Ôn thi vào Lớp 10 môn Toán - Chủ đề: Biểu thức đại số và các vấn đề liên quan

Nội dung text: Ôn thi vào Lớp 10 môn Toán - Chủ đề: Biểu thức đại số và các vấn đề liên quan

1. CHUYấN ĐỀ 1 CHỦ ĐỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIấN QUAN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ. Điều kiện xỏc định A cú nghĩa Û A ³ 0 2 ỡA khi A 0 Cụng thức A A ù ³ = = ớ A khi A 0 ợù- 0 thỡ = . B B 2 Đưa thừa số ra ngoài dấu căn A B = A . B (B ³ 0) A 1 A Khử mẫu ở biểu thức lấy căn AB với 0; B 0 B = B B ³ ạ Đưa thừa số vào trong dấu căn 2 với A B = A B A ³ 0; B ³ 0 2 với A B = - A B A 0 B B ( ) A A B  C ( ) B 0; B C 2 = 2 ( ³ ạ ) B ±C B-C A A( B  C ) = (B ³ 0;C ³ 0; B ạ C) B ± C B-C Khi biến đổi biểu thức đại số ta thường sử dụng 7 hằng đẳng thức đỏng nhớ: 2 2 2 1. (A+ B) = A + 2AB + B 2 2 2 2. (A- B) = A -2AB + B 2 2 3. A - B =(A- B)(A+ B) 3 2 2 2 3 4. (A+ B) = A +3A B +3AB + B 3 3 2 2 3 5. (A- B) = A -3A B +3AB - B 3 3 2 2 6. A + B =(A+ B)(A - AB + B ) 3 3 2 2 7. A - B =(A- B)(A + AB + B )
2. 1. CÁC DẠNG BÀI TOÁN. Dạng 1: Rỳt gọn biểu thức đại số. Phương phỏp giải Đối với biểu thức số: Ta cần nhận xột biểu thức trong căn. Phỏn đoỏn phõn tớch nhanh để đưa ra hướng làm cho loại toỏn: Vận dụng cỏc phộp biến đổi một cỏch hợp lớ và thành thạo. Phõn tớch cỏc biểu thức số, tỡm cỏch để đưa về cỏc số cú căn bậc hai đỳng hoặc đưa về hằng đẳng thức. Luụn chỳ ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phõn tớch. + Sử dụng cỏc phộp biến đổi căn thức như: Nhõn, chia hai căn thức bậc hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức, trục căn thức ở mẫu , Đối với biểu thức chứa chữ: Bước 1: Điều kiện để biểu thức cú nghĩa (căn thức xỏc định, mẫu khỏc khụng, nếu bài túan chưa cho) Bước 2: Phõn tớch cỏc mẫu thành nhõn tử (ỏp dụng thành thạo cỏc phộp biến đổi căn thức). Áp dụng quy tắc đổi dấu một cỏch hợp lớ để làm xuất hiện nhõn tử chung. Thường xuyờn để ý xem mẫu này cú là bội hoặc ước của mẫu khỏc khụng. Bước 3: Tiến hành quy đồng rỳt gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận. Bài tập mẫu Vớ dụ 1: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Thỏi Nguyờn năm học 2018 - 2019) 3+ 5 5 3 5 Khụng sử dụng mỏy tớnh cầm tay, rỳt gọn biểu thức: A = + - 5 + 2 5 -1 3+ 5 Lời giải 3+ 5 5 3 5 Ta cú: A = + - 5 + 2 5 -1 3+ 5 3+ 5 5 -2 5 5 +1 3 5 3- 5 = ( )( ) + ( ) - ( ) ( 5 + 2)( 5 -2) ( 5 -1)( 5 +1) (3- 5)(3+ 5) 20 8 5 5 1 - = - + 4 = 4- 5 Vậy A = 4- 5 Vớ dụ 2: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Lờ Hồng Phong- Nam Định năm học 2018 - 2019) x2 y2 x2 y2 Rỳt gọn biểu thức: P = - - (x + y)(1- y) (x + y)(1+ x) (1+ x)(1- y) Lời giải
3. Điều kiện xỏc định: x ạ -1; y ạ1; x ạ -y 2 2 2 2 x (1+ x)- y (1- y)- x y (x + y) Ta cú: P = (x + y)(1- y)(1+ x) 2 3 2 3 2 2 x + x - y + y - x y (x + y) = (x + y)(1- y)(1+ x) 2 2 2 2 (x + y)(x- y + x - xy + y - x y ) = (x + y)(1- y)(1+ x) 2 (1+ x)(x- y + y (1- x)) = (1- y)(1+ x) 2 2 x- y x- y + y = = x(1+ y)- y = xy + x- y 1- y Vậy P = xy + x- y Vớ dụ 3: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Bắc Ninh năm học 2018 - 2019) ổ 2 2 2 2 ử 4 2 2 ỗa + a -b a- a -b ữ 4 a -a b Rỳt gọn biểu thức: P =ỗ - ữ: 2 với a > b > 0 ỗ 2 2 2 2 ữ b ốỗ a- a -b a + a -b ứữ Lời giải Với a > b > 0 ta cú: ổ 2 2 2 2 ử 4 2 2 ỗa + a -b a- a -b ữ 4 a -a b P =ỗ - ữ: 2 ỗ 2 2 2 2 ữ b ốỗ a- a -b a + a -b ứữ 2 2 2 2 2 2 a + a -b - a- a -b b2 = ( ) ( ) . a2 a2 b2 2 2 2 -( - ) 4 a (a -b ) 2 2 2 2 2 2 2 2 (a + a -b -a + a -b )(a + a -b + a- a -b ) b2 = 2 . b 2 2 2 4 a (a -b ) 2 2 2 a -b .2a = 2 2 4 a a -b a = a Do vậy P = 1 nếu a > 0 và P = -1 nếu a < 0 Vớ dụ 4: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Nguyễn Trói- Hải Dương năm học 2018 - 2019) 1+ ax 1 -bx 1 2a -b Rỳt gọn biểu thức: với x = và 0 < a < b < 2a 1 -ax 1+bx a b Lời giải
4. b + 2a-b b - 2a-b Ta cú: 1+ ax = ,1-ax = b b 1+ ax b + 2a-b Suy ra: = 1-ax b - 2a-b 1 -bx a- b(2a-b) Tương tự ta được: = 1+bx a + b(2a-b) b + 2a-b a- b(2a-b) Từ đú, Q = . b - 2a-b a + b(2a-b) b + 2a-b Do 0 0 b - 2a-b 2 ổ b + 2a-b ử a- b(2a-b) Do vậy Q ỗ ữ . = ỗ ữ ốỗ b - 2a-b ứữ a + b(2a-b) Thu gọn ta được Q = 1. Vậy Q = 1. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, tớnh giỏ trị biểu thức biết điều kiện cho trước. Phương phỏp giải Sử dụng cỏc điều kiện cho trước để biến đổi vế trỏi về vế phải hoặc vế phải về vế trỏi hoặc biến đổi cả hai vế về biểu thức trung gian. Bài tập mẫu Vớ dụ 1: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Đại học Sư phạm Hà Nội năm học 2018 - 2019) Cỏc số thực khụng õm x, y thỏa món (x +1)(y +1)= 2 2 2 2 2 Tớnh giỏ trị của biểu thức: P = x + y - 2(x +1)(y +1) + 2 + xy Lời giải Đặt S = x + y và T = xy. Từ giả thuyết ta cú S + T = 1 2 2 2 2 2 2 2 Suy ra x + y - 2 x +1 y +1 + 2 = S -2T + 2- 2 ộ 1-T + S ự ( )( ) ởờ( ) ỷỳ 2 2 2 = S -2(1-S)+ 2- 2(S + S ) 2 = S Từ đú ta cú P = S + T = 1 Vậy P = 1. Vớ dụ 2: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Toỏn TP.Hà Nội năm học 2018 - 2019) Với x, y, z là cỏc số thực thỏa món xyz = 1
5. 1 1 1 Chứng minh: + + =1 xy + x +1 yz + y +1 zx + z +1 Lời giải Do xyz = 1 nờn ta cú: 1 1 1 1 x xy + + = + + 2 xy + x +1 yz + y +1 zx + z +1 xy + x +1 xyz + xy + x x yz + xyz + xy 1 x xy = + + xy + x +1 1+ xy + x x +1+ xy =1 1 1 1 Vậy + + =1 xy + x +1 yz + y +1 zx + z +1 Vớ dụ 3: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Hựng Vương Phỳ Thọ năm học 2018 - 2019) 1 1 1 Cho a, b, c là ba số thực đụi một khỏc nhau thỏa món a b c x x + b = + c = + a = ( ẻ ) Tớnh P = xabc Lời giải 1 1 b c Ta cú: a b a b - + b = + c Û - = bc c a a b Tương tự b c - ;c a - - = ca - = ab Nhõn vế với vế của ba hệ thức trờn, với chỳ ý a, b, c đụi một khỏc nhau ta thu được 2 2 2 a b c =1Û abc =1 hoặc abc = -1 Nếu abc = 1 thỡ giả thuyết sẽ tương đương với a + ac = b + ba = c + cb = x Suy ra: 3 x = abc(a +1)(b +1)(c +1)= abc + ab +bc +ca + a +b +c +1= ab +bc +ca + a +b +c + 2 Mặt khỏc a + ac = b +ba = c +cb = x ị 3x = a +b +c + ab +bc +ca 3 Suy ra x = 3x + 2 nờn x = 2 hoặc x = -1 Từ đú P nhận hai giỏ trị là 2 hoặc -1 Tương tự với trường hợp abc = -1 ta cũng cú hai giỏ trị của P vẫn là 2 hoặc -1 . Vớ dụ 4: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Nguyễn Trói- Hải Dương năm học 2017 - 2018) Cho ba số x, y, z đụi một khỏc nhau và thỏa món điều kiện x + y + z = 0 2018(x- y)(y - z)(z - x) Tớnh giỏ trị của biểu thức: P = 2 2 2 2xy + 2yz + 2zx +3xyz Lời giải 2 2 2 Ta cú: x + y + z = 0 ị(x + y + z)(x + y + z - xy - yz - xz)+3xyz = 3xyz 3 3 3 ị x + y + z = 3xyz
6. (x- y)(y - z)(z - x) P = 2018. 2 2 2 2xy + 2yz + 2zx +3xyz 2 2 2 2 2 2 xy + yz + zx - x y - y z - z x P = 2018. 2 2 2 3 3 3 2 2 2 xy + yz + zx + x + y + z + xy + yz + zx 2 2 2 2 2 2 xy + yz + zx - x y - y z - z x = 2018. 2 2 2 2 2 2 xy + yz + zx + y (x + y)+ x (x + z)+ z (z + y) 2 2 2 2 2 2 xy + yz + zx - x y - y z - z x = 2018. 2 2 2 2 2 2 xy + yz + zx - x y - y z - z x = 2018 (do x + y = -z, y + z = -x, z + x = -y ) Vậy P = 2018 Dạng 3: Giỏ trị lớn nhất giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức đại số Phương phỏp giải 2 2 2 Phương phỏp 1: Áp dụng hằng đẳng thức: đểA ±biến2A đổiB + biểuB = thức(A± đưaB) về dạng: 2 A m ộ f x ự m suy ra min A m khi f x 0 = + ở ( )ỷ ³ = ( )= 2 B n ộ f x ự n suy ra max B n khi f x 0 = -ở ( )ỷ ³ = ( )= Phương phỏp 2: Áp dụng tớnh chất: x + y ³ x + y x - y Ê x- y Để tỡm GTNN hay GTLN thỡ dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x, y ³ 0 Chỳ ý: Khi sử dụng phương phỏp này cần lưu ý cỏc trường hợp sau: 1. Nếu y = x-a + x-b với a < b thỡ min y = b-a khi a Ê x Ê b b c 2. Nếu y ax b ax c với b < c thỡ min y c b khi x = - + - = - a Ê Ê a c b 3. Nếu y ax b ax c với b < c thỡ min y c b khi x = + + + = - a Ê Ê a Phương phỏp 3: Áp dụng bất đẳng thức: a - b Ê a-b "a ³ b ³ 0 a + b ³ a +b "a,b ³ 0 Để tỡm GTLN dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi b(a-b)= 0 Û b = 0 hay a = b ộa = 0 Để tỡm GTNN dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab 0 ờ = Û b 0 ởờ = Phương phỏp 4: Áp dụng bất đẳng thức Cụ si:
7. Với a ³ 0,b ³ 0 ta cú: a +b ³ 2 ab Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b. Từ bất đẳng thức trờn ta cú: Nếu ab = k (khụng đổi) thỡ min(a +b)= 2 k Û a = b k 2 Nếu a + b = k (khụng đổi) thỡ max a.b a b ( )= 4 Û = Mở rộng: Bất đẳng thức Cụ si cho n số khụng õm: n a1 + a2 + a3 + + an ³ n a1a2a3 an Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = = an Từ bất đẳng thức Cụ si mở rộng ta cú: Nếu a1a2a3a4 an = k (khụng đổi) thỡ min a a a a n n k a a a a ( 1 + 2 + 3 + + n )= Û 1 = 2 = 3 = = n Nếu a1 + a2 + a3 + + an = k (khụng đổi) thỡ k n max a a a a a ổ ử a a a a ( 1 2 3 4 n )=ỗ ữ Û 1 = 2 = 3 = = n ốỗnứữ Phương phỏp 5: Áp dụng bất đẳng thức Bu –nhi- a- cốp- xki 2 2 2 2 2 Với a,b, x, y ẻ ;(a +b )(x + y )³(ax +by) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ay = bx. Bài tập mẫu Vớ dụ 1: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Đại học Sư Phạm Hà Nội năm học 2018 - 2019) Cỏc số khụng õm x, y, z thay đổi thỏa món điều kiện: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x + y + z + x y + y z + z x = 6 Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x + y + z Lời giải Gớa trị lớn nhất của Q Áp dụng bất đẳng thức Cụ si ta cú: 2 2 2 2 2 2 x y +1³ 2xy; y z +1³ 2yz; z x +1³ 2zx 2 2 2 Cộng cỏc bất đẳng thức trờn lại theo vế, sau đú cộng hai vế của bất đẳng thức thu được với x + y + z ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (x + y + z) Ê x + y + z + x y + y z + z x +3 = 9 Từ đú suy ra Q Ê 3 Mặt khỏc dễ thấy dấu bất đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 nờn ta cú kết luận maxQ = 3.
8. Gớa trị nhỏ nhất của Q. Áp dụng bất đẳng thức Cụ si ta cú: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2xy + x y Ê x + y + x y Ê x + y + z + x y + y z + z x = 6 Từ đú suy ra xy Ê 7 -1< 2 Chứng minh tương tự ta cũng cú: yz < 2, zx < 2 Do đú, ta cú: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Q = x + y + z + 2xy + 2yz + 2zx ³ x + y + z + x y + y z + z x = 6 hay Q ³ 6 Vậy min Q = 6 khi x = 6, y = z = 0 Vớ dụ 2: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Toỏn TP. Hà Nội năm học 2018 - 2019) 1 1 1 Với x, y, z là cỏc thực dương thay đổi và thỏa món: 3 x + y + z = Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 P = 2 2 + 2 2 + 2 2 2x + y +3 2y + z +3 2z + x +3 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cụ si ta cú: 1 1 1 2 2 = 2 2 Ê 2x + y +3 2(x +1)+(y +1) 2(2x + y) 3 1 3 1 ổ 1 1ử . . ỗ ữ = Ê ỗ + ữ 2 3(2x + y) 2 2ốỗ2x + y 3ứữ Áp dụng bất đẳng thức Cụ si ta cú: 4 1 9 1 1ổ2 1ử + ³ ị Ê ỗ + ữ 2x y 2x + y 2x + y 9ốỗ x yứữ 1 6 ổ2 1 ử Suy ra: ỗ 3ữ 2 2 Ê ỗ + + ữ 2x + y +3 36 ốỗ x y ữứ Tương tự ta cũng cú: 1 6 ổ 2 1 ử 1 6 ổ2 1 ử Ê ỗ + +3ữ, Ê ỗ + +3ữ 2 2 ỗ ữ 2 2 ỗ ữ 2y + z +3 36 ốỗ y z ứữ 2z + x +3 36 ốỗ z x ứ 1 1 1 6 Cộng cỏc bất đẳng thức trờn lại theo vế với vế với chỳ ý 3 ta được P x + y + z = Ê 2 6 Mặt khỏc dễ thấy dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 nờn ta cú kết luận: max P = 2 Vớ dụ 3: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Khoa học tự nhiờn năm học 2017 - 2018 vũng 1)
9. Cho a, b > 0. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 M a b ổ ữử =( + )ỗ 3 + 3 ữ- ốỗa +b a +b ứữ ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bu- nhi- a- cốp- xki ta cú: 3 ổ1 ử 2 a +b ỗ +bữ³(a +b) ; ( )ốỗa ứữ 3 ổ1 ử 2 b + a ỗ + aữ³(a +b) ( )ốỗb ứữ 1 1 1 1 a b a b 1 1 + + a + b + + a + b 1 Suy ra 3 + 3 Ê 2 hay M Ê - =1 a +b b + a (a +b) a +b ab Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. Vậy giỏ trị lớn nhất của M là M = 1 xảy ra khi a = b = 1. Vớ dụ 4: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Bắc Ninh năm học 2018 - 2019) Cho cỏc số thực a, b, c thỏa món điều kiện 0 Ê a,b,c Ê 2 và a + b + c = 3 Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức. 2 2 2 a +b +c P = ab +bc +ca Lời giải 2 2 2 2 2 2 Do (a-b) +(b-c) +(c-a) ³ 0 với mọi a, b, c suy ra a +b +c ³ ab +bc +ca Từ đú ta cú: 2 2 2 a +b +c ab +bc +ca P = ³ =1 ab +bc +ca ab +bc +ca Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Vậy minP = 1. Do 0 Ê a,b,c Ê 2 nờn (a -2)(b -2)(c -2)Ê 0 Û abc -2(ab +bc +ca)+ 4(a +b +c) -8 Ê 0 Û 2(ab +bc +ca)³ 4+ abc ³ 4 ab bc ca  2 2 2 2 a +b +c 9 9 5 Từ đú, P = = -2 Ê -2 = ab +bc +ca ab +bc +ca 2 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2,b =1,c = 0 5 Vậy max P = 2
10. 2. BÀI TẬP TỰ UYỆN Cõu 1: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Bắc Giang năm học 2018 - 2019) ổ x + 4 x + 4 x + x ử ổ 1 1 ử Cho biểu thức A ỗ ữ:ỗ ữ (với x 0; x 1 ) =ỗ + ữ ỗ - ữ > ạ ốỗ x + x -2 1- x ứữ ốỗ x +1 x -1ứữ a) Rỳt gọn biểu thức A. 1+ 2018 b) Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của x để A ³ ? 2018 Cõu 2: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Sư Phạm Hà Nội năm học 2017 - 2018 vũng 1) 2 3 b a a 2b 3 2 2 - - - ổa a ab a b b ử Cho biểu thức P a :ỗ + + + ữ = ỗ 2 2 + ữ ổ 1 b ử ỗ a b a bữ ỗ1 ữ a a b ố - - ứ ỗ - + 2 ữ + + ốỗ a a ứữ( ) 2 với a > 0,b > 0,a ạ b,a +b ạ a . a) Chứng minh P = a-b 3 3 b) Tỡm a, b biết rằng P = 1 và a -b = 7 Cõu 3: (Đề thi vào lớp 10 Bắc Ninh năm học 2017 - 2018 ) 3 2x-3 x -2 x - x + 2x-2 Cho cỏc biểu thức P = và Q = với x ³ 0, x ạ 4 x -2 x + 2 a) Rỳt gọn biểu thức P và Q. b) Tỡm tất cả giỏ trị của x để P = Q. Cõu 4: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Ninh Bỡnh năm học 2017 - 2018) 3 a a +1 5 a + 2 Cho P = + + (a ³ 0,a ạ 4) a + 2 a -2 4-a a) Rỳt gọn biểu thức P. 84 84 b) Tớnh giỏ trị của biểu thức P khi a 3 1 3 1 = + 9 + - 9 Cõu 5: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Đại học Sư phạm Hà Nội năm học 2018 - 2019 vũng 1) 2x - x +1 2 x 1 Cho biểu thức: P = . - với x > 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 ( + ) + +( - ) - - x-1 x +1 a) Rỳt gọn biểu thức P b) Tỡm x để P = x-1 Cõu 6: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Lờ Qỳy Đụn Bỡnh Định năm học 2018 - 2019 vũng 1) a -3ổ3 a +6 a ử Cho biểu thức với T ỗ ữ , với a 0;a 4;a 9 . = ỗ + ữ ³ ạ ạ a-9 ốỗ a-4 a -2ứữ
11. a) Rỳt gọn T. b) Xỏc định cỏc giỏ trị của a để T > 0 Cõu 7: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Bắc Ninh năm học 2017 - 2018) a b c Cho a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món b = c = a 4a +6b + 2017c Tớnh giỏ trị của biểu thức: P = 4a-6b + 2017c Cõu 8: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Thỏi Bỡnh năm học 2017 - 2018) Cho 3 số thực x, y, z thỏa món điều kiện: x + y + z = 0 và xyz ạ 0 x2 y2 z2 Tớnh giỏ trị của biểu thức: P = 2 2 2 + 2 2 2 + 2 2 2 y + z - x z + x - y x + y - z Cõu 9: (Đề thi vào lớp 1 Chuyờn Hựng Vương Phỳ Thọ năm học 2017 - 2018) 2 2 2 Cho ba số a, b, c đụi một khỏc nhau thỏa món a +b = b +c = c + a Tớnh gỏi trị của biểu thức: T =(a +b-1)(b +c-1)(c + a-1) Cõu 10: (Đề thi vào lớp 1 Chuyờn Hựng Vương Phỳ Thọ năm học 2018 - 2019) 1 1 1 Cho x, y là cỏc số thực dương thỏa món x y z 9 và 1 + + = x + y + z = 3 3 3 Tớnh giỏt trị nhỏ nhất của biểu thức: T = x + y + z +3xyz Cõu 11: (Đề thi vào lớp 1 Chuyờn Hựng Vương Phỳ Thọ năm học 2018 - 2019) 2 2 Cho x, y,z thỏa món điều kiện (x + 1+ x )(y + 1+ y ) = 2018 Tớnh giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x + y Cõu 12: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Thỏi Bỡnh năm học 2018- 2019) Cho cỏc số thực dương a, b, c thỏa món a +b +c Ê 3 2 2 2 a +6a +3 b +6b +3 c +6c +3 Tớnh giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 2 + 2 + 2 a + a b +b c +c Cõu 13: (Đề thi vào lớp 10 Chuyờn Ninh Bỡnh năm học 2017 - 2018) Cho cỏc số thực dương a, b, c thỏa món điều kiện a +b +c = 2018 a b c Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: P = + + a + 2018a +bc b + 2018b +ca c + 2018c + ab Gợi ý giải Cõu 1: a) Với x > 0, x ạ1 ta cú ổ x + 4 x + 4 x + x ử ổ 1 1 ử A ỗ ữ:ỗ ữ =ỗ + ữ ỗ - ữ ốỗ x + x -2 1- x ứữ ốỗ x +1 1- x ứữ
12. 2 ổ x 2 x x 1 ử ỗ + + ữ 2 x ỗ ( ) ( ) ữ: - =ỗ + ữ ỗ x -1 x + 2 1- x 1+ x ữ 1- x ốỗ( )( ) ( )( )ứữ ổ x + 2 x ử 1- x ỗ ữ. =ỗ - ữ ốỗ x -1 x -1ứữ -2 x x +1 = x x +1 Vậy A = x 1+ 2018 x +1 1+ 2018 1 1 b) A ³ Û ³ Û ³ Û 0 0,b > 0,a ạ b,a +b ạ a ta cú: 2 3 b a a 2b 3 2 2 - - - ổa a ab a b b ử P a :ỗ + + + ữ = ỗ 2 2 + ữ ổ 1 b ử ỗ a b a bữ ỗ1 ữ a a b ố - - ứ ỗ - + 2 ữ + + ốỗ a a ứữ( ) 2 3 b a a 2b 2 - - - ổ a + a + a +b b ử a :ỗ( ) ( ) ữ = ỗ 2 2 + ữ ổ a b ử ỗ a b a bữ ỗ1 + ữ a a b ốỗ - - ữứ ỗ - 2 ữ + + ốỗ a ứữ( ) a4 a2 2ab b2 ổa2 a bử - - - :ỗ + + ữ = ỗ ữ (a- a +b)(a + a +b) ốỗ a-b ứữ 4 2 a -(a +b) a-b = 2 . 2 a -(a +b) a + a +b 2 a-b = a + a +b . 2 ( ) a + a +b = a-b Vậy ta cú điều phải chứng minh. 3 3 b) Khi P = 1 và a -b = 7 ta cú hệ phương trỡnh: ùỡa = b +1 ỡa-b =1 ỡa-b =1 ùỡa = b +1 ù ù ù ù ù b 1 ớ 3 3 Û ớ 2 2 Û ớ 2 2 Û ớộ = ùa -b = 7 ùa + ab +b = 7 ù b 1 b 1 b b 7 ùờ ợù ợù ợù( + ) +( + ) + = ùờb 2 ợùở = - Do a,b > 0 nờn ta chọn nghiệm (a;b)=(2;1) Cõu 3:
13. 2x 4 x x 2 2x-3 x -2 - + - a) Với x ³ 0, x ạ 4 ta cú: P = = ( ) = 2 x +1 x -2 x -2 (x x + 2x)- x -2 Q = = x-1 x + 2 2 b) Ta cú P = Q Û x-2 x -2 = 0 Û ( x -1) = 3 ộ x =1+ 3 Û ờ Û x = 4+ 2 3 ờ x 1 3 vụ nghiờm ởờ = - ( ) Cõu 4: a) Với a ³ 0, x ạ 4 ta cú: 3 a a +1 5 a + 2 P = + + a + 2 a -2 4-a 3 a a -2 + a +1 a + 2 - 5 a + 2 = ( ) ( )( ) ( ) ( a + 2)( a -2) 4a-8 a = ( a + 2)( a -2) 4 a = a + 2 84 84 b) Ta cú: a 3 1 3 1 = + 9 + - 9 3 ổ 84 ửổ 84 ử a 2 33 ỗ1 ữỗ1 ữa ị = + ỗ + ữỗ - ữ ốỗ 9 ứữốỗ 9 ứữ 3 hay a = 2-a Phương trỡnh này cho ta nghiệm duy nhất a = 1. 4 Thay a = 1 (thỏa món điều kiện) vào P ta được P = 3 Cõu 5: a) Với x > 1 ta cú: 2x- (x +1)(x-1) 2 x-1 P = 3 3 . x 1 x 1 ( x +1) +( x-1) + - - (x +1)(x-1)
14. 2 2x- (x +1)(x-1) x +1 = .( ) ( x +1+ x-1)(x +1+ x-1- (x +1)(x-1)) x +1- x-1 2 2x- (x +1)(x-1) x +1 = ( ) ( x +1+ x-1)( x +1- x-1)(2x- (x +1)(x-1)) 2 x +1 = (x +1)-(x-1) = x +1 Vậy P = x +1 2 b) Để P = x-1 thỡ x +1 = x-1Û x +1= x -2x +1(do x > 1) 2 ộx = 0 x 3x 0 ờ Û - = Û x 3 ởờ = Vậy x = 3 thỏa món Cõu 6: a -3ổ3 a +6 a ử a) Ta cú: T ỗ ữ = ỗ + ữ a-9 ốỗ a-4 a -2ứữ a 3 ộ 3 a 2 ự ( - ) ờ ( + ) a ỳ = ờ + ỳ a -3 a +3 ờ a -2 a + 2 a -2ỳ ( )( ) ởờ( )( ) ỷỳ 1 a +3 1 = = a +3 a -2 a -2 1 b) T > 0 Û > 0 Û a -2 > 0 Û a > 4 a -2 Kết hợp với điều kiện suy ra a > 4 và a ạ 9 thỡ T > 0 Cõu 7: a b c a +b +c Ta cú: = = = =1 b c a b +c + a 2027 a b c P ị = = ị = 2015 Cõu 8: x2 x2 x2 x2 x2 Ta cú: 2 2 2 = 2 = 2 = = y + z - x (y - x)(y + z)+ z (y - x)(-z)+ z z(x + y + z)-2zy -2zy y2 y2 z2 z2 Tương tự, ta cũng cú: 2 2 2 = , 2 2 2 = z + x - y -2xz x + y - z -2xy
15. 3 3 3 3 3 3 -1ổ x + y + z ử -1ổ x + y + z -3xyz ử Do đú: P = ỗ ữ= ỗ +3ữ 2 ốỗ xyz ứữ 2 ốỗ xyz ứữ 2 2 2 1 ộ x + y + z x + y + z - xy - yz - zx ự 3 - ờ( )( ) 3ỳ - = 2 ờ xyz + ỳ = 2 ởờ ỷỳ Cõu 9: 2 2 2 2 c-a Ta cú: a +b = b +c Û a -b = c-b ị(a-b)(a +b-1)= c-a ị a +b-1= a-b Tương tự ta cũng cú: a-b b-c b +c-1= ;c + a-1= b-c c-a c-a a-b b-c Do đú: T = . . =1 a-b b-c c-a Cõu 10 Áp dụng bất đẳng thức Cụ si ta cú: 1 1 1 9 + + ³ =1 x y z x + y + z Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3. Khi đú T = 162 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của T là T = 162. Cõu 11: 2 2 Từ giả thuyết (x + 1+ x )(y + 1+ y ) = 2018 suy ra 2018 x 1 x2 2018 1 y2 y + + = 2 = + - y + 1+ y ( ) 2018 Tương tự y 1 y2 2018 1 x2 x + + = 2 = + - x + 1+ x ( ) 2 2 Cộng vế theo vế ta được 2019(x + y)= 2017( 1+ x + 1+ y ) Xột: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1+ x + 1+ y ) = 2+ x + y + 2 (1+ x )(1+ y ) ³ 2+ x + y + 2(1+ xy)= 4+(x + y) 2 Từ đú suy ra: 2019(x + y)³ 2017 4+(x + y) 2 ị 2019P ³ 2017 4+ P 2017 ị P ³ 2018
16. 2017 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2 2018 2017 2017 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là P = khi x = y = 2018 2 2018 Cõu 12: ổ1 1 1ử 3 1 Ta cú với mọi x, y, z > 0 :(x + y + z)ỗ + + ữ³ 9 xyz.3 ốỗ x y zứữ xyz 1 1 1 9 ị + + ³ x y z x + y + z Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z. 2 a2 a 3a 3 2a a +6a +3 ( + )+( + )+ 3 2 Ta cú 2 = 2 =1+ + a + a a + a a a +1 1 1 1 1 1 1 Do đú: M 3 3ổ ử 2ổ ử = + ỗ + + ữ+ ỗ + + ữ ốỗa b cứữ ốỗa +1 b +1 c +1ứữ 27 18 ³ 3+ + ³15 a +b +c a +b +c +3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy Mmin = 15 đạt giỏ được khi a = b = c = 1. Cõu 13: Áp dụng bất đẳng thức Bu- nhi- a- cốp- xki ta cú: a a a a a = 2 = Ê = a + 2018a +bc a + a + ab + ac +bc a + (a +b)(a +c) a + ab + ac a + b + c Chứng minh tương tự ta cú: b b c c Ê ; Ê b + 2018b +ca a + b + c c + 2018c + ab a + b + c Cộng vế với vế của cỏc bất dẳng thức trờn ta được P Ê1 2018 Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c = = = 3 Vậy giỏ trị lớn nhất của P bằng 1.