Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 - Năm học 2021-2022

Nội dung text: Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 - Năm học 2021-2022

1. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 PHẦN II : HÌNH HỌC (36 tiết) A. CÁC CHUYÊN ĐỀ VỀ QUAN HỆ GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG HS TỰ XEM LẠI THEO CHƯƠNG TRÌNH CHÍNH KHÓA B. CÁC CHUYÊN ĐỀ VỀ TAM GIÁC CHUYÊN ĐỀ 1: GÓC- GÓC TRONG TAM GIÁC (6 tiết từ tiết 1 đến tiết 6) I. Kiến thức cơ bản 1/Đường phân giác của một góc: Chia góc đó ra hai góc có số đo bằng nhau. 2/Hai đường phân giác của hai góc kề bù Tạo thành một góc có số đo là . 3/Hai đường phân giác của hai góc kề phụ Tạo thành một góc có số đo là . 4/Hai góc đối đỉnh: Thì bằng nhau. 5/Tính chất về các góc được tạo từ một đường thẳng cắt 2 đường thẳng song song -Hai góc so le trong, hai góc đồng vị bằng nhau -Hai góc trong cung phía bù nhau 6/ Trong tam giác: -Tổng số đo ba góc trong tam giác bằng . =>Biết hai góc ta xác định được góc còn lại. -Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó. 7/Trong tam giác cân: -Trong tg cân hai góc ở đáy bằng nhau => Biết một góc của tg cân ta xác định được hai góc còn lại. 8/Trong tam giác vuông: -Trong tg vuông có 1 góc vuông . => Hai góc nhọn phụ nhau, biết một góc nhọn ta xác định được góc còn lại. -Nửa tg đều (tg vuông có 1 góc 600 hoặc có một góc 300 => Cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện bằng và ngược lại 9/Trong tam giác vuông cân: Mỗi góc nhọn có số đo bằng . 10/Trong tam giác đều: Mỗi góc có số đo bằng . Chú ý: Khi giải bài toán về tính số đo góc cần chú ý: 1/Vẽ hình chính xác, đúng với các số liệu trong đề bài để có hướng chứng minh đúng. 2/Phát hiện các tam giác đều, “nửa tam giác đều”, tam giác vuông cân, tam giác cân trong hình vẽ. 3/Chú ý liên hệ giữa các góc của tam giác, liên hệ giữa các cạnh và các góc trong tam giác, phát hiện các cặp tam giác bằng nhau. Vẽ đường phụ hợp lí làm xuất hiện các góc đặc biệt, những cặp góc bằng nhau. Trong các đường phụ vẽ thêm, có thể vẽ đường phân giác, đường vuông góc, tam giác đều, 4/Có thể dùng chữ để diễn đạt mối quan hệ giữa các góc. 5/Xét đủ các trường hợp về số đo góc có thể xảy ra (ví dụ góc nhọn, góc tù, ) Trong thực tế, để giải bài toán tính số đo góc ta thường xét các góc đó nằm trong mối liên hệ với các góc ở các hình đặc biệt đã nêu ở trên hoặc xét các góc tương ứng bằng nhau rồi suy ra kết quả. Tuy nhiên, đứng trước một bài toán không phải lúc nào cũng gặp thuận lợi, có thể đưa về các trường hợp trên ngay mà có nhiều bài đòi hỏi người đọc phải tạo ra được những "điểm sáng bất ngờ" có thể là một đường kẻ phụ, một hình vẽ phụ từ mối quan hệ giữa giả thiết, kết luận và những kiến Giáo viên: Ngô Đình Công 1
2. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 thức, kỹ năng đã học trước đó mới giải quyết được. Chúng ta có thể xem “đường kẻ phụ”, “hình vẽ phụ” như là “chìa khoá “ thực thụ để giải quyết dạng toán này. II. Một số dạng toán và hướng giải quyết Dạng 1. Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác đều. Bài toán 1. Cho có có , lấy sao cho . Tính số đo Nhận xét Ta cần tìm thuộc có mà . Ta thấy có sự liên hệ rõ nét giữa góc và góc , mặt khác . Từ đây, ta thấy các yếu tố xuất hiệ ở trên liên quan đến tam giác đều. Điều này giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ là tam giác đều. Hướng giải A Cách 1. (Hình 1) Vẽ đều (D, A cùng phía so với BC). Nối A với D. Ta có (c.c.c) => M Lại có (c.g.c) => => D Cách 2. (Hình 2) A Vẽ đều (M, D khác phía so với AC). B C Ta có (c.g.c) => (1) M => cân tại D, => (2) D Từ (1) và (2) suy ra . B C Bài toán 2. Cho . Kẻ tia sao cho . Trên tia lấy điểm D sao cho (A, D khác phía so với BC). Tính Nhận xét Ta thấy bài ra xuất hiện góc và mà , đồng thời với . Điều này làm nảy sinh suy nghĩ về vẽ hình phụ là tam giác đều. Hướng giải A Cách 1 Vẽ đều (I, A cùng phía so với BC) Ta thấy (c.g.c) và (c.g.c) I C B D x Dạng 2. Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền Bài toán 1. Tính các góc của tam giác ABC biết rằng đường cao AH, trung tuyến AM chia góc BAC thành ba góc bằng nhau. Giáo viên: Ngô Đình Công 2
3. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 Hướng giải Vì tại K. Xét có A AH là đường cao ứng với BM AH là đường phân giác ứng với cạnh BM (vì K ) C B Nên cân tại đỉnh A H M => H là trung điểm BM Xét có AM là cạnh huyền chung (gt) (cạnh huyền – góc nhọn) (hai cạnh tương ứng) Xét có , KM = MC khi đó ta tính được Vậy Bài toán 2. Cho . Đường cao AH với AH = BC. D là trung điểm của AB. Tính Hướng giải A D C B H cân tại C => CD là phân giác => Nhận xét Suy nghĩ chứng minh cân xuất phát từ đâu? Phải chăng xuất phát từ vuông có và AH = BC. Thực sự hai yếu tố này đã giúp ta nghĩ đến tam giác vuông có một góc bằng . Dạng 3. Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác vuông cân Bài toán 1. Cho , M là trung điểm của BC, . Tính góc BCA (khó) Phân tích Khi đọc kĩ bài toán ta thấy , quan sát hình vẽ rồi nhận dạng bài toán ta biết được nó có nguồn gốc từ Bài toán 3. Mặt khác , điều này giúp ta nghĩ đến dựng tam giác vuông cân. Hướng giải Cách 1. Giáo viên: Ngô Đình Công 3
4. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 Hạ (Dễ chứng minh được tia CB nằm giữa hai tia CA và CK) Ta có vuông cân tại K (vì ) Vẽ vuông cân tại S (K, S khác phía so với AC) A S Do vuông tại K => KM = BC = MC cân tại M Dễ thấy B và M C đều => AS = SM = AK K cân tại A Bài toán 2. Cho . D là điểm thuộc đoạn AC sao cho AD = 2DC. Tính (khó) Hướng giải Kẻ sao cho EA = ED, với EF = AD (B, F khác phía so với AC) Ta có (c.g.c) (*) B vuông cân tại D (1) E A C Trên tia đối của tia AB lấy I sao cho AI = 2AB D Dễ thấy (c.g.c) => (2) Từ (*), (1) và (2) ta có Nhận xét I F Sau khi vẽ hình ta dự đoán lúc đó ta nghĩ đến việc tạo ra một tam giác vuông cân làm sao để tổng số đo của hai góc cần tìm bằng số đo góc . Ý nghĩ dự đoán xuất phát từ đâu? Phải chăng xuất phát từ vuông cân (E là trung điểm AD). Khi phát hiện tổng hai góc đó bằng chúng ta có thể giải bài toán theo nhiều cách giải khác nhau. Dạng 4. Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác cân khi biết một góc. Một số bài toán tham khảo Bài 1. Cho , các phân giác AD, CE cắt nhau tại F, ,D thuộc BC. Tính Bài 2. Cho , CA = CB, điểm M nằm trong tam giác sao cho . Tính Bài 3. Cho cân tại C, , M nằm trong tam giác sao cho . Tính Bài 4. Cho AB = AC, , trung tuyến CM. trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA, biết . Tính Giáo viên: Ngô Đình Công 4
5. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 CHUYÊN ĐỀ 2 : CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC (9 tiết từ tiết 7 đến tiết 15) A, Tóm tắt lý thuyết 1.Hai tam giác bằng nhau: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau. ABC = A’B’C’ 2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác a.Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác cạnh – cạnh – cạnh ( c.c.c ) Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. ABC = A’B’C’ (c.c.c) Nâng cao : quan hệ bằng nhau của hai tam giác có tính chất bắc cầu Nếu ABC = DEF; DEF = HIK Thì ABC = HIK b.Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh – góc – cạnh (c.g.c) Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. ABC = A’B’C’ (c.g.c) c.Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc – cạnh – góc ( g.c.g ) Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. ABC = A’B’C’ ( g.c.g ) Giáo viên: Ngô Đình Công 5
6. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 d.Trường hợp bằng nhau của tam giác vuông ▪ Trường hợp 1 : cạnh huyền – góc nhọn (góc – cạnh - góc) Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. ABC = A’B’C’ ( cạnh huyền – góc nhọn ) ▪ Trường hợp 2 : cạnh huyền – cạnh góc vuông (cạnh – cạnh – cạnh) Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau. ABC = A’B’C’ ( cạnh huyền – cạnh góc vuông ) 3. Ứng dụng Chúng ta thường vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để : - Chứng minh : hai tam giác bằng nhau, hai đoạn thằng bằng nhau, hai góc bằng nhau, hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng, - Tính : các độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc, tính chu vi, diện tích, - So sánh : các độ dài đoạn thẳng, so sánh các góc, . B. Các dạng bài tập Dạng 1 : Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh. Chứng minh hai góc bằng nhau dựa vào hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh. Phương pháp : chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh- cạnh – cạnh rồi suy ra hai góc tương ứng bằng nhau. Ví dụ 1: Cho hai tam giác ABC có = 400, AB = AC . Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của mỗi tam giác AMB, AMC. Phân tích: Ta thấy rằng ABC có AB = AC nên ABC là tam giác cân và M là trung điểm của BC từ đó suy ra AMB = AMC theo trường hợp (c.c.c) . Cho = 400 từ đó có thể tính được các góc còn lại dựa vào định nghĩa hai tam giác bằng nhau. Giáo viên: Ngô Đình Công 6
7. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 Lời giải Xét AMB và AMC có : AB = AC (giả thiết) MB = MC (giả thiết) AM chung  AMB = AMC (c.c.c)  = , = , = (các góc tương ứng) Ta lại có : + = 400 nên = = 200 + = 1800 nên = = 900 Suy ra = = 1800 – 900 – 200 = 700 Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MB = MC. N là trung điểm của BC. Chứng minh rằng :AM là tia phân giác của góc BAC. Phân tích : Chứng minh AM là tia phân giác của thì ta cần chứng minh = .Muốn chứng minh hai góc này bằng nhau thì phải chứng minh AMB = AMC (c.c.c) Lời giải Xét AMB và AMC có : AB = AC (gt) AM chung MB = MC (gt)  AMB = AMC (c.c.c)  = Vậy AM là tia phân giác (đpcm) Khai thác : c, Hãy chứng minh MN là đường trung trực của đoạn BC. b, Ba điểm A, M, N thẳng hàng. Bài tập vận dụng: Bài 1 : Cho đoạn thẳng AB và điểm C cách đều hai điểm A và B, điểm D cách đều hai điểm A và B (C và D nằm khác phía đối với AB). a,Chứng minh rằng tia CD là tia phân giác của góc . b, Kết quả ở câu a có đúng không nếu C và D nằm cùng phía đối với AB? (Trích Nâng cao và phát triển Toán 7 tập 1 – Vũ Hữu Bình) Bài 2: Cho ABC = A’B’C’ . Gọi M và M’ tương ứng là trung điểm của BC và B’C’. Biết AM = A’M’. Chứng minh rằng : a, AMB = A’M’B’ b, = Bài 3 : Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox và Oy lấy tương ứng hai điểm A và B sao cho OA = OB, vẽ đường tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm M, N nằm trong góc xOy. Chứng minh rằng : a, OMA = OMB và ONA = ONB. b, Ba điểm O, M, N thẳng hàng. c, AMN = BMN. Bài 4 : Cho ABC có AB = AC. Gọi H là trung điểm cạnh BC. a, Chứng minh AH vuông góc với BC và là tia phân giác của góc BAC. b, Trên tia đối của HA lấy điểm K sao cho HK = HA, chứng minh rằng CK // AB. Giáo viên: Ngô Đình Công 7
8. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 Bài 5 : Cho ABC có AB = AC. Gọi D và E là hai điểm trên BC sao cho BD = DE = EC. a, Chứng minh = . b, Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng AM là tia phân giác của góc DAE. c, Giả sử = 600, có nhận xét gì về các góc của AED. Dạng 2 : Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.Từ đó vận dụng để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. Phương pháp : chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc – cạnh rồi suy ra hai góc, hai đoạn thẳng tương ứng bằng nhau. Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có < 90o. Trên nửa mặt phẳng có chứa A bờ BC, vẽ tia Bx vuông góc với BC, trên tia đó lấy điểm D sao cho BD = BC. Trên nửa mặt phẳng có chứa C bờ AB, vẽ tia By vuông góc với BA, trên tia đó lấy điểm E sao cho BE = BA. Chứng minh rằng : DA = EC Phân tích: Để chứng minh DA = EC ta cần chứng minh ABD = EBC Lời giải: Xét ABD và EBC có : AB = BE = ( cùng bằng 900 - ) BD = BC  ABD = EBC ( c.g.c) DA = EC Khai thác : b, Chứng minh DA vuông góc với EC. Ví dụ 2: Chứng minh định lý : Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Phân tích: Để chứng minh AM = BC ta phải vẽ thêm đoạn thẳng MD sao cho MD = MA, do đó AM = AD. Như vậy chỉ còn phải chứng minh AD = BC. Ta cần chứng minh ABC = CDA từ đó suy ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau. Lời giải : Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Xét AMB và DMC có: MB = MC (gt) = (đối đỉnh) MA = MD (do cách vẽ)  AMB = DMC ( c.g.c )  AB = DC và =  AB // CD ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau) Vì AC vuông góc với AB (gt) nên AC vuông góc với CD ( quan hệ giữa tính song song và vuông góc ) Xét ABC và CDA có: AB = CD ( chứng minh trên) = = 900 AC chung  ABC = CDA ( c.g.c )  BC = AD Giáo viên: Ngô Đình Công 8
9. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 Vì AM = AD nên AM = BC Bài tập vận dụng: Bài 1 : Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của AC, gọi E là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DB lấy điểm M sao cho DM = DB. Trên tia đối của tia EC lấy điểm N sao cho EN = EC. Chứng minh rằng A là trung điểm của MN. (các dạng toán và phương pháp giả Toán 7- tập 1) Bài 2 : Cho tam giác ABC có = 500. Vẽ đoạn thẳng AI vuông góc và bằng AB ( I và C khác phía đối với AB). Vẽ đoạn thẳng AK vuông góc và bằng AC ( K và B khác phía đối với AC). Chứng minh rằng: a.IC = BK. b. IC vuông góc với BK. (các dạng toán và phương pháp giả Toán 7 – tập 1) Bài 3 : Trên các cạnh Ox và Oy của góc xOy lấy các điểm A và B sao cho OA = OB. Tia phân giác của góc xOy cắt AB ở C. Chứng minh rằng : a.C là trung điểm của AB. b. AB vuông góc với OC. (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Bài 4 : Cho tam giác ABC có = 900, M là trung điểm của AC. Trên tia đối của MB lấy điểm K sao cho MK = MB. Chứng minh rằng : a.KC vuông góc với AC. b. AK song song với BC. (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Bài 5: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn thẳng. Lấy các điểm E trên đoạn thẳng AD, F trên đoạn thẳng BC sao cho AE = BF. Chứng minh rằng ba điểm E, O, F thẳng hàng. (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Dạng 3 : Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc .Từ đó vận dụng để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, các đường thẳng song song, các điểm thẳng hàng. Phương pháp: chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc rồi suy ra hai góc, hai đoạn thẳng tương ứng bằng nhau. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC ở M, tia phân giác của góc C cắt AB ở N. Chứng minh rằng BN + CM = BC. Phân tích: Gọi I là giao điểm của BM và CN. Ta có = 600 từ đó suy ra = 600, = 600. Chứng minh BIN = BID để suy ra BN = BD(1) . Chứng minh tương tự CIM = CID (g.c.g) suy ra CM = CD(2) . Từ (1) và (2) suy ra BN + CM = BD + CD = BC Lời giải : Gọi I là giao điểm của BM và CN. Ta có = 600 suy ra + = 1800 - 600 = 1200 Do đó + = 1200 : 2 = 600 Vì vậy = 600, = 600 Kẻ tia phân giác của góc BIC cắt BC ở D. Tam giác BIC có + = 1200 nên = 1200. Do đó = = 600 Xét BIN và BID có : Giáo viên: Ngô Đình Công 9
10. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 = Chung BI = = 600 Do đó BIN = BID (g.c.g) suy ra BN = BD(1) Chứng minh tương tự CIM = CID (g.c.g) suy ra CM = CD(2) Từ (1) và (2) suy ra BN + CM = BD + CD = BC Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên các cạnh AB và AC lấy điểm D và E sao cho AD = AE. Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng : a.BE = CD b. KBD = KCE (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Bài 2: Cho tam giác ABC có = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D, tia phân giác của góc C cắt AB ở E. Các tia phân giác đó cắt nhau ở I. Chứng minh rằng ID = IE. (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Bài 3 : Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các đường thẳng song song với BA, chúng cắt cạnh AC theo thứ tự ở G và H. Chứng minh rằng EG + FH = AB. (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Bài 4 : Cho tam giác ABC có = 900, AB = AC. Qua A vẽ đường thẳng d sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng d. Kẻ BH và CK vuông góc với d. Chứng minh rằng : a.AH = CK b. HK = BH + CK (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Bài 5: Cho tam giác ABC, = 1200, phân giác BD và CE cắt nhau ở O. trên cạnh BC lấy hai điểm I và K sao cho = = 300. Chứng minh rằng : a.OI vuông góc với OK b. BE + CD < BC (bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7) Dạng 4 : Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông. Phương pháp: Ngoài các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông suy ra từ các trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh, góc – cạnh – góc và trường hợp cạnh huyền – góc nhọn, đối với tam giác vuông còn có trường hợp bằng nhau cạnh huyền – cạnh góc vuông. Nếu một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau. Ví dụ 1 : Tam giác ABC có AB = 24, AC = 32, BC = 40 Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = 7.Chứng minh rằng: a.Tam giác ABC vuông. b. = 2 Phân tích: - Nhờ có định lý Py – ta – go mà ta có thể tính được một cạnh của tam giác vuông khi biết hai cạnh còn lại. - Định lý Py – ta – go đảo cho ta thêm một cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Lời giải: a, Tam giác ABC có AB 2 + AC 2 = 24 2 + 322 = 1600 BC2 = 1600. Vậy AB 2 + AC 2 = BC2 Suy ra tam giác ABC vuông tại A (định lý Py – ta - go đảo) b, Áp dụng định lý Py – ta - go vào tam giác vuông AMB ta có : Giáo viên: Ngô Đình Công 10
11. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 BM 2 = AB 2 + AM 2 = 242 + 72 = 625 BM = 25 Mặt khác, MC = AC – AM = 32 – 7 = 25 Vậy MB = MC suy ra MBC cân tại M do đó = = + (tính chất góc ngoài của MBC) hay = 2 Ví dụ 2 : Cho tam giác vuông ABC vuông tại A ( AB < AC ) và các điểm M thuộc AC, H thuộc cạnh BC sao cho MH vuông góc với BC và MH = HB. Chứng minh rằng AH là tia phân giác góc A. Phân tích: Để chứng minh AH là tia phân giác của góc A ta cần chứng minh các cặp tam giác bằng nhau để suy ra được các cặp góc tương ứng bằng nhau. Lời giải: Kẻ HI vuông góc với AB, HK vuông góc với AC Ta có = ( cùng phụ với ) Xét HKM và HIB có: = = 900 HM = HB ( gt ) = (chứng minh trên) Do đó HKM = HIB (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra HI = HK Xét HIA và HKA có : = = 900 HA chung HI = HK (chứng minh trên) Do đó HIA = HKA ( cạnh huyền – cạnh góc vuông), suy ra = Do đó AH là tia phân giác của góc A. Bài tập vận dụng : Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH vuông góc với AD ( H AD), Kẽ CK vuông góc với AE ( K AE). CMR : a. BH = CK b. AHB = AKC c. BC // HK Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, góc A nhọn. Kẻ BD vuông góc với AC (D AC ), Kẻ CE vuông góc với AB ( E AD), . Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng : a. AD = AE b. AI là phân giác của góc BAC Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ A kẻ AH vuông góc với BC. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Kẻ EK vuông góc với AC (K AC ). Chứng minh rằng AK = AH. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK vuông góc với AE ( H và K thuộc đường thẳng AE). Chứng minh rằng : a.BH = AK b. MBH = MAK c. MHK vuông cân Bài 5 : Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân. Giáo viên: Ngô Đình Công 11
12. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 CHUYÊN ĐỀ 3: BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC (9 tiết từ tiết 16 đến tiết 24) I.LÝ THUYẾT 1.Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác Trong một tam giác : ▪ Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. ▪ Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. Nhận xét : ▪ Trong tam giác tù ( hoặc tam giác vuông ), góc tù ( hoặc góc vuông) là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với góc tù ( hoặc góc vuông – cạnh huyền ) là cạnh lớn nhất. ▪ Trong tam giác đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhọn. 2.Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu. 2.1 Khái niệm về đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên. Điểm A ở ngoài đường thẳng d, kẻ đường thẳng vuông góc với d tại H. Trên d lấy điểm B bất kì ( B ≠ H) . Khi đó : ▪ Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến chân đường thẳng d. Điểm H được gọi là chân đường vuông góc hay hình chiếu của A trên đường thẳng d. ▪ Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d. A ▪ Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng. 2.2 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên Trong các đường xiên và đường thẳng vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất. d Chú ý : Độ dài đường vuông góc AH gọi là khoảng cách từ điểm A H B đến đường thẳng d. 2.3 Các đường xiên và các hình chiếu của chúng. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: ▪ Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. ▪ Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn. ▪ Nếu hai dường xiên bằng nhau thì hình chiếu của chúng bằng nhau và ngược lại. Nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. ▪ Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác – Bất đẳng thức trong tam giác. o Bất đẳng thức tam giác Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớ hơn độ dài cạnh còn lại. AB+BC > AC A AB + AC > BC AC + BC > AB o Hệ quả của bất đẳng thức tam giác Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và B C nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh còn lại. AC BC AB AC BC AB AC BC AB AC AB BC AC AB BC II.BÀI TẬP 1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác Giáo viên: Ngô Đình Công 12
13. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 Bài 1 : Cho tam giác ABC, góc A 900. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N không trùng với các đỉnh của tam giác. CMR : BC > MN Giải : ¼ ¼ ¼ A Xét tam giác BMC ta có BMC BAC ACM N ( tính chất góc ngoài tam giác) 0 0  B¼MC > Â mà Â 90 nên B¼MC 90 M  BC > MC ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác ) B C Xét tam giác MNC có M¼NC > Â => M¼NC 900  MC > MN  BC > MN Bài 2 : Cho tam giác ABC có AB CD MAC MDC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác ). ¼ ¼ ¼ ¼ Mà MAC MDC và BAM MDC ¼ ¼  BAM MAC ¼ ¼ Khai thác bài toán : Cho tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC và BAM MAC . Chứng minh : AB BD Hướng dẫn giải : Cần tạo ra một tam giác mà hai cạnh có độ dài bằng BD. CD. Sau đó so sánh góc đối diện với hai cạnh ý. Lấy điểm E trêm cạnh AC sao cho AE = AB. Bài 2 : Cho tam giác ABC có Â = 900. Tren tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD BD ( Cách làm tương tự bài 1 ) Bài 3 : Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng AB + AC > BC Hướng dẫn giải : Cần tạo ra một tam giác mà trong đó có hai cạnh có độ dài bằng AB + AC, BC. Sau đó tìm cách so sánh các góc đối diện với các cạnh đó. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Giáo viên: Ngô Đình Công 13
14. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 Bài 4 : Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ). Trên cạnh đáy BC lấy các điểm D, E sao cho BD = DE = ¼ ¼ EC. Chứng minh rằng : BAD DAE Hướng dẫn giải : Tìm một tam giác có hai góc bằng góc BAD và DAE, rồi so sánh hai cạnh đối diện của chúng ¼ ¼ ¼ ¼ Xét tam giác AEC có AED ACE mà ACE ABC ¼ ¼ ¼ ¼ Do đó AED ABE . Từ đó suy ra AB > AE => BAD DAE ¼ ¼ Bài 5 : Cho tam giác ABC ( AB = AC ), D là điểm bất kì trong tam giác sao cho ADB ADC . Chứng minh rằng : DC > DB ¼ ¼ Hướng dẫn giải : Vẽ tia Ax trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B sao cho CAx BAD và trên tia Ax lấy điểm E sao cho AE = AD 2.Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu. Bài 1 : Cho ABC với đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H đến AB và AC. Chứng minh rằng nếu BM=CN thì ABC cân với đáy BC. Phân tích lời giải : Ta nhận thấy rằng đây là 1 bài toán mang tính giả thiết tạm thời . Nếu BM = CN thì tam giác ABC cân với đáy BC. Trước hết để làm bài này ta cần phải giả sử là nếu BM = CN thì tam giác ABC không cân. Sau đó ta áp dụng định lý Pitago và liên hệ giữa hình chiếu và đường xiên để làm bài . Giải : Giả sử ABC không cân Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử AB> AC. Khi đó HB> HC ( liên hệ giữa hình chiếu và đường xiên ). Ta có : BH2 = BM2 + HM2 ( Định lý Pitago trong tam giác vuông BMH) 2 2 2 CH = CN + HN ( Đ/L Pitago) A Mà BM = CN ( giả thiết )  HM > HN (1) M Ta lại có : 2 2 2 AH = AM + HM N AH2 = AN2 + HN2 Mà từ (1) có : HM > HN => AM AB AB + AC Phân tích lời giải : Nhân xét rằng AH EC Giải : Trên tia BC lấy điểm D sao cho BD = AB. Giáo viên: Ngô Đình Công 14
15. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AH Vì AB AE + AB+ EC = AB + AC Vậy AH + BC > AB + AC Khai thác bài toán : Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác a. Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC. Chứng minh rằng : MA+MB AC, vẽ BD  AC,CE  AB(D AC, E AB) Chứng minh rằng : AB – AC > BD – CE ¼ 0 Bài 4 : Cho tam giác ABC có Â= 900, ABC 54 , trên cạnh AC lấy điểm D sao cho ¼ 0 DBC 18 . Chứng minh rằng : BD < AC Bài 5 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD=CE. Nối D với E. Chứng minh : BC < DE 3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giác Bài 1 : Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng : AB AC 2AM Phân tích lời giải : Ta tìm cách tạo ra đường thẳng có độ dài bằng 2AM và là cạnh của tam giác có hai cạnh còn lại bằng AB AC , , AM hai cạnh AB, AC hoặc tạo ra một tam giác có 3 cạnh 2 2 Giáo viên: Ngô Đình Công 15
16. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 Trên tia đối của tia AM lấy điểm D sao cho MD=MA. Tam giác ADC có AD = 2 AM, DC= AB . từ đó ta sẽ c/m được AB AC 2AM Giải : Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA A Xét MAB và MDC có MA=MD ¼ ¼ AMB DMC ( đối đỉnh ) B C MB=MC( giả thiết ) M  MAB MDC(c.g.c)  AB=DC ( 2 cạnh tương ứng ) ADC Xét có : CD + AC > AD ( bất đẳng thức trong tam giác ) D Do đó : AB + AC > AD mà AD = 2 AM  AB AC 2AM ( đpcm) Khai thác bài toán : Cho hai điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB=CD. M là điểm nằm ngoài đường thẳng AD. Chứng minh rằng : MA+ MD > MB + MC Bài 2 : Cho điểm M nằm trong ABC Chứng minh rằng : MB + MC AC, AD là tia phân giác của góc BAC. (D thuộc BC ). M là một điểm nằm trên đoạn thẳng AD CMR : MB – MC AC + BC Giáo viên: Ngô Đình Công 16
17. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 CHUYÊN ĐỀ 4: CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC (12 tiết Từ 25-36) I.KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. TÍNH CHẤT 3 ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm nầy gọi là trọng tâm của tam giác. Trọng tâm cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài trung tuyến qua đỉnh ấy . HỆ QUẢ : 1/ Trung tuyến của tam giác thì chia tam giác thành 2 diện tích bằng nhau . 3/ Ba trung tuỷến một tam giác chia tam giác chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ có diẹn tích bằng nhau . 2. TÍNH CHẤT 3 TIA PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC: 1. Điểm nằm trên tia phân giác của một góc cách đều hai cạnh của góc đó . 2. Đảo lại: Điểm nằm bên trong một góc và cach đều 2 cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó. 3. Ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm . Điểm nầy cách đều 3 cạnh của tam giác.Còn goi là tam vòng tròn nội tiếp của tam giác. 4. Bổ sung: Tron một tam giác các đường thửng chứa tia phân giác của góc ngoài và tia phân giác của góc trong không kề cùng đi qua một điểm.Điểm nầy cách đều 3 đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác . 3. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG-TÍNH CHẤT 3 ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC: 2. Điểm nằm trên trung trực của đoạn thẳng thì cách dều hai mút (đầu) đoạn thẳng ấy . 3. Đảo lại: Điểm cách đều hai đầu mút đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực đoạn thẳng đó. 4. Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm nầy cách đều ba đỉnh của tam giác. Còn gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác . 5. Bổ sung: Có một đường tròn qua ba đỉnh của tam giác. Gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác . Tâm đường tròn này là giao điểm ba đường trung trực của tam giác . 6. Đường tròn ngoại tiép của tam giác vuông có tâm là trung điểm cạnh huyền . 4. TÍNH CHẤT 3 ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC : 1. Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác 2. Nâng cao: - Trực tâm của tam giác nhọn nằm trong tam giác . - Trực tâm của tam giác vuông nằm tại đỉnh góc vuông. - Trực tâm của tam giác tù có đỉnh năm ngoài tam giác . Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC= 34cm, BC = 32cm. Kẻ đường trung tuyến AM. 1. Chứng minh : AM vuông góc BC. 2. Tính AM. GIẢI *Phân tích bài toán: a) để chứng minh AM vuông góc với BC ta cần chứng minh AMˆC AMˆB 900 Ta sử dụng các giả thiết đã cho để chứng minh 2 góc trên bằng nhau,đồng thời 2 góc đó lại kề bù. +tam giác ABC cân +AM là đường trung tuyến b) Để tìm được độ dài AM,ta cần gắn vào tam giác AMC chứng minh được tam giác AMC vuông vì: +sử dụng các giả thiết đã cho để chứng minh tam giác AMB=tam giác AMC Giáo viên: Ngô Đình Công 17
18. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022  AMˆB AMˆC + góc AMB và AMC kề bù  AMˆB AMˆC =900 Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông AMC để tính được AM 1. AM vuông góc BC : Xét ΔAMB và ΔAMC, ta có : AB =AC (gt) MB = MC (AM là đường trung tuyến) AM cạnh chung => ΔAMB = ΔAMC (c – c – c) => Mà : (hai góc kề bù) => Hay AM BC. 2.Tính AM : Ta có : BM = BC : 2 = 16cm (AM là đường trung tuyến) Xét ΔAMB vuông tại M. ta có : AB2 = AM2 + BM2 (pitago) 342 = AM2 + 162 =>AM = 30cm. Ví dụ 2:Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến DI. a) Chứng minh : ΔDEI = ΔDFI. b) Các góc DIE và góc DIF là góc gì ? c) DE = DF = 13cm, EF = 10cm. Tính DI. Giải. • Phân tích bài toán: a) Để chứng minh tam giác DEI=DFI Ta nhận thấy 2 tam giác trên bằng nhau theo trường hợp c-c-c Sử dụng các giả thiết đã cho để chứng minh b) Từ chứng mình câu a ta có được rằng : góc DIE=DIF Lại nhận thấy rằng 2 góc trên kề bù,từ đó ta sử dụng để chứng minh rằng 2 góc đó là hai góc vuông. c) Ta sử dụng được giả thiết DI là đường trung tuyến  EI=IF Mặt khác sử dụng được định lý pitago vì đã chứng mình được câu b Từ đó tìm được độ dài cạnh DI • a) Chứng minh : ΔDEI = ΔDFI. Xét ΔDEI và ΔDFI, ta có : DE = DF (gt) IE = IF ( DI là trung tuyến) DI cạnh chung. => ΔDEI = ΔDFI (c – c – c) b) Các góc DIE và góc DIF : (ΔDEI = ΔDFI) Mà : (E, I,F thẳng hàng ) => Giáo viên: Ngô Đình Công 18
19. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 c) tính DI : IE = EF : 2 = 10 : 2 = 5cm Xét ΔDEI vuông tại I, ta có : DE2 = DI2 + IE2 => DI2 = DE2 – IE2 =132 – 52 = 144 => DI = 12cm. Ví dụ 3:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA. a) Tính số đo góc ABD b) Chứng minh : ABC = BAD. c) So sánh độ dài AM và BC. Giải. • Phân tích bài toán: a) Để tính được số đo góc ABD ta cần tính được tổng Bˆ1 Bˆ2 Sử dụng giả thiết tam giác ABC vuông tại A ta có Bˆ1 Cˆ 900 Sử dụng các giả thiết về cạnh để chứng minh tam giác AMC =BMD  Bˆ2 Cˆ  Bˆ1 Bˆ2 900  ABˆD 900 b) Sử dụng câu b để chứng minh(AC=BD) c) Để so sánh AM và BC ta đi so sánh AM và AD( vì AD=BC) GIẢI a) Tính số đo góc ABD b) Xét ΔAMC và ΔDMB, ta có : MA = MD (gt) (đối đỉnh) MC = MB (gt) => ΔAMC = ΔDMB => (góc tương ứng); Mà : (ΔABC vuông tại A) => Hay b)Chứng minh : ABC = BAD Xét ABC và BAD, ta có : AB cạnh chung. AC = BD (AMC = ΔDMB) => ΔABC =Δ BAD c)So sánh độ dài AM và BC : AD AM = (gt). 2 Mà : AD = BC (ΔABC =Δ BAD) BC => AM = 2 II.BÀI TẬP ÁP DỤNG: BÀI 1 : Giáo viên: Ngô Đình Công 19
20. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 Hai đường trung tuyến AD và BE của tam giác ABC cắt nhau tại G. kéo dài GD thêm một đoạn DI = DG. Chứng minh : G là trung điểm của AI. BÀI 2 : Trên đường trung tuyến AD của tam giác ABC, lấy hai điểm I và G sao cho AI = IG = GD. Gọi E là trung điểm của AC. 1. Chứng minh B, G, E thẳng hàng và so sánh BE và GE. 2. CI cắt GE tại O. điểm O là gì của tam giác ABC. chứng minh BE = 9OE. BÀI 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8cm, BC = 10cm. lấy điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 4cm. lấy điểm D sao cho A là trung điểm của DC. 1. Tính AB. 2. Điểm M là gì của tam giác BCD. 3. Gọi E là trung điểm của BC. chứng minh D, M, E thẳng hàng. BÀI 4: Giả sử hai đường trung tuyến BD và CE của tam giác ABC có độ dài bằng nhau và cắt nhau tại G. 1. Tam giác BGC là tam giác gì ? 2. So sánh tam giác BCD và tam giác CBE. 3. Tam giác ABC là tam giác gì ? BÀI 5:Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8cm, BC = 10cm. lấy điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 16/3cm. lấy điểm D sao cho A là trung điểm của DC. 1. Tính AC. 2. Điểm M là gì của tam giác BCD. 3. Gọi E là trung điểm của BC. chứng minh D, M, E thẳng hàng. BÀI 6 :Cho hình thoi ABCD. Trên tia đối tia CD lấy điểm E, gọi F là giao điểm của AE và BC. Đường thẳng song song AB kẻ từ F cắt BE tại P. Chứng minh CP là phân giác góc CBE. BÀI 7 :Cho hình bình hành ABCD. phân giác góc A cắt đường chéo BD tại E và phân giác góc B cắt đường chéo AC tại F. Chứng minh : EF // AB. BÀI 8 :Cho tam giác ABC có AB = 4cm, BC = 6cm, CA = 8cm. Đường phân giác trong AD và BE cắt nhau tại I. Tính : BD và CD. BÀI 9:Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. chứng minh : IG // BC và tính IG. cho tam giác ABC có AB= 5cm, AC = 6cm và BC =7cm. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại E. Tính EB và EC. ˆ 0 BÀI 10:Vẽ hai góc kề bù xOy,yOx’,biết xOy 100 .Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy,Ot’là tia phân giác của góc x’Oy. Tính x 'Oˆt; xOˆt '; tOˆt ' 3.Bài tập áp dụng BÀI 11 : Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho các đường AB, AC lần lược là các đường trung trực của DH, EH. 1. Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân. 2. Đường thẳng DE cắt AB, AC lần lượt tại M và N. chứng minh tia HA là phân giác của góc NHM. 3. Chứng minh : BÀI 12 : Cho tam giác ABC cân tại A. hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. 1. Chứng minh tam giác BIC cân tại I. 2. Chứng minh AI là đường trung trực của BC. BÀI 13 : Giáo viên: Ngô Đình Công 20
21. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 Cho tam giác ABC cân tại A. gọi M là trung điểm của BC. hai đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại D. chứng minh : 1. DB = DC. 2. A, M, D thẳng hàng. BÀI 14: Cho d là đường trung trực của AC. Lấy điểm B sao cho A và B ở cùng bên đường thẳng d. BC cắt d tại I. điểm M di động trên d. 1. So sánh MA + MB với BC. 2. Tìm vị trí M trên d để MA + MB nhỏ nhất. BÀI 15 : Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM = AB. trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = AC. Vẽ đường cao BH của tam giác ABM và đường cao CK của tam giác ACN, hai đường cao cắt nhau tại O. chứng minh rằng : 1. Điểm O nằm trên đường trung trực của MN. 2. AO là phân giác của góc BAC. ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN CÁC NĂM HỌC TRƯỚC Năm 2015: 1.Cho tam giác ABC có góc A bằng l200, các đường phân giác AD, BE, CF. a. Chứng minh rằng DE là tia phân giác góc ngoài của tam giác ADB. b. Tinh số đo góc EDF 2. Cho tam giác tù ABC, đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D sao cho: HD = HA. Trên mặt phẳng bờ DB không chứa điểm A, vẽ tia Dx sao cho góc BDx = 15 0. Dx cắt tia AB ở E. Chứmg minh rằng: HD = HE Năm 2016 1. Trên cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC lấy các điểm D và E sao cho BD = BA, CE = CA.Tính góc DAE . 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là trung điểm của cạnh AC, E là điểm trên cạnh BC sao cho BE = 2CE. Chứng minh rằng BD =3ED Năm 2017: 1. Cho tam giác ABC có AH vuông góc với BC và góc BAH = 2 góc C. Tia phân giác của góc BAH cắt BE ở I. Chứng minh rằng tam gác AIE vuông cân 2. Cho tg ABC, M là trung điểm BC. Chứng minh rằng: AM<1/2(AB+AC) Năm 2018 l. Trên cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC, lấy các điểm D và E sao cho BD = BA,CE = CA.Tinh góc DAE. 2. Gọi D là điểm năm trên cạnh canh AB của tam giác vuông cân ABC, vuông góc tại A. Trên tia đối của tia AC, lấy điểm E sao cho AE = AD. Chứng minh rằng CD vuông góc với BE. Năm 2019 1. Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. 2. Cho tam giác ABC có góc A = 1200. Trên tia phân giác của góc A lấy điểm E sao cho AE = AB + AC. Chứng minh rằng, tam giác BCE là tam giác đều. Năm 2020: Không tổ chức thi Năm 2021: Giáo viên: Ngô Đình Công 21
22. Trường THCS Phước Thuận - Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7 Năm học 2021-2022 Bài 4: 1/ Cho tg ABC có AC>AB. Trên cạnh CA lấy điểm E sao cho CE = AB. Các đường trung trực của BE và của AC cắt nhau ở O. Chứng minh rằng: a.ΔAOB = ΔCOE b. AO là tia phân giác góc A. 2/ Gọi D là một điểm trên cạnh AB của tg vuông cân ABC (góc A = 90 0). Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AD. Chứng minh rằng CD vuông góc với BE Giáo viên: Ngô Đình Công 22