Hệ thống kiến thức Hình học từ Lớp 9 đến Lớp 12

Nội dung text: Hệ thống kiến thức Hình học từ Lớp 9 đến Lớp 12

1. ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho ABC vuông ở A ta có : a) Định lý Pitago : BC 2 AB2 AC 2 A b) BA2 =BH.BC; CA2 =CH.CB b c) AB. AC = BC. AH=2SABC c 1 1 1 d) = + H M AH2 AB2 AC2 B C e) BC = 2AM a b c b c f) sinB= , cosB= , tanB= , cotB= a a c b g) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, b b a = , b = c. tanB = c.cot C sin B cosC 2.Hệ thức lượng trong tam giác thường: b2 +c2 -a 2 * Định lý hàm số Côsin: a2=b2+c2-2bc.cosA cosA= 2bc a b c * Định lý hàm số Sin: = = =2R sinA sinB sinC 2 b2 +c2 -a 2 * Độ dài đường trung tuyến: m = a 4 3. Các công thức tính diện tích. a/ Công thức tính diện tích tam giác: 1 1 a.b.c S = a.h = a.bsinC = = p.r = p.(p-a)(p-b)(p-c) 2 a 2 4R a+b+c với p= 2 1 Đặc biệt : * ABC vuông ở A : S= AB.AC , 2 a 2 3 a 3 * ABC đều cạnh a: diện tích S= ; đường cao: h= 4 2 b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh Page 1
2. c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng 1 d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn) 2 1 d/ Diện tích hình thang : S [(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao] 2 e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình tròn : S .R2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 Vấn đề 1: Hai đường thẳng vuông A. Dạng toán cơ bản: góc: 1) Tính góc giữa hai đường thẳng: PP1: Áp dụng định nghĩa: a'//a   a,b = a';b' a a' b'//b PP2: Sử dụng tích vô hướng: b' a.b b cos a;b = cos a;b = a . b 2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: PP1: a  b a.b=0 a//b  PP2:  a  c b  c Page 2
3. Vấn đề 2: Đường thẳng vuông góc A. Dạng toán cơ bản: với mặt phẳng 1) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: PP1: d  a ,d  b  d a ,b  mp(P) d  mp(P) a,b caét nhau  b P a PP2: a//b  a b  a  mp(P) b  (P) (P) 2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng : a a  (P) PP1  a  b b  (P) PP2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc b a' P 3) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : a Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng(P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu d’ của nó trên (P) PP: d’ là hình chiếu của d trên (P) (d;(P))=(d;d’) a' P 4) ĐL: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước. Page 3
4. Vấn đề 3: Hai mặt phẳng vuông góc A. Dạng toán cơ bản: phẳng 1) Góc giữa hai mặt phẳng : Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến. (P)  (Q)  a b PP1: a  (P),a   ((P);(Q)) (a;b) P Q b  (Q),b   PP2: Sử dụng định lý về diện tích hình chiếu S ' S ' S.cos cos S a b P Q 2) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: P PP1: (P)(Q) ((P);(Q))=900 a a  (P) PP2:  (P)  (Q) a  (Q) d Q 3) Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng : P Q (P)  (R)  a PP: (Q)  (R)  Δ  (R) (P)  (Q)=Δ R 4) Cho đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P). Có duy nhất một mặt phẳng chứa a và vuông góc với (P). Page 4
5. Vấn đề 4: Khoảng cách A. Dạng toán cơ bản: 1) Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng : Hạ MH vuông góc với tại H d(M; )=MH 2) Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P): Hạ MH vuông góc với (P) tại H d(M;(P))=MH 3) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Lấy M bất kì thuộc (P) d((P);(Q))=d(M;(Q)) M M M P H H H P Q 3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: a) Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau: a ❖ Nếu ab thì ta dựng mặt phẳng(P) chứa b và vuông góc với a tại M, kẻ MNb tại N. Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của a và b M ❖ Nếu a không vuông góc với b thì: b N - Dựng mặt phẳng(Q) chứa b và song song với a P P M - Dựng hình chiếu a’ của a trên (Q), a’ cắt b tại J a - Dựng đường thẳng qua J và vuông góc với (Q) cắt a tại I. b Khi đó: IJ là đoạn vuôn góc chung của a và b. N b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Q a ' d(a;b)=MN Page 5
6. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 PHẦN 1:THỂ TÍCH A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I/ Các công thức thể tích của khối đa diện: 1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h B : d ie än tíc h ñ a ùy với h : c h ie àu c a o a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c là ba kích thước b) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a là độ dài cạnh 2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: 1 V= Bh 3 B: dieän tích ñaùy với h : chieàu cao 3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có: V SA SB SC SABC VSA'B'C' SA' SB' SC' Chú ý: 1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 , Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 , Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = a 2 +b2 +c2 , Page 6
7. a 3 2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 2 3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy). 4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. B. KHỐI TRÒN XOAY: 1. Hình trụ , khối trụ và mặt trụ tròn xoay: - Trục OO’ - Đường sinh MM’=l - Bán kính R=OM, đường cao O h=OO’=MM’ M - Diện tích xung quanh: Sxq=2 Rl h - Diện tích toàn phần: 2 Stp=2 Rl+2 R RR - Thể tích khối trụ: V= R2l O' - Mặt trụ tròn xoay sinh ra khi quay đường thẳng l song song M' đt cố định và cách một đoạn R không đổi. 2. Hình nón, khối nón, mặt nón tròn xoay: - Trục SO - Đường sinh SM=l - Góc ở đỉnh là 2 - Bán kính đáy R=OM, chiều S cao h=SO l2=R2+h2 - Diện tích xung quanh: Sxq= Rl l - Thể tích khối nón: 1 h V R2h 3 - Mặt nón tròn xoay sinh ra O khi quay đường thẳng l cắt cố M R định và hợp với góc không đổi, góc ở đỉnh là 2 . Page 7
8. 3. Hình cầu, mặt cầu và khối cầu: - Tâm O, bán kính R=OM M - Diện tích mặt cầu: S=4 R2 R 4 2 R - Thể tich khối cầu: V R O 3 4. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện: Tâm O của mặt cầu nếu có là điểm cách đều tất cả các đỉnh của nên thuộc tất cả các mặt phẳng trung trực của các cạnh. Với tứ diện thì luôn tồn tại mặt cầu ngoại tiếp, tâm E là giao điểm của trục tam giác đáy với một trung trực đồng phẳng của một cạnh bên. Với hình chóp thì điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp là khi đáy hình chóp là đa giác nội tiếp, lúc đó tâm E là giao điểm của trục tam giác đáy với một trung trực đồng phẳng của một cạnh bên. PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1. Toạ độ của vectơ và toạ độ của điểm:  ➢ Vectơ u có toạ độ (x;y;z) u=x.i+y.j+z.k .   ➢ Điểm M có toạ độ (x;y;z) OM=x.i+y.j+z.k . ➢ Nếu điểm A(x ;y ;z ) và điểm B(x y ;z ) thì :  A A A B; B B o AB=(xB -xA ;yB -yA ;zB -zA ) 2 2 2 o AB= xB -xA + yB -yA + zB -zA ➢ Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 1:   xA -kxB yA -kyB zA -kzB MA=kMB M ; ; . 1-k 1-k 1-k xA +xB yA +yB zA +zB ➢ Trung điểm I của AB có tọa độ I ; ; . 2 2 2 ➢ Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ xA +xB +xC yA +yB +yC zA +zB +zC G ; ; . 3 3 3 Page 8
9. ➢ Trọng tâm G của tứ diện ABCD có tọa độ xA +xB +xC +xD yA +yB +yC +yD zA +zB +zC +zD G ; ; . 4 4 4 2. Tích vô hướng và tích có hướng: Cho u=(x;y;z) và v=(x';y';z') . Ta có: ➢ Các phép toán về vectơ: o u ± v = (x±x' ; y±y' ; z±z') o ku=(kx;ky;kz) o | u|= x2 +y2 +z2 ➢ Tích vô hướng của hai vectơ: o Biểu thức toạ độ: u.v=x.x'+y.y'+z.z' = u . v .cos(u,v) x.x'+y.y'+z.z' o Góc giữa hai vectơ: cos(u,v)= x2 +y2 +z2 . x'2 +y'2 +z'2 ➢ Tích có hướng của hai vectơ: y z z x x y u,v ; ; y ' z ' z ' x ' x ' y ' Vectơ u,v vuông góc với của hai vectơ u và v ➢ Một số tính chất: o u  v u.v 0 o u và v cùng phương u,v 0   o u , v , w đồng phẳng u,v .w 0   S = AB,AD ➢ Diện tích hình bình hành: ABCD 1   ➢ Diện tích tam giác : S = AB,AC ABC 2    V = AB,AD .AA' ➢ Thể tích hình hộp: ABCD.A'B'C'D' 1    ➢ Thể tích tứ diện : V = AB,AC .AD ABCD 6 Page 9
10. 3. Phương trình mặt cầu: ➢ Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và có bán kính R. Phương trình có dạng: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2. ➢ Dạng 2: Phương trình có dạng: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0, với điều kiện : a2+b2+c2>d, là phương trình mặt cầu có tâm I(a;b;c) và có bán kính R= a 2 +b2 +c2 -d * Giao điểm của mặt phẳng ( ) và mặt cầu (S): Gọi IH là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( ); R là bán kính mặt cầu: o IH>R : ( )(S)= o IH=R : ( )(S)=H o IH 0 là phương trình mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là n=(A;B;C) ➢ Chú ý: - Phương trình các mặt phẳng đặc biệt: mp(Oxy):z=0 ; mp(Oyz):x=0 ; mp(Oxz):y=0 - Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng có vectơ pháp tuyến     n= AB,AC và ta gọi AB, AC là cặp vectơ chỉ phương của mp(ABC). - Pt mặt phẳng theo đoạn chắn trên 3 trục toạ độ: Mp đi qua M(a;0;0), x y z N(0;b;0) và P(0;0;c) có phương trình là: + + =1 a b c - Mp chứa hai đường thẳng cắt nhau: Nếu (P) =mp(d,d’) thì (P) có vectơ   pháp tuyến là n= u ,u d d ' Page 10
11. 5. Phương trình đường thẳng: Cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương là u=(a;b;c) . Khi đó: x=x0 +at ➢ Phương trình tham số của d là: y=y0 +bt z=z0 +ct x-x y-y z-z ➢ Phương trình chính tắc của d (khi abc 0) là: 0 = 0 = 0 a b c 6. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: Nếu ( ) có phương trình Ax+by+Cz+D=0 và ( ’) có phương trình A’x+B’y+C’z+D’=0 thì: •( ) và ( ’) cắt nhau khi và chỉ khi A:B:C A’:B’:C’ A B C D •( ) và ( ’) song song khi và chỉ khi = = A' B' C' D' A B C D •( ) và ( ’) trùng nhau khi và chỉ khi = = A' B' C' D' •( ) và ( ’) vuông góc với nhau khi và chỉ khi AA’+BB’+CC’=0 7. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Nếu đường thẳng d đi qua điểm M , có vectơ chỉ phương u và đường 0  ' thẳng d đi qua điểm M0 , có vectơ chỉ phương u' thì:   • d và d’ trùng nhau u,u' = u,M M' =0 0 0  u,u' =0 • d//d’  u,M M' 0 0 0   u,u' .M M' =0 0 0 • d và d’ cắt nhau  u,u' 0   • d và d’ chéo nhau u,u' .M M' 0 0 0 8. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: Nếu mp( ):Ax+By+Cz+D=0 và đường thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0z0), có vectơ chỉ phương u=(a;b;c) .Khi đó: • d cắt ( ) Aa+Bb+Cc 0 Page 11
12. Aa+Bb+Cc=0 • d//( ) Ax0 +By0 +Cz0 +D 0 Aa+Bb+Cc=0 • d ( ) Ax0 +By0 +Cz0 +D 0 9. Khoảng cách: ➢ Khoảng cách gữa hai điểm A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) là: 2 2 2 AB= xB -xA + yB -yA + zB -zA ➢ Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0z0) đến mặt phẳng ( ) có phương trình Ax0 +By0 +Cz0 +D Ax+by+Cz+D=0 là: d M0 ,(α) = A2 +B2 +C2 ➢ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng đi qua M và có vectơ chỉ 1  0 M M ,u 0 1 phương u là: d(M1,Δ)= u ➢ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và ’, trong đó đi qua điểm M0, có vectơ chỉ phương u và đường thẳng ’ đi qua điểm   u,u' .M M'  0 0 M' , có vectơ chỉ phương u' là: d( ,Δ')=  0 u,u' 10. Góc:  u.u' a.a'+b.b'+c.c' ➢ Góc giữa hai đường thẳng: cosφ=  = u . u' a 2 +b2 +c2 . a'2 +b'2 +c'2  n.n' A.A'+B.B'+C.C' ➢ Góc giữa hai mặt phẳng: cosφ=  = n . n' A2 +B2 +C2 . A'2 +B'2 +C'2 ➢ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: n.u A.a+B.b+C.c sinφ= = n . u A2 +B2 +C2 . a 2 +b2 +c2 Page 12