Ôn tập Đại số Lớp 11 - Chuyên đề: Giới hạn

Nội dung text: Ôn tập Đại số Lớp 11 - Chuyên đề: Giới hạn

1. Giới hạn – ĐS> 11 MỤC LỤC Tài liệu Đặng Việt Đông xin giới thiệu đến quý thầy cô trích đoạn 1 phần tài liệu để dùng thử, đăng kí trọn bộ vui lòng liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu nhé PHẦN I – ĐỀ BÀI 4 GIỚI HẠN DÃY SỐ 4 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 4 B – BÀI TẬP 4 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA 4 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN 7 GIỚI HẠN HÀM SỐ 15 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 15 B – BÀI TẬP 15 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM 15 0 DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 18 0 DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 23 DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC 27 DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC 29 HÀM SỐ LIÊN TỤC 32 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 32 B – BÀI TẬP 32 DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 32 DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH 37 DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 41 ÔN TẬP CHƯƠNG IV 42 PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI 50 GIỚI HẠN DÃY SỐ 50 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 50 B – BÀI TẬP 50 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA 50 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN 55 GIỚI HẠN HÀM SỐ 78 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 78 Trang 1
2. Giới hạn – ĐS> 11 B – BÀI TẬP 78 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM 78 0 DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 85 0 DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 95 DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC 106 DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC 110 HÀM SỐ LIÊN TỤC 117 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 117 B – BÀI TẬP 117 DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 117 DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH 125 DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 134 ĐÁP ÁN ÔN TẬP CHƯƠNG IV 135 Tài liệu Đặng Việt Đông xin giới thiệu đến quý thầy cô trích đoạn 1 phần tài liệu để dùng thử, đăng kí trọn bộ vui lòng liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu nhé Trang 2
3. Giới hạn – ĐS> 11 Tài liệu Đặng Việt Đông xin giới thiệu đến quý thầy cô trích đoạn 1 phần tài liệu để dùng thử, đăng kí trọn bộ vui lòng liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu nhé PHẦN I – ĐỀ BÀI GIỚI HẠN DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt: 1 1 k lim 0 ; lim 0 (k ¢ ) lim n lim n (k ¢ ) n n n k n lim qn (q 1) n lim q 0 ( q 1) ; lim C C 2. Định lí: n n 2. Định lí : 1 a) Nếu lim un thì lim 0 a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì un lim (un + vn) = a + b un lim (un – vn) = a – b b) Nếu lim un = a, lim vn = thì lim = 0 vn lim (un.vn) = a.b u a c) Nếu lim un = a 0, lim vn = 0 lim n (nếu b 0) un neáu a.vn 0 vn b thì lim = neáu a.v 0 vn n b) Nếu un 0, n và lim un= a d) Nếu lim u = + , lim v = a thì a 0 và lim u a n n n neáu a 0 thì lim(un.vn) = c) Nếu un vn ,n và lim vn = 0 neáu a 0 thì lim un = 0 * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô d) Nếu lim un = a thì lim un a 0 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn định: , , – , 0. thì phải tìm cách khử 0 u 2 1 S = u1 + u1q + u1q + = q 1 dạng vô định. 1 q B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp: Để chứng minh limun 0 ta chứng minh với mọi số a 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho un a n na . Để chứng minh limun l ta chứng minh lim(un l) 0 . Để chứng minh limun ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un M n nM . Để chứng minh limun ta chứng minh lim( un ) . Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Nếu lim un , thì limun . B. Nếu lim un , thì limun . Trang 3
4. Giới hạn – ĐS> 11 C. Nếu limun 0 , thì lim un 0 . D. Nếu limun a , thì lim un a . 1 Câu 2. Giá trị của lim bằng: n 1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 1 Câu 3. Giá trị của lim (k ¥ *) bằng: nk A. 0 B. 2 C. 4 D. 5 sin2 n Câu 4. Giá trị của lim bằng: n 2 A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 Câu 5. Giá trị của lim(2n 1) bằng: A. B. C. 0 D. 1 1 n2 Câu 6. Giá trị của lim bằng: n A. B. C. 0 D. 1 2 Câu 7. Giá trị của lim bằng: n 1 A. B. C. 0 D. 1 cos n sin n Câu 8. Giá trị của lim bằng: n2 1 A. B. C. 0 D. 1 n 1 Câu 9. Giá trị của lim bằng: n 2 A. B. C. 0 D. 1 3n3 n Câu 10. Giá trị của lim bằng: n2 A. B. C. 0 D. 1 2 n Câu 11. Giá trị của lim bằng: n 1 A. B. C. 0 D. 1 2n 1 Câu 12. Giá trị của A lim bằng: n 2 A. B. C. 2 D. 1 2n 3 Câu 13. Giá trị của B lim bằng: n2 1 A. B. C. 0 D. 1 n2 1 Câu 14. Giá trị của C lim bằng: n 1 A. B. C. 0 D. 1 n 2 n Câu 15. Giá trị của A lim bằng: 2n 1 A. B. C. D. 1 2 nsin n 3n2 Câu 16. Giá trị của B lim bằng: n2 A. B. C. 3 D. 1 Trang 4
5. Giới hạn – ĐS> 11 1 Câu 17. Giá trị của C lim bằng: n2 2 n 7 A. B. C. 0 D. 1 4n 1 Câu 18. Giá trị của D lim bằng: n2 3n 2 A. B. C. 0 D. 4 an Câu 19. Giá trị của lim 0 bằng: n! A. B. C. 0 D. 1 Câu 20. Giá trị của lim n a với a 0 bằng: A. B. C. 0 D. 1 Tài liệu Đặng Việt Đông xin giới thiệu đến quý thầy cô trích đoạn 1 phần tài liệu để dùng thử, đăng kí trọn bộ vui lòng liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu nhé Trang 5
6. Giới hạn – ĐS> 11 Tài liệu Đặng Việt Đông xin giới thiệu đến quý thầy cô trích đoạn 1 phần tài liệu để dùng thử, đăng kí trọn bộ vui lòng liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu nhé DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN Phương pháp: Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản. f (n) Khi tìm lim ta thường chia cả tử và mẫu cho nk , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và g(n) mẫu. k m Khi tìm lim f (n) g(n) trong đó lim f (n) lim g(n) ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn. + Dùng các hằng đẳng thức: a b a b a b; 3 a 3 b 3 a2 3 ab 3 b2 a b Dùng định lí kẹp: Nếu un vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây: Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0. Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu. Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu. n un 1 1 Câu 1. Cho dãy số un với un n và . Chọn giá trị đúng của limun trong các số sau: 4 un 2 1 1 A. . B. . C. 0 . D. 1. 4 2 ncos 2n Câu 2. Kết quả đúng của lim 5 2 là: n 1 1 A. 4. B. 5. C. –4. D. . 4 2n 1 Câu 3. Giá trị của. A lim bằng: 1 3n 2 A. B. C. D. 1 3 4n2 3n 1 Câu 4. Giá trị của. B lim bằng: (3n 1)2 4 A. B. C. D. 1 9 n2 2n 1 Câu 5. Kết quả đúng của lim là 3n4 2 3 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2 3n n4 Câu 6. Giới hạn dãy số u với u là: n n 4n 5 Trang 6
7. Giới hạn – ĐS> 11 3 A. . B. . C. . D. 0 . 4 n3 2n 5 Câu 7. Chọn kết quả đúng của lim : 3 5n 2 A. 5 . B. . C. . D. . 5 2n2 3n 1 Câu 8. Giá trị của A lim bằng: 3n2 n 2 2 A. B. C. D. 1 3 n2 2n Câu 9. Giá trị của B lim bằng: n 3n2 1 1 A. B. C. 0 D. 1 3 4 2n2 1 n 2 9 Câu 10. Giá trị của C lim bằng: n17 1 A. B. C. 16 D. 1 n2 1 3 3n3 2 Câu 11. Giá trị của D lim bằng: 4 2n4 n 2 n 1 3 3 A. B. C. D. 1 4 2 1 4 3n3 1 n Câu 12. Giá trị của C lim bằng: 2n4 3n 1 n A. B. C. 0 D. 1 (n 2)7 (2n 1)3 Câu 13. Giá trị của. F lim bằng: (n2 2)5 A. B. C. 8 D. 1 n3 1 Câu 14. Giá trị của. C lim bằng: n(2n 1)2 1 A. B. C. D. 1 4 n3 3n2 2 Câu 15. Giá trị của. D lim bằng: n4 4n3 1 A. B. C. 0 D. 1 n3 2n 1 Câu 16. Giá trị của. E lim bằng: n 2 A. B. C. 0 D. 1 4 n4 2n 1 2n Câu 17. Giá trị của. F lim bằng: 3 3n3 n n 3 A. B. C. D. 1 3 3 1 Trang 7
8. Giới hạn – ĐS> 11 2n 2 Câu 18. Cho dãy sốu với u n 1 . Chọn kết quả đúng của limu là: n n n4 n2 1 n A. .B. 0 .C. 1 .D. . 10 Câu 19. lim bằng : n4 n2 1 A. .B. 10.C. 0 .D. . n 1 4 Câu 20. Tính giới hạn: lim n 1 n 1 A.1.B. 0 .C. 1 D. . 2 1 3 5 2n 1 Câu 21. Tính giới hạn: lim 3n2 4 1 2 A. 0 .B. .C. .D. 1. 3 3 n2 1 1 Câu 22. Chọn kết quả đúng của lim 3 . 3 n2 2n 1 A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. . 2 k ak n a1n a0 Câu 23. Giá trị của D lim p (Trong đó k, p là các số nguyên dương; akbp 0 ). bpn b1n b0 bằng: A. B. C. Đáp án khác D. 1 2 5n 2 Câu 24. Kết quả đúng của lim là: 3n 2.5n 5 1 5 25 A. . B. . C. . D. . 2 50 2 2 3n 4.2n 1 3 Câu 25. lim bằng: 3.2n 4n A. . B. . C. 0 . D. 1. 3.2n 3n Câu 26. Giá trị của C lim bằng: 2n 1 3n 1 1 A. B. C. D. 1 3 Câu 27. Giá trị đúng của lim 3n 5n là: A. . B. . C. 2 . D. 2 . 3.2n 3n Câu 28. Giá trị của. K lim bằng: 2n 1 3n 1 1 A. B. C. 2 D. 1 3 5n 1 Câu 29. lim bằng : 3n 1 A. .B. 1 .C. 0 D. . 4n 2n 1 Câu 30. lim 4 bằng : 3n 4n 2 Trang 8
9. Giới hạn – ĐS> 11 1 1 A. 0 .B. . C. .D. . 2 4 3.3n 4n Câu 31. Giá trị của. C lim bằng: 3n 1 4n 1 1 A. B. C. 0 D. 1 2 1 a a2 an Câu 32. Cho các số thực a,b thỏa a 1; b 1. Tìm giới hạn I lim . 1 b b2 bn 1 b A. B. C. D. 1 1 a k k 1 ak .n ak 1n a1n a0 Câu 33. Tính giới hạn của dãy số A lim p p 1 với akbp 0 . : bp .n bp 1n b1n b0 A. B. C. Đáp án khác D. 1 2 n 3 Câu 34. lim n sin 2n bằng: 5 A. . B. 0 . C. 2 . D. . Câu 35. Giá trị của. M lim n2 6n n bằng: A. B. C. 3 D. 1 Câu 36. Giá trị của. H lim n2 n 1 n bằng: 1 A. B. C. D. 1 2 Câu 37. Giá trị của B lim 2n2 1 n bằng: A. B. C. 0 D. 1 Bài 40. Giá trị của K lim n n2 1 n bằng: 1 A. B. C. D. 1 2 Câu 38. Giá trị đúng của lim n2 1 3n2 2 là: A. . B. . C. 0 . D. 1. Câu 39. Giá trị của A lim n2 6n n bằng: A. B. C. 3 D. 1 Câu 40. Giá trị của B lim 3 n3 9n2 n bằng: A. B. C. 0 D. 3 Câu 41. Giá trị của D lim n2 2n 3 n3 2n2 bằng: 1 A. B. C. D. 1 3 Câu 42. Giá trị của. M lim 3 1 n2 8n3 2n bằng: 1 A. B. C. 0 D. 1 12 Trang 9
10. Giới hạn – ĐS> 11 Câu 43. Giá trị của. N lim 4n2 1 3 8n3 n bằng: A. B. C. 0 D. 1 Câu 44. Giá trị của. K lim 3 n3 n2 1 3 4n2 n 1 5n bằng: 5 A. B. C. D. 1 12 Câu 45. Giá trị của. N lim 3 n3 3n2 1 n bằng: A. B. C. 0 D. 1 Câu 46. Giá trị đúng của lim n n 1 n 1 là: A. 1. B. 0 . C. 1. D. . Câu 47. Giá trị của. H lim n 3 8n3 n 4n2 3 bằng: 2 A. B. C. D. 1 3 Câu 48. Giá trị của A lim n2 2n 2 n bằng: A. B. C. 2 D. 1 Câu 49. lim 5 200 3n5 2n2 bằng : A. 0 .B. 1.C. . D. . 2n3 sin 2n 1 Câu 50. Giá trị của. A lim bằng: n3 1 A. B. C. 2 D. 1 n n! Câu 51. Giá trị của. B lim bằng: n3 2n A. B. C. 0 D. 1 n 1 Câu 52. Giá trị của. D lim bằng: n2 ( 3n2 2 3n2 1) 2 A. B. C. D. 1 3 Câu 53. Giá trị của. E lim( n2 n 1 2n) bằng: A. B. C. 0 D. 1 Câu 54. Giá trị của. F lim n 1 n bằng: A. B. C. 0 D. 1 Câu 55. Giá trị của. H lim( k n2 1 p n2 1) bằng: A. B. C. Đáp án khác D. 1 1 1 1 Câu 56. Tính giới hạn của dãy số u : n 2 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1 A. B. C. 0 D. 1 (n 1) 13 23 n3 Câu 57. Tính giới hạn của dãy số u : n 3n3 n 2 1 A. B. C. D. 1 9 Trang 10
11. Giới hạn – ĐS> 11 1 1 1 n(n 1) Câu 58. Tính giới hạn của dãy số un (1 )(1 ) (1 ) trong đó Tn . : T1 T2 Tn 2 1 A. B. C. D. 1 3 23 1 33 1 n3 1 Câu 59. Tính giới hạn của dãy số u . . : n 23 1 33 1 n3 1 2 A. B. C. D. 1 3 n 2k 1 Câu 60. Tính giới hạn của dãy số u . : n  k k 1 2 A. B. C. 3 D. 1 2 n Câu 61. Tính giới hạn của dãy số un q 2q nq với q 1 . : q q A. B. C. D. 1 q 2 1 q 2 n n Câu 62. Tính giới hạn của dãy số u . : n  2 k 1 n k A. B. C. 3 D. 1 3 n6 n 1 4 n4 2n 1 Câu 63. Tính giới hạn của dãy số B lim . : (2n 3)2 3 A. B. C. 3 D. 4 Câu 64. Tính giới hạn của dãy số C lim 4n2 n 1 2n . : 1 A. B. C. 3 D. 4 Câu 65. Tính giới hạn của dãy số D lim n2 n 1 2 3 n3 n2 1 n . : 1 A. B. C. D. 1 6 1 Câu 66. Cho dãy số (x ) xác định bởi x , x x2 x ,n 1 n 1 2 n 1 n n 1 1 1 Đặt Sn  . Tính lim Sn . x1 1 x2 1 xn 1 A. B. C. 2 D. 1 1 2 k Câu 67. Cho dãy (x ) được xác định như sau: x k k 2! 3! (k 1)! n n n n Tìm limun với un x1 x2 x2011 . 1 1 A. B. C. 1 D. 1 2012! 2012! u 2011 0 3 un Câu 68. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: 1 . Tìm lim . u u n 1 n 2 n un A. B. C. 3 D. 1 Trang 11
12. Giới hạn – ĐS> 11 x 1 1 Câu 69. Cho dãy x 0 xác định như sau: f (x) . Tìm 0; . x A. B. C. 2010 D. 1 n. 1 3 5 (2n 1) Câu 70. Tìm limu biết u n n 2n2 1 1 A. B. C. D. 1 2 3 x 2 2x 1 khi x 1 Câu 71. Tìm limun biết f (x) x 1 3m 2 khi x 1 3 6 A. B. C. 2 D. 2 x 1 1 khi x 0 Câu 72. Tìm limun biết f (x) x 2 2x 3m 1 khi x 0 A. B. C. 2 D. 1 2x 4 3 khi x 2 Câu 73. Tìm limun biết f (x) x 1 trong đó x 1. khi x 2 x2 2mx 3m 2 1 A. B. C. D. 1 3 n 1 Câu 74. Tìm limu biết u n n  2 k 1 n k A. B. C. 3 D. 1 Câu 75. Tìm limu biết u 2 2 2 n n  n dau can A. B. C. 2 D. 1 Câu 76. Gọi g(x) 0, x 2 là dãy số xác định bởi . Tìm lim f (x) lim 2x 4 3 3. x 2 x 2 4 A. B. C. D. 1 3 2 2 2 1 1 2 1 2 2 Câu 77. Cho dãy số A x1 x1x2 x1x2 x2 x1 x2 3 0 được xác định như sau 2 4 2 x1 x2 . 3 Đặt x . Tìm x3 2x 3 3 2x 4 0 . 2 1 A. B. C. D. 1 2 å å å Câu 78. Cho a,b ¥ ,(a,b) 1;n ab 1,ab 2, . Kí hiệu rn là số cặp số (u,v) ¥ ¥ sao cho r 1 n au bv . Tìm lim n . n n ab 1 A. B. C. D. ab 1 ab Trang 12
13. Giới hạn – ĐS> 11 1 u 1 2 Câu 79. Cho dãy số có giới hạn (u ) xác định bởi : . Tìm kết quả đúng của limu . n 1 n un 1 , n 1 2 un 1 A. 0 .B. 1.C. 1.D. 2 1 1 1 1 Câu 80. Tìm giá trị đúng của S 2 1 n . 2 4 8 2 1 A. 2 1 .B. 2 .C. 2 2 . D. . 2 1 1 1 Câu 81. Tính giới hạn: lim 1.2 2.3 n n 1 3 A. 0 B.1.C. . D. Không có giới 2 hạn. 1 1 1 Câu 82. Tính giới hạn: lim 1.3 3.5 n 2n 1 2 A.1.B. 0 .C. .D. 2 . 3 1 1 1 Câu 83. Tính giới hạn: lim 1.3 2.4 n n 2 3 2 A. .B. 1. C. 0 .D. . 4 3 1 1 1 Câu 84. Tính giới hạn: lim . 1.4 2.5 n(n 3) 11 3 A. . B. 2 . C. 1. D. . 18 2 1 1 1 Câu 85. Tính giới hạn: lim 1 2 1 2 1 2 . 2 3 n 1 1 3 A. 1. B. . C. . D. . 2 4 2 GIỚI HẠN HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt: lim x x0 ; lim c c k k neáu k chaün x x x x lim x ; lim x 0 0 x x neáu k leû (c: hằng số) c 2. Định lí: lim c c ; lim 0 a) Nếu lim f (x) L và lim g(x) M x x xk x x x x 0 0 1 1 lim ; lim thì: lim  f (x) g(x) L M x 0 x x 0 x x x0 Trang 13
14. Giới hạn – ĐS> 11 lim  f (x) g(x) L M 1 1 lim lim x x0 x 0 x x 0 x lim  f (x).g(x) L.M 2. Định lí: x x0 Nếu lim f (x) L 0 và lim g(x) thì: f (x) L x x x x lim (nếu M 0) 0 0 x x 0 g(x) M neáu L vaø lim g(x) cuøng daáu x x b) Nếu f(x) 0 và lim f (x) L lim f (x)g(x) 0 x x0 x x neáu L vaø lim g(x) traùi daáu 0 x x 0 thì L 0 và lim f (x) L x x0 0 neáu lim g(x) x x0 c) Nếu lim f (x) L thì lim f (x) L f (x) x x x x lim neáu lim g(x) 0 vaø L.g(x) 0 0 0 x x g(x) x x 0 0 3. Giới hạn một bên: neáu lim g(x) 0 vaø L.g(x) 0 x x lim f (x) L 0 x x 0 0 lim f (x) lim f (x) L * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: l,i m f (x) lim f (x) L 0 x x0 x x0 x x0 x x0 , – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định. B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp: + Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số. + Nếu f (x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f (x0 ) + Nếu f (x) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải). x3 2x2 1 Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: x 1 2x5 1 1 1 A. 2 . B. . C. . D. 2 . 2 2 4x3 1 Câu 2. lim bằng: x 2 3x2 x 2 11 11 A B. . . C. . . D. . 4 4 x 1 Câu 3. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 2 A. B. C. 2 D. 1 Câu 4. Tìm giới hạn hàm số lim x3 1 bằng định nghĩa. x 2 A. B. C. 9 D. 1 x 3 2 Câu 5. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 1 A. B. C. 2 D. 4 Trang 14
15. Giới hạn – ĐS> 11 x 3 Câu 6. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x x 2 A. B. C. 2 D. 1 2x2 x 1 Câu 7. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x x 2 A. B. C. 2 D. 1 3x 2 Câu 8. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 2x 1 A. B. C. 5 D. 1 4x2 3x Câu 9. Cho hàm số f (x) . Chọn kết quả đúng của lim f (x) : 2x 1 x3 2 x 2 5 5 5 2 A. . B. . C. . D. . 9 3 9 9 x 4 2 Câu 10. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 0 2x 1 A. B. C. 2 D. 1 8 4x 3 Câu 11. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 A. B. C. 2 D. 1 3x 1 Câu 12. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2 x 2 A. B. C. 2 D. 1 2x2 x 3 Câu 13. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 A. B. 5 C. 2 D. 1 x 1 Câu 14. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2 2 x 4 A. B. C. 2 D. 1 3x2 Câu 15. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2x2 1 3 A. B. C. D. 1 2 Câu 16. Tìm giới hạn hàm số lim x2 x 1 bằng định nghĩa. x A. B. C. 2 D. 1 x2 4 Câu 17. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2 x4 1 2 x A. B. C. 0 D. 1 x2 3x 2 Câu 18. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 A. B. C. 2 D. 1 x2 x 1 Câu 19. Tìm giới hạn hàm số A lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 Trang 15
16. Giới hạn – ĐS> 11 1 A. B. C. D. 1 2 2 tan x 1 Câu 20. Tìm giới hạn hàm số B lim bằng định nghĩa. x sin x 1 6 4 3 6 A. B. C. D. 1 9 3 x 2 x 1 Câu 21. Tìm giới hạn hàm số C lim bằng định nghĩa. x 0 3x 1 A. B. C. 3 2 1 D. 1 3 7x 1 1 Câu 22. Tìm giới hạn hàm số D lim bằng định nghĩa. x 1 x 2 A. B. C. 2 D. 3 x 1 Câu 23. Tìm giới hạn hàm số A lim bằng định nghĩa. x 2 x2 x 4 1 A. B. C. D. 1 6 sin2 2x 3cos x Câu 24. Tìm giới hạn hàm số B lim bằng định nghĩa. x tan x 6 3 3 9 A. B. C. D. 1 4 2 2x2 x 1 3 2x 3 Câu 25. Tìm giới hạn hàm số C lim bằng định nghĩa. x 1 3x2 2 3 3 9 A. B. C. D. 2 3 5 4 2 3x 1 2 Câu 26. Tìm giới hạn hàm số D lim bằng định nghĩa. x 1 3 3x 1 2 1 A. B. C. D. 0 6 x2 3 khi x 2 Câu 27. Cho hàm số f x . Chọn kết quả đúng của lim f x : x 1 khi x 2 x 2 A. 1. B. 0 . C. 1. D. Không tồn tại. x2 ax 1 khi x 2 Câu 28. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x 2 f (x) . 2 2x x 1 khi x 2 1 A. B. C. D. 1 2 2 5ax 3x 2a 1 khi x 0 Câu 29. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x 0 f (x) . 2 1 x x x 2 khi x 0 2 A. B. C. D. 1 2 2 5ax 3x 2a 1 khi x 0 Câu 30. Tìm a để hàm số. f (x) có giới hạn tại x 0 2 1 x x x 2 khi x 0 Trang 16
17. Giới hạn – ĐS> 11 2 A. B. C. D. 1 2 x2 ax 1 khi x 1 Câu 31. Tìm a để hàm số. f (x) có giới hạn khi x 1. 2 2x x 3a khi x 1 1 A. B. C. D. 1 6 DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0 0 P(x) 1. L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0 x x0 Q(x) Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. Chú ý: 2 + Nếu tam thức bậc hai ax bx+c có hai nghiệm x1, x2 thì ta luôn có sự phân tích 2 ax bx c a(x x1)(x x2 ) . + an bn (a b)(an 1 an 2b abn 2 bn 1) P(x) 2. L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc x x0 Q(x) Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. Các lượng liên hợp: + ( a b)( a b) a b 3 3 3 2 3 3 2 + ( a b)( a  ab b ) a b + ( n a n b)( n an 1 n an 2b n bn 1 ) a b P(x) 3. L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc x x0 Q(x) m n m n Giả sử: P(x) = u(x) v(x) vôùi u(x0 ) v(x0 ) a . Ta phân tích P(x) = m u(x) a a n v(x) . Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau: n u(x) m v(x) ( n u(x) m(x)) (m v(x) m(x)) , trong đó m(x) c . x2 2x 1 Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: x 1 2x3 2 1 A. . B. 0 . C. . D. . 2 x3 3x2 2 Câu 2. Tìm giới hạn A lim : x 1 x2 4x 3 3 A. B. C. D. 1 2 x4 5x2 4 Câu 3. Tìm giới hạn B lim : x 2 x3 8 1 A. B. C. D. 1 6 (1 3x)3 (1 4x)4 Câu 4. Tìm giới hạn C lim : x 0 x Trang 17
18. Giới hạn – ĐS> 11 1 A. B. C. D. 25 6 x 3 Câu 5. Cho hàm số f x . Giá trị đúng của lim f x là: x2 9 x 3 A. B. 0 C. 6 D. . (1 x)(1 2x)(1 3x) 1 Câu 6. Tìm giới hạn D lim : x 0 x 1 A. B. C. D. 6 6 xn 1 Câu 7. Tìm giới hạn A lim (m,n ¥ *) : x 0 xm 1 n A. B. C. D. m n m n 1 ax 1 Câu 8. Tìm giới hạn B lim (n ¥ *,a 0) : x 0 x a n A. B. C. D. 1 n a n 1 ax 1 Câu 8. Tìm giới hạn A lim với ab 0 : x 0 m 1 bx 1 am am A. B. C. D. 1 bn bn 1 x 3 1  x 4 1  x 1 Câu 9. Tìm giới hạn B lim với  0 . : x 0 x     A. B. C. B D. B 4 3 2 4 3 2 2x2 5x 2 Câu 10. Tìm giới hạn A lim : x 2 x3 3x 2 1 A. B. C. D. 1 3 x4 3x 2 Câu 11. Tìm giới hạn B lim : x 1 x3 2x 3 1 A. B. C. D. 1 5 2x 3 x Câu 12. Tìm giới hạn C lim : x 3 x2 4x 3 1 A. B. C. D. 1 3 3 x 1 1 Câu 13. Tìm giới hạn D lim : x 0 4 2x 1 1 2 A. B. C. D. 1 3 3 4x 1 x 2 Câu 14. Tìm giới hạn E lim : x 7 4 2x 2 2 Trang 18
19. Giới hạn – ĐS> 11 8 A. B. C. D. 1 27 (2x 1)(3x 1)(4x 1) 1 Câu 15. Tìm giới hạn F lim : x 0 x 9 A. B. C. D. 1 2 1 4x 3 1 6x Câu 16. Tìm giới hạn M lim : x 0 x2 1 A. B. C. D. 0 3 m 1 ax n 1 bx Câu 17. Tìm giới hạn N lim : x 0 x a b a b A. B. C. D. m n m n m 1 ax n 1 bx 1 Câu 18. Tìm giới hạn G lim : x 0 x a b a b A. B. C. D. m n m n x 1 Câu 3. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 2 A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. xn 1 x 1 Với mọi dãy (xn ) : lim xn 1 ta có: lim 2 Vậy lim 2 . x 1 xn 2 x 2 Câu 4. Tìm giới hạn hàm số lim x3 1 bằng định nghĩa. x 2 A. B. C. 9 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. x 3 2 Câu 5. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 1 A. B. C. 2 D. 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. x 3 2 1 lim x 1 x 1 4 x 3 Câu 6. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x x 2 A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. 2x2 x 1 Câu 7. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x x 2 A. B. C. 2 D. 1 Trang 19
20. Giới hạn – ĐS> 11 Hướng dẫn giải: Chọn B. 2x2 x 1 lim x x 2 3x 2 Câu 8. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 2x 1 A. B. C. 5 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3x 2 3xn 2 3.1 2 Với mọi dãy xn : lim xn 2 ta có: lim lim 5 x 1 2x 1 2xn 1 2.1 1 4x2 3x Câu 9. Cho hàm số f (x) . Chọn kết quả đúng của lim f (x) : 2x 1 x3 2 x 2 5 5 5 2 A. . B. . C. . D. . 9 3 9 9 Hướng dẫn giải: Chọn B. 4x2 3x 4.22 3.2 5 Cách 1: lim x 2 2x 1 x3 2 2.2 1 23 2 3 4x2 3x Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + x 2 10 9 và so đáp án. 2x 1 x3 2 4x2 3x Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so đáp 3 2x 1 x 2 9 x 2 10 án. cos5x Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad + + CACL + x 109 và so đáp án. 2x cos5x Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad + lim và 2x x 109 so đáp án. x 4 2 Câu 10. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 0 2x 1 A. B. C. 2 D. 1 8 Hướng dẫn giải: Chọn B. Với mọi dãy xn : lim xn 0 ta có: x 4 2 x 4 2 x 1 1 lim lim n lim n lim . x 0 2x 2x 8 n 2xn xn 4 2 2 xn 4 2 4x 3 Câu 11. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Trang 20
21. Giới hạn – ĐS> 11 Chọn A. 4x 3 4xn 3 Với mọi dãy (xn ) : xn 1, n và lim xn 1 ta có: lim lim . x 1 x 1 xn 1 3x 1 Câu 12. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2 x 2 A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn B. 3x 1 3xn 1 Với mọi dãy (xn ) : xn 2, n và lim xn 2 ta có: lim lim . x 2 x 2 xn 2 2x2 x 3 Câu 13. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 A. B. 5 C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 2 2x x 3 2xn xn 3 Với mọi dãy (xn ) : lim xn 1 ta có: lim lim lim 2xn 3 5 . x 1 x 1 xn 1 x 1 Câu 14. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2 2 x 4 A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. 3x2 Câu 15. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2x2 1 3 A. B. C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3x2 3 Đáp số: lim x 2x2 1 2 Câu 16. Tìm giới hạn hàm số lim x2 x 1 bằng định nghĩa. x A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. x2 4 Câu 17. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2 x4 1 2 x A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. x2 3x 2 Câu 18. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. Trang 21
22. Giới hạn – ĐS> 11 x2 3x 2 Do x 1 x 1 (x 1) . Đáp số: lim 1. x 1 x 1 x2 x 1 Câu 19. Tìm giới hạn hàm số A lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 1 A. B. C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. x2 x 1 1 1 1 1 Ta có: A lim . x 1 x 1 1 1 2 2 tan x 1 Câu 20. Tìm giới hạn hàm số B lim bằng định nghĩa. x sin x 1 6 4 3 6 A. B. C. D. 1 9 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 tan 1 2 tan x 1 4 3 6 Ta có B lim 6 . x sin x 1 9 6 sin 1 6 3 x 2 x 1 Câu 21. Tìm giới hạn hàm số C lim bằng định nghĩa. x 0 3x 1 A. B. C. 3 2 1 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 x 2 x 1 Ta có: C lim 3 2 1. x 0 3x 1 3 7x 1 1 Câu 22. Tìm giới hạn hàm số D lim bằng định nghĩa. x 1 x 2 A. B. C. 2 D. 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. 3 7x 1 1 3 8 1 Ta có: D lim 3 . x 1 x 2 1 2 x 1 Câu 23. Tìm giới hạn hàm số A lim bằng định nghĩa. x 2 x2 x 4 1 A. B. C. D. 1 6 Hướng dẫn giải: Chọn C. sin2 2x 3cos x Câu 24. Tìm giới hạn hàm số B lim bằng định nghĩa. x tan x 6 3 3 9 A. B. C. D. 1 4 2 Hướng dẫn giải: Trang 22
23. Giới hạn – ĐS> 11 Chọn C. 2x2 x 1 3 2x 3 Câu 25. Tìm giới hạn hàm số C lim bằng định nghĩa. x 1 3x2 2 3 3 9 A. B. C. D. 2 3 5 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 3x 1 2 Câu 26. Tìm giới hạn hàm số D lim bằng định nghĩa. x 1 3 3x 1 2 1 A. B. C. D. 0 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. x2 3 khi x 2 Câu 27. Cho hàm số f x . Chọn kết quả đúng của lim f x : x 1 khi x 2 x 2 A. 1. B. 0 . C. 1. D. Không tồn tại. Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có lim f x lim x2 3 1 x 2 x 2 lim f x lim x 1 1 x 2 x 2 Vì lim f x lim f x 1 nên lim f x 1. x 2 x 2 x 2 x2 ax 1 khi x 2 Câu 28. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x 2 f (x) . 2 2x x 1 khi x 2 1 A. B. C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: lim f (x) lim(x2 ax 2) 2a 6 . lim f (x) lim(2x2 x 1) 7 . x 2 x 2 x 2 x 2 1 1 Hàm số có giới hạn khi x 2 lim f (x) lim f (x) 2a 6 7 a . Vậy a là giá trị cần x 2 x 2 2 2 tìm. 2 5ax 3x 2a 1 khi x 0 Câu 29. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x 0 f (x) . 2 1 x x x 2 khi x 0 2 A. B. C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 Ta có lim f (x) 2a 1 1 2 lim f (x) a . x 0 x 0 2 2 5ax 3x 2a 1 khi x 0 Câu 30. Tìm a để hàm số. f (x) có giới hạn tại x 0 2 1 x x x 2 khi x 0 Trang 23
24. Giới hạn – ĐS> 11 2 A. B. C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: lim f (x) lim 5ax2 3x 2a 1 2a 1 x 0 x 0 lim f (x) lim 1 x x2 x 2 1 2 x 0 x 0 2 Vậy 2a 1 1 2 a . 2 x2 ax 1 khi x 1 Câu 31. Tìm a để hàm số. f (x) có giới hạn khi x 1. 2 2x x 3a khi x 1 1 A. B. C. D. 1 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: lim f (x) lim(x2 ax 2) a 3 . x 1 x 1 lim f (x) lim(2x2 x 3a) 3a 1. x 1 x 1 Hàm số có giới hạn khi x 1 lim f (x) lim f (x) x 1 x 1 a 3 3a 1 a 1. Vậy a 1là giá trị cần tìm. Tài liệu Đặng Việt Đông xin giới thiệu đến quý thầy cô trích đoạn 1 phần tài liệu để dùng thử, đăng kí trọn bộ vui lòng liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu nhé Trang 24
25. Giới hạn – ĐS> 11 Trang 25