Phương pháp giải bài tập hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp

Nội dung text: Phương pháp giải bài tập hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp

1. CHUYấN ĐỀ: HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP A. TểM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Hoỏn vị Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phõn biệt (n ³ 0). Mỗi cỏch sắp xếp n phần tử của X theo một thứ tự nào đú được gọi là một hoỏn vị của n phần tử. Số cỏc hoỏn vị của n phần tử được ký hiệu là Pn. Pn = n! = 1.2 n . Quy ước: 0! = 1. Vớ dụ 1. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế cú 5 chỗ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch. Giải Mỗi cỏch đổi chỗ 1 trong 5 người trờn băng ghế là 1 hoỏn vị. Vậy cú P5 = 5! = 120 cỏch sắp. Vớ dụ 2. Từ cỏc chữ số 0, 1, 2, 3, 4 cú thể lập được mấy số tự nhiờn cú 5 chữ số khỏc nhau. Giải Gọi A = a1a2a3a4a5 với a1 ạ 0 và a1, a2, a3, a4, a5 phõn biệt là số cần lập. + Bước 1: chữ số a1 ạ 0 nờn cú 4 cỏch chọn a1. + Bước 2: sắp 4 chữ số cũn lại vào 4 vị trớ cú 4! = 24 cỏch. Vậy cú 4.24 = 96 số. 2. Chỉnh hợp Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phõn biệt (n ³ 0). Mỗi cỏch chọn ra k (0 Ê k Ê n) phần tử của X và sắp xếp theo một thứ tự nào đú được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số cỏc chỉnh hợp chập k k của n phần tử được ký hiệu là A n . n! A k = . n (n - k)! Nhận xột: n A n = n! = Pn . Vớ dụ 3. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế cú 7 chỗ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch. Giải Mỗi cỏch chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế để sắp 5 người vào và cú hoỏn vị là một chỉnh hợp chập 5 của 7. 7! Vậy cú A 5 = = 2520 cỏch sắp. 7 (7 - 5)! Vớ dụ 4. Từ tập hợp X = {0; 1; 2; 3; 4; 5} cú thể lập được mấy số tự nhiờn cú 4 chữ số khỏc nhau. Giải Gọi A = a1a2a3a4 với a1 ạ 0 và a1, a2, a3, a4 phõn biệt là số cần lập. + Bước 1: chữ số a1 ạ 0 nờn cú 5 cỏch chọn a1. 3 + Bước 2: chọn 3 trong 5 chữ số cũn lại để sắp vào 3 vị trớ A 5 cỏch. 3 Vậy cú 5A 5 = 300 số. 3. Tổ hợp Định nghĩa
2. Cho tập hợp X gồm n phần tử phõn biệt (n ³ 0). Mỗi cỏch chọn ra k (0 Ê k Ê n) phần tử của X được k gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số cỏc tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là Cn . n! Ck = . n k !(n - k)! Vớ dụ 5. Cú 10 cuốn sỏch toỏn khỏc nhau. Chọn ra 4 cuốn, hỏi cú bao nhiờu cỏch. Giải Mỗi cỏch chọn ra 4 trong 10 cuốn sỏch là một tổ hợp chập 4 của 10. 4 Vậy cú C10 = 210 cỏch chọn. Vớ dụ 6. Một nhúm cú 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đú cú ớt nhất 1 nữ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch. Giải + Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam. - Bước 1: chọn ra 1 trong 3 nữ cú 3 cỏch. 2 - Bước 2: chọn ra 2 trong 5 nam cú C5 . 2 Suy ra cú 3C5 cỏch chọn. + Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam. 2 - Bước 1: chọn ra 2 trong 3 nữ cú C3 cỏch. - Bước 2: chọn ra 1 trong 5 nam cú 5. 2 Suy ra cú 5C3 cỏch chọn. + Trường hợp 3: chọn 3 nữ cú 1 cỏch. 2 2 Vậy cú 3C5 + 5C3 + 1 = 46 cỏch chọn. Vớ dụ 7. Hỏi cú thể lập được bao nhiờu số tự nhiờn cú 4 chữ số sao cho trong mỗi số đú, chữ số hàng ngàn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị. Giải Gọi A = a1a2a3a4 với 9 ³ a1 > a2 > a3 > a4 ³ 0 là số cần lập. X = {0; 1; 2; ; 8; 9} . Từ 10 phần tử của X ta chọn ra 4 phần tử bất kỳ thỡ chỉ lập được 1 số A. Nghĩa là khụng cú hoỏn vị hay là một tổ hợp chập 4 của 10. 4 Vậy cú C10 = 210 số. Nhận xột: i) Điều kiện để xảy ra hoỏn vị, chỉnh hợp và tổ hợp là n phần tử phải phõn biệt. ii) Chỉnh hợp và tổ hợp khỏc nhau ở chỗ là sau khi chọn ra k trong n phần tử thỡ chỉnh hợp cú sắp thứ tự cũn tổ hợp thỡ khụng. 4. Phương phỏp giải toỏn 4.1. Phương phỏp 1 Bước 1. Đọc kỹ cỏc yờu cầu và số liệu của đề bài. Phõn bài toỏn ra cỏc trường hợp, trong mỗi trường hợp lại phõn thành cỏc giai đoạn. Bước 2. Tựy từng giai đoạn cụ thể và giả thiết bài toỏn để sử dụng quy tắc cộng, nhõn, hoỏn vị, chỉnh hợp hay tổ hợp. Bước 3. Đỏp ỏn là tổng kết quả của cỏc trường hợp trờn.
3. Vớ dụ 8. Một nhúm cụng nhõn gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhúm ra 5 người để lập thành một tổ cụng tỏc sao cho phải cú 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phú nam và cú ớt nhất 1 nữ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch lập tổ cụng tỏc. Giải + Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam. - Bước 1: chọn 1 trong 5 nữ cú 5 cỏch. 2 - Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phú cú A15 cỏch. 2 - Bước 3: chọn 2 trong 13 nam cũn lại cú C13 cỏch. 2 2 Suy ra cú 5A15.C13 cỏch chọn cho trường hợp 1. + Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam. 2 - Bước 1: chọn 2 trong 5 nữ cú C5 cỏch. 2 - Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phú cú A15 cỏch. - Bước 3: chọn 1 trong 13 nam cũn lại cú 13 cỏch. 2 2 Suy ra cú 13A15.C5 cỏch chọn cho trường hợp 2. + Trường hợp 3: chọn 3 nữ và 2 nam. 3 - Bước 1: chọn 3 trong 5 nữ cú C5 cỏch. 2 - Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phú cú A15 cỏch. 2 3 Suy ra cú A15.C5 cỏch chọn cho trường hợp 3. 2 2 2 2 2 3 Vậy cú 5A15.C13 + 13A15.C5 + A15.C5 = 111300 cỏch. Cỏch khỏc: 2 + Bước 1: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phú cú A15 cỏch. + Bước 2: chọn 3 tổ viờn, trong đú cú nữ. 2 - Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam cú 5.C13 cỏch. 2 - Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam cú 13.C5 cỏch. 3 - Trường hợp 3: chọn 3 nữ cú C5 cỏch. 2 2 2 3 Vậy cú A15 (5.C13 + 13.C5 + C5 ) = 111300 cỏch. 4.2. Phương phỏp 2. Đối với nhiều bài toỏn, phương phỏp 1 rất dài. Do đú ta sử dụng phương phỏp loại trừ (phần bự) theo phộp toỏn A U A = X ị A = X \ A . Bước 1. Chia yờu cầu của đề thành 2 phần là yờu cầu chung X (tổng quỏt) gọi là loại 1 và yờu cầu riờng A. Xột A là phủ định của A, nghĩa là khụng thỏa yờu cầu riờng gọi là loại 2. Bước 2. Tớnh số cỏch chọn loại 1 và loại 2. Bước 3. Đỏp ỏn là số cỏch chọn loại 1 trừ số cỏch chọn loại 2. Chỳ ý: Cỏch phõn loại 1 và loại 2 cú tớnh tương đối, phụ thuộc vào chủ quan của người giải. Vớ dụ 9. Từ cỏc chữ số 0, 1, 2, 3, 4 cú thể lập được mấy số tự nhiờn cú 5 chữ số khỏc nhau. Giải + Loại 1: chữ số a1 tựy ý, ta cú 5! = 120 số. + Loại 2: chữ số a1 = 0, ta cú 4! = 24 số. Vậy cú 120 – 24 = 96 số. Vớ dụ 10. Một nhúm cú 7 nam và 6 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đú cú ớt nhất 1 nữ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch. Giải
4. 3 + Loại 1: chọn 3 người tựy ý trong 13 người cú C13 cỏch. 3 + Loại 2: chọn 3 nam (khụng cú nữ) trong 7 nam cú C7 cỏch. 3 3 Vậy cú C13 - C7 = 251 cỏch chọn. Vớ dụ 11. Từ 20 cõu hỏi trắc nghiệm gồm 9 cõu dễ, 7 cõu trung bỡnh và 4 cõu khú người ta chọn ra 10 cõu để làm đề kiểm tra sao cho phải cú đủ cả 3 loại dễ, trung bỡnh và khú. Hỏi cú thể lập được bao nhiờu đề kiểm tra. Giải 10 + Loại 1: chọn 10 cõu tựy ý trong 20 cõu cú C20 cỏch. + Loại 2: chọn 10 cõu cú khụng quỏ 2 trong 3 loại dễ, trung bỡnh và khú. 10 - Trường hợp 1: chọn 10 cõu dễ và trung bỡnh trong 16 cõu cú C16 cỏch. 10 - Trường hợp 2: chọn 10 cõu dễ và khú trong 13 cõu cú C13 cỏch. 10 - Trường hợp 3: chọn 10 cõu trung bỡnh và khú trong 11 cõu cú C11 cỏch. 10 10 10 10 Vậy cú C20 - (C16 + C13 + C11 ) = 176451 đề kiểm tra. Chỳ ý: Giải bằng phương phỏp phần bự cú ưu điểm là ngắn tuy nhiờn nhược điểm là thường sai sút khi tớnh số lượng từng loại. Vớ dụ 12. Từ 20 cõu hỏi trắc nghiệm gồm 9 cõu dễ, 7 cõu trung bỡnh và 4 cõu khú người ta chọn ra 7 cõu để làm đề kiểm tra sao cho phải cú đủ cả 3 loại dễ, trung bỡnh và khú. Hỏi cú thể lập được bao nhiờu đề kiểm tra. Cỏch giải sai: 7 + Loại 1: chọn 7 cõu tựy ý trong 20 cõu cú C20 cỏch. + Loại 2: chọn 7 cõu khụng thỏa yờu cầu. 7 - Trường hợp 1: chọn 7 cõu dễ trong 9 cõu cú C9 cỏch. - Trường hợp 2: chọn 7 cõu trung bỡnh cú 1 cỏch. 7 - Trường hợp 3: chọn 7 cõu dễ và trung bỡnh trong 16 cõu cú C16 cỏch. 7 - Trường hợp 4: chọn 7 cõu dễ và khú trong 13 cõu cú C13 cỏch. 7 - Trường hợp 5: chọn 7 cõu trung bỡnh và khú trong 11 cõu cú C11 cỏch. 7 7 7 7 7 Vậy cú C20 - (1 + C9 + C16 + C13 + C11 ) = 63997 đề kiểm tra! Sai sút trong cỏch tớnh số đề loại 2. Chẳng hạn, khi tớnh số đề trong trường hợp 3 ta đó tớnh lặp lại trường hợp 1 và trường hợp 2. Cỏch giải sai khỏc: 7 + Loại 1: chọn 7 cõu tựy ý trong 20 cõu cú C20 cỏch. + Loại 2: chọn 7 cõu khụng thỏa yờu cầu. 7 - Trường hợp 1: chọn 7 cõu dễ hoặc trung bỡnh trong 16 cõu cú C16 cỏch. 7 - Trường hợp 2: chọn 7 cõu dễ hoặc khú trong 13 cõu cú C13 cỏch. 7 - Trường hợp 3: chọn 7 cõu trung bỡnh hoặc khú trong 11 cõu cú C11 cỏch. 7 7 7 7 Vậy cú C20 - (C16 + C13 + C11 ) = 64034 đề kiểm tra. Sai sút do ta đó tớnh lặp lại số cỏch chọn đề chỉ cú 7 cõu dễ và đề chỉ cú 7 cõu trung bỡnh trong trường hợp 1 và trường hợp 2. Cỏch giải đỳng: 7 + Loại 1: chọn 7 cõu tựy ý trong 20 cõu cú C20 cỏch. + Loại 2: chọn 7 cõu khụng thỏa yờu cầu.
5. 7 - Trường hợp 1: chọn 7 cõu dễ hoặc trung bỡnh trong 16 cõu cú C16 cỏch. 7 7 - Trường hợp 2: chọn 7 cõu dễ và khú trong 13 cõu cú C13 - C9 cỏch. 7 - Trường hợp 3: chọn 7 cõu trung bỡnh và khú trong 11 cõu cú C11 - 1 cỏch. 7 7 7 7 7 Vậy cú C20 - (C16 + C13 - C9 + C11 - 1) = 64071 đề kiểm tra. Vớ dụ 13. Hội đồng quản trị của một cụng ty gồm 12 người, trong đú cú 5 nữ. Từ hội đồng quản trị đú người ta bầu ra 1 chủ tịch hội đồng quản trị, 1 phú chủ tịch hội đồng quản trị và 2 ủy viờn. Hỏi cú mấy cỏch bầu sao cho trong 4 người được bầu phải cú nữ. Giải + Loại 1: bầu 4 người tựy ý (khụng phõn biệt nam, nữ). 2 - Bước 1: bầu chủ tịch và phú chủ tịch cú A12 cỏch. 2 - Bước 2: bầu 2 ủy viờn cú C10 cỏch. 2 2 Suy ra cú A12.C10 cỏch bầu loại 1. + Loại 2: bầu 4 người toàn nam. 2 - Bước 1: bầu chủ tịch và phú chủ tịch cú A 7 cỏch. 2 - Bước 2: bầu 2 ủy viờn cú C5 cỏch. 2 2 Suy ra cú A 7.C5 cỏch bầu loại 2. 2 2 2 2 Vậy cú A12.C10 - A 7.C5 = 5520 cỏch. 5. Hoỏn vị lặp (tham khảo) Cho tập hợp X cú n phần tử gồm n1 phần tử giống nhau, n2 phần tử khỏc lại giống nhau, , nk phần tử khỏc nữa lại giống nhau (n1 + n2 + + nk = n). Mỗi cỏch sắp n phần tử này vào n vị trớ là một hoỏn n! vị lặp, số hoỏn vị lặp là . n1 !n2 ! nk ! Vớ dụ 14. Từ cỏc chữ số 1, 2, 3 lập được bao nhiờu số tự nhiờn cú đỳng 5 chữ số 1, 2 chữ số 2 và 3 chữ số 3. Giải Xem số cần lập cú 10 chữ số gồm 5 chữ số 1 giống nhau, 2 chữ số 2 giống nhau và 3 chữ số 3 giống nhau. 10! Vậy cú = 2520 số. 5!2!3! Cỏch giải thường dựng: 5 + Bước 1: chọn 5 trong 10 vị trớ để sắp 5 chữ số 1 cú C10 cỏch. 2 + Bước 2: chọn 2 trong 5 vị trớ cũn lại để sắp 2 chữ số 2 cú C5 cỏch. + Bước 3: sắp 3 chữ số 3 vào 3 vị trớ cũn lại cú 1 cỏch. 5 2 Vậy cú C10.C5.1 = 2520 số. B. BÀI TẬP Bài 1. Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào 1 hàng ghế cú 7 chỗ ngồi sao cho 3 nam ngồi kề nhau và 2 nữ ngồi kề nhau. Hỏi cú bao nhiờu cỏch. Bài 2. Xột đa giỏc đều cú n cạnh, biết số đường chộo gấp đụi số cạnh. Tớnh số cạnh của đa giỏc đều đú.
6. Bài 3. Tớnh số cỏc số tự nhiờn đụi một khỏc nhau cú 6 chữ số tạo thành từ cỏc chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho 2 chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau. Bài 4. Tớnh số cỏc số tự nhiờn cú 4 chữ số đụi một khỏc nhau được thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho trong mỗi số đú đều cú mặt ớt nhất chữ số 1 hoặc 2. Bài 5. Hai nhúm người cần mua nền nhà, nhúm thứ nhất cú 2 người và họ muốn mua 2 nền kề nhau, nhúm thứ hai cú 3 người và họ muốn mua 3 nền kề nhau. Họ tỡm được một lụ đất chia thành 7 nền đang rao bỏn (cỏc nền như nhau và chưa cú người mua). Tớnh số cỏch chọn nền của mỗi người thỏa yờu cầu trờn. Bài 6. Từ 4 chữ số 0, 1, 2, 3 lập thành cỏc số tự nhiờn cú 3 chữ số phõn biệt. Tớnh tổng cỏc số được thành lập. Bài 7. Tớnh số hỡnh chữ nhật được tạo thành từ 4 trong 20 đỉnh của đa giỏc đều cú 20 cạnh nội tiếp đường trũn tõm O. Bài 8. Cho đa giỏc đều cú 2n cạnh nội tiếp đường trũn tõm O. Biết số tam giỏc cú cỏc đỉnh là 3 trong 2n đỉnh của đa giỏc nhiều gấp 20 lần số hỡnh chữ nhật cú cỏc đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giỏc. Tớnh số hỡnh chữ nhật. Bài 9. Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đú cú 7 em khối 12, 6 em khối 11 và 5 em khối 10. Tớnh số cỏch chọn 6 em trong đội đi dự trại hố sao cho mỗi khối cú ớt nhất 1 em được chọn. Bài 10. Cho tập hợp X gồm 10 phần tử khỏc nhau. Tớnh số tập hợp con khỏc rỗng chứa một số chẵn cỏc phần tử của X. Bài 11. Một hộp đựng 15 viờn bi khỏc nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Tớnh số cỏch chọn 4 viờn bi từ hộp đú sao cho khụng cú đủ 3 màu. Bài 12. Giải vụ địch búng đỏ Quốc gia cú 14 đội tham gia thi đấu vũng trũn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hũa 1 điểm, thua 0 điểm và cú 23 trận hũa. Tớnh số điểm trung bỡnh của 1 trận trong toàn giải. Bài 13. Tớnh số cỏc số tự nhiờn gồm 7 chữ số được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5 sao cho chữ số 2 cú mặt đỳng 2 lần, chữ số 3 cú mặt đỳng 3 lần và cỏc chữ số cũn lại cú mặt khụng quỏ 1 lần. Bài 14. Tớnh số cỏc số tự nhiờn gồm 5 chữ số phõn biệt và một trong 3 chữ số đầu tiờn là 1 được thành lập từ cỏc chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Bài 15. Từ một nhúm 30 học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B và 5 học sinh khối C chọn ra 15 học sinh sao cho cú ớt nhất 5 học sinh khối A và cú đỳng 2 học sinh khối C. Tớnh số cỏch chọn. Bài 16. Từ một nhúm 12 học sinh gồm 4 học sinh khối A, 4 học sinh khối B và 4 học sinh khối C chọn ra 5 học sinh sao cho mỗi khối cú ớt nhất 1 học sinh. Tớnh số cỏch chọn. Bài 17. Tớnh số tập hợp con của X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} chứa 1 mà khụng chứa 0. Bài 18. Đội thanh niờn xung kớch của một trường phổ thụng cú 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Tớnh số cỏch chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc khụng quỏ 2 trong 3 lớp trờn. Bài 19. Từ cỏc chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập thành số tự nhiờn chẵn cú 5 chữ số phõn biệt nhỏ hơn 25000. Tớnh số cỏc số lập được.
7. Bài 20. Tập hợp A gồm n phần tử (n ³ 4). Biết rằng số tập hợp con chứa 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con chứa 2 phần tử của A, tỡm số k ẻ {1; 2; ; n} sao cho số tập hợp con chứa k phần tử của A là lớn nhất. C. HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. Xột 3 loại ghế gồm 1 ghế cú 3 chỗ, 1 ghế cú 2 chỗ và 2 ghế cú 1 chỗ ngồi. + Bước 1: do 2 ghế cú 1 chỗ khụng phõn biệt nờn chọn 2 trong 4 vị trớ để sắp ghế 2 và 3 chỗ ngồi cú 2 A 4 = 12 cỏch. + Bước 2: sắp 3 nam vào ghế 3 chỗ cú 3! = 6 cỏch. + Bước 3: sắp 2 nữ vào ghế 2 chỗ cú 2! = 2 cỏch. Vậy cú 12.6.2 = 144 cỏch sắp. Bài 2. Chọn 2 trong n đỉnh của đa giỏc ta lập được 1 cạnh hoặc đường chộo. 2 2 Số cạnh và đường chộo là Cn . Suy ra số đường chộo là Cn - n . n! Ta cú: C2 - n = 2n Û - n = 2n n 2!(n - 2)! Û n(n - 1) = 6n Û n = 7. Vậy cú 7 cạnh. Bài 3. Xột số cú 5 chữ số gồm 0, 1, 2, 5 và chữ số “kộp” là (3, 4). + Loại 1: chữ số hàng trăm ngàn cú thể là 0. - Bước 1: sắp 5 chữ số vào 5 vị trớ cú 5! = 120 cỏch. - Bước 2: với mỗi cỏch sắp chữ số kộp cú 2 hoỏn vị chữ số 3 và 4. Suy ra cú 120.2 = 240 số. + Loại 2: chữ số hàng trăm ngàn là 0. - Bước 1: sắp 4 chữ số vào 4 vị trớ cũn lại cú 4! = 24 cỏch. - Bước 2: với mỗi cỏch sắp chữ số kộp cú 2 hoỏn vị chữ số 3 và 4. Suy ra cú 24.2 = 48 số. Vậy cú 240 – 48 = 192 số. Bài 4. + Loại 1: chữ số a1 cú thể là 0. 4 Sắp 4 trong 6 chữ số vào 4 vị trớ cú A 6 = 360 cỏch. Sắp 4 chữ số 0, 3, 4, 5 vào 4 vị trớ cú 4! = 24 cỏch. Suy ra cú 360 – 24 = 336 số. + Loại 2: chữ số a1 là 0 (vị trớ a1 đó cú chữ số 0). 3 Sắp 3 trong 5 chữ số vào 3 vị trớ cú A 5 = 60 cỏch. Sắp 3 chữ số 3, 4, 5 vào 3 vị trớ cú 3! = 6 cỏch. Suy ra cú 60 – 6 = 54 số. Vậy cú 336 – 54 = 282 số. Cỏch khỏc: + Loại 1: Số tự nhiờn cú 4 chữ số tựy ý. - Bước 1: Chọn 1 trong 5 chữ số khỏc 0 sắp vào a1 cú 5 cỏch. 3 - Bước 2: Chọn 3 trong 5 chữ số khỏc a1 sắp vào 3 vị trớ cũn lại cú A 5 = 60 cỏch. Suy ra cú 5.60 = 300 số. + Loại 2: Số tự nhiờn cú 4 chữ số gồm 0, 3, 4, 5 (khụng cú 1 và 2). - Bước 1: Chọn 1 trong 3 chữ số khỏc 0 sắp vào a1 cú 3 cỏch. - Bước 2: Sắp 3 chữ số cũn lại vào 3 vị trớ 3! = 6 cỏch. Suy ra cú 3.6 = 18 số. Vậy cú 300 – 18 = 282 số. Bài 5. Xem lụ đất cú 4 vị trớ gồm 2 vị trớ 1 nền, 1 vị trớ 2 nền và 1 vị trớ 3 nền. + Bước 1: nhúm thứ nhất chọn 1 vị trớ cho 2 nền cú 4 cỏch và mỗi cỏch cú 2! = 2 cỏch chọn nền cho mỗi người. Suy ra cú 4.2 = 8 cỏch chọn nền. + Bước 2: nhúm thứ hai chọn 1 trong 3 vị trớ cũn lại cho 3 nền cú 3 cỏch và mỗi cỏch cú 3! = 6 cỏch chọn nền cho mỗi người. Suy ra cú 3.6 = 18 cỏch chọn nền. Vậy cú 8.18 = 144 cỏch chọn nền cho mỗi người.
8. Bài 6. + Xột số A cú 3 chữ số phõn biệt và chữ số hàng trăm cú thể là 0. 3 Từ A 4 = 24 số A ta lập được 12 cặp số cú tổng là 333. Vớ dụ 012 + 321 = 333. Suy ra tổng cỏc số A là 12.333 = 3996. + Xột số B cú 3 chữ số phõn biệt và chữ số hàng trăm là 0. 2 Từ A 3 = 6 số B ta lập được 3 cặp số cú tổng là 44. Vớ dụ 032 + 012 = 44. Suy ra tổng cỏc số B là 3.44 = 132. Vậy tổng cỏc số thỏa yờu cầu là 3996 – 132 = 3864. Cỏch khỏc: + Xột số A cú 3 chữ số phõn biệt và chữ số hàng trăm cú thể là 0. 3 - Số cỏc số A là A 4 = 24 số. Số lần cỏc chữ số cú mặt ở hàng trăm, hàng chục và đơn vị là như nhau và bằng 24 : 4 = 6 lần. - Tổng cỏc chữ số hàng trăm (hàng chục, đơn vị) của 24 số là: 6.(0 + 1 + 2 + 3) = 36. Suy ra tổng cỏc số A là 36.(100 + 10 + 1) = 3996. + Xột số B cú 3 chữ số phõn biệt và chữ số hàng trăm là 0. 2 - Số cỏc số B là A 3 = 6 số. Số lần cỏc chữ số 1, 2, 3 cú mặt ở hàng chục và đơn vị là như nhau và bằng 6 : 3 = 2 lần. - Tổng cỏc chữ số hàng chục (đơn vị) của 6 số là 2.(1 + 2 + 3) = 12. Suy ra tổng cỏc số B là 12.(10 + 1) = 132. Vậy tổng cỏc số thỏa yờu cầu là 3996 – 132 = 3864. Bài 7. Nhận thấy cỏc hỡnh chữ nhật được tạo thành cú 2 đường chộo là đường kớnh của đường trũn. Vẽ đường thẳng d qua tõm O và khụng qua đỉnh của đa giỏc đều thỡ d chia đa giỏc thành 2 phần, mỗi phần cú 10 đỉnh. Suy ra số đường chộo của đa giỏc đi qua tõm O là 10. Chọn 2 trong 10 đường chộo thỡ lập được 1 hỡnh chữ nhật. 2 Vậy cú C10 = 45 hỡnh chữ nhật. 2 Bài 8. + Lý luận tương tự cõu 65 ta cú Cn hỡnh chữ nhật. 3 + Số tam giỏc tạo thành từ 3 trong 2n đỉnh của đa giỏc là C2n . (2n)! n! + Từ giả thiết ta cú: C3 = 20C2 Û = 20 2n n 3!(2n - 3)! 2!(n - 2)! 2n(2n - 1)(2n - 2) n(n - 1) Û = 20 Û n = 8 . 6 2 2 Vậy cú C8 = 28 hỡnh chữ nhật. Bài 9. Cỏch giải sai: 6 + Chọn tựy ý 6 em trong đội cú C18 = 18564 cỏch. 6 + Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 hoặc khối 11 cú C13 = 1716 cỏch. 6 + Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 hoặc khối 10 cú C12 = 924 cỏch. 6 + Chọn 6 em trong đội thuộc khối 11 hoặc khối 10 cú C11 = 462 cỏch. Vậy cú 18564 – 1716 – 924 – 462 = 15462 cỏch chọn! Sai ở chỗ lớp 12 và lớp 11 ta đó tớnh lặp lại. Cỏch giải đỳng: 6 + Chọn tựy ý 6 em trong đội cú C18 = 18564 cỏch. 6 + Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 hoặc khối 11 cú C13 = 1716 cỏch. 6 6 + Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 và khối 10 cú C12 - C7 = 917 cỏch. 6 6 + Chọn 6 em trong đội thuộc khối 11 và khối 10 cú C11 - C6 = 461 cỏch.
9. Vậy cú 18564 – 1716 – 917 – 461 = 15454 cỏch chọn. Bài 10. 2 + Số tập hợp con chứa 2 phần tử của X là C10 = 45. 4 + Số tập hợp con chứa 4 phần tử của X là C10 = 210. 6 + Số tập hợp con chứa 6 phần tử của X là C10 = 210. 8 + Số tập hợp con chứa 8 phần tử của X là C10 = 45. + Số tập hợp con chứa 10 phần tử của X là 1. Vậy cú 45 + 210 + 210 + 45 + 1 = 511 tập hợp. Bài 11. 4 + Trường hợp 1: chọn 4 bi đỏ hoặc trắng cú C9 = 126 cỏch. 4 4 + Trường hợp 2: chọn 4 bi đỏ và vàng hoặc 4 bi vàng cú C10 - C4 = 209 cỏch. 4 4 4 + Trường hợp 3: chọn 4 bi trắng và vàng cú C11 - (C5 + C6 ) = 310 cỏch. Vậy cú 126 + 209 + 310 = 645 cỏch. Cỏch khỏc: 4 + Loại 1: chọn tựy ý 4 trong 15 viờn bi cú C15 = 1365 cỏch. + Loại 2: chọn đủ cả 3 màu cú 720 cỏch gồm cỏc trường hợp sau: - Chọn 2 bi đỏ, 1 bi trắng và 1 bi vàng cú 180 cỏch. - Chọn 1 bi đỏ, 2 bi trắng và 1 bi vàng cú 240 cỏch. - Chọn 1 bi đỏ, 1 bi trắng và 2 bi vàng cú 300 cỏch. Vậy cú 1365 – 720 = 645 cỏch. Bài 12. + Do thi đấu vũng trũn 1 lượt nờn 2 đội bất kỳ chỉ đấu với nhau đỳng 1 trận. Số trận đấu của giải 2 là C14 = 91. + Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận hũa là 2 nờn tổng số điểm của 23 trận hũa là 2.23 = 46. + Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận khụng hũa là 3 nờn tổng số điểm của 68 trận khụng hũa là 3.68 = 204. 46 + 204 250 Vậy số điểm trung bỡnh của 1 trận là = điểm. 91 91 Bài 13. Xem số cú 7 chữ số như 7 vị trớ thẳng hàng. 2 + Bước 1: chọn 2 trong 7 vị trớ để sắp 2 chữ số 2 (khụng hoỏn vị) cú C7 = 21 cỏch. 3 + Bước 2: chọn 3 trong 5 vị trớ cũn lại để sắp 3 chữ số 3 (khụng hoỏn vị) cú C5 = 10 cỏch. 2 + Bước 3: chọn 2 trong 3 chữ số 1, 4, 5 để sắp vào 2 vị trớ cũn lại (cú hoỏn vị) cú A 3 = 6 cỏch. Vậy cú 21.10.6 = 1260 số. Bài 14. + Loại 1: chữ số a1 cú thể là 0. - Bước 1: chọn 1 trong 3 vị trớ đầu để sắp chữ số 1 cú 3 cỏch. 4 - Bước 2: chọn 4 trong 7 chữ số (trừ chữ số 1) để sắp vào cỏc vị trớ cũn lại cú A 7 = 840 cỏch. Suy ra cú 3.840 = 2520 số. + Loại 2: chữ số a1 là 0. - Bước 1: chọn 1 trong 2 vị trớ thứ 2 và 3 để sắp chữ số 1 cú 2 cỏch. 3 - Bước 2: chọn 3 trong 6 chữ số (trừ 0 và 1) để sắp vào cỏc vị trớ cũn lại cú A 6 = 120 cỏch. Suy ra cú 2.120 = 240 số. Vậy cú 2520 – 240 = 2280 số. Bài 15. 2 13 + Loại 1: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B hoặc khối A cú C5C25 cỏch. + Loại 2: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B và khối A khụng thỏa yờu cầu. 2 10 3 - Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối C, 10 học sinh khối B và 3 học sinh khối A cú C5C10C15 cỏch.
10. 2 9 4 - Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh khối C, 9 học sinh khối B và 4 học sinh khối A cú C5C10C15 cỏch. 2 13 10 3 9 4 Vậy cú C5 (C25 - C10C15 - C10C15 ) = 51861950 cỏch. Bài 16. + Trường hợp 1: 1 khối cú 3 học sinh và 2 khối cũn lại mỗi khối cú 1 học sinh. - Bước 1: chọn 1 khối cú 3 học sinh cú 3 cỏch. 3 - Bước 2: trong khối đó chọn ta chọn 3 học sinh cú C4 = 4 cỏch. - Bước 3: 2 khối cũn lại mỗi khối cú 4 cỏch chọn. Suy ra cú 3.4.4.4 = 192 cỏch. + Trường hợp 2: 2 khối cú 2 học sinh và khối cũn lại cú 1 học sinh. 2 - Bước 1: chọn 2 khối cú 2 học sinh cú C3 = 3 cỏch. 2 - Bước 2: trong 2 khối đó chọn ta chọn 2 học sinh cú C4 = 6 cỏch. - Bước 3: khối cũn lại cú 4 cỏch chọn. Suy ra cú 3.6.6.4 = 432 cỏch. Vậy cú 192 + 432 = 624 cỏch. Cỏch khỏc: 5 + Chọn 5 học sinh tựy ý cú C12 = 792 cỏch. 5 + Chọn 5 học sinh khối A và B (tương tự khối A và C, B và C) cú C8 = 56 cỏch. Vậy cú 792 – 3.56 = 624 cỏch. Bài 17. 0 + Số tập hợp con khụng chứa phần tử nào của X \ {0; 1} là C5 . 1 + Số tập hợp con chứa 1 phần tử của X \ {0; 1} là C5 . 2 + Số tập hợp con chứa 2 phần tử của X \ {0; 1} là C5 . 3 + Số tập hợp con chứa 3 phần tử của X \ {0; 1} là C5 . 4 + Số tập hợp con chứa 4 phần tử của X \ {0; 1} là C5 . 5 + Số tập hợp con chứa 5 phần tử của X \ {0; 1} là C5 . 0 1 2 3 4 5 Suy ra số tập hợp con của X \ {0; 1} là C5 + C5 + C5 + C5 + C5 + C5 = 32 . Ta hợp cỏc tập hợp con này với {1} thỡ được 32 tập hợp thỏa bài toỏn. Bài 18. Cỏch giải sai: 4 + Trường hợp 1: chọn 4 học sinh lớp A hoặc lớp B cú C9 cỏch. 4 + Trường hợp 2: chọn 4 học sinh lớp A hoặc lớp C cú C8 cỏch. 4 + Trường hợp 3: chọn 4 học sinh lớp B hoặc lớp C cú C7 cỏch. 4 4 4 Vậy cú C9 + C8 + C7 = 231 cỏch! Sai do ta đó tớnh lặp lại trường hợp chỉ chọn 4 học sinh lớp A và trường hợp chỉ chọn 4 học sinh lớp B. Cỏch giải sai khỏc: 4 + Loại 1: chọn tựy ý 4 trong 12 học sinh cú C12 = 495 cỏch. + Loại 2: chọn 4 học sinh cú mặt cả 3 lớp. - Bước 1: chọn 1 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C cú: 5.4.3 = 60 cỏch. - Bước 2: chọn 1 học sinh trong 9 học sinh cũn lại của 3 lớp cú 9 cỏch. Suy ra cú 9.60 = 540 cỏch chọn loại 2 (lớn hơn số cỏch chọn loại 1!). Sai là do khi thực hiện bước 1 và bước 2, vụ tỡnh ta đó tạo ra thứ tự trong cỏch chọn. Cú nghĩa là từ tổ hợp chuyển sang chỉnh hợp! Cỏch giải đỳng:
11. 4 + Loại 1: chọn tựy ý 4 trong 12 học sinh cú C12 = 495 cỏch. + Loại 2: chọn 4 học sinh cú mặt cả 3 lớp, ta cú 3 trường hợp sau: 2 - Chọn 2 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C cú C5.4.3 = 120 cỏch. 2 - Chọn 1 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C cú 5.C4.3 = 90 cỏch. 2 - Chọn 1 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C cú 5.4.C3 = 60 cỏch. Vậy cú 495 – (120 + 90 + 60) = 225 cỏch. Bài 19. Gọi số cần lập là A = a1a2a3a4a5 với 1 Ê a1 Ê 2 . + Trường hợp 1: a1 = 1. 3 3 Cú 4 cỏch chọn a5 và A 5 cỏch chọn cỏc chữ số cũn lại nờn cú 4.A 5 = 240 số. + Trường hợp 2: a1 = 2, a2 lẻ. 2 2 Cú 2 cỏch chọn a2, 3 cỏch chọn a5 và A 4 cỏch chọn cỏc chữ số cũn lại nờn cú 2.3.A 4 = 72 số. + Trường hợp 3: a1 = 2, a2 chẵn. 2 2 Cú 2 cỏch chọn a2, 2 cỏch chọn a5 và A 4 cỏch chọn cỏc chữ số cũn lại nờn cú 2.2.A 4 = 48 số. Vậy cú 240 + 72 + 48 = 360 số. k Bài 20. Số tập hợp con chứa k phần tử của A là Cn . Ta cú: n! n! C4 = 20C2 Û = 20 n n 4!(n - 4)! 2!(n - 2)! Û (n - 2)(n - 3) = 240 Û n = 18 ùỡ 18! 18! ù ³ ùỡ k k- 1 ù ù C18 ³ C18 ù k !(18 - k )! (k - 1)!(19 - k )! ị ớù Û ớ ù Ck ³ Ck+ 1 ù 18! 18! ợù 18 18 ù ³ ù ợù k !(18 - k )! (k + 1)!(17 - k )! ùỡ 19 - k ³ k 17 19 Û ớù Û Ê k Ê . ù k + 1 ³ 18 - k ợù 2 2 Vậy k = 9.