Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán - Phương pháp ghép trục trong bài toán hàm hợp

Nội dung text: Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán - Phương pháp ghép trục trong bài toán hàm hợp

1. PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP I.NGUYÊN TẮC GHÉP TRỤC XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM HỢP g f u x . Bước 1: Tìm tập xác định của hàm g f u x , giả sử ta được tập xác định D a1 ; a2  a3 ; a4   an 1 ; an . Ở đây có thể là a1  ; an  . Bước 2: Xét sự biến thiên của u u x và hàm y f ( x) (B2 có thể làm gộp trong bước 3 nếu nó đơn giản). Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa x; u u x và u; g f (u). Bảng này thường có 3 dòng dạng Cụ thể các thành phần trong BBT như sau Dòng 1: Xác định các điểm kỳ dị của hàm u u x , sắp xếp các điểm này theo thứ tăng dần từ trái qua phải, giả sử như sau: a1 a 2 a n 1 a n (xem chú ý 1). Dòng 2: Điền các giá trị ui u ai với i 1, ,n Trên mỗi khoảng ui ;ui 1 , i 1,n 1cần bổ xung các điểm kỳ dị b1;b2 ; ;bk của của hàm y f ( x) . Trên mỗi khoảng ui ;ui 1 , i 1,n 1 cần sắp xếp các điểm ui ;bk theo thứ tự chẳng hạn: ui b1 b2 bk ui 1 hoặc ui b1 b2 bk ui 1 (xem chú ý 2). Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm g f u x dựa vào BBT của hàm y f ( x) bằng cách hoán đổi: u đóng vai trò của x ; f u đóng vai trò của f x . Sau khi hoàn thiện BBT hàm hợp g f u x ta thấy được hình dạng đồ thị hàm này. BướcCH 4:U YDùngÊN ĐBBTỀ T hàmỰ L hợpUẬ NgĐ ẠfI SuỐ 1x0 giải quyết các yêuCH cầuUY ÊđặtN raĐ ỀtrongIII .bài PH toánƯƠ vàNG kết T Rluận.ÌNH VÀ HỆ Tài liệu toán học sinh giỏi 10-11-12 nhóm em có đầy đủ file Word, ngoài ra còn rất nhiếu tài liệu dạy học toán khác nữa vui lòng liên hệ zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Chú ý 1: - Các điểm kỳ dị của u u(x) gồm: Điểm biên của tập xác định D , các điểm cực trị của u u x . - Nếu xét hàm u u x thì trong dòng 1 các điểm kỳ dị còn có nghiệm của pt u x 0 (là hoành độ giao điểm của u u(x) với trục Ox ). - Nếu xét hàm u u x thì trong dòng 1 các điểm kỳ dị còn có số 0 (là hoành độ giao điểm của u u(x) với trục Oy ). Chú ý 2: - Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của u u x . - Điểm kỳ dị của y f ( x) gồm: Các điểm tại đó f ( x) và f (x) không xác định; các điểm cực trị hàm số y f ( x) . TRANG 1
2. - Nếu xét hàm g f u x thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có nghiệm của pt f x 0 (là hoành độ CgiaoHU điểmYÊN của ĐỀ uT ỰuL(xU)ẬvớiN trụcĐẠ IO SxỐ).10 CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ Tài liệu toán học sinh giỏi 10-11-12 nhóm em có đầy đủ file Word, ngoài ra còn rất nhiếu tài liệu dạy học toán khác nữa vui lòng liên hệ zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ - Nếu xét hàm g f u x thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có số 0 (là hoành độ giao điểm của y f ( x) với trục Oy ). II. ĐỀ MINH HỌA CỦA BỘ GIÁO DỤC. Câu 45-MH-BGD-L1:Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thuộc đoạn  ;2  của phương trình 2 f sin x 3 0 là A. 4. B. 6 . C. 3. D. 8. Lời giải Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống Đặt t sin x . Do x  ;2  nên t  1;1. 3 Khi đó ta có phương trình 2 f t 3 0 f t . 2 3 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f t có 2 nghiệm t a 1;0 và 2 t b 0;1 . Trường hợp 1: t a 1;0 Ứng với mỗi giá trị t 1;0 thì phương trình có 4 nghiệm x1 x2 0 x3 x4 2 . Trường hợp 2:t b 0;1 Ứng với mỗi giá trị t 0;1 thì phương trình có 4 nghiệm 0 x5 x6 . Hiển nhiên cả 6 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc đoạn  ;2  Cách 2: Phương pháp ghép trục x 2 Đặt t sinx  1;1 vì x  ;2  ; t' 0 cosx 0 x ; 2 3 x 2 TRANG 2
3. 3 Ta có 2 f sinx 3 0 f sinx . 2 Do đó tổng số nghiệm của phương trình đã cho là 6. CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ Tài liệu toán học sinh giỏi 10-11-12 nhóm em có đầy đủ file Word, ngoài ra còn rất nhiếu tài liệu dạy học toán khác nữa vui lòng liên hệ zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 46-MH-BGD-L1:Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g x f x3 3x 2 là A. 5. B. 3. C. 7 . D. 11. Lời giải Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số y f x như sau Ta có g x f x3 3x 2 g x 3x 2 6x . f x3 3x 2 x 0 x 2 3x2 6x 0 Cho g x 0 x3 3x2 a; a 0 f x3 3x2 0 x3 3x2 b; 0 b 4 3 2 x 3x c; c 4 TRANG 3
4. 3 2 2 x 0 Xét hàm số h x x 3x h x 3x 6x . Cho h x 0 x 2 Bảng biến thiên Ta có đồ thị của hàm h x x3 3x2 như sau Từ đồ thị ta thấy: Đường thẳng y a cắt đồ thị hàm số y h x tại 1 điểm. Đường thẳng y b cắt đồ thị hàm số y h x tại 3 điểm. Đường thẳng y c cắt đồ thị hàm số y h x tại 1 điểm. Như vậy phương trình g x 0 có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt. VậyC HhàmUY sốÊN g Đ Ềx T Ựf L xU3Ậ N3xĐ2 Ạ Icó S Ố7 cực10 trị. CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ Tài liệu toán học sinh giỏi 10-11-12 nhóm em có đầy đủ file Word, ngoài ra còn rất nhiếu tài liệu dạy học toán khác nữa vui lòng liên hệ zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Cách 2: Phương pháp ghép trục 3 2 2 x 2 Xét hàm số u x 3x ta có u ' 3x 6x 0 . x 0 Gọi a,b,c là các điểm cục trị của hàm số y f x khi đó a 0 b 4 c Và ta cũng có f a f c 0 ; f b 0. TRANG 4
5. Suy ra g x f x3 3x 2 có 7 điểm cực trị. Câu 46-MH-BGD-L2:Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau 5 Số nghiệm thuộc đoạn 0; của phương trình f sin x 1 là 2 A. 7 . B. 4 . C. 5. D. 6 . Lời giải Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống 5 Đặt t sin x , x 0; t  1;1 2 Khi đó phương trình f sin x 1 trở thành f t 1,t  1;1 Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hàm số y f t và đường thẳng y 1. t a 1;0 Dựa vào bảng biến thiên, ta có f t 1 . t b 0;1 Trường hợp 1: t a 1;0 Ứng với mỗi giá trị t 1;0 thì phương trình sin x t có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2 2 . Trường hợp 2: t b 0;1 . Ứng với mỗi giá trị t 0;1 thì phương trình có 3 nghiệm x1, x2 , x3 thỏa mãn 5 0 x x ;2 x ; 3 4 5 2 Hiển nhiên cả 5 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau. 5 Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn 0; . 2 Cách 2: Phương pháp ghép trục 5 Đặt t sin x , x 0; t  1;1 2 Khi đó phương trình f sin x 1 trở thành f t 1,t  1;1 TRANG 5
6. Do đó tổng số nghiệm của phương trình đã cho là 5. CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ Tài liệu toán học sinh giỏi 10-11-12 nhóm em có đầy đủ file Word, ngoài ra còn rất nhiếu tài liệu dạy học toán khác nữa vui lòng liên hệ zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ III. PHÁT TRIỂN CÂU 45–46 Câu 1: Cho hàm số y f x có đồ thị được cho như ở hình vẽ bên dưới. Hỏi phương trình f x3 3x 1 2 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? A. 8. B. 6. C. 9. D. 11. Lời giải Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống - Dựa vào đồ thị hàm số f x , ta có: x3 3x 1 b b 1 2 f x3 3x 1 1 x3 3x 1 c 1 c 3 3 3 f x 3x 1 2 1 3 x3 3x 1 d d 3 4 f x 3x 1 3 3 x 3x 1 a a d 1 Dựa vào đồ thị hàm số y x3 3x 1 (hình vẽ dưới đây) TRANG 6
7. Ta suy ra: Phương trình (1), (2), (4) mỗi phương trình có 1 nghiệm, phương trình (3) có 3 nghiệm và các nghiệm này đều phân biệt. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt. Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u x3 3x 1 Ta có u x 3x 2 3 ; u x 0 x 1. BBT của hàm số u x : x 1 1 + u' + 0 0 + + u 3 1 3 f u 3 Phương trình f x 3x 1 2 1trở thành: f u 2 1 f u 1 Từ đồ thị hàm số y f x và từ bảng biến thiên của hàm số u x x3 3x 1 ta có bảng sau biến thiên của hàm hợp f x3 3x 1 f (u) như sau: Từ bảng trên ta thấy phương trình f u 1 có 5 nghiệm và phương trình f u 3 có 1 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm. Câu 2: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như hình bên. TRANG 7
8. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 cos x 3 m f cos x 2m 10 0 có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; là 3 A. 5 . B. 6 . C. 7 . D. 4 . Lời giải Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống Ta có f 2 cos x 3 m f cos x 2m 10 0 . 2 t 2 Đặt t f cos x ta được phương trình t 3 m t 2m 10 0 . t m 5 1 cos x x +) Với t 2 f cos x 2 2 3 vì x ; . 3 cos x 1 x 0 +) Với t m 5 f cos x m 5 (1). Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; thì phương trình (1) có 3 đúng 1 nghiệm trên đoạn ; khác ;0; . 3 3 3 Với x ; u cos x  1;1 . 3 Nhận xét: 1 Nếu u ;1 thì có 2 nghiệm x ; . 2 3 1 Nếu u 1 hoặc u 1; thì có đúng 1 nghiệm x ; . 2 3 Do đó yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi phương trình (1) thỏa 1 f cos x m 5 f u m 5 có nghiệm u 1; . 2 Từ bảng biến thiên suy ra 4 m 5 2 1 m 7 . Vì m ¢ nên m 1;2;3;4;5;6. Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt t cos x  1;1 vì x ; 3 x 0 t ' 0 sin x 0 x Khi đó phương trình f 2 cos x 3 m f cos x 2m 10 0 thành 2 f t 2 f t 3 m f t 2m 10 0 f t m 5 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ Tài liệu toán học sinh giỏi 10-11-12 nhóm em có đầy đủ file Word, ngoài ra còn rất nhiếu tài liệu dạy học toán khác nữa vui lòng liên hệ zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ TRANG 8
9. CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ Tài liệu toán học sinh giỏi 10-11-12 nhóm em có đầy đủ file Word, ngoài ra còn rất nhiếu tài liệu dạy học toán khác nữa vui lòng liên hệ zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ TRANG 9