Lý thuyết ôn thi THPT Quốc gia môn Giải tích Lớp 12

Nội dung text: Lý thuyết ôn thi THPT Quốc gia môn Giải tích Lớp 12

1. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy GIẢI TÍCH 12 I.KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN 1) Đạo hàm của các hàm số đơn giản : / / / 1 n / n 1 C 0 x 1 x x nx 2 x 2) Các quy tắc tính đạo hàm : / / / / / / / / / / u v u v u v u v u.v u v uv u u / v uv / v v 2 / / / / / / / / k.u k.u , k R 1 v / k v / u.v.w u vw uv w uvw k. v v 2 v v 2 / / / / / / / 1 1 ax b ad bc u u y x y u .u x , k R x x 2 cx d cx d 2 k k (Đạo hàm của hàm số hợp ) 3)Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản: Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp (u u x ) / / x .x 1 u .u 1.u / / / 1 1 1 v / x x 2 v v 2 / / 1 / u x u 2 x 2 u sin x / cos x sin u / u / .cosu cos x / sin x cosu / u / .sin u / / 1 2 / u / 2 tan x 2 1 tan x tan u u 1 tan u cos x cos 2 u / / 1 2 / u / 2 cot x 2 1 cot x cot u u . 1 cot u sin x sin 2 u / / ex ex eu u / .eu / / a x a x .ln a a u a u .u / .ln a / / 1 / u ln x ln u x u / / 1 / u log a x log u x.ln a a u.ln a 4) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số : a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba :y ax 3 ax 2 cx d a 0 - TXĐ : D R - Tính đạo hàm y / ; giải phương trình y / 0 tìm x y - Tính giới hạn :nếu a 0 lim y ; limy ; nếu a 0 limy ; limy , x x x x - Lập bảng biến thiên ( xét dấu y / ), suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến ,điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số. - Đồ thị : 1
2. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy + Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu . + Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . Đồ thị của hàm số cĩ một tâm đối xứng . Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba: y ax 3 ax 2 cx d a 0 Nếu a 0 Nếu a 0 Nếu phương trình y / 0 cĩ 2 y y nghiệm phân biệt x1; x2 + Hàm số cĩ hai cực trị + Hàm số cĩ 1 điểm uốn O O x2 x1 x x2 x1 x Nếu phương trình y / 0 cĩ nghiệm y y kép x x1 x2 + Hàm số cĩ khơng cĩ cực trị + Hàm số cĩ 1 điểm uốn O x O x Nếu phương trình y / 0 vơ nghiệm y y + Hàm số cĩ khơng cĩ cực trị + Hàm số cĩ 1 điểm uốn O x O x b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương :y ax 4 bx 2 c a 0 - TXĐ : D R - Tính đạo hàm y / ; giải phương trình y / 0 tìm x y - Tính giới hạn : nếu a 0 lim y ; lim y ; nếu a 0 lim y ; lim y x x x x - Lập bảng biến thiên (xét dấu y / ), suy ra khoảng đồng biến ,nghịch biến; điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số - Đồ thị : + Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu . + Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . Đồ thị của hàm số đối xứng qua trục.Oy Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn: y ax 4 bx 2 c a 0 Nếu a 0 Nếu a 0 Nếu phương trình y / 0 cĩ 3 y y nghiệm phân biệt.x1; x2 ; x3 + Hàm số cĩ ba cực trị x 1 O x 3 x x 1 O x 3 x 2
3. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy Nếu phương trình y / 0 cĩ 1 y y nghiệm x 0 x + Hàm số cĩ khơng cĩ cực trị O x O ax b c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm phân thức :y , a 0,ad bc 0 cx d d  / d - TXĐ :D R \  y 0;x , nếu ad bc 0 c  c ad bc - Tính đạo hàm y / cx d 2 d y / 0;x , nếu ad bc 0 c a a a - Tính giới hạn và kết luận các đường tiệm cận : lim y ; lim y y là tiệm cận ngang x c x c c d Nếu y / 0;x thì lim y và lim y c d d x x d c c x là tiệm cận đứng d c Nếu y / 0;x thì và lim y lim y c d d x x c c - Lập bảng biến thiên : / d x d Nếu y 0;x c c y / + + a a y c c d d Hàm số luơn đồng biến trên từng khoảng ; và ; và khơng cĩ cực trị . c c / d Nếu y 0;x x d c c y / a a y c c d d Hàm số luơn nghịch biến trên khoảng ; và ; và khơng cĩ cực trị . c c - Cho điểm đặc biệt : b + Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung (nếu cĩ): Cho x 0 y d b + Tìm giao điểm của đồ thị với trục hồnh (nếu cĩ): Cho y 0 ax b 0 x a 3
4. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy - Vẽ đồ thị : + Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . d a + Đồ thị gồm hai nhánh đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận hay điểm I ; . c c +Ta vẽ hai đường tiệm cận trước , rồi vẽ 2 nhánh riêng biệt đối xứng nhau qua I . ax b Các dạng đồ thị của hàm phân thức :y , a 0,ad bc 0 cx d y/ 0 y/ 0 y y a y c x O O x a y c d x c 5) Các bài tốn liên quan đến khảo sát hàm số : a) Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình cho trước g x,m 0 1 Cách giải : + Đưa phương trình 1 về dạng : f x Am B , trong đĩ y f x là đồ thị C đã vẽ và y Am B d là đường thẳng song song hoặc trùng với trục.Ox + Số nghiệm của phương trình 1 là số hồnh độ giao điểm của đồ thị vàC d + Dựa vào đồ thị biện luận (cĩ 5 trường hợp ), thường dựa vào yCĐ và yCT của hàm số để biện luận . b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x tại điểm M x0 ; y0 C Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị C của hàm số y f x tại điểm M x0 ; y0 C cĩ dạng : / / y f x0 x x0 y0 2 . Thế xđã0 ; choy0 ; hoặcf x 0vừa tìm vào ta được tiếp tuyến 2 cần tìm. c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x biết tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k cho trước: Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị C của hàm số y f x cĩ dạng : y k x x0 y0 3 / Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm . Do tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k nên f x0 k , giải phương trình tìm được x0 y0 f x0 .Suy ra phương trình tiếp tuyến (3) d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C của hàm số y f x biết tiếp tuyến song song hoặc vuơng gĩc với một đường thẳng cho trước. Cách giải : Phương trình tiếp tuyến cĩ dạng : y k x x0 y0 4 Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm . / + Nếu tiếp tuyến song song với đthẳng d : y ax b thì f x0 a , giải pt tìm được.x0 y0 f x0 Kết luận phương trình tiếp tuyến . 4
5. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy 1 + Nếu tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng d : y ax b thì f / x .a 1 f / x . 0 0 a Giải phương trình này tìm được x0 y0 f x0 . Kết luận phương trình tiếp tuyến . e) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn a;b : Cách giải : / / + Tính f x , giải phương trình f x0 0 tìm nghiệm x0 a;b; Tính các giá trị : f a ;f x0 ; f b + Kết luận : (f x ) max f a ; f x ; f b ; M inf x Min f a ; f x0 ; f b  max  0  a;b a;b f) Tìm tham số m để hàm số y f x cĩ cực trị (cực đại, cực tiểu ): Cách giải : + Tính đạo hàm y / , tính hoặc / của y / . / a 0 + Để hàm số cĩ cực đại , cực tiểu thì phương trìnhy 0 cĩ hai nghiệm phân biệt  0 m g) Tìm tham số m để hàm sốy f x đạt cực trị tại x x0 : Cách giải : + Tính đạo hàm y / f / x ; / + Hàm số đạt cực trị tại x x0 f x 0 m h) Tìm tham số m để hàm sốy f x đạt cực đại tại x x0 : Cách giải :+ Tính đạo hàm y / f / x ; + Tính đạo hàm y // f // x ; / f x0 0 + Hàm số đạt cực đại tại x x  // m 0 f x0 0 i) Tìm tham số m để hàm số đạty cựcf x tiểu tại : x x0 Cách giải : + Tính đạo hàm y / f / x ; + Tính đạo hàm y // f // x / f x0 0 + Hàm số đạt cực tiểu tại x x  // m 0 f x0 0 k) Tìm tham số m để hàm số y f x luơn đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ D của nĩ. Cách giải : + Tìm MXĐ D của hàm số y f x . + Tính đạo hàm y / f / x , tính hoặc / của y / . / a 0 + Hàm số đồngy f biến x trên D y 0  x D  0 m / a 0 + Hàm số nghịchy f x biến trên D y 0x D  0 m l) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của hàm số y f x Cách giải 1 : + Tìm điểm cực đại A x A ; y A và điểm cực tiểu Bcủa x Bhàm; yB số y f x x x y y + Viết phương trình đường thẳng AB : A A xB x A yB y A Cách giải 2 : Cho hàm số bậc ba y f x +Tính y’. Viết lại y y '.g x h x .Gọi x1, x2 lần lượt là hai điểm cực trị, ta cĩ y ' x1 0; y ' x2 0 . + Khi đĩ, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y h x . f x f ' x Cho hàm số hữu tỷ y , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y . g x g ' x 5
6. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy II . LŨY THỪA, LƠGARIT, PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT 1. Tính chất của lũy thừa: Với a 0;b 0 và với các số nguyên m, n ta cĩ: m n a n n n n a a n m n m n m n m mn 4. ab a .b ; 5. 1. a .a a ; 2. n a ; 3. a a n a b b Cho m,n là những số nguyên: Với a 0 thì am an m n ; Với 0 a 1 thì am an m n 2. Lơgarit: 1. Định nghĩa: 2. So sánh hai logarit cùng cơ số 3. Các quy tắc tính lơgarit: a. Khi 1 thì loga 1 0;loga a 1 loga bc loga b loga c log b log c b c log ab b,b ¡ b a log a log a b log a c c log b b. Khi 0 1 thì a a b,b ¡ ,b 0 log b log c b c loga b loga b 4. Với số a dương khác 1, số dương b và số 5. Với a,b là số dương khác 1 và c là số dương, nguyên dương n , ta cĩ: log c ta cĩ: a hay log b.log c log c logb c a b a 1 n 1 log b log log b ; ;log b log b a a b a a n a 1 ; log b.log a 1 loga b a b logb a 3. Gỉai phương trình mũ và lơgarit : Dạng cơ bản: f (x) g(x) f (x) 1. a = a f(x) = g(x) ; 2. a = b ( với b > 0 ) f(x) = loga b f (x) 0 loga f (x) b b 3. loga f(x) = loga g(x) 4. f(x) = a ; f (x) g(x) 0 a 1 Đặt ẩn phụ : 2f (x) f (x) f (x) b f (x) b f (x) f (x) 1. a +.a +  = 0 ; Đặt : t = a , t > 0; 2. a +.a +  = 0 ; Đặt : t = a , t > 0 Lơgarit hoá hai vế : 4. Giải bất phương trình mũ và lơgarit f (x) g(x) f (x) g(x) khi a 1 1. a > a ; f (x) g(x) khi 0 a 1 f (x) 2. a > b Nếu b > 0 f(x) > loga b nếu a > 1; f(x) loga g(x) (*) Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 1, (*) f(x) > g(x) ; 0 b . Nếu a > 1 : bpt là f(x) > a . Nếu 0 1 a >1 y y y y 1 1 1 x x x 1 x O O OO OO 6
7. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy III .NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN 1. Nguyên hàm Cơng thức nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Một số cơng thức mở rộng 1. ; 2. dx 1dx x C cos ax b 0dx C 13. sin ax b dx C x 1 1 a 3. x dx C 1 ; 4. dx ln x C 1 x sin ax b 14 cos ax b dx C 5. sin xdx cos x C ; 6. cos xdx sin x C; a 1 1 1 tan ax b 7. 8. 15. dx C; 2 dx tan x C; dx cot x C. 2 cos x sin2 x cos ax b a x a x x 9. x , 0 a 1 ; 10. e dx e C; 1 cot ax b a dx C 16. dx C. ln a sin2 ax b a ax b 1 1 ln ax b 11. 1 ; 12. dx C ax b ax b dx C e a 1 ax b a 17. e ax b dx C; a 2. Tích phân a/. Tính chất: Giả sử các hàm số f , g liên tục trên K và a,b,c là ba số bất kì thuộc K . Khi đĩ ta cĩ: a b c c b b 1. 3. f x dx 0 f x dx f x dx f x dx 5. kf x dx k f x dx a a b a b a b b b a a 2. 4. f x dx f x dx f x g x dx f x dx g x dx ( với k ¡ . ) a b a a a b u b b/ Phương pháp đổi biến số: f u x u' x dx f u du a u a Trong đĩ: u u x cĩ đạo hàm liên tục trên K , hàm số y f u liên tục và sao cho hàm hợp f u x xác định trên K ; a và b là hai số thuộc K . b b b b c/ Phương pháp tích phân từng phần: u x v' x dx u x v x |b v x u' x dx Hay udv uv |b vdu a a a a a a Trong đĩ các hàm số u,v cĩ đạo hàm liên tục trên K và a,b là hai số thuộc K d/ Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng. C : y f x b + Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi: là S f x dx Ox : y 0 a 2dt : x a; x b C1 : y f x b + Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi: là S f x g x dx C2 : y g x a 2dt : x a; x b e/ Ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thể trịn xoay C : y f x + Thể tích khối trịn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi: Ox : y 0 2dt : x a; x b b 2 quay quanh trục hồnh là: V f x dx a C : x g y + Thể tích khối trịn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi: Oy : x 0 2dt : y a; y b b 2 quay quanh trục tung là: V g y dy a 7
8. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy IV. SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC. A. SỐ PHỨC (DẠNG ĐẠI SỐ) 1/ Số i: qui ước i2 1; Tập số phức: £ ; 2/ Số phức dạng đại số : z = a bi ( trong đĩ: a là phần thực, b là phần ảo a, b là các số thực, i là đơn vị ảo ) a1 a2 3/ Số phức bằng nhau: Cho z1 a1 b1i , z2 a2 b2i : z1= z2 b1 b2 4/ Biểu diễn hình học số phức: Điểm M biểu diễn cho số phức z a bi : M a;b hay M a bi hay M z 5/ Cộng, trừ, nhân hai số phức: Cho z1 a1 b1i , z2 a2 b2i a/ z1 z2 a1 a2 b1 b2 i ; b/ z1 z2 a1 a2 b1 b2 i ; c/ z1.z2 a1a2 b1b2 a1b2 a2b1 i 6/ Số phức liên hợp của z a bi là: z a bi a bi ( Chú ý: z z ) 7/ Mơđun của số phức z a bi : z a2 b2 ; 1 8/ Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số: z 1 z z 2 9/ Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z2 w được gọi là một căn bậc hai của w. a/ w là số thực: + Căn bậc hai của 0 là 0 + a 0 : cĩ 2 căn bậc hai là a và - a ; + a 0 : cĩ 2 căn bậc hai là a i và - a i . Chú ý: Hai căn bậc hai của -1 là i và -i b/ w là số phức: w a bi a,b ¡ ; b 0 : 2 z x yi x, y ¡ là căn bậc hai của w khi và chỉ khi: z2 w x yi a bi 2 2 2 2 2 2 x y a Do x yi x y 2xyi nên z w 2xy b Mỗi cặp số thực x; y nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai z =x yi của số phức w. 10/ Phương trình bậc hai: Az2 Bz C 0 1 ,(A 0; A, B,C là những số phức). Xét B2 4AC B  B  + Nếu 0 , (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt: z , z ,(với  là một căn bậc hai của) 1 2A 2 2A y B + Nếu 0 , (1) cĩ nghiệm kép: z z 1 2 2A Chú ý: Nếu là số thực dương, (1) cĩ 2 nghiệm: B B . z1 , z2 M 2A 2A b B i B i Nếu là số thực âm, (1) cĩ 2 nghiệm: z , z . 1 2A 2 2A a B. SỐ PHỨC DẠNG LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG O x 1/ Acgumen của số phức z: Số đo ( radian) của mỗi gĩc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z, một acgumen của z thì mọi acgumen của z cĩ dạng: k2 2/ Dạng lượng giác của số phức: z r cos isin , ( trong đĩ r z ; một acgumen của z ) 3/ Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác: Nếu z1 r1 cos 1 isin 1 ; z2 r2 cos 2 isin 2 , (r1 0,r2 0) z r Thì z z r r cos isin ; 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 cos 1 2 i sin 1 2 (khi r2 0) z2 r2 4/ Cơng thức Moa-vrơ và ứng dụng: a/ Cơng thức Moa-vrơ: n n r c o s i s i n r c o s n i s i n n b/ Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: 8
9. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy z r cos isin cĩ 2 căn bậc 2 là: ; z1 r cos isin z2 r cos isin r cos isin 2 2 2 2 2 2 HÌNH HỌC 12 I. HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 1 1. Khối chĩp: Thể tích V Sđ .h , với h: chiều cao, S : diện tích đáy. 3 đ h h h h h Khối chĩp cĩ đáy là Khối chĩp cĩ một cạnh bên Khối tứ diện đều Khối chĩp cĩ một cạnh Khối chĩp đều. một tam giác bất kì vuơng gĩc với đáy. bên vuơng với đáy là hình bình hành h h h h h Khối chĩp cĩ đáy Khối chĩp cĩ đáy Khối chĩp cĩ Trường hợp đáy là Khối chĩp đáy là hình là một tứ giác là một hình thang đáy là một hình một hình thang thang cĩ cạnh bên vuơng gĩc với đáy. vuơng thang cân h 2. Khối lăng trụ: Thể tích V Sđ . h ,với h là chiều cao, Sđ là diện tích đáy h h a h b c h Khối hộp Khối hộp chữ nhật Khối lập phương Khối lăng trụ cĩ đáy là Khối lăng trụ đứng cĩ ( các mặt đều là hình một tam giác bất kì. đáy là một tam giác bình hành). 3. Khối nĩn: bất kì. S Diện tích hình trịn: S R2 (với R là bk) Chu vi đường trịn: 2 R h Diện tích xung quanh của hình nĩn: Sxq = rl ( với l là đường sinh) Diện tích tồn phần của hình nĩn: Stp= Sxq + Sđ 1 R B Thể tích của khối nĩn: V Sđ .h , (với h là chiều cao). A H 3 4. Khối trụ: * Diện tích hình trịn: S R2 (với R là bk) * Chu vi đường trịn: 2 R h h * Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq 2 Rh ( với h là chiều cao và h= l là đường sinh) R * Diện tích tồn phần của hình trụ: Stp= Sxq + 2Sđ R * Thể tích của khối trụ: V Sđ .h 2 4 5. Khối cầu: a. Diện tích mặt cầu: S 4 R ; b. Thể tích khối cầu: V R3 3 6. Diện tích các đa giác cần nhớ: 1 a 2 3 a 3 a. ABC vuơng ở A : S= AB.AC ; b. ABC đều cạnh a: diện tích S= ; đường cao: h= 2 4 2 c. Diện tích hình vuơng : S = cạnh x cạnh; d. Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng e. Diện tích hình thoi : S = 1 (chéo dài x chéo ngắn); f. Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao 2 9
10. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy 1 g. Diện tích hình thang :S [(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao]; h. Diện tích hình trịn : S .R2 2 II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN BÀI 1: TỌA ĐỘ VECTƠ - TỌA ĐỘ ĐIỂM 1.Chou x; y; z ;v x'; y'; z' : u v x x'; y y'; z z' ; k u kx;ky;kz  ' ' ' x y z 2.Chou x; y; z ;v x ; y ; z ; u cùng phương v u kv ' ' ' k x y z 3.Nếu điểm M xM ; yM ; zM chia đoạn AB ; 4. Nếu I xI ; yI ; zI là trung điểm x x xA kxB x A B xM I 1 k 2 theo tỉ số k 1 thì của đoạn AB thì: y ky yA yB A B y yM I 1 k 2 z kz z z A B z A B zM I 1 k 2 5. Nếu G xG ; yG ; zG là trọng tâm ; 6. Nếu E xE ; yE ; zE là trọng tâm x x x x x x x x A B C x A B C D G 3 E 4 của tam giác ABC thì : tứ diện ABCD thì: yA yB yC yA yB yC yD yG yG 3 4 zA zB zC zA zB zC zD zG zG 3 4 BÀI 2: TÍCH VƠ HƯỚNG – TÍCH CĨ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG. Cho a x ; y ; z ;b x ; y ; z 1 1 1 2 2 2 1. Tích vơ hướng của hai vectơ: a.b x1.x2 y1.y2 z1.z2 là một số thực; a  b x1x2 y1 y2 z1z2 0 2 2 2 2. Độ dài vectơ: a x1 y1 z1  2 2 2 3.AB xB xA; yB yA; zB zA ;AB xB xA yB yA zB zA (khoảng cách giữa hai điểm A và B) 2 2 2 2 2 4.Bình phương vơ hướng: a a x1 y1 z1 a.b x x y y z z 5.Gĩc giữa hai vectơ: Gọi là gĩc giữa hai vectơ a và b thì cos 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 a . b x1 y1 z1 . x2 y2 z2 6.Tích cĩ hướng của hai vectơ: y z z x x y +Định nghĩa: a,b 1 1 ; 1 1 ; 1 1 y .z y .z ; z .x z .x ; x .y x .y là một vectơ. 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 y2 z 2 z2 x 2 x2 y 2 +Tính chất: +. a,b  a; a,b  b ; +. a cùng phương với b khi và chỉ khi a,b 0 +. a,b a . b sin ( là gĩc giữa hai vectơ a và b ) 1   7.Diện tích tam giác ABC là: S AB, AC V ABC 2 8.Ba vectơ a ,b , c đồng phẳng khi và chỉ khi: a,b .c 0    Hệ quả: Bốn điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng khi và chỉ khi: AB, AC .AD 0    9.Thể tích của khối hộp ABCD. A’B’C’D’: ( AB,AD, AA’ là 3 cạnh xuất phát từ đỉnh A) V AB, AD .AA' 10
11. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy 1    10.Thể tích của khối tứ diện ABCD là: V AB, AC .AD 6 BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 0 x0 ; y0 ; z0 và cĩ vectơ pháp tuyến n A; B;C là: 2 2 2 A x x0 B y y0 C z z0 0 Hay Ax By Cz D 0 ,(A B C 0) 2. Phương trình của các mặt phẳng tọa độ: + Mặt phẳng (Oxy): z = 0; + Mặt phẳng (Oyz): x = 0; + Mặt phẳng (Oxz): y = 0 Chú ý: mp Ax By Cz D 0 ,(A2 B2 C 2 0) . Nếu  // thì  : Ax By Cz D ' 0 D D ' BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN. Phương trình đường thẳng: Đường thẳng d đi qua M 0 x0 ; y0 ; z0 và cĩ vectơ chỉ phương u a;b;c . Khi đĩ: x x0 at a. Phương trình tham số của đường thẳng d: y y0 bt t R z z0 ct x x y y z z b. Phương trình chính tắc của đường thẳng là: 0 0 0 a.b.c 0 a b c BÀI 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG, GIỮA ĐƯỜNG THẲNG- MẶT PHẲNG 1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng: Cho 2 mp : Ax By Cz D 0;  : A' x B ' y C ' z D ' 0 + cắt  A: B :C A': B ':C ' ( Hai vectơ khơng cùng phương ). A B C D + / /  A' B ' C ' D ' A B C D +   A' B ' C ' D ' 2. VTTĐ giữa hai đường thẳng: PP1: Bước 1: Giải hệ pt hai đường thẳng d1 và d2: + Hệ cĩ 1 nghiệm d cắt d ; + Hệ cĩ vơ số nghiệm d  d ; + Hệ vơ nghiệm ta cĩ bước 2: 1 2 1 2  Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng d1 và vectơ chỉ phương u của đường thẳng d2   1   2 +Nếu u cùng phương u thì d1 // d2 ; + Nếu u kh ơng cùng phương u thì d1 chéo d2 1 2 1  2 PP2: Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng d1 và vectơ chỉ phương u của đường thẳng d2   1 2 TH1: Nếu u1 cùng phương u2 th ì ta tìm M1 d1 + Nếu M  d d / /d ; + Nếu M d d  d  1 2 1 2  1 2 1 2 TH2: Nếu u khơng cùng phương u thì ta tìm M d v à M d 1   2 1  1 2 2 + Nếu u ,u .M M 0 d cắt d ; + Nếu u ,u .M M 0 d và d chéo nhau. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2   Ghi chú: 1.Đường thẳng d  d u .u 0 1 2 1 2    2.Để chứng minh d và d chéo nhau ta chứng minh: u ,u .M M 0 1 2 1 2 1 2 3. Vị trí giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng đi qua M x ; y ; z và cĩ vectơ chỉ phương u a;b;c 0 0 0 0 và mặt phẳng : Ax By Cz D 0 cĩ vectơ n A; B;C u.n 0 u  n u.n 0 u  n a. / / ; b.  ; c. cắt u.n 0 M 0  M 0 11
12. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy * Chú ý:  u kn  u,n 0 BÀI 6: KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ điểm M 0 x0 ; y0 ; z0 đến mp : Ax By Cz D 0 là: Ax0 By0 Cz0 D d M0; A2 B2 C2 2. Một số dạng tốn về khoảng cách:  u,M M 0 a. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng đi qua điểm M 0 x0 ; y0 ; z0 cĩ vectơ chỉ phương u : d M, u b.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2 . 1 đi qua điểm M1 và cĩ vectơ chỉ phương u1 ; 2 đi qua điểm    u1,u2 .M1M 2 M2 và cĩ vectơ chỉ phương u2 là: d 1, 2   u ,u 1 2 c.Cho đường thẳng / / thì d , d M , , với M d.Cho mp / /  thì d ,  d M ,  , với M e.Chiều cao h của hình chĩp S. ABCD: h d S, ABCD BÀI 7: GĨC 1. Gĩc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng 1 và 2 lần lượt cĩ các vectơ chỉ phương là   ¼ u1 a1;b1;c1 ,u2 a2 ;b2 ;c2 . Gọi 1, 2   a a b b c c   1 2 1 2 1 2 . Chú ý:  u .u 0 cos cos u1,u2 1 2 1 2 a2 b2 c2 . a2 b2 c2 1 1 1 2 2 2  2. Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đhẳng cĩ VTCP u a;b;c và mp cĩ VTPT n A;B;C Aa Bb Cc sin cos u,n ( l à gĩc giữa đường thẳng và mp ( )) A2 B2 C 2 . a2 b2 c2 3. Gĩc giữa hai mặt phẳng: Cho hai mp : Ax By Cz D 0 cĩ VTPT n A; B;C và  : A' x B ' y C ' z D ' 0 cĩ vectơ pháp tuyến  AA' BB ' CC ' n' A'; B ';C ' là: cos cos n,n' A2 B2 C 2 . A'2 B '2 C '2 BÀI 8: MẶT CẦU a. Phương trình mặt cầu (S): 2 2 2 1. Dạng 1: Mặt cầu (S) tâm I a;b;c ; bán kính R cĩ pt là: x a y b z c R2 2. Dạng 2: Pt x2 y2 z2 2ax 2by 2cz D 0 a2 b2 c2 D 0 , tâm I a;b;c , bán kính R a2 b2 c2 D b. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu: 2 2 2 Cho mặt cầu (S): x a y b z c R2 và mp : Ax By Cz D 0 Nếu d I, R thì mp khơng cắt mặt cầu (S). Nếu d I, R thì mp tiếp xúc mặt cầu (S) tại H ( IH  tại H). Mặt phẳng được gọi là tiếp diện của (S) tại H. 12
13. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy Nếu d I, R thì mp cắt mặt cầu (S) theo đường trịn (C) cĩ phương trình là 2 2 2 x a y b z c R2 Đường trịn (C) được gọi là đường trịn giao tuyến. Ax By Cz D 0 Tâm H của đường trịn (C) là hình chiếu của tâm I trên mp . LƯỢNG GIÁC, GIẢI TÍCH 11 I. CÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ: 1. Các hệ thức cơ bản: 2. Cơng thức biểu diễn theo tanx: 2 2 sin x 2tanx 2 1. sin x cos x 1; 2. tanx 1. ; 2. 1 tan x ; 3. 2tan x sin2x 2 cos2x tan 2x cos x 1 tan x 1 tan 2 x 1 tan 2 x 1 cos x 3. tan x ; 4. cot x cot x sin x 1. sin k2 sin ; 2. cos +k2 =cos ; 1 1 5. 1 tan 2 x ; 6. 1 cot 2 x 3. tan +k =tan ; 4. cot +k cot ; k Z cos2 x sin 2 x 3. Các cung liên kết: a. Cung đối: và b. Cung bù: và c. Cung phụ: và 2 cos( ) cos sin( ) sin sin cos ; cos sin sin( ) sin cos( ) cos 2 2 ta n( ) ta n tan( ) tan tan cot ; cot tan 2 2 cot( ) cot cot( ) cot d. Cung sai kém nhau : và e. Cung hơn kém nhau : và 2 2 tan( ) tan sin cos ; cos sin cot( ) cot 2 2 sin( ) sin tan cot ; cot tan cos( ) cos 2 2 4. Bảng giá trị lượng giác của cung và gĩc đặc biệt: 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 0 2 3 5 6 4 3 2 3 4 6 sin 0 1 2 3 1 3 2 1 0 2 2 2 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 1 2 3 1 2 2 2 2 2 2 tan 0 1 1 P 1 1 0 3 3 3 3 1 1 cot P 3 1 0 1 3 P 3 3 5.Cơng thức cộng 6.1. Cơng thức nhân đơi 6. 3. Cơng thức hạ bậc: 2 2 1 cos 2a 2 1 cos2a 1. c o s ( a b ) c o s a c o s b s i n a sinb cos 2a cos a sin a 1. cos2 a ; 2.sin a 1. 2 2 2 2 2.cos(a b) cosacosb sinasinb 2cos a 1 1 2sin a 1 cos 2a 3. tan2 a 3.sin(a b) sinacosb cosasinb 2. sin 2a 2sin a cos a 1 cos 2a 2 tan a 4.sin(a b) sinacosb cosasinb 3. tan 2a 13 1 tan2 a tan a tan b 5. tan(a b) 1 tan a tan b tan a tan b 6. tan(a b) 1 tan a tan b
14. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy 7. Cơng thức biến đổi tích thành tổng 1 1. cos a cos b [cos(a b) cos(a b)] 6.2. Cơng thức nhân ba 2 3 1. cos3a 4cos a 3cos a 1 2. 3 2. sinasinb [cos(a b) cos(a b)] sin 3a 3sin a 4sin a 2 3tan a tan3 a 8. Cơng thức biến đổi 3. 9. t aMộtn 3a số cơng thức cơ bản 1 1 3tan2 a 3.sinacosb [sin(a b) sin(a b)] tổng thành tích 2 1. cos a sin a 2 cos(a ) ; 2. cosa sina 2sin(a ) a b a b 1. cosa cosb 2cos cos 4 4 2 2 a b a b 3. cos a sin a 2 cos(a ) ; 4. cosa sina 2sin(a ) 2. cosa cosb 2sin sin 4 4 2 2 5.cos4 a sin4 a 1 2sin2 acos2 a; 6.cos4 a sin4 a cos2a a b a b 6 6 2 2 6 6 2 2 3. sina sinb 2sin cos 7.cos a sin a 1 3sin acos a; 8. cos a sin a cos2a 1 sin acos a 2 2 a b a b sin a b sin a b 4.sina sinb 2cos sin 9. t ana tan b ; 10. t ana- tan b 2 2 cos a.cosb cos a.cosb PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình lượng giác cơ bản: 2. Phương trình lượng giác đặc biệt: u v k2 1. sin u = 1 ; 2. sin u = -1 u k2 ; sin u = sin v ( k Z ) u k2 u v k2 2 2 3. sin u 0 u k ( k Z ) u v k2 4. cosu = 1 u k2 ; 5. cos u = -1 u k2 ; cos u = cos v ( k Z ) u v k2 6. cosu 0 u k ( k Z ) 2 tanu = tanv u = v + k ( k Z ) 7. tan u = 1 u k ; 8. tan u = -1 u k ; 4 4 9. tan u 0 u k ( k Z ) cotu = cotv u = v + k ( k Z ) 10. cot u = 1 u k ; 11. cot u = -1 u k ; 4 4 12. cot u 0 u k ( k Z ) 2 3. Phương trình bậc hai , bậc ba đối với một hàm số lượng giác: Đặt ẩn phụ: t sinx; t = cosx , điều kiện: 1 t 1; Đặt ẩn phụ: t sin2x; t = cos2x , điều kiện: 0 t 1; 4. Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx: acosx + bsinx = c (1) trong đó a2 + b2 0. Điều kiện để phương trình (1) cĩ nghiệm: a2 b2 c2 . Cách giải : chia hai vế phương trình cho a2 b2 , đưa pt về dạng :sin u = sin v hoặc cos u = cos v 5. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx : asin2x + bsinx cosx + c.cos2x = 0 . + Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm . +Xét cos x 0 chia hai vế của phương trình cho cos2x rồi đặt t = tanx, pt trở thành pt a.tan2 x b.t anx+c = 0 6. Phương trình đối xứng : a( sinx + cosx ) + b sinxcosx + c = 0 . t 2 1 a) Đặt t = sinx + cosx =2cos x - , điều kiện 2 t 2 khi đó sinx.cosx = 4 2 Ta đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai hoặc bậc 3 theo t . Gỉai chọn t, suy ra nghiệm x. 14
15. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy b) Phương trình có dạng :a( sinx - cosx ) + bsinxcosx + c = 0 . Đặt t = sinx – cosx =2 sin x - , 4 điều kiện 2 t 2 khi đó sinx.cosx = 1 t 2 . Ta giải tương tự 6a). 2 A 2 0 7. Phương trình tích: A.B.C = 0 A 0  B 0  C 0 ; 8. Tổng các bình phương: A 2 B 2 2 B 0 HỐN VỊ - CHỈNH HỢP- TỔ HỢP - NHỊ THỨC NIUTƠN. XÁC SUẤT 1. Hốn vị: a. Định nghĩa: Cho tập A cĩ n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đĩ theo một thứ tự định trước là một phép hốn vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số phép hốn vị của tập hợp cĩ n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3 n; 0!=1! = 1. 2. Chỉnh hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A cĩ n phần tử. Xét số k ¥ mà 1 k n . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đĩ theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử. n! b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu Ak là: Ak n. n 1 n k 1 . n n n k ! 3. Tổ hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A cĩ n phần tử và số k ¥ mà 1 k n . Một tập hợp con của A cĩ k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. k n! n n 1 n k 1 k b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu C là: Cn n k! n k ! k! c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: * k n k * k k k 1 + Cho a, k ¥ :Cn Cn 0 k n ; + Cho a, k ¥ : Cn 1 Cn Cn 1 k n n n k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n 4. Khai triển nhị thức Niutơn: a b Cna b Cna Cna b Cna b Cnb k 0 Nhận xét: + Trong khai triển nhị thức Niuton ( a+b)n cĩ n + 1 số hạng. + Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n. + Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau. k n k k + Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì: T k 1 C n a b 0 1 2 n n + Cn Cn Cn Cn 2 ; 0 1 2 3 k k n n + Cn Cn Cn Cn 1 Cn 1 Cn 0 . 5. XÁC SUẤT 1. Biến cố Không gian mẫu : là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử. Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A  . Biến cố không: ; Biến cố chắc chắn: ; Biến cố đối của A: A  \ A ; Hợp hai biến cố: A  B .Giao hai biến cố: A  B (hoặc A.B); Hai biến cố xung khắc: biến cố này xảy ra thì biến cố kia khơng xảy ra.A  B =  Hai biến cố độc lập: nếu xác suất xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia. 2. Xác suất n(A)  Xác suất của biến cố: P(A) = = A ; 0 P(A) 1; P() = 1; P() = 0 n( )  (Với n(A): là số trường hợp thuận lợi để biến cố A xảy ra; n( ) là số trường hợp đồng khả năng của khơng gian mẫu) 15
16. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy Xác suất của biến cố đối: P(A ) = 1 – P(A); Qui tắc cộng: nếu A  B =  thì P(A  B) = P(A) + P(B). Với A, B bất kì: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A.B); Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B) (Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng: a c 2b . Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân: a.c b2 ) ĐẠI SỐ 10 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC, CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a 0) (1) , ta cĩ: = b2 – 4ac > 0 b b x , x 1 2a 2 2a = 0 b Nghiệm kép x x 1 2 2a < 0 Vơ nghiệm 2 Nếu phương trình bậc 2: ax + bx +c = 0 (*) cĩ 2 nghiệm x1 , x2 (a 0) thì tổng và tích 2 nghiệm đĩ thỏa: b x x 1 2 a Hệ thức Vi-ét: c x .x 1 2 a Chú ý: c + Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) cĩ nhiệm x1 = 1 và x2 = a c + Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (*) cĩ nhiệm x1 = -1 và x2 = a Hệ quả: Nếu 2 số u, v cĩ tổng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghiệm của phương trình: x2 – S.x + P = 0 2 .PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN B 0 A B a/ A B ; b/ 2 A B A B A 0 (hayB 0) 3 .BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN A 0 B 0 B 0 A 0 a/ ; b/ A B  ; c/ A B B 0 2 A B B 0 A 0 A B 2 2 A B A B 4 .PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A B A B A B a/ A B  ; b/ A B ; B 0 B 0 A B 5.BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI B A B a/ A B ; b/ A B A B  A B ; c/ A B A2 B 2 B 0 6. a. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(cơsi) a b Cho hai số khơng âm a;b . Ta cĩ: ab . Dấu “=” xảy ra khi a = b. 2 16
17. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy b. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI x 0 nếu x 0 x .Từ định nghĩa suy ra: với mọi x R ta cĩ: |x| 0; |x|2 = x2; x |x| và -x |x| x 0 nếu x < 0 Định lí: Với mọi số thực a và b ta cĩ: |a + b| |a| + |b| (1); |a – b| |a| + |b| (2) |a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b 0; |a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b 0 HÌNH HỌC 10 I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bài 1. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ    1. Điểm .M (x, y) OM xe1 ye2 2. Cho A( xA, yA ), B( xB, yB );  xA xB 2 2 x a. AB (x x , y y ) ; b. AB (x x ) (y y ) ; c. Tọa độ trung điểm I của AB : 2 B A B A B A B A y y y A B 2 x k.x x A B d. Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k 1 : 1 k y k.y y A B 1 k 3.Phép toán : Cho a (a1 ,a2 ) , b (b1 ,b2 ) a1 b1 a. a b ; b. a b (a1 b1 ,a2 b2 ) ; c. m.a (ma1 ,ma2 ) ; d. a b a1b1 a2b2 a2 b2 2 2 a1b1 a2b2 e. a a1 a2 ; f. a  b a1b1 a2b2 0 ; g. Cos a, b 2 2 2 2 a1 a2 . b1 b2 Bài 2 . ĐƯỜNG THẲNG x x0 a1t 1/. Phương trình tham số : , vectơ chỉ phương là: a (a1 ,a2 ) y y0 a2t 2/. Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A2 + B2 0) a. Vectơ pháp tuyến: n (A, B) ; b. Vectơ chỉ phương là: a ( B, A) ( hay a (B, A) ) A c.Hệ số góc của đường thẳng là k (B 0) B 3/. Phương trình đường thẳng qua M( x0, y0) có hệ số góc k : y y0 k(x x0 ) 4/. Phương trình đường thẳng qua A(xA, yA) và B(xB, yB) : (x – xA)(yB – yA) = (y – yA)(xB – xA) x x y y hay A A xB x A yB y A x y 5/. Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn): 1 a b x x y y 6/. Phương trình chính tắc : 0 0 M (x , y ), a (a,b) a b 0 0 17
18. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy Ax0 By0 C 7/. Khoảng cách từ một điểm M(x0, y0) đến đường thẳng Ax + By + C = 0 là d M ; A2 B2 8/. Vị trí tương đối của hai đường thẳng : d1: A1x + B1y + C1 = 0, d2: A2x + B2y + C2 = 0 A1 B1 A1 B1 C1 A1 B1 C1 + d1 cắt d2 ; + d1 // d 2 ; + d1  d 2 A2 B2 A2 B2 C2 A2 B2 C2 A1 A2 B1B2 9/. Góc của hai đường thẳng d1 và d2 : Xác định bởi công thức :Cos 2 2 2 2 A1 B1 A2 B2 A1 x B1 y C1 A2 x B2 y C2 10/. Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d2 :: 2 2 2 2 A1 B1 A2 B2 Phương trình đường phân giác góc Phương trình đường phân giác góc tù Dấu của n1 n2 nhọn tạo bởi d1, d2 tạo bởi d1, d2 – t1 = t2 t1 = – t2 + t1 = – t2 t1 = t2 Bài 3. ĐƯỜNG TRÒN 1/. Định nghĩa : M ( C ) OM = R 2/. Phương trình đường tròn tâm I( a, b) bán kính R : Dạng 1 : (x a)2 (y b)2 R2 (C) Dạng 2 : x2 y2 2ax 2by c 0 , có tâm I(a;b), bán kính R a2 b2 c 3/. Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại M( x0, y0) 2 (x0 – a).(x – a) + (y0 – b).(y – b) = R ( Dạng 1) x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = 0 ( Dạng 2) 4/ Điều kiện để đường thẳng (D): ax + by + c = 0 tiếp xúc với đường trịn( C) là : khoảng cách từ tâm I của đường trịn đến đường thẳng (D) chính bằng bán kính đường trịn: d I, D R Bài 4. ELIP PT chính tắc x2 y2 x2 y2 1, (a2 b2 ) 1, (a2 b2 ) Lý thuyết a2 b2 a2 b2 Trục lớn, độ dài Ox, 2a Oy, 2b Trục nhỏ, độ dài Oy, 2b Ox, 2a Liên hệ a, b, c c2 = a2 – b2 c2 = b2 – a2 Tiêu điểm F1(– c, 0), F2( c, 0) F1(0,– c), F2( 0, c) Đỉnh A1,2( ± a, 0); B1,2(0, ± b) A1,2( ± a, 0); B1,2(0, ± b) c c Tâm sai e e a b a b Đường chuẩn x y e e Bán kính qua tiêu MF1 = a + ex; MF2 = a – ex MF1 = b + ey; MF2 = b – ey 18
19. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy x x y y x x y y 0 0 1 0 0 1 Pt tiếp tuyến tại M(x0 , y0) a2 b2 a2 b2 x a x a Pt hình chữ nhật cơ sở y b y b Điều kiện tiếp xúc với Ax + By + C = 0 A2a2 + B2b2 = C2 A2a2 + B2b2 = C2 Bài 5. HYPEBOL PT chính tắc x2 y2 y2 x2 1 1 a2 b2 b2 a2 Lý thuyết Trục thực, độ dài Ox, 2a Oy, 2b Trục ảo, độ dài Oy, 2b Ox, 2a Liên hệ a, b, c c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2 Tiêu điểm F1(– c, 0), F2( c, 0) F1(0,– c), F2( 0, c) Đỉnh A1,2( ± a, 0) B1,2(0, ± b) c c e e Tâm sai a b a b Đường chuẩn x y e e b b Tiệm cận y x y x a a M nhánh phải: MF = ex + a; MF = ex – a M nhánh phải: MF = ey +b; MF = ey – b Bán kính qua tiêu 1 2 1 2 M nhánh trái:MF1 = – ex - a; MF2 = – ex + a M nhánh trái:MF1 = – ey – b; MF2 = – ey+b Pt tiếp tuyến tại x0 x y0 y y0 y x0 x 2 2 1 2 2 1 M(x0 , y0) a b b a Đkiện tiếp xúc với A2a2 – B2b2 = C2 B2b2 – A2a2 = C2 Ax + By + C = 0 Bài 6. PARAPOL Pt chính tắc y2 = 2px y2 = – 2px y2 = 2py y2 = – 2py Lý thuyết p p p p Tiêu điểm F ,0 F ,0 F 0, F 0, 2 2 2 2 p p p p Đường chuẩn x x y y 2 2 2 2 Điều kiện tiếp xúc với B2p = 2AC B2p = – 2AC A2p = 2BC A2p = – 2BC Ax + By + C = 0 II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. Tam giác thường ( các định lý) 19
20. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy 2 2 2 Định lí hàm số Cosin 2 2 2 b c a a b c 2bc.cosA cosA 2bc a b c a 2R a 2R.sinA;sin A Định lí hàm số Sin sinA sinB sinC 2R A B tan a b 2 Định lí hàm số Tan A B tan a b 2 Các chiếu a bCosC cCosB 2(b 2 c 2 ) a 2 Độ dài đường trung tuyến m 2 a 4 A 2bc.Cos Độ dài đường phân giác l 2 a b c 1 1 1 1.S ah bh ch ; 2. S pr 2 a 2 b 2 c Diện tích tam giác thường abc 2.S ; 4. S p( p a)( p b)( p c) 4R 1 1 1 5. S bcSinA acSinB abSinC 2 2 2 1. Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h = a 3 ; b) S = a 2 3 2 4 c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 2. Tam giác vuơng: S = 1 ab (a, b là 2 cạnh gĩc vuơng) 2 3. Tam giác vuơng cân a) S = 1 a2 (2 cạnh gĩc vuơng bằng nhau) ; b) Cạnh huyền bằng a 2 2 1 4. Tam giác cân: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 2 5. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước) 1 6. Hình thoi: S = d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo) 2 7. Hình vuơng: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2 8. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 9. Đường trịn: a) C = 2 R (R: bán kính đường trịn) b) S = R2 (R: bán kính đường trịn) Chú ý: S A B C 1.r ( p a)tan ( p b)tan ( p c)tan với rlà bán kính đường trịn bàng tiếp tam giác. p 2 2 2 A abc a b c 2. R 4S 2sinA 2sinB 2sinC c b h m Với a, b, c :cạnh tam giác; A, B, C: góc tam giác; a a ha: Đường cao tương ứng với cạnh a; ma:Đường trung tuyến vẽ từ A B a b c H a M C 3.R, r :Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác, p là nửa chu vi tam giác. 2 B. Hệ thức lượng tam giác vuông: 20 A B C H
21. 1. 2. 3. Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy 4. 1. A H 2 BH.CH ; 5. 6. 2. AH.BC AB.AC ; 3.AB 2 BH.BC ; 1 1 1 1 1 1 4. hay ; AH 2 AB2 AC 2 h2 a2 c2 5. AC 2 CH.CB ; 6. BC 2 AB 2 AC 2 Chúc các em ơn tập hiệu quả và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới ! 21