Lời giải Câu 5 trong đề thi học sinh giỏi Toán thành phố Việt Trì (22-10-2019)

Nội dung text: Lời giải Câu 5 trong đề thi học sinh giỏi Toán thành phố Việt Trì (22-10-2019)

1. Câu 5 (Thi học sinh giỏi thành phố Việt Trì 22-10-2019) Cho a,b,c thỏa mãn 1 a;b;c 2 . Chứng minh rằng: 3 a2 b2 c2 ab bc ca 3 a b b c c a a b c (*) Hướng dẫn 3 Ta có a b c a3 b3 c3 3 a b b c c a Nên BĐT (*) a3 b3 c3 a2 b2 c2 ab bc ca Ta có a a 2 a 1 0 a3 3a2 2a; tương tự b b 2 b 1 0 b3 3b2 2b;c c 2 c 1 0 c3 3c2 2c Nên a3 b3 c3 3(a2 b2 c2 ) 2(a b c) a3 b3 c3 a2 b2 c2 ab bc ca 2 a2 b2 c2 ab bc ca 2 a b c Đặt Q 2 a2 b2 c2 ab bc ca 2 a b c Ta lại có a 1 a 2 0 a2 3a 2;b2 3b 2;c2 3c 2 a2 b2 c2 3 a b c 6 (1) a 2 b 2 0 ab 2a 2b 4;bc 2c 2b 4;ac 2a 2c 4; ab bc ca 4 a b c 12 (2) Từ(1) và (2) ta có Q 6 a b c 12 2 a b c 4 a b c 12 0 Q 0 a3 b3 c3 3(a2 b2 c2 ) 2(a b c) a2 b2 c2 ab bc ca 3 Hay a2 b2 c2 ab bc ca 3 a b b c c a a b c Dấu “=” xảy ra khi 2; 1 1 2 1 2 1 2 0 a b c a a a b b b b b b a c 2;b 1 a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 0 b c 2;a 1 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0 a b c 2 Đây không phải là đáp án các bạn tham khảo nhé