Hướng dẫn chấm đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Nam

Nội dung text: Hướng dẫn chấm đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Nam

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM NĂM HỌC 2018-2019 HDC CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN (Bản hướng dẫn này gồm 04 trang) Câu Nội dung Điểm Câu a 1 ab a 2a b 2 ab 1 a) Cho biểu thức A 1 : , ab 1 1 ab 1 ab (2,0) 1,0 với a 0; b 0 và ab 1 . Rút gọn biểu thức A và tìm giá trị lớn nhất của A khi a + b = ab . 2 2 a 2a b 2 ab A : 0,25 1 ab 1 ab 2(1 a) 1 0,25 2 ab(1 a) ab a + b 1 1 1 1 Khi a 0; b 0 , a + b = ab 1 1 1 0,25 ab a b a b 2 1 1 1 1 1 1 Do đó A (1 ) . Dấu “ = “ xảy ra b 4; a 4 . Vậy giá 4 2 4 b b b 0,25 1 trị lớn nhất của A là khi a b 4 4 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) thỏa mãn đẳng thức x2y2 x2 6y2 2xy. 1,0 - Với y 0 , ta có x 0 . - Với y 0 , ta có: 0,25 (x y)2 x2y2 x2 6y2 2xy x2y2 5y2 (x y)2 x2 5 a2 a ¢ . y2 x a 5 2 2 x 3 x a 5 x 3 0,25 x a 1 x 3 2 y 1 Khi x = 3 3y 6y 9 0 0,25 y 3 2 y 1 Khi x = -3 3y 6y 9 0 y 3 0,25 Vậy x; y  0;0 ; 3; 1 ; 3;3 ; 3;1 ; 3; 3  Câu Nội dung Điểm Câu a) Giải phương trình 3 x2 4x 3 3 2x2 3x 2 3 3x2 2x 2 3 4x2 9x 3 1,0 2 3 2 3 2 3 2 3 2 (2,0) Đặt a x 4x 3; b 2x 3x 2; c 3x 2x 2; d 4x 9x 3 . a b c d (1) 0,25 Ta có 3 3 3 3 a b c d (2) Trang 1/4
2. (2) a b 3 3ab a b c d 3 3cd c d a b 0,25 ab a b cd a b ab cd 7 69 x 3 2 3 2 2 2 -Với a b , ta có x 4x 3 2x 3x 2 x 7x 5 0 0,25 7 69 x 2 -Với ab cd , ta có 2 2 2 2 3 11 3 11  x 4x 3 2x 3x 2 3x 2x 2 4x 9x 3 x 0;1; ;  2 2  0,25 3 11 3 11 7 69 7 69 Vậy pt có 6 nghiệm x 0; x 1; x ; x ; x ; x 2 2 2 2 27 8x3 18 3 y b) Giải hệ phương trình 2 1,0 4x 6x 2 1 y y 27 3 8x3 18 3 3 3 (2x) 18 y y . 4x2 6x 3 3 0,25 1 2x. 2x 3 2 y y y y 3 a3 b3 18 a b 3 Đặt a 2x ; b = . Ta có y ab(a b) 3 ab 1 0,25 3 5 3 5 3 5 3 5 Giải tìm được a ;b hoặc a ;b 0,25 2 2 2 2 3 5 6 3 5 6 Tìm được nghiệm x; y của hệ là ; ; ; 0,25 4 3 5 4 3 5 Câu Nội dung Điểm Câu Cho hai hàm số y 2x2 và y mx . Tìm m để hai đồ thị của hai hàm số đã cho cắt 3 nhau tại ba điểm phân biệt là ba đỉnh của tam giác đều. 1,0 (1,0) Phương trình hoành độ giao điểm 2 m m 2x2 mx 2 x m . x 0 x 0; x ; x 0,25 2 2 m m2 m m2 Gọi ba giao điểm là O(0;0); A ; ;B ; và H là giao điểm của AB và trục 2 2 2 2 0,25 m2 tung, suy ra AB m ; OH 2 Trang 2/4
3. 3 m2 3 Tam giác OAB đều OH AB m 0,25 2 2 2 Giải và tìm được m 0; m 3; m 3 , loại m 0 . Vậy m 3; m 3 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu a) So sánh MN với AM + NC. 1,0 4 (2,0) A Hình vẽ phục vụ câu a) 0,25 B Trên cạnh BI lấy điểm H sao cho BH = BA = a. 0,25 ΔABM ΔHBM và ΔHBN ΔCBN Suy ra B·HM B·AM 900; B·HN B·CN 900 0,25 Suy ra M; H; N thẳng hàng, do đó M 0,25 H MN = MH + HN = AM + NC. Ghi chú: không có hình không chấm. D I N C b) Tính diện tích tam giác BMN theo a. 1,0 3 Đặt NC x MN AM NC a x ; DN a x 4 0,25 2 2 2 2 2 3 a 2 Theo định lí Pitago MN MD DN a x a x 0,25 4 16 a Giải và tìm được x 0,25 7 1 1 3 a 25 2 Diện tích tam giác BMN bằng BH.MN a a a . 2 2 4 7 56 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu a) Chứng minh OM vuông góc với EF. 1,0 5 (2,0) Hình vẽ phục vụ câu a (không tính điểm hình vẽ câu b, không có hình không x chấm) x M M E F 0,25 E O D H F A O B H I C B K A N · · 0 · · Tứ giác ABEF có AEB AFB 90 nên nội tiếp đường tròn MEF FAB 0,25 Từ M kẻ tia tiếp tuyến Mx với đường tròn tâm O (như hình vẽ), ta có 0,25 x·MB M· AB F·AB . Suy ra x·MB M· EF Mx / /EF Trang 3/4
4. Theo tính chất của tiếp tuyến đường tròn, ta có MO  Mx MO  EF 0,25 b) Chứng minh rằng khi M di động trên cung lớn AB thì đường thẳng kẻ từ H vuông 1,0 góc với CD luôn đi qua một điểm cố định. Kẻ đường kính MN của đường tròn tâm O. Tứ giác AHBN có AH song song với NB (cùng vuông góc với MB), có BH song song với NA (cùng vuông góc với MA) nên là hình bình hành. Suy ra HN cắt AB tại trung điểm I của mỗi đoạn. Do đó 0,25 MH / /OI;MH 2.OI Gọi K là điểm đối xứng của O qua I, suy ra OK = 2OI và điểm K cố định 0,25 Tứ giác MHKO có MH, OK song song và bằng nhau ( cùng gấp đôi OI) nên là hình 0,25 bình hành. Suy ra HK / /MO Xét đường tròn tâm H bán kính HM, theo tính chất đường kính vuông góc với dây cung, suy ra E là trung điểm của MD và F là trung điểm của MC. Do đó EF / /CD MO  CD HK  CD . 0,25 Vậy khi M đi động trên cung lớn AB thì đường thẳng kẻ từ H vuông góc với CD luôn đi qua điểm cố định K. Câu Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng; 6 a2 b2 b2 c2 c2 a2 3(a2 b2 c2 ) 1,0 (1,0) a b b c c a a b c a2 b2 b2 c2 c2 a2 3(a2 b2 c2 ) Với ba số thực dương a, b, c ta có . (1) a b b c c a a b c a2 b2 b2 c2 c2 a2 a b c 3(a2 b2 c2 ) a b b c c a 0,25 c a2 b2 a b2 c2 b c2 a2 a2 b2 c2 a b b c c a c a2 b2 a b2 c2 b c2 a2 c2 a2 b2 0 a b b c c a 0,25 ac c a bc c b ab b a bc b c ab a b ac a c 0 a b a b c a c a b c b c ac c a 2 bc c b 2 ab b a 2 0. (2) 0,25 a b b c a b a c a c b c Với ba số thực dương a, b, c ta có (2) luôn đúng. Vậy (1) luôn đúng. (đpcm) 0,25 * Lưu ý: Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì giám khảo vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. Trang 4/4