Hệ thống kiến thức môn Toán Lớp 6, 7, 8, 9 và phương pháp chứng minh hình học

Nội dung text: Hệ thống kiến thức môn Toán Lớp 6, 7, 8, 9 và phương pháp chứng minh hình học

1. - HỆ THỐNG KIẾN THỨC L 6, 7, 8, 9 VÀ PHƯƠNG PHÁP CHƯNG MINH HÌNH HỌC - CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU: CHỨNG MINH HÌNH CHỬ NHẬT 1/ Xét 2 tam giác bằng nhau. 1. Tứ giác có 3 góc vuông. 2/ 2 cạnh bên tam giác cân . 3/ Cùng bằng 1 đoạn thứ 3 2.Hình bình hành có 1 góc vuông 4/ Tính 2 đoạn thẳng đó. 3. Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau 5/ Hai đường chéo hình thang cân, hình chữ nhật, 2 cạnh đối 4.Hình thang cân có 1 góc vuông hình bình hành CHỨNG MINH HÌNH THOI 6/ 2 có d.tích =nhau, 2 cạnh đáy =, thì 2 đường cao = nhau 1. T ứ giác có 4 cạnh bằng nhau CHỨNG MINH 2 GÓC BẰNG NHAU: 2. Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc C1: 2 góc đối đỉnh. C2: 2 góc đáy 1 tam giác cân 3. HB hành có 2 cạnh kề bằng nhau C3: 2 góc ở vị trí so le trong, đồng vị tạo bởi 2 đường thẳng //. 4. HB hành có 1 đường chéo là đường phân giác C4: 2 góc cùng bằng hoặc cùng phụ với 1 góc thứ 3. CHỨNG MINH HÌNH VUÔNG C5: Góc của 1 tứ giác đặc biệt ( 2 góc đối của hình bình hành,2 1. Hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông góc góc đáy hình thang cân) 2. Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau C6: 2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung ; gnt và góc giữa ttuyến và 3 Hình chữ nhật có 1 đường chéo là đường phân giác dây cùng chắn 1 cung 4. Hình thoi có 1 góc vuông 5. Hình thoi có 2 đường chéo = nhau C7: 2 góc tương ứng của 2 đồng dạng, 2 bằng nhau. CHỨNG MINH 1 GÓC VUÔNG TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG 1. có 2 góc nhọn phụ nhau C1: Định lý PYTAGO 2. 2 đường phân giác của 2 góc kề bù thì  nhau C2: Các hệ thức lượng trong tam giác vuông 3. có đường trg tuyến ứng với 1cạnh và bằng ½ cạnh ấy là vg. C3: 2 tam giác đồng dạng – tỉ số đồng dạng 4. có b. phương 1 cạnh = tổng b. phương 2 cạnh kia là vuông C4: Định lý TALET và hệ quả 5. Chứng minh đường cao trong ; đường trung trực đoạn thẳng C5: Đường trung bình trong tam giác 6. a // b, a  c => b  c C6: Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông 7. Đường chéo hình thoi, hình vuông thì  nhau ĐKĐK o sin ;cos ;tan ;cot 8. Góc nội tiếp chắn ½ đường tròn có số đo = 90 HHK Đ CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG CHỨNG MINH 2 TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG : tỉ số đdạng :k 1. 3 điểm tạo góc bẹt C1: Có 2 cặp góc bằng nhau (g.g) C2: 3 cặp cạnh tỉ lệ (c.c.c) 2. Có 2 góc ở vị trí đối đỉnh bằng nhau C3: Có 2 cặp cạnh tỉ lệ, xen giữa là 1 cặp góc bằng nhau (c.g.c) 2 3. 3 điểm tạo2 đoạn cùng (hay cùng // )với 1đ thẳng thứ 3 *Tỉ số chu vi 2 đdạng = tỉ số đdạng k . Tỉ số dtích 2 đdạng = k . o 4. Có 1 góc nội tiếp bằng 90 CHỨNG MINH 2 TAM GIÁC BẰNG NHAU: CHỨNG MINH 2 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 1. G.C.G. ( 2 góc kề trên 1 cạnh) 1. 2 đường thẳng cùng vuông góc với 1 đường thẳng thứ 3 2. C.G.C. ( góc xen giữa 2 cạnh) 3. C.C.C. 2. 2 đường thẳng tạo với đường thẳng thứ ba 2 góc so le trong 4. TAM GIAC VUÔNG C1: 1 cạnh huyền, 1 góc nhọn = nhau, 2 góc đồng vị = nhau, 2 góc trong cùng phía bù nhau C2: 1 cạnh huyền, 1 cạnh góc vuông 3. Đường trung bình trong , hình thang ( // cạnh đáy) 4. 2 đường thẳng cùng // với đường thẳng thứ ba ĐỊNH LÝ TALET: MN // AC BM BN MN (thuận-đảo) 5. Đ lí đảo cuả đ lí Talet BA BC AC CHỨNG MINH TAM GIÁC CÂN HỆ THỨC LƯỢNG VUÔNG 2 2 2 a = b + c (Pytago) 1. Có 2 cạnh bằng nhau 2 h = b’c’ 2. Có 2 góc bằng nhau 2 2 b = ab’; c = ac’ 3. Có 1 đường cao cũng là đg. trung tuyến (ph. giác, trung trực ) a.h =b.c CHỨNG MINH TAM GIÁC ĐỀU 1 1 1 1. Có 3 cạnh bằng nhau. 2 2 2 o h b c 2. Có 2 góc 60 . CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC o 3. Tam giác cân có 1 góc 60 . 3 đường trung tuyến đồng qui tại trọng tâm G (AG=2/3AM) CHỨNG MINH NỬA TAM GIÁC ĐỀU 3 đường phân giác đồng qui tại tâm đường tròn nội tiếp 1. Là vuông có 1 cạnh góc vuông bằng ½ cạnh huyền 3 đường trung trực đồng qui tại tâm đường tròn ngoại tiếp o o 2. Là vuông có 1 góc bằng 30 hay 60 3 đường cao đồng qui tại trực tâm. CHỨNG MINH TAM GIÁC VUÔNG CÂN CÁC ĐỊNH LÝ HỆ QUẢ QUAN TRỌNG 1. vuông có 2 cạnh = nhau. a. Trong tam giác cân đường trung tuyến kẻ từ đỉnh 2. vuông có 1 góc 45o. cũng là phân giác, đường cao, trung trực. o b. có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh và 3. cân có 1 góc đáy 45 . CHU VI DIỆN TÍCH TG ĐẶC BIỆT bằng nửa cạnh ấy là tam giác vuông c. Đường trung trực của đoạn thẳng vuông góc với 1.HCN: chu vi =(d+r).2 ;diện tích = d.r = a.b 2.H. vuông: chu vi 4a, diện tích: a2 đoạn thẳng tại trung điểm của nó. Những điểm cách đều 2 đầu đoạn thẳng thì nằm trên đường trg. trực đ. thẳng ấy. 3.H.thoi: chu vi 4a, diện tích: S= AD.BH=1/2AC.BD 4.Tam giác: chu vi=tổng 3 cạnh, d.tích=a.h/2 d. Đường chéo của hình vuông cạnh a là a 2. 2 5.HBH: chu vi = tổng 4 cạnh=(a+b).2, diện tích = a.h e. Đườngcaotrong đềucạnh a là a 3/2.DT đều cạnh a là a 3/ 4 6.H.thang: chu vi = tổng 4 cạnh, d.tích = ½(đáy lớn + đáy bé).cao, 0 đều nội tiếp (O;R) có cạnh R 3,có 3 góc ở tâm chắn 3 cung 120 7.T.giác có 2 chéo : dt S =1/2 tích 2 đ.chéo 0 Hình vuông nội tiếp (O;R) có cạnh R 2, 4 cạnh căng 4 cung 90 CÁC DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN: f. Tổng 3 góc của bằng 180o. 1. Quỹ tích những điểm di động luôn cách đều 2 cạnh của 1 góc là g. Tổng 4 góc trong tứ giác bằng 360o. đường phân giác góc ấy h. Nếu a, b, c là 3 cạnh của thì a + b > c > a-b 2. Quỹ tích những điểm di động luôn cách 1 đường thẳng cố định DB AB 1 khoảng cách không đổi là 2 đ. thẳng // với đường thẳng đó. i. T/C đường p.giác (AD) trong : DC AC 3. Quỹ tích những điểm di động luôn cách1 điểm A cố định 1 CHỨNG MINH HÌNH THANG CÂN khoảng cách không đổi R là đường tròn tâm (A ; R) 1. Hình thang ( 2 cạnh // ) có 2 đường chéo bằng nhau 4. Quỹ tích những điểm di động luôn nhìn 1 đoạn cố định dưới 1 2. Hình thang có 2 góc kề 1 đáy bằng nhau góc vuông(hay 1 góc ) là đ.tròn, đ.kính là đoạn đó (hoặc 2 cung CHỨNG MINH HÌNH BÌNH HÀNH tròn đối xứng qua đoạn đó). 1. 2 cặp cạnh // . 5. Q.tích những điểm di động luôn cách đều 2 đầu 1 đoạn thẳng 2. 2 cặp cạnh đối bằng nhau cố định là đuờng trung trực của đoạn đó. 3. 1 cặp cạnh vừa // vừa bằng nhau 6. Ngoài ra còn 1 số dạng ngoại lệ khác. V.D: di động trên 1 4. 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường đ.thẳng  với 1 đ.thẳng cố định tại 1 điểm cố định.
2. HÌNH LĂNG TRỤ - HÌNH HỘP CHỮ NHẬT – HÌNH TRỤ: NGHIỆM ĐB CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2: ax2+bx+c=0 (a 0) -Sxq = chu vi đáy x cao -Có 2 nghiệm trái dấu khi a.c 0 và x +x = b > 0 1 . 2 a 1 2 a HÌNH CHÓP ĐỀU: c b -Có 2 nghiệm âm khi ≥0; x1 . x2 = a > 0 và x1+x2 = a 0 1 1 a - V = 3 Sh. ( 3 DTĐ x cao) - Có 2 nghiệm đối nhau khi > 0 & x +x = 0 ( b = 0) 1 2 a ĐƯỜNG TRÒN TÂM O, BÁN KÍNH R: c 2 - Có 2 nghiệm nghịch đảo nhau khi > 0 & x .x =1( = 1) Chu vi = C = 2 R = d , Diện tích = S = R 1 2 a o 2 - Có 2 nghiệm = nhau ( nghiệm kép) khi = 0 ( ’ = 0) Rn R n lR Độ dài 1 cung l , Squạt 180o ĐỊNH LÍ VI-ÉT: 360 o 2 2 Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của PT ax + bx + c = 0 ( a 0) * HÌNH NÓN: b c 2 2 2 1 thì x1 x2 a , x1 x 2 a *x1 + x2 = (x1+x2) – 2x1x2 Sxq = Rl ( chu vi đáy x đường sinh) 2 c c Nếu a+b+c =0 thì x1 =1, x2 = Nếu a–b+c =0 thì x1 = -1,x2 Stp = Sxq + Sđ a a 1 2 1 đ.lí Viét đảo Nếu 2 số có tổng = S và tích = P thì 2 số đó là 2 V = R h ( Sđ . cao) 3 3 nghiệm của PT x2 – Sx+P =0 * HÌNH CẦU: 2 (Điều kiện để có 2 số đó là S –4P 0) S = 4 R2 V = 4 R3. 3 2 đthẳng(d) y=ax+b, (d’) y=a’x+b’. HÌNH TRỤ: a: hệ số góc, b: tung độ gốc S xq 2 rh 1/ (d) // (d’) nếu a= a’, b b’ 2/ (d)  (d’) nếu a = a’, b = b’ 2 Stp 2 rh 2 r 3/ (d) cắt (d’) nếu a a’ 2 4/ (d)  (d’) nếu a . a’ = -1 v Sh r h HỆ PT BẬC NHẤT 2 ẨN ax+by = c (d) y = (-ax+c) / b CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP: o a’x+b’y = c’ (d’) y = (-a’x+c’) / b’ 1/.Tứ giác có tổng2 góc đối =180 (tâm ĐTNT là giao điểm 3đttrực) 2/. Tứ giác có 2 đỉnh cùng nhìn 1 cạnh dưới cùng 1 góc (hoặc 1 1/ HPT vô nghiệm nếu (d)//(d’) góc vuông -tâm ĐTNT là trung điểm đoạn đó) 2/ HPT có số vô nghiệm nếu (d)  (d’) 3/.4 điểm cách đều 1 điểm cố định. 3/ HPT có nghiệm duy nhất nếu (d) cắt (d’) 4/ Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong ở đỉnh đối diện. (số nghiệm = số giao điểm 2 đường thẳng) (C/m 5 điểm cùng 1 đường tròn ta c/m có 2 tứ giác nội tiếp). Hoặc 1/ HPT vô nghiệm nếu a b c Chú ý: Hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân. a ' b ' c ' HẰNG ĐẲNG THỨC QUAN TRỌNG: 2/ HPT có vô số nghiệm nếu a b c 1/. ( a b)2 = a2 2ab +b2 Chú ý: a2 + b2 = (a+b)2 – 2ab a ' b ' c ' 2 2 a b 2/. a – b = (a + b) ( a – b) 3/ HPT có 1nghiệm duy nhất nếu a'' b 3/. (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 3 3 2 2 Sự tương giao giữa đường thẳng(d) y=a’x+b 4/. a b = (a b) ( a  ab + b ) 2 2 2 2 2 và (P) y= ax 5/. (a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac 2 2 6/. an – bn = (a – b) (an-1 + an-2b + .+ abn-2 + bn-1 ) n 2 ( n N ) Lập PTHĐGĐ: ax = a’x+b  ax -a’x-b = 0. Lập GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT- GTLN -Tiếp xúc :: = 0. A= (a + b)2 + c c => MinA = c a +b = 0 -Cắt ở 2 điểm phân biệt: > 0. 2 -Không giao nhau: MaxB = c a +b = 0 * Các công thức được biến đối từ HĐTĐN liên quan CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ: hệ thức VIET 1/.Đặt nhân tử chung: AB AC =A(B C) 2/.Dùng hg. đẳng thức 2 2 2 3/.Nhóm các hạng tử : ax+by–ay–bx = a(x-y)–b(x-y) =(x–y)(a-b) * x1 + x2 = (x1+ x2) - 2x1x2 4/.P. hợp các p pháp .5/ PP tách 1h.tử.6/ PP thêm bớt cùng 1h.tử 2 2 2 * (x - x ) = (x + x ) - 4x x Lưu ý: ax + bx + c = a(x – x1) (x – x2) , trong đó x1, x2 là 2 1 2 1 2 1 2 nghiệm của pt ax2 + bx + c = 0 b * x 2 – x 2 = (x + x ) (x – x ) x TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHÂN THỨC: 1 2 1 2 1 2 1,2 2a Phân tích các mẫu thức thành nhân tử (Biến đổi về tích các nhị thức 3 3 3 bậc nhất hoặc tam thức bậc 2 một biến), rồi cho từng nhân tử 0) * x1 + x2 = (x1 + x2) -3x1x2(x1 + x2) |x1 x 2 | CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN = CÁCH LẬP PT (HOẶC HPT): 4 4 2 2 2 2 2 |a | B1. Đặt ẩn số và điều kiện của ẩn. * x1 + x2 = (x1 + x2 ) - 2x1 x2 B2. Giới thiệu các đại lượng liên quan với ẩn. B3. Lập PT (HPT) biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng. 1 1 x1 x2 * A(xA,yA), B(xB,yB) B4. Giải phương trình (HPT) và kết luận. x x x x PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2: ax2 + bx + c = 0 ( a 0) , = b2 – 4ac 1 2 1 2 Tính độ dài AB . > 0 : PT có 2 nghiệm phân biệt: x b , x b x x x 2 x 2 AB ()() x x2 y y 2 1 2a 2 2a * 1 2 1 2 BABA . = 0 : PT có nghiệm kép b . 0: PT có 2 nghiệm phân biệt: x1 a ; x2 a 2 2 2 * x1 x 2 ( x 1 x 2 ) x 1 x 2 2 x 1 x 2 . ’ = 0: PT có nghiệm kép: x x b' 1 2 a (x x )2 4 x x . ’ < 0: PT vô nghiệm. 1 2 1 2