›
›
›

Ôn thi Toán vào Lớp 10 theo chuyên đề

pdf 27 trang thaodu 8402
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Ôn thi Toán vào Lớp 10 theo chuyên đề", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfon_thi_toan_vao_lop_10_theo_chuyen_de.pdf

Nội dung text: Ôn thi Toán vào Lớp 10 theo chuyên đề

  1. ÔN thi vμo lớp 10 theo Chuyên đề Mục lục Mục lục 1 Phần I: đại số 2 Chuyên đề 1: Căn thức  Biến đổi căn thức. 2 Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa. 2 Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức. 2 Dạng 3: Bμi toán tổng hợp kiến thức vμ kỹ năng tính toán. 3 Chuyên đề 2: Ph−ơng trình bậc hai vμ định lí Viét. . 5 Dạng 1: Giải ph−ơng trình bậc hai. 5 Dạng 2: Chứng minh ph−ơng trình có nghiệm, vô nghiệm. 5 Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập ph−ơng trình bậc hai nhờ nghiệm của ph−ơng trình bậc hai cho tr−ớc. 6 Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để ph−ơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm. 7 Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của ph−ơng trình ax2 + bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho tr−ớc. 8 Dạng 6: So sánh nghiệm của ph−ơng trình bậc hai với một số. 8 Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của ph−ơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số. 9 Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai ph−ơng trình bậc hai. 9 Chuyên đề 3: Hệ ph−ơng trình. 11 Hệ hai ph−ơng trình bậc nhất hai ẩn: 11 Dạng 1: Giải hệ ph−ơng trình cơ bản vμ đ−a đ−ợc về dạng cơ bản . 11 Dạng 2: Giải hệ bằng ph−ơng pháp đặt ẩn phụ . 11 Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho tr−ớc. 11 Một số hệ bậc hai đơn giản: 12 Dạng 1: Hệ đối xứng loại I 12 Dạng 2: Hệ đối xứng loại II 13 Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng ph−ơng pháp thế hoặc cộng đại số. 13 Chuyên đề 4: Hμm số vμ đồ thị. 14 Dạng 1: Vẽ đồ thị hμm số 14 Dạng 2: Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng. 14 Dạng 3: Vị trí t−ơng đối giữa đ−ờng thẳng vμ parabol. 15 Chuyên đề 5: Giải bμi toán bằng cách lập ph−ơng trình, hệ ph−ơng trình. 15 Dạng 1: Chuyển động (trên đ−ờng bộ, trên đ−ờng sông có tính đến dòng n−ớc chảy). 15 Dạng 2: Toán lμm chung  lμn riêng (toán vòi n−ớc) . 16 Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm. . 16 Dạng 4: Toán có nội dung hình học. 16 Dạng 5: Toán về tìm số 16 Chuyên đề 6: Ph−ơng trình quy về ph−ơng trình bậc hai. 17 Dạng 1: Ph−ơng trình có ẩn số ở mẫu. 17 Dạng 2: Ph−ơng trình chứa căn thức 17 Dạng 3: Ph−ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. 17 Dạng 4: Ph−ơng trình trùng ph−ơng 17 Dạng 5: Ph−ơng trình bậc cao. 17 Phần II: Hình học 20 Chuyên đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình. 20 Chuyên đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đ−ờng tròn. .20 Chuyên đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hμng, các đ−ờng thẳng đồng quy. 22 Chuyên đề 4: Chứng minh điểm cố định. 23 Chuyên đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng vμ chứng minh đẳng thức hình học. 24 Chuyên đề 6: Các bμi toán về tính số đo góc vμ số đo diện tích. 25 Chuyên đề 7: Toán quỹ tích. . 26 Chuyên đề 8: Một số bμi toán mở đầu về hình học không gian. 26
  2. Phần I: đại số Chuyên đề 1: Căn thức – Biến đổi căn thức. Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa. Bμi 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau). 1) 3x 1 8) x 2 3 2) 5 2x 9) x 2 2 1 3) 10) x 2 3x 7 7x 14 4) 2x 1 11) 2x 2 5x 3 3 x 1 5) 12) 7x 2 x 2 5x 6 x 3 1 3x 6) 13) 7 x x 3 5 x 1 7) 14) 6x 1 x 3 2x x 2 Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức. Bμi 1: Đ−a một thừa số vμo trong dấu căn. 3 5 2 2 x 7 a) ; b) x (với x  0); c) x ; d) (x 5) ; e) x 5 3 x 5 25 x 2 x2 Bμi 2: Thực hiện phép tính. a) ( 28 2 14 7 )  7 7 8 ; d) 6 2 5 6 2 5; b) ( 8 3 2 10)( 2 3 0,4) ; e) 11 6 2 11 6 2 c) (15 50 5 200 3 450) : 10 ; f) 3 5 2 7 3 5 2 7 g) 3 20 14 2 3; 20 14 2 ; h) 3 26 15 3 3 26 15 3 Bμi 3: Thực hiện phép tính. 2 3 6 216 1 14 7 15 5 1 5 2 6 8 2 15 a) ( )  b) ) : c) 8 2 3 6 1 2 1 3 7 5 7 2 10 Bμi 4: Thực hiện phép tính. a) (4 15)( 10 6) 4 15 b) (3 5) 3 5 (3 5) 3 5 c) 3 5 3 5 2 d) 4 7 4 7 7 e) 6,5 12 6,5 12 2 6 2
  3. Bμi 5: Rút gọn các biểu thức sau: 1 1 3 3 a) b) 7 24 1 7 24 1 3 1 1 3 1 1 5 2 6 5 2 6 3 5 3 5 c) d) 5 6 5 6 3 5 3 5 Bμi 6: Rút gọn biểu thức: a) 6 2 5 13 48 b) 4 5 3 5 48 10 7 4 3 1 1 1 1 c) 1 2 2 3 3 4 99 100 Bμi 7: Rút gọn biểu thức sau: a b b a 1 a) : , với a  0, b  0 vμ a  b. ab a b a a a a b) 1 1 , với a  0 vμ a  1. a 1 a 1 a a 8 2a 4 a c) ; a 4 1 d)  5a 4 (1 4a 4a 2 ) 2a 1 2 3x 2 6xy 3y 2 e)  x 2 y 2 4 Bμi 8: Tính giá trị của biểu thức 1 1 a) A x 2 3x y 2y, khi x ; y 5 2 9 4 5 b) B x 3 12x 8 với x 3 4( 5 1) 3 4( 5 1) ; c) C x y , biết x x 2 3 y y 2 3 3; d) D 16 2x x 2 9 2x x 2 , biết 16 2x x 2 9 2x x 2 1. e) E x 1 y 2 y 1 x 2 , biết xy (1 x 2 )(1 y 2 ) a. Dạng 3: Bμi toán tổng hợp kiến thức vμ kỹ năng tính toán. x 3 Bμi 1: Cho biểu thức P x 1 2 a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 - 3 ). c) Tính giá trị nhỏ nhất của P. a 2 a 2a a Bμi 2: Xét biểu thức A 1. a a 1 a a) Rút gọn A. b) Biết a > 1, hãy so sánh A với A . c) Tìm a để A = 2. 3
  4. d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 1 1 x Bμi 3: Cho biểu thức C 2 x 2 2 x 2 1 x a) Rút gọn biểu thức C. 4 b) Tính giá trị của C với x . 9 1 c) Tính giá trị của x để C . 3 a a b Bμi 4: Cho biểu thức M 1 : 2 2 2 2 2 2 a b a b a a b a) Rút gọn M. a 3 b) Tính giá trị M nếu . b 2 c) Tìm điều kiện của a, b để M 0. c) Tìm giá trị lơn nhất của P. 2 x 9 x 3 2 x 1 Bμi 6: Xét biểu thức Q . x 5 x 6 x 2 3 x a) Rút gọn Q. b) Tìm các giá trị của x để Q 1. c) Tính các giá trị của A nếu a 2007 2 2006 . 3x 9x 3 x 1 x 2 Bμi 9: Xét biểu thức M . x x 2 x 2 1 x a) Rút gọn M. b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị t−ơng ứng của M cũng lμ số nguyên. 15 x 11 3 x 2 2 x 3 Bμi 10: Xét biểu thức P . x 2 x 3 1 x x 3 a) Rút gọn P. 1 b) Tìm các giá trị của x sao cho P . 2 2 c) So sánh P với . 3 4
  5. Chuyên đề 2: Ph−ơng trình bậc hai vμ định lí Viét. Dạng 1: Giải ph−ơng trình bậc hai. Bμi 1: Giải các ph−ơng trình 1) x2 – 6x + 14 = 0 ; 2) 4x2 – 8x + 3 = 0 ; 3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = 0 ; 5) x2 – 4x + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – 2 = 0 ; 7) x2 + 2 2 x + 4 = 3(x + 2 ) ; 8) 2 3 x2 + x + 1 = 3 (x + 1) ; 9) x2 – 2( 3 - 1)x - 2 3 = 0. Bμi 2: Giải các ph−ơng trình sau bằng cách nhẩm nghiệm: 1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ; 2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ; 3) x2 – (1 + 3 )x + 3 = 0 ; 4) (1 - 2 )x2 – 2(1 + 2 )x + 1 + 3 2 = 0 ; 5) 3x2 – 19x – 22 = 0 ; 6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ; 7) ( 3 + 1)x2 + 2 3 x + 3 - 1 = 0 ; 8) x2 – 11x + 30 = 0 ; 9) x2 – 12x + 27 = 0 ; 10) x2 – 10x + 21 = 0. Dạng 2: Chứng minh ph−ơng trình có nghiệm, vô nghiệm. Bμi 1: Chứng minh rằng các ph−ơng trình sau luôn có nghiệm. 1) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; 2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ; 3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ; 7) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0 9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0. Bμi 2: a) Chứng minh rằng với a, b , c lμ các số thực thì ph−ơng trình sau luôn có nghiệm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 b) Chứng minh rằng với ba số thức a, b , c phân biệt thì ph−ơng trình sau có hai nghiệm 1 1 1 phân biết: 0 (ẩn x) x a x b x c c) Chứng minh rằng ph−ơng trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = 0 vô nghiệm với a, b, c lμ độ dμi ba cạnh của một tam giác. d) Chứng minh rằng ph−ơng trình bậc hai: (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Bμi 3: a) Chứng minh rằng ít nhất một trong các ph−ơng trình bậc hai sau đây có nghiệm: ax2 + 2bx + c = 0 (1) bx2 + 2cx + a = 0 (2) cx2 + 2ax + b = 0 (3) b) Cho bốn ph−ơng trình (ẩn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1) x2 - 2bx + 4a2 = 0 (2) x2 - 4ax + b2 = 0 (3) x2 + 4bx + a2 = 0 (4) Chứng minh rằng trong các ph−ơng trình trên có ít nhất 2 ph−ơng trình có nghiệm. 5
  6. c) Cho 3 ph−ơng trình (ẩn x sau): 2b b c 1 ax2 x 0 (1) b c c a 2c c a 1 bx 2 x 0 (2) c a a b 2a a b 1 cx2 x 0 (3) a b b c với a, b, c lμ các số d−ơng cho tr−ớc. Chứng minh rằng trong các ph−ơng trình trên có ít nhất một ph−ơng trình có nghiệm. Bμi 4: a) Cho ph−ơng trình ax2 + bx + c = 0. Biết a ≠ 0 vμ 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng ph−ơng trình đã cho có hai nghiệm. b) Chứng minh rằng ph−ơng trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau đ−ợc thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < 0 ; 5a + 3b + 2c = 0. Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập ph−ơng trình bậc hai nhờ nghiệm của ph−ơng trình bậc hai cho tr−ớc. 2 Bμi 1: Gọi x1 ; x2 lμ các nghiệm của ph−ơng trình: x – 3x – 7 = 0. Tính: 2 2 A x1 x 2 ; B x 1 x 2 ; 1 1 C ; D 3x 1 x 2 3x 2 x1 ; x1 1 x 2 1 3 3 4 4 E x1 x 2 ; F x1 x 2 1 1 Lập ph−ơng trình bậc hai có các nghiệm lμ vμ . x1 1 x2 1 2 Bμi 2: Gọi x1 ; x2 lμ hai nghiệm của ph−ơng trình: 5x – 3x – 1 = 0. Không giải ph−ơng trình, tính giá trị của các biểu thức sau: 3 2 3 2 A 2x 1 3x1 x 2 2x 2 3x 1x 2 ; 2 x 1 x1 x 2 x 2 1 1 B ; x 2 x2 1 x1 x1 1 x1 x2 2 2 3x1 5x 1x2 3x 2 C 2 2 . 4x1x 2 4x1 x 2 Bμi 3: a) Gọi p vμ q lμ nghiệm của ph−ơng trình bậc hai: 3x2 + 7x + 4 = 0. Không giải ph−ơng trình hãy thμnh lập ph−ơng trình bậc hai với hệ số bằng số mμ các nghiệm của nó lμ p q vμ . q 1 p 1 1 1 b) Lập ph−ơng trình bậc hai có 2 nghiệm lμ vμ . 10 72 10 6 2 Bμi 4: Cho ph−ơng trình x2 – 2(m -1)x – m = 0. a) Chứng minh rằng ph−ơng trình luôn luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với mọi m. 6
  7. 1 1 b) Với m ≠ 0, lập ph−ơng trình ẩn y thoả mãn y 1 x1 vμ y2 x2 . x2 x1 Bμi 5: Không giải ph−ơng trình 3x2 + 5x – 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau: x 1 x 2 A 3x1 2x 2 3x 2 2x1 ; B ; x 2 1 x1 1 x1 2 x 2 2 C x 1 x 2 ; D x1 x 2 2 Bμi 6: Cho ph−ơng trình 2x – 4x – 10 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Không giải ph−ơng trình hãy thiết lập ph−ơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 2 Bμi 7: Cho ph−ơng trình 2x – 3x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy thiết lập ph−ơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: 2  x 1 y1 y1 x 1 2  x 2 a)  b)  y x 2 2  2 2  x 2 y  2  x 1 2 Bμi 8: Cho ph−ơng trình x + x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy thiết lập ph−ơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:  x 1 x 2 y1 y 2 2 2  x 2 x 1 y1 y 2 x 1 x 2 a) ; b)   2 2 y1 y 2  y y 5x 5x 0.  3x 3x  1 2 1 2  1 2 y 2 y1 2 Bμi 9: Cho ph−ơng trình 2x + 4ax – a = 0 (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy lập ph−ơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: 1 1 1 1 y 1 y2 vμ x1 x 2 x1 x2 y1 y2 Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để ph−ơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm. Bμi 1: a) Cho ph−ơng trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 (ẩn x). Xác định m để ph−ơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép nμy. b) Cho ph−ơng trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0. Tìm m để ph−ơng trình có nghiệm. a) Cho ph−ơng trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – 4 = 0. - Tìm điều kiện của m để ph−ơng trình có nghiệm. - Tìm điều kiện của m để ph−ơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. b) Cho ph−ơng trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0. Tìm a để ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt. Bμi 2: 4x 2 2 2m 1 x a) Cho ph−ơng trình: m2 m 6 0 . x4 2x 2 1 x 2 1 Xác định m để ph−ơng trình có ít nhất một nghiệm. b) Cho ph−ơng trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. Xác 7
  8. định m để ph−ơng trình có ít nhất một nghiệm. Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của ph−ơng trình ax2 + bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho tr−ớc. Bμi 1: Cho ph−ơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 1) Xác định m để ph−ơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. 2) Xác định m để ph−ơng trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại. 3) Với điều kiện nμo của m thì ph−ơng trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện nμo của m thì ph−ơng trình có hai nghiệm cùng d−ơng (cùng âm). 5) Định m để ph−ơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm nμy gấp đôi nghiệm kia. 6) Định m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 2. 2 2 7) Định m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x1 + 2x2 – x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất. Bμi 2: Định m để ph−ơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra: 2 a) (m + 1)x – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 2 2 2 b) mx – (m – 4)x + 2m = 0 ; 2(x1 + x2 ) = 5x1x2 2 2 2 2 2 c) (m – 1)x – 2mx + m + 1 = 0 ; 4(x1 + x2 ) = 5x1 x2 2 2 d) x – (2m + 1)x + m + 2 = 0 ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + 7 = 0. Bμi 3: Định m để ph−ơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra: 2 a) x + 2mx – 3m – 2 = 0 ; 2x1 – 3x2 = 1 2 2 b) x – 4mx + 4m – m = 0 ; x1 = 3x2 2 c) mx + 2mx + m – 4 = 0 ; 2x1 + x2 + 1 = 0 2 2 2 d) x – (3m – 1)x + 2m – m = 0 ; x1 = x2 2 3 2 e) x + (2m – 8)x + 8m = 0 ; x1 = x2 2 2 2 f) x – 4x + m + 3m = 0 ; x1 + x2 = 6. Bμi 4: a) Cho ph−ơnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho nghiệm nμy gấp đôi nghiệm kia. b) Ch− ph−ơng trình bậc hai: x2 – mx + m – 1 = 0. Tìm m để ph−ơng trình có hai 2x1x2 3 nghiệm x1 ; x2 sao cho biểu thức R 2 2 đạt giá trị lớn nhất. Tìm x1 x 2 2(1 x 1x 2 ) giá trị lớn nhất đó. c) Định m để hiệu hai nghiệm của ph−ơng trình sau đây bằng 2. mx2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0. Bμi 5: Cho ph−ơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng điều kiện cần vμ đủ để ph−ơng trình có hai nghiệm mμ nghiệm nμy gấp đôi nghiệm kia lμ 9ac = 2b2. Bμi 6: Cho ph−ơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng điều kiện cần vμ đủ để ph−ơng trình có hai nghiệm mμ nghiệm nμy gấp k lần nghiệm kia (k > 0) lμ : kb2 = (k + 1)2.ac Dạng 6: So sánh nghiệm của ph−ơng trình bậc hai với một số. Bμi 1: a) Cho ph−ơng trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0. Xác định m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 1 < x1 < x2 < 6. b) Cho ph−ơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0. Xác định m để ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn: - 1 < x1 < x2 < 1. Bμi 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1. a) Chứng minh rằng ph−ơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m. 8
  9. b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để ph−ơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2. Bμi 3: Cho ph−ơng trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0. a) Với giá trị nμo của tham số a, ph−ơng trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép. b) Xác định a để ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn – 1. Bμi 4: Cho ph−ơng trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0. a) Tìm giá trị của m để ph−ơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 vμ một nghiệm lớn hơn 1. b) Tìm giá trị của m để ph−ơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2. 2 Bμi 5: Tìm m để ph−ơng trình: x – mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x1 ≤ - 2 ≤ x2. Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của ph−ơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số. Bμi 1: a) Cho ph−ơng trình: x2 – mx + 2m – 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của ph−ơng trình không phụ thuộc vμo tham số m. b) Cho ph−ơng trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0. Khi ph−ơng trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vμo tham số m. c) Cho ph−ơng trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Định m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số – 1 vμ 1. Bμi 2: Cho ph−ơng trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi ph−ơng trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vμo tham số m. Bμi 3: Cho ph−ơng trình: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0. a) Chứng minh rằng ph−ơng trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m. b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vμo m. x1 x 2 5 c) Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: . x2 x1 2 Bμi 4: Cho ph−ơng trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0. a) Giải vμ biện luận ph−ơng trình theo m. b) Khi ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2: - Tìm một hệ thức giữa x1 ; x2 độc lập với m. - Tìm m sao cho |x1 – x2| ≥ 2. Bμi 5: Cho ph−ơng trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Chứng minh rằng nếu ph−ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + 2 = 0. Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai ph−ơng trình bậc hai. Kiến thức cần nhớ: 1/ Định giá trị của tham số để ph−ơng trình nμy có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của ph−ơng trình kia: Xét hai ph−ơng trình: ax2 + bx + c = 0 (1) a’x2 + b’x + c’ = 0 (2) trong đó các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vμo tham số m. Định m để sao cho ph−ơng trình (2) có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của ph−ơng trình (1), ta có thể lμm nh− sau: i) Giả sử x0 lμ nghiệm của ph−ơng trình (1) thì kx0 lμ một nghiệm của ph−ơng trình (2), suy ra hệ ph−ơng trình: 9
  10.  2  ax0 bx 0 c 0 (*)  2 2  a'k x0 b' kx0 c' 0 Giải hệ ph−ơng trình trên bằng ph−ơng pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m. ii) Thay các giá trị m vừa tìm đ−ợc vμo hai ph−ơng trình (1) vμ (2) để kiểm tra lại. 2/ Định giá trị của tham số m để hai ph−ơng trình bậc hai t−ơng đ−ơng với nhau. Xét hai ph−ơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3) a’x2 + b’x + c’ = 0 (a’ ≠ 0) (4) Hai ph−ơng trình (3) vμ (4) t−ơng đ−ơng với nhau khi vμ chỉ khi hai ph−ơng trình có cùng 1 tập nghiệm (kể cả tập nghiệm lμ rỗng). Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai ph−ơng trình bậc hai t−ơng đ−ơng với nhau ta xét hai tr−ờng hợp sau: i) Tr−ờng hợp cả hai ph−ơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức lμ: (3)  0   (4)  0 Giải hệ trên ta tịm đ−ợc giá trị của tham số. ii) Tr−ờng hợp cả hai ph−ơng trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau: Δ(3)  0  Δ (4)  0  S(3) S(4)  P(3) P(4) Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ ph−ơng trình (*) có thể đ−a về hệ ph−ơng trình bậc nhất 2 ẩn nh− sau: bx ay c   b'x a' y c' Để giải quyết tiếp bμi toán, ta lμm nh− sau: - Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m. - Tìm m thoả mãn y = x2. - Kiểm tra lại kết quả. - Bμi 1: Tìm m để hai ph−ơng trình sau có nghiệm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0 Bμi 2: Với giá trị nμo của m thì hai ph−ơng trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – 9 = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0. b) 2x2 + mx – 1 = 0; mx2 – x + 2 = 0. c) x2 – mx + 2m + 1 = 0; mx2 – (2m + 1)x – 1 = 0. Bμi 3: Xét các ph−ơng trình sau: ax2 + bx + c = 0 (1) cx2 + bx + a = 0 (2) Tìm hệ thức giữa a, b, c lμ điều kiện cần vμ đủ để hai ph−ơng trình trên có một nghiệm chung duy nhất. Bμi 4: Cho hai ph−ơng trình: x2 – 2mx + 4m = 0 (1) x2 – mx + 10m = 0 (2) Tìm các giá trị của tham số m để ph−ơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của ph−ơng trình (1). 10
  11. Bμi 5: Cho hai ph−ơng trình: x2 + x + a = 0 x2 + ax + 1 = 0 a) Tìm các giá trị của a để cho hai ph−ơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung. b) Với những giá trị nμo của a thì hai ph−ơng trình trên t−ơng đ−ơng. Bμi 6: Cho hai ph−ơng trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) x2 + 2x + m = 0 (2) a) Định m để hai ph−ơng trình có ít nhất một nghiệm chung. b) Định m để hai ph−ơng trình t−ơng đ−ơng. c) Xác định m để ph−ơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt Bμi 7: Cho các ph−ơng trình: x2 – 5x + k = 0 (1) x2 – 7x + 2k = 0 (2) Xác định k để một trong các nghiệm của ph−ơng trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các nghiệm của ph−ơng trình (1). Chuyên đề 3: Hệ ph−ơng trình. A - Hệ hai ph−ơng trình bậc nhất hai ẩn: Dạng 1: Giải hệ ph−ơng trình cơ bản vμ đ−a đ−ợc về dạng cơ bản Bμi 1: Giải các hệ ph−ơng trình 3x 2y 4 4x 2y 3 2x 3y 5 1)  ; 2)  ; 3)   2x y 5  6x 3y 5  4x 6y 10 3x 4y 2 0 2x 5y 3 4x 6y 9 4)  ; 5)  ; 6)   5x 2y 14  3x 2y 14  10x 15y 18 Bμi 2: Giải các hệ ph−ơng trình sau:  3x 2 2y 3 6xy  2x -3 2y 4 4x y 3 54 1)  ; 2)  ;  4x 5 y 5 4xy  x 1 3y 3 3y x 1 12 2y -5x y 27 7x 5y - 2 5 2x  8  3 4  x 3y 3)  ; 4)  x 1 6y 5x 6x -3y 10  y  5  3 7  5x 6y Dạng 2: Giải hệ bằng ph−ơng pháp đặt ẩn phụ Giải các hệ ph−ơng trình sau  2 1  3x 2 x 1 3y  3  4  7  x 2y y 2x  x 1 y 4  x 1 y 2 1)  ; 2)  ; 3)  ; 4 3 2x 5 2 5  1  9  4  x 2y y 2x  x 1 y 4  x 1 y 2 2 2 x 2x y 1 0 5 x 1 3 y 2 7 4) ; 5)  2  2 2  3 x 2x 2 y 1 7 0  2 4x 8x 4 5 y 4y 4 13. Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho tr−ớc 11
  12. Bμi 1: a) Định m vμ n để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm lμ (2 ; - 1). 2mx n 1 y m n   m 2 x 3ny 2m 3 b) Định a vμ b biết ph−ơng trình: ax2 - 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm lμ x = 1 vμ x = -2. Bμi 2: Định m để 3 đ−ờng thẳng sau đồng quy: a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1 b) mx + y = m2 + 1 ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m – 2. Bμi 3: Cho hệ ph−ơng trình mx 4y 10 m  (m lμ tham số)  x my 4 a) Giải hệ ph−ơng trình khi m = 2 . b) Giải vμ biện luận hệ theo m. c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y > 0. d) Với giá trị nguyên nμo của m thì hệ có nghiệm (x ; y) với x, y lμ các số nguyên d−ơng. e) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho S = x2 – y2 đạt giá trị nhỏ nhất. (câu hỏi t−ơng tự với S = xy). f) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm M(x ; y) luôn nằm trên một đ−ờng thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.  m 1 x my 3m 1 Bμi 4: Cho hệ ph−ơng trình:   2x y m 5 a) Giải vμ biện luận hệ theo m. b) Với các giá trị nguyên nμo của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y 0 vμ y < 0. c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mμ x, y lμ các số nguyên. d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mμ S = x – y đạt giá trị lớn nhất. B - Một số hệ bậc hai đơn giản: Dạng 1: Hệ đối xứng loại I x y xy 11 Ví dụ: Giải hệ ph−ơng trình  22  x y 3 x y 28 Bμi tập t−ơng tự: Giải các hệ ph−ơng trình sau: 12
  13. x 2 y2 x y 8 x 2 xy y2 4 1) 2)  2 2   x y xy 7  x xy y 2 xy x y 19 x 2 3xy y 2 1 3) 4)  2 2  2 2  x y xy 84  3x xy 3y 13  x 1 y 1 8  x2 1 y 2 1 10 5)  6)   x x 1 y y 1 xy 17  x y xy 1 3 2 x xy y 2 3 2 x2 xy y2 19 x y 7) 8)  2 2  2 2  x y 6  x xy y 7 x y 2  x y x y 6 x y y x 30 9) 10)  2 2   5 x y 5xy  x x y y 35 Dạng 2: Hệ đối xứng loại II x3 1 2y Ví dụ: Giải hệ ph−ơng trình   3  y 1 2x Bμi tập t−ơng tự: Giải các hệ ph−ơng trình sau: x 2 1 3y x 2 y 2 y 2 1) 2)  2  2 2  y 1 3x  xy 2 x x 3 2x y x 2 xy y 1 3) 4)  3  2  y 2y x  x xy y 1  y x 3y 4 x 2 2y 2 2x y  x 5)  6)  2 2 x  y 2x 2y x y 3x 4  y  1 3 2x  3  y x x 3x 8y 7)  8)  1 3  y 3 3y 8x 2y   x y x 2 3x y x 3 7x 3y 9) 10)  2  3  y 3y x  y 7y 3x Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng ph−ơng pháp thế hoặc cộng đại số Giải các hệ ph−ơng trình sau: 13
  14. x y 1 0 x 2 xy y 2 12 1) 2)  2  2 2  x xy 3 0  xy x y 8 2xy x 2 4x 4 x 2y 2 xy 11 0 3) 4)  2   x 2xy y 5x 4  xy y x 4 2 x y 2 3 x y 5 0 5 x y 2 3 x y 8 5)  6)   x y 5 0  2x 3y 12 x 2y 2 0 x 2 y 0 7)  2 8)   2y x 0  x y 2 0 x 2 y 2 2xy 1 2x 3y 5 9) 10)  2 2  2 2  2x 2y 2xy y 0  x y 40 3x 2y 36 xy 2x y 2 0 11)  12)   x 2 y 3 18  xy 3x 2y 0 xy x y 1 x 2 y 2 4x 4y 8 0 13) 14)   2 2  xy 3x y 5  x y 4x 4y 8 0 x x 8 3y y 1 6 15)   2x x 8 5y y 1 14 Chuyên đề 4: Hμm số vμ đồ thị. Dạng 1: Vẽ đồ thị hμm số Bμi 1: Vẽ đồ thị các hμm số sau: a) y = 2x – 5 ; b) y = - 0,5x + 3 Bμi 2: Vẽ đồ thị hμm số y = ax2 khi: a) a = 2 ; b) a = - 1. Dạng 2: Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng Bìa 1: Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng (d) biết: a) (d) đi qua A(1 ; 2) vμ B(- 2 ; - 5) b) (d) đi qua M(3 ; 2) vμ song song với đ−ờng thẳng () : y = 2x – 1/5. c) (d) đi qua N(1 ; - 5) vμ vuông góc với đ−ờng thẳng (d’): y = -1/2x + 3. d) (d) đi qua D(1 ; 3) vμ tạo với chiều d−ơng trục Ox một góc 300. e) (d) đi qua E(0 ; 4) vμ đồng quy với hai đ−ờng thẳng f) (): y = 2x – 3; (’): y = 7 – 3x tại một điểm. g) (d) đi qua K(6 ; - 4) vμ cách gốc O một khoảng bằng 12/5 (đơn vị dμi). Bμi 2: Gọi (d) lμ đ−ờng thẳng y = (2k – 1)x + k – 2 với k lμ tham số. a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6). b) Định k để (d) song song với đ−ờng thẳng 2x + 3y – 5 = 0. c) Định k để (d) vuông góc với đ−ờng thẳng x + 2y = 0. d) Chứng minh rằng không có đ−ờng thẳng (d) nμo đi qua điểm A(-1/2 ; 1). e) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đ−ờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. 14
  15. Dạng 3: Vị trí t−ơng đối giữa đ−ờng thẳng vμ parabol Bμi 1: a) Biết đồ thị hμm số y = ax2 đi qua điểm (- 2 ; -1). Hãy tìm a vμ vẽ đồ thị (P) đó. b) Gọi A vμ B lμ hai điểm lần l−ợt trên (P) có hoμnh độ lần l−ợt lμ 2 vμ - 4. Tìm toạ độ A vμ B từ đó suy ra ph−ơng trình đ−ờng thẳng AB. 1 Bμi 2: Cho hμm số y x 2 2 a) Khảo sát vμ vẽ đồ thị (P) của hμm số trên. b) Lập ph−ơng trình đ−ờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) vμ tiếp xúc với (P). Bμi 3: 1 Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P): y x 2 vμ đ−ờng thẳng (D): y = mx - 2m - 1. 4 a) Vẽ độ thị (P). b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P). c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P). 1 Bμi 4: Cho hμm số y x 2 2 a) Vẽ đồ thị (P) của hμm số trên. b) Trên (P) lấy hai điểm M vμ N lần l−ợt có hoμnh độ lμ - 2; 1. Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng MN. c) Xác định hμm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đ−ờng thẳng MN vμ chỉ cắt (P) tại một điểm. Bμi 5: Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a  0) vμ đ−ờng thẳng (D): y = kx + b. 1) Tìm k vμ b cho biết (D) đi qua hai điểm A(1; 0) vμ B(0; - 1). 2) Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đ−ợc ở câu 1). 3)Vẽ (D) vμ (P) vừa tìm đ−ợc ở câu 1) vμ câu 2). 3 4) Gọi (d) lμ đ−ờng thẳng đi qua điểm C ; 1 vμ có hệ số góc m 2 a) Viết ph−ơng trình của (d). b) Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đ−ờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) vμ vuông góc với nhau. Chuyên đề 5: Giải bμi toán bằng cách lập ph−ơng trình, hệ ph−ơng trình. Dạng 1: Chuyển động (trên đ−ờng bộ, trên đ−ờng sông có tính đến dòng n−ớc chảy) Bμi 1: Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đ−ờng AB vμ thời gian dự định đi lúc đầu. Bμi 2: Một ng−ời đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định tr−ớc. Sau 1 khi đ−ợc quãng đ−ờng AB ng−ời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đ−ờng 3 còn lại. Tìm vận tốc dự định vμ thời gian xe lăn bánh trên đ−ờng, biết rằng ng−ời đó đến B sớm hơn dự định 24 phút. Bμi 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ng−ợc từ B trở về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ng−ợc 1 giờ 20 phút. Tính 15
  16. khoảng cách giữa hai bến A vμ B. Biết rằng vận tốc dòng n−ớc lμ 5 km/h vμ vận tốc riêng của canô lúc xuôi vμ lúc ng−ợc bằng nhau. Bμi 4: Một canô xuôi một khúc sông dμi 90 km rồi ng−ợc về 36 km. Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều hơn thời gian ng−ợc dòng lμ 2 giờ vμ vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ng−ợc dòng lμ 6 km/h. Hỏi vận tốc canô lúc xuôi vμ lúc ng−ợc dòng. Dạng 2: Toán lμm chung  lμn riêng (toán vòi n−ớc) Bμi 1: Hai ng−ời thợ cùng lμm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu ng−ời thứ nhất lμm trong 5 giờ vμ ng−ời thứ hai lμm trong 6 giờ thì cả hai ng−ời chỉ lμm đ−ợc 3 công việc. Hỏi một ng−ời lμm công việc đó trong mấy giờ thì xong? 4 Bμi 2: 4 Nếu vòi A chảy 2 giờ vμ vòi B chảy trong 3 giờ thì đ−ợc hồ. Nếu vòi A chảy trong 3 5 1 giờ vμ vòi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì đ−ợc hồ. Hỏi nếu chảy một mình mỗI vòi 2 chảy trong bao lâu mới đầy hồ. Bμi 3: Hai vòi n−ớc cùng chảy vμo một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy bể thì vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I lμ 5 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể? Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm. Bμi 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đ−ợc 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I v−ợt mức 15%, tổ II v−ợt mức 12% nên sản xuất đ−ợc 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất đ−ợc bao nhiêu chi tiết máy?. Bμi 2: Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A vμ B lμ 4 triệu ng−ời. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay lμ 4 045 000 ng−ời. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái vμ năm nay? Dạng 4: Toán có nội dung hình học. Bμi 1: Một khu v−ờn hình chữ nhật có chu vi lμ 280 m. Ng−ời ta lμm lối đi xung quanh v−ờn (thuộc đất trong v−ờn) rộng 2 m. Tính kích th−ớc của v−ờn, biết rằng đất còn lại trong v−ờn để trồng trọt lμ 4256 m2. Bμi 2: Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dμi lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích tăng 500 m2. Nếu giảm chiều dμi 15 m vμ giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m2. Tính chiều dμi, chiều rộng ban đầu. Bμi 3: Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm vμ 3 cm thì diện tích tam giác tăng 50 cm2. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm2. Tính hai cạnh góc vuông. Dạng 5: Toán về tìm số. Bμi 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hμng chục vμ hμng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị. 16
  17. Bμi 2: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hμng đơn vị của nó vμ nếu số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì đ−ợc th−ơng lμ 4 vμ số d− lμ 3. Bμi 3: Nếu tử số của một phân số đ−ợc tăng gấp đôi vμ mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng 1 5 . Nếu tử số thêm 7 vμ mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng . Tìm phân số đó. 4 24 Bμi 4: Nếu thêm 4 vμo tử vμ mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1. Nếu bớt 1 vμo 3 cả tử vμ mẫu, phân số tăng . Tìm phân số đó. 2 Chuyên đề 6: Ph−ơng trình quy về ph−ơng trình bậc hai. Dạng 1: Ph−ơng trình có ẩn số ở mẫu. Giải các ph−ơng trình sau: x x 3 a) 6 x 2 x 1 2x 1 x 3 b) 3 x 2x 1 t 2 2t 2 5t c) t t 1 t 1 Dạng 2: Ph−ơng trình chứa căn thức. A  0 (hayB  0) Loại A B    A B B  0 Loại A B   2  A B Giải các ph−ơng trình sau: a) 2x 2 3x 11 x 2 1 b) x 2 2 3x 2 5x 14 c) 2x 2 3x 5 x 1 d) x 1 2x 3 x 9 e) x 1 x2 3x Dạng 3: Ph−ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Giải các ph−ơng trình sau: a) x 1 x2 x 3 b) x 2 2x 1 x 2 2x 3 c) x4 2x 2 2 x 2 x x 4 4x d) x2 1 x2 4x 4 3x Dạng 4: Ph−ơng trình trùng ph−ơng. Giải các ph−ơng trình sau: a) 4x4 + 7x2 – 2 = 0 ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0; c) 2x4 + 5x2 + 2 = 0 ; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – 9 = 0. Dạng 5: Ph−ơng trình bậc cao. Giải các ph−ơng trình sau bằng cách đ−a về dạng tích hoặc đặt ẩn phụ đ−a về ph−ơng trình bậc hai: 17
  18. Bμi 1: a) 2x3 – 7x2 + 5x = 0 ; b) 2x3 – x2 – 6x + 3 = 0 ; c) x4 + x3 – 2x2 – x + 1 = 0 ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2. Bμi 2: a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – 3 = 0 c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = 0 1 1 c) x 2 x 2 x 2 x 3 0 d) 4 x 2 16 x 23 0 x 2 x x 2 x 5 3x 21 e) 4 0 f) x 2 4x 6 0 x x 2 x 5 x 2 4x 10 2 2 x 48 x 4 g) 3 2x 2 3x 1 5 2x 2 3x 3 24 0 h) 10 0 3 x 2 3 x 2x 13x i) 6 k) x 2 3x 5 x 2 3x 7. 2x 2 5x 3 2x 2 x 3 Bμi 3: a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = 0 b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = 0 c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = 1 d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = 0 Bμi tập về nhμ: Giải các ph−ơng trình sau: 1 3 1 4x x 3 1. a) b) 6 2 x 1 x 2 1 4 x 1 x 2x 2 x 2 x 2 2x 3 2x 2 2 c) x d) 8 4 x 4 x 2 9 x 2 3x 2 2. a) x4 – 34x2 + 225 = 0 b) x4 – 7x2 – 144 = 0 c) 9x4 + 8x2 – 1 = 0 d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = 0 e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = 0 (a ≠ 0) 3. a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = 0 b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = 0 c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2 d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = 0 e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = 0 4. a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = 0 b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = 0 c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = 0 d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = 0 5. a) x3 – x2 – 4x + 4 = 0 b) 2x3 – 5x2 + 5x – 2 = 0 c) x3 – x2 + 2x – 8 = 0 d) x3 + 2x2 + 3x – 6 = 0 e) x3 – 2x2 – 4x – 3 = 0 6. a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = 0 b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = 0 2 2x 1 2x 1 c) x2 – 4x – 10 - 3 x 2 x 6 = 0 d) 4 3 0 x 2 x 2 e) x 5 x x 5 x 5 18
  19. 7. a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 5 1 1 1 1 c) 3 x 2 16 x 26 0 d) 2 x 2 7 x 2 0 x 2 x x 2 x 8. a) x 2 4x x 14 b) 2x 2 x 9 x 1 c) 2x 2 6x 1 x 2 d) x 3 3x 4 x 2 e) 4x 2 4x 1 x 2 x 2 3 f) x 3 x 2 1 x 3 x 1 9. Định a để các ph−ơng trình sau có 4 nghiệm a) x4 – 4x2 + a = 0 b) 4y4 – 2y2 + 1 – 2a = 0 c) 2t4 – 2at2 + a2 – 4 = 0. 19
  20. Phần II: Hình học Chuyên đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình. Bμi 1: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đ−ờng tròn tâm O. D vμ E lần l−ợt lμ điểm chính giữa của các cung AB vμ AC. DE cắt AB ở I vμ cắt AC ở L. a) Chứng minh DI = IL = LE. b) Chứng minh tứ giác BCED lμ hình chữ nhật. c) Chứng minh tứ giác ADOE lμ hình thoi vμ tính các góc của hình nμy. Bμi 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đ−ờng tròn có các đ−ờng chéo vuông góc với nhau tại I. a) Chứng minh rằng nếu từ I ta hạ đ−ờng vuông góc xuống một cạnh của tứ giác thì đ−ờng vuông góc nμy qua trung điểm của cạnh đối diện của cạnh đó. b) Gọi M, N, R, S lμ trung điểm của các cạnh của tứ giác đã cho. Chứng minh MNRS lμ hình chữ nhật. c) Chứng minh đ−ờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật nμy đi qua chân các đ−ờng vuông góc hạ từ I xuống các cạnh của tứ giác. Bμi 3: Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v) có AH lμ đ−ờng cao. Hai đ−ờng tròn đ−ờng kính AB vμ AC có tâm lμ O1 vμ O2. Một cát tuyến biến đổi đi qua A cắt đ−ờng tròn (O1) vμ (O2) lần l−ợt tại M vμ N. a) Chứng minh tam giác MHN lμ tam giác vuông. b) Tứ giác MBCN lμ hình gì? c) Gọi F, E, G lần l−ợt lμ trung điểm của O1O2, MN, BC. Chứng minh F cách đều 4 điểm E, G, A, H. d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A thì E vạch một đ−ờng nh− thế nμo? Bμi 4: Cho hình vuông ABCD. Lấy B lμm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đ−ờng tròn phía trong hình vuông.Lấy AB lμm đ−ờng kính , vẽ 1/2 đ−ờng tròn phía trong hình vuông. Gọi P lμ điểm tuỳ ý trên cung AC ( không trùng với A vμ C). H vμ K lần l−ợt lμ hình chiếu của P trên AB vμ AD, PA vμ PB cắt nửa đ−ờng tròn lần l−ợt ở I vμ M. a) Chứng minh I lμ trung điểm của AP. b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui. c) Chứng minh PM = PK = AH d) Chứng minh tứ giác APMH lμ hình thang cân. đ) Tìm vị trí điểm P trên cung AC để tam giác APB lμ đều. Chuyên đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đ−ờng tròn. Bμi 1: Cho hai đ−ờng tròn (O), (O') cắt nhau tại A, B. Các tiếp tuyến tại A của (O), (O') cắt (O'), (O) lần l−ợt tại các điểm E, F. Gọi I lμ tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF. a) Chứng minh tứ giác OAO'I lμ hình bình hμnh vμ OO'//BI. b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' cùng thuộc một đ−ờng tròn. c) Kéo dμi AB về phía B một đoạn CB = AB. Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp. 20
  21. Bμi 2: Cho tam giác ABC. Hai đ−ờng cao BE vμ CF cắt nhau tại H.Gọi D lμ điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC. a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đ−ợc trong một đ−ờng tròn.Xác định tâm O của đ−ờng tròn đó. b) Đ−ờng thẳng DH cắt đ−ờng tròn (O) tại điểm thứ 2 lμ I. Chứng minh rằng 5 điểm A, I, F, H, E cùng nằm trên một đ−ờng tròn. Bμi 3: Cho hai đ−ờng tròn (O) vμ (O') cắt nhau tại A vμ B. Tia OA cắt đ−ờng tròn (O') tại C, tia O'A cắt đ−ờng tròn (O) tại D. Chứng minh rằng: a) Tứ giác OO'CD nội tiếp. b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ đó suy ra năm điểm O, O', B, C, D cùng nằm trên một đ−ờng tròn. Bμi 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đ−ờng tròn đ−ờng kính AD. Hai đ−ờng chéo AC vμ BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc AD. Gọi M lμ trung điểm của DE. Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp đ−ợc. b) Tia CA lμ tia phân giác của góc BCF. c)* Tứ giác BCMF nội tiếp đ−ợc. Bμi 5: Từ một điểm M ở bên ngoμi đ−ờng tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đ−ờng tròn. Trên cung nhỏ AB lấy một điểm C. Vẽ CD  AB, CE  MA, CF  MB. Gọi I lμ giao điểm của AC vμ DE, K lμ giao điểm của BC vμ DF. Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp đ−ợc. b) CD2 = CE. CF c)* IK // AB Bμi 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đ−ờng tròn (O). Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đ−ờng tròn. Vẽ hai đ−ờng cao BD vμ CE. a) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đ−ờng tròn. b) Chứng minh rằng xy// DE, từ đó suy ra OA  DE. Bμi 7: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đ−ờng tròn (O). Trên cung nhỏ AB lấy một điểm M. Đ−ờng thẳng qua A song song với BM cắt CM tại N. a) Chứng minh rằng tam giác AMN lμ tam giác đều. b) Chứng minh rằng MA + MB = MC. 1 1 1 c)* Gọi D lμ giao điểm của AB vμ CM. Chứng minh rằng: AM MB MD Bμi 8: Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm giữa A vμ C. Một đ−ờng tròn (O) thay đổi đi qua B vμ C. Vẽ đ−ờng kính MN vuông góc với BC tại D ( M nằm trên cung nhỏ BC).Tia AN cắt đ−ờng tròn (O) Tại một điểm thứ hai lμ F. Hai dây BC vμ MF cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: a) Tứ giác DEFN nội tiếp đ−ợc. b) AD. AE = AF. AN c) Đ−ờng thẳng MF đi qua một điểm cố định. Bμi 9: Từ một điểm A ở bên ngoμi đ−ờng tròn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đ−ờng tròn. Gọi M lμ trung điểm của AB. Tia CM cắt đ−ờng tròn tại điểm N. Tia AN cắt đ−ờng tròn tại điểm D. 21
  22. a) Chứng minh rằng MB2 = MC. MN b) Chứng minh rằng AB// CD c) Tìm điều kiện của điểm A để cho tứ giác ABDC lμ hình thoi. Tính diện tích cử hình thoi đó. Bμi 10: Cho đ−ờng tròn (O) vμ một dây AB. Gọi M lμ điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ đ−ờng kính MN Cắt AB tại I. Gọi D lμ một điểm thuộc dây AB. Tia MD cắt đ−ờng tròn (O) tại C. a) Chứng minh rằng tứ giác CDIN nội tiếp đ−ợc b) Chứng minh rằng tích MC. MD có giá trị không đổi khi D di động trên dây AB. c) Gọi O' lμ tâm của đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD. 1 Chứng minh rằng MAB =  AO'D. 2 d) Chứng minh rằng ba điểm A, O', N thẳng hμng vμ MA lμ tiếp tuyến của đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD. Bμi 11: Cho tam giác ABC vuông ở A ( AB < AC), đ−ờng cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy D sao cho HD = HB. Vẽ CE vuông góc với AD ( E  AD). a) Chứng minh rằng AHEC lμ tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh AB lμ tiếp tuyến của đ−ờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC. c) Chứng minh rằng CH lμ tia phân giác của góc ACE. d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA. CH vμ cung nhỏ AH của đ−ờng tròn nói trên biết AC= 6cm, ACB = 300. Bμi 12: Cho đ−ờng tròn tâm O có đ−ờng kính BC. Gọi A lμ Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D lμ điểm thuộc bán kính OC. Đ−ờng vuông góc với BC tại D cắt AC ở E, cắt tia BA ở F. a) Chứng minh rằng ADCF lμ tứ giác nội tiếp. b) Gọi M lμ trung điểm của EF. Chứng minh rằng AME = 2 ACB. c) Chứng minh rằng AM lμ tiếp tuyến của đ−ờng tròn (O). d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA vμ cung nhỏ AC của đ−ờng tròn (O) biết BC= 8cm, ABC = 600. Bμi 13: Cho nửa đ−ờng tròn tâm O, đ−ờng kính AB = 2R. Điểm M thuộc nửa đ−ờng tròn. Vẽ đ−ờng tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H lμ tiếp điểm). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đ−ờng tròn (M) ( C, D lμ tiếp điểm). a) Chứng minh rằng C, M, D thẳng hμng b) Chứng minh rằng CD lμ tiếp tuyến của đ−ờng tròn (O). c) Tính tổng AC + BD theo R. d) Tính diện tích tứ giác ABDC biết AOM = 600. Bμi 14: Cho tam giác vuông cân ABC (A = 900), trung điểm I của cạnh BC. Xét một điểm D trên tia AC. Vẽ đ−ờng tròn (O) tiếp xúc với các cạnh AB, BD, DA tại các điểm t−ơng ứng M, N, P. a) Chứng minh rằng 5 điểm B, M, O, I, N nằm trên một đ−ờng tròn. b) Chứng minh rằng ba điểm N, I, P thẳng hμng. c) Gọi giao điểm của tia BO với MN, NP lần l−ợt lμ H, K. Tam giác HNK lμ tam giác gì, tại sao? d) Tìm tập hợp điểm K khi điểm D thay đổi vị trí trên tia AC. Chuyên đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hμng, các đ−ờng thẳng đồng quy. 22
  23. Bμi 1: Cho hai đ−ờng tròn (O) vμ (O') cắt nhau tại hai điểm A vμ B. Đ−ờng thẳng AO cắt đ−ờng tròn (O) vμ (O') lần l−ợt tại C vμ C'. Đ−ờng thẳng AO' cắt đ−ờng tròn (O) vμ (O') lần l−ợt tại D vμ D'. a) Chứng minh C, B, D' thẳng hμng b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiếp c) Đ−ờng thẳng CD vμ đ−ờng thẳng D'C' cắt nhau tại M. Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp. Bμi 2: Từ một điểm C ở ngoμi đ−ờng tròn ( O) kể cát tuyến CBA. Gọi IJ lμ đ−ờng kính vuông góc với AB. Các đ−ờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đ−ờng tròn (O) tại M, N. a) Chứng minh rằng IN, JM vμ AB đồng quy tại một điểm D. b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến của đ−ờng tròn (O) tại M, N đi qua trung điểm E của CD. Bμi 3: Cho hai đ−ờng tròn ( O; R) vμ ( O'; R' ) tiếp xúc ngoμi tại A ( R> R' ). Đ−ờng nối tâm OO' cắt đ−ờng tròn (O) vμ (O') theo thứ tự tại B vμ C ( B vμ C khác A). EF lμ dây cung của đ−ờng tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm I của BC, EC cắt đ−ờng tròn (O') tại D. a) Tứ giác BEFC lμ hình gi? b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hμng. c) CF cắt đ−ờng tròn (O’) tại G. Chứng minh ba đ−ờng EG, DF vμ CI đồng quy. d) Chứng minh ID tiếp xúc với đ−ờng tròn (O’). Bμi 4: Cho đ−ờng tròn (O) vμ (O’) tiếp xúc ngoμi tại C. AC vμ BC lμ đ−ờng kính của (O) vμ (O’), DE lμ tiếp tuyến chung ngoμi (D  (O), E  (O’)). AD cắt BE tại M. a) Tam giác MAB lμ tam giác gì? b) Chứng minh MC lμ tiếp tuyến chung của (O) vμ (O’). c) Kẻ Ex, By vuông góc với AE, AB. Ex cắt By tại N. Chứng minh D, N, C thẳng hμng. d) Về cùng phía của nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đ−ờng tròn đ−ờng kính AB vμ OO’. Đ−ờng thẳng qua C cắt hai nửa đ−ờng tòn trên tại I, K. Chứng minh OI // AK. Chuyên đề 4: Chứng minh điểm cố định. Bμi 1: Cho đ−ờng tròn (O ; R). Đ−ờng thẳng d cắt (O) tại A, B. C thuộc d ở ngoμi (O). Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đ−ờng kính PQ cắt AB tại D. CP cắt (O) tại điểm thứ hai I, AB cắt IQ tại K. a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp. b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD. c) Chứng minh IC lμ phân giác ngoμi của tam giác AIB. d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nh−ng vẫn luôn qua A, B. Chứng minh rằng IQ luôn đi qua điểm cố định. Bμi 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O ; R). M di động trên AB. N di động trên tia đối của tia CA sao cho BM = CN. a) Đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) tại A vμ D. Chứng minh rằng D cố định. b) Tính góc MDN. c) MN cắt BC tại K. Chứng minh DK vuông góc với MN. d) Đặt AM = x. Tính x để diện tích tam giác AMN lμ lớn nhất. Bμi 3: 23
  24. Cho (O ; R). Điểm M cố định ở ngoμi (O). Cát tuyến qua M cắt (O) tại A vμ B. Tiếp tuyến của (O) tại A vμ B cắt nhau tại C. a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đ−ờng tròn tâm K. b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định lμ O vμ H khi cát tuyến quay quanh M. c) CH cắt AB tại N, I lμ trung điểm AB. Chứng minh MA.MB = MI.MN. d) Chứng minh: IM.IN = IA2. Bμi 4: Cho nửa đ−ờng tròn đ−ờng kính AB tâm O. C lμ điểm chính giữa cung AB. M di động trên cung nhỏ AC. Lấy N thuộc BM sao cho AM = BN. a) So sánh tam giác AMC vμ BCN. b) Tam giác CMN lμ tam giác gì? c) Kẻ dây AE//MC. Chứng minh tứ giác BECN lμ hình bình hμnh. d) Đ−ờng thẳng d đi qua N vμ vuông góc với BM. Chứng minh d luôn đi qua điểm cố định. Bμi 5: Cho đ−ờng tròn (O ; R), đ−ờng thẳng d cắt (O) tại hai điểm C vμ D. Điểm M tuỳ ý trên d, kẻ tiếp tuyến MA, MB. I lμ trung điểm của CD. a) Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đ−ờng tròn. b) Gọi H lμ trực tâm của tam giác MAB, tứ giác OAHB lμ hình gì? c) Khi M di đồng trên d. Chứng minh rằng AB luôn qua điểm cố định. d) Đ−ờng thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần l−ợt tại E vμ K. Chứng minh EC = EK. Chuyên đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng vμ chứng minh đẳng thức hình học. Bμi 1: Cho đ−ờng tròn (O) vμ dây AB. M lμ điểm chính giữa cung AB. C thuộc AB, dây MD qua C. a) Chứng minh MA2 = MC.MD. b) Chứng minh MB.BD = BC.MD. c) Chứng minh đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB tại B. d) Gọi R1, R2 lμ bán kính các đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD vμ ACD. Chứng minh R1 + R2 không đổi khi C di động trên AB. Bμi 2: Cho nửa đ−ờng tròn tâm O, đ−ờng kính AB = 2R vμ một điểm M trên nửa đ−ờng tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M của nửa đ−ờng tròn cắt các tiếp tuyến tại A, B lần l−ợt ở C vμ E. a) Chứng minh rằng CE = AC + BE. b) Chứng minh AC.BE = R2. c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE. d) Xét tr−ờng hợp hai đ−ờng thẳng AB vμ CE cắt nhau tại F. Gọi H lμ hình chiếu vuông góc của M trên AB. HA FA + Chứng minh rằng: . HB FB + Chứng minh tích OH.OF không đổi khi M di động trên nửa đ−ờng tròn. Bμi 3: Trên cung BC của đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P bất kì. Các 1 1 1 đ−ờng thẳng AP vμ BC cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng: . PQ PB PC Bμi 4: 24
  25. Cho góc vuông xOy. Trên tia Ox đặt đoạn OA = a. Dựng đ−ờng tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox tại A vμ cắt Oy tại hai điểm B, C. Chứng minh các hệ thức: 1 1 1 a) . AB2 AC2 a 2 b) AB2 + AC2 = 4R2. Chuyên đề 6: Các bμi toán về tính số đo góc vμ số đo diện tích. Bμi 1: Cho hai đ−ờng tròn (O; 3cm) vμ (O’;1 cm) tiếp xúc ngoμi tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoμi BC (B  (O); C  (O’)). a) Chứng minh rằng góc O’OB bằng 600. b) Tính độ dμi BC. c) Tính diện tích hình giới hạn bởi tiếp tuyến BC vμ các cung AB, AC của hai đ−ờng tròn. Bμi 2: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 cm, CB = 40 cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đ−ờng tròn có đ−ờng kính theo thứ tự lμ AB, AC, CB vμ có tâm theo thứ tự lμ O, I, K. Đ−ờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đ−ờng tròn (O) ở E. Gọi M, N theo thứ tự lμ giao điểm của EA, EB với các nửa đ−ờng tròn (I), (K). a) Chứng ming rằng EC = MN. b) Chứng minh rằng MN lμ tiếp tuyến chung của các nửa đ−ờng tròn (I), (K). c) Tính độ dμi MN. d) Tính diện tích hình đ−ợc giới hạn bởi ba nửa đ−ờng tròn. Bμi 3: Từ một điểm A ở bên ngoμi đ−ờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB vμ AC với đ−ờng tròn. Từ một điểm M trên cung nhỏ BC kẻ một tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến kia tại P vμ Q. a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động trên cung BC nhỏ thì chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi. b) Cho biết BAC = 600 vμ bán kính của đ−ờng tròn (O) bằng 6 cm. Tính độ dμi của tiếp tuyến AB vμ diện tích phần mặt phẳng đ−ợc giới hạn bởi hai tiếp tuyến AB, AC vμ cung nhỏ BC. Bμi 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I lμ tâm đ−ờng tròn nội tiếp , K lμ tâm đ−ờng tròn bμng tiếp góc A, O lμ trung điểm của IK. a) Chứng minh rằng: 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đ−ờng tròn. b) Chứng minh rằng: AC lμ tiếp tuyến của đ−ờng tròn (O). c) Tính bán kính của đ−ờng tròn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm. Bμi 5: Cho đ−ờng tròn tâm O đ−ờng kính AB = 2R. E lμ một điểm trên đ−ờng tròn mμ AE > EB. M lμ một điểm trên đoạn AE sao cho AM.AE = AO.AB. a) Chứng minh AOM vuông tại O. b) OM cắt đ−ờng tròn ở C vμ D. Điểm C vμ điểm E ở cùng một phía đối với AB. Chứng minh ACM đồng dạng với AEC. c) Chứng minh AC lμ tiếp tuyến của đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác CEM. 2 d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm vμ AEC lμ . Tính AC, AE, AM, CM theo R. 3 25
  26. Chuyên đề 7: Toán quỹ tích. Bμi 1: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp trong đ−ờng tròn (O) vμ M lμ điểm di động trên đ−ờng tròn đó. Gọi D lμ hình chiếu của B trên AM vμ P lμ giao điểm của BD với CM. a) Chứng minh BPM cân. b) Tìm quỹ tích của điểm D khi M di chuyển trên đ−ờng tròn (O). Bμi 2: Đ−ờng tròn (O ; R) cắt một đ−ờng thẳng d tại hai điểm A, B. Từ một điểm M trên d vμ ở ngoμi đ−ờng tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MP, MQ. a) Chứng minh rằng góc QMO bằng góc QPO vμ đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ đi qua hai điểm cố định khi M di động trên d. b) Xác định vị trí của M để MQOP lμ hình vuông? c) Tìm quỹ tích tâm các đ−ờng tròn nội tiếp tam giác MPQ khi M di động trên d. Bμi 3: Hai đ−ờng tròn tâm O vμ tâm I cắt nhau tại hai điểm A vμ B. Đ−ờng thẳng d đi qua A cắt các đ−ờng tròn (O) vμ (I) lần l−ợt tại P, Q. Gọi C lμ giao điểm của hai đ−ờng thẳng PO vμ QI. a) Chứng minh rằng các tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp. b) Gọi E, F lần l−ợt lμ trung điểm của AP, AQ, K lμ trung điểm của EF. Khi đ−ờng thẳng d quay quanh A thì K chuyển động trên đ−ờng nμo? c) Tìm vị trí của d để tam giác PQB có chu vi lớn nhất. Chuyên đề 8: Một số bμi toán mở đầu về hình học không gian. Bμi 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’. Biết AB = 4 cm; AC = 5 cm vμ A’C = 13 cm. Tính thể tích vμ diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó. Bμi 2: Cho hình lập ph−ơng ABCDA’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ bằng 25 2 cm2. Tính thể tích vμ diện tích toμn phần của hình lập ph−ơng đó. Bμi 3: Cho hình hộp chứ nhật ABCDA’B’C’D’. Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm vμ góc A’AC’ bằng 600. Tính thể tích vμ diện tích toμn phần của hình hộp chữ nhật đó. Bμi 4: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’. Tính diện tích xung quanh vμ thể tích của nó biết cạnh đáy dμi 6 cm vμ góc AA’B bằng 300. Bμi 5: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Đ−ờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại trọng tâm G của tam giác ABC. Trên đ−ờng thẳng d lấy một điểm S. Nối SA, SB, SC. a) Chứng minh rằng SA = SB = SC. b) Tính diện tích toμn phần vμ thể tích của hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a. Bμi 6: a 2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy lμ a vμ đ−ờng cao lμ . 2 a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp lμ các tam giác đều. b) Tính thể tích vμ diện tích xung quanh của hình chóp. Bμi 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy vμ cạnh bên đều bằng a. 26
  27. a) Tính diện tích toán phần của hình chóp. b) Tính thể tích của hình chóp. Bμi 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiếu cao 15 cm vμ thể tích lμ 1280 cm3. a) Tính độ dμi cạnh đáy. b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp. Bμi 9: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ lμ 75 cm2, diện tích đáy lớn gấp 4 lần diện tích đáy nhỏ vμ chiều cao lμ 6 cm. Tính thể tích của hình chóp cụt đó. Bμi 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD lμ hình vuông cạnh a, SA = a vμ SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). a) Tính thể tích hình chóp. b) Chứng minh rằng bốn mặt bên lμ những tam giác vuông. a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp. Bμi 11: Một hình trụ có đ−ờng cao bằng đ−ờng kính đáy. Biết thể tích hình trụ lμ 128 cm3, tính diện tích xung quanh của nó. Bμi 12: Một hình nón có bán kính đáy bằng 5 cm vμ diện tích xung quanh bằng 65 cm2. Tính thể tích của hình nón đó. Bμi 13: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn bằng 8 cm, đ−ờng cao bằng 12 cm vμ đ−ờng sinh bằng 13 cm. a) Tính bán kính đáy nhỏ. b) Tính diện tích xung quanh vμ thể tích của hình nón cụt đó. Bμi 14: Một hình cầu có diện tích bề mặt lμ 36 cm2. Tính thể tích của hình cầu đó. 27