Ôn tập Đại số Lớp 11 - Phương trình lượng giác

Nội dung text: Ôn tập Đại số Lớp 11 - Phương trình lượng giác

1. ÔN TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 1. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2 cos 2x + 2 cos x - 2 = 0 trên đoạn [0;3p]. 17p A. T = . B. T = 2p. C. T = 4p. D. T = 6p. 4 Lời giải. Phương trình 2 cos 2x + 2 cos x - 2 = 0 Û 2(2 cos2 x - 1)+ 2 cos x - 2 = 0 é ê 2 êcos x = 2 2 2 Û 4 cos x + 2 cos x - 2- 2 = 0 Û ê Û cos x = ê ê 2 + 1 2 êcos x = - (loaïi) ë 2 é p p 9p êx = + k2p ¾ x¾Î [0;¾3p¾]® x = ;x = ê 4 4 4 p 9p 7p 17p Û ê ¾ ¾® T = + + = . Chọn A. ê p Î p 7p 4 4 4 4 êx = - + k2p ¾ x¾[0;¾3 ¾]® x = ëê 4 4 Câu 2 . Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình cos 2x + 3sin x + 4 = 0 trên đường tròn lượng giác là? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Phương trình Û (1- 2 sin2 x)+ 3sin x + 4 = 0 Û - 2 sin2 x + 3sin x + 5 = 0 ésin x = - 1 ê p Û ê 5 Û sin x = - 1 Û x = - + k2p (k Î ¢ ). êsin x = (loaïi) 2 ëê 2 Suy ra có duy nhất 1 vị trí đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm. Chọn A. x x Câu 3. Cho phương trình cos x + cos + 1 = 0 . Nếu đặt t = cos , ta được phương trình nào sau 2 2 đây? A. 2t 2 + t = 0. B. - 2t 2 + t + 1 = 0. C. 2t 2 + t - 1 = 0. D. - 2t 2 + t = 0. x Lời giải. Ta có cos x = 2 cos2 - 1. 2 æ 2 x ö x 2 x x Do đó phương trình Û ç2 cos - 1÷+ cos + 1 = 0 Û 2 cos + cos = 0. èç 2 ø÷ 2 2 2 x Đặt t = cos , phương trình trở thành 2t 2 + t = 0. Chọn A. 2 æ pö æp ö 5 Câu 4. Số nghiệm của phương trình cos 2çx + ÷+ 4 cosç - x÷= thuộc [0;2p] là? èç 3ø÷ èç6 ø÷ 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. æ pö 2 æ pö 2 æp ö Lời giải. Ta có cos 2çx + ÷= 1- 2 sin çx + ÷= 1- 2 cos ç - x÷. èç 3ø÷ èç 3ø÷ èç6 ø÷ 2 æp ö æp ö 3 Do đó phương trình Û - 2 cos ç - x÷+ 4 cosç - x÷- = 0 èç6 ø÷ èç6 ø÷ 2 é æp ö 1 ê ç ÷ é p cosç - x÷= êx = - + k2p ê èç6 ø 2 æp ö 1 p p ê 6 Û ê Û cosç - x÷= Û - x = ± + k2p Û ê , k Î ¢ . ê æp ö 3 èç6 ø÷ 2 6 3 ê p êcosç - ÷= loaïi êx = + k2p ê ç x÷ ( ) ë è6 ø 2 ëê 2 p 11p p p Ta có x = - + k2p ¾ x¾Î [0;¾2p¾]® x = ; x = + k2p ¾ x¾Î [0;¾2p¾]® x = . 6 6 2 2 Vậy có hai nghiệm thỏa mãn. Chọn B. Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tan x + m cot x = 8 có nghiệm. A. m > 16. B. m < 16. C. m ³ 16. D. m £ 16. m Lời giải. Phương trình tan x + m cot x = 8 Û tan x + = 8 Û tan2 x - 8 tan x + m = 0 . tan x Luyện tập Toán 11 * GV Võ Nhật Tuân
2. 2 Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi D ¢= (- 4) - m ³ 0 Û m £ 16 . Chọn D. Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình æp 3pö cos 2x - (2m + 1)cos x + m + 1 = 0 có nghiệm trên khoảng ç ; ÷. èç2 2 ø÷ 1 A. - 1£ m £ 0 . B. - 1£ m . C. 0 0 . 3 3 3 3 1- cos 2x Lời giải. Phương trình Û 2. + m sin 2x = 2m Û m sin 2x - cos 2x = 2m - 1. 2 Luyện tập Toán 11 * GV Võ Nhật Tuân
3. ém 0 Û ê 4 . Chọn B. êm > ëê 3 Câu 13. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 3;3] để phương trình (m2 + 2)cos2 x - 2m sin 2x + 1 = 0 có nghiệm. A. 3 . B. 7 . C. 6 . D. 4 . 1+ cos 2x Lời giải. Phương trình Û (m2 + 2). - 2m sin 2x + 1 = 0 2 Û 4m sin 2x - (m2 + 2)cos 2x = m2 + 4 . 2 2 Phương trình có nghiệm Û 16m2 + (m2 + 2) ³ (m2 + 4) Û 12m2 ³ 12 Û m2 ³ 1 Û m ³ 1 mÎ ¢ ¾ m¾Î [-¾3;3¾]® m Î {- 3;- 2;- 1;1;2;3} ¾ ¾® có 6 giá trị nguyên. Chọn C. æ pö Câu 14. Nếu (1+ sin x)(1+ cos x)= 2 thì cosçx - ÷ bằng bao nhiêu? èç 4ø÷ 2 2 A. - 1. B. 1. C. . D. - . 2 2 Lời giải. Ta có (1+ sin x)(1+ cos x)= 2 Û 1+ sin x + cos x + sin x.cos x = 2 Û sin x + cos x + sin x.cos x = 1 Û 2(sin x + cos x)+ 2.sin x.cos x = 2. (*) t 2 - 1 Đặt t = sin x + cos x (- 2 £ t £ 2)¾ ¾® sin x cos x = . 2 ét = 1 2 2 ê Khi đó (*) trở thành 2t + t - 1 = 2 Û t + 2t - 3 = 0 Û ê ët = - 3 (loaïi) Þ sin x + cos x = 1. æ pö p p 2 2 Ta có cosçx - ÷= cos x cos + sin x sin = (cos x + sin x)= . Chọn C. èç 4ø÷ 4 4 2 2 Câu 15. Cho x thỏa mãn 2 sin 2x - 3 6 sin x + cos x + 8 = 0 . Tính sin 2x. 1 2 1 2 A. sin 2x = - . B. sin 2x = - . C. sin 2x = . D. sin 2x = . 2 2 2 2 æ pö æ pö é ù Lời giải. Đặt t = sin x + cos x = 2 sinçx + ÷ . Vì sinçx + ÷Î [- 1;1]Þ t Î 0; 2 . èç 4ø÷ èç 4ø÷ ëê ûú 2 Ta có t 2 = (sin x + cos x) = sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x Þ sin 2x = t 2 - 1. é 6 êt = 2 ê Phương trình đã cho trở thành 2(t - 1)- 3 6 t + 8 = 0 Û ê 2 ê ëêt = 6 (loaïi) 1 sin 2x = t 2 - 1 = . Chọn C. 2 Câu 16. Hỏi trên đoạn [0;2018p], phương trình sin x - cos x + 4 sin 2x = 1 có bao nhiêu nghiệm? A. 4037. B. 4036. C. 2018. D. 2019. æ pö æ pö é ù Lời giải. Đặt t = sin x - cos x = 2 sinçx - ÷. Vì sinçx - ÷Î [- 1;1]Þ t Î 0; 2 . èç 4ø÷ èç 4ø÷ ëê ûú 2 Ta có t 2 = (sin x - cos x) = sin2 x + cos2 x - 2 sin x cos x Þ sin 2x = 1- t 2 . ét = 1 2 ê Phương trình đã cho trở thành t + 4(1- t )= 1 Û ê 3 . êt = - (loaïi) ëê 4 kp Với t = 1 , ta được sin 2x = 0 Û 2x = kp Û x = , k Î ¢ . 2 kp Theo giả thiết x Î [0;2018p]¾ ¾® 0 £ £ 2018p Û 0 £ k £ 4046 2 ¾ k¾Î ¢¾® k Î {0;1;2;3; ;4036} ¾ ¾® có 4037 giá trị của k nê có 4037 nghiệm. Chọn A. Luyện tập Toán 11 * GV Võ Nhật Tuân
4. Câu 17. Từ phương trình 2 (sin x + cos x)= tan x + cot x , ta tìm được cos x có giá trị bằng: 2 2 A. 1. B. - . C. . D. - 1. 2 2 ïì sin x ¹ 0 Lời giải. Điều kiện íï Û sin 2x ¹ 0 . îï cos x ¹ 0 sin x cos x Ta có 2 (sin x + cos x)= tan x + cot x Û 2 (sin x + cos x)= + cos x sin x sin2 x + cos2 x Û 2 (sin x + cos x)= Û 2 sin x cos x. 2 (sin x + cos x)= 2. sin x cos x t 2 - 1 Đặt t = sin x + cos x (- 2 £ t £ 2)¾ ¾® sin x cos x = . 2 Phương trình trở thành Û 2 t (t 2 - 1)= 2 Û t 3 - t - 2 = 0 Û t = 2 Þ sin x + cos x = 2 Û sin x = 2 - cos x. 2 Mà sin2 x + cos2 x = 1 Þ cos2 x + ( 2 - cos x) = 1 Û 2 cos2 x - 2 2 cos x + 1 = 0 2 1 Û ( 2 cos x - 1) = 0 Û cos x = . Chọn C. 2 3 3 3 æ pö Câu 18. Từ phương trình 1+ sin x + cos x = sin 2x , ta tìm được cosçx + ÷ có giá trị bằng: 2 èç 4ø÷ 2 2 2 A. 1. B. - . C. . D. ± . 2 2 2 3 Lời giải. Phương trình Û 1+ (sin x + cos x)(1- sin x cos x)= sin 2x 2 Û 2 + (sin x + cos x)(2- sin 2x)= 3sin 2x. t 2 - 1 Đặt t = sin x + cos x (- 2 £ t £ 2)¾ ¾® sin x cos x = . 2 Phương trình trở thành 2 + t (2- t 2 + 1)= 3(t 2 - 1) ét = - 1 3 2 ê Û t + 3t - 3t - 5 = 0 Û ê . ëêt = - 1± 6 (loaïi) æ pö 1 Với t = - 1 , ta được sin x + cos x = - 1 Û sinçx + ÷= - . èç 4ø÷ 2 2 æ pö 2 æ pö 2 æ pö 1 æ pö 2 Mà sin çx + ÷+ cos çx + ÷= 1 ¾ ¾® cos çx + ÷= Û cosçx + ÷= ± . Chọn D. èç 4ø÷ èç 4ø÷ èç 4ø÷ 2 èç 4ø÷ 2 Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin x cos x - sin x - cos x + m = 0 có nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. t 2 - 1 Lời giải. Đặt t = sin x + cos x (- 2 £ t £ 2)¾ ¾® sin x cos x = . 2 2 t - 1 2 Phương trình trở thành - t + m = 0 Û - 2m = t 2 - 2t - 1 Û (t - 1) = - 2m + 2 . 2 2 Do - 2 £ t £ 2 ¾ ¾® - 2 - 1£ t - 1£ 2 - 1 ¾ ¾® 0 £ (t - 1) £ 3+ 2 2 . 1+ 2 2 Vậy để phương trình có nghiệm Û 0 £ - 2m + 2 £ 3+ 2 2 Û - £ m £ 1 2 ¾ m¾Î ¢¾® m Î {- 1;0;1}. Chọn C. Luyện tập Toán 11 * GV Võ Nhật Tuân