Lời giải Câu 5 trong đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 huyện Lâm Thao - Phú Thọ năm 2019

Nội dung text: Lời giải Câu 5 trong đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 huyện Lâm Thao - Phú Thọ năm 2019

1. Câu 5 (1,5 điểm)( HSG 9 Lâm Thao-Phú Thọ 6-12-2019) Cho a; b;c là ba số thực dương thoả mãn a2 b2 c2 3 . a2 3ab b2 b2 3bc c2 c2 3ca a2 Chứng minh rằng 3 6a2 8ab 11b2 6b2 8bc 11c2 6c2 8ca 11a2 Hướng dẫn a2 3ab b2 b2 3bc c2 c2 3ca a2 Đặt vế trái của.M 6a2 8ab 11b2 6b2 8bc 11c2 6c2 8ca 11a2 2 2 2 Ta có 6a2 8ab 11b2 2a 3b 2 a b 2a 3b , dấu bằng xẩy ra khi a b . Suy ra 6a2 8ab 11b2 2a 3b > 0 mà a2 3ab b2 0 với a; b 0 a2 3ab b2 a2 3ab b2 Do đó ta được . 6a2 8ab 11b2 2a 3b a2 3ab b2 3a 2b Ta đi chứng minh . 2a 3b 5 2 2 a 3ab b 3a 2b 2 Thật vậy 5 a2 3ab b2 2a 3b 3a 2b a b 0 . 2a 3b 5 a2 3ab b2 3a 2b Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b . Do đó 6a2 8ab 11b2 5 b2 3bc c2 3b 2c c2 3ca a2 3c 2a Chứng minh tương tự ta có ; 6b2 8bc 11c2 5 6c2 8ca 11a2 5 3a 2b 3b 2c 3c 2a Cộng theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được M a b c 5 5 5 2 Mặt khác ta lại có a b c 3 a2 b2 c2 9 nên a b c 3 . Vậy ta được M 3 , dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1 .