Phương pháp giải toán Đại số Lớp 8

92 trang thaodu 8840

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Phương pháp giải toán Đại số Lớp 8", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

phuong_phap_giai_toan_dai_so_lop_8.docx

Nội dung text: Phương pháp giải toán Đại số Lớp 8

Phương pháp giải toán Đại số 8 ÔN TẬP LÍ THUYẾT Các công thức lũy thừa: 1. an a.a a a an 1 2 3 7. ( )n n thua so b bn 2. a0 1 a 0 8. (am )n (an )m am.n m n 1 3. a 9. n a m (n a) m a n an m n m n 4. a .a a 10. n k a nk a m m a m n 1 1 5. a 11. a n n m a n am a n 6. (a.b)n an .bn n n a, voi n 2k 1 12. a a voi n 2k Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ: (A+B)2 = A2+2AB+B2 (A-B)2 = A2-2AB+B2 A2-B2 = (A+B)(A-B) (A+B)3= A3+3A2B+3AB2 +B3 (A+B)3= A3+B3 +3AB(A+B) (A-B)3= A3-3A2B+3AB2 -B3 (A-B)3= A3-B3 -3AB(A-B) A3+B3= (A+B)(A2-AB+B2) A3-B3= (A-B)(A2+AB+B2) 2 2 2 2 2 (a1+a2+a3+ +an-1+an) = a1 a2 a3 an 2a1a2 2a1a3 2a1an 2a2a3 an 1an an + bn =(a+b)(an-1 – an-2 .b + an-3.b2+ + bn-1) ĐƠN THỨC-ĐA THỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN: - Đơn thức: là biểu thức chỉ gồm một số, một biến hoặc tích các số và các biến: VD: 3; 3xy; - Bậc của đơn thức là tổng số mũ của các biến: VD: 3xy2z3: bậc 6 . - Đơn thức đồng dạng: là đơn thức giống nhau phần biến nhưng khác hệ số. - Đa thức: là tổng các đơn thức, bậc của đa thức là bậc của đơn thức cao nhất.
Phương pháp giải toán Đại số 8 DẠNG 1: CÁC PHÉP TOÁN CỘNG TRỪ, NHÂN CHIA ĐA THỨC: PP: - Cộng, trừ đơn thức ta cộng hệ số còn giữ nguyên phần biến. - Cộng trừ đa thức ta cộng các đơn thức đồng dạng với nhau. - Nhân(chia) hai đơn thức ta nhân (chia) phần hệ số cho hệ số, biến cho biến. - Nhân đơn thức với đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức. - Nhân hai đa thức: ta lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia. - Chia hai đa thức ta xắp xếp theo lũy thừa giảm dần rôi thực hiện phép chia. BÀI TẬP: NHÂN ĐA THỨC. Bài 1: Thực hiện các phép tính sau: a) (x2 –1)(x2 2x) b) (2x 1)(3x 2)(3 – x) c) (x 3)(x2 3x –5) d) (x 1)(x2 – x 1) e) (2x3 3x 1).(5x 2) f) (x2 2x 3).(x 4) Bài 2: Thực hiện các phép tính sau: 2 a) 2x3y(2x2 –3y 5yz) b) (x –2y)(x2y2 xy 2y) c) xy(x2y –5x 10y) 5 2 2 2 2 2 1 3 d) x y.(3xy – x y) e) (x – y)(x xy y ) f) xy –1 .(x –2x –6) 3 2 Bài 3: Thực hiện phép tính bằng cách sử dụng hằng đẳng thức: 2 2 2 3 2 2 2 2 a) (2x 3y) b) (5x – y) c) (2x y ) d) x y . x y 5 5 2 3 1 2 2 1 2 3 2 2 e) x f) x y g) (3x –2y) h)(x 3y)(x 3xy 9y ) 4 3 2 i) (x2 3).(x4 3x2 9) k) (x 2y z)(x 2y – z) l) (2x –1)(4x2 2x 1) m) (5 3x)3 Bài 4: Cho a b S và ab P . Hãy biểu diễn theo S và P, các biểu thức sau đây: a) A a2 b2 b) B a3 b3 c) C a4 b4 Bài 5: Cho a+b+c=0, Chứng minh M=N=P M=a(a+b)(a+c); N=b(b+a)(b+c); P=c(c+a)(c+b) Bài 6: Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 28 chữ số 1, chứng minh a.b-1 chia hết cho 3 Bài 7: Số 350+1 có phải là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp không Bài 8:Thực hiện phép tính: a) ( 2)5 : ( 2)3 b) ( y)7 : ( y)3 c) x12 : ( x10) d) (2x6) : (2x)3 e) ( 3x)5 : ( 3x)2 f) (xy2)4 : (xy2)2 Bài 9: Thực hiện phép tính:
Phương pháp giải toán Đại số 8 a) (x 2)9 : (x 2)6 b) (x-y)4: (x-y)3 c) (x2 2x 4)5 : (x2 2x 4) 1 5 d) 2(x2 1)3 : (x2 1) e) 5(x y)5 : (x y)2 3 6 Bài 10: Thực hiện phép tính: a) 6xy2 : 3y b) 6x2y3 : 2xy2 c) 8x2y : 2xy d) 5x2y5 : xy3 e) ( 4x4y3) : 2x2y f) xy3z4 : ( 2xz3) 3 3 3 1 2 2 2 4 3 3 2 3 2 g) x y : x y h) 9x y z :12xy i) (2x y)(3xy ) : 2x y 4 2 (3a2b)3(ab3)2 (2xy2)3(3x2y)2 k) l) (a2b2)4 (2x3y2)2 Bài 11:Thực hiện phép tính: a) (2x3 x2 5x) : x b) (3x4 2x3 x2) : ( 2x) c) ( 2x5 3x2 – 4x3) : 2x2 3 2 2 1 5 4 2 2 d) (x –2x y 3xy ) : x e) 3(x y) 2(x y) 3(x y) : 5(x y) 2 Bài 12:Thực hiện phép tính: 5 2 3 3 2 4 2 2 3 6 3 3 3 4 9 5 3 3 a) (3x y 4x y 5x y ) : 2x y b) a x a x ax : ax 5 7 10 5 2 3 4 4 2 2 2 2 3 2 c) (9x y 15x y ) : 3x y (2 3x y)y d) (6x xy) : x (2x y 3xy ) : xy (2x 1)x 3 e) (x2-xy):x + (6x2y5-9x3y4+15x4y3): x2y3 2 Bài 13: Thực hiện phép tính: a) (x3 –3x2) : (x –3) b) (2x2 2x 4) : (x 2) c) (x4 – x –14) : (x –2) d) (x3 3x2 x 3) : (x 3) e) (x3 x2 –12) : (x –2) f) (2x3 5x2 6x –15) : (2x –5) g) ( 3x3 5x2 9x 15) : (5 3x) h) ( x2 6x3 26x 21) : (2x 3) Bài 14: Thực hiện phép tính: a) (2x4 5x2 x3 3 3x) : (x2 3) b) (x5 x3 x2 1) : (x3 1) c) (2x3 5x2 –2x 3) : (2x2 – x 1) d) (8x 8x3 10x2 3x4 5) : (3x2 2x 1) e) ( x3 2x4 4 x2 7x) : (x2 x 1) Bài 15: Thực hiện phép tính:
Phương pháp giải toán Đại số 8 a) (5x2 9xy 2y2) : (x 2y) b) (x4 x3y x2y2 xy3) : (x2 y2) c) (4x5 3xy4 y5 2x4y 6x3y2) : (2x3 y3 2xy2) d) (2a3 7ab2 7a2b 2b3) : (2a b) Bài 16: Thực hiện phép tính: a) (2x 4y)2 : (x 2y) (9x3 12x2 3x) : ( 3x) 3(x2 3) b) (13x2y2 5x4 6y4 13x3y 13xy3) : (2y2 x2 3xy) Bài 17: Cho x,y nguyên: a) Cho 5x+y ⋮ 19. Chứng minh rằng A=4x-3y⋮ 19. b) Cho 4x+3y ⋮ 13. Chứng minh rằng: B=7x+2y ⋮ 13. Bài 18: a) Cho 4 số lẻ lien tiếp, Chứng minh rằng hiệu của tích hai số cuối với tích của hai số đầu chia hết cho 16. b) Cho 4 số nguyên lien tiếp. Hỏi tích của số đầu với số cuối nhỏ hơn tích của hai số giữa bao nhiêu đơn vị? c) Cho 4 số nguyên liên tiếp, giả sử tích của số đầu với số thứ ba nhỏ hơn tích của số thứ hai và số thứ tư là 99. Tìm bốn số nguyên đó? Bài 19: Cho b+c=10. Chứng minh (10a+b)(10a+c)=100a(a+1) +bc Áp dụng: Tính 62.68; 43.47 Bài 20: ĐÁP SỐ. Bài 1: a,( x2-1)(x2+2x)=x2(x2+2x)-1(x2+2x)=x4+2x3-x2-2x. b, -6x3+17x2+5x-6. c, x3+6x2+4x-15. d, x3+1. e, 10x4+4x3-15x2-11x-2. f, x3-6x2+11x-12. Bài 2: 5 3 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 a, -4x y+6x y -10x y z. b, x y -x y+2xy-2x y +2xy -4y . c, 5x y -2x y+4xy . 3 2 2 4 2 2 2 3 3 1 4 2 3 d, 2x y - 3x y +3x y . e, x -y . f, 2x y-x y-3xy-x +2x+6. Bài 3: a, 4x2+12xy+9y2. b, 25x2-10xy+y2. c, 8x3+12x2y2+6xy4+y6. 4 4 2 2 1 1 8 6 2 4 1 2 2 1 3 d, x - 25y . e, x + 2x+16. f, 27x - 3x y + 2x y - 8y . g, 27x6-54x4y+36x2y2-8y3. h, x3-27y3. i, x6-27. k, x2+4y2-z2+4xy. l, 8x3-1. m, 125+225x+135x2+27x3 Bài 4: a, a2+b2= (a2+2ab+b2)-2ab=(a+b)2-2ab=S2-2P. b, a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=S(S2-2P-P)=S3-3PS. ( thay a2+b2=S2-2P).
Phương pháp giải toán Đại số 8 c, a4+b4= a4+2a2b2+b4-2a2b2=(a2+b2)2-2a2b2=(S2-2P)2-2S2. Bài 5: Vì a+b+c=0 nên a+b=-c; a+c=-b; b+c=-a. Ta có: M=a.(-c)(-b)=abc; N=b(-c)(-a)=abc; P=c(-b)(-a)=abc. Vậy M=N=P. Bài 6: a chia 3 dư 1 nên a=3m+1, b chia 3 dư 1 nên b=3n+1. Suy ra: a.b-2=(3m+1)(3n+1)-1=9mn+3n+3m+1-1=9mn+3n+3m chia hết cho 3. đpcm Bài 7: số trên chia 3 dư 1 nên không là tích 2 số liên tiếp Bài 8: 2 4 2 1 3 3 2 2 2 4 a, (-2) =4 b, y c, -x d, 4 x e, (-3x) f,( xy ) =x y Bài 9: a, (x+2)3 b, x-y c, (x2+2x+4)4 d, 6(x2+1)2 e, 6(x-y)3. Bài 10: a, 2xy b, 3xy c, 4x d, 5xy2 e, -2x2y2 f, -1/2y3z g, -3/2xy h, 3/4xyz i, 3xy Bài 11: a, 2x2-x+5 b, -3/2.x3+x2-1/2.x c, -x3+3/2-2x d, -2x2+4xy-6y2 e, 3/5.(x-y)3-2/5.(x-y)2+3/5. Bài 12: a, 3/2.x3+2xy-5/2.y2 b, a5+5/7.a2x-3/2.x2 c, y2-2x2y3 d, 7x+2y e, x-y+4y2-6xy+10x2 Bài 13: a, x2 b, 2(x-1) c, x3+2x2+4x+7 d, x2+1 e, x2+3x+6 f, x2+3 g, x2+3 h, 3x2+4x-7. Bài 14: Các em xắp xếp lại đa thức bị chia theo lũy thừa giảm dần rồi thực hiện phép chia hoặc dùng phương pháp phân tích thành nhân tử: a, 2x2+x+1 b, x2+1 c, x+3 d, x2-2x-5 e, 2x2-3x+4 Bài 15: Các em dùng phép chia hoặc phân tích đa thức thành nhân tử: a, 5x-y b, x2-xy c, 2x2+xy-y2 d, a2-3ab+2b2 Bài 16: a, 4(x+2y)-(-3x2+4x-1)-3x2-9=8y-8 b, 5x2-2xy+3y2 Bài 17: a, Vì 5x+y ⋮ 19 nên 3(5x + y) ⋮ 19 . Ta có: 19x ⋮ 19 nên 19x-3(5x+y) ⋮ 19 hay 4x-3y ⋮ 19. b, Ta có: 3B-2(4x+3y)=13x ⋮ 13 mà 2(4x+3y) ⋮ 13 nên 3B ⋮ 13. Mà ƯC(3;13)=1 nên B ⋮ 13. Bài 18:
Phương pháp giải toán Đại số 8 a, Gọi 4 số lẻ là 2n+1; 2n+3; 2n+5; 2n+7. Ta có: hiệu của tích hai số cuối với tích của hai số đầu là: (2n+7)(2n+5)-(2n+1)(2n+3)=(4n2+24n+35)-(4n2+8n+3)=16n+32 ⋮ 16 đpcm b, Gọi 4 số nguyên liên tiếp là n, n+1, n+2, n+3. Ta có: (n+1)(n+2)-n(n+3)=2. Vậy tích của số đầu với số cuối nhỏ hơn tích của hai số giữa là 2 đơn vị. c, Tương tự câu c, ta có: (n+1)(n+3)-n(n+2)=99 suy ra 2n+3=99, n=48 Bài 19: Ta có: (10a+b)(10a+c)=100a2+10a(b+c)+bc= 100a2+100a+bc=100a(a+1) +bc Áp dụng: 62.68=(10.6+2)(10.6+8)=100.6(6+1)+2.8=4200+16=4218; 43.47=(10.4+3)(10.4+7)= . DẠNG 2 : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC: PP: - Ta rút gọn biểu thức, sau đó thay các giá trị x vào biểu thức rút gọn - Chú ý các bài toán có quy luật: để tính giá trị của biểu thức tại x=a ta thường phân tích các thừa số để suất hiện các tích (x-a). BÀI TẬP: Bài 1: Thực hiện các phép tính, sau đó tính giá trị biểu thức: a) A (x 2)(x4 2x3 4x2 8x 16) với x 3 . b) B (x 1)(x7 x6 x5 x4 x3 x2 x 1) với x 2 . c) C (x 1)(x6 x5 x4 x3 x2 x 1) với x 2 . d) D 2x(10x2 5x 2) 5x(4x2 2x 1) với x 5 . HD: a, Thực hiện phép nhân đa thức rồi rút gọn ta được: A=x5-32 nên A(3)=35-32=211. Tương tự: b, B=x8-1 nên B(2)=255. c, C=x7+1 nên C(2)=129 d, D= x nên D(-5)=-5. Bài 2: Thực hiện các phép tính, sau đó tính giá trị biểu thức: 1 a) A (x3 x2y xy2 y3)(x y) với x 2,y . 2 b) B (a b)(a4 a3b a2b2 ab3 b4) với a 3,b 2 . 1 1 c) C (x2 2xy 2y2)(x2 y2) 2x3y 3x2y2 2xy3 với x ,y . 2 2 HD: Thực hiện phép nhân đa thức rồi rút gọn ta được:
Phương pháp giải toán Đại số 8 a, A=x4-y4 . Thay x=2; y=-1/2 ta được A=255/16. b, B=a5-b5 nên B=275. c, C=x4+2y4 nên C=3/16. Bài 3: Tính giá trị của đa thức: a) P(x) x7 80x6 80x5 80x4 80x 15 với x 79 HD: P(79) 94 b) Q(x) x14 10x13 10x12 10x11 10x2 10x 10 với x 9 HD: Q(9) 1 c) R(x) x4 17x3 17x2 17x 20 với x 16 d) S(x) x10 13x9 13x8 13x7 13x2 13x 10 với x 12 e) L(x)=x6-20x5-20x4-20x3-20x+3 với x=21 HD: a, P(x)=x7-79x6-x6+79x5+x5 .+79x+x+15=x6(x-79)-x5(x-79) -x(x-79)+x+15 P(79)=79+15=94. b, Q(x)=x14-9x13-x13+9x12+x12 .-9x-x+10=x13(x-9) – x12(x-9) +x(x-9) – x+10 Q(9)=-9+10=1. c, R(x)=x3(x-16)-x2(x-16)+x(x-16)-x+20 nên R(16)=-16+20=4. d, S(x)=x9(x-12)-x8(x-12) +x(x-12) – x +10 nên S(12)= -12+10=-2. e, L(x)=x6-21x5+x5-21x4+x4 +x2-21x +x+3=x5(x-21)+x4(x-21) .+x(x-21)+x+3 nên L(21)=21+3=24. Bài 4: Tính giá trị biểu thức bằng cách vận dụng hằng đẳng thức: a) A x3 3x2 3x 6 với x 19 b) B x3 3x2 3x với x 11 HD: a) A=(x+1)3+5 nên A(19)=(19+1)3+5=8005 b) B=(x3-3x2+3x-1)+1=(x-1)3+1 nên B(11)=(11-1)3+1=1001 Bài 5: Cho x+y=9 ; xy=14. Tính: a) x-y ; b) x2 +y2 ; c)x3 +y3 . HD: a, Đặt P=x-y suy ra P2=(x-y)2=x2+y2-2xy=(x2+2xy+y2)-4xy=(x+y)2-4xy=92-4.14=25 nên P= 5 hoặc P=-5 b, x2+y2=(x2+2xy+y2)-2xy=(x+y)2-2xy=92-2.14=53. c, x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=9(53-14)= 351 Bài 6: Cho x>y>0; x-y=7; x.y=60. Không tính x,y hãy tính giá trị biểu thức sau: A=x2-y2 B=x4-y4 HD: Ta có: (x+y)2=(x-y)2+4xy=72+4.60=289
Phương pháp giải toán Đại số 8 nên x+y=17 hoặc x+y=-17. A=(x-y)(x+y). Với x-y=7 và x+y=17 thì A=119. Với x-y=7 và x+y=-17 thì A=-119. B=(x2-y2)( x2+y2). Ta có: x2+y2=(x+y)2-2xy=289-2.60=169 Với x2-y2=119 và x2+y2=169 thì B=20111 Với x2-y2=-119 và x2+y2=169 thì B=-20111 Bài 6: Tính giá trị: A= x3+9x2+27x+27 tại x=-103. B= x3-15x2+75x tại x=25. C= (x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1) tại x=-3. D=2(x3-y3)-3(x+y)2 với x-y=2. HD: A=(x+3)3 nên A(-103)=( -103+3)3=-1000000. B=x3-3.x2.5+3.x.52-53 +75=(x-5)3+75 nên B(25)=(25-5)3+75=8075. C=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)=(x3+1)(x3-1)=x6-1 nên C(-3)=(-3)6-1=728. D=2(x-y)(x2+xy+y2)-3(x2+2xy+y2)=4(x2+xy+y2)-3(x2+2xy+y2)= x2-2xy+y2=(x-y)2=4 DẠNG 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP TÌM NGHIỆM ĐA THỨC: PP: - Dùng các phân tích, đặt nhân tử chung đưa về các bài toán tìm x cơ bản. - Chú ý các bài trị tuyệt đối, căn, dạng tích, dạng tổng bình phương, các dạng phương trình bậc 2, bậc 3 có thể nhẩm nghiệm rồi dùng phương pháp tách. - Nghiệm nguyên của đa thức luôn là ước của số hạng tự do. Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của đa thức: f(x)=2x4+7x3-2x2-13x+ 6 rồi phân tích đa thức thành nhân tử. Hạng tử tự do bằng 6; Ư(6)=+ 1; 2; 3; 6. Có:f(-1)=2-7-2+13+6=12 0 nên -1 không phải là nghiệm của đa thức này. f(-2)=32-56-8+26+6=0 => -2 là nghiệm của đa thức này. f(-3)=162-189-18+39+6=0 nên -3 là nghiệm của đa thức này. f(1)=2+7-2-13+6=0 nên 1 là nghiệm của đa thức này. f(2)=32+56-8-26+6=60 0 nên 2 không phải là nghiệm của đa thức này. f(3)=162+189-18-39+6=300 0 nên 3 không phải là nghiệm của đa thức này.
Phương pháp giải toán Đại số 8 Đa thức có một nghiệm hữu tỷ nữa thì mẫu số của nó phải là ước của 2, Do đó có thể 1,2,-1,-2 sẽ 1 3 1 3 là mẫu số của nghiệm này. Nên ; ; ; có thể là nghiệm của đa thức này. 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 f( ) 2. 7. 2 13 6 0 Suy ra là nghiệm của đa thức này. 2 16 8 2 2 2 Vì đa thức f(x) có bậc 4 nên nó có tối đa 4 nghiệm, suy ra các nghiệm của nó lần lượt là: 1;-2;-3; 1 . 2 1 *Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-2;x+2;x+3;x- . 2 1 =>f(x)= 2(x-1)(x+2)(x+3)(x- ) 2 Ví dụ : Tìm nghiệm của đa thức rồi phân tích đa thức thành nhân tử: f(x)=x3-6x2+11x-6 Hạng tử tự do:6 Ư(6)= 1; 2 ;+-3 ; 6. f(1)=1-6+11-6=0 => 1 là nghiệm của f(x) f(2)=8-24+22-6=0 => 2 là nghiệm của f(x) f(3)=27-54+33-6=0 => 3 là nghiệm của f(x) Vì đa thức f(x) có bậc là 3 nên nó có tối đa 3 nghiệm, suy ra các nghiệm của nó là 1,2,3. Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-1;x-2;x-3. f(x)=x3-6x2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3). BÀI TẬP: Tìm x a) 3x(12x-4)-9x(4x-3)=30 b) x(5-2x)+2x(x-1)=15 c) (12x-5)(4x-1)+(3x-7)(1-16x)=81 d) (x+2)2=9 e) (x+2)2-x2+4=0 f) (2x-1)2+(3y-9)2=0 HD: a, x=2 b, x=3 c, x=1 d, x=1 hoặc x=-5 1 e, x=-2 f, = 2; = 3 DẠNG 4: TÌM THƯƠNG VÀ SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA. PP: Ta kẻ cột, thực hiện phép chia. Chú ý: Số dư của f(x) cho x-x0 là giá trị tại f(x0). Bài 1:Tìm thương và số dư trong phép chia f(X) cho x-a
Phương pháp giải toán Đại số 8 Đa thức Nhị thức Kết quả 3 2 1. f(X) = x - 5x + 8x - 4 cho x – 2 3 2 2. f(X) = x -9x – 35 x + 7 cho x – 12 3 3. f(X) = x - 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617 3 2 4. f(X) = 60 x +209x + 86 x - 168 cho 5x + 12 9 5. f(X) = x +1 cho x – 0,53241 10 9 8 7 3 2 6.f(X) = x + x + x + x + + x + x cho x + 2,1345 5 4 3 2 7. f(X) = 2x + 3x - 4 x - 5x + 3x + 1 cho x - 2 5 4 3 2 8.f(X) = 2x + 3x - 4 x - 5x + 3x + 1 cho x - 2 4 3 2 9.f(X) = x + 3 x - 2x - x + 5 cho x + 2 4 3 2 10.f(X) = x + 3 x - 2x - x + 5 2 Tính f(3+ ) = 3 1 5 6 4 3 2 11.f(X) = 4x + 3x - 2 x + 7 x - 11 cho x+ 3,1226 5 4 3 12.f(X) = 7x - 12 x + 3 x - 5x -7,17 cho x+ 7,1254 5 4 3 13.f(X) = 7x - 12 x + 3 x - 5x -7,17 cho x-5 14. F(x) = 3x3 + 17x – 625 Tính F(22 ) Bài 2: Tìm số dư của phép chia sau: a. (x21+x20+x19+101):(x+1) b. (3x3+4x2-2x+7) : (x+2) HD: a, Đặt f(x)= x21+x20+x19+101. Tính f(-1)=100 suy ra số dư là 100. b, Làm tương tự. Bài 3: Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) để tìm thương và dư: a) f (x) 4x3 3x2 1 , g(x) x2 2x 1 b) f (x) 2 4x 3x4 7x2 5x3 , g(x) 1 x2 x c) f (x) 19x2 11x3 9 20x 2x4 , g(x) 1 x2 4x d) f (x) 3x4y x5 3x3y2 x2y3 x2y2 2xy3 y4 , g(x) x3 x2y y2 HD: b, Thương: 3x2+7x+32, số dư: 117x-30
Phương pháp giải toán Đại số 8 DẠNG 5: TOÁN TÌM THAM SỐ a, b, c TRONG PHÉP CHIA. Tìm điều kiện để f(x) chia hết g(x): Cách 1: Thực hiện phép chia f(x) cho g(x) rồi cho số dư bằng không. Cách 2: Tìm nghiệm g(x) là x1; x2 .Để f(x) chia hết cho g(x) thì f(x1)=0 và f(x2)=0 từ đó tìm được hệ số a,b,c Cách 3: Dùng phương pháp hệ số bất định. Bài 1: Tìm a,b để đa thức f (x) chia hết cho đa thức g(x) , với: a) f (x) x4 9x3 21x2 ax b , g(x) x2 x 2 b) f (x) x4 x3 6x2 x a , g(x) x2 x 5 c) f (x) 3x3 10x2 5 a , g(x) 3x 1 d) f (x) x3 –3x a , g(x) (x –1)2 HD: a)Cách 1:Thực hiện phép chia f(x) cho g(x) ta được thương là x2-8x+15 và số dư là (a-1)x+b+30: Để f(x) chia hết cho g(x) thì: (a-1)x+b+30=0 với mọi x suy ra: a-1=0 và b+30=0 hay a=1; b=-30. Cách 2: g(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2). Vì g(x) có nghiệm là x=-1; 2 nên để f(x) chia hết cho g(x) thì ( ―1) = ― + 31 = 0 f(-1)=0 và f(2)=0 => (2) = + 2 + 28 = 0 => a 1,b 30 Cách 3: BÀI TẬP: Bài 1:Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f . Biết P(1) = 1 , P(2) = 4 , P(3) = 9 , P(4) = 16 , P(5) = 25 .Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) Bài 2 : Cho Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q . Biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 , Q(4) = 11 . Tính các giá trị của Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13) Bài 3 :Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Có P(1) = 0,5 ; P(2) = 2 ; P(3) = 4,5 ; P(4) = 8. Tính P (2002), P(2003) Bài 4 :Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50. Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P (8) Bài 5 : Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Có P(1) = 0 ; P(2) = 4 ; P(3) = 18 ; P(4) = 48. Tính P (2002) và P (2007 ) Bài 6 : Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m . a. Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003 . b. Tìm giá trị của m để P(x) chia hết cho x – 2,5 c. P(x) có nghiệm x = 2 . Tìm m .
Phương pháp giải toán Đại số 8 2 Bài 7 :Cho P(x) = x4 2x3 5x 7 . 3 a)Tìm đa thức thương Q(x) khi chia P(x) cho x – 5. b)Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân Bài 8 :Tìm số dư trong phép chia đa thức x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho x – 2,652. Tìm hệ số của x2 trong đ a thức thương của phép chia trên. Bài 9 :Khi chia đa thức P(x)= 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) có bậc là 3. Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x) Bài 10 : Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m . Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3 Bài 11 : Tìm n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n chia hết cho x – 2 .Với n tìm được ở trên hãy phân tích Q(x) ra tích của các thừa số bậc nhất. Bài 12 : Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n . a. Tìm các giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2 . b. Với giá trị của m và n tìm được,chứng tỏ rằng R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một nghiệm duy nhất 1 7 1 3 1 89 Bài 13 : Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c . Biết : f = ; f = ; f = . Tính 3 108 2 5 5 500 2 giá trị đúng và gần đúng của f . 3 Bài 14 : Xác định các hệ số a, b, c của đa thức:P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để sao cho P(x) chia cho (x – 12) có số dư là 1, chia cho (x – 13) có số dư là là 2, và chia cho (x – 14) có số dư là 3 (Kết quả lấy với hai chữ số ở hàng thập phân) a) Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức b) Tính P (1,15); P (1,25) ; P (1,35) ; P (1,4) Bài tập 15: cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d a)Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11. Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P (8), P (9) P( 5 ) 2 P( 6 ) b)Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10. Hãy tính A= P( 7 ) Bài tập 16:Cho đa thức P(x) = 6x5 + a x 4 + bx3 + x2 + cx + 450 . Biết đa thức P(x) chia hết cho nhị thức (x-2) ; (x- 3) ; (x – 5).Hãy tìm a ,b, c,và các nghiệm của P(x) Bài tập 17:Cho đa thức P(x) =x5 + a x 4 + bx3+cx2 + dx + e . Biết P(1) = 2; P(2) =5; P(3) = 10; P(4) = 17 ; P(5) = 26. Hãy tính P(7) ; P (8) ; P (9) ; P (10) Bài tập 18:Cho đa thức P(x) =x5 + a x 4 + bx3+cx2 + dx + e . Biết P(1) = 1; P(2) =4; P(3) = 9; P(4) = 16 ; P(5) = 25. Hãy tính P (6) ; P(7) ; P (8) ; P (9) ; P (10); P(11) Bài tập 19:Cho đa thức P(x) = x 4 + mx3+ nx2 + px + q . Biết P(1) = 5; P(2) =7;
Phương pháp giải toán Đại số 8 P(3) = 3; P(4) = 11 .Hãy tính P (11)→ P(15) Bài tập20Cho đa thức P(x) =x5 + a x 4 + bx3+cx2 + dx +132005 . Biết P(1) = 8; P(2) =11; P(3) = 14; P(4) = 17; P(5) = 25. Hãy tính P (11)→ P(15) Bài tập 21:Cho đa thức P(x) = a x 3 + bx2+cx -2008. Tìm a ,b c biết P(x)chia cho (x-25) thì dư 29542 và khi chia cho (x2-12x+ 25) dư 431 x – 2933 Bài tập 22:Cho đa thức P(x) =x4 - 2 x 3+ 5x2 + (m-3) x + 2 m - 5 .Tìm m=? biết P(-2,5) =0,49 Bài tập 23:Cho đa thức P(x) = x 3 + bx2+cx +d . Biết P(1)= P(2) =-15; P(3)= 9 a. Xác định các hệ số b;c ;d b. Tìm số dư R 1 khi chia P(x) cho (x-4 ) c. Tìm số dư R 2 khi chia P(x) cho (2x+ 3 ) Bài tập 24:Cho đa thức P(x) = x 3 +bx2+cx +d . Biết P(1)= -25; P(2) = -21 ; P(-3)= -41 a)Xác định các hệ số b;c ;d b)Tìm số dư R 1 khi chia P(x) cho (x +4 ) c)Tìm số dư R 2 khi chia P(x) cho (5x+ 7 ) d) Tìm số dư R 3 khi chia P(x) cho (5x+ 7 )(x+4) Bài tập 25:Cho đa thức P(x) = a x 3+ bx2+cx -2007.Tìm a ,b c biết P(x) chia cho (x-3) thì dư 27381 16111 ; khi chia cho(x-7) thì dư và khi chia cho(x-7) thì dư 29938 16 16 Bài tập 26:Cho đa thức P(x) =x5 + ax4 + b x 3 + cx2 +d x +2043 . Biết P(1) = 5; P(2) =7; P(3) = 9; P(4) = 11 .Hãy tính P (10)→ P(13) Bài tập 27:Cho đa thức P(x) =x5 + 2x4 -3 x 3 + 4x2 - 5 x +m . a. Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x-2,5 khi m = 2003 b. Tìm m để P(x) chia hết cho x -2,5 c. P(x) có nghiệm là x=2 . Khi đó hãy tìm m? 2 Bài tập 28:Cho đa thức P(x) = x4 -2 x 3 + 5 x +7 3 a)Tìm thương Q(x) trong phép chia P(x) cho x-5. b)Tìm số dư R trong phép chia P(x) cho x-5( Kết quả lấy chính xác 3 cstp) Bài tập 29:Cho đa thức P(x) = 22x3 + 2x -2008 . a)Tính P(14 2 )=? b)Tìm m =? để P(x) + m3 chia hết cho x-5 Bài 29 :Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết rằng: P(1945) = 1945 ; P(1954) = 1954 ; P(1975) = 1975. a) Tính P(2005). b) Q(x) = P(x) + m. Tìm giá trị của m để đa thức Q(x) chia hết cho (x - 2005,05) Bài 30. Cho đa thức P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m. a. Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm là 0,3648
Phương pháp giải toán Đại số 8 b. Với m vừa tìm được, tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức (x -23,55) c. Với m vừa tìm được hãy điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị). 1 X -2,53 4,72149 5 3 6,15 5 6 7 7 34 P(x) Bài 31: Tìm a để đa thức x 4 x 3 6x 2 x a chia hết cho đa thức x 2 x 5 . Bài 32: Tìm a, b để đa thức x 4 2x 3 3x 2 ax b chia hết cho đa thức x 2 3x 1 . Bài 33: Tìm đa thức bậc ba f(x) biết f(x) chia hết cho 2x – 1 và khi chia cho các đa thức x – 1, x + 1, x – 2 đều có số dư là 7. Bài 34: Tìm giá trị của m để đa thức P(x)= x 3 3m 1 x 2 mx 2 chia hết cho Q(x)= 2x 1 . Bài 35: a) Tìm n để đa thức x 4 x 3 6x 2 x n chia hết cho đa thức x 2 x 5 . b) Tìm n để đa thức 3x 3 10x 2 5 n chia hết cho đa thức 3x 1 . c) Tìm tất cả các số nguyên n để 2n 2 n 7 chia hết cho n 2 . Bài 36: Chứng minh B=x 3 6x 2 19x 24 chia hết cho 6 với mọi x là số tự nhiên. DẠNG 6: TÌM MSC, QUY ĐỒNG VÀ THỰC HIỆN CÁC PHÉP TOÁN TRÊN PHÂN THỨC - Tìm điều kiện xác định phân thức. - Phân tích từng mẫu số để tìm được MSC. - Nhân vào các phân thức thừa số phụ, đưa về mẫu số chung rồi thực hiện phép tính. Bài 1. Thực hiện phép tính: x 5 1 x x y 2y x2 x 1 4x a) b) c) 5 5 8 8 xy xy 5xy2 x2y 4xy2 x2y x 1 x 1 x 3 5xy 4y 3xy 4y d) e) f) 3xy 3xy a b a b a b 2x2 y3 2x2 y3 2x2 xy xy y2 2y2 x2 g) x y y x x y HD: ―4 + 2 ― 5 + 1 3( + 1) 4 a, b, c, d, 3y e, f, 5 8 ― 2
Phương pháp giải toán Đại số 8 2 2 ― + 2 2 2 ― 2 2 2 ― ― ― 2 + 2 2 ― 2 2 ― 2 + 2 ( ― )2 g, ― ― ― + ― = ― = ― = ― = ― . Bài 2. Thực hiện phép tính: 2x 4 2 x 3x 2x 1 2 x x 1 x2 3 a) b) c) 10 15 10 15 20 2x 2 2 2x2 1 2x 2x 1 x 2x y 2 6 1 d) e) f) 2 + + 2x 2x 1 2x 4x 2 xy y2 xy x2 ― 4 6 ― 3 + 2 2x2 10xy 5y x x 2y 2 1 3x x2 y2 g) h) i) x y 2xy y x x y x y x2 y2 x y HD: 2 + 8 8 ― 1 a, ; b, ; 15 15 + 1 2 + 3 ( + 1)2 2 + 3 ( + 1)2 ― 2 ― 3 c,2( ― 1) ― 2( 2 ― 1) = 2( ― 1)( + 1) ― 2( ― 1)( + 1) = 2( ― 1)( + 1) = 2 ― 2 + 1 ― 2 ― 3 2( ― 1) 1 2( ― 1)( + 1) = 2( ― 1)( + 1) = + 1. 1 ― 2 2 1 (1 ― 2 )(2 ― 1) 2 .2 1 d, 2 + 2 ― 1 ― 2 (2 ― 1) = 2 (2 ― 1) + 2 (2 ― 1) ― 2 (2 ― 1) = ―4 2 + 4 ― 1 + 4 2 ― 1 4 ― 2 1 . 2 (2 ― 1) = 2 (2 ― 1) = 2 ― 2 ― 2 2 ― 2 2 ― 2 + 2 ( ― )2 e, ― 2 ― 2 ― = ( ― ) ― ( ― ) = ( ― ) ― ( ― ) = ( ― ) = ( ― ) ― = . 2 2 1 2 ― 2( + 2) + ― 2 2 ― ― 6 ( ― 3)( + 2) f, ( ― 2)( + 2) ― ― 2 + + 2 = ( ― 2)( + 2) = ( ― 2)( + 2) = ( ― 2)( + 2) = ― 3 . ― 2 2 2 ― 10 10 ― 2 2 2 + 4 2 2 ( + 2 ) + 2 g, . 2 + 2 + 2 = 2 = 2( ― ) + 3 ― h, ( ― )( + ) + ( ― )( + ) ― ( ― )( + ) = ( ― )( + ). ( + )2 2 + 2 2 2 2 2 2( 2 + + 2) i, + 2 + + + . + + + = + = + Bài 3. Thực hiện phép tính:
Phương pháp giải toán Đại số 8 2x y 4 1 3xy x y a) 2 2 2 2 b) x 2xy xy 2y x 4y x y y3 x3 x2 xy y2 2x y 16x 2x y 1 1 2 4 8 16 c) d) 2x2 xy y2 4x2 2x2 xy 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16 HD: 2 4 2 1 4 a, ( + 2 ) + ( ― 2 ) + ( + 2 )( ― 2 ) = ( + 2 ) + ( ― 2 ) + ( + 2 )( ― 2 ) = 2( ― 2 ) + + 2 + 4 3 ― 2 + 4 ( ― 2 )( + 2 ) = ( ― 2 )( + 2 ). 1 3 ― 2 + + 2 3 b, ― ― 3 ― 3 + 2 + + 2 = ( ― )( 2 + + 2) ― ( ― )( 2 + + 2) + ( ― )2 2( 2 ― 2 + 2) 2( ― )2 2( ― ) ( ― )( 2 + + 2) = ( ― )( 2 + + 2) = ( ― )( 2 + + 2) = ( 2 + + 2) (2 + )2 ― 16 2 + (2 ― )2 2( 2 ― 4 2) ―2(2 ― )(2 + ) ―2 c, (2 ― )(2 + ) = (2 ― )(2 + ) = (2 ― )(2 + ) = 1 1 2 4 8 16 2 2 4 d, ( + + + + = + + + 1 ― + 1 + ) 1 + 2 1 + 4 1 + 8 1 + 16 (1 ― )(1 + ) 1 + 2 1 + 4 8 16 1 + 8 +1 + 16 2 2 4 8 16 4 4 8 16 32 = + + + = + + + = 1 ― 2 + 1 + 2 1 + 4 1 + 8 1 + 16 1 ― 4 1 + 4 1 + 8 1 + 16 1 ― 32 Bài 3. Thực hiện phép tính: 1 3x x 3 2(x y)(x y) 2y2 3x 1 2x 3 a) b) c) 2 2 x x x y x y xy x2 1 4x 1 7 x 1 d) e) 2x y y 2x 3x 2 y 3x 2 y HD: a, -2x-1 b, 2x c, (x+4)/(x+y) d, (xy+x2-1)/(2x-y) e, -1/(xy) Bài 4. Thực hiện phép tính: 4x 1 3x 2 x 3 x 9 x 3 1 a) b) c) 2 3 x x 3 x2 3x x2 1 x2 x 1 4 10x 8 3 2x 1 2 3x x d) e) f) 3x 2 3x 2 9x2 4 2x2 2x x2 1 x 5x 5y 10x 10y 4a2 3a 5 1 2a 6 5x2 y2 3x 2y x 9y 3y g) h) i) a3 1 a2 a 1 a 1 xy y x2 9y2 x2 3xy
Phương pháp giải toán Đại số 8 4 3x 2 6 3x 2 3 x 6 2 x 1 k) l) 2 m) x 1 x 2 2x 1 x 2 1 x 2 2x 1 2 x 6 2 x 6 x x2 1 5 10 15 n) a 1 a (a2 1) a3 1 Bài 5. Thực hiện phép tính: 1 6x 2x2 15x 2y2 a) . b) .3xy2 c) . x y y 7y3 x2 2x2 y 5x 10 4 2x x2 36 3 d) . e) . f) . x y 5x3 4x 8 x 2 2x 10 6 x x2 9y2 3xy 3x2 3y2 15x2y 2a3 2b3 6a 6b g) . h) . i) . x2y2 2x 6y 5xy 2y 2x 3a 3b a2 2ab b2 HD: Bài 6. Thực hiện phép tính: 2x 5 18x2y5 25x3y5 a) : b) 16x2y2 : c) :15xy2 3 6x2 5 3 x2 y2 x y a2 ab a b x y x2 xy d) : e) : f) : 6x2y 3xy b a 2a2 2b2 y x 3x2 3y2 1 4x2 2 4x 5x 15 x 2 9 6x 48 x 2 64 g) : h) : i) : x2 4x 3x 4x 4 x 2 2x 1 7x 7 x 2 2x 1 4x 24 x 2 36 3x 21 x 2 49 3 3x 6x 2 6 k) : l) : m) : 5x 5 x 2 2x 1 5x 5 x 2 2x 1 (1 x) 2 x 1 Bài 7. Thực hiện phép tính: 1 2 x 1 3x 2x 6x 2 10x a) 2 : x 2 b) : 2 x x x 1 x 1 3x 3x 1 1 6x 9x 9 1 x 3 x x 1 x 2 x 3 c) 3 : 2 d) : : x 9x x 3 x 3x 3x 9 x 2 x 3 x 1 Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau: 1 1 x x 1 x y x a) b) x 1 x c) 1 1 1 x x 1 x 1 x y x 1 x x 1
Phương pháp giải toán Đại số 8 2 x y a x x 1 y x d) x 1 e) f) a a x x2 2 x y x y a x x 1 x2 1 x y x y a a x DẠNG 7: TÌM X NGUYÊN ĐỂ BIỂU THỨC F(x)/G(x) NGUYÊN. Cách 1: Phân tích tử số theo mẫu số: Cách 2: Thực hiện phép chia F(x) cho G(x) rồi viết biểu thức dưới dạng: 푭(풙) 푭(풙) 푮(풙) = 푯(풙) + 푮(풙). Để 푮(풙) là số nguyên thì a ⋮ G(x) từ đó tìm được x. Bài 9. Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên: x3 x2 2 x3 2x2 4 2x3 x2 2x 2 a) b) c) x 1 x 2 2x 1 3x3 7x2 11x 1 x4 16 d) e) 3x 1 x4 4x3 8x2 16x 16 HD: x3 x2 2 a, Cách 1: Để x 1 Có giá trị nguyên thì : x3-x2+2 Bài 10. * Tính các tổng: a b c a) A (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) a2 b2 c2 b) B (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) Bài 11. * Tính các tổng: 1 1 1 1 1 1 1 a) A HD: 1.2 2.3 3.4 n(n 1) k(k 1) k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) B HD: 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2) k(k 1)(k 2) 2 k k 2 k 1 Bài 12. * Chứng minh rằng với mọi m N , ta có:
Phương pháp giải toán Đại số 8 4 1 1 a) 4m 2 m 1 (m 1)(2m 1) 4 1 1 1 b) 4m 3 m 2 (m 1)(m 2) (m 1)(4m 3) 4 1 1 1 c) 8m 5 2(m 1) 2(m 1)(3m 2) 2(3m 2)(8m 5) 4 1 1 1 d) 3m 2 m 1 3m 2 (m 1)(3m 2) DẠNG 7: TÌM ĐA THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH PP: Đồng nhất hệ số của phần biến ở hai vế của đẳng thức. Bài 1. Cho biết đa thức f (x) chia hết cho đa thức g(x) . Tìm đa thức thương: a) f (x) x3 5x2 11x 10 , g(x) x 2 HD: q(x) x2 3x 5 b) f (x) 3x3 7x2 4x 4 , g(x) x 2 HD: q(x) 3x2 x 2 Bài 2. Phân tích đa thức P(x) x4 x3 2x 4 thành nhân tử, biết rằng một nhân tử có dạng: x2 dx 2 . HD: P(x) (x2 x 2)(x2 2) . Bài 3. Với giá trị nào của a và b thì đa thức x3 ax2 2x b chia hết cho đa thức x2 x 1 . HD: a 2,b 1 . Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3 x2 14x 24 b) x3 4x2 4x 3 c) x3 7x 6 d) x3 19x 30 e) a3 6a2 11a 6 Bài 5. Tìm các giá trị a, b, k để đa thức f (x) chia hết cho đa thức g(x) : a) f (x) x4 9x3 21x2 x k , g(x) x2 x 2 . HD: k 30 . b) f (x) x4 3x3 3x2 ax b , g(x) x2 3x 4 . HD: a 3,b 4 . Bài 6. Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức f (k) k3 2k2 15 chia hết cho nhị thứcg (k) k 3 . HD: k 0,k 3 . Bài 7. Tìm a, b, c, d biết: a) (ax+b)(x2+cx+1)=x3=3x+2
Phương pháp giải toán Đại số 8 b) x4+ax2+b=(x2-3x+2)(x2+cx+d) c) (ax2+bx+c)(x+3)=x3+2x2-3x d) x4+x3-x2+ax+b=(x2+x-2)(x2+cx+d) Bài 8: * Phân tích các phân thức sau thành tổng các phân thức mà mẫu thức là các nhị thức bậc nhất: 2x 1 x2 2x 6 3x2 3x 12 a) b) c) x2 5x 6 (x 1)(x 2)(x 4) (x 1)(x 2)x Bài 9: * Tìm các số A, B, C để có: x2 x 2 A B C x2 2x 1 A Bx C a) b) (x 1)3 (x 1)3 (x 1)2 x 1 (x 1)(x2 1) x 1 x2 1 Bài 10: Tìm a,b,c: a) (2x-5)(3x+b)=ax2+x+c. b) (ax+b)(x2-x-1)=ax3+cx2-1. Bài 10: Cho m là số nguyên dương nhỏ hơn 30. Có bao nhiêu giá trị của m để x 2+mx+72 là tích của hai đa thức bậc nhất với hệ số nguyên? Bài 11: Xác định a,b để x4-2x3+3x2+ax+b là bình phương của một đa thức. DẠNG 8: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC PP: - Ta biến đổi về trái thành về phải hoặc ngược lại bằng các khai triển hoặc sử dụng hằng đẳng thức. Sauk hi biến đổi thấy 2 vế bằng nhau suy ra đpcm. - Với các bài toán chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x: sau khi biến đổi ta sẽ được một hằng số. Suy ra biểu thức không phụ thuộc vào x BÀI TẬP: Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau: a) (x y)(x4 x3y x2y2 xy3 y4) x5 y5 b) (x y)(x4 x3y x2y2 xy3 y4) x5 y5 c) (a b)(a3 a2b ab2 b3) a4 b4 d) (a b)(a2 ab b2) a3 b3 Bài 2: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) A (3x 7)(2x 3) (3x 5)(2x 11) b) B (x2 2)(x2 x 1) x(x3 x2 3x 2) c) C x(x3 x2 3x 2) (x2 2)(x2 x 1)
Phương pháp giải toán Đại số 8 d) D x(2x 1) x2(x 2) x3 x 3 e) E (x 1)(x2 x 1) (x 1)(x2 x 1) Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) (2x 3)(4x2 6x 9) 2(4x3 1) b) (4x 1)3 (4x 3)(16x2 3) c) 2(x3 y3) 3(x2 y2) với x y 1 d) (x 1)3 (x 1)3 6(x 1)(x 1) (x 5)2 (x 5)2 (2x 5)2 (5x 2)2 e) f) x2 25 x2 1 HD: a) 29 b) 8 c) –1 d) 8 e) 2 f) 29 Bài 4: Chứng minh rằng với mọi giá trị của x các đẳng thức sau đây nhận giá trị dương a/ P = x2 – 6x +10 b/ Q = x2 + x + 1 c/ R = (x - 3)(x - 5) + 4 d/x2-xy+y2 HD: 2 3 2 2 a, (x-3)2+1 b, ( + 1 ) + c, (x-4)2+3 d, ( ― ) + 3 2 4 2 4 Bài 5: Chứng minh rằng không có giá trị nào của x để đẳng thức dưới đây nhận giá trị dương: a/ M = -x2 + 4x -5 b/ N = -9x2 + 24x – 18 HD: a, M=-(x-2)2-1 N=-(3x-4)2-2 Bài 6: a. cho a2+b2+c2=ab+bc+ca, chứng minh a=b=c . b. Cho 2(a2+b2)=(a-b)2 chứng minh a và b đối nhau. HD: a, 2(a2+b2+c2)=2(ab+bc+ca)  (a2-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)+(b2-2bc+c2)=0  (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0  a=b=c. b, 2a2+2b2=a2-2ab+b2  a2+2ab+b2=0  (a+b)2=0  a= - b. Bài 7:Chứng minh không tồn tại x,y thỏa mãn đẳng thức sau: a. 3x2+y2+10x-2xy+26=0 b. 4x2+3y2-4x+30y+78=0 c. 3x2+6y2-12x-20y+40=0 HD: 5 27 5 34 a, 2(x+ )2+(x-y)2+ b, (2x-1)2+3(y+5)2+2 c, 3(x-2)2+6(y- )2+ . 2 2 3 3 Bài 8: a. cho a+b+c+d=0 CMR: a4+b4+c4+d4=2(ab+bc+ca)2 b. cho a+b+c=0 và a2+b2+c2=1, chứng minh a4+b4+c4+d4=1/2 Bài 9: Chứng minh:
Phương pháp giải toán Đại số 8 a) A=x2+x+1 luôn dương. b) B=x2-xy+y2 luôn dương với x,y dương. c) C=4x-10-x2 luôn âm. Bài 10: Chứng minh rằng: a) Hai số chẵn hơn kém nhau 4 đơn vị thì hiệu các bình phương của chúng chia hết cho 16. b) Hai số lẻ hơn kém nhau 6 đơn vị thì hiệu các bình phương của chúng chia hết 24. Bài 11: Cho m>n>0 và a=m2+n2; b=m2-n2; c=2mn. Chứng minh rằng a,b,c là ba cạnh của tam giác vuông. Bài 12: Tìm x và n biết: x2+2x+4n-2n+1+2=0 Bài 13: Cho x+y+z=0. Chứng minh x3+y3+z3=3xyz. Bài 14: Rút gọn: A=(x-y-1)3-(x-y+1)3+6(x+y)2. Bai 15: Cho (x+2y)(x2-2xy+4y2)=0 và (x-2y)(x2+2xy+4y2)=16. Tìm x, y? Bài 16: Chứng minh: A=7423-6923 ⋮ 200 B=6853+3153 ⋮ 25000. Bài 17: Cho a+b+c+d=0. CMR: a3+b3+c3+d3=3(b+c)(ad-bc) Bài 18: Cho a+b+c=0. CMR: a) (ab+bc+ca)2=(ab)2+(bc)2+(ac)2. b) a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 2 2 2 4 4 4 1 Bài 19: Cho a+b+c=0 và a +b +c =1. Chứng minh : a +b +c = 2. Bài 20: Tìm tổng các hệ số của các hạng tử trong khai triển: A= (5x-3)6 B= (3x-4y)10. DẠNG 9: ĐIỀN VÀO CHỖ TRỐNG PP: Chú ý đến lũy thừa của các biến rồi dựa vào 7 hằng đẳng thức Bài tập: Điền vào chỗ trống cho thích hợp: a) x2 4x 4 b) x2 8x 16 c) (x 5)(x 5) d) x3 12x2 48x 64 e) x3 6x2 12x 8 f) (x 2)(x2 2x 4) g) (x 3)(x2 3x 9) h) x2 2x 1 i) x2 –1 k) x2 6x 9 l) 4x2 –9 m) 16x2 –8x 1 n) 9x2 6x 1 o) 36x2 36x 9 p) x3 27 DẠNG 10 : SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ SO SÁNH, TÍNH NHANH
Phương pháp giải toán Đại số 8 Bài 1: So sánh hai số bằng cách vận dụng hằng đẳng thức: a) A 1999.2001 và B 20002 b)A 216 và B (2 1)(22 1)(24 1)(28 1) 2 2 4 64 128 c) A 2011.2013 và B 2012 d) A 4(3 1)(3 1) (3 1) và B 3 1, e) A=262-242 và B=272-252 HD: a, A=(2000-1)(2000+1)=20002-1<20002 b, B=(2-1)(2+1)(22+1) (28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=216-1<216 c, A=(2012-1)(2012+1)=20122-1<20122. d, 2A=8.(32+1)( .(364+1)= (32-1)(32+1)( .(364+1)=3128-1 nên A=(3128-1):2<(3128-1) e, A=(26-24)(26+24)=2.50; B=(27-25)(27+25)=2.52 Bài 2: Tính nhanh: 1012; 1992; 47.53; HD: 1012=(100+1)2=1002+2.100+1 1992=(200-1)2=2002-2.200+1 47.53=(50-3)(50+3)=502-9 Bài 3: Chứng minh : 1002+1032+1052+942=1012+982+962+1072 HD: Ta có: 1002+1032+1052+942-1012-982-962-1072=(1002-1012)+(1032-982)+(942-962)+(1052- 1072)=0 Bài 4: Tính hợp lí: 2 2 a) A= 258 ― 242 . 2542 ― 2462 b) B=2632+74.263+372. c) C=1362-92.136+462. d) (502+482+ +22)-(492+472+ +12) HD: 2 2 (258 + 242)(258 ― 242) a, 258 ― 242 2542 ― 2462 = (254 + 246)(254 ― 246) = 2 b, (263+37)2=3002=90000. c, (136-46)2=902=8100. d, (502-492)+(482-472) +(22-12)=99+95+ .3= Bài 4: a) Cho 2(a2+b2)=(a-b)2. Chứng minh a và b là hai số đối nhau. b) Cho 2(a2+b2)=(a+b)2. Chứng minh a = b. HD:
Phương pháp giải toán Đại số 8 2a2+2b2=a2-2ab+b2  a2+2ab+b2=0  (a+b)2=0  a=-b Bài 5: Cho a2+b2+c2=ab+bc+ac. Chứng minh a=b=c. HD: a2+b2+c2=ab+bc+ac  2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac  (a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+c2)=0  (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0  a=b=c. Bài 6: Cho a,b,x,y là các số khác 0. Cho (a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2.Tìm hệ thức giữa a,b,x,y. HD: (a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2  (ax)2+(ay)2+(bx)2+(by)2=(ax)2+2axby+(by)2  (ay)2-2ay.bx+(bx)2=0  (ay-bx)2=0  ay=bx. Dạng 11: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, chứng minh biểu thức luôn dương, luôn âm, phân tích một biểu thức về tổng các bình phương:(xem chuyên đề riêng) PP: - Tìm giá trị nhỏ nhất a+ .|풇(풙)|+c.품 (풙) ( Chỉ có GTNN) Vì | ( )|≥0; 2 ( ) ≥ 0 nên a+ .| ( )|+c. 2 ( ) ≥ a. Vậy GTNN là a khi ( )=0 và ( )=0 suy ra x. - Tìm giá trị nhỏ nhất 풅 ( Chỉ có GTNN) 퐚 ― .|풇(풙)| ― 퐜.품 (풙) 풅 Vì ≥0; 2 nên a- -c. 2 a., suy ra 풅. | ( )| ( ) ≥ 0 .| ( )| ( ) ≤ 퐚 ― .|풇(풙)| ― 퐜.품 (풙) ≥ 퐚 Vậy GTNN là 풅. khi =0 và =0 suy ra x. 퐚 ( ) ( ) - Tìm giá trị lớn nhất a- .|풇(풙)|-c.품 (풙)( Chỉ có GTLN) Vì | ( )|≥0; 2 ( ) ≥ 0 nên a- .| ( )|-c. 2 ( ) ≤ a. Vậy GTLN là a khi ( )=0 và ( ) =0 suy ra x. - Tìm giá trị lớn nhất 풅 ( Chỉ có GTLN) 퐚 + .|풇(풙)| + 퐜.품 (풙) 풅 Vì ≥0; 2 nên a+ +c. 2 a., suy ra 풅. | ( )| ( ) ≥ 0 .| ( )| ( ) ≥ 퐚 ― .|풇(풙)| ― 퐜.품 (풙) ≤ 퐚 Vậy GTLN là 풅. khi =0 và =0 suy ra x. 퐚 ( ) ( ) Sử dụng bất đẳng thức a b a b Chú ý: - Đối với các bài toán tìm giá trị lớn nhất trong chương này, ta thường đặt dấu (-) ra bên ngoài biểu thức rồi dùng phương pháp thêm bớt về hằng đẳng thức mũ 2. - Đối với các hằng đẳng thức 3 số, ta cần nhìn vào vế sau khai triển ( 2ab+2bc+2ac) để 2 2 2 2 tách về HĐT: G x – 4xy 5y 10x –22y 28 =G (x 2y 5) (y 1) 2 2
Phương pháp giải toán Đại số 8 - Đối với những đa thức có dạng phân số bậc 2/2, mẫu số là HĐT, ta đặt mẫu số =t. hoặc phân tích tử số về HĐT: - Đây cũng là dạng toán chứng minh biểu thức luôn dương, luôn âm. BÀI TẬP: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A 5x – x2 b) B x – x2 c) C 4x – x2 3 d) D –x2 6x 11 e) E 5 8x x2 f) F 4x x2 1 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x2 –6x 11 b) B x2 –20x 101 c) C x2 6x 11 d) D (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) e) E x2 2x y2 4y 8 f) x2 4x y2 8y 6 g) G x2 – 4xy 5y2 10x –22y 28 h) (x-1)(x+2)(x+3)(y+6) i) x2 – 4x + y2 – 8y + 6 HD: g) G (x 2y 5)2 (y 1)2 2 2 Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) x2 x 1 b) 2 x x2 c) x2 4x 1 d) 4x2 4x 11 e) 3x2 6x 1 f) x2 2x y2 4y 6 g) h(h 1)(h 2)(h 3) Bài 4: Tìm GTLN,GTNN. a) 25x2+3y2-10x+11. b) (x-3)2+(x-11)2. c) (x+1)(x-2)(x-3)(x-6). d) 2x-x2. e) 19-6x-9x2. DẠNG 12: CHỨNG MINH CHIA HẾT PP: Nếu biểu thức là tổng các lũy thừa: - Tính tổng rồi xét chữ số tận cùng. - Nhóm 2 hoặc 3 thừa số liền kề, cách quãng rồi đặt nhân tử chung để xuất hiện số chia. Nếu biểu thức yêu cầu chứng minh f(x) choa hết cho g(x) ta dùng một trong các cách sau: - Kẻ cột và thực hiện phép chia, chỉ ra số dư bằng 0.
Phương pháp giải toán Đại số 8 - Tìm nghiệm của g(x) là a,b .và chỉ ra f(a)=0; f(b)=0 - Dùng tính chất chia hết: an -bn chia hết (a-b) an +bn chia hết (a+b) Tích của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 6, tích của 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 24. Nếu bài cho ax+by ⋮ m. Chứng minh cx+dy ⋮ m ta sử dụng tính chất chia hết của tổng hoặc hiệu. BÀI TẬP: Bài 1:Chứng minh: A=2+22 .+2100 chia hết cho 3; 5 Bài 2: 11n+2+122n+1 chia hết 133 5n+2+26.5n+82n+1 chia hết 59. Bài 3: Chứng minh f(x)=(x2-3x+1)31-(x2-4x+5)30 +2 chia hết x-2 HD: thay f(2)=0 Bài 3: Chứng minh rằng: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ PP: 1/ Đặt nhân tử chung , dùng hằng đẳng thức , nhóm các hạng tử. 2/Tách các hạng tử . 3/ Thêm bớt một hạng tử . 4/ Phương pháp hệ số bất định 5/ Phương pháp đổi biến . 6/ Phương pháp xét giá trị riêng 7/ Phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử Dạng 1. Phương pháp đặt nhân tử chung Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 4x2 6x b) 9x4y3 3x2y4 c) x3 2x2 5x d) 3x(x 1) 5(x 1) e) 2x2(x 1) 4(x 1) f) 3x 6xy 9xz Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 2x2y 4xy2 6xy b) 4x3y2 8x2y3 2x4y c) 9x2y3 3x4y2 6x3y2 18xy4 d) 7x2y2 21xy2z 7xyz 14xy
Phương pháp giải toán Đại số 8 5 3 e) a3x2y a3x4 a4x2y 2 2 Dạng 2. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3 2x2 2x 1 b) x2y xy x 1 c) ax by ay bx d) x2 (a b)x ab e) x2y xy2 x y f) ax2 ay bx2 by Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ax 2x a2 2a b) x2 x ax a c) 2x2 4ax x 2a d) 2xy ax x2 2ay e) x3 ax2 x a f) x2y2 y3 zx2 yz Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 2x 4y2 4y b) x4 2x3 4x 4 c) x3 2x2y x 2y d) 3x2 3y2 2(x y)2 e) x3 4x2 9x 36 f) x2 y2 2x 2y Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x 3)(x 1) 3(x 3) b) (x 1)(2x 1) 3(x 1)(x 2)(2x 1) c) (6x 3) (2x 5)(2x 1) d) (x 5)2 (x 5)(x 5) (5 x)(2x 1) e) (3x 2)(4x 3) (2 3x)(x 1) 2(3x 2)(x 1) Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (a b)(a 2b) (b a)(2a b) (a b)(a 3b) b) 5xy3 2xyz 15y2 6z c) (x y)(2x y) (2x y)(3x y) (y 2x) d) ab3c2 a2b2c2 ab2c3 a2bc3 e) x2(y z) y2(z x) z2(x y) Dạng 3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức Bài 6. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 4x2 12x 9 b) 4x2 4x 1 c) 1 12x 36x2 x2 d) 9x2 24xy 16y2 e) 2xy 4y2 f) x2 10x 25 4 g) 16a4b6 24a5b5 9a6b4 h) 25x2 20xy 4y2 i) 25x4 10x2y y2 Bài 7. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Phương pháp giải toán Đại số 8 a) (3x 1)2 16 b) (5x 4)2 49x2 c) (2x 5)2 (x 9)2 d) (3x 1)2 4(x 2)2 e) 9(2x 3)2 4(x 1)2 f) 4b2c2 (b2 c2 a2)2 g) (ax by)2 (ay bx)2 h) (a2 b2 5)2 4(ab 2)2 i) (4x2 3x 18)2 (4x2 3x)2 k) 9(x y 1)2 4(2x 3y 1)2 l) 4x2 12xy 9y2 25 m) x2 2xy y2 4m2 4mn n2 Bài 8. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 8x3 64 b) 1 8x6y3 c) 125x3 1 y3 d) 8x3 27 e) 27x3 f) 125x3 27y3 8 Bài 9. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3 6x2 12x 8 b) x3 3x2 3x 1 c) 1 9x 27x2 27x3 3 3 1 d) x3 x2 x e) 27x3 54x2y 36xy2 8y3 2 4 8 Bài 10.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 4x2y2 y2 2xy b) x6 y6 c) 25 a2 2ab b2 d) 4b2c2 (b2 c2 a2)2 e) (a b c)2 (a b c)2 4c2 Bài 11.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x2 25)2 (x 5)2 b) (4x2 25)2 9(2x 5)2 c) 4(2x 3)2 9(4x2 9)2 d) a6 a4 2a3 2a2 e) (3x2 3x 2)2 (3x2 3x 2)2 Bài 12.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (xy 1)2 (x y)2 b) (x y)3 (x y)3 c) 3x4y2 3x3y2 3xy2 3y2 d) 4(x2 y2) 8(x ay) 4(a2 1) e) (x y)3 1 3xy(x y 1) Bài 13.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3 1 5x2 5 3x 3 b) a5 a4 a3 a2 a 1 c) x3 3x2 3x 1 y3 d) 5x3 3x2y 45xy2 27y3 e) 3x2(a b c) 36xy(a b c) 108y2(a b c) Dạng 4. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Phương pháp giải toán Đại số 8 1, Với các đa thức có dạng ax2+bx+c Trong thực hành ta thực hiện như sau: a, Tìm tích a.c b, phân tích a.c ra thừa số nguyên bằng mọi cách. c, Chọn hai thừa số có tổng bằng b. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : : 4x2 -4x-3 Ta có a.c= 4(-3) = (-3)4 = 6(-2) =(-6)2 ta thấy -6 +2 = -4do đó ta phân tích -4x thành -6x + 2x . Đối với đa thức bậc ba trở lên người ta chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do. Ví dụ : Phân tích đa thức : x3 - x2 -4 đa thức này có nghiệm nguyên thì phải là ước của 4 lần lượt ta kiểm tra ±1 , ±2 , ±3 ,±4 ta thấy x =2 là nghiệm của đa thức do đó đa thức có chứa nhân tử x – 2 vậy ta tách đa thức trên thành : x3 - x2 -4 = x3 -2 x2 + x2 -4 = x2 (x-2) +(x-2)(x+2) = Chú ý: Đôi khi việc nhẩm a.c rồi tách thành 2 số có tổng bẳng b rất khó khăn. Các em biến đổi dựa vào hằng đẳng thức số 1 và số 2 để đưa về dạng f 2(x)+d. Nếu d>0 thì đa thức trên không phân tích thành nhân tử được nữa. Nếu d<0 thì các em dùng hằng đẳng thức số 3 để phân tích tiếp: Ví dụ: 5 25 441 5 21 5 21 5 21 x2+5x-104=(x2+2.x. + ) - =(x+ )2 –( )2=(x+ ― )(x+ + )=(x-8)(x+13). 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2/ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức cố chứa nhân tử x -1 . Ví dụ : Phân tích đa thức x3 - 5x2 +8x -4 ta thấy 1 -5 +8 -4 =0 nên đathức có chứa nhân tử x – 1 vậy ta tách như sau: x3 - x2 - 4 x2 +8x -4 = x2 (x-1) – 4(x-1) 2` 3/Nếu đa thức có tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức chứa nhân tử x +1. Ví dụ: Phân tích đa thức x3 - 5x2 + 3x +9 ta thấy 1+3 = -5+9 nên -1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức chứa nhân tử x+1 ta phân tích như sau : x3 - 5x2 +3x +9 = x3 + x2 - 6x2 +3x +9 = x3 + x2 - 6x2 -6+3x +3 =x2 (x+1) -6(x-1)(x+1)+3(x+1) = Trong trường hợp đa thức không có nghiệm nguyên ;đa thức cố thể có nghiệm hửu tỉ , người ta p chứng minh được rắng đa thức có các hệ số nguyên nghiệm hửu tỉ nếu có phải có dạng trong q đó p là ước của hệ số tự do và q là ước dương của hệ số cao nhất . Ví dụ : Phân tích đa thức 3x
Phương pháp giải toán Đại số 8 1 5 3 - 7x2 +17x -5 ta thấy các số ±1 ,±5 không phải là nghiệm của đa thức ,xét các số ± , ± ta có 3 3 1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức chứa thừa số 3x-1 ta tách hạng tử như sau : 3 3x3 - 7x2 +17x -5 = 3x3 - x2 -6 x2 +2x + 15x-5 =x2 (3x-1)- 2x( 3x-1)+ 5(3x-1)=. BÀI TẬP: Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 5x 6 b) 3x2 9x 30 c) x2 3x 2 d) x2 9x 18 e) x2 6x 8 f) x2 5x 14 g) x2 6x 5 h) x2 7x 12 i) x2 7x 10 Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 3x2 5x 2 b) 2x2 x 6 c) 7x2 50x 7 d) 12x2 7x 12 e) 15x2 7x 2 f) a2 5a 14 g) 2m2 10m 8 h) 4p2 36p 56 i) 2x2 5x 2 Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 4xy 21y2 b) 5x2 6xy y2 c) x2 2xy 15y2 d) (x y)2 4(x y) 12 e) x2 7xy 10y2 f) x2yz 5xyz 14yz Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) a4 a2 1 b) a4 a2 2 c) x4 4x2 5 d) x3 19x 30 e) x3 7x 6 f) x3 5x2 14x Bài 5. phân tích đa thức thành nhân tử: 1, x3-5x2+8x-4 2, x3+2x-3 3, x3+5x2+8x+4 4, x3-7x+6 5, x3-9x2+6x+16 6, 4x3-13x2+9x-18 7, x3-4x2-8x-8 8, -x3-6x2+6x+1 9, 6x3-x2-486x+81 10, x3-7x-6 11, x3-3x+2 12, x3-5x2+3x+9 13, x3+8x2+17x+10 14, x3+3x2+6x+4 15, x3-2x-4 16, 2x3-12x2+17x-2 17, x3+x2+4 18, x3+3x2+3x+2 19, x4+2x3+x2+x+1 20, 3x3-14x2+4x+3 21, x3+9x2+26x+24. Dạng 5: Phương pháp thêm bớt một hạng tử: a/Thêm bớt một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương Ví dụ : Phân tích da thức 4x4 +81 ta thêm bớt 36x2 ta có 4x4 +81 = 4x4 +36x2 +81 -36x2 = (2x2 +9)2 – (6x)2 =
Phương pháp giải toán Đại số 8 Nhận xét : Trong trường hợp này dùng cho đa thức có hai hạng tử. b/ Thêm bớt một hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung. Ví dụ : Phân tích đa thức x5` +x -1 ta thêm bớt x4 ,x3 ,x2 như sau: x5` +x -1 = x5` +x4 +x3 +x2 -x4 -x3 -x2 +x -1 = (x5` -x4 +x3 )+(x4 -x3 +x2 ) –(x2 -x +1 ) = Chú ý : Các đa thức có dạng x3m 1 + x3n 2 +1 đều chứa nhân tử x2 + x +1 Các đa thức có dạng x3m 1 - x3n 2 +1 đều chứa nhân tử x2 - x +1 Ví dụ: x7 + x5` +1; : x7 +x2 +1 ; x+ x5` +1; x+ x8 +1 BÀI TẬP: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1, (1+x2)2-4x(1-x2) 2, (x2-8)2+36 3, x4+4 4, x4+64. 5, 64x4+1 6, 81x4+4 7, 4x4+81 8, 64x4+y4 9, x4+4y4 10, x4+x2+1 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1, x7+x2+1 2, x7+x5+1 3, x5+x4+1 4, x5+x+1 5, x8+x7+1 6, x5-x4-1 7, x5+x-1 8, x10+x5+1 Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x4 4 b) x4 64 c) x8 x7 1 d) x8 x4 1 e) x5 x 1 f) x3 x2 4 g) x4 2x2 24 h) x3 2x 4 i) a4 4b4 HD: Số hạng cần thêm bớt: a) 4x2 b)16x2 c)x2 x d) x2 e)x2 f) x2 g) 4x2 h) 2x2 2x i) 4a2b2 Dạng 6: Phương pháp hệ số bất định. Nếu đa thức f(x) không có nghiệm nguyên ,cũng không co nghiệm hửu tỉ ta dùng phương pháp hệ số bất định. Ví dụ: Phân tích đa thức x4 -6x3 +12x2 -14x +3. Nếu đa thức nàyphân tích thành nhân tử thì có dạng (x2 +ax +b )(x2 + cx +d ) phép nhân này cho ta kết quả x4 +(a+c)x3 +(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd đồng nhất đa thức này vứi đa thức đã cho ta điều kiện a+c = -6 ac+b+d = 12 ad+bc = -14 , bd = 3 Xét bd =3 với bd Z b { ±1 , ±3} với b =3 ; d =1thì hệ trên trở thành
Phương pháp giải toán Đại số 8 a +c = -6, ac = 8 a+ 3c = -14 2c = -14 – (-6) c = -4 a= -2 vậy đa thức trên được phân tích thành (x2 -2x +3 )(x2 -4x + 1 ) BÀI TẬP: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x4-6x3+12x2-14x+3 b) 4x4+4x3+5x2+2x+1 c) 3x2+22xy+11x+37y+7y2+10 d) x4-7x3+14x2-7x+1 e) x4-8x+63 Bài 2: Dùng phương pháp hê sô bất định: a) 4x4 +4x3+5x2 +2x +1 b) x4 -7x3+14x2 -7x +1 c) (x+1)4 +(x2 +x +1) d) x4- x3-x +63 Dạng 7: Phương pháp đổi biến Ta đặt một đa thức bằng một biến khác để làm gọn đa thức hơn dễ giải hơn Ví dụ : Phân tích đa thức x(x+4)(x+6)(x+10) +128 = (x2 +10x)(x2 +10x + 24 ) đặt x2 +10x + 12 =y (y-12)(y+12) +128 = y2 -16 = (y-4)(y+4) = Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1, x(x+4)(x+6)(x+10)+128 2, (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24 3, (x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2 4, (x2+x)2+4x2+4x-12 5, x2+2xy+y2+2x+2y-15 6, (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a)+a4 7, 6x4-11x2+3 8, (x2+x)2+3(x2+x)+2 9, x2-2xy+y2+3x-3y-10 10, (x2+2x)2+9x2+18x+20 11, x2-4xy+4y2-2x+4y-35 12, (x+2)(x+4)(x+6)(x+8) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x4+6x3+7x2-6x+1 b) (x2+y2+z2)(x+y+z)2+(xy+yz+zx)2 Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ) a) (x2 x)2 14(x2 x) 24 b) (x2 x)2 4x2 4x 12 c) x4 2x3 5x2 4x 12 d) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 1 e) (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 15 f) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24 Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ)
Phương pháp giải toán Đại số 8 a) (x2 4x 8)2 3x(x2 4x 8) 2x2 b) (x2 x 1)(x2 x 2) 12 c) (x2 8x 7)(x2 8x 15) 15 d) (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 24 Dạng 8: Phương pháp giá trị riêng. Trong phương pháp này các nhân tử chứa biến của đa thức rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định nhân tử. Ví dụ: Phân tích đa thức P = x2 (y-z)+ y2 (z-x) + z2 (x-y) Ta thay x =y thì P= y2 (y-z)+ y2 (z-x) = 0 Tương tự ta thay y bởi z ; zbởi x thì P không đổi ( P = 0 ) vậy P chia hết cho x-y cũng chia hết cho y-z và cũng chia hết cho z – x vậy P có dạng k(x –y)(y-z)(z-x) Vì bậc của 2 vế bằng nhau nên k là hằng số P = x2 (y-z)+ y2 (z-x) + z2 (x-y) = k(x –y)(y-z)(z-x) đúng vứi mọi x,y,z nên ta gán cho x,y,z các giá trị chẳng hạn x=2, y=1 ,z=0 ta được 4.1 +1.(-2) +0 = k.1.1.(-2) k = -1 vậy P = -(x –y)(y-z)(z-x) Chú ý : Khi chọn giá trị riêng của x,y,z ta chọn tuỳ ý để đôi một khác nhau sao cho ( x –y)(y- z)(z-x) 0 BÀI TẬP: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Bài 1: a/ x2 -2x -4y2 -4y b/ a(a2 +c2 + bc ) + b(c2 +a2 + ac ) + c(a2 +b2 + ab ) c/ 6x2 -11x +3 d/ 2x2 +3x -27 e/x3 +5x2 +8x +4 f/ x3 -7x +6 g/2x3 -x2 +5x +3. h/ x3 -7x2 -3. Bài 2: a/ (x2 +x )2- 2(x2 +x ) -15 b/ x2 +2xy+y2 -x-y -12 c/ (x2 +x +1)(x2 +x +2) -12 d/ (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) -24 e/ (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a) +a4 f/ (x2 + y2 + z2 )(x+y+z)2 +(xy+yz+xz)2 Bài 3:Dùng phương pháp xét giá trị riêng a) A=a(b+c-a)2+b(c+a-b)2+c(a+b-a)2+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) b) B=a(m-a)2+b(m-b)2+c(m-c)2-abc Với 2m=a+b+c. c) C= (a+b+c)(ab+bc+ac)-abc d) D=a(a+2b)3-b(2a+b)3. e) ab(a+b)-bc(b+c)+ac(a-c). Dạng 9: Phương pháp giảm dần số mũ
Phương pháp giải toán Đại số 8 Phương pháp này chỉ sử dụng được cho một số đa thức đặc biêt, khi dùng phương pháp này cần đưa về các biểu thức có dạng 6 ± 1; 3 ± 1 , các đa thức này có nhân tử chung là 2 ± + 1 Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: A=a5+ a4 + 1 Ta có: A= a5+ a4 + 1= a5+ a4 +a3 – a3 –a2 + a2 +a –a + 1= (a5+ a4 +a3 ) –( a3 + a2 + a) + (a2 +a +1)= (a3 – a +1)(a2 + a + 1) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: A a10 a8 1. Ta có: A a10 a8 a4 a4 a2 a2 a a 1 a10 a4 a8 a2 a4 a a2 a 1 Ta có: a10 a4 a4 a6 1 a4 a3 1 a3 1 a3 1 a7 a4 a 1 a2 a 1 a7 a4 a2 a 1 a8 a7 a5 a4 a8 a2 a2 a6 1 a2 a3 1 a3 1 a3 1 a5 a2 a 1 a2 a 1 a5 a2 a2 a 1 a6 a5 a3 a2 a4 a a a3 1 a2 a a2 a 1 Nên suy ra: A a2 a 1 a8 a7 a6 a4 a3 a 1 Dạng 10. Tổng hợp Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 4x 3 b) 16x 5x2 3 c) 2x2 7x 5 d) 2x2 3x 5 e) x3 3x2 1 3x f) x2 4x 5 g) (a2 1)2 4a2 h) x3 3x2 – 4x 12 i) x4 x3 x 1 k) x4 – x3 – x2 1 l) (2x 1)2 –(x –1)2 m) x4 4x2 –5 Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Phương pháp giải toán Đại số 8 a) x y2 x2 y b) x(x y) 5x 5y c) x2 5x 5y y2 d) 5x3 5x2y 10x2 10xy e) 27x3 8y3 f) x2 – y2 – x – y g) x2 y2 2xy y2 h) x2 y2 4 4x i) x6 y6 k) x3 3x2 3x 1–27z3 l) 4x2 4x –9y2 1 m) x2 –3x xy –3y Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2 10xy 5y2 20z2 b) x2 z2 y2 2xy c) a3 ay a2x xy d) x2 2xy 4z2 y2 e) 3x2 6xy 3y2 12z2 f) x2 6xy 25z2 9y2 g) x2 y2 2yz z2 h) x2 –2xy y2 – xz yz i) x2 –2xy tx –2ty k) 2xy 3z 6y xz l) x2 2xz 2xy 4yz m) (x y z)3 – x3 – y3 – z3 Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3 x2z y2z xyz y3 b) bc(b c) ca(c a) ab(a b) c) a2(b c) b2(c a) c2(a b) d) a6 a4 2a3 2a2 e) x9 x7 x6 x5 x4 x3 x2 1 f) (x y z)3 x3 y3 z3 g) (a b c)3 (a b c)3 (b c a)3 (c a b)3 h) x3 y3 z3 3xyz Bài 5. Giải các phương trình sau: a) (x 2)2 –(x –3)(x 3) 6 b) (x 3)2 (4 x)(4 – x) 10 c) (x 4)2 (1– x)(1 x) 7 d) (x – 4)2 –(x –2)(x 2) 6 e) 4(x –3)2 –(2x –1)(2x 1) 10 f) 25(x 3)2 (1–5x)(1 5x) 8 g) 9(x 1)2 –(3x –2)(3x 2) 10 h) 4(x –1)2 (2x –1)(2x 1) 3 Bài 6. Chứng minh rằng: a) a2(a 1) 2a(a 1) chia hết cho 6 với a Z . b) a(2a 3) 2a(a 1) chia hết cho 5 với a Z . c) x2 2x 2 0 với x Z . d) x2 4x 5 0 với x Z . BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Bài 1. Thực hiện phép tính:
Phương pháp giải toán Đại số 8 a) (3x3 2x2 x 2).(5x2) b) (a2x3 5x 3a).( 2a3x) c) (3x2 5x 2)(2x2 4x 3) d) (a4 a3b a2b2 ab3 b4)(a b) Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau: a) (a2 a 1)(a2 a 1) b) (a 2)(a 2)(a2 2a 4)(a2 2a 4) c) (2 3y)2 (2x 3y)2 12xy d) (x 1)3 (x 1)3 (x3 1) (x 1)(x2 x 1) Bài 3. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không phụ thuộc vào x: a) (x 1)3 (x 1)3 6(x 1)(x 1) b) (x 1)(x2 x 1) (x 1)(x2 x 1) c) (x 2)2 (x 3)(x 1) d) (x 3)2 (x 3)2 12x Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) A a3 3a2 3a 4 với a 11 b) B 2(x3 y3) 3(x2 y2) với x y 1 Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 1 2xy x2 y2 b) a2 b2 c2 d2 2ab 2cd c) a3b3 1 d) x2(y z) y2(z x) z2(x y) e) x2 15x 36 f) x12 3x6y6 2y12 g) x8 64x2 h) (x2 8)2 784 Bài 6. Thực hiện phép chia các đa thức sau: (đặt phép chia vào bài) a) (35x3+41x2+13x-14): (5x-2) b) (x4 6x3 16x2 22x 15) : (x2 2x 3) c) (x4 x3y x2y2 xy3) : (x2 y2) d) (4x4 14x3y 24x2y2 54y4) : (x2 3xy 9y2) Bài 7. Thực hiện phép chia các đa thức sau: a) (3x4 8x3 10x2 8x 5) : (3x2 2x 1) b) (2x3 9x2 19x 15) : (x2 3x 5) c) (15x4 x3 x2 41x 70) : (3x2 2x 7) d) (6x5 3x4y 2x3y2 4x2y3 5xy4 2y5) : (3x3 2xy2 y3) Bài 8. Giải các phương trình sau: a) x3 16x 0 b) 2x3 50x 0 c) x3 4x2 9x 36 0 d) 5x2 4(x2 2x 1) 5 0 e) (x2 9)2 (x 3)2 0 f) x3 3x 2 0 g) (2x 3)(x 1) (4x3 6x2 6x) : ( 2x) 18 Bài 9. Chứng minh rằng:
Phương pháp giải toán Đại số 8 a) a2 2a b2 1 0 với mọi giá trị của a và b. b) x2 y2 2xy 4 0 với mọi giá trị của x và y. c) (x 3)(x 5) 2 0 với mọi giá trị của x. ĐÁP SỐ Phương pháp đặt nhân tử chung: Bài 1: a, 2x(2x-3) b, 3x2y3(3x2+y2) c, x(x2-2x+5) d, (x-1)(3x+5) e, 2(x+1)(x2+2) f, -3x(1+2y-3z) Bài 2: a, 2xy(x-2y+3) b, 2x2y(2xy-4y2+x2) c, 3xy2(3xy-x3-2x2+6y2) 5 3 d, 7xy(xy-3yz+z-2) e, a3x2( y- 2 ) 2 + 2 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử: Bài 1: a, (x-1)(x2-x+1) b, (x+1)(xy+1) c, (a+b)(x+y) d, (x-a)(x-b) e, (x+y)(xy-1) f, (a-b)(x2+y) Bài 2: a, (a-2)(x-a) b, (x+1)(x-a) c, (x+2a)(2x+1) d, (x+2y)(x-a) e, (x+a)(x2+1) f, (x2+y)(y2+z) Bài 3: a, (x+2y)(x-2y-2) b, (x2-2)(x2+2x+2) c, (x+2y)(x-1)(x+1) d, (x-y)(x+5y) e, (x-4)(x-3)(x+3) f, (x+y)(x-y-2) Bài 4: a, (x-3)(x-4) b, (x-1)(2x+1)(3x+7) c, 2(2x+1)(4-x) d, (x-5)(4x-1) e, 3(x-2)(3x-2) Bài 5: a, 2(a-b)2 b, (xy-3)(5y2-2z) c, (2x-y)(4x+1) d, abc2(b+c)(b-a) e, x2y-x2z+y2z-y2x+z2(x-y)=xy(x-y)-z(x2-y2)+z2(x-y)=(x-y)(xy-zx-zy+z2)=(x-y)(y-z)(x-z) Phương pháp dùng hằng đẳng thức: Bài 6: a, (2x-3)2 b, (2x+1)2 c, (6x+1)2 d, (3x-4y)2 2 2 4 4 2 2 2 2 e, (2 +2 ) f, -(x-5) g, -a b (4a+3b) h, (5x-2y) i, (5x -y) Bài 7: a, 3(3x-5)(x+1) b, -8(x+2)(3x-1) c, (x+14)(3x-4) d, (5x-3)(x+5)
Phương pháp giải toán Đại số 8 e, (6x+9)2-(2x+2)2=(4x+7)(8x+11) f, (2bc)2-(b2+c2-a2)2=(2bc- b2-c2+a2)(2bc+ b2+c2-a2)=[(a2-(b-c)2][(b+c)2-a2] =(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a) g,(x-y)(a-b)(x+y)(a+b). h, (a2+b2-5)2-(2ab+4)2=(a2+b2-5-2ab-4)(a2+b2-5+2ab+4)=[(a-b)2=9][(a+b)2-1] =(a-b-3)(a-b+3)(a+b+1)(a+b-1). I, -12(2x+3)(2x-3)(x+3). k, (3x+3y-3)2-(4x+6y+2)2=-(x+3y+5)(7x+9y-1) l, (5-2x+3y)(5+2x-3y). m, (x-y)2-(2m-n)2=(x-y-2m+n)(x-y+2m-n). Bài 8: a, 8(x-2)(x2+2x+4) b, (1+2x2y)(1-2x2y+4x4y2) c, (5x+1)(25x2-5x+1) 2 2 3 1 2 2 2 d, (2x-3)(4x +6x+9) e, (3x+ 2 )(9x + 2 + 4.y ) f, (5x+3y)(25x -15xy+9y ). Bài 9: 3 3 3 1 3 3 a, (x+2) b, (x-1) c, (1-3x) d, (x+ 2 ) e, (3x-2y) Bài 10: a, (x+y-2xy)(x+y+2xy) b,(x3-y3)(x3+y3)=(x-y)(x+y)(x2+y2-xy)(x2+y2+xy) c, 25-(a-b)2=(5-a+b)(5+a-b). d, Giải ở 7f. e, (a+b+c)2+[(a+b-c)2-(2c)2]=(a+b+c)2+(a+b-3c)(a+b+c)=2(a+b+c)(a+b-c). Bài 11: a, (x+4)(x-5)2(x+6). b, (4x2-25)2-(6x-15)2=(4x2-25-6x+15)(4x2-25+6x-15)=4(x+1)(x+4)(2x-5)2 c, (4x-6)2-(12x2-27)2=(4x-6-12x2+27)(4x-6+12x2-27)=(-12x2+4x+21)(12x2+4x-33)= d, a4(a2-1)+2a2(a+1)=a4(a-1)(a+1)+2a2(a+1)=a2(a+1)(a3-a2+1). Bài 12: a, (xy+1-x-y)(xy+1+x+y)=(y-1)(x-1)(y+1)(x+1). b, (x+y-x+y)(x+y+x-y)=4xy. c, 3x2y3(x+1)+3y2(x+1)=3y2(x+1)(x3+1)=3y2(x+1)2(x2-x+1). d, 4[(x2-2x+1)-(a2-2ay+y2)]=4[(x-1)2-(a-y)2]=4(x-1-a+y)(x-1+a-y). e, (x+y-1)[(x+y)2+x+y+1]-3xy(x+y-1)=(x+y-1)(x2+y2-xy+x+y+1). Bài 13: a, Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:
Phương pháp giải toán Đại số 8 Bài 1: a, (x-2)(x-3) b, 3(x-2)(x+5) c, (x-2)(x-1) d, (x-3)(x-6) e, (x-4)(x-2) f, (x-7)(x+2) g, (x+1)(x+5) h, (x-4)(x-3) I, (x-5)(x-2) Bài 2: a, (3x+1)(x-2) b, (2x-3)(x+2) c, (7x+1)(x+7) d, (3x+4)(4x-3) e, (5x-1)(3x+2) f, (a-7)(a+2) g, 2(m+1)(m+4) h, 4(p-7)(p-2) I, (2x+1)(x+2) Bài 3: a, (x-3y)(x+7y) b, (5x+y)(x+y) c, (x-3y)(x+5y) d, [(x-y)2+4(x-y)+4-16]=(x-y+2)2-42=(x-y+6)(x-y-2). e, (x-5y)(x-2y) f, yz(x-2)(x+7) Bài 4: a, (a4+2a2+1)-a2=(a2+1)2-a2=(a2-a+1)(a2+a+1). b, a4-1+a2-1=(a2-1)(a2+1)+(a2-1)=(a2-1)(a2+2)=(a-1)(a+1)(a2+2). c, (x2-1)(x2+5)=(x-1)(x+1)(x2+5). d, x(x2-25)+6(x-5)=x(x-5)(x+5)+6(x-5)=(x-5)(x+2)(x+3). e, (x-3)(x+2)(x+1). f, x(x-7)(x+2). Bài 5: a, (x-1)(x-2)2 b, (x-1)(x2+x+3) c, (x+1)(x+2)2 d, (x-1)(x+3)(x-2) e, (x-8)(x+1)(x-2) f, (x-3)(4x2-x+6) PHÂN THỨC Dạng 1: toán tìm điều kiện của biến để phân thức xác định: PP-Với phân thức mà mẫu chỉ là đa thức dạng (ax+b) các em chỉ cần cho mẫu thức khác 0,rồi tìm ra kết quả. - Với những phân thức mà mẫu lại là một phân thức khác thì cần chú ý tới tử của phân thức mẫu - Với những phân thức mà có bậc 2 một biến trở lên thì cần phân tích các mẫu thành nhân tử,rồi làm tương tự như trên. - Với những phân thức mà mẫu thức luôn khác 0. Ta nói phân thức xác định với mọi x BÀI TẬP: Bài 1:Tìm điều kiện của x để phân thức sau có nghĩa:
Phương pháp giải toán Đại số 8 x 2 2x 1 5 a) b) c) x 5 1 2x 10 x 4 2 Bài 2:Tìm điều kiện của x để phân thức xác định: x 4 5 a) b) 2x 1 x 2 1 x 1 3x 1 Bài 3:Tìm điều kiện của x để phân thức sau xác định: 3x 2 6x 12 x 2 2x 5 5x 1 a) b) c) x 3 8 2x 2 5x 3 x 2 4 Bài 4:Tìm điều kiện của biến để phân thức sau xác định: x 2 x 2 y 2 2xy a) b) c) x y 1 y 1 x 1 y x 2 y 2 x y Bài 5:Tìm điều kiện của x để phân thức sau xác định: 1 1 4x x 3 2x 5x 6 2x 2 1 a) b)x 4 c) d) e) 2x 5 2x 2 2 2x 3 3 4x 25 2 8x 27 x 2 2x 1 g) 2x 2 4y 2 9 Bài 6: Tìm điều kiện xác định của phân thức: x 2 4 2x 1 x 2 4 a) b) c) 9x 2 16 x 2 4x 4 x 2 1 5x 3 x2 5x 6 2 d) 2 e) f) 2x x x2 1 (x 1)(x 3) 2x 1 g) x2 5x 6 HD: a, Bài 7: Tìm điều kiện xác định của phân thức: 1 x2y 2x 5x y a) b) c) x2 y2 x2 2x 1 x2 6x 10 x y d) (x 3)2 (y 2)2
Phương pháp giải toán Đại số 8 HD: Phân thức xác định khi a, x ≠ 0 hoặc y ≠ 0 b, x ≠ 1 c, Mọi x d, x≠ -3 hoặc y ≠ 2. Dạng 2: Tìm điều kiện để phân thức bằng 0 PP: Ta tìm điều kiện để phân thức xác định, sau đó cho tử số bằng 0 để tìm x. Sau khi tìm x ta đối chiếu với điều kiện xác định và kết luận. Bài 1. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không: 2x 1 x2 x 2x 3 a) b) c) 5x 10 2x 4x 5 (x 1)(x 2) (x 1)(x 2) x2 1 d) e) f) x2 4x 3 x2 4x 3 x2 2x 1 Bài 2. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không: x2 4 x3 16x x3 x2 x 1 a) b) c) x2 3x 10 x3 3x2 4x x3 2x 3 Dạng 3: Chứng minh phân thức luôn có nghĩa : PP: Ta chỉ ra mẫu số khác 0 với mọi giá trị của biến bằng cách biến đổi mẫu số như bài toán tìm Min, Max. Bài 1. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa: 3 3x 5 5x 1 a) b) c) x2 1 (x 1)2 2 x2 2x 4 x2 4 x 5 d) e) x2 4x 5 x2 x 7 Bài 2. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa: x y 4 a) b) x2 2y2 1 x2 y2 2x 2 Dạng 4: Hai phân thức bằng nhau. PP: Biến đổi 2 vế về cùng một biểu thức hoặc dung định nghĩa (nhân chéo) Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: 3y 6xy 3x2 3x2 2(x y) 2 a) (x 0) b) (y 0) c) (x y) 4 8x 2y 2y 3(y x) 3 2xy 8xy2 1 x x 1 2a 2a d) (a 0,y 0) e) (y 2) f) (b 0) 3a 12ay 2 y y 2 5b 5b
Phương pháp giải toán Đại số 8 Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: x 2 23 x3 3x 3x(x y) a) (x 0) b) (x y) x x(x2 2x 4) x y y2 x2 x y 3a(x y)2 c) (a 0, x y) 3a 9a2(x y) Bài 3. Với những giá trị nào của x thì hai phân thức sau bằng nhau: x 2 1 a) và x2 5x 6 x 3 Bài 4. Cho hai phân thức A và B. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau: i) x N ii) x Z iii) x Q (2x 1)(x 2) x 2 a) A , B 3(2x 1) 3 Bài 5. Cho ba phân thức A, B và C. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau: i) x N ii) x Z iii) x Q x 1 (x 1)(x 2) (x 1)(3x 2) a) A , B , C 5 5(x 2) 5(3x 2) Dạng 5. Quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức Bài 1: Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của chúng: x xy 1 3 xy y a) , b) , c) , 16 20 4x 6y 8 15 x y xy yz xz xy yz zx d) , e) , , f) , , 2y 2x 8 12 24 2z 3x 4y Bài 2:Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của chúng: 5 4 7 x y z 2a x y a) , , b) , , c) , , 2x 4 3x 9 50 25x 4 2a 4 2a 4 a2 b2 2a 2b a2 b2 3 x 2 1 2 x4 1 d) , e) , f) , x2 1 2x 6 x2 6x 9 x2 2x 1 x2 2x x2 1 Bài 3:Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: x x 2 1 1 1 1 a) , , b) , , 2x2 7x 15 x2 3x 10 x 5 x2 3x 2 x2 5x 6 x2 4x 3 3 2x x x y z c) , , d) , , x3 1 x2 x 1 x 1 x2 2xy y2 z2 x2 2yz y2 z2 x2 2xz y2 z2
Phương pháp giải toán Đại số 8 Dạng 6: toán rút gọn phân thức: *PP: -Phân tích cả tử thức và mẫu thức thành nhân tử -Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. Bài 1:Rút gọn phân thức sau: 14xy 5 2x 3y 8xy 3x 1 3 15x 2 y x 2y 2 10xy 2 2x 1 3 a) b) c) d) 21x 2 y 2x 3y 2 12x 3 1 3x 35x 3 y 2 2y x 3 12x 3 2x 1 Bài 2:Rút gọn phân thức sau: 20x 2 45 80x 3 125x x 3 3x 2 x 3 a) b) c) 2x 3 2 3 x 3 x 3 8 4x x 2 3x x 2 7x 12 d) x 2 5x 6 Bài 3:Rút gọn phân thức: 5.415.99 4.320.89 x 3 y 3 z 3 3xyz a) A b) 5.29.619 7.229.276 x y 2 x z 2 y z 2 x 3 7x 6 c) x 2 x 3 2 4x x 3 2 4 x 3 2 Vẫn là bài toán rút gọn nhưng tồn tại dưới một cái tên khác là “Chứng minh đẳng thức” thì thông thường hướng dẫn học sinh biến đổi vế phức tạp hơn,sau khi rút gọn thì bằng vế kia.Chẳng hạn các ví dụ sau: VD:Chứng minh đẳng thức: x 2 y 2xy 2 y 3 xy y 2 x 2 3xy 2y 2 1 a) b) 2x 2 xy y 2 2x y x 3 2x 2 y xy 2 2y 3 x y Cũng có những bài toán yêu cầu chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến thì thực chất vẫn là rút gọn biểu thức,ví dụ: Ví dụ : Chứng minh rằng biểu thức không phụ thuộc vào biến. 1 x 1 x 3 x x 1 a)x b) . x 2 2x 1 2x 2 x 1 x 2 1 x 2 2x 1 x 2 1 x x
Phương pháp giải toán Đại số 8 x x 2 3x x 3 x c) . x 3 2x 3 x 2 3x x 2 9 BÀI TẬP: Bài 1:Rút gọn các phân thức sau: 25xy 3 2x y 2 x 2 y 2 2x 3 2 x 2 a) b) c) 75xy 2 y 2x x 2 y 2 xz yz x 2 1 3x 3 7x 2 5x 1 a 2 b c b 2 c a c 2 a b d) e) 2x 3 x 2 4x 3 ab 2 ac 2 b3 bc 2 Bài 2:Chứng minh các đẳng thức sau; x 4 4 x 2 2x 2 a) x x 2 2 2x 2 x 1 2 1 x 1 x 2 y 2 z 2 2zt 2xy t 2 x y z t b) x 2 y 2 z 2 2yt 2xz t 2 x y z t 3y 2 3xy 2x 3y 2 c) 1 3x x 3 3x 2 1 x 2 Bài 3: Rút gọn các phân thức sau: 5x 4xy 21x2y3 a) b) (y 0) c) (xy 0) 10 2y 6xy 2x 2y 5x 5y 15x(x y) d) e) (x y) f) (x y) 4 3x 3y 3(y x) Bài 4: Rút gọn các phân thức sau: x2 16 x2 4x 3 15x(x y)3 a) (x 0, x 4) b) (x 3) c) (y (x y) 0) 4x x2 2x 6 5y(x y)2 5(x y) 3(y x) 2x 2y 5x 5y x2 xy d) (x y) e) (x y) f) (x y,y 0) 10(x y) 2x 2y 5x 5y 3xy 3y2 2ax2 4ax 2a 4x2 4xy g) (b 0, x 1) h) (x 0, x y) 5b 5bx2 5x3 5x2y (x y)2 z2 x6 2x3y3 y6 i) (x y z 0) k) (x 0, x y) x y z x7 xy6 Bài 5: Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau: (2x2 2x)(x 2)2 1 x3 x2y xy2 a) A với x b) B với x 5,y 10 (x3 4x)(x 1) 2 x3 y3
Phương pháp giải toán Đại số 8 Bài 6: Rút gọn các phân thức sau: (a b)2 c2 a2 b2 c2 2ab 2x3 7x2 12x 45 a) b) c) a b c a2 b2 c2 2ac 3x3 19x2 33x 9 Bài 7:Rút gọn các phân thức sau: a3 b3 c3 3abc x3 y3 z3 3xyz a) b) a2 b2 c2 ab bc ca (x y)2 (y z)2 (z x)2 x3 y3 z3 3xyz a2(b c) b2(c a) c2(a b) c) d) (x y)2 (y z)2 (z x)2 a4(b2 c2) b4(c2 a2) c4(a2 b2) a2(b c) b2(c a) c2(a b) x24 x20 x16 x4 1 e) f) ab2 ac2 b3 bc2 x26 x24 x22 x2 1 Bài 8: Tìm giá trị của biến x để: 1 1 a) P đạt giá trị lớn nhất HD: max P khi x 1 x2 2x 6 5 x2 x 1 3 b) Q đạt giá trị nhỏ nhất HD: minQ khi x 1 x2 2x 1 4 Bài 9: Chứng minh rằng phân thức sau đây không phụ thuộc vào x và y: (x2 a)(1 a) a2x2 1 3xy 3x 2y 2 9x2 1 1 a) b) x ,y 1 (x2 a)(1 a) a2x2 1 y 1 3x 1 3 ax2 a axy ax ay a (x a)2 x2 c) (x 1,y 1) d) x 1 y 1 2x a x2 y2 2ax 2x 3y 3ay e) f) (x y)(ay ax) 4ax 6x 9y 6ay Dạng 7: toán chứng minh phân thức tối giản: - Phân thức tối giản là phân thức mà tử và mẫu thức chỉ có nhân tử chung là 1 và -1 - Để chứng minh một thức tối giản ta gọi ước chung lớn nhất của tử và mẫu thức là d,ta chứng minh d = 1 hoặc d = -1.Để chứng minh được điều này ta vạn dụng các kiến thức về chia hết như:tính chất chia hết của một tổng,quan hệ giữa bội và ước Ví dụ 1:Chứng minh các phân thức sau là tối giản: n 3 6 8n 15n 2 a) b) (Với n nguyên dương) n 4 13 21n 30n 2 2n 1 c) (Với n là số tự nhiên) 2n 2 1
Phương pháp giải toán Đại số 8 Giải: a)Gọi ƯCLN của n-3 và -n+4 là d,ta có:n 3Md, n 4Md hay: n 3 n 4Md =>1d .Do đó d = 1 hoặc -1.Vậy phân thức đã cho tối giản với mọi n. b)Gọi ƯCLN của 6 8n 15n 2 và 13 21n 30n 2 là d(d 1 ),ta có: 6 8n 15n 2 d,13 21n 30n 2 d hay: 2 6 8n 15n 2 5n 1d suy ra :5n 1d (1) Mặt khác: 6 8n 15n 2 3n 1 5n 1 5d 5d (2) Từ (1) và (2) suy ra:1d .Do đó d = 1.Vậy phân thức đã cho tối giản. c)Gọi ƯCLN của 2n 1 và 2n 2 1 là d.Ta có: 2n 1d (1) và 2n 2 1d 4n 2 2d 4n 2 1 1d hay: 2n 1 2n 1 1d (2) Từ (1) và (2) suy ra: 1d .Do đó d = 1 hoặc d = -1.Vậy phân thức đã cho tối giản. Cách giải khác: Gọi ƯCLN của 2n 1 và 2n 2 1 là d.Ta có: 2n 1d (1) và 2n 2 1d .Ta có: 2n 2 1 n 2n 1 n 1d n 1d 2n 2 (2n 1) 1d Nên 1d . Do đó d = 1 hoặc d = -1.Vậy phân thức đã cho tối giản. BÀI TẬP: Chứng minh các phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n: 3n 1 3n 2 5n 1 2n 1 a) b) c) 5n 2 8n 2 7n 1 4n 2 2 12n 1 n3 2n d) e) 30n 2 n 4 3n 2 1 Dạng 8: Toán tìm giá trị nguyên của biến để phân thức có giá trị nguyên: PP: - Nếu tử số là một số tự nhiên: ta vận dụng tính chất chia hết - Nếu tử số là một biểu thức chứa x, ta dung một trong 2 cách sau: Dùng dấu hiệu chia hết hoặc phân tích biểu thức thành : A=f(x)+ ( ) BÀI TẬP: Bài 1:Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là một số nguyên: 2 3 5 a) b) c) x 3 x 2 2x 1 Bài 2:Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên: x 4 3x 3 5 2x 3 x 2 2x 8 a) b) x 3 2x 1 Bài 3: Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là một số nguyên:
Phương pháp giải toán Đại số 8 3x 3 4x 2 x 1 3x 2 x 3 2x 3 6x 2 x 8 x 4 16 a) b) c) d) x 4 3x 2 x 3 x 4 4x 3 8x 2 16x 16 Dạng 9: Toán tính giá trị của phân thức tại một giá trị của biến: PP: - Tìm x, y nếu bài chưa cho cụ thể. - Rút gọn biểu thức rồi thay x, y vào biểu thức BÀI TẬP: Bài 1:Tính giá trị của biểu thức: 4x 2 x 5x 4 5x 2 2x 2 y 2y a) tại x = -3 b) tại x = 2 và y =-2 16x 2 8x 1 x 4 3x 2 2 3x 2y Bài 2:a)Tính giá trị của phân thức A biết rằng: 9x 2 4y 2 20xy và 2y 3x 0 3x 2y b)Biết 2x y 0 và 4x 2 y 2 5xy .Tính giá trị của biểu thức: xy M 4x 2 y 2 c)Biết b 3a và 6a 2 15ab 5b 2 0 .Tính giá trị của biểu thức: 2a b 5b a Q 3a b 3a b y z x z x y Bài 3:Cho x,y,z khác 0 và A ; B ;C .Tính giá trị của biểu thức: z y z x y x A2 B 2 C 2 ABC 3x 2 x x 2 3x 2 Bài 4: a) tại x = -8 b) tại x = 1000001 9x 2 6x 1 x 3 2x 2 x 2 7 7 Bài 5:Choa ;b và 2a b 7 .Tính giá trị của biểu thức: 3 2 5a b 3b 2a P 3a 7 2b 7 x 2x 3y Bài 6: Cho3y x 6 ,tính giá trị của biểu thức: A y 2 x 6 x y Bài 7: Tính giá trị của A biết x 2 2y 2 xy(y 0; x y 0) x y Bài 8::Tính giá trị của biểu thức: x 2 y 2 1 2xy a) tại x = 99 và y = 50 x 2 y 2 1 2x
Phương pháp giải toán Đại số 8 x 2 2 b)x x 1 x 1 tại x = 101 x 4 2 x x 3 1 Dạng 10: Toán tìm giá trị của biến để phân thức nhận một giá trị nào đó: PP: Nếu phân thức có giá bằng 0 thì lập luận tử thức bằng 0 và mẫu thức khác 0 - Có những trường hợp khi cho tử thức bằng 0 lại trùng với điều kiện của biến để phân thức có nghĩa,khi đó ta kết luận không có giá trị nào của biến để phân thức nhận giá trị bằng 0. - Các trường hợp khác ta vận dụng tính chất phân thức bằng nhau: = thì a.d=b.c. BÀI TẬP: Bài 1:Với giá trị nào của x thì phân thức sau có giá trị bằng 0: 3x 3 x 1 a) b) 4x 4 x 3 x 2x 2 2 2x 2 Bài 2:Tìm giá trị của x để phân thức nhận giá trị bằng 0. x 2 1 2x 3 3 Bài 3:a)Tìm x để giá trị của phân thức bằng x 5 4 x 3 3x x 2 3 b)Tìm x để giá trị của phân thức bằng -1 x 3 3x 2 3x 9 Bài 4:Tìm giá trị của x để các phân thức sau bằng 0: 3x 6 3x 2 5x 2 x 3 6x 2 11x 6 a) b) c) 2x 8 3x 2 7x 2 x 2 5x 6 5x 4 2 Bài 5:a)Tìm giá trị của x để phân thức bằng 3 2x 3 3x 2 x 3 b)Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 1 3x 2 Dạng 11: Toán rút gọn biểu thức tổng hợp: Đây là dạng toán mà trong yêu cầu của bài toán có tồn tại các dạng toán đã nêu ở trên.Các kiến thức để vận dụng làm toán là: -điều kiện của biến để biểu thức xác định. -Phân tích đa thức thành nhân tử -nhân đa thức với đơn thức,đa thức với đa thức -quy đồng mẫu thức nhiều phân thức -Những hằng đẳng thức đáng nhớ
Phương pháp giải toán Đại số 8 -nắm được các dạng toán ở trên -Nắm được thứ tự thực hiện phép tính trong phân thức. BÀI TẬP: x 2 4x 4 Bài 1:Cho phân thức: x 2 a)Với điều kiện nào của x thì giá trị phân thức được xác định? b)Rút gọn phân thức c)Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 1? d)Có giá trị nào để phân thức bằng 0 hay không? 3x 2 6x 12 Bài 2:Cho phân thức : x 3 8 a)Với điều kiện nào của x thì phân thức xác định? b)Rút gọn phân thức 4001 c)Tính giá trị của phân thức tại x 2000 d)Tìm giá trị nguyên của x để phân thức đạt giá trị nguyên? 4 4 x 2 8x 16 Bài 3:Cho biểu thức: . x 4 x 4 32 a)Tìm điều kiện của x để phân thức xác định? 1 b)Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 3 c)Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 1 d)Tìm giá trị nguyên của x để phân thức có giá trị nguyên? e)Tìm giá trị của x để phân thức luôn dương? Chú ý: Măc dù đề bài không yêu cầu rút gọn nhưng để làm các phần trên học sinh vẫn rút gọn rồi vận dụng các dạng toán trên các em tìm ra kết quả. Bài 4:Chứng minh các đẳng thức sau: x 1 x 1 1 x 2 4x a) : x 1 x 1 x 1 1 x x 2 1 x 1 2 3 3x 2x y x y b) : . x y 2 2 2 2 x y x y x 2xy y 3 Bài 5:Cho biểu thức: x 2 6 1 10 x 2 A : x 2 3 x 4x 6 3x x 2 x 2 a)rút gọn A
Phương pháp giải toán Đại số 8 1 b)Tính giá trị của biểu thức khi x 2 c)Với giá trị của x thì A = 2 d)Với giá trị của x thì A 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. x 2 1 10 x2 Bài 8:Cho biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a. Rút gọn biểu thức A. 1 b. Tính giá trị của A , Biết x = . 2 c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. a 3 4a 2 a 4 Bài 9: Cho P= a 3 7a 2 14a 8 a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn 1 x3 1 x2 x : Bài 10: Cho biểu thức A = 2 3 . 1 x 1 x x x a, Rút gọn biểu thức A. 2 b, Tính giá trị của biểu thức A tại x 1 . 3 c, Tìm giá trị của x để A < 0.
Phương pháp giải toán Đại số 8 2 1 1 1 x 1 Bài 11: Cho biểu thức: A 3 1 2 2 1 : 3 x 1 x x 2x 1 x x a/ Thu gọn A b/ Tìm các giá trị của x để A<1 c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên 1 3 x 2 1 Bài 12:Cho biểu thức A : 2 2 3 x 3x 27 3x x 3 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < -1. c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên. 2x2 1 1 x2 4 Bài 13:Cho biểu thức: A = ( ) : (1 ) x3 1 x 1 x2 x 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên. 1 x3 1 x2 x : Bài 14:Cho biểu thức A = 2 3 với x khác -1 và 1. 1 x 1 x x x a, Rút gọn biểu thức A. 2 b, Tính giá trị của biểu thức A tại x 1 . 3 c, Tìm giá trị của x để A < 0. x4 x2 4x 1 x 1 x 1 x(x 1) (1 x) Bài 15:Cho biểu thức: P = ( ) x2 1 x 1 x 1 x3 1 a.Tìm x để P xác định. b.Rút gọn P. c.Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên? 2x2 1 1 x2 4 Bài 16:Cho biểu thức: A = ( ) : (1 ) x3 1 x 1 x2 x 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên. Bài 17:Cho biÓu thøc:
Phương pháp giải toán Đại số 8 2x 3 2x 8 3 21 2x 8x 2 P = 2 2 : 2 1 4x 12x 5 13x 2x 20 2x 1 4x 4x 3 a) Rót gän P 1 b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x 2 c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. d) T×m x ®Ó P > 0. BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II Bài 1. Thực hiện phép tính: 8 2 1 x y x y 2y2 a) b) (x2 3)(x2 1) x2 3 x 1 2(x y) 2(x y) x2 y2 x 1 x 1 3 xy (x a)(y a) (x b)(y b) c) d) x3 x3 x2 x3 2x2 x ab a(a b) b(a b) x3 x2 1 1 x3 x2 2x 20 5 3 e) f) x 1 x 1 x 1 x 1 x2 4 x 2 x 2 x y x y x2 y2 xy 1 1 1 g) . 1 . h) x y x y 2xy x2 y2 (a b)(b c) (b c)(c a) (c a)(a b) a2 (b c)2 (a b c) x2 y2 1 x2 y2 x y i) k) : (a b c)(a2 c2 2ac b2) xy x y y x x Bài 2. Rút gọn các phân thức: 25x2 20x 4 5x2 10xy 5y2 x2 1 a) b) c) 25x2 4 3x3 3y3 x3 x2 x 1 x3 x2 4x 4 4x4 20x3 13x2 30x 9 d) e) x4 16 (4x2 1)2 Bài 3. Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức: a2 b2 c2 2ab 16x2 40xy x 10 a) với a 4,b 5,c 6 b) với a2 b2 c2 2ac 8x2 24xy y 3 x2 xy y2 x2 xy y2 x y x y c) với x 9,y 10 x2 x y x y
Phương pháp giải toán Đại số 8 Bài 4. Biểu diễn các phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với bậc của tử thức nhỏ hơn bậc chủa mẫu thức: x2 3 x2 1 x4 x3 4x2 x 5 x5 2x4 x 3 a) b) c) d) x2 1 x2 1 x2 1 x 1 Bài 5. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau cũng có giá trị nguyên: 1 1 x3 x2 2 x3 2x2 4 a) b) c) d) x 2 2x 3 x 1 x 2 3x2 3x Bài 6. Cho biểu thức:. P (x 1)(2x 6) a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Tìm giá trị của x để P 1 . x 2 5 1 Bài 7. Cho biểu thức: P x 3 x2 x 6 2 x a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. 3 c) Tìm x để P . 4 d) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P cũng có giá trị nguyên. e) Tính giá trị của biểu thức P khi x2 –9 0 . (a 3)2 6a 18 Bài 8. Cho biểu thức:. P  1 2a2 6a a2 9 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Với giá trị nào của a thì P = 0; P = 1. x x2 1 Bài 9. Cho biểu thức:. P 2x 2 2 2x2 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. 1 c) Tìm giá trị của x để P . 2 x2 2x x 5 50 5x Bài 10.Cho biểu thức:. P 2x 10 x 2x(x 5) a) Tìm điều kiện xác định của P.
Phương pháp giải toán Đại số 8 b) Tìm giá trị của x để P = 1; P = –3. 2 3 6x 5 Bài 11.Cho biểu thức:. P 2x 3 2x 1 (2x 3)(2x 3) a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm giá trị của x để P = –1. 1 2 2x 10 Bài 12.Cho biểu thức:. P x 5 x 5 (x 5)(x 5) a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Cho P = –3. Tính giá trị của biểu thức Q 9x2 – 42x 49 . 3 1 18 Bài 13.Cho biểu thức:. P x 3 x 3 9 x2 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm giá trị của x để P = 4. x2 2x 10 50 5x Bài 14.Cho biểu thức:. P 5x 25 x x2 5x a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm giá trị của x để P = –4. 3x2 6x 12 Bài 15.Cho biểu thức: P x3 8 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. 4001 c) Tính giá trị của P với x . 2000 1 x x2 x 1 2x 1 Bài 16.Cho biểu thức:. P . : 3 2 x 1 1 x x 1 x 2x 1 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. 1 c) Tính giá trị của P khi x . 2
Phương pháp giải toán Đại số 8 x2 2x x 5 50 5x Bài 17.Cho biểu thức:. P 2x 10 x 2x(x 5) a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. 1 c) Tìm giá trị của x để P = 0; P = . 4 d) Tìm giá trị của x để P > 0; P < 0. x 1 3 x 3 4x2 4 Bài 18.Cho biểu thức:. P . 2x 2 x2 1 2x 2 5 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) CMR: khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x? 5x 2 5x 2 x2 100 Bài 19.Cho biểu thức:. P . x2 10 x2 10 x2 4 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P khi x = 20040. x2 10x 25 Bài 20.Cho biểu thức:. P x2 5x a) Tìm điều kiện xác định của P. 5 b) Tìm giá trị của x để P = 0; P . 2 c) Tìm giá trị nguyên của x để P cũng có giá trị nguyên. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Dạng 1: Chứng minh một số là nghiệm của một phương trình Phương pháp: Dùng mệnh đề sau: - x0 là nghiệm của phương trình A(x)=B(x) A(x0)=B(x0) - x0 là nghiệm của phương trình A(x)=B(x) A(x0)≠B(x0) - Tìm m để x0 là nghiệm phương trình. BÀI TẬP: Bài 1. Xét xem x0 có là nghiệm của phương trình hay không?
Phương pháp giải toán Đại số 8 3 a) 3(2 x) 1 4 2x ; x 2 b) 5x 2 3x 1 ; x 0 0 2 c) 3x 5 5x 1 ;x0 2 d) 2(x 4) 3 x ; x0 2 e) 7 3x x 5 ;x0 4 f) 2(x 1) 3x 8 ; x0 2 g) 5x (x 1) 7 ;x0 1 h) 3x 2 2x 1 ; x0 3 HD: a: Thay x0= -2 vào phương trình ta được: 3(2+2)+1=4+2.2 hay 13=8 : vô lí. Vậy x0 = -2 không phải là nghiệm phương trình. d, e, g: không b, c, f, h: có. Bài 2. Xét xem x0 có là nghiệm của phương trình hay không? 2 2 a) x 3x 7 1 2x ; x0 2 b) x 3x 10 0 ; x0 2 2 c) x 3x 4 2(x 1) ; x0 2 d) (x 1)(x 2)(x 5) 0 ; x0 1 2 2 e) 2x 3x 1 0 ;x0 1 f) 4x 3x 2x 1 ; x0 5 HD: a, c, d, e: có b, f: không Bài 3. Tìm giá trị k sao cho phương trình có nghiệm x0 được chỉ ra: a) 2x k x –1 ;x0 2 b) (2x 1)(9x 2k) –5(x 2) 40 ; x0 2 c) 2(2x 1) 18 3(x 2)(2x k) ; x0 1 d) 5(k 3x)(x 1) – 4(1 2x) 80 ; x0 2 HD: a, Vì x0 = -2 là nghiệm của phương trình nên thay x0 = -2 vào phương trình ta được: 2.(-2)+k=-2-1  k=1. Vậy k=1. b, k=11 c, k= 2/3 d, k=2/3. Dạng 2: Chứng tỏ phương trình vô nghiệm, vô số nghiệm Phương pháp: Dùng mệnh đề sau: - Phương trình A(x)=B(x) vô nghiệm A(x)≠B(x) với ∀x - Phương trình A(x)=B(x) vô số nghiệm A(x)=B(x) với ∀x BÀI TẬP: Bài 1. Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm:
Phương pháp giải toán Đại số 8 a) 2x 5 4(x 1) 2(x 3) b) 2x 3 2(x 3) c) x 2 1 d) x2 4x 6 0 HD: a,b: phá ngoặc, rút gọn được biểu thức vô lí. c: đánh giá hai vế. d: Phân tích theo hằng đẳng thức: (x-2)2+2. Bài 2. Chứng tỏ rằng các phương trình sau có vô số nghiệm: a) 4(x 2) 3x x 8 b) 4(x-3)+16=4(1+x) c) 2(x 1) 2x 2 d) x x e) (x 2)2 x2 4x 4 f) (3-x)2=x2-6x+9 HD: a,b,c,e,f: Nhân phân phối rồi rút gọn được biểu thức luôn đúng => phương trình VSN. d: |x|=x với mọi x ≥0 nên phương trình có VSN thỏa mãn x ≥ 0. Bài 3. Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nhiều hơn một nghiệm: a) x2 4 0 b) (x 1)(x 2) 0 c) (x 1)(2 x)(x 3) 0 d) x2 3x 0 e) x 1 3 f) 2x 1 1 HD: a, x=-2; 2 b, x=1; 2 c, x=-3; 1; 2 d, x=0; 3 e, x=-2; 4 f, x=0; 1 Dạng 3: Chứng minh hai phương trình tương đương Để chứng minh hai phương trình tương đương, ta có thể sử dụng một trong các cách sau: Chứng minh hai phương trình có cùng tập nghiệm. Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình này thành phương trình kia. Hai qui tắc biến đổi phương trình: – Qui tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó. – Qui tắc nhân: Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0. BÀI TẬP: Bài 1. Xét xem các phương trình sau có tương đương hay không?
Phương pháp giải toán Đại số 8 a) 3x 3 và x 1 0 b) x 3 0 và 3x 9 0 c) x 2 0 và (x 2)(x 3) 0 d) 2x 6 0 và x(x 3) 0 HD: a, b: Tương đương c, d: không tương đương. Bài 2. Xét xem các phương trình sau có tương đương hay không? a) x2 2 0 và x(x2 2) 0 b) x 1 x và x2 1 0 x 1 1 c) x 2 0 và 0 d) x2 x và x2 x 0 x 2 x x e) x 1 2 và (x 1)(x 3) 0 f) x 5 0 và (x 5)(x2 1) 0 HD: b, f, e: Tương đương a, c, d: không tương đương Dạng 4: Phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 4x –10 0 b) 7 –3x 9 x c) 2x –(3 –5x) 4(x 3) d) 5 (6 x) 4(3 2x) e) 4(x 3) 7x 17 f) 5(x 3) 4 2(x 1) 7 g) 5(x 3) 4 2(x 1) 7 h) 4(3x 2) 3(x 4) 7x 20 5 13 5 HD: a) x b) x 1 c) x 5 d) x e)x f) x 8 2 9 11 g)x 8 h) x 8 Bài 2. Giải các phương trình sau: a) (3x 1)(x 3) (2 x)(5 3x) b) (x 5)(2x 1) (2x 3)(x 1) c) (x 1)(x 9) (x 3)(x 5) d) (3x 5)(2x 1) (6x 2)(x 3) e) (x 2)2 2(x 4) (x 4)(x 2) f) (x 1)(2x 3) 3(x 2) 2(x 1)2 HD: 13 a) Chuyển vế đặt nhân tử chung đưa về dạng tích x 19 Các câu còn lại nhân phân phối rồi rút gọn: 1 1 b) x c ) x 3 d) x e) x 1 f) vô nghiệm 5 33 Bài 3. Giải các phương trình sau:
Phương pháp giải toán Đại số 8 a) (3x 2)2 (3x 2)2 5x 38 b) 3(x 2)2 9(x 1) 3(x2 x 3) c) (x 3)2 (x 3)2 6x 18 d) (x –1)3 – x(x 1)2 5x(2 – x) –11(x 2) e) (x 1)(x2 x 1) 2x x(x 1)(x 1) f) (x –2)3 (3x –1)(3x 1) (x 1)3 HD: Nhân phân phối rồi rút gọn: 10 a) x 2 b) x 2 c) x 3 d)x 7 e) x 1 f) x 9 Bài 4. Giải các phương trình sau: x 5x 15x x 8x 3 3x 2 2x 1 x 3 a) 5 b) 3 6 12 4 4 2 2 4 x 1 x 1 2x 13 3(3 x) 2(5 x) 1 x c) 0 d) 2 2 15 6 8 3 2 3(5x 2) 7x x 5 3 2x 7 x e) 2 5(x 7) f) x 4 3 2 4 6 x 3 x 1 x 7 3x 0,4 1,5 2x x 0,5 g) 1 h) 11 3 9 2 3 5 HD: Quy đồng, khử mẫu đưa về phương trình ax = b. 30 a) x b) x 0 c) x 16 d) x 11 e) x 6 7 53 28 6 f) x g) x h) x 10 31 19 Bài 5. Giải các phương trình sau: 2x 1 x 2 x 7 x 3 x 1 x 5 a) b) 1 5 3 15 2 3 6 2(x 5) x 12 5(x 2) x x 4 3x 2 2x 5 7x 2 c) 11 d) x 3 2 6 3 5 10 3 6 2(x 3) x 5 13x 4 3x 1 1 4x 9 e) f) x 7 3 21 2 4 8 HD: Quy đồng, khử mẫu đưa về phương trình ax = b. a) x tuỳ ý b) x tuỳ ý c) x tuỳ ý d) vô nghiệm e) vô nghiệm f) vô nghiệm Bài 6. Giải các phương trình sau:
Phương pháp giải toán Đại số 8 (x 2)(x 10) (x 4)(x 10) (x 2)(x 4) (x 2)2 (x 2)2 a) b) 2(2x 1) 25 3 12 4 8 8 (2x 3)(2x 3) (x 4)2 (x 2)2 7x2 14x 5 (2x 1)2 (x 1)2 c) d) 8 6 3 15 5 3 (7x 1)(x 2) 2 (x 2)2 (x 1)(x 3) e) 10 5 5 2 HD: Quy đồng, khử mẫu đưa về phương trình ax = b. 123 1 19 a) x 8 b) x 9 c) x d) x e) x 64 12 15 Bài 7. Giải các phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) x 1 x 3 x 5 x 7 a) 35 33 31 29 x 10 x 8 x 6 x 4 x 2 b) 1994 1996 1998 2000 2002 x 2002 x 2000 x 1998 x 1996 x 1994 2 4 6 8 10 x 1991 x 1993 x 1995 x 1997 x 1999 c) 9 7 5 3 1 x 9 x 7 x 5 x 3 x 1 1991 1993 1995 1997 1999 x 85 x 74 x 67 x 64 d) 10 15 13 11 9 x 1 2x 13 3x 15 4x 27 e) 13 15 27 29 HD: a) Cộng thêm 1 vào các hạng tử: x = -36 b) Trừ đi 1 vào các hạng tử: x= 2004 c) Trừ đi 1 vào các hạng tử: x= 2000 d) Chú ý: 10 1 2 3 4 : x=100. e) Thêm và bớt 1 vào các hạng tử: x=14 Bài 8. Giải các phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) x 1 x 3 x 5 x 7 x 29 x 27 x 17 x 15 a) b) 65 63 61 59 31 33 43 45
Phương pháp giải toán Đại số 8 x 6 x 8 x 10 x 12 1909 x 1907 x 1905 x 1903 x c) d) 4 0 1999 1997 1995 1993 91 93 95 91 x 29 x 27 x 25 x 23 x 21 x 19 e) 1970 1972 1974 1976 1978 1980 x 1970 x 1972 x 1974 x 1976 x 1978 x 1980 29 27 25 23 21 19 HD: a) Cộng thêm 1 vào các hạng tử: x 66 b) Thêm và bớt 1 vào các hạng tử : x 60 c) Cộng thêm 1 vào các hạng tử : x 2005 d) Tách 4=1+1+1+1+1 rồi cộng 1 vào các hạng tử: x 2000 e) Bớt 1 vào các hạng tử: x 1999 . Dạng 5: Phương trình tích Để giải phương trình tích, ta áp dụng công thức: A(x) 0 A(x).B(x) A(x) 0 hoặc B(x) 0 B(x) 0 Ta giải hai phương trình A(x) 0 và B(x) 0 , rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng. Bài 1. Giải các phương trình sau: a) (5x 4)(4x 6) 0 b) (3,5x 7)(2,1x 6,3) 0 c) (4x 10)(24 5x) 0 d) (x 3)(2x 1) 0 e) (5x 10)(8 2x) 0 f) (9 3x)(15 3x) 0 HD: 4 3 5 5 1 a)x ; x b) x 2; x 3 c) x ; x d) x 3; x 5 2 2 24 2 e) x 2; x 4 f) x 3; x 5 Bài 2. Giải các phương trình sau: a) (2x 1)(x2 2) 0 b) (x2 4)(7x 3) 0 c) (x2 x 1)(6 2x) 0 d) (8x 4)(x2 2x 2) 0 HD: 1 3 1 a)x b) x c) x 3 d) x 2 7 2
Phương pháp giải toán Đại số 8 Bài 3. Giải các phương trình sau: a) (x 5)(3 2x)(3x 4) 0 b) (2x 1)(3x 2)(5 x) 0 c) (2x 1)(x 3)(x 7) 0 d) (3 2x)(6x 4)(5 8x) 0 e) (x 1)(x 3)(x 5)(x 6) 0 f) (2x 1)(3x 2)(5x 8)(2x 1) 0 HD: 3 4 1 2  1  3 2 5 a) S 5; ;  b) S ; ; 5 c) S ;3; 7 d) S ; ;  2 3 2 3  2  2 3 8 1 2 8 1 e) S  1; 3; 5;6 f) S ; ; ;  2 3 5 2 Bài 4. Giải các phương trình sau: a) (x 2)(3x 5) (2x 4)(x 1) b) (2x 5)(x 4) (x 5)(4 x) c) 9x2 1 (3x 1)(2x 3) d) 2(9x2 6x 1) (3x 1)(x 2) e) 27x2(x 3) 12(x2 3x) 0 f) 16x2 8x 1 4(x 3)(4x 1) HD: 1 a) x 2; x 3 b) x 0; x 4 c)x ; x 2 3 1 4 4 1 d)x ; x e) x 0; x 3; x f) x 3 5 9 4 Bài 5. Giải các phương trình sau: a) (2x 1)2 49 b) (5x 3)2 (4x 7)2 0 c) (2x 7)2 9(x 2)2 d) (x 2)2 9(x2 4x 4) e) 4(2x 7)2 9(x 3)2 0 f) (5x2 2x 10)2 (3x2 10x 8)2 HD: 10 13 a) x 4; x 3 b) x 4; x c) x 1; x d) x 1; x 4 9 5 23 1 e) x 5; x f) x 3; x 7 2 Bài 6. Giải các phương trình sau: a) (9x2 4)(x 1) (3x 2)(x2 1) b) (x 1)2 1 x2 (1 x)(x 3) c) (x2 1)(x 2)(x 3) (x 1)(x2 4)(x 5) d) x4 x3 x 1 0
Phương pháp giải toán Đại số 8 e) x3 7x 6 0 f) x4 4x3 12x 9 0 g) x5 5x3 4x 0 h) x4 4x3 3x2 4x 4 0 HD: 2 1 7 a)x ; x 1; x b) x 1; x 1 c) x 1; x 2; x 3 2 5 d) x 1 e) x 1; x 2; x 3 f) x 1; x 3 g) x 0; x 1; x 1; x 2; x 2 h) x 1; x 1; x 2 Bài 7. Giải các phương trình sau: (Đặt ẩn phụ) a) (x2 x)2 4(x2 x) 12 0 b) (x2 2x 3)2 9(x2 2x 3) 18 0 c) (x 2)(x 2)(x2 10) 72 d) x(x 1)(x2 x 1) 42 e) (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 297 0 f) x4 2x2 144x 1295 0 HD: a) Đặt x2+ x = a suy ra: a2 + 4a -12=0  (a+6)(a-2)=0  a=-6 hoặc a=2. Với a=-6 suy ra x2+ x = -6 phwowg trình vô nghiệm. ( các em tự chứng minh). Với a=2 suy ra : x2+ x = 2  x2+ x -2=0  (x-1)(x+2)=0 , x=1; -2 b) Đặt x2+2x+3=a: ĐS: x=0; 1; -2; -3 c) Chú ý: (x-2)(x+2)=x2-4. Đặt x2 – 4 =a. ĐS: x=4; -4. d) Đặt x2+x=a. ĐS: x= 2; -3. e) Ta có: (x-1)(x+5)= x2+4x-5. (x-3)(x+7)=x2+4x-21. Đặt x2+4x-5=a. ĐS: x=4; -8. f) Chú ý: x4-2x2-144x-1295=(x+5)(x-7)(x2+2x+37). ĐS: x=-5; 7. Dạng 6: Phương trình chứa ẩn ở mẫu Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Qui đồng mẫu hai vế của phương trình, rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhân được. Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho. Bài 1. Giải các phương trình sau:
Phương pháp giải toán Đại số 8 4x 3 29 2x 1 a) b) 2 x 5 3 5 3x 4x 5 x 7 3 c) 2 d) x 1 x 1 x 2 x 5 2x 5 x 12x 1 10x 4 20x 17 e) 0 f) 2x x 5 11x 4 9 18 HD: Quy đồng khử mẫu đưa về dạng ax=b. 136 11 a) x b) x c) x 3 17 8 41 5 d) x e) x f) x 2 4 3 Bài 2. Giải các phương trình sau: 11 9 2 14 2 x 3 5 a) b) x x 1 x 4 3x 12 x 4 8 2x 6 12 1 3x 1 3x x 5 x 25 x 5 c) d) 1 9x2 1 3x 1 3x x2 5x 2x2 50 2x2 10x x 1 x 1 16 x 1 x 1 x 1 e) f) 1 (x 2) x 1 x 1 x2 1 x 1 x 1 x 1 HD: ≠ 0 ≠ 0 a) Điều kiện: + 1 ≠ 0 => ≠ ―1 ― 4 ≠ 0 ≠ 4 MSC: x(x+1)(x-4). Ta có: 11 9 2 11( + 1)( ― 4) 9 ( ― 4) 2 ( + 1)  = + 1 + ― 4 ( + 1)( ― 4) = ( + 1)( ― 4) + ( + 1)( ― 4)  11(x+1)(x-4)=9x(x-4)+2x(x+1)  x=44 (tmđk) . Vậy x=44 b) x 5 c)x 1 d) vô nghiệm e)x 4 f) x 3 Bài 3. Giải các phương trình sau: 6x 1 5 3 2 x 1 x 4 a) b) 0 x2 7x 10 x 2 x 5 x2 4 x(x 2) x(x 2) 1 1 x (x 1)2 1 6 5 c) d) 3 x x 1 x 3 x2 2x 3 x 2 x 3 6 x2 x
Phương pháp giải toán Đại số 8 2 2x2 16 5 x 1 x 1 2(x 2)2 e) f) x 2 x3 8 x2 2x 4 x2 x 1 x2 x 1 x6 1 HD: 9 a)MSC :x2- 7x+10= (x-2)(x-5). ĐS: x 4 b) MSC: x(x-2)(x+2). ĐS: vô nghiệm 3 c) MSC: x 2-2x-3=(x+1)(x-3). ĐS: x 5 d) MSC: x2+x-6=(x-2)(x+3). ĐS: x 4 e) MSC: x3+8= (x+2)(x2-2x+4). ĐS: vô nghiệm 5 f) MSC: x6-1=(x3-1)(x3+1)=(x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1). ĐS: x 4 Bài 4. Giải các phương trình sau: 8 11 9 10 x x x x a) b) x 8 x 11 x 9 x 10 x 3 x 5 x 4 x 6 4 3 2 3 1 6 c) 1 0 d) + = + x2 3x 2 2x2 6x 1 ― 2 ― 3 ― 1 ― 6 HD: 8( ― 11) + 11( ― 8) 9( ― 10) + 10( ― 9) a) ( ― 8)( ― 11) = ( ― 9)( ― 10)  x=0; x=19/2 x=0; x=9/2 c) x 0; x 3 d)x=6/5; x=12/5 b) Dạng 7: Giải và biện luận phương trình bậc nhất Giải và biện luận phương trình ax+b=0 - Phá ngoặc, chuyển các số hạng chứa x về một vế, các số hạng không chứa x về một vế. - Đặt x ra ngoài đưa về dạng ax+b=0 - Nếu a=0, b=0 thì phương trình có vô số nghiệm - Nếu a=0, b≠0, phương trình vô nghiệm - Nếu a≠0, phương trình có nghiệm duy nhất x= ― Ví dụ: Giải và biện luận: (m2-m)x=2x+m2-1 (1) Giải: (1)  (m2-m)x-2x=m2-1  (m2-m-2)x=m2-1  (m+1)(m-2)x=(m-1)(m+1) (2) ( + 1)( ― 2) ― 2 Xét m≠ -1 và m≠2: Phương trình có nghiệm duy nhất x= ( ― 1)( + 1) = ― 1
Phương pháp giải toán Đại số 8 Xét (m+1)(m-2)=0 suy ra m=-1 hoặc m=2. Với m=-1 Thay vào (2) suy ra 0.x=0 => phương trình có nghiệm với mọi x. Với m=2: Thay vào (2) => 0.x=3 => phương trình vô nghiệm. BÀI TẬP Bài 1: giải và biện luận: 1. (m2+2)x-2m=x-3 2. m(x-m)=x+m-2 3. m(x+m-3)=m(x-2)+6 4. m2(x-1)+m=x(3m-2) 5. (m2-m)x=2x+m2-1 6. (m+1)2x=(2m+5)x+2+m HD: 2 2 2 ― 3 1, (m +1)x=2m-3. Vì m +1 ≠ 0 với mọi m nên phương trình có nghiệm duy nhất: x = 2 + 1. 2, (m-1)x=m2+m-2.(1) Xét m=1. Thay m=1 vào phương trình 1 ta được: (1-1)x=12+1-2 hay 0=0. Vậy m=1 phương trình có vô số nghiệm. 2 Xét m ≠ 1. Phương trình có nghiệm duy nhất : x = + ― 2 ― 1 = + 2. Các câu khác các em giải tương tự. Bài 2: Giải và BL theo a,b,c: ― ― a. ― = ― + + + 2 b. + 1 + + 1 + + 1 = 3 c. (ab+2)x+a=2b+(b+2a)x ― ― ― ― ― ― d. + + = 3 HD: a, (a-b)x=a2-b2. Xét a=b. Phương trình VSN. Xét a ≠ b. phương trình có nghiệm duy nhất x=a+b. + 2 1 1 1 b, + ― + + ― +( ― ) = 0  (x-b) ( + + ) = 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 c, (2-b)(1-a)x=2b-a. Tự biện luận. ― ― 1 1 1 d, ― ― ― 1 + ― ― ― 1 +( ―1) = 0  (x-a-b-c) ( + + ) = 0. Tự biện luận. Bài 3: Tìm m để phương trình : i, có nghiệm duy nhất; ii, vô nghiệm; iii, vô số nghiệm a. (m-2)x=m-1 b. (mx+2)(x+1)=(mx+m2)x c. (m2+2m-3)x=m-1
Phương pháp giải toán Đại số 8 d. (m2-m)x=m2+2m-1 HD: b, (m+1)(m-2)x=2. c, (m-1)(m+3)x=m-1 d, m(m-1)x=m2+2m-1. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Các bước giải toán bằng cách lập phương trình: Bước 1: Lập phương trình – Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. – Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết. – Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Trả lời Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. Dạng 1: Loại so sánh Trong đầu bài thường có các từ: – nhiều hơn, thêm, đắt hơn, chậm hơn, : tương ứng với phép toán cộng. – ít hơn, bớt, rẻ hơn, nhanh hơn, : tương ứng với phép toán trừ. – gấp nhiều lần: tương ứng với phép toán nhân. – kém nhiều lần: tương ứng với phép toán chia. BÀI TẬP: Bài 1. Tìm hai số nguyên liên tiếp, biết rằng 2 lần số nhỏ cộng 3 lần số lớn bằng –87. HD: Gọi hai số nguyên liên tiếp là a và a+1. Ta có phương trình: 2a+3(a+1)=-87. Suy ra a=-18. Vậy hai số là -18; -17. Bài 2. Một phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số là 8. Nếu thêm 2 đơn vị vào tử số và bớt mẫu số đi 3 3 đơn vị thì ta được phân số bằng . Tìm phân số đã cho. 4 HD: ― 8 ― 8 + 2 3 7 Gọi phân số cần tìm là : (a ∈ 푍 ). Ta có phương trình: ― 3 = 4 . Suy ra = 15
Phương pháp giải toán Đại số 8 Bài 3. Tổng của 4 số là 45. Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ hai trừ đi 2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chia cho 2 thì bốn kết quả đó bằng nhau. Tìm 4 số ban đầu. HD: Gọi 4 số là a,b,c,d. Ta có: a+b+c+d=45 và a+2=b-2=2c= . Dùng tính chất dãy tỉ số bằng 2 nhau tìm được 4 số là: 8; 12; 5; 20. Bài 4. Thương của hai số là 3. Nếu tăng số bị chia lên 10 và giảm số chia đi một nửa thì hiệu của hai số mới là 30. Tìm hai số đó. HD: Gọi số chia là a, số bị chia là 3a. Ta có phương trình: (3a+10)- 2 = 30. Suy ra hai số là: 24; 8. 1 Bài 5. Một đội công nhân sửa một đoạn đường trong 3 ngày. Ngày thứ nhất đội sửa được đoạn 3 4 đường, ngày thứ hai đội sửa được một đoạn đường bằng đoạn được làm được trong ngày 3 thứ nhất, ngày thứ ba đội sửa 80m còn lại. Tính chiều dài đoạn đường mà đội phải sửa. HD: 1 1 Gọi chiều dài đội phải sửa là x mét ( x>0). Ngày thứ nhất làm được 3 . Ngày thứ hai làm được 3 4 4 1 4 .3 = 9 . Ta có phương trình: x- 3 -9 =80. Suy ra x= 360m. Bài 6. Hai phân xưởng có tổng cộng 220 công nhân. Sau khi chuyển 10 công nhân ở phân xưởng 2 4 1 sang phân xưởng 2 thì số công nhân phân xưởng 1 bằng số công nhân phân xưởng 3 5 2. Tính số công nhân của mỗi phân xưởng lúc đầu. HD: ∗ 2 4 Gọi số công nhân hai phân xưởng là x, y (x, y ∈ ). Ta có: x+y=220 và 3( ― 10) = 5( + 10). Phân xưởng 1 có 120 công nhân, phân xưởng 2 có 90 công nhân. Bài 7. Hai bể nước chứa 800 lít nước và 1300 lít nước. Người ta tháo ra cùng một lúc ở bể thứ 2 nhất 15 lít/phút, bể thứ hai 25 lít/phút. Hỏi sau bao lâu số nước ở bể thứ nhất bằng số 3 nước ở bể thứ hai? HD: 2 Gọi thời gian để bể 1 có lượng nước bằng 3 bể thứ 2 là x phút. Sau x phút, bể 1 còn lại : (800- 15x) lít. Bể 2 còn lại (1300-25x) lít. Ta có phương trình: 800 ― 15 2 . Suy ra x= 40 phút. 1300 ― 25 = 3
Phương pháp giải toán Đại số 8 Bài 8. Trước đây 5 năm, tuổi Dung bằng nửa tuổi của Dung sau 4 năm nữa. Tính tuổi của Dung hiện nay. HD: Gọi tuổi Dung hiện nay là x ( x ∈ ∗ ). Ta có phương trình: 2(x-5) =x+4. Suy ra x = 14 tuổi. Bài 9. Tìm một số có chữ số hàng đơn vị là 2, biết rằng nếu xoá chữ số 2 đó thì số ấy giảm đi 200. HD: 222. Bài 10. Gia đình Đào có 4 người: bố, mẹ, bé Mai và Đào. Tuổi trung bình của cả nhà là 23. Nếu 9 viết thêm chữ số 0 vào bên phải tuổi bé Mai thì được tuổi của bố, tuổi của mẹ bằng tuổi 10 bố và gấp 3 lần tuổi của Đào. Tìm tuổi của mỗi người trong gia đình Đào. HD: Tuổi của bố, mẹ, bé Mai và Đào lần lượt là: 40, 36, 4, 12. Bài 11. Nhân ngày 1 tháng 6, một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo. số kẹo này được chia hết và chia đều cho mọi đội viên trong phân đội. Để đảm bảo nguyên tắc chia ấy, đội trưởng đã đề xuất cách chia như sau: 1 – Bạn thứ nhất nhận một viên kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. 11 1 – Sau khi bạn thứ nhất lấy phần của mình, bạn thứ hai nhận 2 viên kẹo và được lấy thêm 11 số kẹo còn lại. 1 Cứ như thế đến bạn cuối cùng, thứ n, nhận n viên kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. 11 Hỏi phân đội đó có bao nhiêu đội viên và mỗi đội viên nhận bao nhiêu viên kẹo. HD: Gọi tổng số kẹo là x chiếc( x ∈ ∗ ). 1 10 + Người 1 nhận: 1 + 11( ― 1) = 11 chiếc. 10 + 10 ― 10 số kẹo còn lại: x- 11 = 11 1 10 ― 10 Người 2 nhận: 2+11( 11 ―2) . Vì số kẹo mỗi người nhận được là như nhau nên ta có phương 10 + 1 10 ― 10 trình: 11 = 2 + 11( 11 ― 2) => x=100 chiếc (10 đội viên, mỗi đội viện nhận 10 viên kẹo. Bài 12. Một người bán số sầu riêng thu hoạch được như sau: 1 – Lần thứ nhất bán 9 trái và số sầu riêng còn lại. 6