Tài liệu công thức Hình học Lớp 11

255 trang hangtran11 10/03/2022 5891

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu công thức Hình học Lớp 11", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tai_lieu_cong_thuc_hinh_hoc_lop_11.pdf

Nội dung text: Tài liệu công thức Hình học Lớp 11

Mục lục 1 ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN 3 A Túm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 B Bài tập rốn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Dạng 0.1. Tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Dạng 0.2. Tỡm thiết diện của hỡnh (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P) 9 Dạng 0.3. Tỡm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . 14 Dạng 0.4. Tỡm thiết diện của hỡnh (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P) 23 Dạng 0.5. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui, chứng minh một điểm thuộc một đường thẳng cố định. . . . . . . . . . . . . . 24 2 QUAN HỆ SONG SONG 51 1 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHẫO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 51 A Túm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . 52 A Túm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 B Bài tập rốn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Dạng 2.1. Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng 53 Dạng 2.2. Thiết diện của hỡnh chúp bị cắt bởi mặt phẳng (α) và song song với một đường thẳng cho trước. Tớnh diện tớch thiết diện . . . . . . . . . . 63 3 HAI MẶT PHẲNG THẲNG SONG SONG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 A Túm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 B Bài tập rốn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4 KHỐI LĂNG TRỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3 QUAN HỆ VUễNG GểC TRONG KHễNG GIAN 125 1 ĐƯỜNG THẲNG VUễNG GểC VỚI MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . 125 A Túm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 B Bài tập rốn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 2 HAI MẶT PHẲNG VUễNG GểC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 A Túm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 B Bài tập rốn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Dạng 2.1. Chứng minh hai mặt phẳng vuụng gúc . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 3 GểC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 A Túm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 B Bài tập rốn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Dạng 3.1. Tớnh gúc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4 GểC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 A Gúc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 B Bài tập rốn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Dạng 4.1. Tớnh gúc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 C Gúc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Dạng 4.2. Xỏc định và tớnh gúc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . 165 D Bài tập rốn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 E Gúc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 1
2 MỤC LỤC Dạng 4.3. Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 F Bài tập rốn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . 188 A Phương phỏp giải toỏn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 B Bài tập mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Dạng 5.1. Tớnh khoảng cỏch nhờ tớnh chất của tứ diện vuụng . . . . . . . . . . 206 6 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHẫO NHAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 A Túm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 B Bài tập rốn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Dạng 6.1. Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau . . . . . . . . . . 211 Dạng 6.2. Xỏc định đường vuụng gúc chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Chương 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN A. Túm tắt lý thuyết 1. Mặt phẳng Mặt phẳng, mặt bàn, mặt nước hồ yờn lặng, mặt sàn nhà, cho ta hỡnh ảnh một phần của mặt phẳng. 2. Điểm thuộc mặt phẳng Cho điểm A và mặt phẳng (α). Khi điểm A thuộc mặt phẳng (α), ta núi A nằm trờn (α) hay mặt phẳng (α) chứa A, hay mặt phẳng (α) đi qua điểm A và kớ hiệu A ∈ (α), được biểu diễn ở hỡnh 2. Tớnh chất 1. Cú một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phõn biệt. Tớnh chất 2. Cú một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm khụng thẳng hàng. Tớnh chất 3. Nếu một đường thẳng cú hai điểm phõn biệt. thuộc một mặt phẳng thỡ mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đú. Tớnh chất 4. Tồn tại bốn điểm khụng cựng thuộc một mặt phẳng. Tớnh chất 5. Nếu hai mặt phẳng phõn biệt cú một điểm chung thỡ cú một điểm chung thỡ chỳng cũn một điểm chung khỏc nữa. 3. Cỏch xỏc định một mặt phẳng Cú ba cỏch xỏc định một mặt phẳng: • Mặt phẳng được hoàn toàn xỏc định khi biết mặt phẳng đi qua ba điểm khụng thẳng hàng. • Mặt phẳng được hoàn toàn xỏc định khi biết mặt phẳng đi qua một điểm và chứa một đường thẳng khụng đi qua điểm đú. • Mặt phẳng được hoàn toàn xỏc định khi biết mặt phẳng đi chứa hai đường thẳng cắt nhau. 4. Hỡnh chúp và tứ diện • Trong mặt phẳng (α) cho đa giỏc lồi A1 A2 A3 An. Lấy một điểm S khụng thuộcmặt phẳng (α) và lần lượt nối điểm S với cỏc đỉnh A1, A2, A3, , An ta được n tam giỏc SA1 A2, SA2 A3, , SAn A1. Hỡnh gồm đa giỏc A1 A2 A3 An và n tam giỏc SA1 A2, SA2 A3, , SAn A1 được gọi là hỡnh chúp, kớ hiệu là S.A1 A2 A3 An. • S được gọi là đỉnh của hỡnh chúp, đa giỏc A1 A2 A3 An, cỏc tam giỏc SA1 A2, SA2 A3, , SAn A1 được gọi là cỏc mặt bờn của hỡnh chúp, SA1, SA2, SA3, , SAn được gọi là cỏc cạnh bờn của hỡnh chúp. • Tờn của hỡnh chúp gọi theo tờn của đa giỏc đỏy. Hỡnh chúp tam giỏc cũn gọi là hỡnh tứ diện. Hỡnh tứ diện cú bốn mặt là cỏc tam giỏc đều gọi là tứ diện đều. 3
4 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN S S S A B A B A B C C D D C Hỡnh chúp tam giỏc Hỡnh chúp tứ giỏc cú Hỡnh chúp tứ giỏc (hỡnh tứ diện) đỏy là hỡnh thang S A B C D Hỡnh chúp tứ giỏc cú đỏy là hỡnh bỡnh hành B. Bài tập rốn luyện DẠNG 0.1. Tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng Phương phỏp giải: Muốn tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta đi tỡm hai điểm chung phõn biệt thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đú được giao tuyến cần tỡm. Bài 1. Cho tứ giỏc ABCD sao cho cỏc cạnh đối khụng song song với nhau. Lấy một điểm S khụng thuộc mặt phẳng (ABCD). Xỏc định giao tuyến của 1. Mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD). 2. Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD). 3. Mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SBC). Lời giải. 1. Gọi H là giao điểm của AC với BD.
5 đH ∈ AC Khi đú ⇒ H ∈ (SAC) ∩ S H ∈ BD (SBD) (1). Dễ thấy S ∈ (SAC) ∩ (SBD) (2). Từ (1) và (2) suy ra SH là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (SAC). 2. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng CD và AB. đK ∈ AB A Khi đú ⇒ K ∈ B K ∈ CD K (SAB) ∩ (SCD) (3). H Dễ thấy S ∈ (SAB) ∩ (SCD) (4). D Từ (3) và (4) suy ra SK là giao tuyến C hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). 3. Gọi L là giao điểm của hai đường L thẳng AD và BC. đL ∈ AD Khi đú ⇒ L ∈ K ∈ BC (SAD) ∩ (SBC) (5). Dễ thấy S ∈ (SAD) ∩ (SBC) (6). Từ (5) và (6) suy ra SL là giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm cỏc cạnh AD, BC. 1. Tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và mặt phẳng (JAD). 2. Lấy điểm M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC sao cho M, N khụng là trung điểm. Tỡm giao tuyến của mặt phẳng (IBC) và mặt phẳng (DMN). Lời giải. 1. Do giả thiết I ∈ AD nờn I ∈ (JAD). Suy ra I ∈ (BCI) ∩ (ADJ) (1). A Tương tự, ta cú J ∈ (BCI) ∩ (ADJ) (2). Từ (1) và (2) suy ra IJ là giao tuyến của hai mặt phẳng (BCI) và (ADJ). 2. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DM I và BI. đE ∈ BI N Khi đú ⇒ E ∈ (MND) ∩ E ∈ DM M F (IBC) (3). Tương tự, gọi F là giao điểm của DN và CI E suy ra F ∈ (BCI) ∩ (MND) (4). D B Từ (3) và (4) suy ra EF là giao tuyến hai mặt phẳng (BCI) và (MND). J C
6 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Lấy cỏc điểm M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC sao cho MN cắt BC. Gọi I là điểm bờn trong tam giỏc BCD. Tỡm giao tuyến của 1. Mặt phẳng (MNI) và mặt phẳng (BCD). 2. Mặt phẳng (MNI) và mặt phẳng (ABD). 3. Mặt phẳng (MNI) và mặt phẳng (ACD). Lời giải. 1. Gọi H là giao điểm của MN và BC. Suy ra H ∈ (MNI) ∩ (BCD) (1). A Do I là điểm trong 4BCD nờn I ∈ (MNI) ∩ (BCD) (2). Từ (1) và (2) suy ra IH là giao tuyến của hai mặt phẳng (MNI) và (BCD). 2. Giả sử E là giao điểm của hai đường N thẳng IH và BD. M đE ∈ BD Vỡ H ∈ MN và ⇒ E ∈ E ∈ IH H (MNI) ∩ (ABD) (3). ∈ ∩ D Dễ thấy M (ABD) (MNI) (4). B E Từ (3) và (4) suy ra ME là giao tuyến hai mặt phẳng (ABD) và (MNI). I F 3. Tương tự, gọi F là giao điểm của C hai đường thẳng IH và CD. Ta suy đF ∈ CD ra ⇒ F ∈ (MNI) ∩ F ∈ IH (ACD) (5). Do N ∈ AC nờn N ∈ (ACD). Khi đú N ∈ (MNI) ∩ (ACD) (6). Từ (5) và (6) suy ra NF là giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNI). Bài 4. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thang cú cạnh AB song song với CD. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Lấy điểm M thuộc cạnh SC. Tỡm giao tuyến của 1. Mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD). 2. Mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SBC). 3. Mặt phẳng (ADM) và mặt phẳng (SBC). Lời giải. 1. Gọi H là giao điểm của AC và BD.
7 Suy ra H ∈ (SAC) ∩ (SBD) (1). S Dễ thấy S ∈ (SAC) ∩ (SBD) (2). Từ (1) và (2) suy ra SH là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). 2. Do I là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. M đI ∈ AD Nờn ⇒ I ∈ (SAD) ∩ (SBC) (3). I ∈ BC Dễ thấy S ∈ (SAD) ∩ (SBC) (4). A Từ (3) và (4) suy ra SI là giao tuyến hai mặt phẳng B (SAD) và (SBC). D H C đI ∈ AD 3. Do giả thiết ta cú ⇒ I ∈ (ADM) ∩ I ∈ BC I (SBC) (5). Vỡ M ∈ SC nờn M ∈ (SBC). Do đú M ∈ (ADM) ∩ (SBC) (6). Từ (5) và (6) suy ra IM là giao tuyến của hai mặt phẳng (ADM) và (SBC). Bài 5. Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy là hỡnh bỡnh hành tõm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CD, SA. Tỡm giao tuyến của a) (MNP) và (SAB). b) (MNP) và (SBC). c) (MNP) và (SAD). d) (MNP) và (SCD). Lời giải. 1. (MNP) ∩ (SAB). Gọi F = MN ∩ AB, E = MN ∩ AD S (vỡ MN, AB, AD ⊂ (ABCD)) đ P ∈ (MNP) Vỡ nờn P ∈ SA ⊂ (SAB) P P ∈ (MNP) ∩ (SAB) (1). đ H F ∈ MN ⊂ (MNP) Mặt khỏc nờn E F ∈ AB ⊂ (SAB) F ∈ (MNP) ∩ (SAB) (2). K A D Từ (1) và (2) suy ra (MNP) ∩ (SAB) = N PF. B M C 2. (MNP) ∩ (SAD). đ P ∈ (MNP) F Ta cú ⇒ P ∈ P ∈ SA ⊂ (SAD) (MNP) ∩ (SAD) (3). đ E ∈ MN ⊂ (MNP) Mặt khỏc ⇒ E ∈ E ∈ AD ⊂ (SAD) (MNP) ∩ (SAD) (4). Từ (3) và (4) suy ra (MNP) ∩ (SAD) = PE.
8 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN 3. Tỡm (MNP) ∩ (SBC). đ K ∈ PF ⊂ (MNP) Trong (SAB). Gọi K = PF ∩ SB. Ta cú ⇒ K ∈ (MNP) ∩ (SBC) (5). K ∈ SB ⊂ (SBC) đ M ∈ (MNP) Mặt khỏc ⇒ M ∈ (MNP) ∩ (SBC) (6). M ∈ BC ⊂ (SBC) Từ (5) và (6) suy ra (MNP) ∩ (SBC) = MK. 4. Tỡm (MNP) ∩ (SCD). đ H ∈ PE ⊂ (MNP) Trong mặt phẳng (SAD). Gọi H = PE ∩ SD. Ta cú ⇒ H ∈ H ∈ SD ⊂ (SCD) (MNP) ∩ (SCD) (7). đ N ∈ (MNP) Mặt khỏc ⇒ N ∈ (MNP) ∩ (SCD) (8). N ∈ CD ⊂ (SCD) Từ (7) và (8) suy ra (MNP) ∩ (SCD) = NH. Bài 6. Cho tứ diện SABC. Lấy M ∈ SB, N ∈ AC, I ∈ SC sao cho MI khụng song song với BC, NI khụng song song với SA. Tỡm giao tuyến của mặt phẳng (MNI) với cỏc mặt (ABC) và (SAB). Lời giải. S 1. Tỡm (MNI) ∩ (ABC). đ M N ∈ (MNI) Vỡ nờn N ∈ (MNI) ∩ N ∈ AC ⊂ (ABC) I (ABC) (1). Trong (SBC), gọi K = MI ∩ BC. K đ A K ∈ MI ⊂ (MNI) N C Vỡ ⇒ K ∈ (MNI) ∩ K ∈ BC ⊂ (ABC) (ABC) (2). Từ (1) và (2) suy ra (MNI) ∩ (ABC) = NK. J B 2. Tỡm (MNI) ∩ (SAB). Trong (SAC), gọi J = NI ∩ SA. đ M ∈ (MNI) Ta cú ⇒ M ∈ (MNI) ∩ M ∈ SB ⊂ (SAB) (SAB) (3). đ J ∈ NI ⊂ (MNI) Mặt khỏc ⇒ J ∈ J ∈ SA ⊂ (SAB) (MNI) ∩ (SAB) (4). Từ (3) và (4) suy ra (MNI) ∩ (SAB) = MJ. Bài 7. Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bờn trong tam giỏc ABD, N là một điểm bờn trong tam giỏc ACD. Tỡm giao tuyến của cỏc cặp mặt phẳng sau a) (AMN) và (BCD). b) (DMN) và (ABC). Lời giải.
9 A 1. Tỡm (AMN) ∩ (BCD). Trong (ABD), gọi E = AM ∩ BD. đ E ∈ AM ⊂ (AMN) Ta cú ⇒ E ∈ (AMN) ∩ P E ∈ BD ⊂ (BCD) M (BCD) (1). Trong (ACD), gọi F = AN ∩ CD. đ F ∈ AN ⊂ (AMN) Q Ta cú ⇒ F ∈ (AMN) ∩ N F ∈ CD ⊂ (BCD) B D (BCD) (2). E F Từ (1) và (2) suy ra (AMN) ∩ (BCD) = EF. 2. Tỡm (DMN) ∩ (ABC). Trong (ABD), gọi P = DM ∩ AB. C đ P ∈ DM ⊂ (DMN) Ta cú ⇒ P ∈ (DMN) ∩ P ∈ AB ⊂ (ABC) (ABC) (3). Trong (ACD), gọi Q = DN ∩ AC. đ Q ∈ DN ⊂ (DMN) Ta cú ⇒ Q ∈ (DMN) ∩ Q ∈ AC ⊂ (ABC) (ABC) (4). Từ (3) và (4) suy ra (DMN) ∩ (ABC) = PQ. Bài 8. Cho tứ diện ABCD. Lấy I ∈ AB, J là điểm trong tam giỏc BCD, K là điểm trong tam giỏc ACD. Tỡm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với cỏc mặt của tứ diện. Lời giải. Gọi M = DK ∩ AC, N = DJ ∩ BC, H = MN ∩ KJ. A Vỡ H ∈ MN ⊂ (ABC) ⇒ H ∈ (ABC). Gọi P = HI ∩ BC, Q = PJ ∩ CD, T = QK ∩ AD. Theo cỏch dựng điểm ở trờn ta cú (IJK) ∩ (ABC) = IP T  (IJK) ∩ (BCD) = PQ I M (IJK) ∩ (ACD) = QT K  (IJK) ∩ (ABD) = TI. B D P N J Q C H DẠNG 0.2. Tỡm thiết diện của hỡnh (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P) Thiết diện là phần chung của mặt phẳng (P) và hỡnh (H). Xỏc định thiết diện là xỏc định giao tuyến của mặt phẳng (P) với cỏc mặt của hỡnh (H). Thường ta tỡm giao tuyến đầu tiờn của mặt phẳng (P) với một mặt phẳng (α) nào đú thuộc hỡnh (H), giao tuyến này dễ tỡm được. Sau đú kộo dài giao tuyến này cắt cỏc cạnh
10 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN khỏc của hỡnh (H), từ đú ta tỡm được cỏc giao tuyến tiếp theo. Đa giỏc giới hạn bởi cỏc đoạn giao tuyến này khộp kớn thành một thiết diện cần tỡm. Bài 9. Cho hỡnh chúp S.ABCD. Gọi M là một điểm trong tam giỏc SCD. 1. Tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC). 2. Tỡm giao điểm của đường thẳng BM và (SAC). 3. Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM). Lời giải. 1. Tỡm (SBM) ∩ (SAC). Trong (SCD), gọi N = SM ∩ CD. S Trong (ABCD), gọi AC ∩ BN = O. đ O ∈ BN ⊂ (SBN) Ta cú ⇒ O ∈ (SAC) ∩ J O ∈ AC ⊂ (SAC) M (SBN) (1). Mặt khỏc S ∈ (SAC) ∩ (SBN) (2). Từ (1) và (2) suy ra (SAC) ∩ (SBN) = SO. 2. Tỡm BM ∩ (SAC). H I Gọi H = BM ∩ SO. A D đH ∈ BM Ta cú ⇒ H = BM ∩ N H ∈ SO ⊂ (SAC) (SAC). B O C 3. Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp cắt bởi (ABM). đ I ∈ AH ⊂ (ABM) Trong (SAC), gọi I = AH ∩ SC. Ta cú ⇒ I ∈ (SCD) ∩ (ABM) (3). I ∈ SC ⊂ (SCD) Mặt khỏc M ∈ (SCD) ∩ (ABM) (4). Từ (3) và (4) suy ra (SCD) ∩ (ABM) = IM. Trong (SCD), gọi J = IM ∩ SD. Khi đú (SAC) ∩ (ABM) = AJ và (SBC) ∩ (ABM) = BI. Vậy thiết diện cần tỡm là tứ giỏc ABIJJ. Bài 10. Cho tứ diện ABCD. Trờn AB, AC lấy 2 điểm M, N sao cho MN khụng song song BC. Gọi O là một điểm trong tam giỏc BCD. 1. Tỡm giao tuyến của (OMN) và (BCD). 2. Tỡm giao điểm của DC, BD với (OMN). 3. Tỡm thiết diện của (OMN) với hỡnh chúp. Lời giải. 1. Tỡm (OMN) ∩ (BCD).
11 Trong (ABC), gọi H = MN ∩ BC. A đ H ∈ MN ⊂ (MNO) Ta cú ⇒ H ∈ (BCD) ∩ H ∈ BC ⊂ (BCD) (MNO) (1). Mặt khỏc O ∈ (BCD) ∩ (MNO) (2). N Từ (1) và (2) suy ra (BCD) ∩ (MNO) = HO. M H 2. Tỡm DC ∩ (OMN) và BD ∩ (OMN). Trong (BCD), gọi I = BD ∩ HO. B D I đI ∈ BD Ta cú ⇒ I = BD ∩ (MNO). O I ∈ HO ⊂ (MNO) J = ∩ Trong (BCD), gọi J CD HO. C đJ ∈ CD Ta cú ⇒ J = CD ∩ J ∈ HO ⊂ (MNO) (MNO). 3. Tỡm thiết diện của (OMN) và hỡnh chúp. (ABC) ∩ (MNO) = MN  (ABD) ∩ (MNO) = MI Ta cú . Vậy thiết diện cần tỡm là tứ giỏc MNJI. (ACD) ∩ (MNO) = NJ  (BCD) ∩ (MNO) = IJ Bài 11. Cho tứ diện SABC. Gọi M ∈ SA, N ∈ (SBC), P ∈ (ABC), khụng cú đường thẳng nào song song. 1. Tỡm giao điểm của MN với (ABC), suy ra giao tuyến của (MNP) và (ABC). 2. Tỡm giao điểm của AB với (MNP). 3. Tỡm giao điểm của NP với (SAB). 4. Tỡm thiết diện của hỡnh chúp cắt bởi mặt phẳng (MNP). Lời giải. 1. Tỡm MN ∩ (ABC).
12 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN Chọn mặt phẳng phụ (SAH) chứa MN. S Tỡm (SAH) ∩ (ABC). Ta cú A ∈ (ABC) ∩ (SAH) (1). Trong (SBC), gọi H = SN ∩ BC. M Q đ H ∈ SN ⊂ (SAH) Ta cú ⇒ H ∈ (SAH) ∩ H ∈ BC ⊂ (ABC) (ABC) (2). N Từ (1) và (2) suy ra (SAH) ∩ (ABC) = AH. Trong (SAH), gọi I = MN ∩ AH. A C đ I ∈ MN H Ta cú ⇒ I = MN ∩ I ∈ AHH ⊂ (ABC) K I P J (ABC). Tỡm (MNP) ∩ (ABC). B Ta cú P ∈ (MNP) ∩ (ABC) (3). Mặt khỏc I ∈ (MNP) ∩ (ABC) (4). Từ (3) và (4) ⇒ (MNP) ∩ (ABC) = PI. 2. Tỡm AB ∩ (MNP). L Trong (ABC), gọi K = AB ∩ PI. đK ∈ AB Ta cú ⇒ K = AB ∩ K ∈ PI ⊂ (MNP) (MNP). 3. Tỡm NP ∩ (SAB). đL ∈ PN Trong (MNK), gọi L = PN ∩ MK. Ta cú ⇒ L = PN ∩ (SAB). L ∈ MK ⊂ (SAB) 4. Trong (ABC), gọi J = BC ∩ PI. Khi đú (MNP) ∩ (SBC) = JN. (MNP) ∩ (SAB) = MK  (MNP) ∩ (SBC) = IQ Trong (SBC), gọi Q = SC ∩ JN. Ta cú (MNP) ∩ (SAC) = MQ  (MNP) ∩ (ABC) = KJ. Vậy thiết diện cần tỡm là tứ giỏc MQJK. Bài 12. Cho tứ diện SABC. Gọi I, J, K lần lượt là 3 điểm nằm trong ba mặt phẳng (SAB), (SBC), (ABC). 1. Tỡm giao điểm của IJ với (ABC). 2. Tỡm giao tuyến của (IJK) với cỏc mặt của hỡnh chúp. Từ đú suy ra thiết diện của (IJK) cắt bởi hỡnh chúp. Lời giải. 1. Tỡm giao điểm của IJ với (ABC).
13 Trong (SAB), gọi M = SI ∩ AB. S Trong (SBC), gọi N = SJ ∩ BC. Suy ra (SIJ) ∩ (ABC) = MN. Trong (SIJ), gọi H = IJ ∩ MN. đH ∈ IJ Ta cú ⇒ H = F H ∈ MN ⊂ (ABC) I ∩ L IJ (ABC). J A C E K M D N B H 2. Tỡm giao tuyến của (IJK) và (ABC). đ K ∈ (IJK) ∩ (ABC) Ta cú ⇒ HK = (IJK) ∩ (ABC). H ∈ (IJK) ∩ (ABC) Trong (ABC), gọi D = HK ∩ BC và E = HK ∩ AC. + Tỡm (IJK) ∩ (SBC). đ D ∈ HK ⊂ (IJK) Ta cú J ∈ (IJK) ∩ (SBC) (1). Mặt khỏc ⇒ D ∈ (IJK) ∩ (SBC) (2). D ∈ BC ⊂ (SBC) Từ (1) và (2) suy ra DJ = (IJK) ∩ (SBC). + Tỡm (IJK) ∩ (SAB). Ta cú I ∈ (IJK) ∩ (SAB) (3). đ F ∈ DJ ⊂ (IJK) Trong (SBC), gọi F = DJ ∩ SB. Ta cú ⇒ F ∈ (IJK) ∩ (SAB) (4). F ∈ SB ⊂ (SAB) Từ (3) và (4) suy ra FI = (IJK) ∩ (SAB). + Tỡm (IJK) ∩ (SAC). đ L ∈ FI ⊂ (IJK) Trong (SAB), gọi L = FI ∩ SA. Ta cú ⇒ L = (IJK) ∩ (SAC) (5). L ∈ SA ⊂ (SAC) đ E ∈ HK ⊂ (IJK) Trong (ABC), gọi E = HK ∩ AC. Ta cú ⇒ E ∈ (IJK) ∩ (SAC) (6). E ∈ AC ⊂ (SAC) Từ (5) và (6) suy ra LE = (IJK) ∩ (SAC). Vậy thiết diện cần tỡm là tứ giỏc DFLE. Bài 13. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành tõm O. Gọi M, N, I lần lượt nằm trờn ba cạnh AD, CD, SO. Tỡm thiết diện của hỡnh chúp với mặt phẳng (MNI). Lời giải.
14 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN Trong (ABCD), gọi J = BD ∩ S MN, K = MN ∩ AB, H = MN ∩ BC. Trong (SBD), gọi Q = IJ ∩ SB. Q Trong (SAB), gọi R = KQ ∩ SA. Trong (SBC), gọi P = QH ∩ SC. P Vậy thiết diện là ngũ giỏc MNPQR. I R H B C N O J D A M K Bài 14. Cho hỡnh chúp S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm lấy trờn AB, AD và SC. Tỡm thiết diện của hỡnh chúp với mặt phẳng (MNP). Lời giải. Trong (ABCD), gọi E = MN ∩ DC, F = S MN ∩ BC. Trong (SCD), gọi Q = EP ∩ SD. Trong (SBC), gọi R = EP ∩ SB. Vậy thiết diện là ngũ giỏc MNPQR. P R F C B M Q A N D E DẠNG 0.3. Tỡm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Muốn tỡm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta cú hai cú hai cỏch làm như sau
15 Cỏch 1: Những bài toỏn đơn giản, cú sẵn một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và một đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P). Giao điểm của d hai đường thẳng khụng song song d và a chớnh Q là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng a (P). A Cỏch 2: Tỡm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng P d, sao cho dễ dàng tỡm giao tuyến a với mặt phẳng (P). Giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) chớnh là giao điểm của đường thẳng d và giao tuyến a vừa tỡm. Bài 15. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là điểm nằm trờn BD sao cho KD < KB. Tỡm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK). Lời giải. Tỡm giao điểm của CD với mp(MNK). A Cỏc bạn để ý CD và NK cựng thuộc mặt phẳng (BCD) và chỳng khụng song song nờn hai đường thẳng này sẽ cắt nhau tại một điểm I, nhưng NK lại thuộc mp(MNK) suy ra I thuộc mp(MNK). H I M Vậy I chớnh là giao điểm của CD và mp(MNK). B Ta cú thể trỡnh bày lời giải như sau: K D Trong mặt phẳng (BCD), gọi I = CD ∩ NK. N đI ∈ CD Vỡ ⇒ I = CD ∩ (MNK). C I ∈ NK, NK ⊂ (MNK) Tỡm giao điểm của AD và (MNK). Chọn mặt phẳng (ADC) chứa AD. Sau đú tỡm giao tuyến của (ACD) và (MNK), ta trỡnh bày đnhư sau: M ∈ (MNK) ⇒ M ∈ (MNK) ∩ (ACD). M ∈ AC, AC ⊂ (ACD) đ I ∈ NK, NK ⊂ (MNK) ⇒ I ∈ (MNK) ∩ (ACD). I ∈ CD, CD ⊂ (ACD) Vậy (MNK) ∩ (ACD) = MI. Gọi H = MI ∩ AD. Suy ra H = AD ∩ (MNK). Bài 16. Cho tứ diện ABCD. Trờn AB, AC, BD lấy lần lượt ba điểm M, N, P sao cho MN khụng song song với BC, MP khong song song với AD. Xỏc định giao điểm của cỏc đường thẳng BC, AD, CD với mặt phẳng (MNP). Lời giải.
16 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN Tỡm giao điểm của BC và (MNP). A Trong (ABC), gọi H = MN ∩ BC. đH ∈ BC ⇒ H ∈ H ∈ MN, MN ⊂ (MNP) N BC ∩ (MNP). M Tỡm giao điểm của AD và (MNP). H Trong (ACD), gọi I = MP ∩ AD. D đ I ∈ AD B P ⇒ I ∈ J I ∈ MP, MP ⊂ (MNP) AD ∩ (MNP). Tỡm giao điểm của CD và (MNP). C đ I I ∈ AD, AD ⊂ (ACD) ⇒ IN ⊂ (ACD). N ∈ AC, AC ⊂ (ACD) Trong (ACD) gọi J = NI ∩ CD. đJ ∈ CD ⇒ J = CD ∩ (MNP). I ∈ NI, NI ⊂ (MNP) Bài 17. Cho tứ diện ABCD. trờn AC và AD lấy hai điểm M, N sao cho MN khụng song song với CD. Gọi O là điểm bờn trong tam giỏc (BCD). 1. Tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (BCD). 2. Tỡm giao điểm của BC với (OMN). 3. Tỡm giao điểm của BD với (OMN). Lời giải. A 1. Tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (BCD). Ta cú O ∈ (OMN) ∩ (BCD). (1) M N Trong (ACD), gọi I = MN ∩ CD. I đ I ∈ MN, MN ⊂ (MNO) Q ⇒ I ∈ (OMN) ∩ B I ∈ CD, CD ⊂ (BCD) D (BCD). (2) O P Từ (1) và (2) ta cú OI = (OMN) ∩ (BCD). C 2. Tỡm giao điểm của BC với (OMN). Trong (BCD), gọi P = BC ∩ OI. Ta cú P = BC ∩ (OMN). 3. Tỡm giao điểm của BD với (OMN). Trong (BCD), gọi Q = BD ∩ OI. Ta cú Q = BD ∩ (OMN). Bài 18. Cho tứ diện ABCD, lấy M ∈ AB, N ∈ AC sao cho MN khụng song song với BC, I là điểm thuộc miền trong 4BCD. Xỏc định giao điểm của cỏc đường thẳng BC, BD, CD với (MNI). Lời giải.
17 Tỡm giao điểm của BC với (MNI). K Trong (ABC), gọi H = MN ∩ BC. đH ∈ BC ⇒ H = BC ∩ (MNI). H ∈ MN, MN ⊂ (MNI) A Tỡm giao tuyến của (BCD) với (MNI). đ H ∈ MN, MN ∈ (MNI) ⇒ H ∈ (MNI) ∩ (ACD). (1) H ∈ BC, BC ⊂ (BCD) N M Lại cú I ∈ (MNI) ∩ (BCD). (2) H Từ (1) và (2) ta cú HI = (MNI) ∩ (BCD). D Tỡm giao điểm của BD với (MNI). B E Trong (BCD), gọi E = HI ∩ BD. đ I E ∈ BD F ⇒ E = BD ∩ (MNI). E ∈ HI, HI ⊂ (MNI) C Tỡm giao điểm của CD với (MNI). Trong (BCD), gọi F = HI ∩ CD. đF ∈ CD ⇒ F = CD ∩ (MNI). F ∈ HI, HI ⊂ (MNI) Bài 19. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là cỏc trung điểm của cỏc cạnh AC, BC. Trờn cạnh BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Lấy Q thuộc AB sao cho QM cắt BC. Tỡm 1. giao điểm của CD và (MNP). 2. giao điểm của AD và (MNP). 3. giao tuyến của (MPQ) và (BCD). 4. giao điểm của CD và (MPQ). 5. giao điểm của AD và (MPQ). Lời giải. A 1. Tỡm giao điểm của CD và (MNP). Trong (BCD), gọi E = CD ∩ NP. đE ∈ CD ⇒ E = E ∈ NP, NP ⊂ (MNP) CD ∩ (MNP). Q M F 2. Tỡm giao điểm của AD và (MNP). K E Tỡm giao tuyến của (ACD) và (MNP). D đ B P M ∈ (MNP) L ⇒ M ∈ N M ∈ AC, AC ⊂ (ACD) T (MNP) ∩ (ACD). (1) C đ E ∈ NP, NP ⊂ (MNP) ⇒ E ∈ E ∈ CD, CD ⊂ (ACD) (MNP) ∩ (ACD). (2) Từ (1) và (2) ta cú EM = (MNP) ∩ (ACD). Trong (ACD), gọi F = AD ∩ EM. Suy ra F = AD ∩ (MNP).
18 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN 3. Tỡm giao tuyến của (MPQ) và (BCD). Trong (ABC), gọi K = QM ∩ BC. đ K ∈ BC, BC ⊂ (BCD) ⇒ K ∈ (MPQ) ∩ (BCD). (3) K ∈ QM, QM ⊂ (MPQ) đ P ∈ BD, BD ⊂ (BCD) ⇒ P ∈ (MPQ) ∩ (BCD). (4) P ∈ (MPQ) Từ (3) và (4) ta cú KP = (MPQ) ∩ (BCD). 4. Tỡm giao điểm của CD và (MPQ). Trong (BCD) gọi L = KP ∩ CD. đL ∈ CD ⇒ L = CD ∩ (MPQ). L ∈ KP, KP ⊂ (MPQ) 5. Tỡm giao điểm của AD và (MPQ). Tương tự như trờn, ta tỡm được ML = (PQ) ∩ (ACD). Trong (ACD), gọi T = AD ∩ ML. Suy ra T = AD ∩ (MPQ). Bài 20. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú AB và CD khụng song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong tam giỏc SCD. 1. Tỡm giao điểm N của CD và (SBM). 2. Tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC). 3. Tỡm giao điểm I của BM và (SAC). 4. Tỡm giao điểm P của SC và (ABM). Từ đú suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM). Lời giải. S 1. Tỡm giao điểm N của CD và (SBM). Trong (SCD), gọi N = SM ∩ CD. đN ∈ CD ⇒ N = CD ∩ (SBM). N ∈ SM, SM ⊂ (SBM) 2. Tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC). M Ta cú một lưu ý rằng (SBN) ≡ (SBM). A D P Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BN. I đ N O ∈ AC, AC ⊂ (SAC) O ⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBN). (1) C O ∈ BN, BN ⊂ (SBN) B Lại cú S ∈ (SAC) ∩ (SBN). (2) Từ (1) và (2) ta cú SO = (SAC) ∩ (SBN). 3. Tỡm giao điểm I của BM và (SAC). Trong (SBN), gọi I = BM ∩ SO. đI ∈ BM ⇒ I = BM ∩ (SAC). I ∈ SO, SO ⊂ (SAC) 4. Tỡm giao điểm P của SC và (ABM). Từ đú suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM). Ta cú (ABM) ∩ (SAC) = AI. Trong (SAC), gọi P = AI ∩ SC. Suy ra P = SC ∩ (ABM). Khi đú (SCD) ∩ (ABM) = MP.
19 Bài 21. Cho tứ giỏc ABCD và một điểm S khụng thuộc mặt phẳng (ABCD). Trờn đoạn AB lấy một điểm M, trờn đoạn SC lấy một điểm N (M, N khụng trựng với cỏc đầu mỳt). 1. Tỡm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD). 2. Tỡm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD). Lời giải. S 1. Tỡm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD). N • Chọn mặt phẳng phụ (SAC) ⊃ AN. Ta tỡm giao I tuyến của (SAC) và (SBD). Trong (ABCD) gọi P = AC ∩ BD. Suy ra J A D (SAC) ∩ (SBD) = SP. P • Trong (SAC) gọi I = AN ∩ SP. Q đ M I ∈ AN C ⇒ I = AN ∩ (SBD). B I ∈ SP, SP ⊂ (SBD) 2. Tỡm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD). • Chọn mặt phẳng phụ (SMC) ⊃ MN. Ta tỡm giao tuyến của (SMC) và (SBD). Trong (ABCD) gọi Q = MC ∩ BD. Suy ra (SMC) ∩ (SBD) = SQ. • Trong (SMC) gọi J = MN ∩ SQ. đJ ∈ MN ⇒ J = MN ∩ (SBD). J ∈ SQ, SQ ⊂ (SBD) Bài 22. Cho hỡnh chúp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. M, N, P lần lượt là cỏc điểm trờn SA, SB, SD. 1. Tỡm giao điểm I của SO với mặt phẳng (MNP). 2. Tỡm giao điểm Q của SC với mặt phẳng (MNP). Lời giải. 1. Tỡm giao điểm I của SO với mặt phẳng (MNP).
20 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN Trong mặt phẳng (SBD), gọi I = SO ∩ NP, cú S đI ∈ SO ⇒ I = SO ∩ (MNP). I ∈ NP ⊂ (MNP) P 2. Tỡm giao điểm Q của SC với mặt phẳng (MNP). I Q • Chọn mặt phẳng phụ (SAC) ⊃ SC. M • Tỡm giao tuyến của (SAC) và (MNP). đ N M ∈ (MNP) Ta cú ⇒ M ∈ A D M ∈ SA, SA ⊂ (SAC) (MNP) ∩ (SAC). (1) đ I ∈ SP, SP ⊂ (MNP) O C Và ⇒ I ∈ (MNP) ∩ I ∈ SO, SO ⊂ (SAC) B (SAC). (2) Từ (1) và (2) cú (MNP) ∩ (SAC) = MI. đQ ∈ SC • Trong mặt phẳng (SAC) gọi Q = SC ∩ MI, cú ⇒ Q = Q ∈ MI, MI ⊂ (MNP) SC ∩ (MNP). Bài 23. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm trờn AC và AD. O là điểm bờn trong tam giỏc BCD. Tỡm giao điểm của 1. MN và mặt phẳng (ABO). 2. AO và mặt phẳng (BMN). Lời giải.
21 A 1. Tỡm giao điểm của MN và mặt phẳng (ABO). • Chọn mặt phẳng phụ (ACD) ⊃ MN. • Tỡm giao tuyến của (ACD) và (ABO). Ta cú A là điểm chung của (ACD) và (ABO). (1) M Q Trong mặt phẳng (BCD), gọi P = BO ∩ CD, ta cú đ P ∈ BO, BO ⊂ (ABO) N ⇒ P ∈ (ABO) ∩ (ACD). I P ∈ CD, CD ⊂ (ACD) (2) B D Từ (1) và (2) suy ra (ACD) ∩ (ABO) = AP. • Trong (ACD), gọi Q = AP ∩ MN, cú O P đQ ∈ MN ⇒ MN ∩ (ABO) = Q. Q ∈ AP, AP ⊂ (ABO) C 2. Tỡm giao điểm của AO và mặt phẳng (BMN). • Chọn mặt phẳng (ABP) ⊃ AO. • Tỡm giao tuyến của (ABP) và (BMN). Ta cú B là điểm chung của (ABP) và (BMN). (3) đ Q ∈ MN, MN ⊂ (BMN) ⇒ Q ∈ (ABP) ∩ Q ∈ AP, AP ⊂ (ABP) (BMN). (4) Từ (3) và (4) suy ra (ABP) ∩ (BMN) = BQ. Gọi I = BQ ∩ AO (vỡ BQ, AO ∈ (ABP)), cú đI ∈ AO ⇒ I = AO ∩ (BMN). I ∈ BQ, BQ ⊂ (BMN) Bài 24. Trong mặt phẳng (α) cho hỡnh thang ABCD, đỏy lớn AD. Gọi I, J, K lần lượt là cỏc điểm trờn SA, AB, BC (K khụng là trung điểm BC). Tỡm giao điểm của 1. IK và (SBD). 2. SD và (IJK). 3. SC và (IJK). Lời giải. S N I A D Q F J P B M C K E
22 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN 1. Tỡm giao điểm của IK và mặt phẳng (SBD). • Chọn mặt phẳng phụ (SAK) ⊃ IK. • Tỡm giao tuyến của (SAK) và (SBD). Ta cú S là điểm chung của (SAK) và (SBD). (1) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi P = AK ∩ BD, ta cú đ P ∈ AK, AK ⊂ (SAK) ⇒ P ∈ (SAK) ∩ (SBD). (2) P ∈ BD, BD ⊂ (SBD) Từ (1) và (2) suy ra (SAK) ∩ (SBD) = SP. • Trong (SAK), gọi Q = IK ∩ SP, cú đQ ∈ IK ⇒ Q = IK ∩ (SBD). Q ∈ SP, SP ⊂ (SBD) 2. Tỡm giao điểm của SD và mặt phẳng (IJK). • Chọn mặt phẳng phụ (SBD) ⊃ SD. • Tỡm giao tuyến của (SBD) và (IJK). Ta cú Q là điểm chung của (SBD) và (IJK). (3) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi M = JK ∩ BD ⇒ M là điểm chung của (IJK) và (SBD). (4) Từ (3) và (4) suy ra (IJK) ∩ (SBD) = QM. • Trong mặt phẳng (SBD), gọi N = QM ∩ SD. đN ∈ SD Ta cú ⇒ N = SD ∩ (IJK). I ∈ QM, QM ⊂ (IJK) 3. Tỡm giao điểm của SC và mặt phẳng (IJK). • Chọn mặt phẳng phụ (SAC) ⊃ SC. • Tỡm giao tuyến của (SAC) và (IJK). đ I ∈ (IJK) Ta cú ⇒ I ∈ (IJK) ∩ (SAC). (5) I ∈ SA, SA ⊂ (SAC) Gọi E = AC ∩ JK (vỡ AC, JK ⊂ (ABCD)). Vậy E ∈ (IJK) ∩ (SAC). (6) Từ (5) và (6) suy ra (IJK) ∩ (SAC) = IE. đF ∈ SC • Trong mặt phẳng (SAC), gọi F = IE ∩ SC. Ta cú ⇒ F = SC ∩ F ∈ IE, IE ⊂ (IJK) (IJK). Bài 25. Cho tứ diện SABC. Gọi I, H lần lượt là trung điểm của SA, AB. Trờn cạnh SC lấy điểm K sao cho CK = 3SK. FB 1. Tỡm giao điểm F của BC với mặt phẳng (IHK). Tớnh tỉ số . FC 2. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng IH. Tỡm giao điểm của KM và mặt phẳng (ABC). Lời giải.
23 S K I D M E A C J N H F B FB 1. Tỡm giao điểm F của BC với mặt phẳng (IHK). Tớnh tỉ số . FC • Ta tỡm giao tuyến của (ABC) và (IHK) trước. Gọi E = AC ∩ KI (AC, KI ⊂ (SAC)), ta cú đ E ∈ AC, AC ⊂ (ABC) ⇒ E ∈ (ABC) ∩ (IHK). (1) E ∈ KI, KI ⊂ (IHK) đ H ∈ (IHK) ⇒ H ∈ (ABC) ∩ (IHK). (2) H ∈ AB, AB ⊂ (ABC) Từ (1) và (2) suy ra EH = (ABC) ∩ (IHK). • Gọi F = EH ∩ BC (EH, BC ⊂ (ABC)), cú đF ∈ BC ⇒ F = BC ∩ (IHK). F ∈ EH, EH ⊂ (IHK) Gọi D là trung điểm của SC, ta cú IK là đường trung bỡnh của 4SAD. CA CD Trong 4CEK cú = = 2 ⇒ CA = 2CK. AE DK Trong mặt phẳng (ABC) kẻ AN k EF (N ∈ BC). Ta cú BH BF HF k AN ⇒ = = 1 ⇒ BF = FN. HA FN CA CN EF k AN ⇒ = = 2 ⇒ CN = 2NF. AE NF FB FB FB 1 Do đú = = = . FC FN + NC 3FB 3 2. Tỡm giao điểm của KM và mặt phẳng (ABC). Ta cú KM ⊂ (IHK). Gọi J = KM ∩ EH (EH, KM ⊂ (IHK)). đJ ∈ KM Ta cú ⇒ J = KM ∩ (ABC). J ∈ EH, EH ⊂ (ABC) DẠNG 0.4. Tỡm thiết diện của hỡnh (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P). Phương phỏp giải
24 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN Bài 26. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành tõm O. Gọi M, N, I lần lượt nằm trờn ba cạnh AD, CD, SO. Tỡm thiết diện của hỡnh chúp với mặt phẳng (MNI). Lời giải. Trong mặt phẳng (ABCD), gọi J = BD ∩ S MN, K = MN ∩ AB, H = MN ∩ BC. Trong mặt phẳng (SBD), gọi Q = IJ ∩ SB. Trong mặt phẳng (SAB), gọi R = KQ ∩ SA. Q Trong mặt phẳng (SBC), gọi P = QH ∩ SC. Vậy, thiết diện của hỡnh chúp S.ABCD với mặt phẳng (MNI) là ngũ giỏc MNPQR. P R I C B H N O J A D M K Bài 27. Cho hỡnh chúp S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm lấy trờn AB, AD và SC. Tỡm thiết diện của hỡnh chúp với mặt phẳng (MNP). Lời giải. Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = MN ∩ DC, S F = MN ∩ BC. Trong mặt phẳng (SCD), gọi Q = EP ∩ SD. Trong mặt phẳng (SBC), gọi R = FP ∩ SB. Vậy, thiết diện của hỡnh chúp S.ABCD với mặt P phẳng (MNP) là ngũ giỏc MNQPR. R B F C M Q A N D E DẠNG 0.5. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui, chứng minh một điểm thuộc một đường thẳng cố định. • Phương phỏp chứng minh ba điểm thẳng hàng:
25 Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh ba điểm đú lần lượt thuộc hai mặt phẳng phõn biệt (α) và (β) A thỡ suy ra ba điểm A, B, C nằm trờn giao tuyến của (α) và (β), α β nờn chỳng thẳng hàng. B C • Phương phỏp chứng minh ba đường thẳng đồng quy: Ta tỡm giao điểm của hai đường thẳng trong ba đường thẳng đó cho, rồi chứng minh giao điểm đú nằm trờn đường thẳng thứ ba. Cụ thể như sau: Chọn một mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng (a) và (b). Gọi I = (a) ∩ (b). Tỡm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (a), tỡm một mặt phẳng (R) chứa đường thẳng (b), sao cho (c) = (Q) ∩ (R) ⇒ I I ∈ (c). Vậy, ba đường thẳng (a), (b), (c) đồng quy tại điểm I. c  (a), (b) ⊂ (P) a b   (a) ∩ (b) = I  P (P) ∩ (Q) = (a) ⇒ (a) ∩ (b) ∩ (c) = I. Q R  (P) ∩ (R) = (b)  (Q) ∩ (R) = (c) Bài 28. Cho tứ diện SABC. Trờn SA, SB và SC lần lượt lấy cỏc điểm D, E, F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng. Lời giải. S E D F I J K A C B Ta cú I = AB ∩ DE (AB, DE ⊂ (SAB))  • I ∈ AB, AB ⊂ (ABC) ⇒ I ∈ (ABC) ∩ (DEF). (1) I ∈ DE, DE ⊂ (DEF)  K = AC ∩ DF (AC, DF ⊂ (SAC))  • I ∈ AC, AC ⊂ (ABC) ⇒ K ∈ (ABC) ∩ (DEF). (2) K ∈ DF, DF ⊂ (DEF)  J = BC ∩ EF (BC, EF ⊂ (SBC))  • J ∈ BC, BC ⊂ (ABC) ⇒ J ∈ (ABC) ∩ (DEF). (3) J ∈ EF, EF ⊂ (DEF)
26 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN Từ (1), (2) và (3) suy ra ba điểm I, J, K thẳng hàng. Bài 29. Cho tứ diện ABCD cú G là trọng tõm tam giỏc BCD, Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD. 1. Tỡm giao tuyến của (AND) và (ABP). 2. Gọi I = AG ∩ MP, J = CM ∩ AN. Chứng minh D, I, J thẳng hàng. Lời giải. A M J I B D G N P C 1. Tỡm giao tuyến của (AND) và (ABP). A ∈ (ABP) ∩ (ADN). (1) đ G ∈ BP, BP ⊂ (ABP) Ta cú G = BP ∩ DN, cú ⇒ G ∈ (ABP) ∩ (ADN). (2) G ∈ DN, DN ⊂ (ADN) Từ (1) và (2) ta cú AG = (ABP) ∩ (ADN). 2. Chứng minh D, I, J thẳng hàng. I = AG ∩ MP, AG ⊂ (ADG), MP ⊂ (DMN) ⇒ I ∈ (ADG) ∩ (DMN). (3) J = CM ∩ AN, AN ⊂ (ADG), CM ⊂ (DMN) ⇒ J ∈ (ADG) ∩ (DMN). (4) D ∈ (ADG) ∩ (DMN). (5) Từ (3), (4), (5) suy ra ba điểm D, I, J thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (ADG) và (DMN). Vậy ba điểm D, I, J thẳng hàng. Bài 30. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. S là điểm khụng thuộc (ABCD), M và N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB và SC. 1. Xỏc định giao điểm I = AN ∩ (SBD). 2. Xỏc định giao điểm J = MN ∩ (SBD). 3. Chứng minh ba điểm I, J, B thẳng hàng. Lời giải.
27 S I N A D J M O K B C 1. Xỏc định giao điểm I = AN ∩ (SBD). • Chọn mặt phẳng phụ (SAC) chứa AN. Ta tỡm giao tuyến của (SAC) và (SBD). Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cú hai điểm chung là S và O. Vậy (SAC) ∩ (SBD) = SO. • Trong mặt phẳng (SAC) gọi I = AN ∩ SO. Ta cú I = AN ∩ (SBD). 2. Xỏc định giao điểm J = MN ∩ (SBD). • Chọn mặt phẳng phụ (SMC) chứa MN. Ta tỡm giao tuyến của (SMC) và (SBD). Trong mặt phẳng (ABCD) gọi K là giao điểm của MC và BD. Hai mặt phẳng (SMC) và (SBD) cú hai điểm chung là S và K. Vậy (SMC) ∩ (SBD) = SK. • Trong mặt phẳng (SMC) gọi J = MN ∩ SK. Ta cú J = MN ∩ (SBD). 3. Chứng minh ba điểm I, J, B thẳng hàng. • Ta cú B là điểm chung của (ABN) và (SBD). (1) đ I ∈ SO, SO ⊂ (SBD) • ⇒ I ∈ (ABN) ∩ (SBD). (2) I ∈ AN, AN ⊂ (ABN) đ J ∈ SK, SK ⊂ (SBD) • ⇒ J ∈ (ABN) ∩ (SBD). (3) J ∈ MN, MN ⊂ (ABN) Từ (1), (2) và (3) suy ra ba điểm I, J, B thẳng hàng. Bài 31. Cho tứ giỏc ABCD và S 6∈ (ABCD). Gọi I, J là hai điểm trờn AD và SB, AD cắt BC tại O và OJ cắt SC tại M. 1. Tỡm giao điểm K = IJ ∩ (SAC). 2. Xỏc định giao điểm L = DJ ∩ (SAC). 3. Chứng minh A, K, L, M thẳng hàng. Lời giải.
28 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN 1. Tỡm giao điểm K = IJ ∩ (SAC). S Chọn mặt phẳng phụ (SIB) chứa IJ. Tỡm giao tuyến của (SIB) và (SAC). J cú S ∈ (SBI) ∩ (SAC) (1) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi E = AC ∩ BI, ta cú: đ E ∈ AC, AC ⊂ (SAC) L M ⇒ E = (SAC) ∩ (SBI) (2) E ∈ BI, BI ⊂ (SBI) Từ (1) và (2) suy ra SE = (SBI) ∩ (SAC). A B Trong mặt phẳng (SIB), gọi K = IJ ∩ SE. I E đ K ∈ IJ F Ta cú ⇒ K = IJ ∩ (SAC) C K ∈ SE, SE ⊂ (SAC) D 2. Xỏc định giao điểm L = DJ ∩ (SAC). O Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa DJ. Tỡm giao tuyến của (SBD) với (SAC). Ta cú S ∈ (SBD) ∩ (SAC) (3) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi F = AC ⊂ BD. Suy ra F là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SBD) và (SAC). (4) Từ (3) và (4) suy ra SF = (SBD) ⊂ (SAC). Trong mặt phẳng (SBD) gọi L = DJ ∩ SF. đL ∈ DJ Vậy ⇒ L = DJ ∩ (SAC) L ∈ SF, SF ⊂ (SAC) 3. Chứng minh A, K, L, M thẳng hàng. Ta cú A ∈ (SAC) ∩ (AJO) (3) đ K ∈ IJ, IJ ⊂ (AJO) và ⇒ K ∈ (SAC) ∩ (AJO). (4) K ∈ SE, SE ⊂ (SAC) đ L ∈ DJ, DJ ⊂ (AJO) cú ⇒ L ∈ (SAC) ∩ (AJO) (5) L ∈ SF, SF ⊂ (SAC) đ M ∈ JO, JO ⊂ (AJO) cú ⇒ M ∈ (SAC) ∩ (AJO) (6) M ∈ SC, SC ⊂ (SAC) Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra bốn điểm A, K, L, M cựng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (AJO). Vậy A, K, L, M thẳng hàng. Bài 32. Cho tứ giỏc ABCD và S 6∈ (ABCD). Gọi M, N là hai điểm trờn BC và SD. 1. Tỡm giao điểm J = BN ∩ (SAC) 2. Tỡm giao điểm J = MN ∩ (SAC) 3. Chứng minh rằng C, I, J thẳng hàng. Lời giải.
29 1. Tỡm giao điểm I = BN ∩ (SAC) Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa BN. Tỡm giaio tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và S (SAC). Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O = AC ∩ BD. N Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cú hai điểm chung là S và O. Vậy giao tuyến của chỳng là SO. Trong mặt phẳng (SBD) gọi I = BN ∩ SO. I đI ∈ BN Ta cú ⇒ I = BN ∩ (SAC). A D I ∈ SO, SO ⊂ (SAC) 2. Tỡm giao điểm J = MN ∩ (SAC). J Chọn mặt phẳng phụ (SMD) chứa MN. Tỡm giao tuyến của (SMD) và (SAC). O Trong mặt phẳng (ABCD), gọi K = AC ∩ DM. Hai mặt phẳng (SAC) và (SMD) cú hai điểm chung là B K M S và K. C Vậy giao tuyến của chỳng là SK. Trong mặt phẳng SMD, gọi J = MN ∩ SK. Ta cú đJ ∈ MN ⇒ J = MN ∩ (SAC) J ∈ SK, SK ⊂ (SAC) 3. Chứng minh C, I, J thẳng hàng. Theo cỏch tỡm điểm ở những cõu trờn, ta cú ba điểm C, I, J là điểm chung của hai mặt phẳng (BCN) và (SAC) ⇒ Ba điểm C, I, J cựng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (BCN) và (SAC). Kết luận C, I, J thẳng hàng. Bài 33. Cho hỡnh chúp S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Gọi E = AB ∩ CD, K = AD ∩ BC 1. Tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) ∩ (SBD) , (MNP) ∩ (SBD). 2. Tỡm giao điểm Q của đường thẳng SD với mặt phẳng (MNP). 3. Gọi H = NM ∩ PQ. Chứng minh ba điểm S, H, E thẳng hàng. 4. Chứng minh ba đường thẳng SK, QM, NP đồng quy. Lời giải.
30 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN 1. Tỡm giao tuyến của (SAC) ∩ (SBD). S Trong mặt phẳng ABCD gọi O = AC ∩ BD, cú: đ O ∈ AC, AC ⊂ (SAC) Q G ⇒ O ∈ (SAC) ∩ F O ∈ BD, BD ⊂ (SBD) M (SBD) (1) P N S ∈ (SAC) ∩ (SBD) (2) H A D K Từ (1) và (2) suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SO. Tỡm giao tuyến của (MNP) ∩ (SBD). O C Trong mặt phẳng (SAC) gọi F = MP ∩ SO, B đcú F ∈ MP, MP ⊂ (MNP) ⇒ F ∈ (MNP) ∩ E F ∈ SO, SO ⊂ (SBD) (SBD) (3) đ N ∈ (MNP) cú: ⇒ N ∈ N ∈ SB, SB ⊂ (SBD) (MNP) ∩ (SBD) (4) Từ (3) và (4) suy ra (MNP) ∩ (SBD) = NF. 2. Tỡm giao điểm Q của đường thẳng SD với (MNP). Gọi Q = NF ∩ SD (vỡ NF, SD ⊂ (SBD)). đQ ∈ SD Ta cú ⇒ Q = Q ∈ NF, NF ⊂ (MNP) SD ∩ (MNP). 3. Gọi H = NM ∩ PQ. Chứng minh ba điểm S, H, E thẳng hàng. Ta cú H = MN ∩ PQ, MN ⊂ (SAB) , PQ ⊂ (SCD) ⇒ H ∈ (SAB) ∩ (SCD) (∗)  E = AB ∩ CD, AB ⊂ (SAB) , CD ⊂ (SCD) ⇒ E ∈ (SAB) ∩ (SCD) (∗∗) S ∈ (SAB) ∩ (SCD) (∗ ∗ ∗) Từ (*), ( ), ( ) suy ra ba điểm S, H, E thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) nờn ba điểm S, H, E thẳng hàng. 4. Chứng min ba đường thẳng SK, QM, NP đồng quy. Gọi G = MQ ∩ NP (vỡ MQ, NP ⊂ (MNP)) (5) đcú G ∈ MQ, MQ ⊂ (SAD) ⇒ G ∈ (SAD) ∩ (SBC) (6) G ∈ NP, NP ⊂ (SBC) Ngoài ra (SAD) ∩ (SBC) = SK ⇒ G ∈ SK. (7) Từ (5),(6),(7) suy ra ba đường thẳng SK, QM, NP đồng quy. Bài 34. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gọi Mlà trung điểm của cạnh SD, I là điểm trờn cạnh SA sao cho AI = 2IS. Gọi K là giao điểm của IM với KD mặt phẳng ABCD. Tớnh tỷ số . Gọi N là trung điểm của BC. Tỡm thiết diện của KA hỡnh chúp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN). Lời giải.
31 S M S A K I P D M F B N C A E D K Trong mặt phẳng (SAD) gọi K = IM ∩ AD. Vỡ đK ∈ IM ⇒ K = IM ∩ (ABCD). K ∈ AD, AD ⊂ (ABCD) Dựng DF k KI (F ∈ SA). Trong ∆SDF cú IM là đường trung bỡnh của tam giỏc ⇒ SI = IF = FA. Từ đú suy ra FD là đường trung bỡnh của tam giỏc ∆AIK ⇒ D là trung điểm của AK. KD 1 Kết luận = . KA 2 Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = AN ∩ CD. Trong mặt phẳng (SCD), gọi P = EM ∩ SC. Từ đú suy ra thiết diện của hỡnh chúp S.ABCD bị cắt bởi mặt phẳng (AMN) là tứ giỏc AMPN. Bài 35. Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là những điểm nằm trờn hai đoạn thẳng BC và BD, M là một điểm nằm trờn AC. Giả sử khụng tồn tại song song trong hỡnh vẽ của bài toỏn 1. Tỡm giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (MPQ). Suy ra giao điểm N của đường thẳng AD và mặt phẳng (MPQ). 2. PQ cắt CD tại điểm I. Tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng (MPQ) với mặt phẳng (ACD). Nhận xột gỡ về vị trớ của M, N, I? 3. DP và CQ cắt nhau tại E, MQ và NP cắt nhau tại F. Chứng tỏ rằng A, E, F thẳng hàng. Lời giải.
32 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN a. Trong mặt phẳng (ABC), gọi H = AB ∩ MP. H Cú đH ∈ AB ⇒ H = AB ∩ H ∈ PM, PM ⊂ (MPQ) (MPQ). Ta cú H và Q là hai điểm chung của hai mặt A phẳng (MPQ) và (ABD) nờn giao tuyến của chỳng là đường thẳng HQ. HQ cắt AD tại N, thỡ N là giao điểm của AD và (MPQ). N I M b. M và I là hai điểm chung của hai mặt phẳng F (MPQ) và (ACD). Vậy giao tuyến của (ACD) và (MPQ) là đường thẳng MI. Q Vỡ N ∈ (MPQ) ∩ (ACD) ⇒ N ∈ MI. Vậy ba B điểm M, N, I thẳng hàng. c. Vỡ ba điểm A, E, F là ba điểm chung của hai P mặt phẳng (ADP) và (ACQ) nờn chỳng thuộc giao tuyến của hai mặt (ADP) và (ACQ). Kết luận ba điểm A, E, F thẳng hàng. C C BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG I Bài 36. Cho hỡnh chúp S.ABCD với đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc SB, N thuộc miền trong tam giỏc S∆SCD. 1. Tỡm giao điểm của MN và mặt phẳng (ABCD) 2. Tỡm SC ∩ (AMN) và SD ∩ (AMN) 3. Tỡm SA ∩ (CMN) Lời giải. a. Tỡm giao điểm của MN và (ABCD). S Gọi I = SN ∩ CD (vỡ SN, CD ⊂ (SCD)). Chọn mặt phẳng (SBI) chứa MN. Ta cú B và I là hai điểm chung Q M của hai mặt phẳng (SBI) và (ABCD). P Vậy (SBI) ∩ (ABCD) = BI. N Gọi H = MN ∩ BI (vỡ MN, BI ⊂ K đ E H ∈ MN D H (SBI)) Ta cú A H ∈ BI, BI ⊂ (ABCD) ⇒ H = MN ∩ (ABCD) b. Tỡm SC ∩ (MAN). I Đầu tiờn ta tỡm giao tuyến của mặt O phẳng (SAC) và (SBI). Gọi O = AC ∩ B C BI (vỡ AC, BI ⊂ (ABCD)). Ta cú S và O là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBI). Vậy SO = (SAC) ∩ (SBI). Gọi E = SO ∩ MN (vỡ SO, MN ⊂ (SBI)). Chọn mặt phẳng (SAC) chứa SC. Tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (AMN)
33 1. M và I là hai điểm chung của hai mặt phẳng (MPQ) và (ACD). Vậy giao tuyến của (ACD) và (MPQ) là đường thẳng MI. Vỡ N ∈ (MQP) ∩ (ACD) ⇒ N ∈ MI. Vậy ba điểm M, N, I thẳng hàng. 2. Vỡ ba điểm A, E, F là ba điểm chung của hai mặt phẳng (ADP) và (ACQ). Nờn chỳng thuộc giao tuyến của (ADP) và (ACQ). Kết luận ba điểm A, E, F thẳng hàng. BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG I Bài 37. Cho hỡnh chúp S.ABCD với ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc SB, N thuộc miền trong tam giỏc SCD. 1. Tỡm giao điểm của MN và mặt phẳng (ABCD). 2. Tỡm SC ∩ (AMN), SD ∩ (AMN). 3. Tỡm SA ∩ (CMN). Lời giải. 1. Tỡm giao điểm của MN và mặt phẳng (ABCD). Gọi I = SN ∩ CD (vỡ SN, CD ⊂ (SCD)). Chọn mặt phẳng (SBI) chứa MN.
34 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN Ta cú B và I là S hai điểm chung của hai mặt phẳng (SBI) Q ABCD và ( ). M K Vậy (SBI) ∩ (ABCD) = BI. E N Gọi H = MN ∩ BI (vỡ MN, BI ⊂ P (SBI)). Ta cú A D H đH ∈ MN H ∈ BI, BI ⊂ (ABCD) I O ⇒ H = B MN ∩ (ABCD). C 2. Tỡm SC ∩ (AMN), SD ∩ (AMN). Đầu tiờn ta tỡm giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và (SBI). Gọi O = AC ∩ BI (vỡ AC, BI ⊂ (ABCD)). Ta cú S và O là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBI). Vậy (SBI) ∩ (SAC) = SO. Gọi E = SO ∩ MN (vỡ SO, MN ⊂ (SBI)). Chọn mặt phẳng (SAC) chứa SC. Tỡm giao tuyến của (SAC) và (AMN). A ∈ (SAC) ∩ (AMN). (1) đ E ∈ SO, SO ⊂ (SAC) Và ⇒ E ∈ (SAC) ∩ (AMN). (2) E ∈ MN, MN ⊂ (AMN) Từ (1) và (2) suy ra (SAC) ∩ (AMN) = AE. đK ∈ SC Gọi K = SC ∩ AE (vỡ AE, SC ⊂ (SAC)), cú ⇒ K = SC ∩ K ∈ AE, AE ⊂ (AMN) (AMN). Tỡm giao điểm của SD và mặt phẳng (AMN): Ta cú K và N là hai điểm chung của hai mặt phẳng (AMN) và (SCD). Vậy (AMN) ∩ (SCD) = KN. Gọi P = KN ∩ SD. Suy ra P cũng là giao điểm của SD và mặt phẳng (AMN). 3. Tỡm SA ∩ (CMN). Chọn mặt phẳng (SAC) chứa SA. Tỡm (SAC) ∩ (CMN). Ta cú C ∈ (SAC) ∩ (CMN). (3) đ E ∈ SO, SO ⊂ (SAC) Theo cõu 2, E = SO ∩ MN (vỡ SO, MN ⊂ (SBI)), cú ⇒ E ∈ E ∈ MN, MN ⊂ (CMN)
35 (SAC) ∩ (CMN). (4) Từ (3) và (4) suy ra (SAC) ∩ (CMN) = CE. Gọi Q = SA ∩ CE (vỡ SA, CE ∩ (SAC)). đQ ∈ SA Ta cú ⇒ Q = SA ∩ (CMN). Q ∈ CE, CE ⊂ (CMN) Bài 38. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang với AB song song với CD. O là giao điểm của hai đường chộo, M thuộc SB. 1. Xỏc định giao tuyến của cỏc cặp mặt phẳng: (SAC) và (SBD); (SAD) và (SBC). 2. Tỡm giao điểm SO ∩ (MCD); SA ∩ (MCD). Lời giải. S 1. Xỏc định giao tuyến của (SAC) và (SBD). Ta cú S là điểm chung thứ nhất và O J M là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Vậy (SAC) ∩ (SBD) = SO. Xỏc định giao tuyến của (SAD) và I A (SBC). B Ta cú S ∈ (SAD) ∩ (SBC). (1) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi H = AD ∩ BC, cú O đ D H ∈ AD, AD ⊂ (SAD) C ⇒ H ∈ ∈ ⊂ H BC, BC (SBC) H (SAD) ∩ (SBC). (2) Từ (1) và (2) suy ra (SAD) ∩ (SBC) = SH. 2. Tỡm giao điểm SO ∩ (MCD); SA ∩ (MCD). Gọi I = SO ∩ DM (vỡ SO, DM ⊂ (SBD)). đI ∈ SO Ta cú ⇒ I = I ∈ DM, DM ⊂ (MCD) SO ∩ (MCD). Gọi J = SA ∩ CI (vỡ SA, CI ⊂ (SAC)). đJ ∈ SA Ta cú ⇒ J = J ∈ CI, CI ⊂ (MCD) SA ∩ (MCD). Bài 39. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành tõm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC. 1. Tỡm I = AN ∩ (SBD). 2. Tỡm K = MN ∩ (SBD). KM 3. Tớnh tỉ số . KN
36 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN IB 4. Chứng minh B, I, K thẳng hàng. Tớnh tỉ số . IK Lời giải. S 1. Tỡm I = AN ∩ (SBD). Trước hết ta tỡm giao tuyến của mp(SAC) và mp(SBD). Ta cú S ∈ (SAC) ∩ (SBD). (1) đ O ∈ AC, AC ⊂ (SAC) Cú ⇒ O ∈ O ∈ BD, BD ⊂ (SBD) I (SAC) ∩ (SBD). (2) N Từ (1) và (2) suy ra SO = (SAC) ∩ A D K (SBD). Gọi I = SO ∩ AN (vỡ SO, AN ⊂ M O (SAC)). Suy ra I = AN ∩ (SBD). 2. Tỡm K = MN ∩ (SBD). B C Chọn mp(ABN) chứa MN. Tỡm giao tuyến của mp(ABN) và mp(SBD). đ I ∈ SO, SO ⊂ (SBD) Cú ⇒ I ∈ I ∈ AN, AN ⊂ (ABN) (ABN) ∩ (SBD). (3) Cú B ∈ (ABN) ∩ (SBD). (4) Từ (3) và (4) suy ra BI = (ABN) ∩ (SBD); K = BI ∩ MN. Khi đú K = MN ∩ (SBD). Q I N KM A 3. Tớnh tỉ số . KN Gọi Q là trung điểm của AI. Ta cú AQ = M K QI = IN (vỡ I là trọng tõm tam giỏc SAC). Cú MQ là đường trung bỡnh của tam giỏc ABI. Suy ra MQ k BI. Ta cú IK là đường trung B bỡnh tam giỏc MNQ. Vậy K là trung điểm KM MN. Suy ra = 1. KN IB 4. Chứng minh B, I, K thẳng hàng. Tớnh tỉ số . IK Theo cỏch tỡm giao tuyến của cõu 2 thỡ ba điểm B, K, I thẳng hàng. 1 IB Trong tam giỏc ABI, cú QM = BI ⇒ IB = 4IK ⇔ = 4. 2 IK Bài 40. Cho hỡnh chúp S.ABC. Gọi K, N lần lượt là trung điểm của SA, BC. Điểm M 2 thuộc SC, SM = MC. 3 1. Tỡm thiết diện của hỡnh chúp với mp(KMN). LA 2. Mặt phẳng (KMN) cắt AB tại L. Tớnh tỉ số . LB
37 Lời giải. 1. Tỡm thiết diện của hỡnh chúp với mp(KMN). Trong mặt phẳng (SAC), gọi I là giao điểm của KM và AC. Trong mặt phẳng (ABC), L là giao điểm của IN và AB. Kết luận thiết diện cần tỡm là tứ giỏc MNLK. LA 2. Mặt phẳng (KMN) cắt AB tại L. Tớnh tỉ số . LB S M K E I A C L N B Trong mặt phẳng (SAC), kẻ AE k KM với E thuộc SC. Ta cú KM là đường trung bỡnh của tam giỏc SAE nờn M là trung điểm SE. Đoạn SC được chia làm 5 phần, MC chiếm 3 phần suy ra CE chiếm 1 phần. CE CA 1 1 Trong tam giỏc CIM cú = = ⇒ CA = AI. EM AI 2 2 Trong tam giỏc ABC, kẻ DN k AB (∈ AC). Vậy DN là đường trung bỡnh của ∆ABC 1 nờn DN = AB. (1) 2 IA AL 4 4 Trong tam giỏc IDN cú = = ⇒ DN = AL. (2) ID DN 5 5 1 4 Từ (1) và (2) ta cú AB = AL ⇔ 2AB = 5AL ⇔ 2(LA + LB) = 5LA ⇔ 2LB = 2 5 LA 2 3LA ⇒ = . LB 3 Bài 41. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Lấy K thuộc cạnh BD sao cho BK = 2KD. 1. Tỡm E = CD ∩ (IJK). Chứng minh DE = DC. 2. Tỡm giao điểm F = AD ∩ (IJK). Chứng minh FA = 2FD. 3. Tỡm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (IJK). Xỏc định hỡnh tớnh của thiết diện. Lời giải.
38 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN A 1. Tỡm E = CD ∩ (IJK). Chứng minh DE = DC. E Gọi E = CD ∩ JK (vỡ CD, JK ⊂ (BCD)), F đE ∈ CD cú ⇒ E = I E ∈ JK, JK ⊂ (IJK) B CD ∩ (IJK). K D J C Chứng minh DE = DC. B E Trong ∆BCE, kẻ DP k EJ. Trong tam giỏc BDP, cú JK k K PD nờn BJ BK = = 2 ⇒ BJ = 2JP ⇒ CI = 2JP. Từ đú suy ra I D JP KD P DP là đường trung bỡnh của tam giỏc CEJ. Suy ra D là C trung điểm CE. Vậy DE = DC. 2. Tỡm giao điểm F = AD ∩ (IJK). Chứng minh FA = 2FD. Vỡ IE, AD ⊂ (ACD). Gọi F = IE ∩ AD. Mà IE ⊂ (IJK) ⇒ F = AD ∩ (IJK). Xột trong tam giỏc ACE cú F là giao điểm của hai đường trung tuyến AD và EI. Suy ra F là trọng tõm của ∆ACE. Vậy FA = 2FD. 3. Tỡm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (IJK). Xỏc định hỡnh tớnh của thiết diện. đ (IJK) ∩ (ABC) = IJ;(IJK) ∩ (BCD) = JK Ta cú . Thiết diện cần tỡm là tứ giỏc IJKF. (IJK) ∩ (ABD) = KF;(IJK) ∩ (ACD) = FI DK DF 1 Trong tam giỏc ABD, cú = = ⇒ KF k AB. (1) DB DC 3 Trong tam giỏc ABC, cú IJ là đường trung bỡnh nờn IJ k AB. (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giỏc IJKF là hỡnh thang. Bài 42. Cho tứ diện S.ABC. Trờn SB, SC lần lượt lấy hai điểm I, J sao cho IJ khụng song song với BC. Trong tam giỏc ABC lấy một điểm K. 1. Xỏc định giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (IJK). 2. Xỏc định giao điểm của AB, AC với (IJK). 3. Tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJK). 4. Tỡm giao điểm của BC, IJ với mặt phẳng (SAK). 5. Xỏc định thiết diện của mặt phẳng (IJK) với tứ diện S.ABC. Lời giải.
39 S 1. Xỏc định giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (IJK). Gọi D = IJ ∩ BC (vỡ IJ, BC ⊂ (SBC)), đ D ∈ IJ, IJ ⊂ (IJK) I L cú ⇒ D ∈ (IJK) ∩ J D ∈ BC, BC ⊂ (ABC) (ABC). (1) Cú K ∈ (IJK) ∩ (ABC). (2) D A Từ (1) và (2) suy ra (IJK) ∩ (ABC) = DK. F C K 2. Xỏc định giao điểm của AB, AC và (IJK). E G Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AB, AC với DK (vỡ AB, AC, DK cựng thuộc mặt B phẳng (ABC)). Ngoài ra DK nằm trong mặt phẳng (IJK). Vậy AB ∩ mp(IJK) = E; AC ∩ mp(IJK) = F. 3. Tỡm giao tuyến của (SAB) và (IJK). Ta cú I và E là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (IJK) nờn (SAB) ∩ (IJK) = IE. 4. Tỡm giao điểm của BC, IJ với (SAK). đG ∈ BC Gọi G = AK ∩ BC (vỡ AK, BC ⊂ (ABC)). Ta cú ⇒ G = BC ∩ G ∈ AK, AK ⊂ (SAK) (SAK). đL ∈ IJ Gọi L = SG ∩ IJ (vỡ SG, IJ ⊂ (SBC)). Ta cú ⇒ L = IJ ∩ (SAK). L ∈ SG, SG ⊂ (SAK) 5. Xỏc định thiết diện của mp(IJK) với tứ diện S.ABC. đ (IJK) ∩ (ABC) = EF;(IJK) ∩ (SAC) = FJ Theo cỏch dựng điểm ở cỏc cõu trờn ta cú (IJK) ∩ (SAB) = IE;(IJK) ∩ (SBC) = JI. Vậy thiết diện cần tỡm là tứ giỏc IJFE. Bài 43. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang, đỏy lớn là AB. Trờn SA, SB lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho MN khụng song song với AB. Gọi O = AC ∩ DB. 1. Tỡm giao điểm của đường thẳng AB với mp(MNO). 2. Tỡm giao tuyến của mp(MNO) với cỏc mặt (SBC) và (SAD). 3. Xỏc định thiết diện của (M) với hỡnh chúp S.ABCD. 4. Gọi K là giao điểm của hai giao tuyến ở cõu thứ 2 và E = AD ∩ BC. Chứng minh 3 điểm S, K, E thẳng hàng. Lời giải.
40 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN K 1. Tỡm giao điểm của đường thẳng AB với mp(MNO). Gọi H = AB ∩ MN (vỡ AB, MN ⊂ (SAB)). đH ∈ AB Ta cú ⇒ H ∈ MN, MN ⊂ (MNO) H = AB ∩ (MNO). S 2. Tỡm giao tuyến của mp MNO với cỏc M N mặt phẳng (SBC) và (SAD). Gọi F = BC ∩ HO (BC, HO ⊂ (ABCD)), A H đ B F ∈ BC, BC ⊂ (SBC) ta cú : F ∈ HO, HO ⊂ (MNO) F O C ⇒ F ∈ (MNO) ∩ (SBC). (1) GD N ∈ (MNO) ∩ (SBC). (2) E Từ (1) và (2) suy ra (MNO) ∩ (SBC) = FN. Trong mp(ABCD), gọi G = AD ∩ HO, đ G ∈ AD, AD ⊂ (SAD) ta cú ⇒ G ∈ HO, HO ⊂ (MNO) G ∈ (MNO) ∩ (SAD). (3) M ∈ (MNO) ∩ (SAD). (4) Từ (3) và (4) suy ra (MNO) ∩ (SAD) = MG. 3. Xỏc định thiết diện của (MNO) với hỡnh chúp S.ABCD. đ (MNO) ∩ (ABCD) = GF;(MNO) ∩ (SBC) = FN Theo cỏch dựng điểm ở trờn, ta cú (MON) ∩ (SAB) = NM;(MNO) ∩ (SAD) = MG. Vậy thiết diện cần tỡm là tứ giỏc MNFG. 4. Chứng minh 3 điểm S, K, E thẳng hàng. Ta cú E = AD ∩ BC, AD ⊂ (SAD), BC ⊂ (SBC) nờn E ∈ (SAD) ∩ (SBC). (∗) K = GM ∩ FN, GM ⊂ (SAD), FN ⊂ (SBC) nờn K ∈ (SAD) ∩ (SBC). (∗∗) S ⊂ (SAD) ∩ (SBC). (∗ ∗ ∗) Từ (∗)(∗∗)(∗ ∗ ∗) suy ra ba điểm E, K, S thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) nờn ba điểm E, K, S thẳng hàng. Bài 44. Cho tứ diện ABCD . Gọi M là trung điểm AB, K là trọng tõm của tam giỏc ACD. 1. Xỏc định giao tuyến của (AKM) và (BCD). 2. Tỡm giao điểm H của MK và mp(BCD). Chứng minh K là trọng tõm của tam giỏc ABH. 3. Trờn BC lấy điểm N. Tỡm giao điểm P, Q của CD, AD với mp(MNK). 4. Chứng minh 3 đường thẳng MQ, NP, BD đồng quy. Lời giải.
41 A 1. Xỏc định giao tuyến của (AKM) và (BCD). M Q Gọi G = AK ∩ CD (vỡ AK, CD ⊂ (ACD)). B K F D đTa cú G ∈ AK, AK ⊂ (AKM) G ∈ ⊂ N P H G CD, CD (BCD) C ⇒ G ∈ (AKM) ∩ (BCD). (1) B ∈ (ABG) ∩ (BCD). (2) Từ (1) và (2) suy ra (ABG) ∩ (BCD) = BG. E 2. Tỡm giao điểm H của MK và mp(BCD). Trong mp(ABG), gọi H = MK ∩ BG, đH ∈ MK cú H ∈ BG, BG ⊂ (BCD) ⇒ H = MK ∩ (BCD). Chứng minh K là trọng tõm của tam giỏc ABH. A Vỡ K là trọng tõm của tam giỏc ACD nờn K chia đoạn AG thành ba phần bằng nhau. Gọi L là điểm đối xứng của K qua G thỡ K là trung M điểm của AL. K Trong 4ABL, MK là đường trung bỡnh của tam giỏc. B Ta cú 4BGL = 4HGK(g.c.g) ⇒ BG = HG. G H Vậy K là trọng tõm của tam giỏc ABH. 3. Tỡm giao điểm P, Q của CD, AD với mp(MNK). L Trong mp(ABC) gọi E = MN ∩ AC. Trong mp(ACD) đường thẳng EK cắt CD và AD lần lượt tại P, Q, thỡ P và Q chớnh là giao điểm của CD và AD với mp(MNK). 4. Chứng minh MQ, NP, BD đồng quy. đ F ∈ MQ ⊂ (ABD) Trong mp(MNK) gọi F = MQ ∩ NP, vỡ ⇒ F ∈ (ABD) ∩ (BCD). F ∈ NP ⊂ (BCD) Tự đú suy ra F thuộc giao tuyến của BD và hai mặt phẳng (ABD) và (BCD). Vậy ba đường thẳng MQ, NP, BD đồng quy tại điểm F. Bài 45. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD và hỡnh bỡnh hành. Gọi G là trọng tõm của tam giỏc SAD, M là trung điểm của SB. 1. Tỡm giao điểm N của MG và mặt phẳng (ABCD). 2. Chứng minh ba điểm C, D, N thẳng hàng và D là trung điểm của CN. Lời giải.
42 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN S 1. Trong mặt phẳng chứa MG, gọi N là giao điểm của MG và BE. Vỡ BE thuộc mặt phẳng (ABCD), nờn N N thuộc (ABCD). Vậy N là giao điểm G của MG và mặt phẳng (ABCD). M 2. Trong mặt phẳng (SBN), kẻ EF k A D F E MN (F thuộc SB). Trong tam giỏc SEF cú MG k EF nờn SM SG B C = = 2 ⇒ SM = 2MF ⇔ BM = 2MF. MF GE Vậy F là trung điểm của BM. BF BE Trong 4BMN cú EF k MN nờn = = 1 ⇒ BE = EN. Vậy E là trung điểm của FM EN BN. Dễ dàng chứng minh 4AEB = 4DEN (c.g.c) ⇒ ABE‘ = END’. Hai gúc này bằng nhau theo trường hợp so le trong nờn AB k DN, mà AB k CD nờn C, D, N thẳng hàng. ED là đường trung bỡnh của tam giỏc NBC suy ra D là trung điểm của CN. Bài 46. Cho hỡnh chúp S.ABCD, đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành tõm O. Gọi M là trung điểm của SC. 1. Xỏc định giao tuyến của (ABM) và (SCD). 2. Gọi N là trung điểm của BO. Xỏc định giao điểm I của (AMN) với SD. Chứng SI 2 minh = . Tỡm thiết diện của hỡnh chúp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN). ID 3 Lời giải.
43 S 1. Xỏc định giao tuyến của (ABM) và (SCD). I Ta cú H M ∈ (ABM) ∩ (SCD)  AB k CD AB ⊂ (ABM), CD ⊂ (SCD) M A K D ⇒ (ABM) ∩ (SCD) = MH (MH k AB k CD.) 2. Xỏc định giao điểm I của O (AMN) và SD. Ta cú (SAC) ∩ (SBD) = SO. B L C Gọi K = AM ∩ SO (AM, SO ⊂ (SAC)). Tỡm giao tuyến (AMN) và (SBD). đ N ∈ (AMN) Ta cú ⇒ N ∈ BD, BD ⊂ (SBD) N ∈ (AMN) ∩ (SBD). (1) đ K ∈ AM, AM ⊂ (AMN) ⇒ K ∈ BD, BD ⊂ (SBD) K ∈ (AMN) ∩ (SBD). (2) Từ (1) và (2) suy ra (AMN) ∩ (SBD) = NK. NK cắt SD tại điểm I, thỡ I chớnh là giao điểm của (AMN) và SD. Trong mặt phẳng (SBD), từ O dựng OP k NI(P ∈ S SD). DO DP 2 Trong 4DNI, cú OP k DI nờn cú = = = ON PI 1 I 2 ⇒ DP = 2PI. (3) SK SI 2 Trong 4SOP cú KI k OP nờn cú = = = P KO PI 1 K 2 ⇒ SI = 2PI. (4) (K) là trọng tõm của 4SAC. Từ IS 2 (3) và (4) suy ra = . ID 3 Thiết diện của hỡnh chúp bị cắt bởi mặt phẳng B N O D (AMN). Gọi L là giao điểm của AN và BC. Kết luận thiết diện là tứ giỏc ALMI. Bài 47. Cho tứ diện ABCD. Trờn AD lấy điểm N sao cho AN = 2ND, M là trung điểm 1 của AC, trờn BC lấy điểm Q sao cho BQ = BC. 4 IC 1. Tỡm giao điểm I của MN với (BCD). Tớnh tỷ số . ID JB JQ 2. Tỡm giao điểm J của BD với (MNQ). Tớnh tỷ số , . JD JI Lời giải.
44 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN A 1. Tỡm giao điểm I của MN với (BCD). Gọi I = MN ∩ CD (MN, CD ⊂ (ACD)). I đI ∈ MN N Vỡ ⇒ I = M I ∈ CD, CD ⊂ (BCD) MN ∩ (BCD). B Q J D C IC Tớnh tỷ số . A ID Từ D kẻ DG k IM (G ∈ AC). AM AN Trong 4AGD cú = = 2 ⇒ AM = 2MG. MG ND Do G là trung điểm của CM suy ra DG là đường M trung bỡnh của tam giỏc CMI, suy ra D là trung điểm IC N của CI. Vậy = 2. G ID C D I I JB 2. Tỡm giao điểm J của BD và (MNQ). Tớnh tỷ số , JD JQ . H JI Gọi J = QI ∩ BD (QI, BD ⊂ (BCD)). D đJ ∈ BD Vỡ ⇒ J = BD ∩ (MNQ). F J ∈ QI, QI ⊂ (MNQ) J Gọi E là trung điểm của BC, từ E kẻ đường thẳng song song với QI cắt BD, IC lần lượt tại F và B Q E C H. Ta cú QJ là đường trung bỡnh của tam giỏc BEF ⇒ BJ = JF. (1) CE CH Trong 4CQI cú = = 2 ⇒ CH = EQ HI 2HI ⇒ CD + DH = 2HI ⇒ DI + DH = 2HI ⇒ DH + HI + DH = 2HI ⇒ HI = 2DH. DF DH 1 1 Trong 4DIJ cú = = ⇒ DF = FJ. (2) FJ HI 2 2 JB 2 Từ (1) và (2) suy ra = . JD 3 1 2 2 1 Ta cú EF = 2QJ, FH = IJ và EH = IQ ⇒ EF + FH = (IJ + JQ) ⇒ 2JQ + IJ = 3 3 3 3 2 JQ 1 (IJ + JQ) ⇒ IJ = 4JQ. Vậy = . 3 IJ 4 Bài 48. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành tõm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC và SA, E là trọng tõm của tam giỏc ABC.
45 1. Tỡm giao điểm I của SD và mặt phẳng (AME). Chứng minh EI k SB. 2. Tỡm giao điểm H của SD và mặt phẳng (MNE). 3. Tỡm thiết diện của hỡnh chúp cắt bởi mặt phẳng (MNE). Lời giải. Ta cú SO = (SAC) ∩ (SBD). Gọi J = AM ∩ SO (AM, SO ⊂ (SAC)) S 1. Tỡm giao điểm I của SD và mặt phẳng (AME). H Chọn mặt phẳng (SBD) chứa SD. Tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng I AME SBD ( ) và ( ). N Cú E là điểm chung thứ nhất, J là F giao điểm của AM và SO. Mà AM, SO lần lượt thuộc hai mặt phẳng M J (AME) và (SBD). Vậy giao tuyến của chỳng là EJ. A D Kộo dài EJ cắt SD tại một điểm thỡ đú là điểm I cần tỡm. K O Chứng minh EI k SB. Vỡ J là giao điểm của AM, SO là hai E đường trung tuyến của tam giỏc B L C SAC. Nờn J là trọng tõm của tam giỏc SAC. OJ OE 1 Ta cú = = OS OB 3 ⇒ EJ k SB (theo định lý đảo Talet), hay EI k SB. 2. Tỡm giao điểm H của SD và mặt phẳng (MNE). Chọn mặt phẳng (SBD) chứa SD. Tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng (NME) và (SBD). Gọi F = MN ∩ SO (MN, SO ⊂ (SAC)). đ F ∈ MN, MN ⊂ (MNE) Ta cú ⇒ F ∈ (MNE) ∩ (SBD) (1) F ∈ SO, SO ⊂ (SBD) Ngoài ra E ∈ (MNE) ∩ (SBD) (2) Từ (1) và (2) thỡ EF = (MNE) ∩ (SBD). Gọi H = EF ∩ SD (EF, SD ⊂ (SBD)) ⇒ H = SD ∩ (MNE). 3. Tỡm thiết diện của hỡnh chúp cắt bởi mặt phẳng (MNE). Đầu tiờn tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNE) và (ABCD). Ta cú: E là điểm chung thứ nhất, cú MN k AC, mà hai đường thẳng MN, AC lần lượt thuộc hai mặt phẳng (MNE) và (ABCD). Vậy giao tuyến của chỳng qua E và song song với AC cắt AB, BC lần lượt tại K và L. Kết luận thiết diện cần tỡm là đa giỏc KLMHN. Bài 49. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB và SC.
46 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN KM 1. Tỡm giao điểm K của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD). Tớnh tỉ số . KN 2. Gọi E là trung điểm của SA. Tỡm giao điểm F của SD và mặt phẳng (EMN). Chứng minh tứ giỏc MEFN là hỡnh thang. 3. Tỡm thiết diện của hỡnh chúp với mặt phẳng (EMN). Lời giải. S 1. • Tỡm giao điểm K của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD). Chọn mặt phẳng (SMC) chứa MN. Tỡm F SMC SBD giao tuyến của ( ) và ( ). J N Ta cú S ∈ (SMC) ∩ (SBD) (1) Gọi I = MC ∩ BD (MC, BD ⊂ (ABCD)), ta E L K đcú: P I ∈ MC, MC ⊂ (SMC) B G C ⇒ I ∈ (SMC) ∩ I ∈ BD, BD ⊂ (SBD) M I (SBD) (2) O Gọi K = MN ∩ SI (MN, SI ⊂ (SMC)) ⇒ K = MN ∩ (SBD). A D KM • Tớnh tỉ số . KN Trong tam giỏc SMC kẻ NG k SI (G ∈ CM). CN CG Trong 4CIS cú NG k SI ⇒ = = NS GI 1 ⇒ CG = GI. Vỡ I là trọng tõm của tam giỏc ABC nờn suy ra MI = IG = GC. MK MI Trong 4MNG cú: IK k NG ⇒ = = 1 ⇒ MK = KN. KN IG KM Vậy = 1. KN 2. • Tỡm giao điểm F của SD và mặt phẳng (EMN). Chọn mặt phẳng (SBD) chứa SD, tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (MNE). Gọi O = AC ∩ BD ⇒ (SAC) ∩ (SBD) = SO. Gọi J = EN ∩ SO (EN, SO ⊂ (SAC)). Ta cú đ J ∈ EN, EN ⊂ (MNE) ⇒ J ∈ (MNE) ∩ (SBD) (1) J ∈ SO, SO ⊂ (SBD) Theo cõu 1) thỡ K là điểm chung thứ 2. (2) Từ (1) và (2) thỡ (MNE) ∩ (SBD) = KJ. Gọi F = KJ ∩ SD ⇒ K = SD ∩ (MNE). • Chứng minh tứ giỏc MEFN là hỡnh thang. Ta cú EN là đường trung bỡnh của tam giỏc SAC. Dễ dàng chứng minh J là trung điểm của EN. Trong tam giỏc MNE, KJ là đường trung bỡnh của tam giỏc nờn: 1 KJ = EM, KJ k EM. 2 1 Gọi L là trung điểm của SD cú OL = SB, OL k SB. (3) 2 Vỡ KF k EM, mà EM k SB suy ra KF k SB. (4) Từ (3) và (4) suy ra KF k OL.
47 1 Trong 4SOL cú JF là đường trung bỡnh nờn JF = OL. 2 1 1 Mà OL = SB ⇒ JF = SB. (5) 2 4 1 1 1 Và KJ = ME mà ME = SB ⇒ KJ = SB. (6) 2 2 4 1 Từ (5) và (6) suy ra: KF = SB ⇒ KF = EM. 2 Vậy tứ giỏc EMKF là hỡnh bỡnh hành. Tứ giỏc MNFE là hỡnh thang vỡ cú EF k MN. 3. Tỡm thiết diện của hỡnh chúp với mặt phẳng (EMN). đTa cú: M ∈ (MNE) ∩ (ABCD) ⇒ (MNE) ∩ (ABCD) = MP (MP k AC k EN, P ∈ BD). EN k AC Thiết diện cần tỡm là ngũ giỏc MPNFE. Bài 50. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành, M là điểm trờn cạnh AD sao cho AM = 2MD, K là trung điểm cạnh SB. DF 1. Tỡm giao điểm F của DK với mặt phẳng (SMC). Tớnh tỉ số . DK SE 1 2. Gọi E là điểm trờn SC sao cho = , gọi H là giao điểm của KE và mặt phẳng SC 3 HE (SAD). Tớnh tỉ số . HK 3. Gọi I là điểm trờn cạnh SD (DI > SI), P là giao điểm của AK và (SDC), Q là giao điểm của CI và (SAB). Chứng minh P, Q, S thẳng hàng. Lời giải. Q S H x I P E N y K G J F A D M W O B C
48 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN DF 1. Tỡm giao điểm F của DK với mặt phẳng (SMC). Tớnh tỉ số . DK Gọi J là trung điểm của AM, W là trung điểm của OD ⇒ MW là đường trung bỡnh của 4DJO. Trong mặt phẳng (SBD) dựng đường thẳng d k SW và d đi qua O. Đường thẳng d cắt DK và SB lần lượt tại G và N. WF là đường trung bỡnh của 4DGO ⇒ F là trung điểm của DG. Trong 4BSW cú: ON k WS: BN BO 2 BK + KN 2 BK KN 2 1 KN 2 KN 1 = = ⇔ = ⇔ + = ⇔ + = ⇒ = . BS BW 3 2KS 3 2KS 2KS 3 2 2KS 3 KS 3 KN KG 1 Trong 4KSF cú GN k FS nờn: = = ⇒ KF = 3KG ⇒ GF = 2KG. KS KF 3 DF 2KG 2 Kết luận: = = . DK 5KG 5 HE 2. Tớnh tỉ số .  HK S ∈ (SBC) ∩ (SAD)  Cú: BC k AD ⇒ (SBC) ∩ (SAD) = Sx Sx k BC k AD. BC ⊂ (SBC), AD ⊂ (SAD) Gọi H = KE ∩ Sx (KE, Sx ⊂ (SBC)) ⇒ H = KE ∩ S H (SAD). 1 Vẽ lại mặt phẳng (SBC) như hỡnh bờn. Gọi L là trung 1 2 E điểm của EC, KE đường trung bỡnh của tam giỏc SBL K Z L 1 nờn KE = BL (1) 1 2 1 Ta cú: S“1 = Cc1 (so le trong); B C cE1 = cE2 (đối đỉnh), cE2 = cL1 (đồng vị) ⇒ cE1 = cL1. Từ đú suy ra: 4SEH = 4CLB (g.c.g) ⇒ BL = HE. (2) HE 2 Từ (1) và (2) ta cú = . HK 3 3. Chứng minh P, Q, S thẳng hàng. Ta cú: S ∈ (SAB) ∩ (SCD)  BA k CD ⇒ (SAB) ∩ (SCD) = Sy Sy k AB k CD. AB ⊂ (SAB), CD ⊂ (SCD) Gọi P = AK ∩ Sy AK, Sy ⊂ (SAB) ⇒ P = AK ∩ (SCD); Gọi Q = CI ∩ Sy CI, Sy ⊂ (SCD) ⇒ Q = CI ∩ (SAB); Vỡ ba điểm P, S, Q cựng nằm trờn giao tuyến Sy nờn chỳng thẳng hàng. Bài 51. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SC. IA 1. Tỡm giao điểm I của AN và (SBD). Tớnh . IN KM 2. Tỡm giao điểm K của MN và (SBD). Tớnh . KN IB 3. Chứng tỏ B, I, K thẳng hàng. Tớnh . Gọi E là trung điểm của SA. Tỡm thiết diện IK
49 của (MNE) và hỡnh chúp. Lời giải. S H E I N A D K M O C B L F 1. Tỡm giao điểm I của AN và (SBD). S ∈ (SAC) ∩ (SBD) (1) đ O ∈ AC, AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD) (2) O ∈ BD, BD ⊂ (SBD) Từ (1) và (2) ⇒ SO = (SAC) ∩ (SBD). Gọi I = SO ∩ AN (SO, AN ⊂ (SAC)). Suy ra I = AN ∩ (SBD). Vỡ SO, AN là hai trung tuyến của tam giỏc SAC ⇒ I là trọng tõm của tam giỏc SAC. IA Do đú = 2. IN 2. Tỡm giao điểm K của MN và (SBD). Chọn mặt phẳng (ABN) chứa MN. B đTa cú: I ∈ SO, SO ⊂ (SBD) ⇒ I ∈ (ABN) ∩ (SBD). (3) I ∈ AN, AN ⊂ (ABN) B ∈ (ABN) ∩ (SBD) (4) M Từ (3) và (4) ⇒ BI = (ABN) ∩ (SBD). K Gọi K = MN ∩ BI ⇒ K = MN ∩ (SBD). Vẽ lại tam giỏc ABN như bờn. A Q I N Gọi Q là trung điểm của AI. Ta cú AQ = QI = IN. Xột 4NMQ, ta cú: IK là đường trung bỡnh của tam giỏc. Vậy K là trung điểm của MN. KM Suy ra = 1. KN
50 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HèNH HỌC KHễNG GIAN 3. Theo cỏch tỡm giao tuyến của cõu b) thỡ 3 điểm B, K, I thẳng hàng. 1 Trong 4NMQ, ta cú: IK = QM. 2 1 IB Trong 4ABI, ta cú: QM = BI ⇒ IB = 4IK ⇔ = 4. 2 IK Hai mặt phẳng (MNE) và (ABCD) cú M là điểm chung và cú NE k AC nờn giao tuyến d của chỳng qua M và d k AC k NE. Gọi F = d ∩ CD (d, CD ⊂ (ABCD)); gọi H = FN ∩ SD (FN, SD ⊂ (SCD)). Vậy thiết diện của mặt phẳng (MNE) cắt hỡnh chúp S.ABCD là đa giỏc EMLNH.
Chương 2. QUAN HỆ SONG SONG Bài 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHẫO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG A. Túm tắt lý thuyết Định nghĩa 1. Hai đường thẳng được gọi là đồng phẳng nếu chỳng cựng nằm trong một mặt phẳng. Hai đường thẳng được gọi là chộo nhau nếu chỳng khụng đồng phẳng. Hai đường thẳng gọi là song song nếu chỳng đồng phẳng và khụng cú điểm chung. Định lớ 1. Trong khụng gian, qua một điểm khụng nằm trờn M d0 đường thẳng cho trước, cú một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó cho. d Định lớ 2. Nếu ba mặt phẳng phõn biệt đụi một cắt nhau theo ba giao tuyến phõn biệt thỡ ba giao tuyến đú hoặc đồng quy hoặc đụi một song song với nhau. c c β β α α b b a a γ γ Hệ quả 1. Nếu hai mặt phẳng phõn biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thỡ giao tuyến của chỳng (nếu cú) cũng song song với hai đường thẳng đú hoặc trựng với một trong hai đường thẳng đú. β β β α d α d α d d00 d00 d0 d0 d00 d0 Định lớ 3. 51
52 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG Hai đường thẳng phõn biệt cựng song song với đường thẳng thứ ba thỡ song song với nhau c β α a b γ Bài 2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG A. Túm tắt lý thuyết Định lớ 1. Nếu đường thẳng d khụng nằm trong mặt phẳng β (α) và đường thẳng d song song với đường thẳng d d0 nằm trong (α) thỡ d song song với α. d0 α Định lớ 2. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). β Nếu mặt phẳng (β) chứa a và cắt (α) theo giao a tuyến b thỡ b song song với a. b α Hệ quả 1. Nếu hai mặt phẳng phõn biệt cựng song song với một đường thẳng thỡ giao tuyến của chỳng (nếu cú) cũng song song với đường thẳng đú. d0 d β α Định lớ 3.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 53 Cho hai đường thẳng chộo nhau. Cú duy nhất một b mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. M b0 a α B. Bài tập rốn luyện DẠNG 2.1. Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng Phương phỏp giải: Chứng minh hai đường thẳng song song thỡ dựa vào hỡnh học phẳng: Định lý Thales đảo, đường trung bỡnh Muốn chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P), ta phải chứng minh đường thẳng d song song với một đường thẳng thuộc mp(P). Tỡm giao tuyến cỏch 2: Tỡm một điểm chung của hai mặt phẳng, tỡm trong hai mặt phẳng lần lượt cú hai đường thẳng song song với nhau. Giao tuyến cần tỡm đi qua điểm chung và song song với hai đường thẳng song song vừa tỡm. Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tõm cỏc tam giỏc ABC, ABD. Chứng minh IJ k CD. Lời giải. đI ∈ CE Gọi E là trung điểm AB. Ta cú ⇒ IJ và CD A J ∈ DE đồng phẳng. EI EJ 1 = = Do cú (tớnh chất trọng tõm), nờn theo E EC ED 3 J định lý Thales suy ra IJ k CD. I B D C Bài 2. Cho hỡnh chúp S.ABCD với đỏy ABCD là hỡnh thang với hai đỏy AB và CD (AB > CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh SA, SB. 1. Chứng minh MN k CD. 2. Tỡm giao điểm P của SC với (ADN). 3. Kộo dài AN cắt DP tại I. Chứng minh SI k AB k CD. Tứ giỏc SABI là hỡnh gỡ?
54 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG Lời giải. S I 1. Chứng minh MN k CD. Trong tam giỏc SAB, ta cú MN k AB (vỡ MN là đường trung bỡnh). Mà AB k CD N M (ABCD là hỡnh thang). Vậy MN k CD. 2. Tỡm giao điểm của SC với (ADN). Chọn mặt phẳng phụ (SBC) chứa SC. A P B Tỡm giao tuyến của (SBC) và (ADN). Ta cú N là điểm chung của (SBC) và (ADN) (1). Trong (ABCD), gọi E = AD ∩ BC. Ta cú D C đ E ∈ AD ⊂ (ADN) ⇒ E ∈ (ADN) ∩ (SBC) (2). E ∈ BC ⊂ (SBC) Từ (1) và (2) suy ra (ADN) ∩ (SBC) = NE. Trong (SBC), gọi P = SC ∩ NE. Khi đú đP ∈ SC ⇒ P = SC ∩ (ADN). P ∈ NE ⊂ (ADN) E 3. Chứng minh SI k AB k CD. Tứ giỏc SABI là hỡnh gỡ? S ∈ (SAB) ∩ (SCD) (3) đ I ∈ AN ⊂ (SAB) và ⇒ I ∈ (SAB) ∩ I ∈ DP ⊂ (SCD) (SCD) (4). Từ (3) và (4) suy ra SI = (SAB) ∩ (SCD).  SI = (SAB) ∩ (SCD)  Ta cú AB ⊂ (SAB), CD ⊂ (SCD) ⇒ SI k AB k CD. AB k CD Xột tam giỏc SAI cú SI k MN (vỡ cựng song song với AB) và M trung điểm của AB. Vậy MN là đường trung bỡnh của tam giỏc. Suy ra SI = 2MN. đ SI k AB đ SI k AB Ta cú ⇒ SI = 2MN, AB = 2MN SI = AB. Vậy tứ giỏc SABI là hỡnh bỡnh hành. Bài 3. Cho hỡnh chúp S.ABCD với đỏy ABCD là hỡnh thang (đỏy lớn là AB). Gọi I, J 2 lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AD, BC, K là điểm trờn cạnh SB sao cho SK = SB. 3 1. Tỡm giao tuyến của (SAB) và (IJK). 2. Tỡm thiết diện của (IJK) với hỡnh chúp S.ABCD. Tỡm điều kiện để thiết diện là hỡnh bỡnh hành. Lời giải.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 55 S 1. Tỡm giao tuyến của (SAB) và (IJK). Từ K kẻ KL k AB (L ∈ SA). Ta cú   K ∈ (SAB) ∩ (IJK)  L K AB k IJ  ⊂ ⊂ AB (SAB), IJ (IJK) A B (vỡ IJ là đường trung bỡnh của hỡnh thang). Suy ra (SAB) ∩ (IJK) = KL (vỡ KL k AB k IJ, K ∈ I J SA). D C 2. Tỡm thiết diện của (IJK) với hỡnh chúp S.ABCD. đ (IJK) ∩ (ABCD) = IJ,(IJK) ∩ (SBC) = JK Ta cú (IJK) ∩ (SAB) = KL,(IJK) ∩ (SAD) = LI. Vậy thiết diện cần tỡm là hỡnh thang IJKL (vỡ IJ k LK k AB). Do IJ là đường trung bỡnh của hỡnh thang ABCD AB + CD nờn IJ = . 2 LK SK 2 Xột tam giỏc SAB cú = = , suy ra AB SB 3 2 LK = AB. 3 Để IJKL là hỡnh bỡnh hành ⇔ IJ = KL ⇔ AB + CD 2 = AB ⇔ AB = 3CD. 2 3 Vậy thiết diện IJKL là hỡnh bỡnh hành ⇔ AB = 3CD. Bài 4. Cho hỡnh chúp S.ABCD với đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là cỏc điểm nằm trờn cỏc cạnh BC, SC, SD, AD sao cho MN k BS, NP k CD, MQ k CD 1. Chứng minh PQ k SA. 2. Gọi K = MN ∩ PQ. Chứng minh điểm K nằm trờn đường thẳng cố định khi M di động trờn cạnh BC. Lời giải.
56 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG S K t 1. Chứng minh PQ k SA. DP Xột ∆SCD cú NP k CD ⇒ = DS CN (1). P CS CM Xột ∆SCB cú NM k SB ⇒ = CB A D CN N Q (2). CS Xột hỡnh thang ABCD cú MQ k CD ⇒ CM DQ = (3). CB DA DP DQ B M Từ (1), (2), (3) suy ra = . Vậy C DS DA PQ k SA. 2. Chứng minh điểm K nằm trờn đường thẳng cố định khi M di động trờn cạnh BC.  BC k AD  Ta cú BC ⊂ (SBC), AD ⊂ (ADS) ⇒  S ∈ (SBC) ∩ (SAD) (SBC) ∩ (SAD) = St với (St k AD k BC). đ MN ⊂ (SBC) Mà K = MN ∩ PQ và PQ ⊂ (SAD). Suy ra K ∈ (SBC) ∩ (SAD) hay K ∈ St. Vỡ S cố định và BC cố định nờn St cố định. Vậy K ∈ St cố định khi M di động trờn cạnh BC. Bài 5. Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm cỏc cạnh SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng 1. ME k AC, NF k BD. 2. Ba đường thẳng ME, NF, SO (với O là giao điểm của AC và BD) đồng qui. 3. Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng. Lời giải.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 57 S 1. Chứng minh ME k AC, NF k BD. ME là đường trung bỡnh của tam giỏc SAC ⇒ ME k AC. ⇒ FN là đường trung bỡnh của tam giỏc SBD M F FN k BD. K 2. Ba đường thẳng ME, NF, SO (với O là giao E điểm của AC và BD) đồng qui. N Trong tam giỏc SAC, gọi K = ME ∩ SO. Suy ra A D K là trung điểm của SO. Trong tam giỏc SDO cú FK là đường trung bỡnh của tam giỏc ⇒ FK k DO ⇔ FK k BD (1). O Trong tam giỏc SBD cú FN là đường trung bỡnh C của tam giỏc ⇒ FN k BD (2). K NF Từ (1) và (2) thỡ thuộc . Vậy ba đường B thẳng ME, NF, SO đồng qui tại điểm K. 3. Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng. Từ chứng minh ở cõu 2) thỡ ME và NF cắt nhau tại K. Suy ra bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng. Bài 6. Cho tứ diện ABCD, gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD, E là một điểm thuộc cạnh AD. a) Xỏc định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mp (IJE). b) Tỡm vị trớ của E trờn AD để thiết diện là hỡnh bỡnh hành. c) Tỡm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trớ điểm E trờn AD để thiết diện là hỡnh thoi. Lời giải. A a) Xỏc định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mp (IJE). F Ta cú IJ là đường trung bỡnh của 4BCD nờn IJ k CD. E đ (IJE) ∩ (ACD) = E ⇒ (IJE) ∩ IJ ⊂ (IJE), CD ⊂ (ACD) (ACD) = Ex. Ex k CD k IJ F = Ex ∩ AC B C Với . Gọi . I Vậy thiết diện cần tỡm là hỡnh thang EFIJ. b) Để IJEF là hỡnh bỡnh hành thỡ IJ = EF. J Vậy E phải là trung điểm của AD. c) Khi EFIJ là hỡnh bỡnh hành thỡ EJ là đường D trung bỡnh của tam giỏc DAB, suy ra EJ = 1 AB. 2 Vậy: để IJEF là hỡnh thoi thỡ IJ = EJ ⇔ AB = CD. Kết luận: Để thiết diện IJEF là hỡnh thoi thỡ E là trung điểm của AD và AB = CD.
58 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG Bài 7. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là tứ giỏc lồi. Gọi M, N lần lượt là trọng tõm của tam giỏc SAB và SAD, E là trung điểm của CB. a) Chứng minh MN k BD. b) Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp khi cắt bởi mp (MNE). c) Gọi H, L lần lượt là cỏc giao điểm của mp (MNE) với cỏc cạnh SB và SD. Chứng minh LH k BD. Lời giải. S a) Chứng minh MN k BD. Gọi K là trung điểm của SA. Theo tớnh chất trọng tõm ta cú K KM KN 1 P = = ⇒ MN k BD. N KB KD 3 M L b) Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp cắt bởi mp (MNE). A D E là điểm chung của (MNE) và (ABCD) H nờn giao tuyến của chỳng qua E và song G song với MN và song song với BD. Giao B tuyến này cắt AB và CD lần lượt tại F và E C G. F Trong mặt phẳng (SAB) đường thẳng FM cắt SA và SB lần lượt tại P và H. Cũn trong (SAD) đường thẳng PN cắt SD tại L. Từ đú suy ra thiết diện cần tỡm là ngũ giỏc EHPLG. c) Chứng minh LH k BD.  HL = (MNE) ∩ (SBD)  Ta cú MN k BD MN ⊂ (MNE), BD ⊂ (SBD) ⇒ HL k MN k BD. Bài 8. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB và CD. a) Chứng minh MN k (SBC), MN k (SAD). b) Gọi P là trung điểm của cạnh SA. Chứng minh rằng SB và SC đều song song với (MNP). c) Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tõm của tam giỏc ABC và SBC. Chứng minh G1G2 k (SAB). Lời giải.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 59 S a) Chứng minh MN k (SBC). đ MN k BC, MN 6⊂ (SBC) Ta cú ⇒ BC ⊂ (SBC) MN k (SBC). đ P MN k AD, MN 6⊂ (SAD) Ta cú ⇒ AD ⊂ (SAD) Q MN k (SAD). G2 M b) Chứng minh SB và SC đều song song với A B (MNP). Tỡm giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và G1 (MNP). I  P ∈ (MNP) ∩ (SAD)  D C Ta cú MN k AD N MN ⊂ (MNP), AD ⊂ (SAD) ⇒ (PMN) ∩ (SAD) = PQ (PQ k MN k AD, Q ∈ SD). Xột 4SAD ta cú PQ k AD và P là trung điểm của SA, suy ra Q là trung điểm của SD. Xột 4SCD ta cú QN k SC (QN là đường trung bỡnh của tam giỏc SCD). đ SC 6⊂ (PMN), SC k QN Ta cú ⇒ SC k QN ⊂ (PMN) (PMN). c) Chứng minh G1G2 k (SAB). IG1 IG2 1 Xột tam giỏc SAI ta cú = = (Tớnh chất trọng tõm) ⇒ G1G2 k SA. đ IA IS 3 G1G2 6⊂ (SAB), G1G2 k SA Cú ⇒ G G k (SAB). SA ⊂ (SAB) 1 2 Bài 9. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy (ABCD) là hỡnh thang. AD là đỏy lớn và AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tõm của tam giỏc SCD. a) Chứng minh OG k (SBC). b) Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Chứng minh rằng CM k (SAB). 3 c) Giả sử điểm I trờn đoạn SC sao cho SC = SI. Chứng minh SA k (BID). 2 KB d) Xỏc định giao điểm K của BG và mặt phẳng (SAC). Tớnh . KG Lời giải.
60 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG Vỡ AD k BC ⇒ 4OBC v 4ODA (g-g). S OB OC BC 1 Vậy = = = . OD OA AD 2 a) Gọi H là trung điểm của SC. DG DO 2 Trong 4DHB ta cú = = ⇒ OG k DH DB 3 N M BH. đ OG k BH H Ta cú ⇒ OG k BH ⊂ (SBC), OG 6⊂ (SBC) G I (SBC). K b) Gọi N là trung điểm của SA. Ta cú MN là A D đường trung bỡnh của tam giỏc SAD. 1 Nờn MN k AD và MN = AD. O 2 B C Mà theo đề bài ta lại cú BC k AD và BC = 1 AD. 2 Vậy BC k MN và BC = MN. Vậy tứ giỏc BCMN là hỡnh bỡnh hành. đCM k BN Ta cú ⇒ CM k BN ⊂ (SAB), CM 6⊂ (SAB) (SAB). CO CI 1 c) Trong 4SAC cú = = ⇒ OI k SA. CA CS 3 đSA k OI Cú ⇒ SA k (BID). OI ⊂ (BID), SA 6⊂ (BID) d) Ta cú O và H là hai điểm chung của hai mặt phẳng (BDH) và (SAC). Vậy (SAC) ∩ (BDH) = OH. Trong (BDH), gọi K = BG ∩ OH ⇒ K = BG ∩ (SAC). KG OG 2 OG DG 2 Ta cú: 4KOG 4KHB (g-g) ⇒ = = (Vỡ = = ). v KB HB 3 BH DH 3 KB 3 Kết luận: = . KG 2 Bài 10. Cho hai hỡnh bỡnh hành ABCD và ABEF khụng cựng nằm trong một mặt phẳng. a) Gọi O và O0 lần lượt là tõm của ABCD và ABEF. Chứng minh rằng OO0 song song với (ADF) và (BCE). b) Gọi M, N lần lượt là trọng tõm của 4ABD và 4ABE. Chứng minh rằng MN k (CEF). Lời giải.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 61 F E a) Chứng minh rằng OO0 song song với O0 (ADF) và (BCE). Ta cú OO0 k DF (OO0 là đường trung N bỡnh 4BDF). A B Mà DF ⊂ (ADF) ⇒ OO0 k (ADF). H Ta cú OO0 k CE (OO0 là đường trung M O bỡnh 4ACE). 0 Mà CE ⊂ (BCE) ⇒ OO k (BCE). D C b) Chứng minh rằng MN k (CEF). Gọi H là trung điểm của AB. HM HN Trong 4HDE ta cú = = HD HE 1 ⇒ MN k DE. 3 Mà DE ⊂ (CEFD) ≡ (CEF). Vậy MN k (CEF). Bài 11. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gọi M, N lần lượt là trọng tõm của hai tam giỏc SAB và SAD. a) Chứng minh MN k (ABCD). b) Gọi E là trung điểm của BC. Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MNE). Lời giải. S a) Chứng minh MN k (ABCD). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và AD. SM SN Theo tớnh chất trọng tõm cú = = SI SJ O N 2 Q ⇒ MN k IJ (tớnh chất Talet đảo). L 3 M IJ ABCD Mà thuộc mặt phẳng ( ), suy ra A D MN k (ABCD). J P I K b) Trong mặt phẳng đỏy, qua E kẻ đường G thẳng song song IJ cắt AC tại F, cắt CD F B C tại G. EG là giao tuyến của (MNE) và đỏy E (ABCD). Gọi K = IJ ∩ AC (IJ, AC ⊂ (ABCD)). Ta cú SK = (SIJ) ∩ (SAC), gọi L = MN ∩ SK. Suy ra FL = (MNE) ∩ (SAC), gọi O = SA ∩ FL (SA, FL ⊂ (SAC)). Vậy OM = (MNE) ∩ (SAB), ON = (MNE) ∩ (SAD). Gọi P = OM ∩ AB, Q = ON ∩ SD. Kết luận: thiết diện cần tỡm là đa giỏc OPEGQ.
62 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG Bài 12. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tõm tứ diện ABCD. a) Chứng minh rằng đường thẳng d đi qua G và một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tõm của mặt đối diện với đỉnh đấy. b) Gọi A0 là trọng tõm của tam giỏc BCD. Chứng minh rằng GA = 3GA0. Lời giải. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. A Gọi G là trung điểm của MN. Suy ra G là trọng tõm của tứ diện ABCD. a) Bước 1: Tỡm giao điểm của AG và mặt phẳng (BCD). M Chọn mặt phẳng (ABN) chứa AG và BN. Trong mặt phẳng (ABN) gọi A0 = AG ∩ BN. đ 0 A ∈ AG G Cú ⇒ A0 = AG ∩ A0 ∈ BN, BN ⊂ (BCD) B C (BCD). I 0 Bước 2: Chứng minh A là trọng tõm của tam A0 giỏc BCD. N Trong mặt phẳng (ABN) kẻ MI song song với 0 AA (Với I thuộc BN). D Xột 4ABA0 cú MI là đường trung bỡnh của tam giỏc, nờn I là trung điểm của BA0. Suy ra BI = IA0. Xột 4IMN cú GA0 là đường trung bỡnh của tam giỏc, nờn A0 là trung điểm của IN. Suy ra A0N = IA0. Ngoài ta trong tam giỏc BCD cú BN là đường 2 trung tuyến, kết hợp lại ta cú BA0 = BN. 3 Vậy A0 là trọng tõm của tam giỏc BCD. b) Vỡ MI là đường trung bỡnh của tam giỏc ABA0 1 nờn MI = AA0. 2 Vỡ GA0 là đường trung bỡnh của tam giỏc IMN 1 nờn GA0 = MI. 2 1 Từ đú ta cú GA0 = AA0 ⇔ AA0 = 4GA0. 4 Mà AA0 = AG + GA0 ⇒ AG = 3GA0. Kết luận GA = 3GA0. Bài 13. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN. a) Tỡm giao điểm A0 của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD). b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA0 và Mx cắt mặt phẳng (BCD) tại M0. Chứng minh B, M0, A0 thẳng hàng và BM0 = M0 A0 = A0N.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 63 c) Chứng minh GA = 3GA0. Lời giải. A a) Chọn (ABN) chứa AG. Hai mặt phẳng (ABN) và (BCD) cú hai điểm x chung là B và N. Suy ra giao tuyến của chỳng là BN, BN cắt AG tại A0 thỡ A0 = AG ∩ (BCD). M b) Vỡ Mx k AA0, mà AA0 ⊂ (ABN) và M ∈ (ABN) ⇒ Mx ⊂ (ABN). 0 = ∩ ⇒ 0 = ∩ G Gọi M Mx BN M Mx (BCD). B C Từ đú suy ra ba điểm B, M0, A0 thẳng hàng. 0 0 0 M Cú MM là đường trung bỡnh của 4BAA ⇒ A0 0 0 0 BM = M A (1). N Và GA0 là đường trung bỡnh của 4NMM0 ⇒ 0 0 0 M A = A N (2). D Từ (1) và (2) suy ra BM0 = M0 A0 = A0N. c) Từ chứng minh cõu b) cú: 1 1 GA0 = MM0 và MM0 = AA0 ⇒ GA0 = 2 2 1 AA0 ⇒ AG = 3GA0. 4 DẠNG 2.2. Thiết diện của hỡnh chúp bị cắt bởi mặt phẳng (α) và song song với một đường thẳng cho trước. Tớnh diện tớch thiết diện Dạng toỏn này cỏc bạn phải nhớ kĩ tớnh chất: đ M ∈ (α) ∩ (P) ⇒ (α) ∩ (P) = Mx(Mx k d). (α) k d, d ⊂ (P) Bài 14. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang cú AD đỏy lớn. Gọi M trung điểm của CD, (α) là mặt phẳng qua M và song song với SA và BC. a) Hóy xỏc định thiết diện của hỡnh chúp S.ABCD với mặt phẳng (α). b) Tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (SAC). Chứng minh giao tuyến vừa tỡm được song song với mặt phẳng (SAD). Lời giải. a)
64 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp S.ABCD với mặt S phẳng (α). M là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (ABCD), cú (α) k BC nờn giao tuyến của chỳng qua M và song song với BC, giao tuyến này cắt AB tại E. F G E là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (SAB), cú (α) k SA nờn giao tuyến của chỳng qua E và song A D song với SA, giao tuyến này cắt SB tại F. F là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (SBC), cú E H M (α) k BC nờn giao tuyến của chỳng qua F và song song với BC, giao tuyến này cắt SC tại G. B C Kết luận mặt phẳng (α) cắt hỡnh chúp S.ABCD theo một thiết diện là hỡnh thang MEFG, vỡ cú ME và FG cựng song song với BC. b) Gọi H là giao điểm của ME và AC, ta cú H và G là hai điểm chung của hai mặt phẳng (α) và mặt phẳng (SAC). Vậy (α) ∩ (SAC) = HG. Vỡ (α) k SA nờn giao tuyến HG k SA, mà SA thuộc mặt phẳng (SAD) nờn giao tuyến HG k (SAD). Bài 15. Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M là một điểm thuộc miền trong của tam giỏc BCD. Gọi (α) là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD. Hóy xỏc định thiết diện của mặt phẳng (α) với tứ diện ABCD. Thiết diện là hỡnh gỡ? Lời giải. M là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (BCD), cú (α) k A BD nờn giao tuyến của chỳng qua M và song song với BD, giao tuyến này cắt BC tại E và cắt CD tại F. E là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (ABC), cú (α) k AC nờn giao tuyến của chỳng qua E và song song với AC, H G giao tuyến này cắt AB tại H. H α ABD α k là điểm chung của hai mặt phẳng ( ) và ( ), cú ( ) B D BD nờn giao tuyến của chỳng qua H và song song với BD, giao tuyến này cắt AD tại G. G và F là hai điểm chung của E M F hai mặt phẳng (α) và mặt phẳng (ACD). Vậy giao tuyến của chỳng là FG. C Vỡ mặt phẳng (α) k AC, nờn giao tuyến FG k AC. Kết luận: thiết diện cần tỡm là hỡnh bỡnh hành EFGH, vỡ cú EF k HG k BD và HE k FG k AC. Bài 16. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Lấy một điểm M di động trờn cạnh SC. Gọi (α) là mặt phẳng chứa AM và song song với BD. a) Chứng minh rằng mặt phẳng (α) luụn đi qua một đường thẳng cố định khi M thay đổi. b) Mặt phẳng (α) cắt SB và SD tại E và F. Hóy nờu cỏch dựng E và F. c) Gọi I là giao điểm của ME và CB, J là giao điểm của MF và CD. Chứng minh ba điểm I, J, A thẳng hàng. Lời giải.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 65 S M F J E G D A O I B C a) A là một điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (ABCD), cú (α) k BD, nờn giao tuyến của chỳng qua A và song song với BD. Vậy (α) ∩ (ABCD) = Ax (Ax k BD). Vỡ Ax là đường thẳng cố định khi M thay đổi. Kết luận: mp(α) luụn đi qua đường cố định Ax. b) Gọi O = AC ∩ BD. Ta cú: SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Gọi G = AM ∩ SO (AM, SO ⊂ (SAC)). Ta cú: G là điểm chung của mặt phẳng (α) và mặt phẳng (SBD), cú (α) k BD nờn giao tuyến của chỳng qua G và song song với BD, giao tuyến này cắt SB và SD lần lượt tại E và F. c) I và F là hai điểm chung của mặt phẳng (α) và mặt phẳng đỏy (ABCD), nờn I và F phải thuộc giao tuyến Ax của hai mặt phẳng. Vậy ba điểm I, J, A thẳng hàng. Bài 17. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD và điểm S khụng nằm trong mặt phẳng chứa ABCD. a) Tỡm giao tuyến của cỏc cặp mặt phẳng sau (SAC) và (SBD), (SAB) và (SCD). b) Một mặt phẳng (α) qua BC, cắt SA tại M và cắt SD tại N. Chứng minh MN k BC. c) Chứng tỏ giao điểm của BN và CM luụn luụn ở trờn một đường thẳng cố định khi M di động trờn SA. AK 1 d) Gọi G là trọng tõm tam giỏc SAB, K là điểm trờn cạnh AC sao cho = . Chứng AC 3 minh GK song song với mặt phẳng (SCD). Lời giải.
66 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG S a) Ta cú S ∈ (SAC) ∩ (SBD) (1). Gọi O = AC ∩ BD ⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD) (2). Từ (1) và (2) suy ra: (SAC) ∩ (SBD) = SO. M N  S ∈ (SAC) ∩ (SBD) E  x Ta cú: AB k CD ⇒ (SAB) ∩ G I  ⊂ ⊂ AB (SAB), CD (SCD) D (SCD) = Sx(Sx k AB k CD). A F  K (α) ∩ (SAD) = MN  O b) Vỡ BC k AD ⇒ MN k AD k B C BC ⊂ (α), AD ⊂ (SAD) BC. c) Gọi I = BN ∩ CM(BN, CM ⊂ (α)). đ I ∈ BN, BN ⊂ (SBD) Vỡ ⇒ I ∈ (SAC) ∩ I ∈ CM, CM ⊂ (SAC)) (SBD). Suy ra I thuộc giao tuyến SO cố định của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). d) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SA và AD. Vỡ K chia đoạn AC thành ba phần bằng nhau và AK chiếm 1 phần, từ đú ta cú K là trọng tõm của tam giỏc ABD. BG BK 2 Theo tớnh chất trọng tõm cú: = = . Ngoài ra GK ( (SCD) nờn GK k EF (3). BE BF 3 Mà EF là đường trung bỡnh của tam giỏc ADS ⇒ EF k SD (4). Từ (3) và (4) cú GK k SD ⊂ (SCD) ⇒ GK k (SCD). Bài 18. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD. a) Tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (ACD). b) Một mặt phẳng (P) qua CD và cắt AM, AN lần lượt tại F và E. Tứ giỏc CDEF là hỡnh gỡ? c) CF và DE cắt nhau tại K. Chứng tỏ A, B, K thẳng hàng. d) Chứng tỏ giao điểm I của CE và DF luụn nằm trờn một đường thẳng cố định khi (P) thay đổi. Lời giải.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 67  A A ∈ (AMN) ∩ (ACD)  a) MN k CD .  x MN ⊂ (AMN), CD ⊂ (ACD) K ⇒ (AMN) ∩ (ACD) = Ax (Ax k MN k CD) E  (P) ∩ (AMN) = EF F I  b) MN k CD ⇒ EF k MN k CD.  B D MN ⊂ (AMN), CD ⊂ (P) N Vỡ CD k MN suy ra CDEF là hỡnh thang. O M c) Ta cú AB là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (ABD). C đ K ∈ CF, CF ⊂ (ABC) Vỡ K = CF ∩ DE, mà ⇒ K ∈ K ∈ DE, DE ⊂ (ABD) (ABC) ∩ (ABD). Vỡ K là điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) nờn K thuộc giao tuyến. Vậy ba điểm A, B, K thẳng hàng. d) Trong mặt phẳng (BCD) gọi O là giao tuyến của CN và DM. Ta cú A và O là hai điểm chung của hai mặt phẳng (ANC) và (AMD), nờn giao tuyến của chỳng là AO. Gọi I là giao điểm của CE và DF. đ I ∈ CE, CE ⊂ (ANC) Ta cú: ⇒ I ∈ (ANC) ∩ (AMD). I ∈ FE, DF ⊂ (AMD) Suy ra I thuộc giao tuyến AO của hai mặt phẳng. Vỡ hai điểm A và O cố định nờn điểm I thuộc đoạn AO cố định. Bài 19. Cho hỡnh chúp S.ABCD. M, N là hai điểm trờn AB, CD. Mặt phẳng (α) qua MN và song song với SA. a) Tỡm cỏc giao tuyến của (α) với (SAB) và (SAC). b) Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp với (α). c) Tỡm điều kiện của MN để thiết diện là hỡnh thang. Lời giải.
68 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG S a) Tỡm cỏc giao tuyến của (α) với (SAB): đ M ∈ (α) ∩ (SAB) Ta cú: (α) k SA, SA ⊂ (SAB) ⇒ (α) ∩ (SAB) = MP (với MP k SA, P ∈ SB). P Tỡm cỏc giao tuyến của (α) với (SAC): Gọi R = MN ∩ AC (MN, AC ⊂ (ABCD)). Q đ A D R ∈ (α) ∩ (SAC) Ta cú: ⇒ (α) ∩ (SAC) = RQ (với (α) k SA, SA ⊂ (SAC) M N R RQ k SA, Q ∈ SC). C b) Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp với (α). B Theo cõu a) thiết diện là tứ giỏc MPQN. c) Tỡm điều kiện của MN để thiết diện là hỡnh thang: ủ MP k QN (1) Ta cú: MPQN là hỡnh thang ⇒ MN k PQ. (2) Xột (1), ta cú MP k QR, mà QR khụng song song QN nờn (1) vụ lớ. đSA k QN Do đú: ⇒ SA k (SCD) (vụ lớ). QN ⊂ (SCD) đ BC = (ABCD) ∩ (SBC) Xột (2), ta cú ⇒ MN k MN ⊂ (ABCD), PQ ⊂ (SBC) BC. đ PQ = (α) ∩ (SBC) Ngược lại, nếu MN k BC thỡ ⇒ MB ⊂ (α), BC ⊂ (SBC) MN k PQ. Vậy để thiết diện là hỡnh thang thỡ MN k BC. Bài 20. Cho tứ diện ABCD. Trờn cạnh AD lấy trung điểm M, trờn cạnh BC lấy điểm N bất kỳ. Gọi (α) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD. a) Hóy xỏc định thiết diện của mặt phẳng (α) với tứ diện ABCD. b) Hóy xỏc định vị trớ của N trờn BC sao cho thiết diện là hỡnh bỡnh hành. Lời giải.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 69 A a) Xỏc định thiết diện của mặt phẳng (α) với tứ diện ABCD.  (α) k CD  Ta cú: CD ⊂ (ACD) ⇒ (α) ∩ (ACD) = M M ∈ (α) ∩ (ACD) P MP (MP k CD, P ∈ AC) (1).  (α) k CD  B D Ta cú: CD ⊂ (BCD) ⇒ (α) ∩ (BCD) = NQ (NQ k Q  N ∈ (α) ∩ (BCD) N CD, Q ∈ BD) (2). Và (α) ∩ (ABD) = MQ (3); (α) ∩ (ABC) = PN (4). C Từ (1) và (2), ta được: MP k NQ. Vậy thiết diện là hỡnh thang MPNQ. b) Xỏc định vị trớ của N trờn BC sao cho thiết diện là hỡnh bỡnh hành. 1 Ta cú: MP k NQ; MP = CD (MP là đường trung 2 bỡnh 4ACD). đMP k NQ MNPQ là hỡnh bỡnh hành ⇔ ⇔ MP = NQ  MP k NQ 1 MP = NQ = CD. 2 Do đú N là trung điểm BC. Vậy N là trung điểm BC thỡ MNPQ là hỡnh thang. Bài 21. Cho hỡnh thang ABCD cú đỏy lớn AB và S là một điểm ở ngoài mặt phẳng của hỡnh thang. Gọi M là một điểm trờn CD, (α) là mặt phẳng qua M và song song với SA và BC. a) Hóy tỡm thiết diện của mặt phẳng (α) với hỡnh chúp S.ABCD. Thiết diện là hỡnh gỡ? b) Tỡm giao tuyến của (α) với mặt phẳng (SAD). Lời giải. S a) Tỡm thiết diện của mặt phẳng (α) với hỡnh chúp S.ABCD.đ (α) k BC, BC ⊂ (ABCD) Ta cú: ⇒ (α) ∩ M ∈ (α) ∩ (ABCD) (ABCD) = MN (với MN k BC và N ∈ AB) P t (1). đ (α) k SA, SA ⊂ (SAB) N Q Ta cú: ⇒ (α) ∩ (SAB) = A B N ∈ (α) ∩ (SAB) NP (với NP k SA và P ∈ SB). M đ (α) k BC, BC ⊂ (SBC) D C Cú: ⇒ (α) ∩ (SBC) = P ∈ (α) ∩ (SBC) I PQ (với PQ k BC và Q ∈ SC) (2). Từ (1) và (2), ta được MN k PQ. Vậy thiết diện là hỡnh thang MNPQ.
70 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG b) Tỡm giao tuyến của (α) với mặt phẳng (SAD). Trong (ABCD), gọi I = AD ∩ MN ⇒ I là điểm chung của (α) và (SAD). đ (α) k SA, SA ⊂ (SAD) Ta cú: ⇒ (α) ∩ (SAD) = It (với It k SA). I ∈ (α) ∩ (SAD) Bài 22. Trong mặt phẳng (α) cho tam giỏc ABC vuụng tại A, ’ABC = 60◦, AB = a. Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài mặt phẳng (α) sao cho SB = a và SB ⊥ OA. Gọi M là một điểm trờn cạnh AB. Mặt phẳng β qua M song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = BM (0 < x < a). 1. Chứng minh MNPQ là hỡnh thang vuụng. 2. Tớnh diện tớch của hỡnh thang theo a và x. Tớnh x để diện tớch này lớn nhất. Lời giải. 1. Chứng minh MNPQ là hỡnh thang vuụng. đ β k OA, OA ⊂ (ABC) Cú ⇒ MN k S MN = β ∩ (ABC) OA (1) đ β k SB, SB ⊂ (SAB) Và ⇒ MQ k MQ = β ∩ (SAB) P SB (2) đ β k SB, SB ⊂ (SBC) Ta cú ⇒ NP k NP = β ∩ (SBC) SB (3) Từ (2) và (3) suy ra MQ k NP k SB (4) Q suy ra MNPQ là hỡnh thang. O  B C OA ⊥ SB N  M Từ (1) và (4) ta cú MN k OA ⇒ A MQ k NP k SB. đMN ⊥ MQ MN ⊥ NP. Vậy MNPQ là hỡnh thang vuụng, đường cao MN. 2. Tớnh diện tớch của hỡnh thang theo a và x. 1 Ta cú S = (MQ + NP) MN. MNPQ 2 Tớnh MN: AB AB 1 Xột tam giỏc ABC, ta cú: cos B = ⇒ BC = ⇒ BC = 2a ⇒ BO = BC = a. BC cos B 2 Do Bb = 60◦ và BA = BO nờn 4ABO đều. MN BM BN Trong 4ABO cú MN k AO ⇒ = = ⇒ MN = MB = BN = x. AO AB BO MQ AM SB Tớnh MQ : Xột 4SAB, ta cú MQ k SB nờn = ⇒ MQ = AM ã = SB AB AB a (a − x) ã = a − x. a NP CN SB Tớnh NP : Xột 4SBC, ta cú NP k SB nờn = ⇒ NP = CN ã = (2a − x) ã SB CB CB
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 71 a 2a − x = . 2a 2 x (4a − 3x) 1 Do đú S = = ã 3x ã (4a − 3x). MNPQ 4 12 Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho 2 số dương 3x và (4a − 3x) ta cú Å3x + 4a − 3xó2 a2 3x (4a − 3x) ≤ ⇔ 3x (4a − 3x) ≤ 4a2 ⇔ S ≤ . 2 MNPQ 3 2a Đẳng thức xảy ra khi 3x = 4a − 3x ⇔ x = . 3 2a Kết luận khi x = thỡ S đạt giỏ trị lớn nhất. 3 MNPQ Bài 23. Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a, tõm O. Gọi S là một điểm ngoài ở mặt phẳng (ABCD) sao cho SB = SD. Gọi M là một điểm tựy ý trờn AO với AM = x. Mặt phẳng (α) qua M song song với SA và BD cắt SO, SB, AB tại N, P, Q. 1. Tứ giỏc MNPQ là hỡnh gỡ? 2. Cho SA = a. Tớnh diện tớch MNPQ theo a và x. Tỡm x để diện tớch lớn nhất. Lời giải. 1. Tứ giỏc MNPQ là hỡnh gỡ? S SB = SD ⇒ ∆SBC = ∆SDC (c.c.c) ⇒ SCB‘ = ’SCD. Gọi I là trung điểm SC thỡ ∆IBC = ∆IDC c.g.c ⇒ IB = ID. Vậy ∆IBD N cõn tại I ⇒ IO ⊥ BD, mà P I OI k SA ⇒ SA ⊥ BD(∗) A D  (α) k BD  Q M Ta cú BD ⊂ (ABO) ⇒ MQ k O B C  (α) ∩ (ABO) = MQ BD (1)  (α) k BD  Tương tự: BD ⊂ (SBO) ⇒ NP k  (α) ∩ (SBO) = NP BD (2) Từ (1) và (2), suy ra MQ k NP k BD. (3)  (α) k SA  Ta cú: SA ⊂ (SAO) ⇒ MN k SA (4)  (α) ∩ (SAO) = MN  (α) k SA  Tương tự: SA ⊂ (SAB) ⇒ PQ k SA (5)  (α) ∩ (SAB) = PQ Từ (4) và (5), suy ra MN k PQ k SA (6) Từ (3), (6) và (*) suy ra MNPQ là hỡnh chữ nhật.
72 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG 2. Tớnh diện tớch MNPQ theo a và x: Ta cú: SMNPQ = MQ ã MN. Tớnh MQ : Xột tam giỏc AQM. Ta cú A = 45◦, Q = 45◦, M = 90◦ ⇒ ∆AQM cõn tại M. Vậy MQ = AM = x. Tớnh MQ. Xột ∆SAO, ta cú √ a 2 MN OM OM − x √ MN k SA ⇒ = ⇒ MN = AS ã = a 2 √ = a − x 2 AS OA OA a 2 2 Ä √ ọ 1 √ Ä √ ọ ⇒ SMNPQ = MQ ã MN = x ã a − x 2 = √ x 2 ã a − x 2 . 2 √ Ä √ ọ Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho hai số dương x 2 và a − x 2 : ầ √ √ ồ2 √ Ä √ ọ x 2 + a − x 2 √ Ä √ ọ a2 a2 x 2 a − x 2 ≤ ⇔ x 2 a − x 2 ≤ ⇔ SMNPQ ≤ √ . 2 4 4 2 Đẳng thức xảy ra khi √ √ √ a a 2 x 2 = a − x 2 ⇔ x = √ = ⇔ M là trung điểm của AO. 2 2 4 √ a 2 Vậy: x = thỡ S đạt giỏ trị lớn nhất. 4 MNPQ Bài 24. Cho hỡnh chúp SABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a. Trờn cạnh AB lấy một điểm M với AM = x. Gọi (α) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAD) cắt SB, SC, và CD lần lượt tại N, P, Q. 1. Tỡm thiết diện của (α) với mặt phẳng hỡnh chúp. Thiết diện là hỡnh gỡ? 2. Tỡm quĩ tớch giao điểm I của MN và PQ khi M di động trờn đoạn AB. 3. Cho SAD’ = 90◦ và SA = a. Tớnh diện tớch của thiết diện theo a và x. Tỡm x để 3a2 diện tớch thiết diện bằng . 8 Lời giải. 1. Tỡm thiết diện của (α) với mặt phẳng hỡnh chúp: Vỡ mp (α) k (SAD) suy ra mp (α) song song với mọi đường thuộc mặt phẳng (SAD).
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 73 • Tỡm giao tuyến của mặt phẳng (α) S I S0 và mặt phẳng (ABCD). Cú M là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (ABCD), vỡ mp (α) k AD nờn giao tuyến của chỳng qua M và song song với AD, giao N tuyến này cắt CD tại điểm Q. Tương tự: P • Mặt phẳng (α) và mặt phẳng A B (SAB) cú M là điểm chung và M (α) k SA nờn giao tuyến của chỳng là MN với MN k SA và N ∈ SB. (1) D C Q • Mặt phẳng (α) và mặt phẳng (SBC) cú N là điểm chung và (α) k AD k BC nờn giao tuyến của chỳng là NP với NP k BC và P ∈ SC. (2) • Mặt phẳng (α) và mặt phẳng (SCD) cú 2 điểm chung là P, Q. Vậy giao tuyến của chỳng là PQ. Suy ra thiết diện cần tỡm là MNPQ. Từ (1) và (2) thỡ MQ k PN. Vậy MNPQ là hỡnh thang. 2. Tỡm quĩ tớch giao điểm I của MN và PQ khi M di động trờn đoạn AB.  AB k DC  Ta cú: AB ⊂ (SAB) , DC ⊂ (SCD) ⇒ (SAB) ∩ (SCD) = Sx Sx k AB k CD S ∈ (SAB) ∩ (SCD) đ I ∈ PQ ⊂ (SCD) Mà ⇒ I ∈ (SAB) ∩ (SCD). Vậy I ∈ Sx. I ∈ MN ⊂ (SAB) Giới hạn quĩ tớch: Khi M ≡ A thỡ I ≡ S. Cũn khi M ≡ B thỡ I ≡ S0. 3. Tớnh diện tớch của thiết diện theo a và x. Ta cú: SMNPQ = S4IMQ − S4INP = S4SAD − S4INP Vỡ 4IMQ = 4SAD c ã g ã c . 1 2 Tớnh S4 . Ta cú 4SAD vuụng cõn tại A, do đú S = a . SAD SAD 2 Tớnh S4INP: Xột tam giỏc SBC, tam giỏc SBS0 và tam giỏc SAB. cú: NI SN NI k S0B ⇒ = (1) S0B SB PN SN PN k BC ⇒ = (2) BC SB AM SN MN k SA ⇒ = (3) AB SB NI PN AM Từ (1), (2) và (3), ta được = = ⇒ NI = PN = AM = x. S0B BC AB ⇒ 4INP vuụng cõn tại N, vỡ NI k SA, PN k AD và SA ⊥ AD. 1 2 Do đú S4 = x . INP 2 1 1 1 Vậy diện tớch thiết diện S = a2 − x2 = a2 − x2. MNPQ 2 2 2
74 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG 3a2 1 3a2 3a2 a2 a Để S = thỡ a2 − x2 = ⇔ x2 = a2 − ⇔ x2 = ⇔ x = . MNPQ 8 2 8 4 4 2 Bài 25. Cho tứ diện ABCD cú AB = AC = CD = a và AB vuụng gúc với CD. Lấy M thuộc đoạn AC với AM = x (0 < x < a). Mặt phẳng (α) qua M và song song với AB, CD cắt BC, BD, AD lần lượt tại N, P, Q. 1. Chứng minh MNPQ là hỡnh chữ nhật. 2. Tớnh diện tớch MNPQ theo a và x. 3. Tớnh x để diện tớch MNPQ lớn nhất. Tớnh giỏ trị lớn nhất đú. 4. Định x để MNPQ là hỡnh vuụng. Lời giải. 1. đ MN = (α) ∩ (ABC) Ta cú: ⇒ MN k AB. A (α) k AB đ MQ = (α) ∩ (ACD) Ta cú: ⇒ MQ k CD. (α) k CD đ Q NP = (α) ∩ (BCD) Ta cú: ⇒ NP k CD. M (α) k CD đ PQ = (α) ∩ (ABD) Ta cú: ⇒ PQ k AB. (α) k AB B D Tứ giỏc MNPQ cú hai cặp cạnh đối song song P với nhau nờn MNPQ là hỡnh bỡnh hành. N đ AB k MN, CD k NP Vỡ ⇒ MN ⊥ NP. C AB ⊥ CD Vậy MNPQ là hỡnh chữ nhật. AM MQ 2. Trong 4ACD cú MQ k CD ⇒ = ⇒ MQ = x. AC CD Trong 4ABC cú MN k AB. CM MN CM a − x Suy ra = ⇒ MN = ã AB = ã a = a − x. CA AB CA a SMNPQ = MN ã MQ = (a − x) ã x. a 3. Ta cú (a − x) + x = a = (hằng số). Nờn để diện tớch này lớn nhất khi a − x = x ⇔ x = . 2 a 4. Để MNPQ là hỡnh vuụng thỡ MN = MQ ⇔ a − x = x ⇔ x = . 2 Bài 26. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh hỡnh hành với AB = a, AD = 2a. Mặt bờn SAB là tam giỏc vuụng cõn tại A. Trờn cạnh AD lấy điểm M với AM = x (0 < x < 2a), mặt phẳng (α) qua M song song với SA và CD cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. a) Chứng minh rằng MNPQ là hỡnh thang vuụng. b) Tớnh diện tớch hỡnh thang MNPQ theo a và x.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 75 c) Tỡm tập hợp giao điểm I của MQ và NP khi M chạy từ A đến D. Lời giải. S I t K Q a P M A x D a B N 2a C a) Vỡ mặt phẳng (α) k AB nờn (α) cắt mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến MN k AB k CD. Mặt phẳng (α) k SA nờn (α) cắt mặt phẳng (SAD) theo giao tuyến MQ k SA. Mặt phẳng (α) k CD nờn (α) cắt mặt phẳng (SCD) theo giao tuyến QP k CD. Suy ra thiết diện mặt phẳng (α) cắt hỡnh chúp S.ABCD là hỡnh thang MNPQ (1). Mặt khỏc AB ⊥ AS, MN k AB và MQ k SA nờn MN ⊥ MQ (2). Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hỡnh thang vuụng. b) Trong mặt phẳng (SAD) cú MQ k AS suy ra DM DQ MQ 2a − x 2a − x 2a − x = = = ⇒ MQ = ã a = . DA DS AS 2a 2a 2 Trong mặt phẳng (SCD) cú PQ k CD suy ra PQ SQ SD − DQ DQ 2a − x x x = = = 1 − = 1 − = ⇒ PQ = . CD SD SD SD 2a 2a 2 Vỡ MN k AB, mà ABCD là hỡnh bỡnh hành nờn MN = AB = a. Diện tớch hỡnh thang vuụng MNPQ x 2a − x (MN + PQ)MQ a + ã (2a + x)(2a − x) 4a2 − x2 S = = 2 2 = = . MNPQ 2 2 8 8 c) Ta cú (SBC) ∩ (SAD) = St (với St k AD k BC). Vỡ I = MQ ∩ NP, mà đ I ∈ MQ ⊂ (SAD) ⇒ I ∈ (SAD) ∩ (SBC). I ∈ NP ⊂ (SBC) Từ đú suy ra I thuộc giao tuyến St cố định. Mặt khỏc, nếu M ≡ A thỡ I ≡ S, nếu M ≡ D thỡ I ≡ K (với DK k SA). Vậy khi M chạy trờn đoạn AD thỡ giao điểm I chạy trờn đoạn SK.
76 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG Bài 27. Cho tứ diện ABCD cú AB = a, CD = b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Giả sử AB ⊥ CD, mặt phẳng (α) qua M nằm trờn đoạn I, J và song song với AB và CD. a) Tỡm giao tuyến của (α) với (ICD) và (JAB). b) Xỏc định thiết diện của ABCD và mặt phẳng (α). Chứng minh thiết diện là hỡnh chữ nhật. 1 c) Tớnh diện tớch thiết diện của hỡnh chữ nhật biết IM = IJ. 3 Lời giải. A P G I F N M L B D H E Q J C a) Tỡm giao tuyến của (α) với (ICD): đ (α) k CD, CD ⊂ (ICD) Ta cú suy ra giao tuyến của (α) và (ICD) là đường thẳng qua M ∈ (α) ∩ (ICD) đ (α) k AB, AB ⊂ (JAB) M và song song với CD cắt IC tại L và ID tại N. Tương tự suy M ∈ (α) ∩ (JAB) ra giao tuyến của (α) và (JAB) là đường thẳng qua M và song song với AB cắt JA tại P và JB tại Q. b) Xỏc định thiết diện của ABCD và mặt phẳng (α): đ (α) k AB, AB ⊂ (ABC) Ta cú ⇒ (α) ∩ (ABC) = EF (1). Với EF đi qua L và EF k AB, L ∈ (α) ∩ (ABC) E ∈ BC, F ∈ AC. đ (α) k AB, AB ⊂ (ABD) Ta cú ⇒ (α) ∩ (ABD) = HG (2). Với N ∈ HG và HG k AB, N ∈ (α) ∩ (ABD) H ∈ BD, G ∈ AD. Từ (1) và (2) suy ra EF k HG k AB (3). Mặt khỏc đ đ (α) k CD, CD ⊂ (ACD) (α) k CD, CD ⊂ (BCD) ⇒ FG k CD (4); ⇒ EH k CD (5) FG = (α) ∩ (ACD) EH = (α) ∩ (BCD) Từ (4) và (5) suy ra FG k EH k CD (6). Từ (3) và (6) suy ra EFGH là hỡnh bỡnh hành mà AB ⊥ CD (∗). Từ (3), (6) và (∗) suy ra EFGH là hỡnh chữ nhật.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 77 1 c) Tớnh diện tớch thiết diện của hỡnh chữ nhật biết IM = IJ: 3 Ta cú SEFGH = EF ã FG = PQ ã LN. LN IN Xột tam giỏc ICD, ta cú LN k CD ⇒ = (7). Xột tam giỏc IJD ta cú MN k CD ID IN IM JD ⇒ = (8). ID IJ LN IM 1 CD b PQ JM 2 Từ (7) và (8) suy ra = = ⇒ LN = = . Tương tự = = ⇒ CD IJ 3 3 3 AB JI 3 2 2 PQ = AB = a. 3 3 2ab Suy ra S = . EFGH 9 Bài 28. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gọi M là trung điểm của SC, (P) là mặt phẳng qua AM và song song với BD. a) Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp khi cắt bởi mặt phẳng (P). b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của (P) với cỏc cạnh SB và SD. Tỡm tỉ số diện tớch của tam giỏc SME với tam giỏc SBC và tỉ số diện tớch của tam giỏc SMF và tam giỏc SCD. c) Gọi K là giao điểm của ME và CB, J là giao điểm của MF và CD. Chứng minh EF rằng 3 điểm K, A, J nằm trờn một đường thẳng song song với EF và tỡm tỉ số . KJ Lời giải. S M F I D E J C O B A K a) Gọi O = AC ∩ BD ⇒ (SAC) ∩ (SBD) = SO. Gọi I = AM ∩ SO (AM, SO ⊂ (SAC) ⇒
78 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG I ∈ (SBD)). Ta cú  I ∈ (P) ∩ (SBD)  BD k (P) ⇒ (SBD) ∩ (P) = Ix (Ix k BD). BD ⊂ (SBD) Gọi E = Ix ∩ SB, F = Ix ∩ SD. Suy ra E, F là giao điểm của SB, SD với mặt phẳng (P). Vậy thiết diện cần tỡm là tứ giỏc AEMF. SI 2 b) Dễ thấy I là trọng tõm của tam giỏc SAC nờn = . SO 3 SE SF SI 2 Xột tam giỏc SBD cú EF song song với BD ta cú = = = . Suy ra SB SD SO 3 1 S SM ã SE ã sin BSC‘ SE SM 1 SME = 2 = ã = S 1 SB SC 3 SBC SC ã SB ã sin BSC‘ 2 1 S SM ã SF ã sin ’DSC SF SM 1 SMF = 2 = ã = . S 1 SD SC 3 SCD SC ã SD ã sin ’DSC 2 c) Ta cú K = EM ∩ BC ⇒ K ∈ (P) ∩ (ABCD) (1) J = FM ∩ CD ⇒ J ∈ (P) ∩ (ABCD) (2) A ∈ (P) ∩ (ABCD) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm K, J, A thuộc giao tuyến (∆) của mặt phẳng (P) và (ABCD). Ta lại cú đ (P) ∩ (ABCD) = (∆) ⇒ (∆) k BD. BD k (P) Xột tam giỏc MJK cú EF k JK (vỡ JK k BD, EF k BD) suy ra ME MF MI EF 1 = = = = . MK MJ MA JK 3 Bài 29. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú G là trọng tõm tam giỏc ABC. Gọi M, N, P, Q, R, H lần lượt là trung điểm của SA, SC, CB, BA, QN, AG. a) Chứng minh rằng: S, R, G thẳng hàng và SG = 2MH = 4RG. b) Gọi G0 là trọng tõm tam giỏc SBC. Chứng minh rằng: GG0 k (SAB) và GG0 k (SAC). c) Mặt phẳng (α) qua GG0 và song song với BC. Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp tạo bởi mặt phẳng (α). Lời giải.