Ôn tập Đại số Lớp 11 - Bài 5: Cấp số nhân

Nội dung text: Ôn tập Đại số Lớp 11 - Bài 5: Cấp số nhân

1. Bài 5. CẤP SỐ NHÂN •Chương 3. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Lý thuyết I.Định nghĩa Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu un là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: * un 1 unq với n ¥ . Đặc biệt: Khi q 0, cấp số nhân có dạng u1 , 0, 0, , 0, Khi q 1, cấp số nhân có dạng u1 , u1 , u1 , , u1 , Khi u1 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, , 0, II.Số hạng tổng quát Định lí 1. Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức n 1 un u1.q với n 2. III.Tính chất Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là 2 uk uk 1.uk 1 , với k 2. IV.Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân Định lí 3. Cho cấp số nhân un với công bội q 1. Đặt Sn u1 u2 un . n u1 1 q Khi đó S . n 1 q Chú ý: Nếu q 1 thì cấp số nhân là u1 , u1 , u1 , , u1 , khi đó Sn nu1. DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY (un ) LÀ CẤP SỐ NHÂN. A. Phương pháp giải Chứng minh n 1,un 1 un.q trong đó q là một số không đổi. * un 1 Nếu un 0 với mọi n ¥ thì ta lập tỉ số T un T là hằng số thì (un ) là cấp số nhân có công bội q T . T phụ thuộc vào n thì (un ) không là cấp số nhân. Trang 1
2. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ B. Bài tập tự luận Câu 1. Xét trong các dãy số số sau, dãy số nào là cấp số nhân, (nếu có) tìm công bối của cấp số nhân đó: u1 3 2n 1 n 3n 2 u1 2 a). un ( 3) b). un ( 1) .5 c). d). 9 2 u un 1 un n 1 un Lời giải 2n 3 un 1 ( 3) 2 a). Ta có 2n 1 ( 3) 9 (không đổi). Kết luận un là cấp số nhân với công bội un ( 3) q 9 . n 1 3(n 1) 2 un 1 ( 1) .5 3 b). Ta có n 3n 2 1.5 125 (không đổi). Kết luận un là cấp số nhân với un ( 1) .5 công bội q 125. 2 2 2 u2 4 c). Ta có u2 u1 4 , u3 u2 16 , u4 u3 256 , suy ra 2 và u1 2 u4 256 u2 u4 16 . Do đó un không là cấp số nhân. u3 16 u1 u3 9 u u u d). n 1 n n 1 u u ,n 2 . Do đó có: 9 n 1 n 1 un un un 1 u1 u3 u5 u2n 1 (1) Và u2 u4 u6 u2n (2) 9 Theo đề bài có u1 3 u2 3 (3) u1 Từ (1), (2),(3) suy ra u1 u2 u3 u4 u5 u2n u2n 1 Kết luận un là cấp số nhân với công bội q 1. n 2n Câu 2. Chứng minh rằng dãy số vn : vn 1 .3 là một cấp số nhân. Lời giải n 1 2 n 1 v 1 3 n n 1 9,n ¥ * . Vậy v : v 1 .32n là một cấp số nhân. n 2n n n vn 1 3 1 1 Câu 3. Giá trị của a để ; a; theo thứ tự lập thành cấp số nhân? 5 125 Lời giải 2 1 1 1 1 Ta có: a . a 5 125 625 25 Trang 2
3. u1 2 Câu 4. Cho dãy số un được xác định bởi ,n 1. Chứng minh rằng dãy số vn xác un 1 4un 9 định bởi vn un 3,n 1 là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó. Lời giải Vì có vn un 3 (1) vn 1 un 1 3 (2) . Theo đề un 1 4un 9 un 1 3 4 un 3 (3). vn 1 Thay (1) và (2) vào (3) được: vn 1 4vn ,n 1 4 (không đổi). Kết luận vn là cấp số vn nhân với công bội q 4 và số hạng đầu v1 u1 3 5 . Câu 5. Cho x, 3, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân và x4 y 3. Tìm x, y. Lời giải 9 Ta có: x.y 9 y x 9 4 5 Thay vào x4 y 3 x4 3 x5 3 . 3 x5 3 x 3 x 9 x 3 y 3 3. Kết luận 3 y 3 3 C. Bài tập trắc nghiệm DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ Câu 1. Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau: A. 1; 0,2; 0,04; 0,0008; B. 2; 22; 222;2222; C. x; 2x; 3x; 4x; D. 1; x2 ; x4 ; x6 ; Lời giải ChọnD. Dãy số : 1; x2 ; x4 ; x6 ; là cấp số nhân có số hạng đầu u 1; công bội q x2 . 1 Câu 2. Xác định x để 3 số x 2; x 1; 3 x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân: A. Không có giá trị nào của x. B. x 1. C. x 2. D. x 3. Lời giải ChọnA. 2 Ba số x 2; x 1; 3 x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân x 2 3 x x 1 2x2 3x 7 0 ( Phương trình vô nghiệm) Câu 3. Xác định x để 3 số 2x 1; x; 2x 1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân: 1 A. x . B. x 3. 3 1 C. x . D. Không có giá trị nào của x . 3 Lời giải ChọnC. Trang 3
4. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ 2 2 2 Ba số: 2x 1; x; 2x 1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân 2x 1 2x 1 x 4x 1 x 1 3x2 1 x . 3 Câu 4. Trong các dãy số un sau, dãy nào là cấp số nhân? 2 n A. un n n 1. B. un n 2 .3 . u1 2 2n 1 C. 6 * . D. u 4 . u ,n n n 1 ¥ un Lời giải Chọn đáp án D 2 un 1 n 3n 3 * A. 2 ,n ¥ , không phải là hằng số. Vậy un không phải là cấp số nhân. un n n 1 n 1 un 1 n 3 .3 3 n 3 * B. n ,n ¥ , không phải là hằng số. Vậy un không phải là cấp un n 2 .3 n 2 số nhân. C. Từ công thức truy hồi của dãy số, suy ra u1 2;u2 3;u3 2;u4 3; u3 u2 Vì nên un không phải là cấp số nhân. u2 u1 2 n 1 1 un 1 4 * D. 2n 1 16,n ¥ . Vậy un là một cấp số nhân. un 4 Câu 5. Dãy số nào sau đây là cấp số nhân? u1 1 u1 1 A. . B. . un 1 un 1, n 1 un 1 3un , n 1 u1 u1 2 2 C. . D. . un 1 2un 3, n 1 un sin , n 1 n 1 Lời giải un là cấp số nhân un 1 qun  ChọnB. * Câu 6. Cho dãy số un là một cấp số nhân với un 0, n ¥ . Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. u1; u3; u5; B. 3u1; 3u2 ; 3u3; 1 1 1 C. ; ; ; D. u1 2; u2 2; u3 2; u1 u2 u3 Lời giải Trang 4
5. Giả sử un là cấp số nhân công bội q, thì 2 Dãy u1; u3; u5; là cấp số nhân công bội q . Dãy 3u1; 3u2 ; 3u3; là cấp số nhân công bội 2q. 1 1 1 1 Dãy ; ; ; là cấp số nhân công bội . u1 u2 u3 q Dãy u1 2; u2 2; u3 2; không phải là cấp số nhân. ChọnD. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 7. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A. 128; 64; 32; 16; 8; B. 2; 2; 4; 4 2; 1 C. 5; 6; 7; 8; D. 15; 5; 1; ; 5 Lời giải u 1 u u Xét đáp án: 128; 64; 32; 16; 8;  2 3 4 . u1 2 u2 u3 Câu 8. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân? A. 2; 4; 8; 16;  B. 1; 1; 1; 1;  C. 12 ; 22 ; 32 ; 42 ;  D. a; a3; a5; a7 ;  a 0 . Lời giải u 9 u Xét đáp án: 12 ; 22 ; 32 ; 42 ;   2 4  3 . u1 4 u2 Câu 9. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. 1; 2; 4; 8;  B. 3; 32 ; 33; 34 ;  1 1 1 1 1 1 C. 4; 2; ; ;  D. ; ; ; ;  2 4 2 4 6 Lời giải 1 1 1 1 u2 1 1 u3 Xét đáp án ; 2 ; 4 ; 6 ;    2 . u1 u2 Câu 10. Cho cấp số nhân un với u1 2 và q 5. Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân. A. 2; 10; 50; 250. B. 2; 10; 50; 250. C. 2; 10; 50; 250. D. 2; 10; 50; 250. Lời giải u1 2 u1 2 u2 u1q 10  . q 5 u3 u2q 50 u4 u3q 250 Câu 11. Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là một cấp số nhân? 1 1 1 1 A. u . B. u 1. C. u n . D. u n2 . n 3n 2 n 3n n 3 n 3 Trang 5
6. Lời giải n u 3 1 1 1 Dãy un n 2 9. là cấp số nhân có 1 . 3 3 q 3 Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 12. Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là một cấp số nhân? 7 A. u 7 3n. B. u 7 3n. C. u . D. u 7.3n. n n n 3n n Lời giải n u1 21 Dãy un 7.3 là cấp số nhân có . q 3 Câu 13. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai? A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. B. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng. C. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng. D. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương. Lời giải Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương. Ví dụ dãy 5 ; 2 ; 1; 3 ; là dãy số có d 3 0 nhưng không phải là dãy số dương. Câu 14. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân? n n A. u 1 n . B. u n2 . C. u 2n . D. u . n n n n 3n Lời giải n 1 un 1 2 n 2 un 1 2un un là cấp số nhân có công bội bằng 2 . un 2 Câu 15. Xác định x dương để 2x 3 ; x ; 2x 3 lập thành cấp số nhân. A. x 3. B. x 3 . C. x 3 . D. không có giá trị nào của x . Lời giải 2x 3 ; x ; 2x 3lập thành cấp số nhân x2 2x 3 2x 3 x2 4x2 9 x2 3 x 3 . Vì x dương nên x 3 . Câu 16. Tìm x để các số 2; 8; x; 128 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. x 14. B. x 32. C. x 64. D. x 68. Lời giải Cấp số nhân 2; 8; x; 128 theo thứ tự đó sẽ là u1; u2 ; u3; u4 , ta có Trang 6
7. u u 2 3 8 x x 32 u1 u2 2 8 x 32 x 32 x 32 . u u 128 x x2 1024 3 4 x 32 u2 u3 x 8 Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 17. Với giá trị x nào dưới đây thì các số 4; x; 9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân? 13 A. x 36. B. x . C. x 6. D. x 36. 2 Lời giải Cấp số nhân: q . Nhận xét: ba số a; b; c theo thứ tự đó lấp thành cấp số nhân ac b2. 1 Câu 18. Tìm b 0 để các số ; b; 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. 2 A. b 1. B. b 1. C. b 2. D. b 2. Lời giải 1 1 2 Cấp số nhân ; b; 2  . 2 b b 1. 2 2 Câu 19. Tìm x để ba số 1 x; 9 x; 33 x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. x 1. B. x 3. C. x 7. D. x 3; x 7. Lời giải 2 Cấp số nhân 1 x; 9 x; 33 x  1 x 33 x 9 x x 3. Câu 20. Với giá trị x, y nào dưới đây thì các số hạng lần lượt là 2; x; 18; y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân? x 6 x 10 x 6 x 6 A. . B. . C. . D. . y 54 y 26 y 54 y 54 Lời giải x 18 x 6 2 x Cấp số nhân: 2; x; 18; y  324 . Vậy 18 y y 54 x x 18 x; y 6;54 hoặc x; y 6; 54 . Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Trang 7