Một số phương pháp tìm GTLN, GTNN - Chuyên đề: Cực trị của một biểu thức

Nội dung text: Một số phương pháp tìm GTLN, GTNN - Chuyên đề: Cực trị của một biểu thức

1. CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC I. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC 1. Cho biểu thức f(x,y, ) a) Ta nói M giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn: - Với mọi x,y để f(x,y ) xác định thì: f(x,y ) M (M hằng số) (1) - Tồn tại xo,yo sao cho: f(xo,yo ) = M (2) b) Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn: - Với mọi x,y để f(x,y ) xác định thì: f(x,y ) m (m hằng số) (1’) - Tồn tại xo,yo sao cho: f(xo,yo ) = m (2’) 2. Chú ý: Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = (x- 1)2 + (x – 3)2. Mặc dù ta có A 0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau: A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2(x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 2 A = 2 x -2 = 0 x = 2 Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2 II. TÌM GTNN,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN 1. Tam thức bậc hai: Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c . Tìm GTNN của P nếu a 0. Tìm GTLN của P nếu a  0 b b b2 Giải: P = ax2 + bx +c = a(x2 + x ) + c = a(x + )2 + c - a 2a 4a 2 b2 b Đặt c - =k . Do (x + )2 0 nên: 4a 2a
2. b b - Nếu a  0 thì a(x + )2 0, do đó P k. MinP = k khi và chỉ khi x = - 2a 2a b b -Nếu a 0 thì a(x + )2 ` 0 do đó P ` k. MaxP = k khi và chỉ khi x = - 2a 2a 2. Đa thức bậc cao hơn hai: Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai Ví dụ: Tìm GTNN của A = x(x-3)(x – 4)(x – 7) Giải: A = (x2 - 7x)(x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)(y + 6) = y2 - 36 -36 2 minA = -36 y = 0 x – 7x + 6 = 0 x1 = 1, x2 = 6. 3. Biểu thức là một phân thức: a. Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai: 2 Ví dụ: Tìm GTNN của A = . 6x 5 9x2 2 2 2 Giải: A = . = = . 6x 5 9x2 9x2 6x 5 (3x 1)2 4 1 1 Ta thấy (3x – 1)2 0 nên (3x – 1) 2 +4 4 do đó theo tính chất a (3x 1)2 4 4 1 1 2 2 1 b thì với a, b cùng dấu). Do đó A - a b (3x 1)2 4 4 2 1 1 minA = - 3x – 1 = 0 x = . 2 3 Bài tập áp dụng: 1 Bài 1. Tìm GTLN của BT: A x2 4x 9 1 1 1 1 HD giải: A . max A= x 2 . x2 4x 9 x 2 2 5 5 5 1 Bài 2. Tìm GTLN của BT: A x2 6x 17 1 1 1 1 HD Giải:A . max A= x 3 x2 6x 17 x 3 2 8 8 8 3 Bài 3. (51/217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 2 x2 2x 7
3. b. Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức. 3x2 8x 6 Ví dụ: Tìm GTNN của A = . x2 2x 1 Giải: Cách 1: Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm 22 2 x 2x 1 x 4x 4 (x 2)2 A = = 2 + 2 x2 2x 1 (x 1)2 minA = 2 khi và chi khi x = 2. Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có: 3(y 1)2 8(y 1) 6 3y 2 6y 3 8y 8 6 3y 2 2y 1 A = y 1 2 2 y 1 1 y22 2y 1 2y 2 1 y 2 1 1 = 3 - + = ( -1)2 + 2 y y2 y minA = 2 y = 1 x – 1 = 1 x = 2 Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH) x12 Bài 1. (13/200) Tìm GTNN và GTLN của bt: P x2 x 1 x2 2x 2006 Bài 2. (36/210) Tìm GTNN của bt: B x2 x2 Bài 3. (45/ 214) Tìm GTNN và GTLN của bt: C x2 5x 7 x2 2x 2 x2 2x 1 Bài 4. (47, 48 /215) Tìm GTNN của bt: D ; E x2 2x 3 2x2 4x 9 c. Các phân thức dạng khác: 3 4x Ví dụ: Tìm GTNN và GTLN của A = x12 Giải Để tìm GTNN, GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số: x22 4x 4 x 1 (x 2)2 A = = - 1 -1 x12 x12 Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2 4x22 4 4x 4x 1 (2x 1)2 Tìm GTLN A = = 4 - 4 x12 x12
4. Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH) x x2 Bài 1. (42, 43/ 221) Tìm GTLN của bt: A 2 ; B 3 x2 x22 x2 4x 4 x25 Bài 2. (35, 36 / 221) Tìm GTNN của bt: C với x > 0; D với x > 0 x x3 2 x13 Bài 3. (34, 36/ 221) Tìm GTNN của bt: Ex 2 với x > 0; F với x > 0 x3 x2 x2 2x 17 Bài 4. (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: Q với x > 0 2 x 1 x 6 x 34 Bài 5. (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: R với x > 0 x3 x3 2000 Bài 6. (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: S với x > 0 x III. TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ: Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1 sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)(x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Đến đây ta có nhiều cách giải Cách 1: Sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A x + y = 1 x2 + 2xy + y2 = 1 (1) Mà (x – y)2 0 Hay: x2 - 2xy + y2 0 (2) 1 Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) 1 x2 + y2 2 1 1 minA = khi và chỉ khi x = y = 2 2 Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x. Thay y = x – 1 vào A 1 1 1 A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 - )2 + 2 2 2 1 1 minA = khi và chỉ khi x = y = 2 2 Cách 3. Sử dụng điều kiện đã cho để dưa về một biến mới
5. 1 1 Đặt x = + a thì y = - a . Biểu thị x2 + y2 ta được: 2 2 1 1 1 1 1 1 x2 + y 2 = ( + a)2 + ( - a)2 = +2 a2 => MinA = a = 0 x=y = 2 2 2 2 2 2 Bài 1. Tìm Min A = a22 ab b 3a 3b 2014 Cách 1: Ta có: A= a22 2a 1 b 2b 1 ab a b 1 2011 = a22 2a 1 b 2b 1 ab a b 1 2011 = a 1 21 b 1 a b 1 b 1 2011 = a 1 22 b 1 a 1 b 1 2011 22 2 b 1 b 1 3 b 1 a 1 2 a 1 2011 2 4 4 2 2 b1 3 b 1 = a 1 + 2011 24 b1 a 1 0  Min A = 2011 khi 2 a b 1 b10 Cách 2: 2A 2 a22 ab b 3a 3b 2014 = a2 2a 1 b 2 2b 1 a 2 2ab b 2 2.2 a b 4 4022 =a1 2 b1 1 ab2 2 4022 a 1 0  Min 2A = 4022 khi b 1 0 a b 1 => Min A = 2011 a b 2 0 BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: Bài 1. CMR Min P = 0 Với P = a22 ab b 3a 3b 3 Bài 2. CMR không có giá trị nào của x, y, z tm: x2 4y 2 z 2 2x 8y 6z15 0 Hướng dẫn Ta có: VT x2 2x14y 2 8y 4z 2 6z91= x-1 2 2y 2 2 z3 2 11 Bài 3: Có hay không các số x,y,z thỏa mãn mỗi đẳng thức sau: a) x2 4y 2 z 2 4x 4y 8z 22 0 b) x2 4y 2 9z 2 2x 12y 12z 1994
6. Hướng dẫn Ta có: 1) VT x2 4x 4 4y 2 4y 1 z 2 8z 16 1 = x+2 2 2y 1 2 z 4 2 1 1 2) VT = x2 2x 1 4y 2 12y 3 9z 2 12z 4 1986 = x 1 2 2y 3 2 3z 2 2 1986 1986 Bài 4. CMR Min A=2 Với A = m22 4mp 5p 10m 22p 28 Hướng dẫn: Ta có: A = m2 4mp 4p 2 p 2 2p 1 10m 20p 27 = m 2p 22 2.5 m 2p 25 p 1 2 = m 2p 5 22 p 1 2 2 Bài 5. CMR Max B = 4 Với B a22 5b 2a 4ab 10b 6 Hướng dẫn Ta có: B a2 4ab 4b 2 b 2 6b 9 2a 4b 1 4 2 2 2 = 4 - a 4ab 4b b 6b 9 2 a 2b 1 = 4 - a 2b22 2 a 2b 1 b 3 = 4 - a 2b 122 b 3 4 Bài 6: Tìm GTNN của a) A=a22 5b 4ab 2b 5 (A = a - 2b 22 b 1 4 ) b) B = x22 y xy 3x 3y 2029 (B = x-y 2 y 3 2 x 3 2 2011 ) c) C x2 4y 2 9z 2 4x 12y 24z 30 (C = x+2 2 2y 3 2 3z 4 2 1 ) d) D= 20x22 18y 24xy 4x 12y 2016 (D= 4x-3y 22 2x 1 3y 2 2011 ) Bài 7: Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn: a2 b 2 c 2 d 2 a b c d (*) Ta có: a2 b 2 c 2 d 2 ab a b c a2 b 2 c 2 d 2 a b c d 0 a2 b 2 c 2 d 2 abacad0 4a 2 b 2 c 2 d 2 abacad 0 a2 4ab 4b 2 a 2 4ac 4c 2 a 2 4ad 4d 2 a 2 0
7. a 2b 2 a 2c 2 a 2d 2 a2 0 Dấu “=” xảy ra khi: a2b2c2d0 abcd0 BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1. Tìm các số a, b, c, d, e thỏa mãn: 2a2 b 2 c 2 d 2 e 2 abcde Bài 2. Tìm các số a, b, c, thỏa mãn: a22 b 1 ab a b Bài 3. Tìm các số a, b, thỏa mãn: 4a22 4b 4ab 4a 4b 4 0 Bài 4. Tìm các số x, y, z thỏa mãn: x2 4y 2 z 2 2x 8y 6z14 Bài 5. Tìm các số m, p, thỏa mãn: m22 5p 4mp 10m 22p 25 IV.Các chú ý khi giải bài toán cực trị: 1. Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến Ví dụ: Tìm GTNN của (x – 1)2 + (x – 3)2 ta đặt x – 2 = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +2 2 minA= 2 y=0 x=2 2. Chú ý 2: Khi tìm cực trị của biểu thức, nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị Chẳng hạn: -A lớn nhất A nhỏ nhất 1 lớn nhất B nhỏ nhất với B > 0 B x14 1 Ví dụ: Tìm GTLN của A (Chú ý A> 0 nên A LN khi NN và ngược lại) (x22 1) A 1 (x2 1) 2 x 4 2x 2 1 2x 2 1 Ta có: = 1 .Vậy 1 A x4 1 x 4 1 x 4 1 A 1 min = 1 khi x = 0. Do đó maxA =1 khi x = 0 A 3. Chú ý 3: Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức, ta thường sử dụng các BĐT đã biết Bất đăng thức có tính chất sau a ) a > b, c > d với a, b, c, d > 0 thì a.c > b. d b) a > b và c > 0 thì a.c > b.c c) a > b và c b và a, b, n > 0 thì an > bn Bất đẳng thức Cô si: a + b 2 ab ; a2 + b2 2ab ; (a + b)2 4ab ; 2(a2 + b2) (a+ b)2
8. Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki: (a2 + b2) (c2 + d2) (ac + bd)2 Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 . Tìm GTLN của A = 2x + 3y Giải:Áp dụng BĐT BCS ta có (2x + 3y )2 (22+32 ).52 (2x + 3y )2 13.13.4 2x 3y 2x + 3y 26. Vậy maxA = 26 2x 3y 0 3x Thay y = vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4 x2 = 16 x=4 hoặc x= -4 2 Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y 0 x = -4,y = -6 không thoả mãn 2x +3y 0 Vậy Max A = 26 x =4, y = 6 3. Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau - Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau - Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết x,y N thoả mãn x + y = 2005 Giải: Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2 xy lớn nhất x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất x – y lớn nhất giả sử x > y (không thể xảy ra x = y) Do 1 y x 2004 nên 1 x-y 2003 Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 khi x =2004, y = 1 Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003, y = 1002 Min (xy) = 2004 khi x = 2004, y = 1 ===
9. MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ 1. Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khac nhau 14 VD1: cho x, y là các số dương thỏa mãn x +y =1 . Tìm GTNN của biểu thức: A = xy 14 1 4 4 Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm , ta có: (1) xy xy xy 1 x y Lại có: xy (2 ) 22 1 4 4 4 Từ (1) và (2) suy ra: A = 8 . Vậy Min A = 8 xy xy 1 2 Phân tích sai lầm: 14 Đẳng thức sảy ra ở (1) khi 4x y xy Đẳng thức sảy ra ở (2) khi x = y . Từ đó suy ra x = y = 0 (Loại vì x + y = 1) Có bạn đến đây KL không có giá trị nhỏ nhất cũng là KL sai. 1 4 4x y Giải đúng: Vì x + y = 1 nên A = x+y 5 x y y x 4x y 4x y 4x y Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm , Ta có: 2 . 4 yx y x y x 1 4x y x y 2x 3 Dấu “=” xẩy ra khi yx x y 1 2 x y 1 y 3 Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác nhau trong 1 bài toán thì ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời sảy ra dấu bằng không. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng. 2. Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán: 2 2 11 VD2:cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y= 1. Tìm GTNN của BT: A = x+ y xy
10. 1 11 Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x, Ta có: x+ 2 x. 2 (1) x xx 1 11 Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm y, Ta có: y+ 2 y. 2 (2) y yy Từ (1) và (2) =>A 8 => Min A = 8 1 Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy ra ở (1) khi x x2 1 x 1 Đẳng thức sảy ra ở (2) khi y y2 1. Từ đó suy ra x = y = 1 (Loại vì x + y = 1) y Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có: x + y 1 1 xy xy xy 2 2 4 2 2 22 11 Ta có: A = 4 + x +y + . xy 1 1 Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy 1 - = (1) 2 2 1 1 1 2 28 (2). x2 y 2 x 2 .y 2 xy 1 25 25 1 Từ (1) và (2) =>A 8 + +4 = =>Min A = khi x=y = 2 2 2 2 Lưu ý: Khi giải bài toán mà không sử dụng hết điều kiện của đầu bài thì cần kiểm tra lại giả thiết. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng. 3. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1: 1 VD1: Tìm GTLN của bt: A = x2 6x 17 Lời giải sai: A đạt Max khi x2 6x 17 đạt Min Ta có: x2 6x 17 x 3 2 8 8 1 Do đó Min x2 6x 17 8 x 3. Vậy Max A = x3 8 Phân tích sai lầm: Kết quả đúng nhưng lập luận sai ở chỗ cho rằng “ A có tử không đổi nên đạt GTLN khi mẫu đạt GTNN” mà chưa đua ra nhận xét tử và mẫu là các số dương
11. Lời giải đúng: Bổ xung thêm nhận xét x2 6x 17 x 3 2 8 8nên tử và mẫu của A là dương VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4 22 2 2 x y 2xy Ta có: A = x + y 2xy => A đạt GTNN x y 2 x y 4 Khi đó MinA = 8 Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai nhưng lập luân sai lầm ở chỗ ta mới c/m được f(x,y) g(x,y) chứ chưa c/m được f(x,y) m với m là hắng số. Chẳng hạn: Từ x2 4x – 4 => x2 đạt nhỏ nhất x2 = 4x – 4 (x – 2 )2 = 0 x =2 Đi đến min x2 = 4 x = 2 Dễ thấy kết quả đúng phải là Min x2 = 0 x =0 Lời giải đúng: Ta có x + y =4 x + y 2 =16 (1) Ta lại có: x - y 2 0 x22 -2xy+y 0 (2) Từ (1) và (2) => 2(x2 + y2 ) 16 => A = x2 + y2 8 Vậy Min A = 8 khi và chỉ khi x = y = 2. Lưu ý: Cần nắm vững t/c của BĐT cụ thể trong trường hợp so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên, số nguyên Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng. 4. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2 VD1: Tìm GTNN của bt: A = x + x 2 2 1 1 1 1 1 1 1 Lời giải sai: x + x = x +2 x x . Vậy: Min A = 2 4 4 2 4 4 4 1 1 1 P/tích sai lầm: sau khi c/m f(x) chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x)= x (vô 4 4 2 lí ) Lời giải đúng: ĐKTT x là x0 do đó: A = x + x 0 => Min A = 0 x0 VD2: Tìm GTLN của A = xyx z+y y+z z+x với x, y, z là các số không âm và x +y+ z =1 Lời giải sai: Áp dụng BĐT 4xy x y 2 ta có:
12. 4x z+y x+y+z 2 1 4y z+x x+y+z 2 1 4z x+y x+y+z 2 1 1 1 => 64xyx z+y y+z z+x 1 =>xyx z+y y+z z+x . Vậy Max A = 64 64 Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ chưa chi ra khả năng xảy ra dấu “=” z+y = x y+x = z x y z 0 1 ĐK để Max A = là: x+z = y x + z + y = 1 (vô lí ) 64 x + z + y = 1 x, y, z 0 x, y, z 0 Lời giải đúng: Ta có: 1 = x +y+ z 33 x.y.z (1) 2 = x +y + z+x + y+ z 33 x +y z+x y+ z (2) 3 3 2 Từ (1) và (2) => 2 33 x.y.z. x +y z+x y+ z hay: 2 3 A A 9 3 x +y = z+x = y+ z 2 1 Max A = khi x y z 1 x y z 9 3 x,y,z 0 (x a)(x b) VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A với x > 0, a, b là các hằng số dương. x x a 2 ax Lời giải sai: Ta có: x a x b 2ax.2bx 4xab x b 2 bx (x a)(x b) 4x ab Do đó: A 4 ab vậy Min A = 4 ab x a b xx Phân tích sai lầm: Nếu ab thì không có: A = 4 ab (x a)(x b) x2 ax+bx+ab ab Lời giải đúng: Ta có A x (a b) . x x x ab 2 Theo bất đẳng thức Cauchy: x 2 ab nên A ≥ 2 ab + a + b = ab x
13. ab 2 x min A = ab khi và chi khi x x ab . x0 VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ 1 1 1 VD1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mẫn đk Tìm GTNN của bt: A = x y x y 2 11 11 Do x > 0, y > 0 nên 0, 0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số , xy xy 1 1 1 1 1 11 ta có: . Hay => xy 4 2 x y x y 4 xy Mặt khác ta có: x > 0, y > 0 => x 0, y 0. áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: x y 2 xy 2 4 4 xy Vậy: Min A = 4 khi: 1 1 1 x y 4 x y 2 VD2: Tìm GTNN của của biểu thức: A x22 x 1 x x 1 2 2 1 3 3 Ta có: x x 1 x  x R 2 4 4 2 2 1 3 3 x x 1 x  x R 2 4 4 Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số x22 x 1, x x 1 ta có: x2 x1 x 2 x12x 2 x1.x 2 x12x4 4 x12 2 42 x x 1 1  Max A = 2 khi x0 22 x x 1 x x 1 x y z VD3 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A với x, y, z > 0. y z x x y z x y z Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương: A 33 . . 3 y z x y z x
14. x y z x y z Do đó min 3 x y z y z x y z x x y z x y y z y xy Cách 2: Ta có: . Ta đã có 2 (do x, y > 0) nên để y z x y x z x x yx x y z y z y chứng minh 3 ta chỉ cần chứng minh: 1 (1) y z x z x x (1) xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) xy + z2 – yz – xz ≥ 0 y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 (x – z)(y – z) ≥ 0 (2) (2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó tìm được x y z giá trị nhỏ nhất của . y z x VD 4: Tìm giá trị lớn nhất của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1. Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: 1 = x + y + z ≥ 3. 3 xyz (1) Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có: 2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. 3 (x y)(y z)(z x) (2) 3 3 2 Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm): 2 ≥ 9. A A ≤ 9 3 2 1 max A = khi và chỉ khi x = y = z = . 9 3 xy yz zx VD 5: Tìm GTNN của A với x, y, z > 0, x + y + z = 1. z x y xy yz xy yz Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy: 2 . 2y . z x z x yz zx zx xy Tương tự: 2z ; 2x . Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2. x y y z 1 min A = 1 với x = y = z = . 3 12 VD 6: Tìm GTNN của A 4xy với: x > 0, y > 0, x + y < 1 x22 y xy
15. Ta có: xy 2 xy x y 4xy 2 1 1 1 1 1 4 x y 2 xy.2 4 1 1 1 x y xy x y x y 2 x y xy 1 2 1 1 1 5 Ta có: A 2 2 4xy 2 2 4xy xy xy xy 2xy 4xy 4xy 4 1 5 4 5 11 => A 2 4xy. 2 11 x22 2xy y 4xy x y 2 x y 2 x y 2 x y 2 1 VD 7: : Cho x , Tìm GTLN của A = 2x2 5x 2 + 2 x+3 - 2x 2 Giải: Ta có: A = 2x2 5x 2 + 2 x+3 - 2x = 2x 1 x 2 + 2 x+3 - 2x Với 1 2x 1 0 x ta có: 2 x 2 0 2x 1 x+2 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số 2x 1, x+2 Ta có: 2x 1 x+2 2 3x 3 Hay: 2x 1 x+2 Dấu “ = ” xảy ra khi 2x 1 x+2 x=1 2 x 3 4 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số x 3, 4 Ta có: 4 x 3 2 x 3 2 x 7 Hay: 2 x 3 . Dấu “ = ” xảy ra khi x 3 4 x=1 2 x 7 3x 3 Do đó: A - 2x = 5. Dấu “ = ” xảy ra khi x=1 2 2 1 4 9 VD 8: : Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Tìm GTNN của: S = x y z 1 4 9 y 4x 4z 9y 9x z Ta có: S = x + y + z =1+4+9+ x y z x y y z z x y 4x y 4x y 4x áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương , ta có: 2 . 4 xy x y x y
16. 4z 9y 4z 9y 9x z 9x z Tương tự ta có: 2 . 12 ; 2 . 6 y z y z z x z x  S 1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 =36 y 4x 1 xy 22 y y 4x 3 4z 9y y 2x 4z22 9y 1 Dấu “=” sảy ra khi: yz z 3x x 9x22 z 6 9x z x y z 1 x y z 1 1 zx z 2 x y z 1 1 1 1 Vậy Min S = 36 khi y ,x ,z 3 6 2 Không phải lúc nào ta cũng dùng trực tiếp được bất đẳng thức Côsi đối với các số trong đề bài. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thê vân dụng BĐT Cô-si rồi tìm cực trị của nó: Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó 3x 5 0 57 VD1: Tìm giá trị lớn nhất của A 3x 5 7 3x , ĐKXĐ: x 7 3x 0 33 Bình phương hai vế ta có: A2 = 2 + 2 3x 5 7 3x 57 Với x . áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3x 5 và 7 3x ta có: 33 3x 5 7 3x 2 3x 5 7 3x hay 2 2 3x 5 7 3x  A2 4 =>A 2 Dấu “=” xảy ra khi: 3x - 5 = 7 - 3x hay x = 2 VD2: Tìm GTNN của biểu thức: A = -x22 2x 8 -x x 2 (*) -x2 2x 8 0 x 2 x 4 0 2 x 4 ĐKXĐ: 1 x 2 2 -x x 2 0 x 1 x 2 0 1 x 2 Khi đó -x22 2x8 -x x2 x60 => A > 0 Từ (*) => A2 = -x 2 2x 8 -x 2 x 2 2 -x 2 2x 8.-x 2 x 2 = -2x2 3x 10 2 x 2 4 x x 1 2 x
17. = 2xx2 x14x 222xx2.x14x 2 2 = 4x 2 22xx2.x14x x14x 2 2 4 x2 x 1 4 x 2 2 A = 2 4 x2 x 1 4 x x 0 BÀI TẬP TỰ LUYỆN (BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên ) Bài 1. Tìm GTNN, GTLN của hàm số: y 1 x 1 x Bài 2. Tìm GTLN của hàm số: y x 2 4 x Bài 3. Tìm GTLN của hàm số: A x 5 23 x Bài 4. Tìm GTLN của hàm số: A 2x 3 23 2x Bài 5. Tìm GTLN của hàm số: A 5x 7 17 5x Bài 6. Tìm GTLN của hàm số: A 3x 2 20 3x Bài 7. Tìm GTLN của: A x 1 y 2 biết x + y = 4 Bài 8. Tìm GTNN của: A = -x22 4x 21 -x 3x 10 x y z Bài 9. (76/29) Tìm GTNN của: A = với x, y, z dương và x + y + z 12 y z x Bài 10. (65/ 28) Tìm GTLN, GTNN của: A x 4 y 3 biết x + y = 15 Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác không. x - 9 VD Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 5x x - 9 1 x - 9 x .3 3 x - 9 23 1 Giải: ĐKXĐ: x9 Ta có: A = = 3 6 5x 5x 5x 5x 30 x - 9 3 Dấu “=” xảy ra khi 3 x 18 x9
18. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 7x - 5 Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 7x-9 x3 - 9 Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 27x3 Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số: 1) Tách 1 hạng tử thành tổng nhiều hạng tử bằng nhau 3x4 16 VD1: cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức: A = x3 3x4 16 16 16 Giải: Ta có A = 3x x x x x3 x 3 x 3 16 16 Áp dụng BĐT Cô-si Ta có: A = x+x+x+ 44 x.x.x. 4.2 8 xx33 16 Vậy Min A = 8 x x 2 x3 VD2: (đề thi ĐHTH Hà Nội 1993) Tìm Max và Min A = x2 y( 4 - x - y ) với x,y 0 và x + y 6 4 xx +y+ 4 - x - y xx 22 Xét 0 x y 4 Ta có: A = 4. . .y( 4 - x - y ) 4. 4 2 2 4 x Dấu “=” xẩy ra khi = y = 4 - x - y y = 1 ; x =2 2 Xét 4 x y 6 Rễ thấy: 4 – x - y 2 (1) Dấu ‘=’ xảy ra khi x + y = 6 => A = x2 y( 4 - x - y ) đạt GTNN khi x2y đạtGTLN 3 3 x+x+2y 2 x+y x.x.2y 3 3 Ta có: x2 y = =32 hay x2y 32 (2) 2 2 2
19. x y 6 x 4 Từ (1) và (2) => x2 y( 4 - x - y ) -64 Dấu ‘=’ xảy ra khi x 2y y 2 VD3 . Tìm GTLN của A = x2(3 – x) biết x ≤ 3. x x Giải: Xét 0 ≤ x ≤ 3. Viết A dưới dạng: A = 4. . .(3 – x). Áp dụng bất đẳng thức 2 2 3 xx 3x x x x x 22 Cauchy cho 3 số không âm , , (3 – x) ta được: . .(3 – x) ≤ 1. 2 2 2 2 3 Do đó A ≤ 4 (1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN (BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên ) 12 16 Bài 1. (71/28) Cho x > 0, y > 0 và x + y 6 Tìm GTNN của P 5x 3y xy x3 2000 Bài 2. (70/28) Cho x > 0, Tìm GTNN của N x x2 2x 17 Bài 3. (68/ 28) Cho x , Tìm GTNN của Q 2(x 1) x 6 x 34 Bài 4. (69/ 28) Tìm GTNN của M x3 x22 1,2xy y Bài 5. (72/ 29) Cho x > y và x.y =5, Tìm GTNN của Q xy Bài 6. (79/ 29) Cho x,y thỏa mãn biểu thức: x + y =1 và x > 0, Tìm GTLN của B x23 y === Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với 1 hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho. 9x 2 VD1: Cho 0 < x < 2, Tìm GTNN của B 2 x x 9x 2 x 9x 2 x Ta có: B 1 1 2 . 7 2 x x 2 x x 9x 2 x 1  Min B= 7 x 2 x x 2
20. BÀI TẬP TỰ LUYỆN (BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyến ) 34 Bài 1. (74/ 29) Cho 0 1, Tìm GTLN của A 4x x1 2x2 6x 5 Bài 3. Cho x > 0, Tìm GTNN của biểu thức: A = 2x x - 4 Bài 4. Tìm GTNN của biểu thức: B = x x2 3x 4 Bài 5. Tìm GTNN của biểu thức: A = x (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH) 1 3x Bài 6. Tìm GTNN của biểu thức: A = (với x > -1 ) x+1 2 2x Bài 7. Tìm GTNN của biểu thức: B = (với x > 1 ) x-1 2 5x 1 Bài 8. Tìm GTNN của biểu thức: C = (với x > ) 2x-1 3 2 x5 Bài 9. Tìm GTNN của biểu thức: D = (với 0 < x < 1 ) 1 - x x Biện pháp 4: Thêm 1 hạng tử vào biểu thức đã cho: VD1: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 Tìm GTNN của biểu thức: x2 y 2 z 2 P y z z x y x x2 yz x2 y z x Ta có: + 2 . 2. x yz 4 y z 4 2 y2 xz y2 x z y + 2 . 2. y xz 4 x z 4 2 z2 yx z2 y x z + 2 . 2. z yx 4 y x 4 2
21. x2 y 2 z 2 y z x z y x => x y z y z z x y x 4 4 4 x2 y 2 z 2 x y z Hay: x y z y z z x y x 2 x2 y 2 z 2 x y z x y z => P x y z 1 y z z x y x 2 2 x2 y z y z 4 y2 x z 2 Vậy Min P = 1 x y z x z 4 3 z2 y x y x 4 z2 x 2 y 2 Lưu ý: Nếu ta lần lượt thêm (x + y), (z + y), (x + z) vào , , ta vẫn khử được y+x y+z z+x (x + y), (z + y), (x + z) nhưng không tìm được x, y, z để dấu dấu đẳng thức xảy ra đồng thời. Khi đó không tìm được giá trị nhỏ nhất. ab VD2: Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn 1 (a và b là hằng số dương). xy a b ay bx Giải . Cách 1: A = x + y = 1.(x + y) = x y a b . x y x y ay bx ay bx Theo bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương: 2 . 2 ab . x y x y 2 Do đó A a b 2 ab a b . ay bx xy 2 ab x a ab minA a b với 1 xy y b ab x,y 0 Cách 2: Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
22. 2 a b a b 2 A(xy).1(xy) x. y. a b . x y x y Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của A. x2 y 2 z 2 VD3 Tìm GTNN của A biết x, y, z > 0, xy yz zx 1. x y y z z x x2 y 2 z 2 x y z Giải Theo VD1 BIỆN PHÁP 4: . Theo bất đẳng thức x y y z z x 2 Cauchy x y y z z x xy ; yz ; zx nênx y z xy yz zx . 2 2 2 x+y+zxy yz zx 1 hay 2 2 2 1 1 min A = x y z . 2 3 VẬN DỤNG BDT A B A+B ĐỂ TÌM CỰC TRỊ Bài 1: Tìm GTNN của hàm số: y x22 2x 1 x 2x 1 Cách 1: y x22 2x1 x 2x1x1x1 Nếu: x 1 thì yx1 x1x1x12x2 Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 x 1 Cách 2: áp dụng BĐT a b a b (Dấu “=” sảy ra khi a.b 0) Ta có: y x 1 1 x x 1 1 x 2 Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 x 1 Bài 2: Cho x, y > 0 và 2x + xy = 4 . Tìm GTLN của A = x2y Cách 1: Từ 2x + xy = 4 => xy = 4 -2x Thế vào A ta có: 222 A = x(4 -2x ) = 2 – x 2 2x 2. 2 2 = 2 x 2 2
23. x 2 2 0 x1 => Max A = 2 khi 2x xy 4 y2 1 Cách 2: Ta có: A = .2x.xy . Vì x, y > 0 => 2x, xy > 0. áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số 2 2 2 2x xy 2x xy 2x xy 2 2x, xy ta có: 2x.xy 2x.xy x y Thay số ta có: 2 2 4.2 2 x2 y =A 2x xy x 1 Vậy Max A =2 khi 2x xy 4 y 2 BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: Bài 1. Tìm GTNN của HS: a) y 4x22 4x1 4x 12x 9 b) y x22 4x 4 x 6x 9 Bài 2. Tìm GTNN của HS: a) y 4x22 20x 25 x 8x 16 b) y 25x22 20x 4 25x 30x 9 Bài 3. Tìm GTNN của A x 2 x 1 x 2 x 1