Tài liệu ôn tập Đại số Lớp 9: Căn bậc hai - Căn bậc ba - Vũ Thanh Trọng

Nội dung text: Tài liệu ôn tập Đại số Lớp 9: Căn bậc hai - Căn bậc ba - Vũ Thanh Trọng

1. THCS Lê Quý Đôn GV:Vũ Thanh Trọng CĂN BẬC HAI-CĂN BẬC BA A.LÝ THUYẾT I.CĂN BẬC HAI-ĐỊNH NGHĨA VÀ KÍ HIỆU 1.Căn bậc hai số học của một số a 0 là một số không âm x có bình phương bằng a.Kí hiệu x= a x 0 x a 2 x2 a a 2.Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0 3.Với hai số a;b không âm ta có a p b a p b II.CĂN THỨC BẬC HAI-ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI-HẰNG ĐẲNG THỨC A2 A 1.Điều kiện để A tồn tại là A 0 2 AneuA 0 2. A A AneuA p 0 III.KHAI PHƯƠNG MỘT TÍCH-NHÂN CÁC CĂN THỨC BẬC HAI 1.Quy tắc khai phương một tích: Nếu A 0; B 0 thì A.B A. B 2.Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: : Nếu A 0; B 0 thì A. B A.B IV. KHAI PHƯƠNG MỘT THƯƠNG-CHIA CÁC CĂN THỨC BẬC HAI A A 1.Quy tắc khai phương một thương: Nếu A 0; B f 0 thì B B A A 2.Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: : Nếu A 0; B f 0 thì B B VI.BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI 1.Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn: A2 B A . B Với B 0 2. Đưa một thừa số vào trong dấu căn: Với A 0; B 0 ta có A B A2 B Với A p 0; B 0 ta có A B A2 B A AB 3.Khử mẫu biểu thức lấy căn: Với AB 0 và B 0 B B 4.Trục căn thức ở mẫu: A A B a.Với Bf 0 ta có m B mB 1 C C m A mB b. Với A 0 ; A B2 ta có m2 m A B m2 A B2 n2 C C m A mn B c. Với A 0; B 0 ;A B ta có: m2 m A n B m2 A n2 B VII.THỰC HIỆN PHÉP TÍNH –RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI p A q A r A m p q r A m . Trong đó m,p,q,r R; A Q VIII.CĂN BẬC BA 1.Căn bậc ba của một số a là một lũy thừa bậc ba bằng a 2.Mọi số thực đều có căn bậc ba duy nhất 3.3 a f 0 a f 0 ; 3 a p 0 a p 0 ; 3 0 0
2. THCS Lê Quý Đôn GV:Vũ Thanh Trọng B.CÁC VÍ DỤ: 2x 1 x 2x x x x x x 1 x 1.Ví dụ 1::Cho biểu thức A . 1 1 x 1 x x 2 x 1 1. Rút gọn biểu thức A 1 2. Tìm x để A 7 1 Điều kiện: x 0; x ; x 1 4 Đặt x a;a 0 x a2 , ta có: 2 2a2 1 a 2a3 a2 a a a 1 a A 2 3 . 1 1 a 1 a 2a 1 a 1 2a 1 a a 1 2a 1 a a 1 1 a A . 1 1 a a 1 2 2a 1 a 1 a a 1 2a 1 a 2a 1 a a 1 1 a A 2 . 1 1 a a a 1 2a 1 1 a a a 1 1 a A .(2a 1). 1 1 a 2 2a 1 a a 1 1 1 A . Vậy: A . a 2 a 1 x x 1 1 1 1 1 A x x 1 7 x x 1 7 2 1 3 x x 1 7 (do x x 1 x 0 ) 2 4 x x 6 0 x 3 x 2 0 x 3 0 0 x 9 0 x 9 Đối chiếu với điều kiện ta được: 1 x , x 1 4 5 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2.Ví dụ 2.Tính A ; B 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 * A= 2 *Đặt
3. THCS Lê Quý Đôn GV:Vũ Thanh Trọng 2 3 2 3 1 x ; y x y 2; xy 3 2 2 3 2 2 3 11 2 B x5 y5 (x3 y3 )(x2 y2 ) x2 y2 (x y) 9 3 5 3.Ví dụ 3. Cho biểu thức A=x5-6x4+12x3-13x+2014.Tính giá trị của A khi x= 3 5 3 5 3 5 2x 3 5 3 2x 5 x2 3x 1 0 Khi x= = 2 3 5 B (x2 3x 1)(x3 3x2 2x 5) 2009 2009 4.Ví dụ 4:Cho đa thức P(x) = x3+3ax+2b;với x là biến số thực,a và b là các số thực cho trước thỏa a3+b2 0 .Tính giá trị đa thức P(x) tại x 3 a3 b2 b 3 a3 b2 b Giải Ta có: x 3 a3 b2 b 3 a3 b2 b 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 x a b b a b b 33 a b b a b b a b b a b b x3 2b 3ax x3 3ax 2b 0 Vậy giá trị đa thức P(x) tại x 3 a3 b2 b 3 a3 b2 b bằng 0 5.Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức P = x3 + y3 – 3(x + y) + 1972, biết rằng x 3 3 2 2 3 3 2 2 ; y 3 17 12 2 3 17 12 2 Giải: Ta có x3 = 6 + 3x x3 – 3x = 6; y3 = 34 + 3y y3 – 3y = 34. Do đó P = 6 + 34 + 1972 = 2012. 1 1 1 Bài 9:Chứng minh rằng: 5 2 1 10 2 2 3 50 1 1 1 Đặt S = 1 + + + + 2 3 50 1 1 1 1 Ta có S > + + + = .50 = 52 (1) 50 50 50 50 2 2 1 2 2 1 2 2 Mặt khác: 1= < ; ; ; = . 2 1 1 0 2 2 2 2 1 50 2 50 50 49 Cộng vế theo vế có: 2 2 2 S < 1 0 2 1 50 49 S < 2{(1 0) ( 2 1) ( 50 49) }= 250 =102 (2) Từ (1) và (2) 52 < S < 102 (đpcm). 6.Ví dụ 6: Giả sử a, b, c là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 2018 Chứng minh rằng A = 2018 a 2 2018 b2 2018 c2 có giá trị là số hữu tỉ. Giải:Vì ab + bc + ca = 2018 nên
4. THCS Lê Quý Đôn GV:Vũ Thanh Trọng A=(ab bc ca a 2 )(ab bc ca b 2 )(ab bc ca c 2 ) = (a b) 2 (b c) 2 (c a ) 2 = (a b)(b c)(c a) Do a, b, c là các số hữu tỉ nên (a b)(b c)(c a) có giá trị là số hữu tỉ.Vậy A có giá trị là số hữu tỉ. 7.Ví dụ 7:Cho a,b,c ,d là các số thực thoả ac=bd và ab>0.Chứng minh rằng 2 a b 2 c d a 2 d2 b2 c2 Giải: 2 a b 2 c d a 2 d2 b2 c2 a b 2 c d 2 a 2 b2 c2 d2 2 a 2 d2 b2 c2 ab cd a 2 d2 b2 c2 (1) Vì ac=bd nên (ac-bd)2=0 2abcd a2c2 b2d 2 a2b2 c2d 2 2abcd a2b2 c2d a2c2 b2d 2 ab cd 2 (a2 d 2 )(b2 c2 ) ab cd (a2 d 2 )(b2 c2 ) (2) Mặt khác ac=bd nên abcd=(bd)2 0 ,mà ab>0 suy ra cd 0 suy ra ab+cd>0 suy ra ab cd ab cd (3) Từ (1) (2) (3) suy ra điều phải chứng minh n n 1 1 5 1 5 8.Ví dụ 8:Với mỗi số nguyên dương n cho u n 5 2 2 a)Tính u2; u3 b) Chứng minh u2017+u2018=u2019 Giải:a) u2=1;u3=2 b) 2013 2013 2014 2014 1 1 5 1 5 1 1 5 1 5 u u 2013 2014 5 2 2 5 2 2 2013 2013 2013 2 2013 2 1 1 5 3 5 1 1 5 3 5 1 1 5 1 5 1 5 1 5 . . 5 2 2 5 2 2 5 2 2 2 2 2015 2015 1 1 5 1 5 u 5 2 2 2015 1 a b 2 x2 1 9.Ví dụ 9:Cho x ,trong đó a>0;b>0.Tính giá trị biểu thức A= 2 2 b a x x 1
5. THCS Lê Quý Đôn GV:Vũ Thanh Trọng 2 a b 2 2 2 1 a b a b 2 ab 2 a b Giải: Ta có x 1 1 A 4 b a 4ab a b 2 a b a b a b 2 ab 2 ab a b b a Nếu a b A ; Nếu a b A b b 2 4 x2 2 x 3 2 x 3 10.Ví dụ 10:Rút gọn biểu thức A ; 2 x 2 4 4 x2 Giải: Đặt a 2 x;b 2 x(a,b 0) a2 b2 4;a2 b2 2x 2 ab(a3 b3 ) 2 ab(a b)(a2 b2 ab) A 2 ab(a b) 4 ab 4 ab A 2 4 2ab(a b) A 2 a2 b2 2x A x 2 x x 4x x 4 11.Ví dụ 11:Cho biểu thức A 2x x 14x 28 x 16 a) Rút gọn biểu thức A b)Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhân giá trị nguyên Giải: a)Để A có nghĩa trước hết x 0.Đặt t= x(x 0) Ta có 2 t3 4t 2 t 4 t 1 t 4 9t 1)(t 1)(t 4) A 2t3 14t 2 28t 16 2t3 2t 2 12t 2 28t 16 2(t 1)(t 2)(t 4) Để biểu thức A có nghĩa thì t 0,t 1,2,4 x 0, x 1,4,16 t 1 x 1 Khi đó A 2 t 2 2 x 2 t 1 1 3 b) A 2 t 2 2 2 t 2 t 2 1 t 3 x 9 Để A nguyên thì x nguyên và t 2 3 t 5 x 25 12.Ví dụ 12:Với số tự nhiên n, n 3 1 1 1 1 Đặt Sn .Chứng minh Sn 3 1 2 5 2 3 2n 1 n n 1 2 Ta có 1 n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n 1 1 1 2n 1 n n 1 2n 1 4n2 4n 1 4n2 4n 2 n 1. n 2 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Do đó Sn 1 1 2 2 2 3 n n 1 2 n 1 2 a b c 2 13.Ví dụ 13: Cho 3 số dương a,b,c thoả điều kiện 2 2 2 a b c 2
6. THCS Lê Quý Đôn GV:Vũ Thanh Trọng 1 b2 1 c2 1 a2 1 c2 1 a2 1 b2 Chứng minh rằng A= a b c 2 1 a2 1 b2 1 c2 Giải: Ta có (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=2 2(ab bc ca) 2 ab bc ca 1 Do đó A= 2 2 2 2 2 2 1 b 1 c 1 a 1 c 1 a 1 b 2 2 2 a b c a b c b a c c a b 1 a2 1 b2 1 c2 a(b c) b(c a) c(a b) 2(ab bc ca) 2 C.BÀI TẬP Bài 1: Tính giá trị biểu thức A 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3 45 27 2 45 27 2 3 2 3 2 B 9 5 3 5 8 10 7 4 3 C 5 3 2 5 3 2 3 2 3 2 3 15 4 12 10 6 3 3 1 D 6 11 E 6 1 6 2 3 6 6 2 5 5 F 2 1 3 1 6 1 5 2 2 3 G= 5 21 5 21 2 4 7 1 Bài 2: Tính giá trị biểu thức P= x3 +3x +2 với x 3 2 1 3 2 1 Bài 3:Cho hàm số f(x) = ( x3+12x -31)2014.Tính f(a) tại a 3 16 8 5 3 16 8 5 1 ab 1 ab Bài 4: Tính giá trị biểu thức M với a 4 8. 2 2 2 . 2 2 2 và a b a b 3 8 2 12 20 b 3 18 2 27 45 Bài 5: Với a,b,c,d là các số hữu tỉ thỏa mãn a+b+c+d = 0. Chứng minh x ab cd bc ad ca bd là số hữu tỉ Bài 6: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x y z xyz 4 .Tính giá trị biểu thức P x 4 y 4 z y 4 x 4 z z 4 y 4 x xyz 1 1 1 Bài 7: Cho a và b là hai số dương,c khác 0.Chứng minh : 0 a b a c b c a b c 1 1 1 Bài 8: Cho a 2 2 . Tính giá trị biểu thức X a2 a4 a 1 2 8 8 Bài 9:Chứng minh rằng số x0 2 2 3 6 3 2 3 là một nghiệm của phương trình : x4 16x2 32 0 Bài 10:Cho 3 số dương x,y,z thỏa x x y y z z 3 xyz .Tính giá trị biểu thức x y z A 1 1 1 y z x Bài 11: Chứng minh rằng với x, y, z 0; x y z
7. THCS Lê Quý Đôn GV:Vũ Thanh Trọng x y z Thì giá trị biểu thức A x y x z y x y z z x z y không phụ thuộc vào các biến x,y,z 2 1 3 2 100 99 1 Bài 12: Cho x .Chứng minh x 1 2 2 3 99 100 2 a 1 Bài 13:Cho a>0 và 4a2 a 2 2 0 .Chứng minh 2 a4 a 1 a2 x 3 2 x2 9 Bài 14: Rút gọn biểu thức A 2x 6 x2 9 2 Bài 15:Cho a,b,c là 3 số dương thỏa b c, a b c,a b a b c . 2 a a c a c Chứng min h rằng: 2 b b c b c 1 3 x x 5 x 7 x 7 Bài 16:Cho biểu thức A : 1 2x 3 x 1 2x x 1 x x 1 x x 1 a) Rút gọn A b) Tìm x để A= 2,5 c) Tìm GTLN của A x2 x 2x x 2(x 1) Bài 17:Cho biểu thức P x x 1 x x 1 2 x a) Rút gọn P b) Tìm x để biêỉ thức Q nhận giá tyrị là số nguyên P 2x x 1 2x x x x x x Bài 18:Cho A 1 . 1 x 1 x x 2 x 1 6 6 a) Tìm các giá trị của x để A 5 2 1 b) Chứng minh A với mọi x thỏa x 0; x 1, x 3 4 Bài 19:Cho M x 3 4 x 1 x 15 8 x 1 .Tìm GTNN của M với các giá trị tương ứng x 5 3x Bài 20: Cho -1 < x <1.Tìm GTNN của A 1 x2 Bài 21: Cho a;b;c là 3 số dương có tổng bằng 1.Chứng minh: a2 b2 a2 c2 b2 c2 2 Bài 22: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa : a2 b2 c2 2abc 1 Tính giá trị biểu thức: P a 1 b2 1 c2 b 1 a2 1 c2 c 1 b2 1 a2 abc ( HSG Đồng Nai 2017) Bài 23: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa ab + bc + ca = 1.Tính giá trị biểu thức: (1 b2 )(1 c2 ) (1 c2 )(1 a2 ) (1 a2 )(1 b2 ) P a b c ( HSG Đồng Nai 2018) 1 a2 1 b2 1 c2
8. THCS Lê Quý Đôn GV:Vũ Thanh Trọng