Gợi ý cách giải khác bài hình của thầy Giang Tiền Hải

Nội dung text: Gợi ý cách giải khác bài hình của thầy Giang Tiền Hải

1. Gợi ý cách giải khác bài hình của thầy Giang Tiền Hải Nhận xét: Vì thầy đã đưa ra lời giải cho bài toán cho nên tôi đưa ra lời giải của riêng tôi cho mọi người tham khảo. Đồng thời tôi cũng đưa ra một số bài khó và nâng cao hơn từ bài toán gốc của thầy. Đề bài: Trên 3 cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC lần lượt lấy các điểm D, N, M sao cho góc BDM = góc CDN. Đường thẳng qua D vuông góc với BC cắt MN tại E. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của BE và EC, MH cắt NK tại S. Chứng minh: AS đi qua trung điểm I của BC. Hướng dẫn giải Để giải được bài toán này chúng ta cần 2 công thức hình học như sau:
2. Công thức 1: Định lý Menelaus: Cho tam giác ABC, 3 điểm M, N, I lần lượt thuộc các đường thẳng AB, AC, BC. Khi đó 3 điểm M, N, I thẳng hàng khi và chỉ khi Để chứng minh định lý này thầy cô và các học sinh có thể tham khảo trên mạng, ở đây không chứng minh lại. Công thức 2: Hệ quả ta let: Cho tam giác ABC. Đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng AB và AC lần lượt tại D và E. Trên DE lấy điểm M bất kỳ, cho AM cắt BC tại N thì ta có các hệ thức sau: Để chứng minh công thức trên chỉ việc sử dụng hệ quả ta let trong các tam giác. Bài toán đúng trong trường hợp đường thẳng song song cắt bên trong tam giác và cắt bên ngoài 2 tia đối của tia BA và CA Quay trở lại bài toán cần giải quyết Trường hợp 1: Nếu cạnh MN song song với BC
3. Dễ thấy MN vuông góc với DE và góc DMN = góc BDM = góc NDC = góc DNM nên tam giác DMN cân tại D từ đó suy ra EM = EN. Dễ thấy HK là đường trung bình của tam giác BEC nên BC = 2HK và MN // HK // BC. Kết hợp với giả thuyết cho EB = 2EH. Áp dụng hệ quả ta let kết hợp với các kết quả trên ta có: => 3 điểm A, E, S thẳng hàng theo định lý Menelaus trong tam giác BHM Cho AE cắt BC tại I thì theo công thức 2 ta có Mà theo như trên đã có EM = EN => IB = IC. Vậy SA đi qua trung điểm I của BC. Trường hợp 2: Nếu cạnh MN cắt BC
4. Cho MN cắt BC tai O. Cho HK cắt MN, AB, AS, AC lần lượt tại V, P, T, Q. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt MD, AB, ND, AC lần lượt tại J, L, G, F Áp dụng định lý menlaus trong tam giác HTS với 3 điểm A, M, P cho: Áp dụng định lý menlaus trong tam giác KTS với 3 điểm A, N, Q cho: Từ đó suy ra (1) Dễ thấy HK là đường trung bình tam giác EBC nên LF // PQ // BC. Dễ thấy DE vuông góc với GJ và góc DJE = góc BDM = góc CDN = góc DGE nên tam giác DJG cân tại D từ đó suy ra EJ = EG. Từ LF // PQ dễ chứng minh được KQ là đường trung bình tam giác EFC nên EF = 2QK. Chứng minh tương tự ta có LE = 2PH Áp dụng công thức 2 từ các đoạn thẳng song song ta có:
5. Kết hợp các kết quả trên ta có: => (2) Mặt khác áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SHK với 3 điểm V, M, N => (3) Từ (1) , (2) , (3) => => PT = QT Mà lại có . Do vậy mà IB = IC nói cách khác AS đi qua trung điểm I của BC. Bài toán được chứng minh xong trong cả 2 trường hợp. Nhận xét: Đây quả là bài toán hay và khó. Tuy nhiên các bạn thầy cô sẽ thắc mắc tại sao trường hợp 1 vẫn xảy ra là MN // BC. Đơn giản thôi. Vẽ đường trung tuyến AI của tam giác ABC. Trên AI lấy điểm E bất kỳ. Kẻ ED vuông góc với BC tại D. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M và cắt AC tại N. Vậy ta đã dựng được 3 điểm D, M, N theo yêu cầu của bài toán Ở trường hợp 2, HK vẫn cắt được MN lí do là HK // BC, BC cắt MN cho nên HK vẫn cắt được MN. Để giải quyết bài toán trên, phải sử dụng công cụ rất mạnh là rất nhiều định lý hệ quả ta let kết hợp với 3 cặp tam giác Menelaus mới giải được !. Điều này cho thấy bài toán này trở nên rất khó đối với HS lớp 9, sử dụng các công cụ khác như tam giác đồng dạng, tỉ số diện tích sẽ khó giải quyết bài toán hơn. Trong đó công cụ Menelaus đủ mạnh để giải quyết bài toán này. Thông qua lời giải trên tôi mong muốn các bạn và thầy cô cũng như thầy Hải tìm thêm các cách giải khác của bài toán này. Thông qua bài toán trên tôi có 3 đề xuất như sau: Đề xuất 1: Cũng bài toán trên liệu rằng kết quả bài toán còn đúng nếu như: 1/ Điểm M thuộc tia đối tia BA, điểm N thuộc tia đối của tia CA
6. 2/ Thay thế H và K lần lượt là trung điểm của BE và EC với MH là tia phân giác trong của góc BMN và NK là phân giác trong của góc CNM Đề xuất 2: Từ kết quả bài toán của thầy Hải tôi đề xuất bài toán tổng hợp mạnh hơn có kết hợp cả kiến thức về đường tròn như sau: Đề bài: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) trong đó dây BC cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O) sao cho AB # AC. Vẽ 3 đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H, EF cắt AH tại I. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của IB và IC, FM cắt EN tại K. Vẽ tia Ax sao cho tia Ax nằm giữa 2 tia AB và AC và góc CAK = góc BAx. Chứng minh rằng tia Ax luôn đi qua 1 điểm cố định Đề xuất 3: Từ kết quả bài toán của thầy Hải tôi đề xuất bài toán tổng hợp mạnh hơn có kết hợp cả kiến thức về đường tròn nội tiếp như sau:
7. Đề bài: Đường tròn tâm (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Trên tia đối tia DA lấy điểm E bất kỳ. Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AD và đường thẳng này cắt EB và EC lần lượt tại H và K. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của DH và DK, BM cắt CN tại O. Chứng minh: OE đi qua trung điểm S của HK 3 đề xuất trên dành cho các bạn và thầy cô tham khảo và nghiên cứu khám phá cho bài hình học. Ở bài hình đề xuất 2 muốn giải được phải kết hợp với bài toán đã được giải trên với kiến thức của tam giác đồng dạng. Gợi ý đó là tia Ax đi qua giao điểm các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O). Còn ở bài hình đề xuất 3 muốn giải được cho AD cắt HK tại P, đường trung trực của BC cắt HK tại Q. Chứng minh: Tứ giác BPQC nội tiếp. Bài hình này dựa vào câu hình thi vào 10 chuyên toán TPHCM năm 2017. Từ tứ giác BPQC nội tiếp sẽ chứng minh được góc BPH = góc CPK rồi áp dụng hệ quả của bài toán trên.