Sáng kiến kinh nghiệm: Tổng kết một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn - Nguyễn Hữu Tài

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm: Tổng kết một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn - Nguyễn Hữu Tài

1. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài Phòng giáo dục và đào tạo bình xuyên tr•ờng THCS Lý Tự Trọng === === Sáng kiến kinh nghiệm Đề Tài: Tổng kết một số ph•ơng pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp một đ•ờng tròn Ng•ời thực hiện: Nguyễn Hữu Tài Giáo viên tổ KHTN Tr•ờng THCS Lý Tự Trọng Tháng 03 năm 2008 1
2. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài Phần I: phần mở đầu 1. Lý do chọn đề tài: a) Cơ sở lý luận: Khi giải toán hình học ở lớp 9 đại đa số có chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, bù nhau, tính số đo góc, chứng minh đẳng thức, chứng minh các điểm cùng thuộc một đ•ờng tròn, . Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức chắc chắn về quỹ tích cung chứa góc, quan hệ giữa góc và đ•ờng tròn, định lý đảo về tứ giác nội tiếp, . Đặc biệt phải biết hệ thống các kiến thức đó sau khi học xong ch•ơng III hình học 9 . Đây là việc làm hết sức quan trọng của giáo viên đối với học sinh. b) Cơ sở thực tiễn: Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất cơ bản thể hiện ở định lý đảo “ Tứ giác nội tiếp ” Trang 88 SGK toán 9 tập 2 thì SGK đã đặc biệt hoá, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên ch•a đặt các dấu hiệu thành một hệ thống ph•ơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đ•ờng tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở của dấu hiệu. Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đ•ờng tròn. Với học sinh lớp 9 đây là dạng toán mới lạ nh•ng lại hết sức quan trọng giúp học sinh nhìn nhận lại đ•ợc các bài toán đã giải ở lớp 8 để có cách giải hay cách lý giải căn cứ khác . Với những lý do trên đây trong đề tài này tôi đ•a ra một số cách để chứng minh một tứ giác nội tiếp sau khi học sinh học xong b¯i “Tứ giác nội tiếp một đường tròn” Với tên gọi: “Tổng kết một số ph•ơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đ•ờng tròn“ 2. Phạm vi, đối t•ợng mục đích của đề tài: a) Phạm vi của đề tài : Là ph•ơng pháp chứng minh hình học THCS ở phạm vi hẹp, cụ thể là chứng minh tứ giác nội tiếp một đ•ờng tròn để từ đó chứng minh các đẳng thức về góc, đẳng thức tích các đoạn thẳng, Tuy nhiên về ứng dụng của nó thì cũng khá rộng rãi . b) Đối t•ợng của đề tài: 2
3. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài Là học sinh đại trà lớp 9 – THCS, giáo viên mới ra nghề dạy ở bậc THCS. c) Mục đích của đề tài: Giúp Giáo viên hệ thống hoá kiến thức tạo nên các ph•ơng pháp để h•ớng dẫn học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh các điểm nằm trên một đ•ờng tròn và các bài toán có sử dụng chiều ng•ợc lại của tứ giác nội tiếp. Rèn học sinh kỹ năng phân tích tự tìm lời giải bằng các cách khác nhau, kỹ năng nhận biết nhanh một tứ giác nội tiếp. * * * * * Vì thời gian có hạn, năng lực của bản thân còn có hạn chế nhất định về khả năng t• duy nên quá trình nghiên cứu và viết đề tài này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong hội đồng khoa học các cấp và các thầy cô đồng nghiệp đóng góp xây dựng. Xin chân thành cảm ơn ! 3
4. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài Phần 2: nội dung của đề tài A. Nội dung: I. Cơ sở lí luận khoa học của đề tài: Để nghiên cứu và viết về đề tài này tôi đã căn cứ vào những cơ sở lí luận khoa học sau: 1, Về ph•ơng pháp chúng ta dùng ph•ơng pháp phân tích – tổng hợp : Giả sử A là giả thiết của bài toán, B là kết luận của bài toán: Để chứng minh A B, ta chứng minh rằng A A1 A2 B. Các quan hệ kéo theo nói trên đ•ợc trình bày d•ới dạng: A1 A2 (lí do) hoặc: (lí do) A1 A2 Trong quá trình tìm lời giải bài toán, ta th•ờng: a - Khai thác giả thiết của bài toán : Từ A A1, từ A1 A2 , Và cuối cùng suy ra Am b - Phân tích đi lên từ kết luận của bài toán: Để chứng minh B ta có thể chứng minh B1 , để chứng minh B1 ta có thể chứng minh B2, , cuối cùng ta có thể chứng minh Bn Nếu chứng minh đ•ợc Am Bn thì bài toán chứng minh A B đ•ợc chứng minh với sơ đồ sau: A A1 A2 Am Bn . B2 B1 B. 2, Một số ph•ơng pháp chứng minh hai góc bằng nhau. * Ph•ơng pháp 1: Là hai góc đồng vị (hay so le trong) do hai đ•ờng thẳng song song * Ph•ơng pháp 2: áp dụng định lý góc có cạnh t•ơng ứng song song hay vuông góc. * Ph•ơng pháp 3: Là hai góc t•ơng ứng của hai tam giác đồng dạng. * Ph•ơng pháp 4: (Tính chất góc nội tiếp, góc giữa một tia tiếp tuyến và một dây cung) Ngoài ra ta còn có thể sử dụng ph•ơng pháp bắc cầu, cùng phụ, cùng bù để chứng minh hai góc bằng nhau. 3, Các bài toán cơ bản về quỹ tích cung chứa góc. Bài toán 1: Quỹ tích các điểm M sao cho AMB = 1V , trong đó AB là một đoạn cho tr•ớc là đ•ờng tròn đ•ờng kính AB. 4
5. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài Bài toán 2: Quỹ tích các điểm M tạo với hai mút của đoạn thẳng AB cho tr•ớc một AMB có số đo không đổi bằng (0o < < 180o) là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB gọi là cung chứa góc dựng trên đoạn AB . 4, Định lý thuận, đ°o về “Tứ giác nôị tíêp một đ•ờng tròn” Trang 87, 88 SGK Toán 9 tập 2. 5, Tính chất của tam giác đồng dạng . 6, Dựa vào định nghĩa đ•ờng tròn. II. Đối t•ợng phục vụ cho quá trình nghiên cứu, xây dựng đề tài này là: 1, Về con ng•ời : - Là những GV giỏi, giáo viên lâu năm trong nghề có kinh nghiệm để học hỏi trao đổi vấn đề nảy sinh trong quá trình nghiên cứu. - Giáo viên mới ra nghề dạy toán để đề xuất câu hỏi : “Tại sao lại có cách chứng minh tứ giác nội tiếp nh• thế ? Trong một b¯i toán cụ thể” - Là học sinh từ trung bình trở lên (học sinh đại trà) lớp 9 THCS. 2, Về kiến thức: Vì thời gian có hạn và năng lực có hạn chế nên đối t•ợng kiến thức tôi chọn ở đây chỉ là định lý và các bài toán hình học nói về tứ giác nội tiếp , quỹ tích cung chứa góc . Nghiên cứu chủ yếu cách tìm ph•ơng pháp chứng minh các điểm cùng thuộc một đ•ờng tròn để phục vụ cho kết luận của bài toán có sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp . III. Nội dung ph•ơng pháp nghiên cứu . * Về ph•ơng pháp nghiên cứu . - Bằng quan sát thực tế giảng dạy các giờ toán chứng minh tứ giác nội tiếp, bài toán tổng hợp có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh và tính toán của GV THCS. - Bằng kinh nghiệm đứng lớp và bồi d•ỡng ôn thi học sinh đại trà lớp 9 , những năm tr•ớc đây thấy học sinh rất ít em phát hiện đ•ợc tứ giác nội tiếp một cách nhanh nhất, nhất là những bài toán không dễ chứng minh ngay đ•ợc tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 180o. Hay HS cứ phải đ•a về tổng hai góc đối diện bằng 1800 nên dài, nhiều khi dẫn đến sai. - Bằng đọc tài liệu để nắm các cơ sở lý luận khoa học về ph•ơng pháp chứng minh và tính chất của tứ giác nội tiếp . Đặc biệt là tìm cách nhận biết nhanh tứ giác nội tiếp tr•ớc khi phải chứng minh tổng hai góc đối diện bằng 180o trong các 5
6. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài bài toán có chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp . - Bằng việc tham khảo và học hỏi ý kiến của đồng nghiệp nhất là những thầy cô dạy toán giỏi trong Huyện. - Bằng thử nghiệm đề tài của mình trong bài dạy giải toán ở trên lớp, các buổi ôn toán thi vào lớp 10 THPT, bồi d•ỡng học sinh giỏi . - Và cuối cùng là bằng việc đi từ vấn đề đơn giản, riêng lẻ của bài dạy đến các định lý và bài toán khó hơn, phức tạp hơn tổng hợp lại một hệ thống các ph•ơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp . Từ các ph•ơng pháp trên đây đối chiếu với lý luận và thực tế tôi rút ra đ•ợc kinh nghiệm nhỏ trong quá trình h•ớng dẫn học sinh giải toán bởi nội dung cụ thể nh• sau: * Nội dung nghiên cứu: - Khi dạy xong b¯i “Tứ giác nội tiếp một đường tròn” Trang 87,88 SGK Toán 9 tập 2. Học sinh tự rút ra đ•ợc một cách chứng minh tứ giác nội tiếp là: Nếu tứ giác ABCD có : D A+C=2V hoặc B+D=2V x Suy ra ABCD là tứ giác nội tiếp một đ•ờng tròn A C Khai thác: 1, Sử dụng tính chất của hai gó kề bù B gọi tia đối của tia AB là tia Ax chẳng hạn giả sử xAD = BCD thế thì vì xAD + DAB = 2V (kề bù) BCD + BAD = 2V => tứ giác ABCD nội tiếp A o Đặc biệt hoá bài toán tứ giác ABCD có BAD = BCD = 90 Thế thì BAD + BCD = 90o+90o=180o =>Tứ giác ABCD nội tiếp đ•ờng tròn đ•ờng kính BD. D B Đây là cách đơn giản nhất. Không phải lúc nào cũng có nh• vậy chẳng hạn nh•: C 2, Xét tứ giác ABCD có DAC = DBC A B Với A, B nằm ở cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa DC ta sẽ chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp . D C 6
7. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài Thật vậy, giả sử DAC = DBC = (0o tứ giác ABCD nội tiếp ( B, C ở cùng một nửa mặt phẳng bờ AD và nhìn AD d•ới hai góc bằng nhau ) Từ đó nếu có tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDB, A BM, D MC => Tứ giác ABCD cũng nội tiếp. Theo tính chất của tam giác đồng dạng ta lại có từ tam giác MAD đồng dạng với tam giác MCB suy ra: MA MD MA . MB = MC . MD MC MB Vậy là ta lại có cách chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tỷ lệ thức: MA . MB = MC . MD, A BM, D MC => Tứ giác ABCD nội tiếp . 4, Nh• vậy với cách nghiên cứu nh• trên cùng với định nghĩa đ•ờng tròn ta có một số cách chứng minh (dấu hiệu nhận biết) nhanh tứ giác nội tiếp nh• sau: Tứ giác ABCD nội tiếp một đ•ờng tròn nếu nó thoả mãn một trong những hệ thức sau: 7
8. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài bảng hệ thống ph•ơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đ•ờng tròn Thứ tự cách Hệ thức chứng Hình vẽ minh hoạ minh C Cách 1 OA = OB = OC = OD A B D B A B D 1800 2.a) 2 1 x 0 Cách 2 A2 C1 180 2.b) A1 = C1 1 C D A 1 0 0 Cách 3 A1 + C1 = 90 + 90 D B 1 C A B 2 A1 B1 1 2 1 A D Cách 4 2 2 B C 1 2 2 2 1 C D1 C1 2 D A B 1 1 0 Cách 5 A1 = B1 = 90 D C 8
9. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài B C C M B A Cách 6 MA . MB = MC . MD O D D A (Hình bên phải tứ giác M ACBD nội tiếp) Kết hợp với tính chất của tứ giác nội tiếp ta có : điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp trong đ•ờng tròn tâm O là thoả mãn một trong các hệ thức trên. Với cách hệ thống hoá nh• trên học sinh đ•ợc ghi nhớ một cách lôgic và từ đó nhận biết nhanh đ•ợc tứ giác nội tiếp một đ•ờng tròn và cũng từ đó sử dụng nhanh các tính chất của tứ giác nội tiếp trong giải toán hình học . Ngoài ra, với giáo viên ta cần nhớ thêm một số cách chứng minh từ bài toán về đ•ờng thẳng Simson và định lý P.tôlêmê: Bài toán 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đ•ờng tròn (O); M là điểm bất kỳ. Gọi E, F, K lần l•ợt là hình chiếu của M xuống AB, BC, CA. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để M (O) là E, F, K thẳng hàng (cùng nằm trên đ•ờng thẳng Simson) Nếu M trùng một trong ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC thì bài toán hiển nhiên đúng. Ta xét tr•ờng hợp M thuộc nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, các tr•ờng hợp còn lại chứng minh t•ơng tự. E M A 2 1 2 K 1 O B C i) Điều kiện cần: M (O) thì E, K,F thẳng hàng (1): 9
10. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài ˆ ˆ (1) K1 K 2 (2). Thật vậy, các tứ giác MEAK, MKFC, AMCB, EMFB nội ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ tiếp => M 2 K 2 (3), M1 K1 (4) M 2 M1 (5) (cùng cộng góc AMF và ABC cho 1800). Từ (3), (4), (5) => (2), (1) ii) Điều kiện đủ: Có (1) => M (O) (6) tứ giác MABC nội tiếp (7) Thật vậy: từ giả thiết và từ các tứ giác MEAK, MKFC và MEBF nội tiếp => , , (đối đỉnh) => ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 AMC ABC AMF M1 ABC AMF M 2 ABC 180 => (7) => (6). Bài toán 2. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp một đ•ờng tròn là AB.CD + BC.AD=AC.BD. Bài toán 3. Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E và AB cắt CD tại F. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp là EA.ED+FA.FB=EF2 . * Một số ví dụ minh hoạ: Trong phần ví dụ này, mỗi ví dụ đ•ợc trình bày theo h•ớng phân tích để tìm ra ph•ơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp . Phần trình bày lời giải trên cơ sở phân tích nên cho phép tôi không trình bày ở đây . Ví dụ 1: Cho hai đ•ờng tròn (O) v¯ (O’) gặp nhau ở A và B, tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) gặp (O’) ở M; Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O’) gặp (O) tại N. Lấy điểm E đối xứng với A qua B . Chứng minh tứ giác AMEN nội tiếp một đ•ờng tròn. Phân tích: C/m tứ giác ANEM nội tiếp một đ•ờng tròn (1) mà ta thấy E đối xứng với A qua B. Vậy là tâm của đ•ờng tròn ngoại tiếp tứ giác ANEM nằm trên đ•ờng trung trực của đoạn AE, và nh• thế tâm của đ•ờng tròn này cũng nằm trên trung trực của các đoạn thẳng nào? (Đoạn AN và AM ) Vậy để chứng minh (1) ta có thể dùng cách 1 để sử dụng tính chất của đ•ờng trung trực của một đoạn thẳng suy ra . 10
11. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài Gọi I là giao hai trung trực của AN và AM thì: (1) IA = IN = IE = IM (2). Thật vậy: OI // AO’ (cùng  AN ) v¯ AO // O’I (cùng  AM ) => AOIO’ l¯ hình bình hành => OIO’ = OAO’ = OBO’ => OIBO’ l¯ tứ giác nội tiếp (theo cách 4) nhưng OI = AO’ = O’B => OIBO’ l¯ hình thang cân => IB // OO’ (3) => IB  AB => IB là đ•ờng trung trực của AE => IA = IN = IE = IM => (2) => (1) đpcm. Chú ý: cũng có thể chứng minh (3) bằng cách chứng minh OO’ l¯ đường trung bình của tam giác AIB . Cách 2: (1) <= MAˆN MEˆN 1800 <= NAˆE AMˆB (4) ˆ ˆ NEB EMB (5) (4) <= cùng bằng 1/2 số đo cung AB của đ•ờng tròng (O). (5) <= Tam giác EBN và tam giác MBE đồng dạng BE BN AB BN  (6) <= BM BE BM AB ˆ ˆ NBE EBM (7) (6) <= Tam giác ABN và tam giác MBA đồng dạng (góc-góc) (7) <= ABˆN MBˆA<= Tam giác ABN và tam giác MBA đồng dạng (góc-góc) Cách 3: A ’ O K H O I B M N E  E’ Gọi I là tâm đ•ờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt AB kéo dài tại E’, ta chứng minh E  E’ bằng cách chứng minh AB= BE’ (vì E đối xứng với A qua B) Gọi K và H lần lượt là giao điểm của OO’ với AI và AB 11
12. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài Ta có KA=KI (do AOIO’ là hình bình hành) và AH=HB (do OO’ là đường nối hai tâm). Do đó HK//BI BI//OO’ mà ABOO’ suy ra IBAB , bởi vậy AB=BE’ (do tam giác AIE’ cân tại I), nghĩa là E’E Ví dụ 2: Trên ( O; R ) lấy 2 điểm A, B sao cho AB AQB = AOB ( cùng bằng số đo cung AB của (O) ) => (3) đ•ợc chứng minh => (2) => (1) đpcm. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông ở A. Kẻ đ•ờng cao AH . Gọi I, K t•ơng ứng là tâm đ•ờng tròn nội tiếp tam giác ABH và ACH . Đ•ờng thẳng IK cắt AC tại N. Chứng minh tứ giác HCNK nội tiếp đ•ợc . Phân tích: Từ giả thiết dễ thấy HIK = A = 90o (1) giả sử tứ gíac HCNK nội tiếp thì A K1 = NCH (2) thế thì HIK và ABC đồng dạng (3) N R K Chứng minh (3): HAB và HCA I 1 M HA AB đồng dạng => (4) HC AC B S H C HA HI Chứng minh HAS và HCR đồng dạng (5) HC HK HI HK Từ (4) và (5) => (6) AB AC Từ (1) và (6) => (3) => (2) => Tứ giác HCNK nội tiếp 12
13. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài Cách 2: Chứng minh CHˆK ANˆK 450 Trên cạnh AB kấy điểm M/ , A trên cạnh AC lấy N/ sao cho AM/=AN/=AH / / / / Gọi I , K là giao điểm của M N / R / N với phân giác các góc BAH, CAH K / / / / I 1 AI M AI H (c.g.c) M/ => AHˆI / AMˆ / I / 450 => I I/ / B Chứng minh t•ơng tự K K S H C Suy ra M M/ , N N/ => AHˆK ANˆK 450 => tứ giác HCNK nội tiếp. Ví dụ 4: Cho góc xOy . Một điểm A ở trong góc đó, gọi B, C là hình chiếu vuông góc của A trên Ox, Oy; gọi C’ , B’ l¯ hình chiếu vuông góc của C, B xuống Ox, Oy; gọi B’’ , C’’ l¯ hình chiếu vuông góc của B’, C’ xuống Ox, Oy. Gọi E là giao điểm của BB’, CC’. Gọi Q, P lần l•ợt là giao của OE với B’C’ v¯ B’’C’’. Chứng minh tứ giác MNPQ nội tiếp. Phân tích: C/m tứ giác MNPQ nội tiếp (1). Ta có thể sử dụng cách 3 : C/m : P + M = 90o + 90o (2) Thật vậy, vì tứ giác OBAC nội tiếp ( nhận biết nhanh cách 3 ) OCB = OAB (3) (đảo cách 4) Vì BCB’C’ nội tiếp ( nhận biết nhanh cách 5 ) B C/ OC’B’ = OCB (4) B// Từ (3)v¯ (4) => Tứ giác MC’BA nội tiếp P Q E ( nhận biết nhanh cách 2.b ) O o M nh•ng do OBA = 90 N A o QMN = 90 (5) C// B/ ( T/chất tứ giác nội tiếp và t/chất hai góc kề bù ) C T•ơng tự QPN = 90o (6) Từ (5) và (6) => (2) => (1) đpcm 13
14. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài Ví dụ 5: Cho tam gíac ABC cân ( AB = AC ) . Trên AB và AC lấy M và N sao cho AM + AN = AB . Dựng hình thang cân ANMI ( AI // MN ). Chứng minh tứ giác AIBC nội tiếp. A Phân tích: Để chứng minh tứ giác AIBC nội tiếp (1) N Từ giả thiết => IM = MB = AN (2) và IN = AM = NC (3) I M Từ (2) và (3) => IMA = 2B1 (4) 1 1 và ANI = 2C1 (5) (góc ngoài của tam giác ) B C Mặt khác IMA = ANI (6) vì ANMI là hình thang cân ) Vậy từ (4), (5) và (6) ta có thể suy ra điều gì ? (suy ra B1 = C1(7)). Và từ (7) => (1) đpcm (cách 4) Vậy để giải toán ở ví dụ 5 ta đã dùng cách 4 Ví dụ 6: Cho tam giác ABC, gọi I tâm đ•ờng tròn nội tiếp tam giác, G, K là các tiết điểm của đ•ờng tròn (I) trên AB, AC. Gọi M, N là giao điểm của IB, IC với GK. Chứng minh BNMC là tứ giác nội tiếp. A Phân tích: C/m BNMC nội tiếp (1). Sử dụng cách 5: K M (1) BNC = BMC = 90o (2) N G Ta thấy BGI = 90o nên phải chứng minh : I Tứ giác BNGI và tứ giác IKMC nội tiếp (3) 1 1 C B MIC = MKC (4) với chú ý I là giao 3 phân giác trong tam giác ABC B C 1800 A Ta có MIC = B + C = (5) 1 1 2 2 1800 A Mặt khác: MKC = AKG = AGK = (6) 2 Từ (5) và (6) suy ra (4) => (3) => BMC = BNC = BGI = IKC = 90o => (2) =>(1) đpcm 14
15. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài Ví dụ 7: Cho tam giác ABC kẻ đ•ờng cao AH . Gọi I, K Là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh tứ giác BIKC nội tiếp đ•ợc . Phân tích: C/m Tứ giác BIKC nội tiếp (1) ta có thể dùng một trong hai cách sau đây : Cách 1: Theo giả thiết dễ thấy tứ giác AIHK nội tiếp Nên I1 = H1 nh•ng H1 = C1 (cùng phụ với H2) do đó I1 = C1 ta có cách chứng minh thứ nhất C/m (1) theo cách 2.b. A K 1 I 1 1 B H C Cách 2: Chứng minh (1) ta có thể sử dụng cách 6 đ•ợc không? (1) AI . AB = AK . AC (2) Để chứng minh (2) ta có thể sử dụng hệ thức l•ợng giác trong tam gíac vuông AHC và AHB : AI . AB = AH2 và AK . AC = AH2 suy ra (2) đ•ợc c/m => (1) đ•ợc c/m Trong mỗi bài toán nêu trên còn có những cách giải khác nữa nh•ng có thể nói vẫn là một trong 6 cách tôi đã nêu. Nh•ng ở đây với mỗi bài tôi chỉ trình bày từ một đến hai cách vì mục đích làm sáng tỏ việc phân tích theo định h•ớng thích hợp để chứng minh tứ giác nội tiếp . 15
16. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài IV. Kết quả của quá trình nghiên cứu: Trong quá trình nghiên cứu, tổng hợp và viết hoàn thiện đề tài này tôi thu đ•ợc kết quả khá khả quan . Tự mình nhận biết nhanh đ•ợc một tứ giác nội tiếp, để từ đó định h•ớng ph•ơng pháp h•ớng dẫn học sinh tìm lời giải. Giúp cho việc giải các bài toán hình học có sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp nhanh nhạy. Bổ xung thêm cho mình ph•ơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp, các điểm cùng thuộc một đ•ờng tròn, để không bị bế tắc với các bài khó, bản thân tự tin hơn, t• duy thêm nhanh và sáng tạo hơn . Đặc biệt là giúp cho giáo viên thêm ph•ơng pháp h•ớng dẫn học sinh chứng minh hình học, giải toán và h•ớng dẫn học sinh đọc tài liệu tham khảo với các bài toán liên quan đến tứ giác nội tiếp. V. Giải pháp mới và sáng tạo: Trong đề tài này giải pháp mới và sáng tạo là phân tích để tìm ra cách chứng minh tứ giác nội tiếp theo trực giác hình vẽ của bài toán (định lý) hoặc định h•ớng ph•ơng pháp theo giả sử các b•ớc sau : H•ớng thứ nhất: ( phân tích đi lên ) B•ớc 1: Giả sử để chứng minh tứ giác nội tiếp một đ•ờng tròn ta chọn ph•ơng pháp A nào đó ( ph•ơng pháp A là cách 1, cách 2 , cách 6 ) thế thì ta phải chứng minh điều gì ? ( điều gì ở đây là một trong các hệ thức ở 6 cách ). B•ớc 2: Sau đó dựa vào giả thiết, kiến thức đã học để chứng minh. B•ớc 3: Trình bày lại lời giải bài toán theo h•ớng phân tích trên. H•ớng thứ hai: (Tổng hợp ) B•ớc 1: Phân tích giả thiết, nhận biết nhanh các tứ giác nội tiếp ( bằng một trong 6 cách ). B•ớc 2: Dùng tính chất của tứ giác nội tiếp, các kiến thức toán học để có một trong sáu hệ thức của 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp. B•ớc 3: Tổng hợp, phân tích, kiểm tra lại để tránh sai lầm và cuối cùng trình bày lời giải. Cái sáng tạo ở đây là sự hệ thống, liên kết chặt chẽ giữa các ph•ơng pháp để có thể nhận biết một cách nhanh nhất tứ giác nội tiếp một đ•ờng tròn. Tự tin hơn trong học toán . 16
17. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài B. ứng dụng vào thực tế công tác giảng dạy. - Về tâm lý HS khi học không thụ động là cứ phải tìm tổng hai góc đối diện của một tứ giác bằng 180o mới nội tiếp . Phát huy đ•ợc tính độc lập, nhanh nhẹn sáng tạo tìm lời giải bởi hệ thống ph•ơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đã đ•ợc hình thành và dễ ghi nhớ, tạo điều kiện tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán hình học. - Ngoài kết quả là học sinh biết cách chứng minh tứ giác nội tiếp và nhận biết nhanh tứ giác nội tiếp thì ta có thể dùng tính chất của nó để ứng dụng chứng minh hình học có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp: ứng dụng 1: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hình học; Chứng minh các góc bằng nhau , các đẳng thức tích các đoạn thẳng , bất đẳng thức về diện tích các hình, Ví dụ : Từ kết quả của 3 ví dụ ta có thể dùng tứ giác HCNK nội tiếp để giải bài toán tiếp theo : Giữ nguyên giả thiết và bổ xung thêm M là giao điểm của IK với AB. 1 Kết luận chứng minh S ≤ SABC (với S , S thứ tự là ký hiệu diện AMN 2 AMN ABC tích tam giác AMN và tam giác ABC ). Ta có thể phân tích giải tiếp nh• sau (hình vẽ ở ví dụ 3) Tứ giác HCNK nội tiếp => ANM = KHC = 45o => AMN là tam giác vuông cân tại A => AM = AN (1) Lại chứng minh đ•ợc AKN = AKH (g.c.g) => AN = AH (2) Từ (1) và (2) => AM = AN =AH 1 1 Do đó S = AM . AN = AH2 còn S = AB . AC AMN 2 2 ABC Xét ABC vuông tại A có : 1 1 1 AB 2 AC 2 2.AB.AC 2 1 2 2 2 2 2 2 2 AH AB AC AB .AC AB .AC AB.AC SABC 1 1 1 Hay: SAMN SABC ( đpcm) 2.SAMN SABC 2 ứng dụng 2: Dùng tứ giác nội tiếp để chứng minh cặp đ•ờng thẳng song song, cặp đ•ờng thẳng vuông góc: Ví dụ: (lấy ví dụ 2) Giữ nguyên giả thiết, kết luận chứng minh PQ//AC 17
18. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài Thật vậy ( hình vẽ ở ví dụ 2) Tứ giác AQBP nội tiếp => ACB = PAB ( cùng chắn cung AB ) mà PAB = PQB (cùng chắn cung BP của đ•ờng tròn ngoại tiếp tứ giác AQBP ) => ACB = PQB => PQ //AC (đồng vị ) ứng dụng 3: Dùng các cách chứng minh tứ giác nội tiếp để chứng minh nhiều A1, A2, A3, An cùng thuộc một đ•ờng tròn : B•ớc 1: Chọn ra bốn điểm, ví dụ A1, A2, A3, A4 tạo thành một tứ gíac nội tiếp (sử dụng một trong 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp ). B•ớc 2: Lại chọn ra bốn điểm khác nhau : A1, A2, A3, A5 chẳng hạn tạo thành một tứ giác nội tiếp. Cứ tiếp tục chứng minh nh• trên, cuối cùng nhận xét các đ•ờng tròn ngoại tiếp các tứ giác trên đều chung nhau 3 điểm A1, A2, A3. Do đó các đ•ờng tròn đó phải trùng nhau => A1, A2, A3, ,An cùng thuộc một đ•ờng tròn. Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm E thuộc BC, kẻ hai trung trực của AB và AC gặp nhau ở I. Trung trực của AE cắt hai trung trực kia ở F, K. Chứng minh 5 điểm A, E, F, I, K cùng nằm trên một đ•ờng tròn. Phân tích : K 1 Chứng minh 5 điểm A, E, F, I, K 2 cùng nằm trên một đ•ờng tròn (1) A C Chứng minh 2 tứ giác nội tiếp AKIE và AKIF (có 3 điểm chung là A, K , I) (2) 1 F 2 I E B H Thật vậy, từ giả thiết => I BC và IB =IC (A = 90o) Vì IK là trung trực của AC, KF là trung trực của AE KA = KC = KE => KAI = KEI (=KCE) Tứ giác AKIE nội tiếp (3) (theo cách 4) ta lại có K1 = K2 = I1= I2 (Các góc nội tiếp cùng chắn một cung và tính chất đ•ờng trung trực ) hay K1 = I1 => tứ giác AKIF nội tiếp (theo cách 4) (4) Từ (3)và (4) => (2) => (1) đpcm Chú ý : ở ví dụ này kẻ đ•ờng cao AH của tam giác ABC. Hình vẽ trên là ứng với điểm E thuộc đoạn HC còn 2 tr•ờng hợp nữa là E thuộc đoạn HB và E nằm ngoài đoạn BC chứng minh t•ơng tự. 18
19. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài Bài học kinh nghiệm: Qua đề tài này tôi rút ra đ•ợc bài học kinh nghiệm cho chính bản thân là có đủ phương pháp chứng minh một tứ giác nội tiếp, khai thác triệt để “ Điều kiện cần v¯ đủ ” để khai thác các b¯i toán mới khi dạy bồi dưỡng cho HS . Cũng từ các cách chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp có thể mở ra h•ớng nghiên cứu tiếp vẽ hình phụ tạo ra tứ giác nội tiếp, để giải cách khác cho một bài toán cụ thể hoặc đề ra bài toán mới trong quá trình giảng dạy . 19
20. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài Phần 3 : Kết luận Qua quan sát đọc tài liệu viết báo cáo và dạy minh họa, việc tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đ•ờng tròn, vận dụng tính chất của nó vào giải toán tôi thấy đ•ợc giá trị lý luận, ý nghĩa thực tiễn và hiệu quả của đề tài này nh• sau: - Trọng rèn luyện nghiệp vụ: Đây là một trong những hình thức tự học, tự bồi d•ỡng của ng•ời giáo viên. Với GV, chỉ có đọc, học hỏi và tích luỹ kinh nghiệm về ph•ơng pháp và dạy cho học sinh một cách có ph•ơng pháp, có hệ thống thì mới có thể nâng cao đ•ợc năng lực giải toán, ph•ơng pháp mới đ•ợc đổi mới và sáng tạo. - Bên cạnh đó cũng có thể nói rằng đề tài này là t• liệu cần thiết giúp các giáo viên mới ra tr•ờng tham khảo khi dạy hình học cho học sinh và giúp GV dạy toán mở h•ớng nghiên cứu tiếp hệ thống các ph•ơng pháp khác. - Trong thực tiễn giảng giạy: Việc nắm đ•ợc hệ thống ph•ơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp để áp dụng vào giải toán đem lại hứng thú cho ng•ời giải toán, nhất là HS bởi với bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp nào HS cũng có thể tự mình mày mò và tìm ra đ•ợc h•ớng giải không bị bế tắc. Có đ•ợc tứ giác nội tiếp rồi lại có thể dùng các tính chất của nó tức là phần đảo lại để khai thác và đề xuất câu hỏi mới, bài toán mới thực sự lý thú. Nó đem lại sự tự tin, niềm say mê với bộ môn hình học, sự t•ởng t•ợng phong phú và t• duy nhanh nhạy. - Nói tóm lại hệ thống ph•ơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp là không thể thiếu trong ng•ời thầy để bồi d•ỡng ph•ơng pháp giải toán và năng lực t• duy sáng tạo cho HS . Tuy đề tài này dừng lại ở mảng nhỏ của chứng minh hình học nh•ng đã phần nào làm sáng tỏ ý nói trên đây. 20
21. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài Những tài liệu tham khảo khi xây dựng đề tài : 1. SGK toán 9 tập 2 – Phan Đức Chính ( Tổng chủ tập )- Tôn Thân (chủ biên) – nhà xuất bản giáo dục năm 2005. 2. Nâng cao và phát triển toán 9 tập 2 – Vũ Hữu Bình – Nhà xuất bản giáo dục năm 2005. 3. Chứng minh hình học : phân loại và ph•ơng pháp giải 100 bài toán chứng minh hình 9 – Nguyễn Phúc Trình – Nhà xuất bản thành phố Hồ Chí Minh năm 1999. 4. Cách tìm lời giải các bài toán THCS – tập III . Hình học – Lê Hải Châu và Nguyễn Xuân Quỳ – Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội năm 1999. 5. 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp bồi d•ỡng học sinh giỏi và luyện thi vào lớp 10 (quyển hạ ) – ban GV năng khiếu tr•ờng thi . Chủ biên Nguyễn Đức Đồng , Nguyễn văn Vĩnh – Nhà xuất bản trẻ năm 2000. H•ơng Canh, tháng 3 năm 2008 Nguyễn Hữu Tài 21
22. Sáng kiến kinh nghiệm – Nguyễn Hữu Tài Mục lục Trang phần 1: Phần mở đầu 2 1. Lý do chọn đề tài 2 a) Cơ sở lý luận 2 b) Cơ sở thực tiễn 2 2. Phạm vi, đối t•ợng, mục đích của đề tài 2 Phần 2: nội dung của đề tài 4 A. Nội dung của đề tài 4 I. Cơ sở lí luận khoa học của đề tài 4 II. Đối t•ợng phục vụ cho quá trình nghiên cứu xây dựng đề tài 5 III. Nội dung ph•ơng pháp nghiên cứu 5 * Ph•ơng pháp nghiên cứu 5 * Nội dung nghiên cứu 6 * Một vài ví dụ minh hoạ 9 IV. Kết quả của quá trình nghiên cứu 16 V. Giải pháp mới và sáng tạo của đề tài 16 B. ứng dụng vào thực tế công tác giảng dạy 17 phần 3: Kết luận 20 Những tài liệu tham khảo 21 22