Lý thuyết Đại số Lớp 12 - Tổ hợp. Xác suất. Nhị thức Newton

Nội dung text: Lý thuyết Đại số Lớp 12 - Tổ hợp. Xác suất. Nhị thức Newton

1. TỔ HỢP - XÁC SUẤT - NHỊ THỨC NEWTON A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT. I. Tổ hợp. 1. Hai quy tắc đếm: 1.1. Quy tắc cộng: a) Định lý: Nếu AAA 1  2  An và AAi j  , ij thì ta có AAA 1 2 An . b) Quy tắc cộng: Một công việc được thực hiện theo k phương án AA1, 2 , , Ak . Có n1 cách thực hiện phương án A1 , có n2 cách thực hiện phương án A2 , và có nk cách thực hiện phương án Ak . Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n1 n 2 nk cách. Nhận xét: Bản chất toán học của quy tắc cộng là công thức tính số phần tử của hợp n tập hợp không giao nhau. 1.2. Quy tắc nhân: a) Định lý: Định lý 1: Cho trước hai tập hợp hữu hạn A và B. Nếu tồn tại một ánh xạ fA: B sao cho mỗi phần tử b B có đúng k tạo ảnh trong A thì ta có A kB . Định lý 2: Cho trước các tập hợp hữu hạn AA1, 2 , , An , trong đó tập Ai có đúng ki phần tử. Khi đó tập tích Descartes AA1 2 An có đúng kk1. 2 kn phần tử. Tức là AA1 2 AAAn 1 2 A n . Đặc biệt: An A n . b) Quy tắc nhân: Một công việc được thực hiện bởi k giai đoạn AA1, 2 , , Ak . Có n1 cách thực hiện giai đoạn A1 , có n2 cách thực hiện giai đoạn A2 , và có nk cách thực hiện giai đoạn Ak . Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n1 n 2 nk cách. 2. Hoán vị, hoán vị lặp, chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp. 2.1. Hoán vị: a) Hoán vị không lặp: + Cho một tập hợp A gồm n phần tử n 1 . Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự nào đó (mỗi phần tử có mặt đúng một lần) được gọi là một hoán vị của n phần tử đã cho. + Số hoán vị của n phần tử là Pn n! n n 1 2.1 b) Hoán vị lặp: + Hoán vị trong đó mỗi phần tử của A xuất hiện ít nhất một lần được gọi là hoán vị lặp. n + Số hoán vị lặp k phần tử của n phần tử, mỗi phần tử loại i 1 i n xuất hiện ki lần thỏa k  ki , ký i 1 k! hiệu là Pkk 1, 2 , , kn . kk1! 2 ! kn ! c) Hoán vị vòng quanh: + Nếu ta xếp n số trên đường tròn thì hai hoán vị khác nhau 1,2, ,n , 2,3, , n ,1 chỉ là một cách sắp xếp mà thôi. + Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử khác nhau được tính bởi công thức Qn ( n 1)!. 2.2. Chỉnh hợp: a) Chỉnh hợp không lặp (dãy k phần tử không có lặp): + Cho một tập hợp A gồm n phần tử. Lấy ra một bộ gồm k 0 k n phần tử từ A và sắp xếp theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử thuộc A. Chú ý: Hai chỉnh hợp khác nhau khi và chỉ khi có phần tử thuộc chỉnh hợp này nhưng không thuộc chỉnh hợp kia hoặc các phần tử của hai chỉnh hợp giống nhau nhưng được sắp xếp theo thứ tự khác nhau.
2. n! + Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử, ký hiệu là Ak và Ak n n1 n k 1 , 0 k n . n n n k ! b) Chỉnh hợp lặp (dãy k phần tử có lặp): + Cho một tập hợp A gồm n phần tử. Lấy ra một dãy gồm k 0 k n phần tử từ A (mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần) và sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử thuộc A. k k + Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử thuộc A , ký hiệu An n (bằng số ánh xạ từ tập k phần tử đến tập n phần tử). 3. Tổ hợp, tổ hợp lặp. 3.1. Tổ hợp không lặp: Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử 0 k n thuộc A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử thuộc A. Chú ý: Hai tổ hợp khác nhau khi và chỉ khi có ít nhất một phần tử khác nhau. n! Định lý: Số các tổ hợp chập k của n phần tử, ký hiệu là C k và C k . n n k! n k ! 3.2. Tổ hợp lặp: + Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một tổ hợp lặp chập m (m không nhất thiết phải nhỏ hơn n) của n phần tử thuộc A là một bộ gồm m phần tử mà mỗi phần tử này là một trong những phần tử của A. m m m + Ta dùng ký hiệu Cn để ký hiệu số tổ hợp lặp chập m của n phần tử và Cn C nm 1 . 4. Nguyên lý bù trừ: Định lý 1: (Công thức tính số phần tử của hai tập hợp hợp bất kỳ) Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn bất kì. Khi đó, ta có: AB ABAB  Định lý 2: (Công thức tính số phần tử của ba tập hợp bất kỳ) Cho A, B, C là ba tập hợp hữu hạn bất kì. Khi đó, ta có: ABC     ABCABBCCAABC Định lý 3: (Tổng quát công thức bao hàm và loại trừ). Cho các tập hợp hữu hạn AA1, 2 , , An bất kỳ. Khi đó, ta có: AA1 2  An n n n = A AA  1k 1 AAA  1 n 1 AAA  i1 i 1 i 2  i 1 i 2 ik 1 2 n i1 1 1 i 1 i 2 n 1 i 1 i 2 ik n 5. Bài toán chia kẹo Euler: k n 1 5.1. Số các tổ hợp lặp chập k của n phần tử là Cnk 1 C nk 1 . 5.2. Bài toán chia kẹo Euler: n 1 k Bổ đề: Số nghiệm nguyên không âm của phương trình xx1 2 xkn là Cnk 1 C nk 1 . Bài toán 1: Có bao nhiêu cách chia k cái kẹo giống nhau cho n người ? Bài toán 2: Có bao nhiêu cách chia k cái kẹo giống nhau cho n người k n sao cho ai cũng có kẹo? Bài toán 3: Có bao nhiêu cách chia k cái kẹo giống nhau cho n người sao cho mỗi người có ít nhất m cái kẹo ? II. Xác suất. 1. Phép thử, không gian mẫu: 1.1. Phép thử: Định nghĩa: Phép thử ngẫu nhiên (T) là một hành động mà không đoán trước được kết quả nhưng có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể.
3. Chú ý: Ta chỉ xét các phép thử có một số hữu hạn kết quả. 2.2. Không gian mẫu: Định nghĩa: Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và ký hiệu là . 2. Biến cố và xác suất của biến cố: 2.1. Biến cố: + Mỗi biến cố A liên quan đến một phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của nó tùy thuộc vào kết quả của T. + Mỗi kết quả của phép thử làm cho biến cố A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi của A. Tập hợp các kết quả thuận lợi của A được ký hiệu là A . + Biến cố không thể (biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T) được mô tả bởi tập . + Biến cố chắc chắn (biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T) được mô tả bởi tập . Quy ước: + Biến cố đôi khi được cho dưới dạng xác định tập hợp. + Khi nói cho các biến cố A, B, mà không nói gì thêm thì ta hiểu chúng cùng liên quan đến một phép thử. + Ta nói biến cố A xảy ra trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi kết quả của phép thử đó là một phần tử của A (hay thuận lợi cho A). 2.2. Xác suất của biến cố: a) Định nghĩa cổ điển của xác suất: Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta   gọi tỉ số A là xác suất của biến cố A, ký hiệu P(A). P A A   Chú ý: + P() 0, P (  ) 1 + 0 P ( A ) 1, với mọi biến cố A. b) Định nghĩa thống kê của xác suất: + Xét phép thử T và biến cố A liên quan đến T. T có một số hữu hạn kết quả nhưng không đồng khả năng. Ta tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T. Giả sử trong N lần thực hiện phép thử T đó, biến cố A xuất kiện k N k kN lần. Tỉ số được gọi là tần suất của A khi thực hiện N lần phép thử T. N càng lớn thì tần suất N càng gần với xác suất. k N + Tần suất được xem như giá trị gần đúng của xác suất. Khi N tiến ra vô cùng thì tỉ số dần đến 1 N k N k N giới hạn xác định, giới hạn của được xem là xác suất của biến cố A: P A lim . N N 3. Quy tắc cộng xác suất: 3.1. Các định nghĩa: Định nghĩa 1: (Biến cố hợp) Cho hai biến cố A và B. Biến cố "A hoặc B xảy ra", ký hiệu là A B được gọi là hợp của hai biến cố. Tổng quát: Cho k biến cố AA1, 2 , , Ak . Biến cố “có ít nhất một trong các biến cố AA1, 2 , , Ak xảy ra”, ký hiệu AA1 2  Ak được gọi là hợp của k biến cố đó. Định nghĩa 2: (Biến cố xung khắc) Hai biến cố được gọi là xung khắc nhau nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Định nghĩa 3: (Biến cố xung đối) Cho A là một biến cố. Biến cố "không xảy ra A" được gọi là biến cố đối của A. Biến cố đối của A, ký hiệu A . A và A là hai biến cố xung khắc nhau và hợp của chúng là một biến cố chắc chắn, tức là A A  . 3.2. Quy tắc cộng xác suất:
4. Định nghĩa: Nếu hai biến cố A và B xung khắc nhau thì PA  B PA PB . Tổng quát: nếu AA1, 2, , Ak là k biến cố đôi một xung khắc nhau thì PA 1 Ak PA 1 PA k Chú ý: PA  A P  1 nên PA 1 PA . PA  A PA PA 4. Quy tắc nhân xác suất: 4.1. Các định nghĩa: Định nghĩa 1: (Biến cố giao) Cho hai biến cố A và B. Biến cố "cả A và B đều xảy ra" ký hiệu là AB được gọi là biến cố giao của A và B. Tổng quát: Cho k biến cố AA1, 2 , , Ak .Biến cố "tất cả k biến cố AA1, 2 , , Ak đều xảy ra", ký hiệu là AA1 2 Ak được gọi là giao của k biến cố đó. Định nghĩa 2: (Biến cố độc lập) Hai biến cố được gọi là độc lập nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia. Nếu A và B độc lập thì A và B , A và B, A và B cũng độc lập nhau. Tổng quát: cho k biến cố AA1, 2 , , Ak . Chúng được gọi là độc lập nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của một nhóm bất kì trong các biến cố trên không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra biến cố còn lại. 4.2. Quy tắc nhân xác suất: a) Định nghĩa: + Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì PAB PAPB . + Nếu có k biến cố AA1, 2 , , Ak độc lập thì PAAA 1 2 k PA 1 PA k Chú ý: PAB PAPB PAB PAPB PAB PAPB b) Mở rộng: + Cho A và B là hai biến cố bất kì. Khi đó: PA  B PA PB PAB + Cho A, B, C là ba biến cố bất kì. Khi đó: PA  B C PA PB PC PAB PBC PCA PABC 4.3. Công thức Bernoulli: a) Định nghĩa: Dãy phép thử Bernoulli là dãy n phép thử thỏa mãn ba điều kiện sau đây + Các phép thử của dãy độc lập với nhau (nghĩa là phép thử sau không phụ thuộc vào phép thử trước đó). + Trong mỗi phép thử chỉ có hai biến cố A hoặc A xảy ra. + Xác suất để biến cố A xảy ra trong mọi phép thử của dãy là như nhau và P(), A p với 0 p 1 thì P( A ) 1 p . b) Công thức: Xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra k lần với xác suất mỗi lần là p được xác định bởi công kk nk thức Pn( k ) C n p .(1 p ) với 0 k n . III. Nhị thức Newton. 1. Khai triển lũy thừa của nhị thức: 1.1. Hằng đẳng thức:
5. 2 2 2 020 111 201 + xy x2 xyy Cxy2 Cxy 2 Cxy 2 3 3 2 2 3 030 121 212 303 + xy x3 xy 3 xy y Cxy3 Cxy 3 Cxy 3 Cxy 3 1.2. Nhị thức Newton: n n 0n 0 1 n 1 1 knkk nn 1 1 1 nn 0 knkk + xy CxyCxyn n Cxy n Cxy n Cxy n  Cxy n k 0 n n k k nk k + xy  1 Cxyn k 0 Chú ý: + Trong khai triển (*) có n 1 số hạng. k nk + Các hệ số của khai triển trên đối xứng nhau, tức là Cn C n . + Tổng của các số mũ của mỗi số hạng là n. + Qua mỗi số hạng, lũy thừa của x giảm 1, lũy thừa của y tăng 1. 1.3. Tính chất: k nk + Tính chất 1:Cn C n k k k 1 + Tính chất 2:Cn C n 1 C n 1 kkk 1 1 k 1 + Tính chất 3:CCCnnn 1 2 C k 1 0 1 2 n n + Tính chất 4:CCCn n n C n 2 0 1 2 n n + Tính chất 5:CCCn n n 1 C n 0 2. Khai triển lũy thừa của đa thức: Định lý: Cho trước m và n là các số nguyên dương. Khi đó ta có n n! xx x CCCkk1 2kk3 Cm xxx kk 1 2 k m xxx kk 1 2 k m 1 2m  nnknkknkkk 1 1 2 1 2 m 1 1 2 m  1 2 m kk1! 2 ! km ! tổng được lấy trên tất cả các bộ m số tự nhiên kk1, 2 , , km sao cho k1 k 2 km n . n p n pnp qpqq pqqpqnp Lưu ý: abc  Can Cbc p  CCcba n p . Ta có thể mở rộng biểu thức khai triển p 0 q 0 0 q p n n cho xx1 2 xm .