Tài liệu ôn tập học kỳ I môn Toán Lớp 12 - Chương II: Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số logarit - Năm học 2012-2013

Nội dung text: Tài liệu ôn tập học kỳ I môn Toán Lớp 12 - Chương II: Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số logarit - Năm học 2012-2013

1. Chương II. HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT I. LUỸ THỪA Dạng 1: Tính giá trị và rút gọn biểu thức Phương pháp: Sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ hoặc lũy thừa với số mũ thực Bài 1: Tính các biểu thức : 3 2 4 3 2 1 1 a) A 3 3 b) B 109 81 5 4 10 9 6 12 1 3 4 2 1 1 1 2 3 .2 c)C .27 0,2 .25 128 . d) A 5 .25 3 .18 5 11 3 2 3 .2 ĐS: A 0; B 0;C 8; D 13 3 a 2 2 2 a Bài 2 : Rút gọn biểu thức : A . a 0,a 1 ĐS: 2 2 1 a 1 1 a 2 1 a 4 4 a 3 .b ab 3 Bài 3 : Cho biểu thức : A Tính A khi a = 5 ; b = 2 ĐS: 5 2 3 a 3 b Dạng 2: Tập xác định và đạo hàm của hàm số lũy thừa Phương pháp: - Hàm số y x cĩ tập xác định dựa vào . Cụ thể:  Khi N * thì hàm số xác định với mọi x  Khi  N thì hàm số xác định với mọi x 0  Khi  Z thì hàm số xác định với mọi x 0 ' - Hàm số y x cĩ đạo hàm với mọi x > 0 và x .x 1 Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số 3 a) y x2 2x b) y 4 2x 6 Giải 2 x 2 a) Vì 3  Z nên hàm số xác định khi x 2x 0 x 0 Vậy tập xác định D ;0  2; 3 1 3 1 Đạo hàm y ' 3 x2 2x . x2 2x ' 2 3 x 1 x2 2x b) Hàm số xác định khi 2x 6 0 x 3 Vậy tập xác định D 3; 2x 6 ' 1 Đạo hàm y ' 3 3 4 4 2x 6 2 4 2x 6 Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Trang 1
2. Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số 0 a) y x 1 8 b) y x2 3x 2 c) y 2x 5 3 5 3 4 2 2x 6 d) y x 2x 1 e) y 2x 7x 5 f) y x 1 2 3 1 g) y x 1 h) y 4 x2 5 i) y x 4 II. LOGARIT Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức Phương pháp: Sử dụng các cơng thức liên quan đến logarit b N 5)loga (b.c) loga b loga c 6)loga loga b loga c 1)loga b N a b c 2)log 1 0 1 a 7)log bN N log b 8)log b log b a a aN a 3)loga a 1 N log b 4)a a b logc b 9)loga b 10)loga b.logb c loga c logc a Ví dụ mẫu: Tính giá trị của biểu thức log 3 1 2 a) A b) B log6 72 log6 3 c) 8 1 C log 343 log 49 log 1 9 3 3 7 Giải log2 3 3 1 3 log2 3 log 3 3 1 a) A 2 2 2 3 8 27 3 b) B log6 72 log6 3 log6 72.3 log6 6 3 1 C log 343 log 49 log log 73 log 72 log 7 1 3log 7 log 7 2log 7 0 c) 1 9 3 3 1 32 1 3 3 3 3 7 32 Ví dụ mẫu: a) Cho log2 5 a. Tính log4 1250 theo a b) Cho lb.og Tính2 20 theolog b20 5 Giải log 2.54 log2 1250 2 1 4log2 5 1 4a a) log4 1250 2 log2 4 log2 2 2 2 20 log2 log2 5 4 log2 20 2 b 2 b) log20 5 log2 20 log2 20 log2 20 b Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Trang 2
3. Bài tập luyện tập: Bài 1: Tính các lơgarít sau: 1 a)log 27 b)log 3 c)log d)16log2 5 3 1 1 81 9 3 32 log 3 1 5 1 log 4 a log a2 ln e) g)a2 h)1 i) 25 a3 e Bài 2: Rút gọn biểu thức: a)A log8 12 log8 15 log8 20 e)E log2 4.log 1 2 1 4 b)B log 36 log 14 3log 3 21 1 2 7 7 7 f )F log .log 9 5 27 1 1 25 log 2 c)C lg lg 4 4lg 2 log 3 3 8 2 g)G 4 2 9 d)D lg 72 log 2 h)H 27log9 2 4log8 27 Bài 3: Rút gọn biểu thức: 1 1 log3 2 log 3log27 4 log5 4 2log 3log2008 1 a)A 81 3 16 b)B 5 5 2 1 log 2 log 3log 4 2 a 1 16 a 1 a 1 log9 4 2 log2 3 3 2log5 4 c) C 2 d) C 3 4 5 a Bài 4: Tính các biểu thức sau theo a và b : 1) Cho a log2 5 , b log2 3 . Tính log2 45 theo a và b. 2) Cho a log3 5 , b log2 3 . Tính log3 100 theo a và b. 3) Cho a log 1 3 , b log2 5 . Tính log2 0,3 theo a và b. 2 4) Cho log30 3 a; log30 5 b . Tính log30 8 theo a và b. 27 5) Cho log5 3 = a. Tính log 3 theo a và b. 5 25 Bài 5: loga N 1) Chứng minh rằng 1 loga b với a, b, N > 0, ab 1. logab N 1 1 1 n2 n 2) Chứng minh rằng với a, x > 0, a, x 1 log x log x log x 2log x a a2 an a 3) Cho x, y > 0 và x2 + 4y2 = 12xy. Chứng minh: lg(x+2y) – 2 lg2 = (lgx + lg y) / 2 Dạng 2: Tập xác định và đạo hàm của hàm số logarit Phương pháp: - Hàm số y loga x với a 0,a 1 xác định khi x 0 Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Trang 3
4. ' 1 - Hàm số y log x với a 0,a 1 cĩ đạo hàm với mọi x > 0 và log x a a x.ln a ' 1 Đặc biệt ln x x Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số 2 2x 4 a) y log3 x x b) y ln 1 x Giải 2 x 1 a) Hàm số xác định khi x x 0 x 0 Vậy tập xác định D ;0  1; 2 x x ' 2x 1 Đạo hàm y ' x2 x ln 3 x2 x ln 3 2x 4 b) Hàm số xác định khi 0 2 x 1 1 x Vậy tập xác định D 2;1 ' 2x 4 1 x 6 1 x 6 Đạo hàm y ' . 2x 4 1 x 2 2x 4 (1 x)(2x 4) 1 x Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số sau 2 2 x 2 x x 2 a) y = log x 3x 4 b) y = log1 c) y = log 3 x 1 x 4 2 4 2 2 d) y = log2(x + x – 6) + ln(x + 2) e)y = log 1 x 3x 4 - logx f) y = ln x 3x 2 III. Hàm số mũ Dạng : Tập xác định và đạo hàm của hàm số mũ Phương pháp: - Hàm số y a x với a 0,a 1 xác định với mọi x ' - Hàm số y a x với a 0,a 1 cĩ đạo hàm với mọi x và a x a x ln a ' Đặc biệt ex ex Ví dụ mẫu: Tính đạo hàm của hàm số 2 a) y 2x 3x 1 b) y esinx Giải 2 2 a) Đạo hàm y ' 2x 3x 1.ln 2. x2 3x 1 ' 2x 3 .2x 3x 1.ln 2 b) Đạo hàm y ' esin x sin x ' esin x cos x Bài tập luyện tập: Tính đạo hàm của các hàm số sau a) y = x.ex b) y = x7.ex c) y = (x – 3)2x d) y = 5x.sin3x Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Trang 4
5. 2 2 e) y = etanx f) y = ex 3x 2 g) y = 3x + 5x h) y = 5x 1 IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A. Phương trình mũ Vấn đề 1: Đưa về cùng cơ số a f (x) b f (x) log b, a 0,a 1,b 0 Phương pháp: a a f (x) a g (x) f (x) g(x), a 0,a 1 Ví dụ mẫu Giải các phương trình sau 2 a) 2x 1.3x 1 5 b) 2x x 8 41 3x Giải 3x 15 15 a) Ta cĩ : 2x 1.3x 1 5 2x.2. 5 6x x log 3 2 6 2 15 Vậy phương trình cĩ một nghiệm duy nhất x log 6 2 b) Ta cĩ: 2 2x x 8 41 3x 2 2x x 8 22(1 3x) x2 x 8 2(1 3x) x2 5x 6 0 x 2  x 3. Vậy phương trình cĩ hai nghiệm x = -2, x = -3. Bài tập luyện tập Bài 1: Giải các phương trình sau 2 a) 254x = 53x – 1 b) 3x 3x 4 9x 1 c) 5x + 5x+1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 + 3x+1 d) 2x + 2x - 1 + 2x - 2 = 3x – 3x - 1 + 3x – 2 ĐS: a) x = -1/5; b) x = 1, x = -2; c) x = 0; d) x = 2 Bài 2: Giải các phương trình sau a) 3x.2x+1 = 72 b) 62x+4 = 3x.2x+8 c) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x d) 4.3x+2 + 5.3x – 7.3x+1 = 60 ĐS a) x = 2; b) x = 4 c) x = 1; x = 3 d) x = 1 Vấn đề 2 : Đặt ẩn phụ Phương pháp: Phương trình Đặt.a2 x .a x  ta0 đượct a x ,t 0 . .t 2 .t  0  Phương trình .a x .a x  0 . Đặt t a x ,t 0 ta được .t  0 . t x 2x x 2x a 2 Phương trình Đặt.a . ab .b ta được0 t ,t 0 . .t .t  0 b  Phương trình .a x .bx  0 với a.b 1 . Đặt t a x ,t 0 ta được .t  0 . t Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Trang 5
6. Ví dụ mẫu: Giải các phương trình: a) 9x 12.3x 27 0 b) 10x 1 101 x 99 c) 5.49x 12.35x 7.25x 0 Giải 2 a) Ta cĩ : 9x 12.3x 27 0 3x 12.3x 27 0 Đặt t 3x , t > 0. 2 t 3 Ta được phương trình: t 12t 27 0 t 9 Với t = 3 thì 3x 3 x 1 Với t = 9 thì 3x 9 x 2 Vậy phương trình cĩ hai nghiệm: x 1; x 2 . 10 b) Ta cĩ: 10x 1 101 x 99 10.10x 99 10x Đặt t 10x , t > 0. 10 2 t 10 Ta được phương trình: 10t 99 10t 99t 10 0 t t 0,1 (loai) Với t = 10 thì 10x 10 x 1 Phương trình cĩ nghiệm duy nhất: x 1 . x x 2x x x x x 49 35 7 7 c) Ta cĩ 5.49 12.35 7.25 0 5. 12. 7 0 5. 12. 7 0 25 25 5 5 x 7 Đặt t ,t 0 5 t 1 Ta được phương trình: 5t 2 12t 7 0 7 t 5 x 7 Với t = 1 thì 1 x 0 5 x 7 7 7 Với t = thì x 1 5 5 5 Vậy phương trình cĩ hai nghiệm: x 0; x 1 . Bài tập luyện tập Bài 1 : Giải phương trình : a) 49x + 4.7x – 5 = 0 (ĐS: x = 0) b) 3x+2 + 9x+1 = 4 (ĐS: x = -1) c) 22x + 1 +3. 2x = 2 (ĐS: x = -1) d) 92x +2 - 4.32x + 1 + 3 = 0 (ĐS: PTVN) x x 2x + 4 x + 1 3 2 e) 5 – 110.5 – 75 = 0 (ĐS: x = -1) f) 2 3 5 0 (ĐS: x = 0, x =1) 2 3 x 1 x 6x 3x 3 g) 3 2.3 5 0 (ĐS: x = 1; x = log32) h) e 3.e 2 0 (ĐS: x = 0, x = ln2 ) Bài 2 : Giải các phương trình : a) 6.9x -13.6x + 6.4x = 0 (ĐS: x = 1) b)27x 12x 2.8x (ĐS: x = 0) Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Trang 6
7. c) 32x+4 + 45.6x – 9.22x+2 = 0 (ĐS: x = -2) d) 3.8x 4.12x 18x 2.27x 0 (ĐS: x = 1) Bài 3 : Giải các phương trình : x x x x a) 2 3 2 3 4 (ĐS: x = 1) b) (ĐS:6 x 3=5 2) 6 35 12 Vấn đề 3 : Lơgarit hố f (x) g (x) f (x) g (x) Phương pháp: a b loga a loga b f (x) g(x)loga b, a,b 0, a,b 1 2 Ví dụ mẫu: Giải phương trình 2x 1 5x 3x 2 Giải Vì hai vế của phương trình đề dương nên lấy logarit cơ số 5 ở 2 vế ta được PT: 2 x 1 log5 2 x 3x 2 x 1 log5 2 x 1 x 2 x 1 x 2 log5 2 Vậy phương trình cĩ 2 nghiệm x = 1 và x = 2 + log52. Bài tập luyện tập: Giải các phương trình x 2 x x x x 1 a) 3 .2 1 (ĐS: x = 0; x= -log23) b) 5 .8 100 (ĐS: x = 2; x= -log52-1) x 1 x x x x x 1 c) 5 .8 500 (ĐS: x = 5; x= -log52) d) 3 .8 36 (ĐS: x = 2; x= -log32 +1) Vấn đề 4 : Dùng tính đơn điệu Phương pháp: - Phương trình f (x) a với f(x) tăng hoặc giảm trên tập D thì cĩ khơng quá 1 nghiệm trên D. - Nếu với f(x) tăng hoặc giảm trên tập D thì f(u) = f(v)  u = v với u, v D Ví dụ mẫu: Giải phương trình 2x 11 x Giải Ta cĩ: 2x 11 x 2x x 11 Vì 2x x ' 2x ln 2 1 0,x nên hàm số f (x) 2x x tăng trên R Mặt khác x = 3 là một nghiệm của phương trình Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất x = 3. Bài tập luyện tập Giải các phương trình : a) 3x + 4x = 5x b)5x = 1 – 3x x c) 2x 32 1 d)32-x = x + 2 B. Phương trình lơgarit : Vấn đề 1 : Đưa về cùng cơ số log f (x) b f (x) ab Phương pháp: với a > 0, a 1 ta luơn cĩ a loga f (x) loga g(x) f (x) g(x) 0 Ví dụ mẫu: Giải các phương trình log x log x log x 11 log x log x log 3 a) 2 4 8 b) 5 25 5 Giải Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Trang 7
8. a) Điều kiện: x > 0 Khi đĩ: log2 x log4 x log8 x 11 log x log x log x 11 2 22 23 1 1 log x log x log x 11 2 2 2 3 2 11 log x 11 6 2 log2 x 6 x 26 64. Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất x = 64. b) Điều kiện: x > 0 Khi đĩ: 1 log x log x log 3 log x log x log 32 5 25 5 5 52 1 52 1 1 log x log x 2. .log 3 5 2 5 2 5 3 log x log 3 2 5 5 2 log x log 3 5 3 5 2 3 log5 x log5 3 2 x 33 Vậy phương trình cĩ nghiệm x 3 9 Bài tập luyện tập: Giải các phương trình : 33 a) log x log x log x b) log log x log log x 2 2 4 8 6 4 2 2 4 2 c) log2 (x 3) log2 (x 1) log2 5 d) log2 (x 3) log 1 5 2log 1 (x 1) log2 (x 1) 2 4 2 2 2 2 e) log3 (x 2) log3 x 4x 4 9 f) log2 (x 1) log2 x 2x 1 6 ĐS: a) x = 8; b) x = 16; c) x = 2; d) x = 2 e) x = -29; x = 25; f) 3; x = -5 Vấn đề 2 : Đặt ẩn phụ 1) Giải các phương trình : 2 2 a) log3 x 4log3 x 3 0 b) log5 x 4log25 x 3 0 7 c) log x log 5 2 d) log 2 log x 0 5 x x 4 6 2 2 x 3 2 e) log2 (4x) log2 8 f) log3x log3 x 1 8 x Hướng dẫn 2 a) Điều kiện: x > 0. Khi đĩ đặt t = log3x ta được phương trình t – 4t + 3 = 0 2 b) Điều kiện: x > 0. Khi đĩ đặt t = log5x ta được phương trình t – 2t – 3 = 0 Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Trang 8
9. 1 c) Điều kiện: x > 0, x 1. Chú ý rằng log x 5 log5 x 2 2 e) Điều kiện: x > 0. Chú ý rằng log2 (4x) 2 log2 x ; 3 log3 3 x 1 log3 x f) Điều kiện: x > 0, x 1/3. Chú ý rằng log3x x log3 3x 1 log3 x 2) Giải các phương trình : 1 2 1 2 a) 1 b) 1 5 lg x 1 lg x 4 ln x 2 ln x x x 1 x x 1 c) log5 (5 1)log25 (5 5) 1 d) log3 (3 1)log3 (3 3) 6 Hướng dẫn 1 2 a) Điều kiện: x > 0, x 105, x 10-1 . Khi đĩ đặt t = logx ta được phương trình 1 5 t 1 t x x 1 x x d) Điều kiện: x > 0. Khi đĩ log3 (3 1)log3 (3 3) 6 log3 (3 1) 1 log3 (3 1) 6 Vấn đề 3 : Mũ hố Giải các phương trình : x 2 x a) log5x (x + 4) = 1 b) 2 x 3log5 2 log5 (3 5 ) Hướng dẫn IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số mũ y = ax tăng khi a > 1 và giảm khi 0 3. 5 2 Bài 2: Giải các bất phương trình (Đặt ẩn phụ) 1 1 1 2 a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17 b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3 c) 4 x 2 x 3 x x x x 4x 2x – 2 x +1 x d) 5.4 +2.25 ≤ 7.10 e) 2. 16 – 2 – 4 ≤ 15 f) 4 -16 ≥ 2log48 g) 9.4-1/x + 5.6-1/x 0 tăng khi a > 1 và giảm khi 0 log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4 2 c) log2( x – 4x – 5) 2/3 f) log2x(x -5x + 6) < 1 Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Trang 9
10. Bài 2: Giải các bất phương trình (Đặt ẩn phụ) 2 a) log 2 + log2x ≤ 0 b) log1/3x > logx3 – 5/2 1 1 c) log2 x + log2x 8 ≤ 4 d) 1 1 log x log x x 1 x 3 1 3 e) log x 2.log x 16 2 f) log4 (3 1).log 1 ( ) 4 log 2 x 6 16 4 BÀI TẬP TỔNG HỢP_NÂNG CAO Bài 1: Giải các phương trình sau 1) 5x 10.5x 1 18 3.5x 1 2) 2x 1 2x 2 2x 3 3x 1 3x 2 3) 2. 3x+1 – 6. 3x-1 – 3x = 9 x 1 5x 7 x 3 2 1 3 x2 4x 1 1 5x 3x 2x 1 4) 16. 4 5) 9 6) 10 3 19 6 10 8 3 2 2 7) 32x 8 4.3x 5 27 0 8) e4x 2 3e2x 9) 4 3x 2x 1 2 9.2 3x 2x 10) 8x 2.4x 2x 2 0 11) 3.8x 4.12x 18x 2.27x 0 12) 27x 12x 2.8x 2 2 2 13) 4.9x 12x 3.16x 14) 25x 15.10x 50.4x 0 15) 15.25x 34.15x 15.9x 0 2 2 2 2 16) 7 2x x 1 72x x 8 0 17)5 x 51 x 4 0 18) 3x 3x 2 33x x 10 0 x x x x x x 3 x x 19) 5 21 5 21 5.22 20) 3 5 16 3 5 2 21) 7 4 3 3 2 3 2 0 x 1 2 2 22) 4x 2x 8 5x 2 23) 3x 1.8 x 1 24) 2x.39 x 8 1 3 3 25) 2 x x 9 26) 5x 2x 7 0 17) e 2x 3 e1 x 3 2x 3 x 1 28) 9 x 2(x 2).3x 2x 5 0 29) 8 x.2x 23 x x 0 30) 3.9x 4x.3x 4x 3 0 2 2 2 31)2x 1 3x 6x 2 32)10x 15 3.5x 5.2x 33) 21 3x 4x 25x 4 2x 3x 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 34) 2x 2 x 2cos 2x2 x 35) 2x 3x 5x 6x 41 x 36) 2x 3x 4x 2 2x x2 Bài 2: Giải các phương trình sau lg x lg 6 1) log7 x 2 log7 x 2 1 log7 2x 7 2) log4 2log3 1 log2 (1 3log2 x) 1 3) 6 x 12 2 4 2 2 3 4)2log3 x 5log3 9x 3 0 5) lg (x – 1) + lg (x – 1) = 25 6) 2log5 x logx 125 1 0 2 3 7) log2 (x 4) x 3 log2 (x 2) 8) log2 (1 x ) log7 x 9) 2 x x 3 2 log3 2 x 3x 2 4) 2x 4x 5 2 2 10) log2 x (x 1)log2 x 2x 6 0 11) log5 (x 1) (x 5)log5 (x 1) 16 0 Bài 3: Giải các bất phương trình sau 1 1 1)3x 9.3 x 10 0 2)5.4x 2.25x 7.10x 0 3) 3x 1 1 1 3x 4) log x2 6x 8 2log x 4 0 5) log log x2 5 0 6) log x2 4x 3 1 1 5 1 4 8 5 3 Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Trang 10