Sáng kiến kinh nghiệm: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn - Phan Thị Nguyệt

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn - Phan Thị Nguyệt

1. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong khi giải phương trinh bậc hai hai ẩn học sinh thường lúng túng không rõ phương pháp giải. Qua quá trình giảng giải tôi xin đưa ra một số phương pháp giải “phương trình nghiệm nguyên bậc hao hai ẩn”. Việc giải phương trình này còn giúp học sinh có kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bậc hai hai ẩn và phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời cũng biết được cách giải một số phương trình nghiệm nguyên bậc hai hai ẩn. II.NỘI DUNG 22 A. Xét phương trình a1x+a2xy+a3x+a4y+a56ya+=0.Trong đó a1 ¹0 hoặc a2 ¹0, a5 ¹0 B. Các phương pháp giải. a.Phương pháp thứ nhất Viết vế trái thành tổng các bình phương ìA=0 222 ï Dạng 1. A+BC+=0Û=íB0 ï îC=0 Ví dụ; giải phương trình nghiệm nguyên: 5x22+2y+4xy+9yx-+=8140(1) Lưu ý: Để viết vế traí thành tổng các bình phương nhất là bình phương của một tam thức cần có cách tách hợp lý. Ta biết hang tử có bình phương thì hệ sổ là số chính phương, do đó 54x2=+xx22 2y2=+yy22 Phương trình (1) Û4x2+x2+yy22++4xy-4x-4xy+9+=140 Ta coi bình phương của một tam thức (a+b+c)22=((a++bc)) là bình phương của nhị thức với biểu thức thử nhất là (a+b) và bểu thức thứ hai là c. Vậy (1) Û4x2+x2+yy22++4xy-4x-4xy+9+=140 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 1 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
2. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Û ((2x)2+2.2x(y-1)+(y-1)2)+(xy-2)22+(-=3)0 (2x+y-1)222+(xy-2)+()-=30 Û(2x+y-1)2+(yx+3)22+(-=2)0 ì2xy+-=10 ï Ûíy+=30 ï îx-=20 ìx=2 Ûí îy=-3 Bài tập: giải các phương trình nghiệm nguyên: 1, 2x22+5y+14-4xy-8yx-=40 2, 5x22+2y+14+4xy-4yx+=80 3,5x22+10y+3-12xy+8yx-=20 4, 10x22+5y+38-12xy+16yx-=360 5, 10x22+4y+34-12xy+20yx-=360 Giải: 1, 2x22+5y+14-4xy-8yx-=40 Ûx2+x2+4y22+y-4xy-8yx-4+=140 Û(x-2y+1)2+(xy-3)22+()-=20 ìxy-2+=10 ï Ûíx-=30 ï îy-=20 ìx = 3 Û í îy = 2 2, 5x22+2y+14+4xy-4yx+=80 Û4x2+xy2+22+y+4xy+8xy-4+=140 Û(2x+y+1)2+(xy+2)22+()-=30 ì2xy++=10 ï Ûíx+=20 ï îy-=30 ìx =-2 Û í îy = 3 3,5x22+10y+3-12xy+8yx-=20 Û4x2+x2+9y22+y-12xy-2xy+8+=30 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 2 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
3. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Û(2x-3y-1)2+(xy+1)22+()+=10 ì2xy-3-=10 ï Ûíx+=10 ï îy+=10 ìx=-1 Ûí îy=-1 4, 10x22+5y+38-12xy+16yx-=360 Ûx2+9x2+4y22+y+38-12xy+16yx-=360 Û((3x)22-2.3.x(2y+5)+()2y+5)+(x22-6x+9)+()yy-4+=40 Û(3x-2y-5)2+(xy-3)22+()-=20 ì3xy-2-=50 ï Ûíx-=30 ï îy-=20 ìx=3 Ûí îy=2 5, 9x2+x22+4y+34-12xy+20yx-=360 Û(3x+2yx-5)22+()-=30 ì3xy+2-=50 Ûí îx-=30 ìx=3 Ûí îy=-2 ìAm=± ï Dạng 2. A2+B2+C2+ =m2+np22++ ÛíBn=± ï îCp=± và các hoán vị của chúng. Ví dụ: Giải phương trình: x22-xy-60+= Û4x22-4xy-24+=40 Û(2xy-1)2+(2)2=25=32+42=+0522 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 3 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
4. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. ïì 2x -=13 í ìx =-2;1 Do 2x-1 lẻ nên ï 24y = Û í î îy =±2 ïì2x-=15 ìx=-3;2 Û Hoặc íí îï20y=îy=0 Phương trình đã cho có nghiệm: (x,y) = (2,2), (3,0), (-1,-2),(-3,0);(2;-2);(-1;2);(-2;0) Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên dương: 1, x22=100+-6xyy13 2, x22-4xyy+=5169 Giải: 1, x22=100+-6xyy13 Ûx2-6xy+94yy22+=100 Ûxy-322+2=100=62+82=+02210 ïì x -=36 Û í ìx = 9 ï 28y = Û í î îy = 4 ïì x -=38 í ìx =11 Hoặc ï 26y = Û í î îy = 3 ïì x -=310 í ìx = 13 Hoặc ï 20y = Û í î îy = 0 ïì x -=30 í ìx = 3 Hoặc ï 2y =10 Û í î îy = 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm: ( xy,) ={(9;4)(11;3)(3;5) } 2, x22-4xyy+=5169 Ûx2-4xy+4yy22+=169 Ûx-2yy2+2=169=122+52=+02213 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 4 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
5. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. ìï xy-=212 Û í ìx = 22 ï y= 5 Û í î îy = 5 ïìxy-=25 í ìx =19 hoặc ï y=12 Û í î îy = 12 ïìxy-=20 í ìx = 26 hoặc ï y=13 Û í î îy =13 Vậy phương trình đã cho có nghiệm: ( xy,) ={(22;5)(19;12)(26;13) } b.Phương pháp thứ hai: Phân tích vế trái thành nhân tử éA = 0 ê Dạng 1. A.B.C =0 Û=êB 0 ëêC = 0 Dạng 2. A.B.C = m.n.p (Với m, n,p là các số nguyên) éAm= ê Û=êBn ëêCp= và các hoán vị của chúng. Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 3x22+10xyy+=896 Û+3x226xy+4xyy+=896 Û(x+2y)(3xy+4)=96=16.6==12.824.4 Do x,y là các số nguyên dương nên (3x+4y)>(xy+³2)3 ìì2x+4yx==164 ÞÛíí îîx+2yy==61 ìì2x+4yx=124=- Hoặc ííÛ (loại) îîx+2yy==86 ìì2x+4yx==2416 Hoặc ííÛ (loại) îîx+2yy=46=- Vậy phương trình đã cho có nghiệm: ( xy,) =(4;1) Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên: 1, y22=xx++6 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 5 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
6. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 2, x2 -256=+yy( ) 3, x22-6xyy+=5121 4,5( x+y) =-32xy 5, x2 -x-xyy+3-=60 Giải: 1, y22=xx++6 Û4y22=4xx++424 Û(2y)22-(4xx+4+=1)23 Û(2yx)22-(2+=1)23 Û(2y-2x-1)(2yx+2+1) =23=1.23=(-1).(-23)=23.1=( 23).(1) ìï(2yx+21+=) 23 *í ìy = 6 ï()2yx-2-=11Û í î îx = 5 ìï(2yx+2+=11) ìy = 6 *í Û í îï()2yx-2-=123 îx =-6 ìï(2yx+2+1) =-23 *í ìy =-6 ï()2yx-2-11=- Û í î îx =-6 ìï(2yx+2+11) =- *í ìy =-6 ï()2yx-2-1=-23 Û í î îx = 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:( xy,) ={(5;6),(-6;6),(-6; 6),(5;6)} 2, x2 -256=+yy( ) Ûx22-( yy+6+=9) 16 Ûx22-( yy+6+=9) 16 Û(xy)22-()+=316 Û( x-y-3)( xy++=3) 16 Do ( x-y-33) £( xy++) Và ( x-y-3);3( xy++) cùng tính chẵn lẻ nên ( x-y-3)( xy++3) =2.8=4.4=(-8)(-2) =( 44)( ) ììx-yx-3==25 *Ûíí îîx+yy+3==80 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 6 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
7. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. ììx-yx-3==44 *Ûíí îîx+yy+3=43=- ììx-yx-3=-85=- *Ûíí îîx+yy+3=-=20 ììx-yx-3=-44=- *Ûíí îîx+yy+3=-43=- Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( xy,) ={(5;0)(-5;0)(4;-3)( 4;3)} 3, x22-6xyy+=5121 Ûx2-6xy+9yy22-=4121 Û(x-3yy)22-=()2121 Û( x-3y+2y)( x-3yy-=2) 121 Do ( x-3y+2y) ³( x 32yy) Và ( x-3y+2y);( x 32yy) cùng tính chẵn lẻ nên ìx-3yy+=2121 ï( ) ïïìxy-=361 ìxy-=361 *íÛÛíí ïïx-3yy-=21 2y=60 îïy=±30 î()î Nếu y = 30 Thì xx-90=61Þ=151;29 Nếu y =-30 Thì xx+90=61Þ= 151;29 ìx-3yy+=211 ïï( ) ìxy-=311 ìx=±11 *íÛÛíí ïïx-3yy-=211 20y=îy=0 î()î Vậy phương trình đã cho cónghiệm nguyên:( xy,) ={(29;30),(151;30),(-29;-30),(-151; 30),(11;0),( 11;0)} 4,5( x+y) =-32xy Û5(x+y) -32xy =- Û15( x+y) -96xy =- Û15x-96xy =- Û3x(5-3yy)-5()5-3+256=- Û(3xy-5)()3-=531 Không mất tính tổng quát giả sử xy£ Þ3xy-5£-35 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 7 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
8. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. ìì3xx-5==12 *Ûíí îî3yy-5==3112 ì 4 x = ì3x -51=- ï 3 *Ûíí (loại) 3y -5= 3126 î ïy = îï 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( xy,) ={(2;12)(12;2) } 5, x2 -x-xyy+3-=60 Ûx2 -3x-xy++3yx2-=60 Ûx( x-3) -y( xx-3) +2( -=30) Û( x-3)( xy-+=20) éx=Î3; yZ Ûê ë y=x+Î2; xZ c.Phương pháp thứ ba: Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai Ta coi phương trình bậc hai hai ẩn là phương trình bậc hai một ẩn còn ẩn kia là hằng số.Chẳng hạn f (xy,)= 0 ta coi y hằng số. 2 Dạng 1. nếu Dy =ay++byc có hệ số a < 0. hoặc Dy =+byccó hệ số b < 0. Để phương trình f(xy,)= 0 có nghiệm thì D³y 0 từ đó tìm được một nghiệm là y và suy ra nghiệm còn lại x. Ví dụ: giải phương trình nghiệm nguyên: (3x22+xy+y)8=+xy 22 Û3x+(3y-1)x+3yy-=80 2 Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. Ta có Dy =-27yy++91. D=-27yy2 +9+³10 Để pt đã cho có nghiệm thì y Û-0,01£y£Î3,3; yZ y Î{0,1,2,3}Thay vào ta được Nếu y=0Þ30xx2 -= é 1 x = Û30xx2 -=Þê 3 ê ëx= 0 Nếu y=1Þ3xx2 +2-=50 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 8 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
9. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. éx =1 Û3xx2 +2-50=Þê-5 êx= ë 3 Nếu y=2Þ3xx2 +5-=40 D=25+=4873 (không phải là số chính phương) Nếu y=3Þ3xx2 +8+=30 D/ =16-=97 (không phải là số chính phương) pt đã cho có 2 nghiệm:(x,y) =(0,0);(1,1) Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên: 1, x22+xy+y-20xy-= 2, x22-xy+y=+xy Giải: 1, x22+xy+y-20xy-= Ûx22+x( y-20) +yy+= D=y22-4y+4-+44yy D=-43y2 Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì 4-3y22³0Ûyy£1Û-11££ Nếu y=-1Þx2 -xx+1-2+=10 2 éx = 2 Ûxx-3+20=Þê ëx=1 Nếu y=0Þxx2 -=20 2 éx = 2 Ûxx-20=Þê ëx= 0 Nếu y=1Þx2 +xx+1-2-=10 2 éx = 0 Ûxx-=Þ0 ê ëx=1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( xy,) ={(1; 1),(2;1),(0;0),(2;0),(1;1),(0;1)} 2, x22-xy+y=+xy Ûx22-x( y+10) +yy-= D=y2+2y+1-4y22+4y=-3yy++61 Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì D³0 Û -3yy2 +6+³10 Û-0,154££y 2,154 y Î{0;1;2} Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 9 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
10. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Nếu y=00Þxx2 -= 2 éx =1 Ûxx-=Þ0 ê ëx= 0 Nếu y=1Þxx2 -=20 2 éx = 2 Ûxx-20=Þê ëx= 0 Nếu y=2Þxx2 -3+=20 2 éx = 2 Ûxx-3+20=Þê ëx=1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( xy,) ={(0;0),(1;0),(0;1),(2;1),(1;2),(2;2)} 2 Dạng 2. Nếu Dy =ay++byc có hệ số a là một số chính phương Để phương 2 trình f(xy,)= 0 có nghiệm thì D=y m từ đó tìm được một nghiệm là y và suy ra nghiệm còn lại x. Ví dụ : giải phương trình nghiệm nguyên: 1, x22+2y+3xy-26xy-= Ûx22+(3y-2)x+2yy =60 Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. 2 Dy =yy-8++1612 2 Để pt đã cho có nghiệm thì D=y m 22 Dy =y-8ym+16+=12 Ûmy22-(-=4)12 (m-y+4)(my+-4)=12=2.6= 2.(6) Vì(m+y-4) ³ (m-y+4)Và chúng có cùng tính chẵn lẻ.Nên ìmy-+=42 ìm = 4 í Û í Thay y=6 vào pt đã cho ta có: îmy+-=46 îy = 6 2 x+72+18xx-2-=120 Ûxx2 +16+=600 Pt này vô nghiệm. ìmy-+46=- ìm =-4 í Û í îmy+-42=- îy = 6 Pt đ ã cho vô nghiệm 2, xy-2y-3x+x22=6Ûx-x( yy-3) -2-=60 Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. 2 Dy =yy-6++924 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 10 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
11. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 2 Để pt đã cho có nghiệm thì D=y m 22 Dy =y+2ym+1+=32 Ûmy22-(+=1)32 Û( m+y+1)( my-+=1) 32 Do ( m+y+11) ³( my-+) Và ( m+y+1);1( my-+) có cùng tính chẵn lẻ, ( my++³10) nên ( my-+³10) .Ta có ì ïïmy-+=12 ìm=9 ìm=±9 *íÛÛíí my++=116 y+=17 îy=-6;8 îïïî ì ïïmy-+=14 ìm=6 ìm=±6 *íÛÛíí my++=18 y+=12 îy=-1;3 îïïî Nếuy=6Þx2-3xx-12+6-=60Ûxx2 +3-=180 -+39 39 D=9+=4.1881 Þx ==3; x ==-6 1 2 2 2 Nếu y=-8Þx2 -3xx+16-8-=60Ûxx2 -11+=100 phương trinh có nghiệm: xx12==1;10 Nếu y=1Þx2 -3xx-2+-=60Û-xx2 2-=80 / D=1+=89Þx1 =1+=34; x2 =1-32=- Nếu y=-3Þx2 -3xx+6-3-=60Ûxx2 -=60 Þ=x1 0 ; x2 = 6 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( xy,) ={(3;6),(-6;6),(10;-8),(1;-8),(4;1),(-2;1)(0; 3)(6;3)} 3, x2+xy+y2-=xy22 0 Ûx2(10-y22) +xyy+= Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. 2222244222 Dy =y-4y(1-y) =y-4y+4y=4y-3y=-yy(43) Để pt đã cho có nghiệm thì D y là số chính phương Þ4y22-3=mÛ2y22-m=3Û( 2y-m)( 23ym+=) ììïï2y-my==122ìy=±1 *íÛÛíí îîïï2y+mm==31îm=±1 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 11 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
12. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Nếu y = 1 Þx22+x+1-x=Û0xx+1=01Û=- Nếu y = -1 Þx22-x+1-x=0Û-xx+1=01Û= Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: (xy,)={( 1;1),(1;1)} d.Phương pháp thứ tư: dùng tính chất của số chính phương: 2 2 Nếu phương trình f(xy,)=0 có dạng AB(x,yx)=()hoặc AB(x,yy)=() Thì 2 2 ïìBm()x= ïìBm()y= í hoặc í îïB()x³0îïB()y³0 Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình; x222+(x+yx)=+(9) Û(x+yy-9)2=-9(92) Do 18-2y chẵn và18-2y<18 . để pt có nghiệm thì 18-2y là số chính phương. 18-2y=0Ûyx==9;0 18-2y=42 =16Þyx==1;20 18-2y=22 =4Þyx==7;8 Vậy pt đã cho có 3 nghiệm:(x,y) =(0;9);(8;7);(20:1) C. Phương trình đưa được về dạng bậc hai hai ẩn: 1. Giải phương trình nghiệm nguyên a. x4 – 2y4 – x2y2 – 4x2 – 7y2 -5 = 0 Đ ặt t=x2 ta c ó: t2 – 2y4 - ty2 – 4t – 7y2 -5 = 0 Û t2 – (y2 + 4)t –(2y4 + 7y2 + 5) = 0 Đây là phương trình bậc hai đối với ẩn b. Giải phương trình nghiệm nguyên x3 + 7y = y3 +7x (x¹y) Û x3 – y3 = 7(x-y) Ûx2 +xy + y2 =7 Ûx2 +xy +y2 – 7 =0 222 Dy=y-4yy+28=-283 Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì D³y0 Þ28-3yyy2³0Û22£9ÛÎ{1;4;9} 22 Nếu y = -1Þx-x+1-7=0Ûx-x-6=0Ûxx12=-=2;3 22 Nếu y = 1Þx+x+1-7=0Ûx+x-6=0Ûxx12=2;3=- 22 Nếu y = -2Þx-2x+4-7=0Ûx-2x-3=0Ûxx12=-=1;3 22 Nếu y = 2Þx+2x+4-7=0Ûx+2x-3=0Ûxx12=1;3=- 22 Nếu y = 3Þx+3x+9-7=0Ûx+3x+2=0Ûxx12=-1;2=- 22 Nếu y = -3Þx-3x+9-7=0Ûx-3x+2=0Ûxx12==1;2 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 12 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
13. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( xy,) ={(-2;-1),(3;-1),(2;1),(-3;1),(-1;-2),(3;-2)(1;2)(-3;2)(-1;3)(-2;3)(1; 32)( ;3)} III. KẾT LUẬN: Qua giảng dạy rút ra cho học sinh những phương pháp giải cụ thể cho từng loại toán thì học sinh có thói quen nhận dạng và sử dụng phương pháp giải thích hợp và phát huy khả năng tư duy của học sinh. Tuy nhiên bài viết có thể có nhiều sai sót mong quý bạn đọc góp ý giúp đỡ. Tôi xin chân thành cảm ơn. Ngày 30 tháng 5 năm 2008 Người viết: Phan Thị Nguyệt. Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 13 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version