›
›
›

Nội dung ôn tập học kì II môn Toán Khối 9 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Cát Linh

pdf 56 trang thaodu 2640
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Nội dung ôn tập học kì II môn Toán Khối 9 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Cát Linh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfnoi_dung_on_tap_hoc_ki_ii_mon_toan_khoi_9_nam_hoc_2017_2018.pdf

Nội dung text: Nội dung ôn tập học kì II môn Toán Khối 9 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Cát Linh

  1. 1/5 Giáo viên: Nguy n Thu Hà 6 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê TRƯỜNG THCS CÁT LINH NỘI DUNG ÔN TẬP HỌC KÌ II KHỔI 9 – MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2017 – 2018 A . Kiến thức cần nhớ I . Đại số 1. Khái niệm: PT bậc nhất hai ẩn, hệ hai PT bậc nhất hai ẩn và nghiệm của nó, hệ PT tương đương. 2. Cách giải hệ PT bằng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp đặt ẩn phụ. 3. Tính chất của hàm số y ax2 a 0. Đồ thị của hàm số y ax2 a 0. 4. PT bậc hai một ẩn: Đn, công thức nghiệm, công thức nghiêm thu gọn. 5. Hệ thức Vi – ét và ứng dụng. 6. Giải bài toán bằng cách lập PT II. Hình học: 1. Định nghĩa góc ở tâm, số đo cung. 2. Định nghĩa, tính chất, hệ quả: góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. 3. Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. 4. Định nghĩa đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp một đa giác. Xácđịnh tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác đều, hình vuông, lục giác đều. 5. Các công thức tính và cách tính: - Độ dài đường tròn, cung tròn. - Diện tích hình tròn, hình quạt tròn, hình viên phân, hình vành khăn. - Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích hình trụ, hình nón, hình cầu. B. Bài tập: Dạng 1: Phương trình, hệ phương trình Bài 1. Giải các phương trình và hệ phương trình sau: (x 1)( y 1) xy 1 2(3xy 2) 4 5(3 2) a) b) (x 3)( y 3) xy 3 4(3xy 2) 7(3 2) 2 L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  2. 2/5 Giáo viên: Nguy n Thu Hà 6 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê 13 4 3xy 1 2 3 5 xy 2 2 1 c) d) 14 2xy 1 3 1 3 2yx 1 2 2y 5 x y 27 2(x y ) 3( x y ) 52 x 34 e) 42 f) 1 x 1 6 y 5 x x y x y y 37 g) xx2 2 2 1 0 h) xx42 3 2 0 i) x32 3 x 2 x 0 Hướng dẫn giải (1)(1)1xy xy xyxyxy 11 xy 0 x 2 a) (3)(3)xy xy 3 xyxyxy 339 3 33 xy 12 y 2 Vậy (xy ; ) (2;2) là nghiệm của hệ phương trình. 43 x 2(3x 2) 4 5(3 y 2) 6 x 4 4 15 y 10 6 x 15 y 18 51 b) 4(3x 2) 7(3 y 2) 2 12 x 8 21 y 14 2 12 x 21 y 8 44 y 51 43 44 Vậy (;);xy là nghiệm của hệ phương trình. 51 51 3xy 1 2 3 5 ux 1 c) (*) Đặt (uv,0 ) 2xy 1 3 1 vy 3 3uv 2 5 u 1 TM (*) 21uv v 1 TM u x 1 1 x 1 1 x 2 Ta có: v y 3 1 y 3 1 y 2 Vậy (xy ; ) (2; 2) là nghiệm của hệ phương trình. L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  3. 3/5 Giáo viên: Nguy n Thu Hà 6 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê 13 1 4 u xy 2 2 1 x 2 d) (*) Đặt (uv,0 ) 14 1 3 v 2yx 1 2 21y uv 34 u 1 TM (*) 43uv v 1 TM 1 u 1 x 2 1 x 1 x 2 Ta có: 1 v 1 2 y 1 1 y 1 21y Vậy (xy ; ) ( 1;1) là nghiệm của hệ phương trình. 1 2(x y ) 3( x y ) u xy e) 42 (*) Đặt (uv,0 ) 1 1 x y x y v xy 3 23 u TM 2uv 3 0 16 (*) vu 4uv 2 1 1 4uv 2 1 v TM 8 13 u 3 x 3 y 16 (1) xy 16 Ta có: 11 v x y 8 (2) xy 8 20 x 3xy 3 16 3 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: xy 84 y 3 20 4 Vậy (;)(;)xy là nghiệm của hệ phương trình. 33 L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  4. 4/5 Giáo viên: Nguy n Thu Hà 6 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê 2y 5 x y 27 52 x 34 4(2y 5 x ) 5.12 3( y 27) 12.2 x f) x 1 6 y 5 x 7(1)21 x y 3(6 y 5) x y 37 14 x 4xy 5 21 61 22xy 3 7 245 y 61 14 245 Vậy (;)(;)xy là nghiệm của hệ phương trình. 61 61 g) xx2 2 2 1 0 2 b2 4 ac 2 2 4.1.1 4 0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. b 2 2 4 x 22 1 22a b 2 2 4 x 22 2 22a 2 Vậy phương trình xx 2 2 1 0 có 2 nghiệm là xx12 2 2; 2 2. h) xx42 3 2 0 (*) 2 Đặt t x ( t 0) (*) tt42 3 2 0 2 b2 4 ac 3 4.1.2 1 0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  5. 5/5 Giáo viên: Nguy n Thu Hà 6 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê b 31 t 1 TM 1 22a b 31 t 2 TM 2 22a 2 Ta có: tx xx2 11 xx2 22 Vậy phương trình xx42 3 2 0 có 2 nghiệm là xx 1; 2. x 0 x3 x 2 x x x 2 x i) 3 2 0 ( 3 2) 0 2 xx 3 2 0 (*) 2 2 Giải phương trình (*) ta có: b 4 ac 3 4.1.2 1 0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. b 31 x 1 1 22a b 31 x 2 2 22a 32 Vậy phương trình x 3 x 2 x 0 có 3 nghiệm là x1 1; x 2 2; x 3 0. Bài 2. Cho phương trình ẩn x : (m 4) x2 2 mx m 2 0 a) Giải phương trình khi m 5 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x 2 . Tìm nghiệm còn lại. c) Tìm m để phương trình: có nghiệm? Có 2 nghiệm phân biệt? Vô nghiệm? Có nghiệm kép? 22 d) Khi phương trình có nghiệm xx12, : - Hãy tính A x12 x theo m - Tìm m để A 1 Hướng dẫn giải a) Giải phương trình khi m 5 22 Khi m 5ta được: (5 4)x 2.5 x 5 2 0 x 10 x 3 0 L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  6. 6/5 Giáo viên: Nguy n Thu Hà 6 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê b2 4 ac 10 2 4.1.3 88 0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. b 10 88 x1 5 22 a 22 b 10 88 x 5 22 2 22a 2 Vậy khi m 5phương trình xx 10 3 0 có 2 nghiệm là xx12 5 22; 5 22. b) Tìm m để phương trình có nghiệm x 2 . Tìm nghiệm còn lại. Thay x 2 vào phương trình (*) ta được: 2 (m 4)2 22 m m 20 322 m 10 m 30202 Theo Viet ta có: b 2 30 20 2 10 40 2 xx 12a 30 20 2 4 31 10 40 2 10 9 2 Mà xx 22 1231 31 c) Tìm m để phương trình: có nghiệm? Có 2 nghiệm phân biệt? Vô nghiệm? Có nghiệm kép? (m 4) x2 2 mx m 2 0 222 'b ' ac m ( m 4). 2 m 2 m 8 Để phương trình có nghiệm thì am 04 m 40 2 ' 0 mm 2 8 0 mm 2; 4 Vậy để phương trình có nghiệm thì m 2; m 4; m 4 (m 4) x2 2 mx m 2 0 'b '22 ac m 2 ( m 4). 2 m 2 m 8 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  7. 7/5 Giáo viên: Nguy n Thu Hà 6 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê am 04 m 40 2 ' 0 mm 2 8 0 mm 2; 4 Vậy để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì m 2; m 4; m 4 (m 4) x2 2 mx m 2 0 'b '22 ac m 2 ( m 4). 2 m 2 m 8 Để phương trình vô nghiệm thì am 04 m 40 2 ' 0 mm 2 8 0 4 m 2 Vậy để phương trình vô nghiệm thì 42 m (m 4) x2 2 mx m 2 0 'b '22 ac m2 ( m 4). 2 m 2 m 8 Để phương trình có nghiệm kép thì am 04 m 40 2 ' 0 mm 2 8 0 mm 4; 2 Vậy để phương trình có nghiệm kép thì mm 2; 4 d) Khi phương trình có nghiệm xx12, : 22 Hãy tính A x12 x theo m xx m x2 mx m Gọi 12, là 2 nghiệm của phương trình ( 4) 2 2 0 Theo định lý Viet ta có: bm2 xx 12am 4 cm 2 xx. 12 am 4 Theo đề bài ta có: 2 2 22 2 2m m 2 2 m 12 m 16 A x1 x 2 x 1 x 2 2 x 1 . x 2 2. 2 m 4 m 4 m 8 m 16 Tìm m để A 1 2mm2 12 16 Để A 1 1 2 m22 12 m 16 m 8 m 16 mm2 8 16 L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  8. 8/5 Giáo viên: Nguy n Thu Hà 6 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê mm2 20 32 0 m 10 2 33 1 m2 10 2 33 Vậy với mm12 10 2 33; 10 2 33 thì A = 1. Bài 3. Cho phương trình: x2 2( m 1) m 4 (1) ( m là tham số) a) Cmr: Với mọi m , phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt xx12, b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu? Phương trình (1) có hai nghiệm dương? c) Cm biểu thức M x1(1 x 2 ) x 2 (1 x 1 ) không phụ thuộc vào m . d) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa mãn 25xx12 22 e) Tính GTNN của A x12 x 11 f) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là ; xx12 Hướng dẫn giải Phương trình x2 2 m 1 x m 4 (1) ( m là tham số) x2 2 m 1 x m 4 0 a) CMR: Với mọi m , phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt xx12, b'2 ac mm 14 2 m2 2 m 1 m 4 mm2 5 2 1 1 1 mm 2. . 5 2 4 4 2 1 19 19 m 2 4 4 0 L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  9. 9/5 Giáo viên: Nguy n Thu Hà 6 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê Mà a 10 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt xx12, b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu? Phương trình (1) có hai nghiệm dương 1) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ac.0 1. m 4 0 m 4 Vậy m 4thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu 2) Phương trình (1) có hai nghiệm dương a 10 Do nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt 0 m x12 x 21 m Áp dụng định lý viet, ta có: x12 x m 4 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt xx12 0 2 m 1 0 m 1 m 4 x12 x 04 m 40 m Vậy m 4 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm dương c) CM biểu thức M x1(1 x 2 ) x 2 (1 x 1 ) không phụ thuộc m . a 10 Do nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt 0 m x12 x 21 m Áp dụng định lý viet, ta có: x12 x m 4 M x1(1 x 2 ) x 2 (1 x 1 ) Mx 1 x 1 x 2 x 2 x 1 x 2 M x2 x x x 1 2 1 2 M 2 m 1 2 m 4 M 2 m 2 2 m 8 M 10 Vậy M = 10 không phụ thuộc m d) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa mãn 25xx12 L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  10. 10/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê a 10 Do nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt 0 m x12 x 21 m Áp dụng định lý viet, ta có: x12 x m 4 Vì 2x1 x 2 5 x 2 5 2 x 1 . Thay xx21 52 vào x12 x 21 m ta được x12 x 21 m x11 5 2 x 2 m 2 xm1 23 xm1 23 xm2 5 2( 2 3) xm2 5 4 6 xm2 41 Thay x12 2 m 3, x 4 m 1 vào x12 x m 4 ta được x12 x m 4 ( 2mmm 3)(4 1) 4 8m2 2 m 12 m 3 m 4 0 8mm2 13 1 0 13 201 13 201 m ;m 1216 16 13 201 13 201 Vậy m ;m thỏa mãn yêu cầu bài toán 1216 16 22 e) Tính GTNN của A x12 x a 10 Do nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt 0 m x12 x 21 m Áp dụng định lý viet, ta có: x12 x m 4 Để: L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  11. 11/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê 22 A x12 x 22 A x1 22 x 1 x 2 x 2 x 1 x 2 2 A x1 x 2 2 x 1 x 2 A 4 m 1 2 2 m 4 A 4 m2 2 m 1 2 m 8 A 4 m2 8 m 4 2 m 8 A 4 m2 6 m 12 2 3 9 9 A 2 m 2.2 m . 12 2 4 4 2 3 39 39 Am 2 2 4 4 39 Vậy A đạt GTNN bằng khi 4 3 20m 2 3 2m 2 3 m 4 3 39 KL: Vậy m thì A đạt GTNN bằng 4 4 11 f).Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là ; xx12 a 10 Do nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt 0 m x12 x 21 m Áp dụng định lý viet, ta có: x12 x m 4 L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  12. 12/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê 1 1xx12 2(m 1) S x1 x2 x 1 . x 2 m 4 Ta có: 1 1 1 1 P . x1 x 2 x 1 x 2 m 4 1 1 Phương trình bậc 2 có các nghiệm và là: x1 x2 X2 SX P 0 21 m 1 XX2 0 mm 44 m 4 X2 2 m 1 X 1 0( m 4) 1 1 Vậy phương trình bậc hai có các nghiệm và là: x1 x2 m 4 x2 2 m 1 x 1 0( m 4) 21x y m Bài 4. Cho hệ phương trình mx 2 y m a) Giải hệ pt khi m 2 b) Tìm m để hpt có nghiệm duy nhất thỏa mãn xy–1 Hướng dẫn giải a. Giải hệ phương trình khi m 2 Thay m 2, ta được 2x y 2 1 2 x y 1 2 x y 2 x 2 y 1 2 2x 2 y 2 2 x 2 y 2 2 x 2 y 2 1 1 y 31y y 3 3 xy 25 xy 2 x 3 51 Vậy m 2 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm xy ; 33 b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x y 1 L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  13. 13/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê 2x y m 1 y 2 x m 1 y 2 x m 1 mx 2 y m mx 2(2 x m 1) m mx 4 x 2 m 2 m y 21 x m x( m 4) 3 m 2 * Hệ phương trình đã cho phương trình * có nghiệm duy nhất m 40 m 4 mm2 3 y 21 x m y y 21 x m m 4 32m x( m 4) 3 m 2 x 32m m 4 x m 4 Để xy 1 thì 3m 2 m2 3 m 1 mm 44 3m 2 m2 3 m m 4 mm2 5 6 0 Phương trình đã cho có 2 nghiệm m1 1 (thỏa mãn) hoặc m2 6 (thỏa mãn) Vậy với m 1 hoặc m 6 thỏa mãn yêu cầu bài toán 42x my Bài 5. Cho hệ phương trình mx y 1 a) Giải hệ pt khi m 1 b) Tìm m để hpt có nghiệm duy nhất thỏa mãn xy 2 Hướng dẫn giải a) Giải hệ phương trình khi m 1 Thay m 1, ta có hệ phương trình: L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  14. 14/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê yx 24 4x y 2 y 2 4 x y 2 4 x 1 x y 1 x 2 4 x 1 3 x 1 x 3 12 yy 2 4. 33 11 xx 33 12 Kết luận: Vậy m 1 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm là: xy ; 33 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn xy 2 4x my 2 y 1 mx y 1 mx 2 mx y 1 4 x m .(1 mx ) 2 42x m m x y 1 mx y 1 mx 2 x. 4 m 2 m x .(2 m )(2 m ) 2 m * Hệ phương trình đã cho phương trình * có nghiệm duy nhất 2 mm 2 0 20 m m 2 20 m m 2 12 y 1. m y y 1 mx 22 mm x.(2 m )(2 m ) 2 m * 11 xx 22 mm Để xy 2thì 1 2 3 1 2mm 2 1 2 2 0 0 0 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 2m 1 và m2 phải cùng dấu 1 2m 1 0 m 1 TH1: 2 m m 20 2 m 2 L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  15. 15/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê 1 2m 1 0 m TH2: 2 m 2 m 20 m 2 1 Vậy m 2 hoặc m , m 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán 2 mx 4 y 10 m Bài 6. Cho hệ phương trình ( m là tham số) x my 4 a) Giải hệ phương trình khi m 2 b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m . c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất xy; sao cho ay, 0 d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm xy; với xy; là các số nguyên dương. Hướng dẫn giải a) Thay m 2 vào hệ phương trình ta được: 10 5 2 2x 4 y 10 2 2 x 4 y 10 2 y 2 ; x 2 y 4 2 x 2 y 4 2 x 9 5 2 b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m . mx 4 y 10 m mx 4 y 10 m 2 x my 4 4 m y 10 5 m Xét phương trình 4 m2 y 10 5 m . 2 m 2 - Với 40 m ; m 2 + m 2 Phương trình trở thành: 00y ( luôn đúng) => Khi m 2 , pt có vô số nghiệm nên hệ pt có vô số nghiệm. + m 2 Phương trình trở thành: 0y 20 ( vô lý) => Khi m 2, pt vô nghiệm nên hệ vô nghiệm. - Với 4 mm2 0 2 . L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  16. 16/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê 10 5m 5 Phương trình 4 m2 y 10 5 m có nghiệm duy nhất y . 42 mm2 8 m x m 2 Khi đó, hệ phương trình có nghiệm duy nhất ; 5 y m 2 Vậy m 2 , hệ phương trình có vô số nghiệm. m 2, hệ phương trình vô nghiệm. 8 m 5 m 2, hệ phương trình có nghiệm duy nhất x ; y . m 2 m 2 c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy; sao cho xy,0 . 8 m x m 2 Khi m 2, hệ phương trình có nghiệm duy nhất ; 5 y m 2 8 m x 0 m 2 8 mm 0 8 Để xy 0, 0 thì 28 m . 5mm 2 0 2 y 0 m 2 Kết hợp ĐK m 2, 28 m . Vậy 28 m , m 2 d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm xy; với xy, là các số nguyên dương. 8 m 10 x 1 mm 22 Khi m 2, hệ phương trình có nghiệm duy nhất ; 5 y m 2 Để hệ phương trình có nghiệ duy nhất x, y là các số nguyên thì L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  17. 17/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê 10 Z xZ m 2 10 m 2 52 m . yZ 5 52m Z m 2  m 2 Ư(5)  1; 5  m  3; 1;3; 7 . Kết hợp ĐK m 2, m  3; 1;3; 7  Vậy m  3; 1;3; 7  x my 9 Bài 7. Cho hệ phương trình mx 34 y a) Giải hệ phương trình khi m 3 b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm 1;3 c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m . Hướng dẫn giải 13 13 xx x 3 y 9 4 x 13 44 a) Thay m 3vào hệ phương trình ta có: 3x 3 y 4 x 3 y 9 13 23 39yy 4 12 ; 13 23 Vậy khi m 3hệ phương trình có nghiệm xy ; . 4 12 b) Hệ phương trình có nghiệm 1;3 . Thay xy 1; 3vào hệ phương trình ta có: 10 1 3m 9 m 3 (vô lý) m 94 m 13 Vậy không có giá trị nào của m để hệ phương trình có nghiệm 1;3 . L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  18. 18/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê x my 9 mx m2 y9 m m2 3 y 9 m 4 c) ; mx 34 y mx 34 y x my 9 Xé phương trình m2 3 y 9 m 4 có m2 30 với mọi m nên pt có nghiệm duy nhất 94m y với mọi m. m2 3 94m y m2 3 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m : 4m 27 x m2 3 Dạng 2: Hàm số và đồ thị Bài 9: Cho hàm số y ( m 2) x n. Hãy xác định m và n để đồ thị d của hàm số: a) Đi qua điểm A 1; 2 và điểm B 3; 4 b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ 12 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 22 c) Song song với đường thẳng 3xy 2 1và cắt đường thẳng y 2 tại điểm có hoành độ 1. Hướng dẫn giải a. Đồ thị của hàm số y m 2 x n đi qua AB 1;2 , 3; 4 nên ta có hệ phương trình: 1 m m n 2 2 m n 0 4 m 2 2 3m n 6 4 3 m n 2 n m 1 n 2 31 Vậy hàm số có dạng yx . 22 b. Đồ thị của hàm số y m 2 x n cắt trục tung tại điểm có tung độ 12 xy 0, 1 2 nên ta có n 1 2 1 Và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2 2 xy 2 2, 0 nên ta có phương trình: mn 2 2 2 0 2 L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  19. 19/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê Từ 1 , 2 ta có hệ phương trình nn 1 2 1 2 m 222 n 0 m 2221120 n 12 n 12 21 32 m 2 m 2 2 1 2 3 2 4 Vậy hàm số có dạng yx 1 2. 2 y m 2 x n d:3 x 2 y 1 c. Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng 2 và cắt đường thẳng y 2 tại điểm có hoành độ bằng 1. 31 3 Ta có: 3x 2 y 1 y x hệ số góc của đường thẳng d là a 22 2 2 2 3 3 1 m 22 m m 2 2 2 Do d song song với đường thẳng d2 nên 1 1 1 n n n 2 2 2 Đường thẳng d cắt đường thẳng y 2 tại điểm có hoành độ bằng 1 d đi qua điểm có tọa độ 1;2 nên ta có phương trình: m n 2 2 m n 4 1 1 m m 2 Khi đó, ta có 2 7 nm 4 n 2 37 Vậy hàm số có dạng yx . 22 2 Bài 10. Cho Parobol P : yx 2 và đường thẳng y 2 x m 3 a) Vẽ P b) Tìm m để P và d tiếp xúc nhau. Tìm tọa độ tiếp điểm. Hướng dẫn giải a. L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  20. 20/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê Các giá trị đặc biệt: x 2 1 0 1 2 2 8 2 2 8 yx 2 0 3 3 3 3 3 b. Tìm m để P và d tiếp xúc nhau. Tìm tọa độ tiếp điểm. Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là nghiệm phương trình : 2 x22 2 x m 2 x 6 x 3 m 0 1 3 Để để P và d tiếp xúc nhau thì phương trình 1 có nghiệm kép 2 3 ' 0 3 2. 3m 0 9 6 m 0 m 2 3 b'3 Với m thì xx 2 12 a 2 33 Vậy tọa độ tiếp điểm là (;);xy . 22 Bài 11. Cho đường thẳng d : y mx 1 và Parabol P : yx 2 a) Chứng minh: Với mọi giá trị của tham số m , đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định và luôn cắt P tại hai điểm phân biệt A và B. b) Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 2 (đvdt) Hướng dẫn giải a) Gọi A x00; y là điểm cố định mà đường thẳng d đi qua với mọi m Khi đó: y00 mx 1, với mọi m L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  21. 21/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê xx00 00 mx00 y 1 0,  m yy00 1 0 1 Vậy điểm cố định mà họ đường thẳng d luôn đi qua là A 0;1 Hoành độ giao điểm của đường thẳng y mx 1 và parabol yx 2 là nghiệm của phương trình x2 mx 1 0 (1). Do ac 10 nên (1) có hai nghiệm trái dấu, do đó d cắt parabol tại hai điểm AB, phân biệt. Cách 1: (Của thầy Tuấn Nguyễn) b) Gọi xx12, là hoành độ của A, B ( x12 0 x ) . Kẻ AE và BF vuông góc với Oy . Gọi K là giao điểm của d và Oy, ta có K(0;1). OK OK S SS AE BF AOB AOK BOK 22 OK 1 (AE BF ) ( x x ). 2221 Dùng công thức nghiệm hoặc dùng hệ thức 22 (x2 x 1 ) ( x 1 x 2 ) 4 x 1 x 2 2 Ta tính được x21 x m 4 suy ra 11 S ( x x ) m2 4. AOB 2221 1 Theo đề: m2 4 2 m 2 4 4 m 2 12 nên 2 m 2 3. Cách 2: (Của cô Moon Trần) x12 x m b) Ta có xx12 ; trái dấu. xx12. 1 A, B là giao điểm => A( x1 ;m x 1 1) ; B( x 2 ;m x 2 1) với xx12; là hai nghiệm của phương trình (*). L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  22. 22/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê Giả sử xx12 0 ( xx12; trái dấu) AB, nằm về hai phía của trục tung. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên trục Ox H( x12 ;0) ; K ( x ;0) SSSS OAB AHKB AHO BKO 2 AH BK HK 11 AH. HO BK . KO 2 2 2 2 mx 1 m x 1 .( x x ) 11 1 2 1 2     mx 1 ( x ) m x 1 x 2 2 21 1 2 2 2 22 m x1 x 2 2 .( x 1 x 2 ) m x 1 x 1 m x 2 x 2 4 2 2 2 2 m x1 x 2 24 x 1 x 2 m x 1 x 2 x 1 x 2 xx12 4 2 xx12 16 22 x1 x 2 2 x 1 x 2 16 2 x1 x 2 4 x 1 x 2 16 x12 x m Thay xx12. 1 m2 4.( 1) 16 m2 12 m 23 Dạng 3. Rút gọn biểu thức 2x x 2 1 x Bài 12. Cho biểu thức M với xx 0, 4 x 4 xx 22 1 a) Rút gọn M b) So sánh M với 1 c) Tìm x để M 2 Hướng dẫn giải 2x x 2 x 2 x x 2 x 2 x x a) M (xx 0, 4) x 2 x 2 x 2 x 2 x2 L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  23. 23/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê x x x 2 2 b) M 1 1 0  x ĐKXĐ. x 2 x 2 x 2 Vậy M 1. 1 x 1 c) M 2 x x 2 x 2 4 x 4 . 22x2 xx 31 Bài 13. Cho biểu thức B : với xx 0, 9 x 9 xx 33 1 a) Rút gọn B b) Chứng minh B 3 Hướng dẫn giải x3x3 x3xx1 x1 a) B ( x 0,x 9 ) x 3 x 3 x x 3 x x 3 1 x113x3 x3 2x b) B 0  x ĐKXĐ. 33x 3 3 x 9 3 x 3 1 Vậy B . 3 1 1 3x 3 Bài 14. Cho biểu thức M . ; x 0, x 1 x 11 x x x x a) Rút gọn M b) Tìm x nguyên để M có giá trị nguyên Hướng dẫn giải x x 1 13 x 1 x x 3 3 a) M ( x 0,x 1) x 1 x x 1 x x x x 1 x x x x 1 3 b) M nguyên nên hay x x 1 Ư(3)  1; 3  x x 1 2 13 Lại có: x x 1 x 0  x ĐKXĐ nên x x 1  1;3  24 Trường hợp 1: x x 1 1 x x 0 x 0 L L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  24. 24/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê x 1 TM Trường hợp 2: x x 1 3 x x 2 0 xL 2 Vậy x 1 thì M nhận giá trị nguyên. x x 22 x Bài 15. Cho biểu thức P : ; x 0, x 1 x 1xx 1 x ( x 1) a) Rút gọn P b) Tìm x để P 2 c) Tìm GTNN của P khi x 1 Hướng dẫn giải x x 22 x a) P : ĐK: xx 0, 1 x 1xx 1 x ( x 1) x( x 1) x 2( x 1) (2 x ) : (x 1)( x 1) x ( x 1) x 2x x ( x 1) x . (x 1)( x 1) 2 x x x 1 x b) Để P 2 thì: 2 xx 2( 1) x 2x 2 0 x 1 (x 1)2 1 0 Ta thấy (x 1)2 1 0 nên không tồn tại x để (x 1)2 1 0 . Vậy không tồn tại x để P 2 . c) Tìm GTNN của P khi x 1 2 x x 2 x 1 2 x 2 1 xx 1 2 1 1 P x 1 x 1 x 1 1 Px 12 x 1 Vì x 1nên x 10 1 Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương x 1 và , ta có: x 1 L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  25. 25/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê 1 x 12 x 1 P 2 2 4 2 Dấu “=” xảy ra x 1 1 x 1 1 x 2 x 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi và chỉ khi x 4 x 3 2 1 x 1 Bài 16. Cho hai biểu thức A và B ; x 9 xx 33 x 2 Với xx 0, 1 a) Tính giá trị của biểu thức B khi x 4 b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm x để AB Hướng dẫn giải x 1 4 1 3 a) Khi x 4 thì có B x 2 4 2 4 x 3 2 1 x 3 2( x 3) ( x 3) b) A x 9 xx 33(xx 3)( 3) xx 12 (xx 3)( 4) x 4 (xx 3)( 3) (xx 3)( 3) x 3 xx 41 c) AB thì: xx 32 (x 4)( x 2) ( x 1)( x 3) x 6x 8 x 4 x 3 2x 5 0 Vì 2x 5 0 với mọi x 0 nên không tồn tại x để AB . xx13 x 3 Bài 17. Cho hai biểu thức A và B ; với xx 0, 1 x 1 x 2 x x 2 x 1 a) Tính giá trị của biểu thức B khi x 36 b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm x để biểu thức SAB . có GTLN Hướng dẫn giải L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  26. 26/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê x 3 36 3 9 a) Khi x 36 có: B x 1 36 1 7 xx13 x( x 2) x 1 3 x b) A x 1 x 2 x x 2 (xx 1)( 2) x 1 x 1 (xx 1)( 2) x 2 xx 13x 3 1 c) SAB . . 1 xx 21x 2 x 2 1 Để S đạt GTLN thì đạt GTLN. x 2 1 lớn nhất x 2 nhỏ nhất x 2 Ta thấy x 22. Dấu “=” xảy ra khi x 0 . 13 Vậy S 1 khi x 0 . max 22 2 y 11 Bài 18. Cho biểu thức M xy x y x y với x 0, y 0, x y . a) Rút gọn M b) Tìm xy, sao cho xy 4 và M 1. Hướng dẫn giải a) Với x 0;y 0;x y; ta có: 2y 11 M xy x y x y 2 y x y x y M xy 2( x y) 2 M xy xy b) Thay xy 4 ; M 1vào biểu thức trên: 2 1 y 2 y 4 4y y L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  27. 27/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê Mà xy 4 4.4 16 Dạng 4. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình. Dạng toán số: Bài 19. Tìm hai số tự nhiên biết rằng hiệu của chúng bằng 1275 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 3 và số dư là 125. Hướng dẫn giải Gọi x là số tự nhiên lớn, y là số tự nhiên nhỏ Điều kiện: x; y * ;x y Theo đề bài ta có hệ phương trình: x y 1275 3y 125 y 1275 2y 1150 x 3y 125 x 3y 125 x 3y 125 y 575 x 1850 (thỏa điều kiện) x 3.575 125 y 575 Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 1850 và 575. Bài 19.1. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 36, tổng của số đã cho và sô mới tạo thành là 110. Hướng dẫn giải Gọi x là số tự nhiên có hai chữ số ban đầu y là số tự nhiên tạo thành khi đổi chỗ hai chữ số của số tự nhiên ban đầu Điều kiện: x;y ;10 x y 99 Theo đề bài ta có hệ phương trình: y x 36 2y 146 y 73 (thỏa điều kiện) y x 110 y x 110 x 37 Vậy số tự nhiên cần tìm là 37. L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  28. 28/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê Dạng toán vòi nước chảy, chung riêng Bài 20. Một đội thủy lợi theo kế hoạch phải sửa chữa một đoạn đê trong một thời gian quy định. Biết rằng nếu bớt đi 3 người thì đội phải kéo dài thêm 6 ngày, còn nếu có thêm 2 người thì đội hoàn thành trước thời gian quy định là 2 ngày. Hỏi đội có bao nhiêu người và kế hoạch dự định là bao nhiêu ngày, nếu năng suất mọi người như nhau. Hướng dẫn giải Gọi số người của đội là n (người) Năng suất của mỗi người là x (phần đường/ngày/người) - Khi làm đủ người, đội sẽ làm được nx. (phần đường/ngày) 1 Thời gian cần thiết hoàn thành đoạn đường (ngày) nx - Khi bớt 3 người, đội sẽ làm được nx 3. (phần đường/ngày) 1 Thời gian cần thiết hoàn thành đoạn đường là (ngày) nx 3 - Khi thêm 2 người, đội sẽ làm được nx 2 (phần đường/ngày) 1 Thời gian cần thiết để hoàn thành đoạn đường là ngày nx 2 Theo bài ra ta có hệ PT: 11 61 n 3 x nx 11 22 n 2 x nx 1 Nhân 2 vế của (2) với 3 rồi cộng vế với vế của (1) ta được: nx 8; 80 Thời gian dự kiến 10 (ngày) Vậy đội có 8 người, thời gian quy định 10 ngày Bài 21. Hai công nhân nếu làm chung một công việc thì mất 40 giờ. Nếu người thứ nhất làm 5 2 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu mỗi người làm riêng 15 thì mất bao nhiêu giờ mới hoàn thành công việc? Hướng dẫn giải L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  29. 29/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê Gọi x (h) là thời gian người I làm riêng để xong công việc y (h) là thời gian người II làm riêng để xong công việc đk: xy, 40 1 (công việc) là phần công việc người I làm một mình trong 1h x 1 (công việc) là phần công việc người II làm một mình trong 1h y 1 1 1 1 Vì 2 người làm được công việc nên ta có phương trình: (1) 40 xy40 5 (công việc) là phần công việc người I làm một mình trong 5h x 6 (công việc) là phần công việc người II làm một mình trong 6h y 2 Vì nếu người I làm trong 5h, người II làm trong 6h thì được công việc nên ta có phương 15 5 6 2 trình: (2) xy15 Từ (1) (2) giải hệ pt ta được xy 60; 120 Vậy người I làm riêng thì mất 60 h thì xong công việc người II làm riêng thì mất 120 h thì xong công việc Bài 22. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 3 giờ đầy bể. Nếu để vòi 1 chảy một mình trong 20 phút, khó lại rồi mở tiếp vòi 2 chạy trong 30 phút thì cả hai vòi chảy 1 được bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể. 8 Hướng dẫn giải Gọi x (h) là thời gian vòi I chảy riêng để đầy bể y (h) là thời gian vòi II chảy riêng để đầy bể đk: xy,3 1 (bể) là phần bể vòi I chảy một mình trong 1h x 1 (bể) là phần bể vòi II chảy một mình trong 1h y 1 1 1 Vì 2 vòi chảy được bể nên ta có phương trình (1) 1 xy3 3 L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  30. 30/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê 1 1 (bể) là phần bể vòi I chảy một mình trong h 3x 3 1 1 (bể) là phần bể vòi II chảy một mình trong h 2 y 2 1 1 1 ta có phương trình: (2) 3xy 2 8 Từ (1) (2) giải hệ pt ta được xy 4; 12 Vậy vòi I chảy riêng thì mất 6 h thì xong bể vòi II chảy riêng thì mất 12 h thì xong bể Dạng toán năng suất Bài 23. Một đội sản xuất phải làm 1000 sản phẩm trong một thời gian quy định. Nhờ tăng năng suất lao động, mỗi ngày đội làm thêm được 10 sản phẩm so với kế hoạch. Vì vậy chẳng những đã làm vượt mức kế hoạch 80 sản phẩm mà còn hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với quy định. Tính số sản phẩm mà đội sản xuất phải làm trong một ngày theo kế hoạch Hướng dẫn giải Gọi số sản phẩm mà đội sản xuất phải làm trong một ngày theo kế hoạch là x (sản phẩm, x * ) 1000 Thời gian dự định tổ đó làm 1000 sản phẩm là: (ngày) x Số sản phẩm mà đội sản xuất làm được trong một ngày trên thực tế là x 10 (sản phẩm) Số sản phẩm mà đội sản xuất làm được trên thực tế là: 1000 80 1080 (sản phẩm) 1080 Thời gian tổ đó làm 1080 sản phẩm là: (ngày) x 10 Tố đó hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với quy định nên ta có phương trình: 1080 1000 2 xx 10 xx2 50 5000 0 x 100 KTM x 50 TM Số sản phẩm mà đội sản xuất phải làm trong một ngày theo kế hoạch là 50 sản phẩm. L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  31. 31/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê Bài 24. Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ I may trong 3 ngày và tổ II may trong 5 ngày thì hai tổ may được 1310 áo. Biết rằng mỗi ngày tổ I may nhiều hơn tổ II là 10 cái áo. Hỏi một ngày mỗi tổ may được bao nhiêu áo? Hướng dẫn giải Gọi số cái áo mà tổ I may được trong một ngày là x (cái áo, x *;x 10 ) Số cái áo mà tổ II may được trong một ngày là x 10 (cái áo) Số cái áo tổ I may được trong 3 ngày là: 3x (cái áo) Số cái áo tổ II may được trong 5 ngày là: 5 x 10 (cái áo) Tổ I may trong 3 ngày và tổ II may trong 5 ngày thì hai tổ may được 1310 cái áo nên ta có phương trình: 3xx 5 10 1310 x170 TM Vậy số cái áo mà tổ I may được trong một ngày là 170 cái áo Số cái áo mà tổ II may được trong một ngày là 170 10 160 cái áo. Bài 25. Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 120 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành đội được bổ sung thêm 5 xe nữa cùng loại. Nhờ vậy, so với ban đầu, mỗi xe phải chở ít hơn 2 tấn. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe. Biết khối lượng hàng mỗi xe chở như nhau. Hướng dẫn giải Gọi số xe lúc đầu của đội là x (xe; x *) Số xe lúc sau của đội là x 5 (xe) 120 Số hàng lúc đầu mỗi xe phải chở là: (tấn) x 120 Số hàng lúc sau mỗi xe phải chở là: (tấn) x 5 Vì lúc sau, mỗi xe phải chở ít hơn 2 tấn nên ta có phương trình: L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  32. 32/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê 120 120 2 xx 5 xx2 5 300 0 x 20 KTM x 15 TM Vậy lúc đầu đội có 15 xe. Dạng toán chuyển động Bài 26. Lúc 6 giờ 30 phút một người đi xe máy từ A đến B dài 75km với vận tốc định trước. Đến B người đó nghỉ lại 20 phút rồi mới quay về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 5km/h. Người đó về đến A lúc 12 giờ 20 phút. Tính vận tốc của người đo lúc đi từ A đến B. Hướng dẫn giải Gọi vận tốc người đi xe máy từ A đến B là x ( x 0 , km/h) 75 Thời gian người đó đi từ A đến B là : giờ x 75 Thời gian người đó đi từ B về A là : giờ x 5 1 1 35 Tổng thời gian người đó đi từ A đến B rồi trở lại A là : 12 6 giờ 3 2 6 Theo bài ra ta có : 75 1 75 35 xx3 5 6 75.3.(x 5) x.(x 5) 75.3.x 35 3.xx .( 5) 6 xx2 455 1125 35 3.xx .( 5) 6 99xx2 2205 6750 0 x 25( TM ) 99(xx 25)(11 30) 0 30 xL () 11 Vậy vận tốc của người đó lúc đi từ A đến B là 25km/h L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  33. 33/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê Bài 27. Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50km/h, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45km/h. Biết tổng chiều dài quãng đường AB và BC là 165km và thời gian ô tô đi quãng đường AB ít hơn thời gian ô tô đi quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB, BC. Hướng dẫn giải Gọi thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là x ( x 0 , giờ) 1  Thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là: x giờ 2 Tổng quãng đường AB và BC là 165km nên ta có : 1 285 3 50.x 45. x 165 95xx 2 22 3 Vậy thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là giờ 2  Thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là 2 giờ Bài 28. Một ca nô chạy xuôi dòng một khúc sông dài 80km, sau đó chạy ngược dòng khúc sông ấy một đoạn dài 96km thì hết tất cả 10 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô nếu vận tốc của dòng nước là 2km/h. Hướng dẫn giải Gọi vận tốc riêng của ca nô là x ( x 2 , km/h) 80 Thời gian ca nô chạy xuôi dòng là : x 2 96 Thời gian ca nô chạy ngược dòng là : x 2 Theo bài ra ta có: 80 96 10 xx 22 80(xx 2) 96( 2) 10 x2 4 L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  34. 34/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê 10xx2 176 72 0 10.(xx 18)(5 2) 0 x 18( TM ) 2 x 18 xL () 5 Vậy vận tốc riêng của ca nô là 18km/h Dạng toán liên quan đến hình học Bài 29. Hai cạnh của mảnh đất hình chữ nhật hơn kém nhau 10m. Tính chu vi của mảnh đất ấy biết diện tích của nó là 1200 m2. Hướng dẫn giải Gọi chiều dài của mảnh đất là x (xm 10; ) Chiều rộng của mảnh đất là: xm 10( ) Vì diện tích của mảnh đất là 1200m2 nên ta có phương trình: xx. 10 1200 xx2 10 –1200 0 xx 30 – 40 0 xL 30( ) x 40( TM ) Vậy chiều rộng của mảnh đất là: 40 –10 30 (m) Chu vi mảnh đất là: 30 40 .2 140 (m) Bài 29.1. Tính diện tích của một hình chữ nhật nếu tăng mỗi cạnh thêm 5m thì diên tích tăng thềm 175m2, nếu tăng chiều rộng thêm 2m và giảm chiều dài đi 5m thì diện tích giảm đi 20m2. Hướng dẫn giải Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là a, b ( a 2; b 0; m ) Nếu tăng mỗi cạnh thêm 5m thì diện tích tăng 175m2 L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  35. 35/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê a 5 . b 5 ab 175 1 Nếu tăng chiều rộng thêm 2m và giảm chiều dài đi 5m thì diện tích giảm đi 20m2 a 5 . b 2 ab 20 2 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: a 5 . b 5 ab 175 a– 5 . b 2 ab 20 5ab 5 25 175 2a 5b 10 20 a 20 tmđk b 10 Vậy diện tích của hình chữ nhật là 20.10 2000 m2. Dạng toán phần trăm Bài 30. Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm 360 dụng cụ. Nhờ sắp xếp hợp lí dây chuyền sản xuất nên xí nghiệp 1 đã vượt mức 12% kế hoạch, xí nghiệp 2 vượt mức kế hoạch 10%. Do đó cả hai xí nghiệp đã làm được 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch. Hướng dẫn giải Gọi số dụng cụ của Xí nghiệp 1 và Xí nghiệp 2 phải làm theo kế hoạch lần lượt là xy, ( xy, * ; dụng cụ) Vì 2 xí nghiệp làm được 360 dụng cụ theo kế hoạch xy 360(1) Số sản phẩm xí nghiệp 1 vượt mức là: 12%x dụng cụ) Số sản phẩm xí nghiệp 2 vượt mức là: 10%y (dụng cụ) Số sản phẩm cả 2 xí nghiệp vượt mức là: 400 – 360 = 40 (dụng cụ) 12%xy 10% 40(2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  36. 36/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê xy 360 0,12xy 0,1 40 x 200 tmkđ y 160 Vậy theo kế hoạch Xí nghiệp 1 phải làm 200 dụng cụ, Xí nghiệp 2 phải làm 160 dụng cụ. Dạng toán khác Bài 31. Trong một phòng học có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 5 người thì có 9 người không có chỗ ngồi. Nếu xếp mỗi ghế 6 người thì thừa một ghế. Hỏi trong phòng có bao nhiêu ghế và có bao nhiêu người dự họp. Hướng dẫn giải Gọi xy, lần lượt là số ghế dài và số người dự họp (,)xy * Theo đề bài có hệ phương trình: yx 59 yx 59 0 x 15 x 15 x 15 (nhận) yx yx yx y y 6( 1) 66 59 5.15 9 84 Vậy trong phòng có 15 ghế dài và 84 người dự họp. Bài 31.1 Trong 1 phòng học có 70 người dự họp và được xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu bớt đi 2 dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 4 người mới đủ chỗ ngồi. Hỏi lúc đầu phòng có mấy dãy ghế và mỗi dãy xếp được bao nhiêu người. Hướng dẫn giải Gọi x là số dãy ghế ban đầu trong phòng (x * ,x 2) 70 Số người ngồi trên mỗi dãy ghế ban đầu là (người) x Số dãy ghế lúc sau là x 2 ( ghế) 70 Số người ngồi trên mỗi dãy ghế lúc sau là (người) x 2 Theo đề bài có phương trình: L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  37. 37/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê 70 70 70(x 2) 4 x ( x 2) 70 x 4 xx 2 x x( x 2) x 2 70(x 2) 4 x ( x 2) 70 x 70x 140 4 x2 8 x 70 x 4xx2 8 140 0 xx2 2 35 0 Ta có: ' 1 2 1.( 35) 36 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 1 36 7 (nhận) x2 1 36 5 (loại) 70 70 Với x 7 suy ra 10 (người) x 7 Kết luận: Lúc đầu trong phòng có 7 dãy ghế và mỗi dãy được xếp 10 người. Bài 32. Hai lớp 9A và 9B có tổng số 80 bạn. Trong đợt quyên góp sách, vở ủng hộ các bạn vùng bị thiên tai, bình quân mỗi bạn lơp 9A ủng hộ 2 quyển, mỗi bạn 9B ủng hộ 3 quyển. Vì vậy cả hai lớp ủng hộ 198 quyển sách, vở. Tính số học sinh mỗi lớp. Hướng dẫn giải Gọi xy, lần lượt là số học sinh lớp 9A, lớp 9B (,)xy * Theo đề bài có hệ phương trình: xy 80 2xy 2 160 y 38 y 38 y 38 2xy 3 198 2xy 3 198 xy 80 xy 80 x 80 38 x 42 (nhận) y 38 Vậy lớp 9A có 42 học sinh, lớp 9B có 38 học sinh. L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  38. 38/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê Dạng 5. Hình học Bài 33. Cho đường tròn OR, , đường kính AB . Vẽ dây CD R (C thuộc cung AD). Nối AC và BD cắt nhau tại M. a) Chứng minh các tam giác MCD và MBA đồng dạng, tính tỉ số đồng dạng. b) Cho ABC 300 , tính độ dài cung nhỏ AC và diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC. c) Khi CD//AB, hãy tính diện tích tam giác MCD theo R. Hướng dẫn giải M D C A B O a) Chứng minh các tam giác MCD và MBA đồng dạng, tính tỉ số đồng dạng. +) Do tứ giác ACDB nội tiếp đường tròn ()O nên: ACD ABD 180o (tính chất tứ giác nội tiếp) Mà ACD MCD 180o (2 góc kề bù) Suy ra: ABD MCD (cùng bù ACD ) +) Xét MCDvà MBA có: Góc M chung MCD MBA MCD∽ MBA(.) g g CD 1 T s ng d ng: k ỉ ố đồ ạ AB 2 L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  39. 39/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê b) Tính độ dài cung nhỏ AC và diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC M C D 60 30* A B O Độ dài cung nhỏ AC là Rn R.30 R l 180 180 6 Xét ABC vuông tại C, có ABC 30oo CAB 60 Xét AOC có AO OC R, CAO 60o AOC đều AC R Xét ABC vuông tại C, theo định lí Pytago ta có: AC2 BC 2 AB 2 BC 2 (2 R ) 2 R 2 3 R 2 BC R 3 1 1 1R2 3 S S AC CB OCB2 ACB 2 2 4 Diện tích hình quạt AOC là: l. R R R R2 S . quatAOC 2 6 2 12 Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC là RRR23 2 2 (3 3 ) SSS OCB quatAOC 4 12 12 c) Tính diện tích tam giác MCD theo R. L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  40. 40/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê M C D A B O Xét tứ giác COBD, ta có: CD// OB => tg COBD là hình bình hành CD OB => CO// BD hay CO// BM Mà O là trung điểm của AB => C là trung điểm của AM và BM 22 OC R AB Tương tự, ta có AM AB => AMB đều 11 S . BC . AM . R 3.2 R R2 3 (đvdt) AMB 22 Do CD// AB nên MCD∽ MAD 2 S MCD MC 1 1 1 2 SSR MCD .3 MAB (đvdt) S MAB MA 4 4 4 1 Vậy SR 2 3 (đvdt) MCD 4 Bài 33.1. Cho đường tròn OR, , đường kính BC. Gọi A là điểm chính giữa cung BC. Điểm M thuộc đoạn BC. Kẻ ME AB,, MF  AC MN  EF tại N. a) Chứng minh 5 điểm A, E, O, M, F thuộc đường tròn; b) Chứng minh BE. BA BO . BM ; c) Tiếp tuyến của đường tròn OR, , tại A cắt MF tại K. Chứng minh BE KF d) Khi M di chuyển trên BC, chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định. Hướng dẫn giải L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  41. 41/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê A K F N E B C M O Điểm cố định a) Ta có: BAC 90o ( góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) MEA 90oo , MFA 90 AEMF là hình chữ nhật nên AEMF,,, cùng thuộc đường tròn. (1) Mặt khác: MEA MOA 90o 90 o 180 o mà MEA, MOA là 2 góc đối nhau nên AEMO nội tiếp đường tròn. (2) Từ (1) và (2) AEMFO,,,, cùng thuộc một đường tròn. b) Xét 2 tam giác vuông BEM và BOA có: B chung BE BM BEM BOA g g BE BA BM BO (đpcm). BO BA c) AK// AC ( cùng vuông góc với OA ) KAF ABC ( cùng bằng ACB ) Xét 2 tam giác vuông BEM và AFK có: EM AF ( AEMF là hình chữ nhật ) KAF ABC (cmt) BEM AFK ( cạnh góc vuông-góc nhọn|) BE KF (đpcm) d) Gọi H ( là điểm cố định) giao điểm của MN và O . L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  42. 42/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê Tứ giác ABHC nội tiếp đường tròn O BAC BHC 180oo BHC 90 BAC ACH CHB HBA 90o ABHO là hình chữ nhật. Mặt khác AB AC ABHO là hình vuông. AH BC H AO . Vậy H AO O . OA OH Bài 34. Cho nửa đường tròn OR, , đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường tròn. Gọi H là điểm chính giữa cung AM. Tia BH cắt AM tại I. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A cắt BH tại K. Nối AH cắt BM tại E. a) Chứng minh tam giác BAE cân b) Chứng minh KH. KB KE2 ; c) Đường tròn tâm B, bán kính BA cắt AM tại N. Chứng minh tứ giác BIEN nội tiếp d) Tìm vị trí của M để MKA 900 Hướng dẫn giải a) AH HM B12 B AHB 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  43. 43/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê BH AE Do đó BAE cân tại B b)ÁP dụng hệ thức lượng trong AKB vuông tại A Có: KH. KB KA2 Mà tam giác BAE cân tại B, BH AE BH là trung trực của AE KE KA Do đó: KH. KB KE2 c) Do: BA =BE 1 E (;) B BA ANE ABE 2 ENI EBI Suy ra: Tứ giác BIEN nội tiếp d) Hạ MC AB Ta có: MKA 900 nên MKAC là hình chữ nhật Suy ra: MK = AC Lại có: MK //AB MKB B1 ( so le trong) MKB B2 MKB cân tại M MK BM BM AC Đặt: MBx (0 x 2 R ) ACx BC 2 Rx Có tam giác MAB vuông tại M, nên: L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  44. 44/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê MB2 BC. BA x2 (2 R x ).2 R x22 24 Rx R (x R )22 5 R . xR ( 5 1) Vậy: BM R( 5 1) Bài 34.1. Cho nửa đường tròn OR, , đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa cung AB. Điểm M thuộc cung AC. Hạ MH AB, AC cắt MH tại K; MB cắt AC tại E. Hạ EI AB tại I. a) Chứng minh các tứ giác BHKC và AMEI là các tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AK. AC AM 2 c) Cho R = 5cm, tính giá trị của tổng S AE AC BE BM d) Cmr khi M chuyển động trên cung AC thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IMC thuộc một đường thẳng cố định. Hướng dẫn giải a)Ta có: KCB KHB 900 Nên tứ giác CBKH nội tiếp được Tương tự tứ giác AMEI nội tiếp b)Xét AHK và ACB có: KAH : chung AHK∆ ACB ∆900 L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  45. 45/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê AHK ~ ACB (g – g) AH AK ∆ ∆ AC AB AK. AC AH . AB (1) Xét AMB vuông tại M có: MH AB AH∆ . AB AM 2 (2) 2 Từ (1) và (2): AK. AC AM c) Xét BIE và BMA có: EBI : chung BIE BMA 900 BIE ~ BMA BI BE BM BA BI. BA BE . BM (1) Xét AIE và ACB có: EAI : chung AIE ACB 900 AIE ~ ACB AI AE AC BA AI. BA AE . AC (2) Từ (1) và (2) suy ra: AE. AC BE . BM BI . BA AI . AB AB22 100( cm ) L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  46. 46/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê d) Vì tứ giác AMEI nội tiếp nên: MIE MAE Vì tứ giác BCEI nội tiếp nên:CIE CBE 1 Mặt khác: MAC MBC MOC 2 MIC MOC Nên: tứ giác OIMC nội tiếp Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác IMC đi qua hai điểm cố định O và C. Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MIC thuộc đường trung trực của OC cố định. Bài 34.2. Cho nửa đường tròn OR, , đường kính AB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax và By lần lượt tại C, D. a) Chứng minh tam giác COD vuông b) Chứng minh CD AC BD c) AM và BM cắt OC và OD lần lượt tại E, F. Tứ giác DEMF là hình gì? Vì sao? d) Gọi I là giao điểm của OM và EF. Khi M thay đổi trên nửa đường tròn OR, thì điểm I chuyển động trên đường nào? Hướng dẫn giải L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  47. 47/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê x y D M C E F I A B O a) Chứng minh tam giác COD vuông CM và CA là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của AOM DM và DB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta cũng có OD là tia phân giác của BOM Nên theo tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù ta có OC OD Suy ra COD vuông tại O. b) Chứng minh CD AC BD Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có CA CM, DB DM Do vậy CA BD CM DM CD Vậy CD AC BD c) Tứ giác DMEF là hình gì? Vì sao? Ta có OD OC (câu a) Lại có, CA CM (cm trên), OA OC (bk) nên C, O nằm trên đường trung trực của AM. Suy ra AM OC Do vậy AM//OD nên tứ giác DMEF là hình thang L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  48. 48/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê d) Khi M thay đổi trên nửa đường tròn (O) thì điểm I chuyển động trên đường nào? Ta có EMF 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Vì EMF MEO EOF 900 nên tứ giác MEOF là hình chữ nhật 11 Do đó I là trung điểm của OM suy ra OI OM = AB không đổi 24 Mà O là điểm cố định nên khi M thay đổi trên nửa đường tròn (O) thì I chuyển động trên nửa 1 đường tròn (O) bán kính AB . 4 Bài 35. Cho tam giác ABC vuông tại C. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AC cắt AB tại D. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ CD. Nối AM cắt BC tại N. Nối DM cắt BC tại E. Tia phân giác của góc MAD cắt BC tại I, cắt MD tại K. a) Chứng minh tứ giác BDMN nội tiếp b) Chứng minh tam giác EIK cân c) Chứng minh MN AB MC NB Hướng dẫn giải P C E M N O I K A D B a) Chứng minh BDMN nội tiếp Ta có ACD AMD (cùng chắn cung AD) (1) Mà ADC 900 ; ACB 900 nên ACD ABC (cùng phụ với góc CAB ) (2) Từ (1) và (2) suy ra AMD ABC nên BDMN là tứ giác nội tiếp L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  49. 49/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê b) Chứng minh tam giác EIK cân Ta có EIK IBA IAB (tính chất góc ngoài tam giác) EKI KMA KAM (tính chất góc ngoài tam giác) Mà theo gt có KAM KAD , theo chứng minh câu a) có KMA IBA nên suy ra EIK EKI Vậy tam giác EIK cân tại E c) Chứng minh MN AB MCNB Kẻ đường thẳng qua B vuông góc vơi AB cắt đường thẳng AN tại P. Do M là điểm chính giữa của cung nhỏ CD nên MD MC suy ra MCA PAB Mà CB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên MCN MAC (cùng chắn cung CM) Vậy nên MCN PAB (3) Lại có CMN PBA 900 (4) CM AB Từ (3) và (4) suy ra AMN∽ ABP (g.g) (5) và P CNM MN BP Do vậy P PNB ( CNM) PBN cân tại B BP BN (6) CM AB Từ (5) và (6) suy ra MN.AB CM.NB (đpcm) MN NB Bài 35.1. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn OR, . Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC. Nối A với I cắt OH tại G. a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp b) Tính độ dài đoạn EF nếu ABC 600 và BC = 20cm. c) Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC d) Cmr khi A chuyển động trên cung lớn BC sao cho tam giác BAC có 3 góc nhọn thì đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF luôn đi qua một điểm cố định. Hướng dẫn giải a) Xét tứ giác BCEF có: BFC BEC 90  Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn tâm I bán L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  50. 50/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê kính IB. A b) Xét tam giác vuông ABE có: BAE  60 (gt) AE 1 (t/c tam giác vuông). AB 2 AE AB Vì ABEA C F g.g AF AC O E G Xét AEF∽ và ABC có: F AE AB  H cmt AF AC  AEF A B C g.g B D I C A chung  ∽ EF AE 1 BC 20 EF 10cm K BC AB 2 2 2 c) Gọi K là giao điểm của AO và đường tròn (O). Vì BK HC  AB và BH KC  AC nên tứ giác BHCK là hình bình hành. Mà I là trung điểm của BC (gt), suy ra I là trung điểm của HK. Xét AHK có: O là trung điểm của AK và I là trung điểm của HK OI 1 OI là đường trung bình của AHK . AH 2 AG AH AG 2 Vì AH OI  BC GAH GIO 2, mà A, G, I thẳng hàng GI IO AI 3 ∽ AG 2 Xét ABC có: AI là đường trung tuyến, mà nên G là trọng tâm của tam giác ABC. AI 3 d) Vì tứ giác AEHF nội tiếp AEH AFH 90  FEH FAH (cùng chắn cung FH) (1) Xét EBC vuông có: EI là trung tuyến IE IB IEB cân HEI HBI Mà DAC HBI (cùng phụ ACB) HEI DAC (2) Cộng hai vế của (1) và (2), ta có: FEH HEI FAH DAC FEI BAC (3) Chứng minh tương tự câu b), ta có tứ giác ACDF nội tiếp FDC BAC 180  (4) Từ (3) và (4) FDC FEI 180  Tứ giác FEID nội tiếp. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF luôn đi qua điểm I cố định. L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  51. 51/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê Bài 35.2. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn OR, . Kẻ đường kính AD cắt BC tại H. Gọi M là một điểm trên cung nhỏ AC. Hạ BK AM tại K. Đương thẳng BK cắt CM tại E. a) Chứng minh 4 điểm A, B, H, K thuộc một đường tròn; b) Chứng minh tam giác MBE cân tại M c) Tia BE cắt đường tròn OR, tại N NB .Tính độ dài cung nhỏ MN theo R d) Tìm vị trí của M để tam giác BME có chu vi lớn nhất. Hướng dẫn giải a) Xét tứ giác ABHK có: AHB AKB 90  Tứ giác ABHK là tứ giác nội tiếp. E Vậy 4 điểm A, B, H, K cùng thuộc 1 đường tròn. A b) Vì tứ giác ABCM nội tiếp đường tròn (O) N K AMB ACB 60  (1) AMC 180  ABC 180  60  120  O Ta có: KMC KME 180  (t/c kề bù) M KME 180  KMC 180  120  60  (2) B H C Từ (1) và (2) KMB KME D MK là tia phân giác của BME . Xét MBE có: MK vừa là đường cao (gt), vừa là đường phân giác (cmt) MBE cân tại M. c) Xét tam giác vuông BKM có: MBK BMK 90  (t/c tam giác vuông) MBK  90 BMK    90 60 30 hay MBN  30 MON 2MBN 2.30  60  (t/c góc ở tâm) R.MON R.60  R Vậy độ dài cung nhỏ MN: . l MN 180 180 3 BK d) Xét tam giác vuông BKM có: sin BMK (hệ thức lượng trong tam giác vuông) BM 3 BK BM.sin BMK BM.sin 60 BM . 2 L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  52. 52/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê Ta có: Chu vi BME BM ME BE 2BM 2BK 3 2 BM BK 2 BM BM 2 3 BM 2 Vậy chu vi BME lớn nhất khi và chỉ khi BM lớn nhất BM là đường kính. Bài 36. Cho đường tròn tâm O. Điểm A cố định ở ngoài đường tròn O . Qua A kẻ một cát tuyến d cắt đường tròn O tại hai điểm B và C ( B nằm giữa A và C ). Tiếp tuyến AM, AN tiếp xúc với O tại M, N. Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng qua B và song song với MA cắt MN tại E. a) Chứng minh AM2 AB. AC b) Chứng minh tứ giác OMAN và IMAN nội tiếp c) Chứng minh IE//MC d) Khi d quay quanh A thì trọng tâm G của tam giác ABC chạy trên đường nào? Hướng dẫn giải a) Chứng minh AM2 AB. AC Ta có: AMB ACM ( cùng chắn cung MB) M Nên : AMB ACM g. g AM AB AM2 AB. AC . AC AM A O E b) Chứng minh tứ giác OMAN và IMAN nội B tiếp. I C Ta có: I là trung điểm BC OI BC N AMO ANO AIO 90o ,nên các điểm IMN,, cùng thuộc đường tròn đường kính AO. M Vậy tứ giác OMAN và IMAN nội tiếp. c) Chứng minh IE// MC . Ta có : AM// BE E A O L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i B ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i I ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ C 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ N
  53. 53/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê AMN BEN (đồng vị) Mà tứ giác AMIN nội tiếp AMN BIN (cùng chắn AN ) BEN BIN BEIN nội tiếp BIE BNE BCM IE// MC d) Khi d quay quanh A thì tr ng tâm G ọ M của MBC chạy trên đường nào ? Gọi K là trung điểm AO K cố định. AO J Mà IK MK (Không đổi) 2 K O A G Dựng GJ IK J IK B MJ JG MG 2 Khi đó I MK KI MI 3 C 2 1 2 1 N MJ MK OA;JG KI OA . 3 3 3 3 1 Mà M, K cố định nên J cố định; JG OA . 3 1 Vậy G chuyển động trên đường tròn J; OA . 3 Bài 37. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O . P là điểm K chính giữa cung AB (phần không chứa điểm C, D). Hai dây PC và I PD lần lượt cắt dây AB tại E, F. Các dây AD, PC kéo dài cắt nhau tại I. Các dây BC, PD kéo dài cắt nhau tại K. CMR: P a) CID CKD b) Tứ giác CDFE nội tiếp được một đường tròn. F B A N c) IK//AB. E d) PA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác FAD C O L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, TMHPTO' 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ D
  54. 54/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê Hướng dẫn giải a) Chứng minh : CID CKD . Ta có: P là điểm chính giữa cung AB IDP KCP ( Hai góc nt chắn hai cung bằng nhau) CID CKD . b) C/m: Tứ giác CDFE nội tiếp . sđBC sđAP sđBC sđ BP 1 Ta có: BEC sđ PC PDC . 2 2 2 Tứ giác CDFE nội tiếp. c) C/m : IK song song AB . Từ câu a) ta c/m được CID CKD , nên tứ giác IKCD nội tiếp KIC PDC ( cùng chắn cung KC) ; mà : PDC BEC ( C/m câu b) ) KIC BEC ; hai góc này ở vị trí đồng vị, nên IK EB hay IK AB . d) PA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp FAD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AF. Dựng trung trực các đoạn AD, À cắt nhau tại O’. O' là tâm đường tròn ngoại tiếp ADF . Ta có : PAB ADP (hai góc nt chắn hai cung bằng nhau). ADP AMN (đồng vị, MN// DF ) AMN AO' N (tứ giác AMO' N nội tiếp) PAB AO' N PAO ' 90o PA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp FAD . Bài 38. Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn OR, . Gọi D, E là các tiếp điểm trên AB, AC. Tia OA cắt đường tròn O tại I. L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  55. 55/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê a) Chứng minh ADOE là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiêp tứ giác ADOE c) Tính độ dài cung nhỏ DE của đường tròn O d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng AD, AE và cung nhỏ DE nói trên. Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác ADOE nội tiếp. Ta có: ADO AEO 90o 90 o 180 o tứ giác ADOE nội tiếp. b) Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác A ADOE . Ta có: ADO AEC ch cgv I BAC o DAO EAO 30 và D 2 E DOA EOA 90o 30 o 60 o . O Xét ODI có : OD OI R ; DOI 60o ID R . Tương tự : IE R . B Xét ADI , có : IAD IDA 30o IA ID R . C Vậy IA IO ID IE R , nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADOE . c) Tính độ dài cung nhỏ DE của đường tròn O . Ta có: sđ DE DOE 120o .RR .120 2 Áp dụng công thức: l . DE 180 3 d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng AD, AE và cung nhỏ DE nói trên. Gọi S12;S lần lượt là diện tích tứ giác AODE và diện tích hình quạt DOE (chứa cung nhỏ DE ). 2 2 2 Ta có: S1 2. SAOD OD . AD OD . OA OD 3 R . L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ
  56. 56/ Giáo viên: Nguy n Thu Hà 56 Toán h 0904.843.628 ễ ọc là đam mê ọc là đam mê .R2 .120 1 SR . 2 . 2 360 3 Vậy diện tích cần tìm là: 2 SSSR 12 3 đvdt 3 L p Toán cô Hà B ng ki n th n và nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Gi ng An H - An ng c Hà N i ớ – ồi dưỡ ế ức c ơH àb ảN i ế – ạ Thượ – Hoài Đứ – ộ 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – ộ