Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau

1. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH RÈN LUYỆN KĨ NĂNG CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC VUÔNG BẰNG NHAU A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong chương trình THCS, Toán học là một môn học khó, đặc biệt môn Hình học lại càng khó hơn. Đối với chương trình Hình học lớp 7 thì việc “chứng minh hai tam giác bằng nhau” giữ một vai trò rất quan trọng. Bởi lẽ kiến thức về “chứng minh hai tam giác bằng nhau” không chỉ được sử dụng rộng rãi trong “chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, tia phân giác của một góc, ” trong chương trình Hình học 7 mà kiến thức này còn là nền tảng, là cơ sở vững chắc giúp học sinh học tốt “các trường hợp đồng dạng của tam giác” trong chương trình Hình học 8, vận dụng trong suốt các cấp học tiếp theo. Tuy nhiên, toán chứng minh là một dạng toán khó, trừu tượng và khó tiếp thu nên không phải bất kì em nào cũng học tốt và thích học dạng toán này. Mặt khác, không phải bất kì học sinh nào cũng vận dụng tốt “các trường hợp bằng nhau của tam giác” vào “chứng minh hai tam giác bằng nhau” một cách linh hoạt và chính xác. Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy còn khá nhiều học sinh gặp khó khăn khi vận dụng “các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông” vào chứng minh hai tam giác bằng nhau, thậm chí có học sinh còn không vận dụng được trường hợp này để chứng minh hai tam giác bằng nhau khi đã có đầy đủ điều kiện. Từ đó làm cho các em có tâm lí chán nản nên chưa học tốt dạng toán này. Vì vậy, tôi luôn suy nghĩ “Làm thế nào để đưa toán chứng minh gần gũi với các em hơn? Làm thế nào để giúp các em khắc phục được những khó khăn, những sai lầm hay vấp phải khi vận dụng vào việc chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau”. Với những lý do trên đã làm động lực để tôi nghiên cứu đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau”. 1
2. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau B. TÌM HIỂU VẤN ĐỀ: I. Về nội dung chương trình: Trong chương trình Hình Học lớp 7 các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông là các hệ quả được suy ra trực tiếp từ các trường hợp: cạnh- cạnh- cạnh, cạnh- góc- cạnh, góc- cạnh- góc và được chia thành bốn trường hợp bằng nhau: hai cạnh góc vuông, một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy, cạnh huyền và một góc nhọn, cạnh huyền và cạnh góc vuông. Ngoài ra, các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông còn được viết dưới nhiều dạng bài tập thể hiện trong sách giáo khoa hay các tài liệu tham khảo II. Về thực trạng của vấn đề: Qua nhiều năm giảng dạy môn toán lớp 7 và qua tìm hểu từ phía học sinh tôi biết được đa số học sinh làm tốt các dạng bài tập: bài tập về nhận biết hai tam giác bằng nhau trên hình vẽ cho sẵn có đủ điều kiện, bài tập về vận dụng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau ở mức độ đơn giản. Bên cạnh đó, còn nhiều học sinh chưa làm tốt dạng bài tập thông qua chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, hai đường thẳng song song tương đối phức tạp. Mặt khác, nhiều em chưa có thói quen phân tích kĩ đề bài để xác định đâu là giả thiết? đâu là kết luận của bài toán? Thậm chí có em còn nhầm lẫn giữa giả thiết và kết luận, từ đó dẫn đến việc vẽ hình chưa chính xác hoặc vẽ hình không đúng yêu cầu của đề bài. Đa số các em còn chưa biết cách trình bày một bài toán chứng minh hoặc trình bày còn sơ sài, chưa hợp lôgic, cũng có em không biết các bước cơ bản khi thực hiện chứng minh một bài toán hình học nên không biết mình cần phải làm gì? Và xuất phát từ đâu? Trước thực trạng này, tôi tiến hành khảo sát chất lượng để kiểm tra lại kiến thức cũng như kỹ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau của 111 học sinh lớp 7 ở 3 lớp tôi giảng dạy như sau: * Đề khảo sát chất lượng (thời gian 45 phút): *Trắc nghiệm khách quan: ( 4 điểm) Trong các câu sau đây, câu nào đúng câu nào sai? Câu 1: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Câu 2: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Câu 3: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Câu 4: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC ( H BC ). Khi đó ta kết luận được HB = HC 2
3. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau A Câu 6: Cho tam giác ABC có Aµ 900 (hình vẽ). Kẻ AH vuông góc với BC ( H BC ). Các tam giác AHC và BAC có AC là cạnh chung, Cµ là góc chung, A· HC B· AC 900 . Khi đó ta kết luận được AHC = BAC . B C * Tự luận (6 điểm) H Bài 1: (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H BC) . Chứng minh rằng AHB AHC ( giải bằng hai cách) Bài 2: (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AD vuông góc với BC (D BC) . Chứng minh rằng: a) DB = DC b) AD là tia phân giác của góc A. * Kết quả khảo sát: Lớp Số Giỏi Khá Trung Bình Yếu , Kém Học Sinh Số Tỉ Lệ Số Tỉ Lệ Số Tỉ Lệ Số Tỉ Lệ lượng lượng lượng lượng 7A 36 4 11,1% 7 19,4% 11 30,6% 14 38,9% 7B 35 3 8,6% 9 25,7% 10 28,6% 13 37,1% 7C 40 8 20% 11 27,5 14 35% 7 17,5% * Nhận xét: Đây chưa phải là những dạng toán khó nhưng kết quả đạt được chưa cao. Kết quả cho thấy trình độ học tập của học sinh không đồng đều. Vì vậy cần phải có một giải pháp phù hợp để giúp học sinh có kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau được tốt hơn. Có thể có nhiều nguyên nhân làm cho học sinh chưa giải tốt dạng bài tập này, nhưng tôi thấy chủ yếu do các nguyên nhân sau: + Học sinh chưa nắm vững kiến thức về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông. + Học sinh chưa nắm vững phương pháp giải bài toán chứng minh. Xuất phát từ thực trạng này, tôi xin đưa ra một số biện pháp nhằm khắc phục những mặt còn hạn chế của học sinh như sau: C. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: I. Ôn tập kiến thức cơ bản: 1.Trường hợp 1: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. B E Nếu hai tam giác vuông ABC và DEF có: AB=DE AC=DF Thì ABC= DEF (cạnh góc vuông- cạnh góc vuông) A C D F 3
4. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau 2.Trường hợp 2: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. B E Nếu hai tam giác vuông ABC và DEF có: AC=DF Cµ F Thì ABC= DEF (cạnh góc vuông- góc nhọn kề) A C D F 3.Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một giác nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. B E Nếu hai tam giác vuông ABC và DEF có: BC = EF Bµ F A C D F Thì ABC= DEF (cạnh huyền- góc nhọn) 4.Trường hợp 4: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. B E Nếu hai tam giác vuông ABC và DEF có: BC = EF (cạnh huyền) AC = DF Thì ABC= DEF (cạnh huyền- cạnh góc vuông) A C D F II. Ôn tập kiến thức có liên quan: 1.Kiến thức liên quan thường sử dụng: - Các trường hợp bằng nhau của tam giác: cạnh - cạnh- cạnh, cạnh -góc – cạnh, góc – cạnh- góc. - Định nghĩa hai tam giác bằng nhau. - Quy ước kí hiệu về sự bằng nhau của hai tam giác: các chữ cái chỉ tên các đỉnh tương ứng được viết theo cùng một thứ tự. Ví dụ: AB=A'B' ; BC=B'C' ; AC=A'C' ABC= A'B'C' Aµ Aµ' ; Bµ Bµ' ; Cµ Cµ' - Định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng. 4
5. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau - Định nghĩa tia phân giác của một góc. - Định nghĩa tam giác cân. - Định lí Py- ta- go 2. Kiến thức về phương pháp chứng minh: - Xác định giả thiết và kết luận. Giả thiết là điều đã cho, kết luận là điều phải suy ra. - Chứng minh là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận. - Các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau: + Hai đoạn thẳng có cùng độ dài. + Hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba. + Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. + Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng. - Các phương pháp chứng minh hai góc bằng nhau: + Sử dụng góc thứ ba (hai góc cùng bằng một góc, hai góc cùng phụ với một góc, hai góc cùng bù với một góc). + Định nghĩa tia phân giác của một góc. + Tính chất của hai góc đối đỉnh. + Tính chất của hai đường thẳng song song (hai góc sole trong, hai góc đồng vị, ) + Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau. 3. Các bước cơ bản khi thực hiện chứng minh một bài toán hình học: Bước 1: Tìm hiểu đề, xác định giả thiết, kết luận của bài toán bằng lời. Bước 2: Vẽ hình minh họa cho bài toán dựa vào giả thiết đã cho (tránh vẽ trường hợp đặc biệt) Bước 3: Viết giả thiết, kết luận của bài toán bằng kí hiệu dựa vào hình đã vẽ. Bước 4: Nhận xét, phán đoán, nêu ra các cách có thể chứng minh được bài toán (chọn cách chứng minh đơn giản, dễ hiểu), sau đó nêu rõ các bước cần tiến hành theo một trình tự thích hợp. Bước 5: Trình bày hoàn chỉnh bài chứng minh theo một trình tự hợp lí. Bước 6: Chốt lại vấn đề cần chứng minh, phát triển thành bài toán mới (nếu có thể) III. Ôn tập một số dạng toán cơ bản thường gặp về hai tam giác vuông bằng nhau: 1. Dạng 1: Hai tam giác vuông biết một cạnh góc vuông bằng nhau: B E ? Hai tam giác bằng nhau A C D F 5
6. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau - GV: Hai tam giác vuông trên nếu biết một cạnh góc vuông bằng nhau thì cần bổ sung thêm điều kiện gì để trở thành hai tam giác bằng nhau? Vì sao? - HS: Cần bổ sung thêm cạnh góc vuông thứ hai bằng nhau hoặc một góc nhọn kề với cạnh góc vuông đó bằng nhau hoặc cạnh huyền bằng nhau. Học sinh giải thích bằng cách điền kí hiệu vào hình vẽ để được hai tam giác bằng nhau như sau: B E B E Cạnh góc vuông thứ hai bằng nhau A C D F A C D F ABC= DEF (cạnh góc vuông- cạnh góc vuông) Hay ABC= DEF (c.g.c) B E B E Một góc nhọn kề với cạnh góc vuông ấy bằng nhau A C D F A C D F ABC= DEF (cạnh góc vuông- góc nhọn kề) Hay ABC= DEF (g.c.g) B E B E Cạnh huyền bằng nhau A C D F A C D F ABC= DEF (cạnh huyền- cạnh góc vuông) Hay ABC= DEF (c.c.c) 2. Dạng 2: Hai tam giác vuông biết cạnh huyền bằng nhau: B E ? Hai tam giác bằng nhau A C D F 6
7. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau - GV: Hai tam giác vuông trên nếu biết cạnh huyền bằng nhau thì cần bổ sung thêm điều kiện gì để trở thành hai tam giác bằng nhau? Vì sao? - HS: Cần bổ sung thêm một cạnh góc vuông bằng nhau hoặc một góc nhọn bằng nhau. Học sinh giải thích bằng cách điền kí hiệu vào hình vẽ để được hai tam giác bằng nhau như sau: B E B E Một cạnh góc vuông bằng nhau A C D F A C D F ABC= DEF (cạnh huyền- cạnh góc vuông) Hay ABC= DEF (c.c.c) B E B E Một góc nhọn bằng nhau A C D F A C D F ABC= DEF (cạnh huyền - góc nhọn) Hay ABC= DEF (g.c.g) 3. Dạng 3: Hai tam giác vuông biết một góc nhọn bằng nhau: B E ? Hai tam giác bằng nhau A C D F - GV: Hai tam giác vuông trên nếu biết một góc nhọn bằng nhau thì cần bổ sung thêm điều kiện gì để trở thành hai tam giác bằng nhau? Vì sao? - HS: Cần bổ sung thêm một cạnh góc vuông kề với góc nhọn đó bằng nhau hoặc cạnh huyền bằng nhau. Học sinh giải thích bằng cách điền kí hiệu vào hình vẽ để được hai tam giác bằng nhau như sau: 7
8. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau B E Một cạnh góc vuông B E kề với góc nhọn ấy bằng nhau A C D F A C D F ABC= DEF (cạnh góc vuông- góc nhọn kề) Hay ABC= DEF (g.c.g) B E B E Cạnh huyền bằng nhau A C D F A C D F ABC= DEF (cạnh huyền - góc nhọn) Hay ABC= DEF (g.c.g) Với ba dạng bài toán cơ bản trên là nền tảng để học sinh có thể dựa vào đó mà nhận biết được các trường hợp bằng nhau của tam giác trong các bài toán mới. IV. Rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau: Sau khi cho học sinh ôn tập các kiến thức cơ bản và các kiến thức có liên quan cần thiết để chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau. Tôi sẽ rèn cho học sinh “kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau” thông qua việc giải các bài tập theo hai dạng: Bài tập với hình vẽ cho trước và bài tập chưa cho hình vẽ từ mức độ cơ bản đến nâng cao. 1. Bài tập với hình vẽ cho trước: * Bài tập 1: Trên mỗi hình sau có các tam giác vuông nào bằng nhau? A Vì sao? B Hình 1: Hình 3: A D B H C E D C B A D Hình 2: Hình 4: E F K C H 8
9. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau Giáo viên có thể gợi ý học sinh làm như sau: HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH Giáo viên lần lượt đặt các câu hỏi Học sinh lần lượt trả lời các câu hỏi đối với các hình của giáo viên * Hình 1: - Trên hình 1 có các tam giác - Có hai tam giác vuông là vuông nào? ABH và ACH - Dự đoán ABH và ACH có bằng - Dự đoán ABH = ACH nhau không? - Hai tam giác trên có thể bằng - Hai tam giác trên bằng nhau theo nhau theo trường hợp nào? Vì sao? trường hợp 1(cạnh góc vuông- cạnh góc vuông) - HS giải thích dựa vào hình vẽ và liên hệ với trường hợp 1 ABH = ACH vì: BH = CH (giả thiết) AH là cạnh chung * Nếu HS không trả lời được, GV có thể gợi ý như sau: Các cạnh AH, BH gọi là các cạnh - AH, BH là hai cạnh góc vuông của gì của tam giác vuông ABH và tam giác vuông ABH và AH, CH là hai AH, CH gọi là các cạnh gì của tam cạnh góc vuông của tam giác vuông giác vuông ACH? ACH. - Yêu cầu HS trình bày hoàn chỉnh *Chứng minh: nội dung cần chứng minh: Xét hai tam giác vuông ABH và ACH ABH = ACH có: BH = CH (gt) AH là cạnh chung Vậy: ABH = ACH (cạnh góc vuông- cạnh góc vuông) * Hình 2: - Hai tam giác DEK và DFK có DEK = DFK theo trường hợp 2 bằng nhau không? (cạnh góc vuông và góc nhọn kề) Nếu có thì bằng nhau theo trường hợp nào? * Hình 3: - Hai tam giác ABD và ACD có ABD = ACD theo trường hợp 3 bằng nhau không? (cạnh huyền- góc nhọn) Nếu có thì bằng nhau theo trường hợp nào? * Hình 2, hình 3 cũng đặt các câu hỏi tương tự như hình 1. Từ đó yêu cầu học sinh: 9
10. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau - Hãy chứng minh DEK = DFK * Chứng minh: và ABD = ACD ? * Hình 2: Xét hai tam giác vuông DEK và DFK có: DK là cạnh chung E· DK F· DK (gt) Vậy: DEK = DFK (cạnh góc vuông- góc nhọn kề) * Hình 3: Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có: AD cạnh chung (cạnh huyền) B· AD C· AD (gt) Vậy: ABD = ACD (cạnh huyền- góc nhọn) * Hình 4: - Trên hình có các tam giác vuông - Trên hình 4 có 6 tam giác vuông là nào? ABD và ACD , DBE và DCH , - Hãy chứng minh các cặp tam ABH và ACE giác đó bằng nhau? *Chứng minh: Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có: AD là cạnh chung (cạnh huyền) B· AD C· AD (gt) Vậy: ABD = ACD (cạnh huyền- góc nhọn) AB = AC, DB = DC Xét hai tam giác vuông DBE và DCH có: DB = DC (gt) B· DE C· DH (đối đỉnh) Vậy: DBE = DCH (cạnh góc vuông- góc nhọn kề) Xét hai tam giác vuông ABH và ACE có: AB = AC (gt) Aµ là góc chung Vậy: ABH = ACE (cạnh góc vuông- góc nhọn kề). Tiếp theo tôi sẽ rèn luyện cho học sinh dạng bài tập “Tìm thêm một điều kiện thích hợp về cạnh hoặc về góc để hai tam giác vuông bằng nhau ” nhằm phát triển khả năng suy luận trong chứng minh thông qua bài tập sau: * Bài tập 2: Hãy nêu thêm một điều kiện C D bằng nhau về cạnh hay về góc để CAB = DBA ( hình 5) Hình 5 A B 10
11. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau * Giáo viên hướng dẫn học sinh: Muốn biết cần thêm điều kiện về cạnh hoặc về góc để hai tam giác vuông CAB = DBA thì cần kiểm tra xem đã có cặp cạnh hoặc cặp góc nào bằng nhau hay chưa. * Học sinh kiểm tra trên hình và trả lời như sau: Trên hình đã có một cạnh bằng nhau đó là AB là cạnh chung. Vậy để hai tam giác vuông CAB = DBA cần thêm điều kiện: AC = BD hoặc AD = BC hoặc D· AB C· BA . + Khi AC = BD thì CAB = DBA (cạnh góc vuông- cạnh góc vuông) + Khi AD = BC thì CAB = DBA (cạnh huyền- cạnh góc vuông) + Khi D· AB C· BA thì CAB = DBA (cạnh góc vuông- góc nhọn kề) A * Bài tập 3: Cho tam giác ABC có Aµ 900 (hình 6). Kẻ AH vuông góc với BC H BC . Các tam giác vuông AHC và BAC có AC là cạnh chung, Cµ là góc chung, · · 0 AHC BAC 90 , nhưng hai tam giác vuông B C đó không bằng nhau.H Hình 6: Tại sao ở đây không thể áp dụng trường hợp cạnh góc vuông- cạnh góc vuông để kết luận AHC = BAC ? * Giáo viên hướng dẫn học sinh: Cần kiểm tra xem A· HC và B· AC có phải là góc kề với cạnh AC không * Học sinh kiểm tra và trả lời như sau: B· AC là góc kề với cạnh AC nhưng A· HC không phải là góc kề với cạnh AC nên không thể áp dụng trường hợp cạnh góc vuông- cạnh góc vuông để kết luận AHC = BAC . Sau khi giúp học sinh rèn được “kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau” với dạng bài toán có sẵn hình vẽ nhằm giúp học sinh nắm vững các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông. Tôi tiếp tục rèn luyện cho học sinh với dạng bài tập đòi hỏi các em phải tự vẽ hình, phân tích đề, phải tư duy, phải biết liên hệ với kiến thức đã biết để vận dụng vào “chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau” thông qua việc giải các bài tập về chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, được nâng dần từ cơ bản đến nâng cao. 2. Bài tập chưa cho hình vẽ: * Bài tập 1: Cho đoạn thẳng AB, điểm M nằm trên đường trung trực của AB. So sánh độ dài các đoạn thẳng MA và MB. 11
12. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau Giáo viên hướng dẫn học sinh: HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH - Giáo viên lần lượt đặt câu hỏi - Học sinh lần lượt trả lời các câu hỏi * Bước 1: - Hãy xác định giả thiết, kết luận - Giả thiết: Cho đoạn thẳng AB, điểm bằng lời? M nằm trên đường trung trực của AB. Kết luận: So sánh MA và MB - Đường trung trực của đoạn thẳng - Đường trung trực của đoạn thẳng AB AB là gì? là đường thẳng vuông góc tại trung điểm của đoạn thẳng AB. * Bước 2: d - Hãy vẽ hình minh họa dựa vào - Học sinh vẽ hình M giả thiết đã cho? - Giáo viên nhận xét hình vẽ và sửa sai (nếu có) A H B - Dự đoán độ dài của MA và MB? - Dự đoán MA = MB * Bước 3: - Hãy viết giả thiết, kết luận của - Học sinh viết giả thiết, kết luận bài toán bằng kí hiệu dựa vào hình Cho đoạn thẳng AB đã vẽ? GT MH  AB , AH=BH KL MA = MB * Bước 4: - Để chứng minh MA = MB ta cần - Cần chứng minh hai tam giác có chứa chứng minh điều gì? Vì sao? hai cạnh MA và MB bằng nhau. Vì có hai tam giác bằng nhau sẽ suy ra được các cạnh tương ứng bằng nhau. - Để chứng minh MA = MB ta cần - Chứng minh MAH = MBH . Vì MA chứng minh hai tam giác nào bằng và MB là hai cạnh tương ứng của nhau? Vì sao? MAH và MBH . - MAH và MBH là tam giác gì và - MAH và MBH là hai tam giác vuông hai tam giác này bằng nhau theo và hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp nào? trường hợp cạnh góc vuông- cạnh góc vuông. * Bước 5: * Chứng minh: - Hãy chứng minh MA = MB? Xét hai tam giác vuông MAH và MBH có: AH = BH (gt) MH là cạnh chung MAH = MBH (cạnh góc vuông- cạnh góc vuông) MA = MB (hai cạnh tương ứng) 12
13. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau * GV nhấn mạnh: Bài toán này cần phải chia hai trường hợp để giải, phần vừa chứng minh là một trường hợp, còn thêm một trường hợp là điểm M trùng với điểm trung điểm H, lúc đó dĩ nhiên MA = MB. * Bước 6: Chốt lại vấn đề: Trong bài toán trên ta đã dùng - Dùng phương pháp chứng minh hai phương pháp gì để chứng minh hai tam giác bằng nhau để suy ra hai cạnh đoạn thẳng bằng nhau? tương ứng bằng nhau. - Yêu cầu HS phát biểu thành một - HS có thể phát biểu bài toán như sau: bài toán có dạng tổng quát hơn “Chứng minh rằng khoảng cách từ nhưng có cùng phương pháp một điểm thuộc đường trung trực của chứng minh. một đoạn thẳng đến hai đầu mút của - Yêu cầu HS về nhà chứng minh đoạn thẳng ấy là không đổi” bài toán này. Khi HS đã chứng minh được bài tập đơn giản, tôi sẽ hướng dẫn HS chứng minh những bài toán khó hơn và yêu cầu các em tự trình bày lại bài chứng minh theo hướng dẫn. * Bài tập 2: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Vẽ ID  AB (D AB) , IE  BC (E BC), IF  AC (F AC) . Chứng minh rằng ID = IE = IF. Giáo viên hướng dẫn học sinh: HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH * Bước 1: - Hãy xác định giả thiết, kết luận - Giả thiết: Cho tam giác ABC. Các tia bằng lời? phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Vẽ ID vuông góc với AB (D thuộc AB), vẽ IE vuông góc với BC (E thuộc BC) , vẽ IF vuông góc với AC ( F thuộc AC) - Kết luận: Chứng minh rằng ID bằng IE và bằng IF. - Tia phân giác của một góc là gì? - Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc đó và tạo với hai * Bước 2: cạnh ấy hai góc bằng nhau. - Hãy vẽ hình minh họa dựa vào giả thiết đã cho? 13
14. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau A - Giáo viên lưu ý: Dùng êke vẽ các góc vuông và dùng thước đo F góc vẽ tia phân giác cho chính D xác I - Giáo viên nhận xét hình vẽ và 1 1 sửa sai (nếu có) 2 2 B E C * Bước 3: - Hãy viết giả thiết, kết luận bằng - Học sinh viết giả thiết, kết luận kí hiệu dựa vào giả thiết đã cho? Cho ABC B¶ B¶ 1 2 C¶ C¶ GT 1 2 ID  AB (D AB) IE  BC (E BC) IF  AC (F AC) KL ID = IE = IF * Bước 4: - Gợi ý: Cần sử dụng tính chất của đẳng thức: Nếu A = B, B = C thì suy ra A = B = C. - Dựa vào tính chất trên muốn - Cần chứng minh ID = IE và IE = IF thì chứng minh ID = IE = IF ta cần suy ra được ID = IE = IF. chứng minh điều gì? - Muốn chứng minh hai đoạn - Muốn chứng minh hai đoạn thẳng thẳng bằng nhau thường ta cần bằng nhau thông thường ta cần chứng chứng minh điều gì? minh hai tam giác chứa hai cạnh đó bằng nhau. - Để chứng minh ID = IE và - Muốn chứng minh ID = IE cần chứng IE = IF thì cần chứng minh các minh BID = BIE và muốn chứng minh cặp tam giác nào bằng nhau? IE = IF cần chứng minh CIE = CIF . - BID = BIE và CIE = CIF - BID = BIE và CIE = CIF theo theo trường hợp nào? trường hợp 3( cạnh huyền- góc nhọn) * Bước 5: * Chứng minh: - Hãy chứng minh ID = IE = IF? Xét hai tam giác vuông BID và BIE có: BI cạnh chung (cạnh huyền) µ ¶ B1 B2 ( gt) BID = BIE (cạnh huyền- góc nhọn) ID = IE (hai cạnh tương ứng) (1) Xét hai tam giác vuông CIE và CIF có: CI cạnh chung (cạnh huyền) 14
15. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau µ ¶ C1 C2 (gt) CIE = CIF (cạnh huyền- góc nhọn) IE = IF (hai cạnh tương ứng) (2) * Bước 6: Từ (1) và (2) suy ra ID = IE = IF Chốt lại vấn đề: Muốn chứng minh ba cạnh hay ba góc bằng nhau, thường ta sử dụng tính chất: Nếu A = B, B = C thì suy ra A = B = C. * Bài tập 3: Cho tam giác ABC cân tại A ( Aµ900 ). Vẽ BH  AC (H AC), CK  AB (K AB). a) Chứng minh rằng: AH = AK. b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A. Giáo viên hướng dẫn học sinh: HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH * Bước 1: - Hãy xác định giả thiết, kết luận - Giả thiết: Cho tam giác ABC cân tại bằnglời? A ( Aµ900 ). Vẽ BH vuông góc với AC (H thuộc AC), vẽ CK vuông góc với AB (K thuộc AB). I là giao điểm của BH và CK. Kết luận: a) Chứng minh rằng: AH bằng AK. b) Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A. - Hãy nêu định nghĩa tam giác cân? - Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. * Bước 2: - Hãy vẽ hình minh họa dựa vào giả - Học sinh vẽ hình thiết đã cho? A - Giáo viên nhận xét hình vẽ và sửa K H sai (nếu có) I B C * Bước 3: - Hãy viết giả thiết, kết luận bằng kí - Học sinh viết giả thiết, kết luận dựa hiệu dựa vào hình đã vẽ? vào hình vẽ. 15
16. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau ABC Aµ 900 , AB = AC GT BH  AC (H AC), CK  AB (K AB) BH  CK=I a) AH = AK KL b) AI là tia phân giác của góc A * Bước 4: - Ở câu a muốn chứng minh - Để chứng minh AH = AK cần chứng AH = AK cần chứng minh hai tam minh ABH = ACK . giác nào bằng nhau? Vì sao? Vì AH và AK là hai cạnh tương ứng của ABH và ACK - ABH = ACK bằng nhau theo - ABH = ACK theo trường hợp 3 trường hợp nào? Vì sao? (cạnh huyền- góc nhọn) Vì AB = AC ( do tam giác ABC cân tại A) và Aµ là góc chung - Ở câu b muốn chứng minh AI là - Muốn chứng minh AI là tia phân tia phân giác của góc A cần chứng giác của góc A cần chứng minh minh điều gì? K· AI H· AI · · - Muốn chứng minh KAI HAI cần - Muốn chứng minh K· AI H· AI cần chứng minh điều gì? Vì sao? chứng minh KAI = HAI Vì K· AI và H· AI là hai góc tương ứng của hai tam giác KAI và HAI KAI = HAI theo trường hợp nào? KAI = HAI theo trường hợp 4 ( cạnh huyền- cạnh góc vuông) * Bước 5: * Chứng minh: - Hãy chứng minh bài toán này? a) Xét hai tam giác vuông ABH và ACK có: AB = AC (cạnh huyền) Aµ là góc chung ABH = ACK (cạnh huyền- góc nhọn) AH = AK (hai cạnh tương ứng) b) Xét hai tam giác vuông KAI và HAI có: AH = AK (cạnh huyền) AI cạnh chung KAI = HAI (cạnh huyền- cạnh góc vuông) K· AI H· AI (hai góc tương ứng) Hay AI là tia phân giác của góc A. 16
17. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau * Bước 6: Chốt lại vấn đề: Muốn chứng minh là tia phân giác của một góc cần dựa vào tính chất của tia phân giác để chứng minh. * Bài tập 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH vuông góc với AD, kẻ CK vuông góc với AE. Chứng minh rằng: a) BH = CK. b) ABH = ACK Giáo viên hướng dẫn học sinh: HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH * Bước 1: - Hãy xác định giả thiết, kết luận - Giả thiết: Cho tam giác ABC cân tại bằng lời? A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH vuông góc với AD, kẻ CK vuông góc với AE. Kết luận: Chứng minh rằng: a) BH = CK. b) ABH = ACK - Hãy nêu định nghĩa tam giác - Tam giác cân là tam giác có hai cạnh cân? bằng nhau. * Bước 2: - Hãy vẽ hình minh họa dựa vào - Học sinh vẽ hình giả thiết đã cho? A H K - Giáo viên nhận xét hình vẽ và sửa sai (nếu có) D B C E * Bước 3: - Hãy viết giả thiết, kết luận bằng - Học sinh viết giả thiết, kết luận kí hiệu dựa vào hình đã vẽ? ABC: AB = AC GT BD = CE BH  AD, CK  AE KL a) BH = CK. b) ABH = ACK 17
18. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau * Bước 4: - Để chứng minh BH = CK cần chứng - Ở câu a để chứng minh minh BHD = CKE . Vì BH và CK là BH = CK cần chứng minh hai hai cạnh tương ứng của BHD và CKE . tam giác nào bằng nhau? Vì sao? - Theo giả thiết thì BHD và CKE - Theo giả thiết thì BHD và CKE chưa đủ điều kiện bằng nhau chưa? đủ điều kiện bằng nhau. - Cần thêm điều kiện gì để - Để BHD = CKE cần thêm Dµ Eµ BHD = CKE ? - Để chứng minh Dµ Eµ cần - Để chứng minh Dµ Eµ cần chứng minh chứng minh hai tam giác nào ABD = ACE . bằng nhau? - ABD = ACE theo trường hợp ABD = ACE theo trường hợp cạnh- nào? BHD = CKE ta suy ra được góc- cạnh. Từ đó suy ra được Dµ Eµ . điều gì? - BHD = CKE theo trường hợp - BHD = CKE theo trường hợp cạnh nào? huyền- góc nhọn. - Ở câu b ABH = ACK theo - ABH = ACK theo trường hợp cạnh trường hợp nào? huyền- cạnh góc vuông. * Bước 5: - Hãy chứng minh bài toán này? * Chứng minh: a) Xét ABD và ACE có: AB = AC A· BC A· CB  0 A· BC A· BD 180  A· BD A· CE A· CB A· CE 1800  BD = CE ABD = ACE (c. g. c) Dµ Eµ (hai góc tương ứng) Xét hai tam giác vuông BHD và CKE có: BD = CE (cạnh huyền) Dµ Eµ BHD = CKE (cạnh huyền- góc nhọn) BH = CK (hai cạnh tương ứng) b) Xét hai tam giác vuông * Bước 6: ABH và ACK có: Chốt lại vấn đề: AB = AC (cạnh huyền) Muốn chứng minh hai cạnh hay BH = CK hai góc bằng nhau thông thường ABH = ACK (cạnh huyền- xuất phát từ việc chứng minh hai cạnh góc vuông) tam giác chứa hai cạnh hay hai góc đó bằng nhau. 18
19. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau 3. Một số bài tập giúp học sinh tự rèn luyện thêm ở nhà: * Bài tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc A. * Bài tập 2: Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC tại I. Kẻ IH vuông góc với đường thẳng AB, kẻ IK vuông góc với đường thẳng AC. Chứng minh rằng BH = CK. * Bài tập 3: Tam giác ABC có M là trung điểm của BC, AM là tia phân giác của góc A. Kẻ MH vuông góc với AB, MK vuông góc với AC. Chứng minh rằng: a) MH = MK. b) Bµ Cµ . * Bài tập 4: Tam giác ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân. * Bài tập 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. a) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân. b) Kẻ BH  AM H AM , kẻ CK  AN(K AN) . Chứng minh rằng BH = CK c) Chứng minh rằng AH = AK d) Gọi O là giao điểm của HB và KC. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao? e) Khi B· AC 600 và BM = CN = BC, hãy tính số đo các góc của tam giác AMN và xác định dạng của tam giác OBC. * Bài tập 6: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Từ B và C kẻ các đường thẳng BE và CF vuông góc với đường thẳng AM. a) So sánh hai tam giác BEM và CMF suy ra: ME = MF; BE = BF. b) Chứng minh BE // CF. c) Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng EF. * Bài tập 7: Cho góc xOy. Trên tia phân giác của góc đó lấy một điểm M, từ M hạ các đường vuông góc MA và MB xuống các cạnh Ox và Oy. Chứng minh rằng: a) Tam giác MAB là tam giác cân. b) AB vuông góc với OM. * Bài tập 8: Cho góc xOy. Trên Ox lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Từ A và B hạ các đường AE và BF cùng vuông góc với tia OM. Chứng minh rằng AE = BF. * Bài tập 9: Chứng minh rằng nếu hai tam giác bằng nhau thì đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh tương ứng đến cạnh đối diện bằng nhau. * Bài tập 10: Chứng minh rằng trong một tam giác cân, đường phân giác của giác của góc ở đỉnh là đường vuông góc với đáy của tam giác đó và ngược lại. 19
20. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau * Bài tập 11: Cho tam giác ABC AB AC . Đường trung trực của cạnh BC cắt tia phân giác Ax của góc A ở điểm O. Kẻ OE; OF theo thứ tự vuông góc với AB và AC. a) Chứng minh BE = CF. b) Nối EF, cắt BC tại M và cắt Ax tại I. Chứng minh M là trung điểm của cạnh BC. c) Chứng minh IA2 IE 2 IO2 IF2 AO2 4. Bài tập có ứng dụng thực tế của tam giác vuông: B D x A E y C m Bài tập: Muốn đo khoảng cách giữa hai điểm A và B bị ngăn cách bởi con sông (xem hình vẽ), người ta làm như sau: - Vạch đường thẳng xy  AB tại A. - Lấy điểm E nằm trên xy. - Xác định điểm D sao cho DE = EA - Vạch tia Dm  AD - Chọn điểm C sao cho ba điểm B, E và C thẳng hàng - Đo khoảng cách CD thì CD = AB. Giải thích tại sao? Giáo viên cho học sinh quan sát hình và sau đó học sinh giải thích Dựa vào hình vẽ ta chứng minh được hai tam giác vuông ABE = DCE Có được ABE = DCE thì suy ra được AB = CD mà CD ta đo được dễ dàng V. Kết quả đạt được sau khi đã áp dụng những giải pháp trên: Sau khi áp dụng những giải pháp trên vào các lớp sau, tôi lại tiến hành khảo sát để kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức cũng như kỹ năng giải bài tập về chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau của học sinh thông qua bài khảo sát và kết quả đạt được như sau: * Đề khảo sát chất lượng (thời gian 45 phút): *Trắc nghiệm khách quan: ( 4 điểm) Trong các câu sau đây, câu nào đúng câu nào sai? 20
21. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau Câu 1: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Câu 2: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Câu 3: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Câu 4: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC ( H BC ). Khi đó ta kết luận được HB = HC. A Câu 6: Cho tam giác ABC có Aµ 900 (hình vẽ). Kẻ AH vuông góc với BC ( H BC ). Các tam giác AHC và BAC có AC là cạnh chung, Cµ là góc chung, A· HC B· AC 900 . Khi đó ta kết luận được AHC = BAC . B C * Tự luận (6 điểm) H Bài 1: (3 điểm) Các tam giác vuông ABC và DEF có µA Dµ 900 , AC = DF. Hãy bổ sung thêm một điều kiện bằng nhau (về cạnh hay về góc) để ABC DEF Bài 2: (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc A. * Kết quả khảo sát: Lớp Số Giỏi Khá Trung Bình Yếu, Kém Học Sinh Số Tỉ Lệ Số Tỉ Lệ Số Tỉ Lệ Số Tỉ Lệ lượng Lượng lượng lượng 7A 36 7 19,4% 15 41,7% 8 22,2% 6 16,7% 7B 35 6 17% 17 48,7% 7 20% 5 14,3% 7C 40 13 32,5% 18 45 % 6 15% 3 7,5 % * Nhận xét: Qua kết quả khảo sát tôi thấy các em có nhiều tiến bộ đáng kể, các em đã khắc phục được những hạn chế trước đây, các em nắm vững được kiến thức, phương pháp giải các dạng toán về chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau và bắt đầu thích học dạng toán này hơn, các em tự tin hơn trong giải toán. Bản thân tôi cũng cảm thấy phấn khởi hơn trước sự tiến bộ của các em học sinh, vui mừng hơn khi giải pháp của mình bước đầu đã đem lại sự tiến bộ trong học tập của các em. 21
22. Một số kinh nghiệm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau D. BÀI HỌC KINH NGHIỆM: I. Đối với Học sinh: Học sinh cần xác định được tầm quan trọng của việc học. Trong giờ học phải nghiêm túc, tích cực phát biểu ý kiến xây dựng bài, tự mình tạo hứng thú khi học. Sử dụng thời gian học tập có hiệu quả, tập trung giải quyết dứt điểm từng việc, phương châm làm đâu gọn đấy, học gì xong nấy, bài học hôm nay không để ngày mai, học xong môn này mới học môn khác. Học sinh cần có quyết tâm vượt khó học tập, tự vận dụng các kiến thức đã học để giải các bài tập ở nhà, chuẩn bị bài đầy đủ khi đến lớp, tìm dạng bài tập tương tự để giải thông qua sách giáo khoa, sách bài tập, sách toán cơ bản và nâng cao, Có như vậy các em mới rèn cho mình kĩ năng giải toán. II. Đối với Giáo viên: Muốn nâng cao chất lượng dạy và học, làm cho học sinh yêu thích bộ môn của mình thì nhân tố quan trọng nhất đó chính là giáo viên. Giáo viên phải có tâm huyết với nghề, luôn say mê tìm tòi học hỏi kinh nghiệm từ đồng nghiệp, dành nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu phục vụ cho giảng dạy. Đối với học sinh yếu kém, Giáo viên cần phải kiên trì rèn luyện, ân cần giúp đỡ các em một cách tỉ mỉ để em nào cũng có thể giải được các dạng bài tập cơ bản nhất. Giáo viên cần dành thời gian sưu tầm những dạng bài tập tương tự, vừa sức với khả năng của từng đối tượng học sinh. Trong quá trình giải bài tập, cần kết hợp vừa giải bài tập mới vừa củng cố kiến thức cũ có liên quan. Sau khi giải xong một dạng bài tập, giáo viên cần tạo điều kiện cho học sinh nhắc lại phương pháp đã giải . E. KẾT LUẬN: Kiến thức về “chứng minh hai tam giác bằng nhau” là một kiến thức trọng tâm của chương trình Hình học lớp 7, làm nền tảng để học tốt “ Các trường hợp đồng dạng của tam giác” ở môn Hình học lớp 8. Do đó Giáo viên cần đầu tư chu đáo để giảng dạy thật tốt, truyền đạt kiến thức, phương pháp thật cụ thể để học sinh giải được tốt bài tập về chứng minh hai tam giác bằng nhau. Trên đây chỉ là những kinh nghiệm bước đầu mà bản thân tôi đã áp dụng có hiệu quả trong việc giúp học sinh “ rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau”. Rất mong được sự góp ý chân tình của quý thầy cô, đồng nghiệp để bản thân tôi được tích lũy thêm kinh nghiệm, phục vụ ngày càng tốt công tác giảng dạy, đáp ứng được lòng tin cậy của nhà trường. 22