22 I.6: Loại 6: Căn bậc ba. 1. Phương pháp Căn bậc ba của một số a là số x sao cho xa3 . Mọi số a đều cĩ duy nhất một căn bậc ba. AA3 ABAB 33 3 ABAB 33 Với B 0 ta cĩ: 3 B 3 B 3 Áp dụng: 3 aa3 ; 3 aa Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 18
  19. “Giải bài tốn chứa căn” và các hằng đẳng thức: A B 3 A3 3 A 2 B 3 AB 2 B 3 A B 3 A3 3 A 2 B 3 AB 2 B 3 A3 B 3 A B A 2 AB B 2 A3 B 3 A B A 2 AB B 2 Tính chất: 33 a b a b 3 3 3 ab a. b aa3 Với b 0, ta cĩ 3 b 3 b 2. Bài tập tự luyện (khơng cĩ hướng dẫn) Bài tập 01. Tính: a) 3 512 ; 3 729 ; 3 0,064 ; 3 0,216 ; 3 0,008 . b) 3 343 ; 3 0,027 ; 3 1,331 ; 3 0,512 ; 3 125 . Bài tập 02. Thực hiện các phép tính sau: a) 3 ( 2 1)(3 2 2) b) 3 (4 2 3)( 3 1) c) 3 64 3 125 3 216 33 d) 334 1 4 1 e) 39 3 6 33 4 3 3 2 ĐS: a) 21 b) 31 c) 3 d) 123 2 2 e) 5. Bài tập 03. Thực hiện các phép tính sau: a) A 332 5 2 5 b) B 339 4 5 9 4 5 125 125 c) C (2 3).3 26 15 3 d) D 333 9 3 9 27 27 3 3 15 35 ĐS: a) A 1. Chú ý: 25 b) B 3 . Chú ý: 9 4 5 2 2 c) C 1. Chú ý: 26 15 3 (2 3)3 125 125 5 d) D 1. Đặt a 3 39 , b 3 39 a33 b 6, ab . 27 27 3 Tính D3 . Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 19
  20. “Giải bài tốn chứa căn” DẠNG 2: CÁC DẠNG TỐN CĂN CHỨA CHỮ (CHỨA ẨN) II.1. DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC  Loại 1: Phương trình trong căn cĩ thể viết dưới dạng bình phương của một biểu thức. 2 f() x a Cách 1: f()() x a f x a với a 0;a R f() x a Cách 2: f( x )22 a f (x) a với với Phương pháp: Để giải dạng phương trình này điều cơ bản là phải viết được biểu thức dưới dấu căn ở dạng bình phương rồi sử đưa ra ngồi dấu căn để trở thành phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối hoặc sử dụng phương pháp bình phương 2 vế của phương trình. Lưu ý: Nếu a 0 thì phương trình Aa2 vơ nghiệm Ví dụ minh họa: Bài 1: Giải phương trình 4(x 1)2 6 2 2(xx 1) 6 4 Giải: 4(xx 1) 6 2( 1) 6 2(xx 1) 6 2 Vậy x = 4 hoặc x = -1 là nghiệm của phương trình Bài 2: Giải phương trình xx2 4 9 3 2 2 2 x 0 Giải: x 4 x 9 3 x 4 x 9 9 x 4 x . Vậy xx 0; 4 là x 4 nghiệm của phương trình.  Loại 2: Phương trình dạng f()() x g x fx( ) 0 f()() x g x Phương pháp giải f()() x g x g(x ) 0 f()() x g x Ví dụ minh họa: Bài 3: Giải phương trình: x2 6 x 4 4 x Giải: Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 20
  21. “Giải bài tốn chứa căn” x 4 xx 44 x2 6 x 4 4 x x 0 Ta cĩ: 22 x 0 x 6 x 4 4 x x 5 x 0 x 5  Loại 3: Phương trình chứa biểu thức dưới dấu căn khơng viết được dưới dạng bình phương (trong phương trình chỉ chứa một căn thức ) f( x ) g ( x ) (1) ( hoặc dạng f() x a , lúc này g( x ) a hang so ) Cách giải 1: ( Sử dụng phương trình hệ quả) ĐK: fx( ) 0 Bình phương hai vế phương trình (1) ta cĩ pt hệ quả: f x g2 x , giải tìm x= ? Thế vào phương trình (1) xem cĩ thảo mãn hay khơng. Kết luận nghiệm của phương trình (1) Cách giải 2: ( Sử dụng phép biến đổi tương đương) f()() x g x gx( ) 0 2 f()() x g x  Lưu ý: Khi gx 0 phương trình (1) vơ nghiệm. Ví dụ minh họa: Bài 4: Giải phương trình: 4x 1 8 Giải: (HD cách thường dùng) 1 Điều kiện 4xx 1 0 4 2 2 63 4x 1 8 4 x 1 64 4 x 1 64 4 x 63 x 4 1 63 Kết hợp với điều kiện đầu bài x ta được nghiệm của phương trình là x = 4 4 Bài 5: a) 2 x 4 2 b) 3 x 15 3 c) 2xx2 1 1 Giải: a) Cách 1: ( Sử dụng pt hệ quả) ĐK: 2x 4 0 x 2 Bình phương 2 vế pt đã cho ta được pt: 2x 4 4 2xx8 4 Thế x 4 vào pt đã cho thỏa mãn Vậy pt cĩ nghiệm Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 21
  22. “Giải bài tốn chứa căn” Cách 2: Vì 2 0 hiển nhiên đúng nên ta chỉ cần giải như sau: 2x 4 2 2 x 4 4 x 4 Vậy pt cĩ nghiệm x=4. b) Cách 1: ( Sử dụng phương trình hệ quả) ĐK: 3xx 15 0 5 PT(b) 3x 15 9 3 x 24 x 8 Ta thấy x 8 thỏa mãn điều kiện nhưng thế vào pt (b) khơng thỏa mãn Vậy pt (b) vơ nghiệm. Cách 2: ( Chỉ cần để ý 30) nên pt (b) vơ nghiệm. c) Cách 1: ( Sử dụng phương trình hệ quả) Ta cĩ: 2x2 1 0,  x R Bình phương 2 vế pt đã cho ta được pt: 2xx22 1 ( 1) 2x22 1 x 2 x 1 xx2 20 x 0 x 2 Thế x 0 và x 2 vào pt đã cho chỉ cĩ thỏa mãn Vậy pt cĩ nghiệm . Cách 2: ( Sử dụng phương trình tương đương) Ta cĩ: x 10 2xx2 1 1 22 2xx 1 ( 1) x 1 x 1 x 0 2 x 0 xx 20 x 2 Vậy pt cĩ nghiệm x 0. Đơi lời: Nhược điểm của phương pháp giải theo phương trình hệ quả là dài và phải thử lại nghiệm (tránh trường hợp xuất hiện nghiệm ngoại lai), cịn phương pháp giải theo phương trình tương đương cĩ phần ưu điểm là tiện lợi hơn, (khơng cần phải thử lai nghiệm).nhược điểm của phương pháp giải theo phương trình hệ quả là dài và phải thử lại Chúng ta cần phân biệt rằng tùy theo đặc thù của phương trình chứa căn mà ta cĩ thể chọn cách giải 1 hoặc 2 cho phù hợp. Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 22
  23. “Giải bài tốn chứa căn” Vì vậy sau này chúng ta sẽ tiếp cận nhiều bài tốn chứa căn thức thì ta mới cảm nhận được sự sâu sắc trong mọi khía cạnh của bài tốn lúc đĩ ta mới thấy rõ mỗi phương pháp điều cĩ những ý nghĩa đặc sắc riêng của nĩ.  Loại 4: Phương trình chứa nhiều căn thức, các căn thức cĩ thể đưa về dạng giống nhau. d afxbfxcfx() () () d ( abcfx )() d fx () a b c dd với 0; R a b c a b c Sau khi rút gọn đưa về giải phương trình Loại 3 f()() x g x Ví dụ minh họa: Bài 6: Giải phương trình: 3 2x 5 8 x 7 18 x 28 Giải: Điều kiện x 0 3 2xxx 5.2 2 7.3 2 28 14 2x 28 22x (Thỏa mãn điều kiện ). Vậy pt cĩ nghiệm là x=2. 24x x 2  Loại 5: Phương trình chứa các căn khác nhau, biểu thức trong căn khơng viết được dưới dạng bình phương. f()() x g x k hoặc f()()() x g x h x Phương pháp: fx( ) 0 fx( ) 0 Với điều kiện hoặc gx( ) 0 gx( ) 0 h(x ) 0 Ta thường bình phương 2 vế đưa về Loại 3 để giải.  Đối với các phương trình cĩ dạng f()() x g x k cần biến đổi về dạng f()() x g x k Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 23
  24. “Giải bài tốn chứa căn” f()()() x g x h x cần biến đổi về dạng f()()() x g x h x (Lí do: Để đảm bảo 2 vế của phương trình đều dương rồi mới đem bình phương Ví dụ minh họa: Bài 7: Giải phương trình: a) 3 xx 6 3 b) 3 xx 2 1 Hướng dẫn giải: 36 x a) 3 x 6 x 3 3 x 6 x 2 (3 x )(6 x ) 9 36 x 36 x 3 xx 6 3 x 3 (3 xx )(6 ) 0 (3 x )(6 x ) 0 x 6 x 6 Vậy phương trình cĩ 2nghiệm là x 3và x 6 3 xx 2 3 2 b) 3 xx 2 1 3 x 1 2 x 3 x 1 (2 x ) 2 2 x 32 x 02 x 32 x 02 x x 0 x 1 2 x 1 2 xx 2 xx 20 2 xx x 2 Vậy phương trình cĩ nghiệm là x 1  Loại 6: Quy về phương trình bậc hai bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Phương pháp: Sử dụng các phương pháp biến đổi đưa phương trình về dạng f( x ) f ( x ) c 0 rồi đặt ẩn phụ f( x ) t ; t 0 đưa về giải phương trình bậc hai ẩn t . Ví dụ minh họa: Bài 8: Giải phương trình: ax) 2x + 5 - 5 2 1 0 b) x 1 4 x ( x 1)(4 x ) 5 Hướng dẫn giải: a) Ta biến đổi 2x 552 x 10 (2 x 1)52 x 140 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 24
  25. “Giải bài tốn chứa căn” Đặt : tx 21, (đk: t 0) 2 t 1 PT(a) trở thành pt: t -5t+4=0 t 4 + Với t=1 2x 1 1 2 x 1 1 x 0 15 + Với t=4 2x 1 4 2 x 1 16 x 2 Vậy pt đã cho cĩ 2 nghiệm x=0; x=15/2 t 2 5 b) Đặt t= xx 14 (đk t 0) (xx 1)(4 ) 2 2 t 5 2 t 3 PT(1) trở thành: t 5 t 2 t 15 0 2 t 5 (l) Với t=3 x1 4 x 3 5 2 ( x 1)(4 x ) 9 ( x 1)(4 x ) 2 2 x 0 (x 1)(4 x ) 4 x 3 x 0 x 3 Vậy pt cĩ 2 nghiệm là x 0 và x 3 Loại 7: Phương trình chứa căn mà biểu thức trong căn ở dạng thương hoặc dạng tích fx( ) 0 f(). x g (). x h () x g ()0 x hx( ) 0 2. Ví dụ minh họa: Bài 9: Giải phương trình: (2x 8)(4 x ) 2 (2 x 8) 0 Giải: Ta cĩ (2x 8)(4 x ) 2 2 x 8) 0 (2x 8)(4 x )22 x 8)0 2 x 8 4 x 2 0 2x 8 0 x 4 4 x 2 0 (VN) Vậy pt cĩ nghiệm x 4 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 25
  26. “Giải bài tốn chứa căn”  Loại 8: Giải các phương trình căn bậc ba 3f(x) a; 3 f(x) 3 g(x) a . + Ở căn bậc lẻ: 2k 1f (x); 2k 1 g(x) cĩ nghĩa với x nên khơng cần đặt điều kiện . + Ở luỹ thừa bậc lẻ: ab ab2nn 1 2 1; (n N) nên khơng cần xét đến dấu của hai vế. Phương pháp: Lập phương hai vế theo cơng thức 3 a b a3 3a 2 b 3ab 2 b 3 a 3 3ab(a b) b 3 và biến đổi linh hoạt đưa về dạng AB.0 để giải tốn Ví dụ minh họa: Bài 10: Giải phương trình : 3 x 1 3 7 x 2 (*) + Ở phương trình (*) học sinh cũng nhận xét cĩ chứa căn bậc 3 nên nghĩ đến việc lập phương hai vế : Giải: Điều kiện xác định  xR Lập phương hai vế 22 (*) x17x3x1.7x3x1.7x 3 33 8 x17 x 3(x1)(73 x). 3 x1 3 7 x 8 (1) thay vào phương trình (*) ta được: 8 33 (x 1)(7 x).2 8 (x 1)(7 x) 0 (2) Giải ra: x12 1;x 7 ; thay lại vào phương trình (*) ta thấy nghiệm đúng, nên đĩ là 2 nghiệm của phương trình ban đầu. Vậy (*) cĩ nghiệm . Chú ý: Do từ (1) suy ra (2) ta thực hiện phép biến đổi khơng tương đương, vì nĩ chỉ tương đương khi x thoả mãn : . Vì vậy việc thay lại nghiệm của (1) vào phương trình đã cho là cần thiết. Nếu khơng thử lại cĩ thể sẽ cĩ nghiệm ngoại lai. Bài tập tự luyện ( Khơng cĩ hướng dẫn) Bài tập 1: Giải phương trình: a) 9x2 = 2x + 1 b) x4 7 c) x2 6x 9 3x 1 d) x2 7 e) x2 8 f) 1 4x 4x2 5 g) x4 9 h) (x 2)2 2x 1 i) x2 6x 9 5 j) 4x2 12x 9 x 3 k) 4x22 4x 1 x 2x 1 l) 4x22 12x 9 9x 24x 16 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 26
  27. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 2: Giải phương trình: 1. a) 16x 8 b) 4x 5 c) 4(x2 2x 1) 6 0 d) 9(x 1)x 21 e) x 5 3 f) x 10 2 g) 2x 1 5 h) 4 5x 12 2. a) 4x2 x 5 b) (x 3)2 2x 1 c) 3x 6 d) 7(x 1) 21 3. a) 2.x 50 0 b) 2 x 8 0 Bài tập 3: Giải các phương trình: 2x 3 2x 3 4x 3 4x 3 a) 2 và 2 b) 3 và 3 x 1 x 1 x 1 x 1 Bài tập 4: Giải các phương trình sau: 4 1. a) 4x 20 3 5 x 9x 45 6 3 15 x 1 b) 25x 25 6 x 1 2 9 1 c) 4x 20 9x 45 x 5 4 3 d) 16x 16 9x 9 4x 4 16 x 1 . 2. a) 1 x 2 x 1 b) x 2 4x 4 x 2 c) 2x2 7 2 x d) x2 4x 3 x 2 e) x 2 4 2 x 0 f) x 2 4x 4 2x 1 g) (2x 4)(x 1) x 1 h) 2x 2 4x 1 x 2. 3. a) 2x 9 5 4x b) 2x 1 x 1 c) x 3 x 3 d) x2 x 3 x e) x2 3x 1 x 1 f) 2x2 3 4x 3 g) x2 x 6 x 3 h) 9x2 4x 2x 3 . 4. a) x 4 x 4 5 b) x 2 x 1 x 2 x 1 2 c) x 2 4 x 2 x 7 6 x 2 1 d) x 2 3 2x 5 x 2 3 2x 5 2 2 . 5. a) x2 3x 5 x2 3x 7 b) 5 x2 5x 28 x2 5x 4 c) 2 2x2 3x 5 2x2 3x 6 2 2 d) 2x 3x 9 2x 3x 33 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 27
  28. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 5: Giải các phương trình sau: a) 3 x 1,5 b) 3 x 5 0,9 Bài tập 6: Giải các phương trình sau: 5 1 3 x 1 8 a) 15x 15x 11 15x b) 3 3 7 x 5 15 c) (2x 1)2 3 d) 2 x 8 4x 3 II.2 DẠNG TỐN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN Lí thuyết: Cho x 0, y 0. Ta cĩ các cơng thức biến đổi sau: 1. x ( x )2 ; x x ( x )3 2. x x x( x 1) 3. x y y x xy( x y ) 4. x y ( x y )( x y ) 5. x 2 xy y ( x y )2 6. xx yy (x)33 (y) (x y)(x xy y) Loại 1: Sử dụng các Hằng đẳng thức 1. Ví dụ minh hoạ 11 a a a Bài 1: Rút gọn biểu thức: Pa ( ).( )2 (với a 0;a 1) 1 a 1 a Giải: Với a 0 a 1 ta cĩ: 2 (1 a )(1 a a2 ) 1 a a 1 a (1 a )(1 a ) 1 (1 a )2 . 1 2 (1 a ) 2. Bài tập (cĩ hướng dẫn giải) (a b)22 (ab ) Bài tập 01. Rút gọn biểu thức M với ab ≠ 0 ab Bài tập 02. Rút gọn biểu thức B x 1 2 x 2 1 x 2 với 2 ≤ x < 3 2x x 1 x 2 Bài tập 03. Rút gọn biểu thức: A ( ) : (1 ) với x ≥ 0, x ≠ 1 x x 1 x 1 x x 1 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 28
  29. “Giải bài tốn chứa căn” x x 11 x Bài tập 04: Cho biểu thức A (với x ≠ 1; x ≥ 0). Rút gọn A. x 1 x 1 Bài tập 05. Cho biểu thức: D (1 x )2 . x 1 2 x 1 2x x 1 x Bài tập 06: Rút gọn biểu thức Q ( )( ) ( với x>0;x 1) x 11x 1 x x x Loại 2: Sử dụng phương pháp quy đồng: 1. Ví dụ minh hoạ: 11 Bài 1. Rút gọn biểu thức : B 11 xx Giải (1 x ) (1 x ) 2 x B (1 x )(1 x ) 1 x2 2. Bài tập (cĩ hướng dẫn giải) 4 2x 5 Bài tập 01. Rút gọn biểu thức: B với x ≥ 0, x ≠ 1 xx 11 x 1 xx21 Bài tập 02. Rút gọn biểu thức: B với x 0 và x 1 xx 11x 1 x x x 1 Bài tập 03. Cho biểu thức G = . Tìm x để G cĩ nghĩa và rút gọn G. xx 11 22 xx Bài tập 04. Rút gọn biểu thức: P điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1. xx 11 xx24 Bài tập 05. Rút gọn biểu thức A (): với x 0 và x 4 x 2 x 2 x 2 1 1x 2 Bài tập 06. Rút gọn biểu thức B() với x > 0 và x ≠ 4 x 22 x x 1 1a 1 Bài tập 07. Rút ngắn biểu thức: P (): aa 11a 1 Bài tập 08: Rút gọn các biểu thức sau: với x > 0 và x ≠ 4 aa 11 Bài tập 09: Rút gọn biểu biểu thức A (với a Ra,0 và a 1). aa 11 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 29
  30. “Giải bài tốn chứa căn” 1 1 1 Bài tập 10. Rút gọn biểu thức : B ( ) : (x 0;x 1) x 1 x x x 1 1x 4 Bài tập 11. Rút gọn các biểu thức: Q () x 44 x x 11 x Bài tập 12. Rút gọn các biểu thức: Q (1 ). với x > 0, x 1. xx 1 11 Bài tập 13. Rút gọn biểu thức: P ( )( x x x ) với x>0 xx 1 1 1aa 1 2 Bài tập 14. Rút gọn P ():() Với a>0;a 1;a 4 a 1 a a 2 a 1 3 4 12 Bài tập 15. Rút gọn biểu thức: B ( x 0; x 4) xx 22x 4 3xx 1 1 Bài tập 16. Rút gọn biểu thức A ( 3). với x ≥ 0 và x ≠ 1 x 1 x 1 x 2 4x 8 x x 4 1 Bài tập 17. Rút gọn P : với x > 0, x ≠ 1, x ≠ 4 22 x4 x x x x 1 1 aa 1 2 Bài tập 18. Rút gọn biểu thức P : a 1 a a 2 a 1 . 1 1 3 a Bài tập 19. Rút gọn các biểu thức sau: N ( ) : ( a 0; a 4) aa 22a 4 Bài tập 20. Rút gọn biểu thức 2 3 5xx 7 2 3 A ( ) : ( x 0; x 4) x 2 2 x 1 2 x 3 x 2 5 x 10 x . Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 30
  31. “Giải bài tốn chứa căn” Loại 3: Làm xuất hiện nhân tử chung rồi đơn giản biểu thức chứa căn sau đĩ quy đồng. Ví dụ minh hoạ: xx2 2 2 Bài 1.Rút gọn biểu thức P với x > 0, x 2 22xx x 2 Giải: Với điều kiện đã cho thì x2 2( x 2) x 2 P 1 2(2x x )( x 2)( x 2)2 x x 2 2. Bài tập (cĩ hướng dẫn giải) x y y x 1 Bài tập 01. Chứng minh rằng: : xy ; với x>0;y 0 và x y xy x y a b b a a b Bài tập 02. Rút gọn biểu thức: B với a,b, là số dương. ab a b a a a5 a Bài tập 03. Rút gọn biểu thức A 33 với a ≥ 0, a ≠ 25 aa 15 a a a a Bài tập 04. Rút gọn biểu thức: P 1 1 , với a ≥ 0; a ≠ 1 aa 11 a a a a Bài tập 05. Rút gọn biểu thức: M ( 1)(1 ) với aa 0; 1 aa 11 Bài tập 06. Rút gọn biểu thức: với Bài tập 07. Rút gọn các biểu thức sau (trình bày rõ các bước biến đổi): 2 1 1 Bài tập 08. Cho biểu thức P (): x 4 xx 22 Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P. 11x Bài tập 09.Cho biểu thức A (): xx 11x 1 Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức A 14 Bài tập 10. Cho biểu thức P . Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu x 2 x 4 thức P. Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 31
  32. “Giải bài tốn chứa căn” x 11 Bài tập 11. Cho biểu thức Px ( )( 3).Tìm điều kiện xác định và rút x 9 x 3 gọn P xx 1 2 4 Bài tập 12. Cho biểu thức Px ( ).( 1 ) (với x > 0 và x ≠ 4). xx 2 x 4 Chứng minh rằng Px 3 xx11 Bài tập 13. Chứng minh rằng với x 0 và x 1 thì x 1 x x x x x 2 x Bài tập 14. Rút gọn biểu thức: A Với x > 0; x ≠ 1. x 1 x x Bài tập 15. Rút gọn biểu thức: Với x > 0; x ≠ 1. xx 2 1 1 Bài tập 16. Cho biểu thức P ( ). với x > 0 và x khác 1 x 2 x x 2 x 1 x 1 Chứng minh rằng P x xx 1 5 2 Bài tập 17. Cho biểu thức Q với x>0, x 4. Rút gọn biểu thức Q. x 2 x 4 xx 1 2 1 Bài tập 18. Với x > 0, cho biểu thức B . Rút gọn biểu thức B. x x x Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức 33 aP) ( 3 1) 23 1 1 2 b)Q ( )(1 ) với x>0 và x khác 4 x 22 x x x 12 6 Bài tập 20. Rút gọn biểu thức Bx ( 0 va x 36) 6x 36 x 6 x 11x Bài tập 21. Rút gọn: C () với x>0 và x 1 x 1 ( x )2 x x 1 12x Bài tập 22. Rút gọn biểu thức P () với x > 0; x ≠ 4. x 2 x 2 x x 2 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 32
  33. “Giải bài tốn chứa căn” x 22 x x Bài tập 23. Cho biểu thức A (): với x > 0 và x khác 1. x 2 x 1x 1 x 1 x x2 x 1 x 6 x 4 Bài tập 24. Cho biểu thức: P với x 0;x 4. Rút gọn xx 22x 4 biểu thức P. x x 1 x x 1 2( x 2 x 1) Bài tập 25. Cho biểu thức: A : (với x > 0 và x ≠ 1) x x x x x 1 Rút gọn biểu thức A x 1 1 1 Bài tập 26. Cho biểu thức: A :() với x > 0;x 1. Rút gọn A. xx2 xx 1 4 3 6a 2 Bài tập 27. Cho biểu thức P (với a 0 và a 1). Rút gọn P aa 11a 1 Bài tập 28. Thu gọn các biểu thức sau: xx33 A ( ). với xx 0; 9 xx 33x 9 B 21(2 3 3 5)22 6(2 3 3 5) 1515 1 2x 1 Bài tập 29. Rút gọn biểu thức: A với x > 1, x ≠ 1. x xx 1 x x Bài tập 30.Thu gọn các biểu thức sau: x x 1 x 10 A ( x 0, x 4) xx 22x 4 xx2 24 x 8 Bài tập 31. Cho B với x ≥ 0, x ≠ 9. Chứng minh B x 3 x 9 x 3 2 1 3a 5 a 1 Bài tập 32. Cho P ( a 0, a 1) . Rút gọn P a 1 a a a a 14 a Bài tập 33. Rút gọn biểu thức P xx21 Px :3 với x > 0; x 9 x( x 9) x 3 x 3 x 3 a a a 1 Bài tập 34. Rút gọn biểu thức B (): với a>0; a 4 a 2 a a 2 a 4 a 4 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 33
  34. “Giải bài tốn chứa căn” II. 3. DẠNG TỐN CHỨA CĂN VÀ BÀI TỐN PHỤ Sau khi rút gọn bài tốn chứa căn xong chúng ta thường gặp các ý phụ. Các bài tốn ý phụ của bài tốn chứa căn gồm: Bài tốn 1: Tìm ẩn để biểu thức thỏa mãn một điều kiện cho trước. (lớn hơn, nhỏ hơn, bằng một giá trị cho trước) Cho biểu thức rút gọn thỏa điều kiện được phương trình hoặc bất phương trình. Sau đĩ ta đi giải phương trình hoặc bất phương trình đĩ. (Xem Dạng 1 – Loại 1) Bài tốn 2. Tính giá trị của biểu thức tại giá trị cho trước. Thay giá trị cho trước của ẩn vào biểu thức đã được rút gọn rồi tính. Bài tốn 3: Tìm a nguyên để biểu thức nguyên. * Hay dùng: Lấy tử chia cho mẫu tách biểu thức thành tổng của một số nguyên và một biểu thức cĩ tử là một số nguyên Cho mẫu là ước của tử suy ra ẩn. Các phương pháp cụ thể: A k 1. Tách phần nguyên: C B B A Khi k là một hằng số; B là biểu thức nguyên của biến. Khi đĩ nhận giá trị B nguyên B nhận giá trị là ước nguyên của k. Vì vậy ta cần tìm các ước ki của k và giải các phương trình B = ki rồi tìm các giá trị nguyên của biến. 2x 5 Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên? x 1 3 Giải: Ta cĩ A = = 2 . x 1 3 Khi x Z ta cĩ x -1 Z, vậy A Z nhận giá trị nguyên x 1 x -1 nhận giá trị là ước nguyên của 3 x 1 1 x 2 x 1 1 x 0 x 1 3 x 4 (thoả mãn x Z) x 1 3 x 2 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 34
  35. “Giải bài tốn chứa căn” Vậy với x 2, 0, 4, 2 thì biểu thức nhận giá trị nguyên. 2. Khi phần dư khơng chỉ là một hằng số, mà phần dư là một biểu thức của biến, bậc nhỏ hơn bậc của B? A K Khi đĩ ta viết C . Khi đĩ sử dụng tính chất chia hết của số nguyên để B B giải. Khi giải xong bắt buộc phải cĩ bước thử lại. x 1 Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên 2x 2 1 Giải : Giả sử tồn tại x Z để (x -1)  (2x2+1) (x 2 1)(2x 2 1) (2x2 1 3)(2x2 1) 3(2x2 1) 2 2x 1 1,3 x { 1;0;1} 2 Thử lại: với x = -1 thì biểu thức nhận giá trị - Z (loại ) 3 với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị -1 Z với x = 1 thì biểu thức nhận giá trị 0 Z Vậy với x = 0 ; 1 thì biểu thức nhận giá trị nguyên. 3. Áp dụng điều kiện cĩ nghiệm của phương trình bậc hai là ∆ ≥ 0 (∆’ ≥ 0) x 4 x 3 3x 1 Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị x 2 x 1 nguyên. Giải: 2 2x Ta cĩ: A x 1 x 2 x 1 2x Với x Z ta cĩ x2 - 1 Z nên A Z y nhận giá trị nguyên. x 2 x 1 2x Giả sử y0 là 1 giá trị của biểu thức. Khi đĩ tồn tại x để y 0 x 2 x 1 2 phương trình: 2x = y0 (x +x+1) cĩ nghiệm x. Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 35
  36. “Giải bài tốn chứa căn” 2 y0 x + (y0 - 2)x + y0 = 0 (1) cĩ nghiệm +) Xét y0 = 0 phương trình cĩ nghiệm x = 0 2 +) Xét y0 0 phương trình cĩ nghiệm = (y0 -2) - 4y0 0 2 - 2 y0 (y0 0) 3 Do đĩ điều kiện để phương trình cĩ nghiệm là - 2 y0 Những giá trị nguyên của y cĩ thể đạt được là y { -2 ; -1 ; 0 } +) Với y = -2 ta cĩ phương trình : 2x2 + 4x +2 = 0 x= -1 Z +) Với y = -1 ta cĩ phương trình : x2 +3x+1 = 0 =9 - 4 = 5 khơng chính phương phương trình cĩ nghiệm xZ (loại) +) Với y = 0 x = 0 Z Vậy x= 0 hoặc x= -1 thì biểu thức A nhận giá trị nguyên. 4. Sử dụng miền giá trị của biểu thức x 3 Ví dụ: Tìm x để C = ( x 0) đạt giá trị nguyên x 1 Giải: 4 Ta cĩ C = 1 - nhận giá trị nguyên khi nhận giá trị nguyên. Mà x 0 nên x 1 0 < 4 . Vậy các giá trị nguyên cĩ thể cĩ của là 1, 2, 3, 4 *) =1 x =3 khi đĩ C=0 *) =2 x = 1 khi đĩ C = -1 1 4 *) =3 x = khi đĩ C = -2 *) = 4 x = 0 khi đĩ C = -3 3 x 1 1 Vậy các giá trị nguyên của C là 0, -1,-2, -3 tại giá trị tương ứng của x là 3, 1, , 0 3 (Lưu ý: Ở đây học sinh cĩ thể nhầm là x 1 là ước của 4. Nhưng do xR nên cĩ thể ra là một số khơng nguyên, tức khơng phải là ước của 4. Thơng thường ta phân cách làm như sau: Cách sử dụng Ước khi đề bài cĩ tìm xZ để AZ . Cách sử dụng miền giá trị khi đề cho là tìm x để ) Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 36
  37. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tốn 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất -Hay dùng: Biến đổi biểu thức về dạng A2 + m hoặc – A2 + m Các phương pháp cụ thể 1. Áp dụng hằng đẳng thức: A22 2 AB B A B 2 để biến đổi biểu thức về dạng: 2 * A a f x a suy ra minA = a khi f(x) = 0 2 * B b f x b suy ra maxB = b khi f(x) = 0 2. Áp dụng tính chất : x y x y để tìm GTNN Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi xy. 0 3. Áp dụng tính chất : x y x – y để tìm GTLN Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x ≥ y ≥ 0 hoặc x ≤ y ≤ 0 4. Áp dụng bất đẳng thức: a b a b (a ≥ b ≥0 ) để tìm GTLN. Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi b a b 0 b 0 hoặc ab 5. Áp dụng bất đẳng thức: a b a b (a , b ≥0 ) để tìm GTNN Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a.b = 0 a 0 hoặc 6. Áp dụng bất đẳng thức CơSi: + Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 ab (1) Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a = b n + Với a1, a2, a3, ., an ≥ 0 thì a1 a 2 a 3  . an ≥ n a1.a2.a3 an ( 2) Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a1 a 2 a 3  an Từ đẳng thức (1) ta suy ra: - Nếu a. b k ( khơng đổi) thì min (a +b) = 2 k a = b k 2 - Nếu a b k (khơng đổi ) thì max( a.b) = a = b 4 Từ đẳng thức (2) ta suy ra: n - Nếu a1. a 2 . a 3  . an k (khơng đổi ) thì min(a1+ a2 + a3 + .+ an ) = n k n k - Nếu a1 a 2 a 3  . an k (khơng đổi ) thì max(a1.a2.a3 . an ) = n Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 37
  38. “Giải bài tốn chứa căn” 7. Áp dụng điều kiện cĩ nghiệm của phương trình bậc hai là ∆ ≥ 0 (∆’ ≥ 0) b b' Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi phương trình cĩ nghiệm kép x ( x ) 2a a CƠNG THỨC NÂNG CAO THỰC HIỆN TRONG BIẾN ĐỔI CĂN THỨC: AABAAB 22 ABABAB 0, 0, 2 22 1. Ví dụ minh hoạ Bài tập 01: Đề thi Tuyển Sinh vào 10 năm 2018 – 2019 Hà Nội x 4 3x 1 2 Cho hai biểu thức A và B với xx 0; 1 x 1 x 2 x 3 x 3 a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9 ( loại bài tốn 2) 1 b) Chứng minh B x 1 Ax c) Tìm tất cả các giá trị của x để 5 (loại bài tốn 1) B 4 Giải a) Do x = 9 thoả mãn điều kiện nên thay x = 9 vào A ta cĩ 9 4 3 4 7 A . 91 3 1 2 b) 3x 1 2 (x 3)( x 1) x 3 3xx 1 2( 1) (xx 3)( 1) x 31 (x 3)( x 1) x 1 A x x 41 x c) 5 : 5 B 44xx 11 2 4(4)x x 20 x 440 x x 20 x 20 x 4 x = 4 thoả mãn điều kiện. Vậy x = 4 thì Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 38
  39. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 02: Đề thi Tuyển Sinh vào 10 năm 2018 – 2019 Hà Nam 11 a) Rút gọn biểu thức A 2 8 6. 3 22 aa32 b) Cho biểu thức B với aa 0; 9 . Rút gọn B. Tìm các số aa 33a 9 nguyên a để B nhận giá trị nguyên. (bài tốn 3) Giải: 1 1 2 22 .2 a) Rút gọn A 2 86.3 6.3223.232 2 2 22 2 aa32 b) = a 3 a 3 ( a 3)( a 3) a( a 3) 3( a 3) a 2 (a 3)( a 3) ( a 3)( a 3) ( a 3)( a 3) a 3 a 3 a 9 a 2 11 aa 3)( 3) a 9 11 Để B Z Z 11 ( a 9) ( a 9) U (11) . U(11)  1;11; 1; 11 a 9 Khi đĩ ta cĩ bảng giá trị a 9 -11 -1 1 11 a -2 8 10 20 Khơng thoả mãn Thoả mãn Thoả mãn Thoả mãn Vậy a 8;10;20 thì BZ Bài tập 03: Đề thi Tuyển Sinh chuyên chung vào 10 năm 2018 – 2019 Thái Bình Cho biểu thức : x 41 1 P 1: (với x 0, x ; x 1; x 4 ) x 3 x 2 2 x 3 x 1 4 a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm x sao cho P 2019 . (loại bài tốn 1) 10 c) Với x 5, tìm giá trị nhỏ nhất của TP . (loại bài tốn 4) x Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 39
  40. “Giải bài tốn chứa căn” Giải: (xx 2)( 2) a) P 1 .(2 x 1)( x 1) (xx 1)( 2) 21x P (2 x 1)( x 1) x 1 Px 41 b) Px 2019 4 1 2019 x 505 10 10 10 2xx 18 c) T P 4 x 1 ( ) 1 x x x 55 10 2x 18 x 10 2 x 18 T ( ) 1 2 . .5 1=21 ( Do x 5 và cơsi) xx5 5 5 5 Vậy T cĩ giá trị nhỏ nhất là 21 khi x 5. 2. PHẦN BÀI TẬP (Cĩ hướng dẫn giải) Bài 1: Tuyển sinh Hà Nam năm 15-16 xx 2 Cho biểu thức B 1 (với x ≥ 0 và x ≠ 4). x 4 2 x Rút gọn B và tìm x để B = 1. Bài 2: Tuyển sinh Hà Nam năm 16-17. Rút gọn: với 04 x Bài 3: Tuyển sinh chuyên Hà Nam năm 14-15 x 3 x 2 9 x 3 x 9 Cho biểu thức P : 1 2 x 3 x x x 6 x 9 (với x 0; x 4; x 9 ) a) Rút gọn biểu thức P. 4 2 3.( 3 1) b) Tính giá trị biểu thức P khi x 6 2 5 5 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 40
  41. “Giải bài tốn chứa căn” Bài 4: Tuyển sinh chuyên chung Hà Nam năm 15-16 1 1 1 Cho biểu thức Q 1 (với a 0 và a 1) 11 a a a a) Rút gọn biểu thức Q. b) Tính giá trị biểu thức Q khi a 3 2 2 Bài 5: Tuyển sinh Hà Nội năm 13-14 2 x xx 1 2 1 Với x > 0, cho hai biểu thức A và B x x x x 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64. 2) Rút gọn biểu thức B. A 3 3) Tìm x để B 2 Bài 6: Tuyển sinh Lào Cai năm 13-14 1 1aa 1 2 Cho biểu thức: P ():() Với a>0;a 1;a 4 a 1 a a 2 a 1 a) Rút gọn P 1 b) So sánh giá trị của P với số 3 Bài 7: Tuyển sinh Nam Định năm 13-14 x 22 x x Cho biểu thức A (): với x > 0 và x khác 1. x 2 x 1x 1 x 1 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A cĩ giá trị là số nguyên. Bài 8: Tuyển sinh Hà Nội năm 14-15 x 1 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x=9 x 1 xx 2 1 1 2) Cho biểu thức P ( ). với x > 0 và x khác 1 x 2 x x 2 x 1 x 1 a) Chứng minh rằng P x b)Tìm các giá trị của x để 2Px 2 5 Bài 9: Tuyển sinh Nghệ An năm 14-15 11x Cho biểu thức A (): xx 11x 1 a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức A b) Tìm tất cả các giá trị của x để A 0. Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 41
  42. “Giải bài tốn chứa căn” Bài 10: Tuyển sinh Thái Bình năm 14-15 Cho biểu thức A: 2 3 5xx 7 2 3 A ( ) : ( x 0; x 4) x 2 2 x 1 2 x 3 x 2 5 x 10 x 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên. Bài 11: Tuyển sinh Thanh Hố năm 14-15 x 1 1 1 Cho biểu thức: A :() với x > 0;x 1 xx2 xx 1 1. Rút gọn A. 2. Tính giá trị của biểu thức A khi x 4 2 3 Bài 12: Tuyển sinh Khánh Hồ năm 15-16 x y y y y x Cho biểu thức M 1 xy a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M. b) Tính giá trị của M, biết rằng xy (1 3)2 ; 3 8 Bài 13: Tuyển sinh Quảng Bình năm 15-16 1 1 4x 2 Cho biểu thức A với x 1 x 1 x 1 x2 1 a) Rút gọn biểu thức A. 4 b) Tìm x khi A = 2015 Bài 14: Tuyển sinh Thái Bình năm 15-16 x x2 x 1 x 6 x 4 Cho biểu thức: P với x 0;x 4 xx 22x 4 Rút gọn biểu thức P. Tìm giá trị của P khi x = 9 4 5 Bài 15: Tuyển sinh Nam Định năm 16-17 xx 1 2 4 Cho biểu thức Px ( ).( 1 ) (với x > 0 và x ≠ 4). xx 2 x 4 1) Chứng minh rằng Px 3 2) Tìm các giá trị của x sao cho P = x + 3 Bài 16: Tuyển sinh Thanh Hố năm 16-17 x x 1 x x 1 2( x 2 x 1) Cho biểu thức: A : (với x > 0 và x ≠ 1) x x x x x 1 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm các số nguyên x để biểu thức A cĩ giá trị nguyên. Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 42
  43. “Giải bài tốn chứa căn” Bài 17: Tuyển sinh Chuyên Sơn La năm 16-17 11 x Cho biểu thức P : ( x 0; x 1) x x x 1 x 2 x 1 1. Rút gọn biểu thức P. 1 2. Tìm các giá trị của x để P . 2 Bài 18: Tuyển sinh Lam Sơn – Thanh Hố năm 14-15 3x 16 x 7 x 1 x 3 Cho biểu thức: P (Với x > 0) x 2 x 3 x 3 x 1 1.Rút gọn biểu thức P 2.Tính giá trị của biểu thức khi x 2 2 3 Bài 19: Tuyển sinh Bắc Giang năm 15-16 x 11 x 2 x 1 Cho biểu thức: A x x 2 x 1 x 2 a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A cĩ nghĩa, khi đĩ rút gọn A b) Tìm số chính phương x sao cho A cĩ giá trị là số nguyên Bài 20: Tuyển sinh Chuyên Hà Nam năm 09-10 2 x x+1 x 2 +3 x x Cho biểu thức P= + 1x 1x a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn P c) Tìm x để P > 0 Bài 21: Tuyển sinh Ninh Thuận năm 15-16 22 xx Cho biểu thức: P điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1 xx 11 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P khi x 17 12 2 Bài 22: Tuyển sinh Hà Nội năm 16-17 7 xx2 24 Cho hai biểu thức A và B với x ≥ 0, x ≠ 9 x 8 x 3 x 9 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 x 8 2) Chứng minh B x 3 3) Tìm x để biểu thức P = A.B cĩ giá trị là số nguyên Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 43
  44. “Giải bài tốn chứa căn” 99 BÀI TỐN TỔNG HỢP – TỰ GIẢI. (Sưu tầm) 1.1 Rút gọn biểu thức: 15 12 1 a) A 5 2 2 3 a 2 a 2 4 b) Ba  , với a > 0, a ≠ 4 a 2 a 2 a TS lớp 10 TPHCM 06 - 07 ĐS : A2 ; B8 1.2 Rút gọn biểu thức: a) A 2 4 6 2 5  10 2 2 a 1 a 1 2 b) B1  , với a > 0, a ≠ 1 a 1 a 1 a1 2( a 1) TS lớp 10 chuyên TPHCM 06 - 07 ĐS : A8 ; B a1 1.3 Rút gọn biểu thức: a) A 7 4 3 7 4 3 x1 x1 xx2x4x8 b) B  , với x > 0, x ≠ 4 x4 x 4 x 4 x TS lớp 10 TPHCM 08 - 09 ĐS : A 2 3 ; B6 1 x x 1.4 Cho biểu thức: P: , với x > 0. x x 1 x x a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm giá trị của P khi x = 4. c) Tìm x để P = 13 . 3 1 1 TS lớp 10 Hà Nội 08 - 09ĐS : a) P x 1 ; b) P = 7/2; c) x ; x 9 x 9 5 5 1.5 a) Trục căn thức ở mẫu: và 5 23 ab 2 b2 a b) Rút gọn: A , trong đĩ a 0, b > 0 bb TS lớp 10 Đà Nẵng 08 - 09 ĐS : a) 5; 10 5 3 b) 1.6 Rút gọn biểu thức: 3 3 4 3 4 a) A 2 3 1 5 2 3 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 44
  45. “Giải bài tốn chứa căn” x x 2x 28 x 4 x 8 b) B , với x 0,x 16 x 3 x 4 x 1 4 x TS lớp 10 TPHCM 11 - 12 ĐS : A6 ; B x 1 1.7 a) Thực hiện phép tính: 12 75 48 : 3 b) Trục căn thức ở mẫu: 15 15 5 3 1 31 TS lớp 10 An Giang 11 - 12 ĐS : A1 ; B 2 1.8 a) Thực hiện phép tính: A 3. 27 144 : 36 a 3 a a 1 a 0,a 1 b) Rút gọn: B 2  1 , với a 3 a 1 TS lớp 10 Bắc Giang 11 - 12 ĐS : A7 ; B a 4 1 1.9 Thực hiện phép tính: P 12 5 3 3 20 TS lớp 10 Bến Tre 11 - 12 ĐS : P3 3 1.10 Rút gọn biểu thức: 15 12 6 2 6 a) A 32 3 18 : 2 b) B 5 2 3 2 TS lớp 10 Bình Thuận 11 - 12 ĐS : A 13 ; B3 1.11 Tính: M 15x2 8x 15 16 , tại x 15 TS lớp 10 Bình Dương 11 - 12 ĐS : M 11 x 1 2 x x x 1.12 Cho biểu thức: A , với x 0. x 1 x 1 a) Tìm x để A cĩ nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A. c) Với giá trị của x thì A < 1. TS lớp 10 Cần Thơ 11 - 12ĐS : a) x 0,x 1 ; b) A 2 x 1; c) 0 x 1 21 1.13 a) Rút gọn biểu thức: A 1 2 3 2 2 1 1 1 2 b) Cho: B1 , với x 0,x 1 x x 1 x 1 x1 i) Rút gọn biểu thức B. ii) Tìm giá trị của x để biểu thức B = 3. 2 9 TS lớp 10 Đăk Lăk 11 - 12 ĐS : a) A = 1 b) i) B ii) x x 4 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 45
  46. “Giải bài tốn chứa căn” 1.14 a) Tính giá trị các biểu thức: i) A 25 16 9 ii) B 3(12 5) 5(3 5) 1 1 x 4 b) Rút gọn biểu thức: C  , với x 0,x 4 x 2 x 2 x TS lớp 10 Đồng Tháp 11 - 12 ĐS : a) C = 2 x 10 x 5 1.15 Cho biểu thức: A , với x 0 và x 25. x 5x 25 x 5 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A khi x = 9. c) Tìm x để A 0 và x ≠ 9. x 3 x x a) Rút gọn biểu thức P. 1 2 b) Tính giá trị của biểu thức QP: với x . x3 10 3 11 2 TS lớp 10 Hà Nam 11 - 12 ĐS : a) P b) Q 11 3 x( x 3 ) 1.18 Rút gọn các biểu thức: 3 8 2 12 a) A 3 2 27 75 12 b) B 2 31 TS lớp 10 Hải Phịng 11 - 12 ĐS : a) 12 b) 2 1.19 Rút gọn các biểu thức: 2 23 a) A 3 2 3 b) B 24 32 TS lớp 10 Thừa Thiên Huế 11 - 12 ĐS : a) 2 b) 6 1.20 Rút gọn các biểu thức: TS lớp 10 Hải Phịng 11 – 12 a) b) ĐS : a) A 12 b) B2 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 46
  47. “Giải bài tốn chứa căn” 1 1.21 Rút gọn biểu thức: A3 23 TS lớp 10 Khánh Hịa 11 - 12 ĐS : A2 x2 2 1 1 1.22 Cho P (x 0,x 1) . 1x 3 2(1 x) 2(1 x) a) Rút gọn biểu thức P. 1 b) Tính giá trị nguyên của x để biểu thức Q cĩ giá trị nguyên. (x 1)P 1 TS lớp 10 Kon Tum 11 - 12ĐS : a) P b) x 0;x 2;x 4 1 x x2 2 1.23 a) Rút gọn biểu thức: A 3 2 3 23 b) Trục căn ở mẫu số rồi rút gọn biểu thức : B 24 32 TS lớp 10 Huế 11 - 12 ĐS : a) b) B6 1.24 a) Tính giá trị của các biểu thức A 25 9;B (51) 2 5 . x y 2 xy 1 b) Cho P : (x0;y0;xy) x y x y i) Rút gọn P. ii) Tính giá trị của biểu thức P tại x = 2012 và y = 2011. TS lớp 10 Lạng Sơn 11 - 12ĐS : a) A 8;B 1 b) i )P x y ii )P 1 1 1 x 1 1.25 Cho A: . TS lớp 10 Nghệ An 11 – 12 x x x 1 ( x 1)2 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 1 b) Tìm giá trị của x để A . 3 c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P A 9 x . x1 ĐS : a) A b)x = 9/4 c) GTLN P = 1 khi x = 1/97 x 1.26 Rút gọn các biểu thức sau:. a) A 2 8 ab b) B  abba (a0,b0,ab) . ab b ab a TS lớp 10 Ninh Bình 11 - 12 ĐS : a) A 3 2 b) B = a – b Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 47
  48. “Giải bài tốn chứa căn” 1.27 Rút gọn các biểu thức: a) A 12 75 48 b) B (10 3 11)(3 11 10) TS lớp 10 Kiên Giang 11 - 12 ĐS : a) A3 b) B1 x x 8 1.28 Cho biểu thức: P 3(1 x) (x 0). x 2 x 4 a) Rút gọn biểu thức A. 2P b) Tìm các giá trị nguyên dương của x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên. 1P TS lớp 10 Ninh Thuận 11 - 12 ĐS : a) A 1 2 x b) x = 1 1.29 Rút gọn các biểu thức: 11 a) A 3 2 2 3 2 2 b) B 3 1 3 1 TS lớp 10 Phú Yên 11 - 12 ĐS : a) A2 b) 1.30 Rút gọn các biểu thức: 1 15 12 a) A 2 5 3 45 500 b) B 3 2 5 2 TS lớp 10 Quảng Nam 11 - 12 ĐS : a) A5 b) B2 1.31 a) Thực hiện phép tính: A 2 9 3 16 . x 2x x b) Rút gọn biểu thức: M (x 0,x 1) x 1 x x TS lớp 10 Quảng Ngãi 11 - 12 ĐS : a) A = 18 b) M x 1 1.32 Rút gọn các biểu thức: 11 a) A (1 2)2 1 b) B 5 3 2 3 2 3 TS lớp 10 Quảng Ninh 11 - 12 ĐS : a) A2 b) B 3 3 1.33 Rút gọn các biểu thức sau (khơng sử dụng máy tính cầm tay). a) M 27 5 12 2 3 1 1 a b) N : (a 0,a 4) a 2 a 2 a4 TS lớp 10 Quảng Trị 11 - 12 ĐS : a) A 11 3 b) N = 2 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 48
  49. “Giải bài tốn chứa căn” 3 1 x 3 1.34 Cho biểu thức: A (x 0,x 1) . x 1 x 1 x1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x 3 2 2 . 1 2 TS lớp 10 Thái Bình 11 - 12 ĐS : a) A b) A x1 2 2 3 6 8 4 1.35 a) Đơn giản biểu thức: A . 234 11 b) Cho biểu thức: Pa , với a ≥ 1 a a 1 a a 1 i) Rút gọn P ii) Chứng tỏ P ≥ 0. TS lớp 10 Khánh Hịa 12 - 13 ĐS : a) A 1 2 b) P a 2 a 1 1 1.36 a) Thực hiện phép tính: A2 . 21 1 2 a 3 a 2 b) Rút gọn: B 1 (a 0,a 4) a 2 a 2 a a 2 TS lớp 10 An Giang 12 - 13 ĐS : a) A = 1 b) B = 1 1.37 a) Tìm x để giá trị các biểu thức sau cĩ nghĩa: 4 i) 3x 2 ii) 2x 1 (2 3) 2 3 b) Rút gọn biểu thức: A 23 TS lớp 10 Bắc Ninh 12 - 13 ĐS : a) x 2/3, x > ½ b) A = 1 1.38 a) Thực hiện phép tính: A 4 2 3 7 4 3 . 5 a 3 3 a 1 a2 2 a 8 b) Rút gọn: B (a 0,a 4) a 2 a 2 a4 TS lớp 10 Bình Định 12 - 13 ĐS : A = 3, B = 4 – a 1 1.39 Rút gọn biểu thức: A 1 x x với x 0. x1 TS lớp 10 ĐăkLăk 12 - 13 ĐS : A = x 23 1.40 Cho biểu thức: A 50x 8x . 54 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của x khi A = 1. 1 TS lớp 10 Bình Dương 12 - 13 ĐS : a) Ax b) x = 2 2 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 49
  50. “Giải bài tốn chứa căn” 1.41 a) Tính giá trị của các biểu thức sau: i) A 3 5 2 5 ii) B 3 4 2 3 x x x x b) Rút gọn: M 1 1 (0 x 1) 1 x 1 x TS lớp 10 Bình Phước 12 - 13ĐS : a) A5 , B = –1, M = 1 – x 1.42 Rút gọn các biểu thức sau (khơng sử dụng máy tính cầm tay). a) P 50 6 8 32 . 2 1 b) Q 8x22 (1 4x 4x ) với x > 0 và x . 2x 1 2 TS lớp 10 Bình Thuận 12 - 13 ĐS : a) P 3 2 b) Q 4x 2 1 1 a 1 1.43 Cho biểu thức: K 2 : với a > 0 và a 1. 2 a 1 a aa a) Rút gọn biểu thức K. b) Tìm a để K 2012 . TS lớp 10 Cần Thơ 12 - 13 ĐS : a) K 2 a b) a = 503 1.44 Rút gọn các biểu thức: 12 3 3 2 2 a) M b) N 3 21 TS lớp 10 Đồng Nai 12 - 13 ĐS : M 3 2,N 2 1 1.45 Rút gọn các biểu thức: 8 2 12 a) A 2 5 5 45 500 b) B8 31 TS lớp 10 Hà Nam 12 - 13 ĐS : A 5, B 2 x4 1.46 a) Cho biểu thức A . Tính giá trị của A khi x = 36. x2 x 4 x 16 b) Rút gọn: B: , với x 0 và x 16 x 4 x 4 x 2 c) Với các biểu thức A và B nĩi trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên. 5 x2 TS lớp 10 Hà Nội 12 - 13ĐS : a) A b) B c) {14;15;17;18} 4 x 16 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 50
  51. “Giải bài tốn chứa căn” 1.47 a) Tìm các số là căn bậc hai của 36. b) Cho A 3 2 5 , B 3 2 5 . Tính A + B. x 1 4 1 c) Rút gọn: C: , với x 0 và x 9 x 3x9 x 3 TS lớp 10 Đồng Tháp 12 - 13 ĐS : c) C = 1 5 1.48 a) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức A . 61 4a a a 1 b) Cho biểu thức: P  , với a > 0 và a 1 2 a 1 a a a i) Rút gọn biểu thức P. ii) Với những giá trị nào của a thì P = 3. 4a 1 1 TS lớp 10 Hà Tĩnh 12 - 13ĐS : a) A 6 1 b) i) P ii) a a2 3 a a a a 1.49 Cho biểu thức: A: với a và b là các số a bba a b a b 2 ab dương khác nhau. a b 2 ab a) Rút gọn biểu thức A . ba b) Tính giá trị của A khi a 7 4 3 và b 7 4 3 . TS lớp 10 Hà Nam 12 - 13 ĐS : a) A = 0 b) A 2 3 / 3 1.50 Tính giá trị của biểu thức H ( 10 2) 3 5 . TS lớp 10 Ninh Thuận 12 - 13 ĐS : H = 4 1.51 Rút gọn các biểu thức: 5 5 4 a) N 122 318 28:2 b) M 5 1 5 1 TS lớp 10 Hải Phịng 12 - 13 ĐS : N = 7; M = 1 1.52 Tìm điều kiện cĩ nghĩa của biểu thức: 1 a) b) x2 x1 TS lớp 10 Hịa Bình 12 - 13 1.53 a) Tìm x, biết 3x 2 2(x 2). b) Rút gọn biểu thức: A (1 3)2 3 TS lớp 10 Hưng Yên 12 - 13 ĐS : a) x2 b) A1 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 51
  52. “Giải bài tốn chứa căn” 2 3 6 8 4 1.54 a) Đơn giản biểu thức: A . 234 11 b) Cho biểu thức: Pa , với a ≥ 1 a a 1 a a 1 i) Rút gọn P ii) Chứng tỏ P ≥ 0. TS lớp 10 Khánh Hịa 12 - 13 ĐS : a) A 1 2 b) P a 2 a 1 1.55 a) Đơn giản biểu thức: A 3 2 11 3 2 11 . ab a b a 1 b a 1 b) Chứng minh rằng: , với a ≥ 0, a ≠ 1, b. a1 1a TS lớp 10 Kiên Giang 12 - 13 ĐS : a) A 6 2 1.56 a) Tính: A 18 2 2 32 . b) Rút gọn: 37 20 3 37 20 3 TS lớp 10 Lâm Đồng 12 - 13 ĐS : a) A2 b) B 10 1.57 Rút gọn các biểu thức sau: a) A 28 63 2 7 . a a a a b) B 1 1 , với a 0 và a 1. a 1 a 1 TS lớp 10 Long An 12 - 13 ĐS : a) A = 37 b) B 1 a 1.58 a) Tính giá trị của các biểu thức sau: 12 27 i) A ( 3 1)2 1 ii) B 3 1 1 x 1 b) Cho biểu thức: P 2 : x 1 x 1 1 x x 1 1 i) Tìm x để P cĩ nghĩa và rút gọn P. ii) Tìm x để P là một số nguyên. TS lớp 10 Lạng Sơn 12 - 13 ĐS : a) A 3; B 5 b) P 2 / ( x 1 ) , P Z khi x {2; 5} 1 x 2 1 1.59 Cho A: , với x > 0 và x 1 x x x 1 x1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Chứng minh rằng A – 2 > 0 với mọi x thỏa mãn x > 0 và x 1. x1 ( x 1)2 TS lớp 10 Nam Định 12 - 13ĐS : a) A = b) A2 x x Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 52
  53. “Giải bài tốn chứa căn” 1 1 x 2 1.60 Cho A  x 2 x 2 x a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. b) Tìm tất cả các giá trị của x để A > 1/2. 7 c) Tìm tất cả các giá trị của x để BA đạt giá trị nguyên. 3 TS lớp 10 Nghệ An 12 - 13ĐS : a) A = 2 b) 0 0 và x ≠ 1. x 1 x x x 1 x1 a) Rút gọn Q. b) Tính giá trị của Q với x 7 4 3 . TS lớp 10 Ninh Bình 12 - 13ĐS : a) Q = ( x 1) / x b) Q = 33 1.62 Rút gọn các biểu thức sau: 1 1 1 2 a) A 2 18 b) B , với x 0; x ≠ 1. 2 x 1 x 1 x1 TS lớp 10 Quảng Ninh 12 - 13 ĐS : a) A 3 2 b) B 2 / ( x 1) 1 1.63 a) Tính giá trị biểu thức A 9 4 5 . 52 2(x 4) x 8 b) Cho biểu thức: B , với x 0 ; x 16 x 3 x 4 x 1 x 4 i) Rút gọn biểu thức P. ii) Tìm x để giá trị của B là một số nguyên. 3x TS lớp 10 Thái Bình 12 - 13ĐS : a) A4 b) i) B ii) x {0;1/4;4} x1 1.64 a) Thực hiện phép tính: A 4 9 16 25 b) Tìm x dương, biết: x 1 3 TS lớp 10 An Giang 13 - 14 ĐS : a) A2 b) x2 8 32 18 1 1.65 Rút gọn: A 6 5 14  9 25 49 2 TS lớp 10 Bà Rịa – Vũng Tàu 13 - 14 ĐS : A = 123/7 1.66 a) Thực hiện phép tính: A 3. 27 144 : 36 x 2x x b) Rút gọn biểu thức: B , với x 0, x 1. x 1 x x TS lớp 10 Bắc Giang 13 - 14 ĐS a) A = – 63 b) B x 1 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 53
  54. “Giải bài tốn chứa căn” 1.67 a) Với giá trị nào của x thì biểu thức: x5 các định ? 2 2 2 2 b) Rút gọn biểu thức: A  2 1 2 1 TS lớp 10 Bắc Ninh 13- 14 ĐS : A = 2 11 1.68 Tính : P 8 18 2 2 TS lớp 10 Bến Tre 13 - 14 ĐS : P0 x x x 1 1.69 a) Rút gọn: A: , với 0 0, y > 0 và x ≠ y. xy x y TS lớp 10 Đăk Lăk 13 - 14 ĐS : a) A3 ( x 1)22 ( x 1) 8 1.73 Cho biểu thức sau: M , với x > 0, x ≠ 1. x x x x12 a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm tất cả các giá trị của x để M > 0. TS lớp 10 Đăk Nơng 13 - 14 ĐS : a) M 4 / ( x 1) b) x > 1 1.74 a) Cho hai biểu thức: A x 3 và B 9 4 i) Tính B. ii) Với giá trị nào của x thì A = B. x x 1 b) Chứng minh:  x2 , với x > 0, x ≠ 1. x 1 x 1 x Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 54
  55. “Giải bài tốn chứa căn” TS lớp 10 Đồng Tháp 13 - 14 ĐS : a) i) B1 ii) x4 1.75 Rút gọn các biểu thức sau a a a 1 a) A , với a ≥ 0, a ≠ 1. a1 a1 4 2 3 6 8 b) B 2 2 3 1 TS lớp 10 Hà Nam 13 - 14 ĐS : a) A b) B 1 2 a1 a 1 a 1 1.76 Cho biểu thức A , với a R, a ≥ ), a ≠ 1. a 1 a 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị biểu thức A tại a = 2. 4a TS lớp 10 Đồng Nai 13 - 14 ĐS : a) A b) A 4 2 a1 2x x 1 2 x 1 1.77 Với x > 0, cho hai biểu thức A và B x x x x a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64. b) Rút gọn B A3 c) Tìm x để . B2 5 x2 TS lớp 10 Hà Nội 13 - 14ĐS : 36 km/ha) A b) B c) 0 x 4 4 x1 1.78 Rút gọn các biểu thức sau: a) P 12 27 2 48 1 1 x 3 b) Q  , với x > 0, x ≠ 9. x 3 x 3 x 2 TS lớp 10 Hà Tĩnh 13 - 14 ĐS : a) P 7 3 b) Q x1 x 2 x 3 x 1 1 1.79 Rút gọn biểu thức: A , với x ≥ 0. x x 1 x x 1 x 1 1 TS lớp 10 Hà Tĩnh 13 - 14 ĐS : A x1 1.80 Rút gọn các biểu thức sau: a) M 3 50 5 18 3 8 2 b) N 6 2 5 6 2 5 TS lớp 10 Hải Phịng 13 - 14 ĐS : a) M = 12 b) N = 2 11 1.81 a) Thực hiện phép tính: . 2 3 2 3 b) Rút gọn biểu thức: 6 4 7 2 6 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 55
  56. “Giải bài tốn chứa căn” TS lớp 10 Lâm Đồng 13 - 14 ĐS : a) 4 b) 32 1.82 a) Tính giá trị của các biểu thức: A 9 4 ; B ( 2 1)2 2 1 1 x C  b) Rút gọn: 2 , với x > 0 và x ≠ 1. x 1 ( x) x x 1 TS lớp 10 Lạng Sơn 13 - 14 ĐS : a) A 5;B 1 b) C 1 / ( x 1) 1.83 a) Thực hiện phép tính: i) 3. 12 ii) 3 20 45 2 80 1 1 a 1 a 2 b) Cho: P: , với a > 0, a ≠ 1 và a ≠ 4. a 1 a a 2 a 1 i) Rút gọn P. ii) So sánh giá trị của P với số 1 . 3 a2 1 TS lớp 10 Lào Cai 13 - 14ĐS : a) i) 6 ii) 5 b) i) P ii) P 3a 3 1.84 Rút gọn các biểu thức sau: a) A 2 9 25 5 4 x y y x b) B  x y , với x > 0, y > 0. xy TS lớp 10 Long An 13 - 14 ĐS : a)A = 1 b) B = x – y x 2 x 2 x 1.85 Cho biểu thức: A: , với x > 0 và x ≠ 1. x 2 x 1x1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A cĩ giá trị là số nguyên. TS lớp 10 Nam Định 13 - 14 ĐS : a) A 2 / ( x 1) b) x 2; x 3 2 1 1 1.86 Cho biểu thức P: TS lớp 10 Nghệ An 13 - 14 x4 x 2 x 2 a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P. 2 x b) Tìm x để P . ĐS: a) x 0,x 4 ; P b) x 36 3 x2 x 2 x 1 x x 1.87 Cho biểu thức: P(x)  1 , với x ≥ 0, x ≠ 1 x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức P(x). b) Xác định x để: 2x2 P(x) 0 TS lớp 10 Ninh Thuận 13 - 14 ĐS: a) P( x) x 1 b) 0 x 1 / 2 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 56
  57. “Giải bài tốn chứa căn” 1.88 a) Tính A 2 16 49 a a a a) b) Rút gọn: B 1 1 , với a ≥ 0 và a ≠ 1. a 1 a 1 TS lớp 10 Phú Thọ 13 - 14 ĐS: a) A1 b) B 1 a 1 1 1 1.89 Cho biểu thức A1 , với x > 0 và x ≠ 1. x 1 x 1 x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. TS lớp 10 Quảng Bình 13 - 14 ĐS: a) A 2/ x b) x4 1.90 a) Tính A 3 16 5 36 x 1 x 1 b) Chứng minh rằng với x > 0 và x ≠ 1 thì . x 1 x x x TS lớp 10 Quảng Ngãi 13 - 14 ĐS: a) A 42 50 25 1.91 a) Tính A 36 x x 2x b) Rút gọn biểu thức: B , với x > 0 và x ≠ 1. x 1 x x TS lớp 10 Quảng Ninh 13 - 14 ĐS: a) A 15/2 B) b x 1 1.92 Tính giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp: 2 a) A 2 2 b) B 3 8 50 ( 2 1)2 21 TS lớp 10 Thừa Thiên – Huế 13 - 14 ĐS: a) A = 2 b) B = 1 3 4 21 1.93 Rút gọn biểu thức: A 7 2 3 7 7 TS lớp 10 Tiền Giang 13 - 14 ĐS: A4 11 1.94 a) Tính giá trị của biểu thức A 6 2 6 2 b) Rút gọn biểu thức B x 1 2 x 2 1 x 2 với 23 x TS lớp 10 Cà Mau 14 - 15 ĐS: a) A 6 / 2 b) B = 2 10x 2 x 3 x 1 1.95 Rút gọn: A ( x 0; x 1) x 3 x 4 x 4 1 x TS lớp 10 Hải Dương 14 - 15 ĐS: A (7 3x)/( x 4) Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 57
  58. “Giải bài tốn chứa căn” x1 1.96 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 x1 x 2 1 x 1 b) Cho biểu thức P. với x > 0 và x1 x 2 x x 2 x 1 x1 i) Chứng minh rằng P x ii) Tìm các giá trị của x để 2P 2 x 5 TS lớp 10 Hà Nội 14 - 15ĐS: a) A = 2 b) i) HS tự cm ii) x = 1/4 11x 1.97 Cho biểu thức A : xx 11x 1 a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức A b) Tìm tất cả các giá trị của x để A< 0. TS lớp 10 Nghệ An 14 - 15 ĐS: a) x ≥ 0 và x ≠ 1 b) 0 ≤ x < 1 1 1 a 1.98 Cho biểu thức: A với a 0; a 4 a 2 a 2 a 4 a) Rút gọn A 2 b) Tính giá trị của biểu thức A khi a 7 4 3 3 TS lớp 10 Quảng Bình 14 - 15 ĐS: a) A x / ( x 2 ) b) A = 1 1.99 a) Khơng dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức sau: A 22 7 2 30 7 11 x x 1 x 6 x 2 b) Rút gọn biểu thức B : 1 x 2 x 2x4 x 2 TS lớp 10 Thái Nguyên 14 - 15ĐS: a) A = 38 b) B ( x 2 ) / ( x 2 ) Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 58
  59. “Giải bài tốn chứa căn” PHẦN ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ. I.1: Loại 1: Dạng chứa căn số học đơn giản. Bài tập 01. A 3( 27 4 3) 81 4 9 9 4.3 21 Bài tập 02. A (23 527 412): 3 (23 5.33 4.23): 3 53: 3 5 Bài tập 03. A 27227 75 334353 63 Bài tập 04. A 12 27 48233343 3 Bài tập 05. 22 B 2 3 3 27 300 2 3 3 3 .3 10 .3 2 3 3.3. 3 10 3 3 Bài tập 06. Bài tập 07. A 551256545 55 Bài tập 08. A 3 2 4 9.2 3 2 12 2 15 2 Bài tập 09. A 23 427 548 23 123 203 103 Bài tập 10. M (350 518 38) 2 (152 152 62) 2 62.2 12 Bài tập 11. 2 9 25 5 4 = 5+6-10 =1 Bài tập 12. 232 527 48 375 2 42 .2 5. 3 2 .3 4. 2 2 .2 3. 5 2 .3 8 2 15 3 8 2 15 3 = 0 Bài tập 13. aA) 2 3.52 3 3.2 2 3.3 2 2.5. 3 3.2. 3 3 3 10 3 6 3 3 3 7 3 Bài tập 14. A 2 5 3 45 500 2 5 3.3 5 10 5 5 Bài tập 15. Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 59
  60. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 16. A 3 2.322 3.3 3233323 Bài tập 17. B 2.522 3.525 253525 5 I.2: Loại 2: Dạng “biểu thức số trong căn” tiềm ẩn “là hằng đẳng thức” Bài tập 01. B (3 2 6) 6 3 3 (3 3) 12 6 3 (3 3)|3 3|(3 3)(3 3) 9 3 6 Bài tập 02. bB) (51)625 (51)(51) 2 ( 5 1) | 5 1| ( 5 1)( 5 1) 5 1 4 Bài tập 03. 1 A 7 2 10 20 8 2 2 1 ( 5 2) 2 5 .2 2 2 | 5 2 | 2 5 2 5 2 2 5 2(Do 5 2 0) 35 Bài tập 04. Cĩ B=| 2 3 | 3 2 3 3 2(Do 2> 3) Bài tập 05: 21 22 B 423 625 3423 625 1515 2 21 22 31 51 331 51 1515 2 15 2 3 5 15 15 60 2 Bài tập 06. B (3 2 6) 6 3 3 (3 3) 12 6 3 (3 3)|3 3|(3 3)(3 3) 9 3 6 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 60
  61. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 07. 2 4 2 3 31 31 P 1 1 3 1 3 1 3 22 4 2 3 3 2 3 1 3 1 B 62 2 3 1 2 3 1 31 3 1 1 2 2 3 1 2 3 1 2 2 I.3: Loại 3: Dạng sử dụng biểu thức liên hợp, trục căn thức, quy đồng Bài tập 01. 5 P 25 52 5 25(5 2) 51045 5 2 5 2 5 5 10 5( 5 2) 5 5 2 5 2 Bài tập 02: 1 1 6 6 B 2 3 3 7 3 7 372 97 Bài tập 03. P 5 2 5 2 2 5 Bài tập 04. 1 1 3 2 3 2 B 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 Bài tập 05. 2 1 2 9.2 2( 2 1) 3 2 18 2 23 1 2 3 1 2 3 22 2 2 2 2 2 1 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 61
  62. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 06. 2 B 28 54 76 2( 7 6) 7.4 9.6 ( 7 6)( 7 6) 2 7 2 6 2 7 3 6 76 2 7 2 6 2 7 3 6 56 Bài tập 07: Ta cĩ: AB ( 3 1) ( 3 1) 2 3 AB (31)(31) (3)22 1 31 2 A 3 1 ( 3 1)2 4 2 3 23 B 3 1 ( 3 1)( 3 1) 2 A2 B 2 ( A B ) 2 2 AB (2 3) 2 2.2 12 4 8 Bài tập 08. 2 3 1 2 3 1 P 333 23312313 3 1 3 1 31 Bài tập 09. 5 5 5 3 5 A 5 2 5 1 3 5 (5 5)(5 2) 5(51) 35(3 5) Bài tập 10. ( 5 2)( 5 2) ( 5 1)( 5 1) (3 5)(3 5) 5 5 9 5 15 3 5 5 44 5 5 9 5 15 3 5 5 4 3 5 5 5 2 5 5 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 62
  63. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 11. 6 M | 2 3 | 75 23 6(2 3) 2 3 53 14 Bài tập 12. 1 A 7 4 3 23 11 4 4 3 3 (2 3)2 2 3 2 3 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 2 3 (2 3)(2 3) 1 Bài tập 13. Bài tập 14. 2 3 2 3 Ta cĩ aA) 1 4 2 3 1 4 2 3 2 22 (2 3) 2 3 2 3 A ( 5) 2 32 1 3 2.1. 3 1 1 3 2.1. 3 1 23 5 4 1 ( 1) 2 2 3 2 3 32 1 ( 3 1)22 1 ( 3 1) 2 3 2 3 Bài tập 15. 1 3 1 1 3 1 2 3 2 3 3 3 4 3 4 A 2 3 2 3 2 3 1 5 2 3 (4 43 3) (3 43 3) 334231 34523 41 2214 2 2 3 1 5 2 3 1 14 22 11 3 26 13 3 11 13 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 1 22 3 1 3 1 222 11 3 1 3 1 .( 2) 2 22 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 63
  64. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 16. 11 5 3 5 3 5 3 5 3 2 3 A 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 2 1 2 2 1 1 2 C 2 3 6 3 3 2 3 3 3 3 1 3 3 1 2 3 3 1 2 2 3 3 3 1 2 3 2 3 4 2 3 2 3 3 1 2 3 3 3 1 2 3 2.331 2331 331 3 3 3 1 3 3 1 3 1 3 3 1 3 3 3 II.2 DẠNG TỐN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN Loại 1: Sử dụng các Hằng đẳng thức Bài tập 01. (a b)22 (ab ) (a b a b )(a b a b ) 2 a .2 b M 4 ab ab ab Bài tập 02. B x 1 2 x 2 1 x 2 với 2 ≤ x x 2 – 1 < 0) Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 64
  65. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 03. 2x x 1 x 2 a) A ( ) : (1 ) với x ≥ 0, x ≠ 1 x x 1 x 1 x x 1 2x x x x 1 x x 1 ( x 2) : 33 (x ) 1 ( x ) 1 x x 1 2x x x x 1 x x 1 . (x 1)( x x 1) x x 1 x 2 21x x x x (xx 1)( 1) x 1 (xx 1)( 1) 1 x 1 Bài tập 04: Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta cĩ 3 x 1 x 1 x 1 xx 1 Ax 1 xx 11 xx 11 2 x x 11 x x xx 11 xx 1 1 A 1 xx 11 Bài tập 05. D ( x 1)22 . ( x 1) |xx 1|.( 1) - Nếu x 1 0 x 1 D ( x 1)( x 1) x 1 - Nếu x 10 0 x 1 D ( x 1)( x 1)1 x Bài tập 06: x 1 2 x ( x 1) 1 x Q . x 1 (x 1)( x 1) x 1 x (1 x ) x 1 2 1 x 1 x 1 x 1 .(x ) . xx 11 x 1 x xx Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 65
  66. “Giải bài tốn chứa căn” Loại 2: Sử dụng phương pháp quy đồng: Bài tập 01. Với x ≥ 0 và x ≠ 1, ta cĩ: 4 2x 5 B xx 11 x 1 4(x 1) 2( x 1) x 5 (x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) 4(x 1) 2( x 1) ( x 5) (xx 1)( 1) x 11 (x 1)( x 1) x 1 1 Vậy B = x 1 Bài tập 02. xx21 B x 1 ( x 1)( x 1) x 1 x( x 1) 2 x ( x 1) x x 2 x x 1 B (x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) x 2 x 1 ( x 1)2 x 1 B (x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) x 1 Bài tập 03. Điều kiện x 0 và x 1 x x x 1 x ( x 1) ( x 1)( x 1) G x ( x 1) 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Bài tập 04. Cĩ (2 x )( x 1) (2 x )( x 1) P (x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) (x x 2) ( x x 2) 2 x xx 11 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 66
  67. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 05. Với x 0 và x 4 ta cĩ: xx24 A (): x 2 x 2 x 2 x( x 2) 2( x 2) x 2 ( ). (x 2)( x 2) ( x 2)( x 2) x 4 x 2 x 2 x 4 x 2 . (xx 2)( 2) x 4 1 x 2 x 2 x 4 Bài tập 06. 1 1x 2 B () x 22 x x (x 2) ( x 2) x 2 . (x 2)( x 2) x 2xx ( 2) 2 x( x 2)( x 2) x 2 (xx 0; 4) Bài tập 07. ĐK: aa 0; 1 a 1 ( a 1) a 1 : (aa 1)( 1) a 1 21a . aa 11 2 a 1 Bài tập 08: với x > 0 và x ≠ 4. 1 1x 2 B () x 22 x x (x 2) ( x 2) x 2 . (x 2)( x 2) x 2xx ( 2) 2 x( x 2)( x 2) x 2 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 67
  68. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 09: a 1 a 1( a 1)(22 a 1) a 2 a 1 a 2 a 14 a A aa 11 a 1 a 1 a 1 Bài tập 10. 1 1 1x ( x 1) x x B ():. x 1 x x x x ( x 1) 1 1 xx .1 xx 1 Bài tập 11. x 4 x 4 x 4 2 x x 4 Q (x 4)( x 4) x ( x 4)( x 4) x 2 x 4 Bài tập 12. x 1 x 1 1 2 x 1 2 Qx . . (0 1) (x 1) x x 1 x x 1 Bài tập 13. 11 Với x > 0 cĩ P ( )( x x x ) xx 1 xx 1 .xx ( 1) xx( 1) 1 .x .( x 1) x xx( 1) Bài tập 14. 1 1aa 1 2 P ():() a 1 a a 2 a 1 a a 1 ( a 1)( a 1) ( a 2)( a 2) : a( a 1) ( a 2)( a 1) ( a 2)( a 1) 1 (a 2)( a 1) a 2 . a( a 1)(a 1) (a 4) 3 a Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 68
  69. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 15. 3 4 12 B ( x 0; x 4) xx 22x 4 3(xx 2) 4( 2) 12 = (xx 2)( 2) 7x 14 = (xx 2)( 2) 7(x 2) 7 = (x 2)( x 2) x 2 Bài tập 16. 3xx 1 1 A ( 3). x 1 x 1 x 2 3x ( x 1) ( x 1) 3( x 1)( x 1) x 1 . (x 1)( x 1) x 2 3x 3 x x 1 3 x 3 x 1 . x 1 x 2 2(xx 2) 1 . x 1 x 2 2 x 1 Bài tập 17. Ta cĩ: 4x 8 x x 4 1 P : 22 x4 x x x x 4x .(2 x ) 8 x x 4 ( x 2) : (2 x )(2 x ) x ( x 2) 4x 8 x 2 x 2 : (2 x )(2 x ) x ( x 2) 4x x ( x 2) 2x . . Vậy P 2 xx 2 2 x 1 2x x 1 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 69
  70. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 18. Ta cĩ: Điều kiện: a > 0, a ≠ 1, a ≠ 4 a ( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 2)( a 2) P : a( a 1) ( a 2)( a 1) 1 (a 1) ( a 4) 1 ( a 2)( a 1) :. a( a 1) ( a 2)( a 1) a ( a 1) 3 a 2 3 a Bài tập 19. Ta cĩ: 1 1 3 a N (): aa 22a 4 a 2 a 2 a 4 . (a 2)( a 2) 3 a 24aa . a 4 3 a 2 3 Bài tập 20. 2 3 5xx 7 2 3 A (): x 2 2 x 1 2 x 3 x 2 5 x 10 x 2(2x 1) 3( x 2) (5 x 7) 2 x 3 : (x 2)(2 x 1) 5 x ( x 2) 2x 3 5 x ( x 2) . (x 2)(2 x 1) 2 x 3 5 x 21x Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 70
  71. “Giải bài tốn chứa căn” Loại 3: Làm xuất hiện nhân tử chung rồi đơn giản biểu thức chứa căn sau đĩ quy đồng. Bài tập 01. x y y x1 xy() x y : .(x y ) x y xy x y xy Bài tập 02 a b b a a b ab( a b ) ( a b )( a b ) B ab a b ab a b B a b a b 2 a với a,b, là số dương. a a a5 a Bài tập 03. A 33 với a ≥ 0, a ≠ 25 aa 15 a( a 1) a ( a 5) 33 aa 15 (3 aa )(3 ) 9 a Bài tập 04. Với a ≥ 0, a ≠ 1 ta cĩ a( a 1) a ( a 1) 2 P 1 1 1 a 1 a 1 a 1 a aa 11 Bài tập 05. a a a a M ( 1)(1 ) aa 11 với aa 0; 1 a( a 1) a ( a 1) ( 1)(1 ) aa 11 (aa 1)(1 ) 1a Bài tập 06. Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 71
  72. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 07. a a a2 a P 1 . 1 với aa 0; 1 aa 12 với a( a 1) a ( a 2) (1 )(1 ) aa 12 (1 aa )(1 ) 122 (aa ) 1 Bài tập 08. xx 00 ĐKXD: xx 4 0 4 2 1 1 2 xx 2 Px ( ) : .( 2) x 4 x 2 x 2 ( x 2)( x 2) x 2 33x P 22x 2 2x 3 x 6 x 6 x 36( TM ) Bài tập 09. x 0 Điều kiện x 1 x 1 x 1 1 x 1 1 A :. (x 1)( x 1) x 1 ( x 1)( x 1)1 x 1 Bài tập 10. ĐKXĐ : x 0 , x 4 (0,5 đ) Rút gọn: 1 4xx 2 4 2 P x 4 x 2 ( x 2)( x 2) ( x 2)( x 2) 1 x 2 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 72
  73. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 11. Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 9 xx 13 Px ( 3) (x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) xx 1 ( 3) .(x 3) (xx 3)( 3) 4 x 3 Bài tập 12. xx 1 2 4 Px ( ).( 1 ) xx 2 x 4 (x 1)( x 2) 2 ( x 1) x x 4 . xx 44 xx x 34 x x . x 4 x xx( 3) x x 3 Bài tập 13. x1 x 1 x x 1 x 1 x x x 1 x ( x 1) x ( x 1) x 1 ( x 1)( x 1) x 1 x( x 1) x ( x 1) x Bài tập 14. Ta cĩ: x x 22 x x x x A x 1 x x x 1 x ( x 1) x x 2 x x (x 2 x 1) x( x 1) x ( x 1) x ( x 1) (x 1)2 x 1 x 1 Kết luận: Ax 1 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 73
  74. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 15. Ta cĩ: x x 22 x x x x A x 1 x x x 1 x ( x 1) x x 2 x x (x 2 x 1) x( x 1) x ( x 1) x ( x 1) (x 1)2 x 1 x 1 Bài tập 16. x 2 x x 1 ( x 1)( x 2) x 1 x 1 P ( ). ( ). x( x 2) x 1 x ( x 2) x 1 x Bài tập 17. xx 1 5 2 (x 1)( x 2) 5 x 2 Với Q x 2 x 4 x 4 x 3 x 2 5 x 2 x 2 x x ( x 2) x xx 44(x 2)( x 2) x 2 Bài tập 18. (1)(x x x )(21) x x x x 2 x 1 x 2 B 1 x( x x ) x x x x 1 x 1 Bài tập 19: Giải. 3 3 3(31) (31)(31) 31 aP) ( 3 1) ( 3 1) 1 2 3 2 3 22 1 1 2x 2 x 2 x 2 b)Q( )(1)( )( ) x 2 x 2 x ( x 2)( x 2) x 2xx 2 2 ( )( ) (x 2)( x 2) x x 2 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 74
  75. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 20. xx 12 6 12 6 B 0,5 6x 36 x 6 x 6( x 6) x ( x 6) x( x 12) 6.6 x 12 x 36 B= 0,5 6x ( x 6) 6 x ( x 6) (xx 6)2 6 B= 0,5 6x ( x 6) 6 x Bài tập 21. xx1 C () x( x 1) x ( x 1) x 1 xx( 1) 1 C x( x 1)( x 1) x 1 Bài tập 22. 12x P () x 2 x 2 x x 2 xx2 () x( x 2) x ( x 2) x 2 xx 21 . x( x 2) x 2 x 2 Bài tập 23. x 22 x x A (): x 2 x 1x 1 x 1 x 2 x 2 x 1 A . 2 (x 1) ( x 1)( x 1) x (x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) x 1 . 22 (x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) x x x 2 x 2 ( x x 2 x 2) x 1 . (x 1)2 ( x 1) x 21xx . (x 1)2 ( x 1) x 2 x 1 2 Vậy A= x 1 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 75
  76. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 24. x x2 x 1 x 6 x 4 P x 2 x 2 ( x 2)( x 2) (x x )( x 2) (2 x 1)( x 2) x 6 x 4 (xx 2)( 2) x x 2 x x 2 x 2 x 4 x x 2 x 6 x 4 (xx 2)( 2) x x 22 x x (xx 2)( 2) x( x 2) x 2 ( x 1)( x 2) (x 2)( x 2) ( x 2)( x 2) x 1 x 2 x 1 Vậy với x 0;x 4 thì P= x 2 Bài tập 25. (x 1)( x x 1) ( x 1)( x x 1) 2( x 1)2 A : x( x 1) x ( x 1) ( x 1)( x 2) x x 1 x x 1 2( x 1) : x x x 1 21xx . xx2( 1) x 1 x 1 Bài tập 26. x 1 1 1 A :() xx2 xx 1 x 11 x x :() x( x 1)( x 1) x ( x 1) 1xx ( 1) . xx( 1) 1 1 x Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 76
  77. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 27. 4 3 6a 2 P aa 11a 1 4(a 1) 3( a 1) 6 a 2 a 1 a 1 ( a 1)( a 1) 4a 4 3 a 3 6 a 2 (aa 1)( 1) a 1 (aa 1)( 1) 1 a 1 Bài tập 28. Với x 0;x 9 x 3 x 3 x 9 x 3 A ( ). (xx 3)( 3) x 9 1 x 3 21 B ( 4 2 3 6 2 5 )22 3( 4 2 3 6 2 5 ) 15 15 2 21 ( 3 1 5 1)22 3( 3 1 5 1) 15 15 2 15 ( 3 5)2 15 15 60 2 x 1 2 6 B ( ) : (1 )(x 0) x 3 x x 3 x x 3 x xx1 2 6 ():() x 3 x 3 x x ( x 3) x 1 ( x 2)( x 3) 6 : x 3 x ( x 3) x (x 1). 1 xx Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 77
  78. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 29. 1 2x 1 A x( x 1) ( x 1)( x 1) x ( x 1) x 1 2 x x ( x 1) x( x 1)( x 1) 22x xx( 1) 2 x Bài tập 30. x( x 2) ( x 1)( x 2) x 10 2 x 8 A 2 xx 44 B (13 4 3)(7 4 3) 8 20 2 43 24 3 (23 1)(22 3) 2 820 2(4 33) 2 (33 4)2 8 20 2(4 33) (3 3 4)22 8 (3 3 1) 43 24 3 8(3 3 1) 35 Bài tập 31. x2 x 24 x ( x 3) 2 x 24 B x 3x 9 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) x 3 x 2 x 24 x 3 x 8 x 24 (x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) x( x 3) 8( x 3) ( x 8)( x 3) x 8 (x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) x 3 Bài tập 32. a) Với a > 0 và a ≠ 1 ta cĩ: a 1 3 a 5 ( a 2 a 1) 4 a P . (a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) 4 a 4a 4 a 2 a 1 4 ( a 1)2 (a 1)(22 a 1) 4 a ( a 1) 4 a 1 a Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 78
  79. “Giải bài tốn chứa căn” Bài tập 33. x 2 x ( x 3) x ( x 3) ( x 3)( x 3) x P : x( x 9) x 3 99x : x( x 3)( x 3) x 3 9xx ( 3) 1 9x ( x 3)( x 3) x 3 Bài tập 34. a a a 1 B (): với a>0; a 4 a 2 a a 2 a 4 a 4 a a( a 2)2 . a 2 a a 2 a 1 a a( a 2)22 a (1 a ) ( a 2) . . aa ( 2) a 2 a 1 a 2 a 1 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 79
  80. “Giải bài tốn chứa căn” II. 3. DẠNG TỐN CHỨA CĂN VÀ BÀI TỐN PHỤ Bài 1: Tuyển sinh Hà Nam năm 15-16 x x 2( x 2) x 4 3 x B xx 44 3 x B 1 1 x 3 x 4 0 ( x 1)( x 4) 0 x 1(TM) x 4 Bài 2: Tuyển sinh Hà Nam năm 16-17. B= = Để B = 12   x = (thỏa đk 0< x Bài 3: Tuyển sinh chuyên Hà Nam năm 14-15 x 9 4 x 9 x xx 9 3 9 a) P: 23 xx x 9 42 xx xx 33 : 2 x 3 x x x 3 x 2 3 1 3 1 3 1 3 1 b) x 2 2 1 5 5 1 5 5 22 Nên P 2 1 2 Bài 4: Tuyển sinh chuyên chung Hà Nam năm 15-16 Giải 1 a 1 a a 1 2 a a 1 2 a) Q (1 a )(1 a ) a (1 a )(1 a ) a 1 a 2 b) aa 3 2 2 2 1 2 1 2 Khi đĩQ 2 1 2 1 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 80
  81. “Giải bài tốn chứa căn” Bài 5: Tuyển sinh Hà Nội năm 13-14 2 64 2 8 5 1) Với x = 64 ta cĩ A 64 84 (1)(x x x )(21) x x x x 2 x 1 x 2 2) B 1 x( x x ) x x x x 1 x 1 3) Với x > 0 ta cĩ: A3 2 x 2 x 3 x 1 3 : B 2x x 1 2 x 2 2x 2 3 x x 2 0 x 4 ( Do x>0) Bài 6: Tuyển sinh Lào Cai năm 13-14 a) Rút gọn 1 1aa 1 2 P ():() a 1 a a 2 a 1 a a 1 ( a 1)( a 1) ( a 2)( a 2) : a( a 1) ( a 2)( a 1) ( a 2)( a 1) 1 (a 2)( a 1) a 2 . a( a 1)(a 1) (a 4) 3 a 1 b) So sánh giá trị của P với số 3 Xét hiệu: a 2 1 a 2 a 2 0 3a3 3 a 3 a 1 P 3 Bài 7: Tuyển sinh Nam Định năm 13-14 x 22 x x A (): x 2 x 1x 1 x 1 x 2 x 2 x 1 A . 2 (x 1) ( x 1)( x 1) x (x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) x 1 . 22 (x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) x . x x 2 x 2 ( x x 2 x 2) x 1 . (x 1)2 ( x 1) x 21xx . (x 1)2 ( x 1) x 2 x 1 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 81
  82. “Giải bài tốn chứa căn” 2 Vậy A= x 1 b) Với x > 0 và x 1 ta cĩ: A= Chỉ ra khi A cĩ giá trị là số nguyên khi và chỉ khi x – 1 là ước của 2 Mà Ư{2} = {-2 ;-1 ;1 ;2} TH1 : x – 1 = -2  x = -1 (khơng thỏa mãn điều kiện) TH2 : x – 1 = -1  x = 0 (khơng thỏa mãn điều kiện) TH3 : x – 1 = 1  x = 2 ( thỏa mãn điều kiện) TH4 : x – 1 = 2  x = 3 ( thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 2, x = 3 thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Bài 8: Tuyển sinh Hà Nội năm 14-15 Giải: 31 1. Với x = 9 ta cĩ A 2 31 x 2 x x 1 ( x 1)( x 2) x 1 x 1 2. a) P ( ). ( ). x( x 2) x 1 x ( x 2) x 1 x b)Từ câu 2a ta cĩ 22x 2P 2 x 5 2 x 5 x 2x 2 2 x 5 x va x>0 2x+3x 2 0 va x>0 (xx 2)(2 1) 0 va x>0 2x 1 0 1 x 4 Bài 9: Tuyển sinh Nghệ An năm 14-15 x 0 a). Điều kiện x 1 x 1 x 1 1 x 1 1 A :. (x 1)( x 1) x 1 ( x 1)( x 1)1 x 1 b). A<0 thì 1 0 x 1 x 10 x 1 x 1 Kết hợp ĐK: để A < 0 thì 0 ≤ x < 1 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 82
  83. “Giải bài tốn chứa căn” Bài 10: Tuyển sinh Thái Bình năm 14-15 Giải: 1.Với x>0;x 4 , biểu thức cĩ nghĩa ta cĩ: 2 3 5xx 7 2 3 A (): x 2 2 x 1 2 x 3 x 2 5 x 10 x 2(2x 1) 3( x 2) (5 x 7) 2 x 3 : (x 2)(2 x 1) 5 x ( x 2) 2x 3 5 x ( x 2) . (x 2)(2 x 1) 2 x 3 5 x 21x 5 x Vậy với x>0;x 4 thì A= 21x 2.Ta cĩ x 0,  x 0; x 4 5x 5 5 5 A 2xx 22 2(2 1) 5 0 A , kết hợp với A nhận giá trị là một số nguyên thì A {1;2} 2 11 A 1 5 x 2 x 1 x x ( TM ) 39 A 2 5 x 4 x 2 x 2 x 4( L ) 1 Vậy với x thì A nhận giá trị là một số nguyên. 9 Bài 11: Tuyển sinh Thanh Hố năm 14-15 Với với x > 0;x 1 x 1 1 1 A :() xx2 xx 1 x 11 x x :() x( x 1)( x 1) x ( x 1) 1xx ( 1) . xx( 1) 1 1 x Với xx 423(31) 22 (31) 31 1 3 1 A 31 2 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 83
  84. “Giải bài tốn chứa căn” Bài 12: Tuyển sinh Khánh Hồ năm 15-16 a) ĐK: x 0; y 0 xy yyy xxyyx x y M 11 xy xy xy( x y ) ( x y ) ( x y )(1 xy ) xy 11 xy xy b) Với xy (1 3)2 ; 3 8 =3 2 2 ( 2 1)2 M (1 3)22 (21) 31 21 3 2 Bài 13: Tuyển sinh Quảng Bình năm 15-16 1 1 4x 2 a) A với x 1 x 1 x 1 x2 1 x 1 x 1 4 x 2 x2 1 x 2 1 x 2 1 x 1 x 1 4 x 2 (xx 1)( 1) 4x 4 4 ( với x 1) (xx 1)(x 1) 1 4 A với x 1 x 1 b) 4 Khi A= 2015 44 x 1 2015 =>x-1=2015 x=2016(TMĐK) Vậy khi thì x = 2016 Bài 14: Tuyển sinh Thái Bình năm 15-16 Giải a) Với x 0;x 4 ta cĩ: x x2 x 1 x 6 x 4 P x 2 x 2 ( x 2)( x 2) (x x )( x 2) (2 x 1)( x 2) x 6 x 4 (xx 2)( 2) x x 2 x x 2 x 2 x 4 x x 2 x 6 x 4 (xx 2)( 2) Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 84
  85. “Giải bài tốn chứa căn” x x 22 x x (xx 2)( 2) x( x 2) x 2 ( x 1)( x 2) (x 2)( x 2) ( x 2)( x 2) x 1 x 2 x 1 Vậy với x 0;x 4 thì P= x 2 b) Ta cĩ: x 9 4 5 (2 5)2 (thỏa mãn điều kiện xác định) x 25 9 4 5 1 10 4 5 Khi đĩ : P 2 5 4 2 5 2 5 Vậy với x 9 4 5 thì P= 2 5 4 Bài 15: Tuyển sinh Nam Định năm 16-17 xx 1 2 4 Px ( ).( 1 ) xx 2 x 4 (x 1)( x 2) 2 ( x 1) x x 4 . xx 44 xx x 34 x x . x 4 x xx( 3) x x 3 Vậy P= x 3 2. Với x > 0 và x ≠ 4 Ta cĩ: P x 3 x 3 x 3 xx 0 xx( 1) 0 x 1 x 0 Đối chiếu với điều kiện ta được x = 1 thỏa mãn Vậy x = 1 thỏa mãn yêu cầu bài tốn Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 85
  86. “Giải bài tốn chứa căn” Bài 16: Tuyển sinh Thanh Hố năm 16-17 Giải 1) Cĩ (x 1)( x x 1) ( x 1)( x x 1) 2( x 1)2 A : x( x 1) x ( x 1) ( x 1)( x 2) x x 1 x x 1 2( x 1) : x x x 1 21xx . xx2( 1) x 1 x 1 x 1 2 2 2) A 1 xx 11 2 Vì x nguyên nên ta cĩ A nguyên nguyên  x 1 là ước của 2 x 1 Mặt khác x > 0, x ≠ 1 nên >-1. Do đĩ: x 1 1 x 2 x 4 ()TM xx 1 2 3 x 9 Vậy x = 4 hoặc x = 9 thỏa mãn đề bài. Bài 17: Tuyển sinh Chuyên Sơn La năm 16-17 11 x a) Rút gọn biểu thức: P : ( x 0; x 1) x x x 1 x 2 x 1 1xx ( 1)2 . x( x 1) x ( x 1) x 1 xx ( 1)2 . x( x 1) x (xx 1)( 1) xx x 1 x 1 b)Tìm các giá trị của x để P 2 x 11 Với x > 0, x 1 thì 2(x 1) x x 2 . Vậy với x > 2 thì x 2 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 86
  87. “Giải bài tốn chứa căn” Bài 18: Tuyển sinh Lam Sơn – Thanh Hố năm 14-15 1.1 3x 16 x 7 x 1 x 3 P x 2 x 3 x 3 x 1 3x 4 x 7 x 1 x 3 (x 3)( x 1) x 3 x 1 3x 4 x 7 ( x 1)( x 1) ( x 3)( x 3) (xx 3)( 1) 3x 4 x 7 x 1 x 9 = (xx 3)( 1) x 4 x 3 ( x 3)( x 1) x 1 = (x 3)( x 1) ( x 3)( x 1) x 1 1.2 x 2 2 3 ( 2 1)2 (thỏa mãn ĐKXĐ) xd 2 1 (0,5 ) x 1 2 1 1 2 2 P 1 2 x 2 2 1 1 2 Bài 19: Tuyển sinh Bắc Giang năm 15-16 x 11 x 2 x 1 1) A x x 2 x 1 x 2 a) Để A cĩ nghĩa, điều kiện là: x 0 x x 2 0 x 0 x 0 xx 2 0 2 x 4 x 10 Với điều kiện trên, ta cĩ: x 11 x 2 x 1 A x x 2 x 1 x 2 x 11 x ( x 2)(2 x 1)( x 1) (xx 1)( 2) x 11 ( x 2 x ) (2 x x 1) (xx 1)( 2) x 4 x 12 ( x 2)( x 6) (x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) x 6 x 1 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 87
  88. “Giải bài tốn chứa căn” x 6 Vậy A = với x ≥ 0 và x ≠ 4. x 1 5 b) Ta cĩ: A = = 1 + x 1 Để A cĩ giá trị là số nguyên thì là số nguyên  x 1 là ước của 5 (*) Mặt khác x 11nên (*) ⇔ ∈{1; 5} – Nếu = 1 ⇒ x = 0 (tm) – Nếu = 5 ⇒ x = 16 (tm) Vậy các giá trị x cần tìm là x = 0 và x = 16. Bài 20: Tuyển sinh Chuyên Hà Nam năm 09-10 1 x 0 x1 P xác định 1 x 0 x0 x0 b) Rút gọn P 2 x x +1 x 2 +3 x x x x +1 x 4x +4 +3 x x P= + = + 1x 1 x1 x 1 x 1 x x x +4 4 P= + 1 x 1x 1 x 4 0 1x 1 x 0 c) P > 0 x 1 1 x 0 x 1 x 0 x 0 Bài 21: Tuyển sinh Ninh Thuận năm 15-16 a) Cĩ (2 x )( x 1) (2 x )( x 1) P (x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) (x x 2) ( x x 2) 2 x xx 11 Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 88
  89. “Giải bài tốn chứa căn” b) Cĩ x 17 12 2 9 2.3.2 2 8 (3 2 2)2 3 2 2 x 0, x 1 x 3 2 2 2 2 2.1 1 ( 2 1)2 2 1 2( 2 1) 2( 2 1) P 1 3 2 2 1 2(1 2) Bài 22: Tuyển sinh Hà Nội năm 16-17 1) x = 25 nên ta cĩ: x 5 77 Khi đĩ ta cĩ: A 5 8 13 2) x2 x 24 x ( x 3) 2 x 24 B x 3x 9 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) x 3 x 2 x 24 x 3 x 8 x 24 (x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) x( x 3) 8( x 3) ( x 8)( x 3) x 8 (x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) x 3 3) P = A.B nên ta cĩ: 7x 8 7 P . x 8 x 3 x 3 +) Ta cĩ x 0 nên P > 0 77 +) x 0 => x 33 x 3 3 7 Nên : 0 P 3 Để P Z => P {1;2} +) P = 1 x = 16 (thỏa mãn điều kiện) 1 +) P = 2 x = (thỏa mãn điều kiện) 4 Vậy x { ;16} Biên tập và sưu tầm các nguồn tài liệu: Nguyễn Văn Tiến Liên hệ: FB/Zalo 0986 915 960 Nguồn tài liệu: Tổng hợp Internet. Xin chân thành cảm ơn các thầy cơ giáo đã chia sẻ tài liệu. Chúc các em học sinh học tập tốt! Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 89