Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Chủ đề 7: Nguyên hàm - Tích phân - Ứng dụng của tích phân

Nội dung text: Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Chủ đề 7: Nguyên hàm - Tích phân - Ứng dụng của tích phân

1. Chủ đề 7: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I, Nguyên hàm A- Tóm tắt lý thuyết 1. Khái niệm nguyên hàm và tính chất 1. Khái niệm nguyên hàm — Cho hàm số f (x) xác định trên K . Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu: F ¢(x) = f (x), " x Î K . — Nếu F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì họ nguyên hàm của hàm số f (x) trên K là: ò f (x) ×dx = F(x) + C, const = C Î ¡ . 2. Tính chất: Nếu f (x), g(x) là 2 hàm số liên tục trên K và k ¹ 0 thì ta luôn có: · ò f ¢(x)dx = f (x) + C. · òkf (x)dx = kò f (x)dx. é ù · ò ëêf (x) ± g(x)ûúdx = ò f (x)dx ± ò g(x)dx Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý) x a+ 1 1 (ax + b)n+ 1 x a ×dx = + C (ax + b)n ×dx = × + C ò a + 1 ò a n + 1 1 1 1  ×dx = ln x + C ×dx = ×ln ax + b + C ò x ò ax + b a 1 1 1 1 1  ×dx = - + C ×dx = - × + C ò x 2 x ò (ax + b)2 a ax + b 1  ò sin x ×dx = - cosx + C sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C ò a 1  ò cosx ×dx = sin x + C cos(ax + b) ×dx = ×sin(ax + b) + C ò a 1 1 1 ×dx = - cot x + C dx = - cot(ax + b) + C ò sin2 x ò sin2(ax + b) a 1 1 1 ×dx = tan x + C dx = tan(ax + b) + C ò cos2 x ò cos2(ax + b) a x x 1  òe ×dx = e + C eax+b ×dx = ×eax+b + C ò a ax dx 1 x - a ax ×dx = + C = ×ln + C ò lna ò x 2 - a2 2a x + a 1 ♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax + b) thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm × a Một số lưu ý 1. Cần nắm vững bảng nguyên hàm. 2. Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm thành phần. 3. Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm).
2. 2. Các phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số Dạng toán 1. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG BẢNG NGUYÊN HÀM Phương Pháp 1. Tích của đa thức hoặc lũy thừa ¾ ¾PP ¾® khai triển. 2. Tích các hàm mũ ¾ ¾PP ¾® khai triển theo công thức mũ. 3. Chứa căn ¾ ¾PP ¾® chuyển về lũy thừa. 4. Tích lượng giác bậc một của sin và cosin ¾ ¾PP ¾® khai triển theo công thức tích thành tổng. 5. Bậc chẵn của sin và cosin ¾ ¾PP ¾® Hạ bậc. Dạng toán 2. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Định lý: Cho ò f (u)du = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì é ù ¢ é ù ò f ëêu(x)ûú×u (x) ×dx = F ëêu(x)ûú+ C. 1. Đổi biến số dạng 1: đặt t = j (x). é n PP êI = ò f (ax + b) ×xdx ¾ ¾ ¾® t = ax + b Þ dt = a.dx ê m ê æ xn ö · êI = ç ÷ ×dx ¾ ¾PP ¾® t = xn+ 1 + 1 Þ dt = (n + 1)xn .dx , với m, n Î ¢. ê òç n+ 1 ÷ ê èçax + 1ø ê 2 n PP 2 êI = f (ax + b) ×xdx ¾ ¾ ¾® t = ax + b Þ dt = 2ax.dx ë ò · I = ò n f (x) ×f ¢(x) ×dx ¾ ¾PP ¾® Đặt t = n f (x), trừ một số trường hợp đổi biến dạng 2. é 1 êI = f (ln x) × ×dx ét = ln x ê ò x PP ê · ê ¾ ¾ ¾® Đặt ê × ê 1 êt = a + bln x êI = f (a + bln x) × ×dx ë ë ò x · I = ò f (ex ) ×ex ×dx ¾ ¾PP ¾® Đặt t = ex . · I = ò f (cosx) ×sin xdx ¾ ¾PP ¾® Đặt t = cosx Þ dt = - sin xdx. · I = ò f (sin x) ×cosxdx ¾ ¾PP ¾® Đặt t = sin x Þ dt = cosxdx. 1 1 · I = f (tan x) × dx ¾ ¾PP ¾® Đặt t = tan x Þ dt = dx = (1+ tan2 x)dx. ò cos2 x cos2 x 1 1 · I = f (cot x) × dx ¾ ¾PP ¾® Đặt t = cot x Þ dt = - ×dx = - (1+ cot 2 x)dx. ò sin2 x sin2 x ét = sin2 x Þ dt = sin 2xdx · I = f (sin2 x;cos2 x) ×sin 2xdx ¾ ¾PP ¾® Đặt ê × ò êt = cos2 x Þ dt = - sin 2xdx ëê · I = ò f (sin x ± cosx) ×(sin x m cosx) ×dx ¾ ¾PP ¾® Đặt t = sin x ± cosx. 2. Đổi biến số dạng 2: đặt x = j (t). · I = ò f ( a2 - x 2 ) ×x 2ndx ¾ ¾PP ¾® Đặt x = a.sint Þ dx = a.cost.dt. adt · I = f ( x 2 + a2 ) ×x 2ndx ¾ ¾PP ¾® Đặt x = a.tant Þ dx = × ò cos2 t a a sint · I = f ( x 2 - a2 ) ×x 2ndx ¾ ¾PP ¾® Đặt x = Þ dx = ×dt × ò cost cos2 t
3. dx 1 dt · I = ¾ ¾PP ¾® Đặt x - a = Þ dx = - × ò 2 (x - a)n . ax 2 + bx + c t t én1 nk ù PP n · I = R ê ax + b, , ax + bú×dx ¾ ¾ ¾® Đặt t = ax + b với n = B.C.N.N {n ;n ; ;n } × ò ë û 1 2 k ïì ì dx ï ï x + a > 0 I = ò ï t = x + a + x + b khi í (x + a)(x + b) ï ï x + b > 0 · ¾ ¾PP ¾® Đặt ï îï × í ì ï ï x + a < 0 ï t = - x - a + - x - b khi í ï ï x + b < 0 îï îï Dạng toán 3. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Phương Pháp Định lý: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm và liên tục trên K thì I = u(x) ×v¢(x) ×dx = u(x) ×v(x) - u¢(x) ×v(x) ×dx hay I = udv = uv - vdu × ò ò ò ò Vận dụng giải toán: — Nhận dạng: Tích 2 hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác òex .sin x.dx, ì Vi phân ï u = ××××××××××× ¾ ¾ ¾ ¾® du = ××××××××××dx — Đặt: íï × Suy ra: I = udv = uv - vdu. ï dv = ××××××dx ¾ ¾Ngu¾yên ¾ha#m¾® v = ××××××××××× ò ò îï — Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv = phần còn lại. Nghĩa là nếu có 1 ln hay log x thì chọn u = ln hay u = log x = .ln x và dv = còn lại. Nếu không a a lna có ln; log thì chọn u = đa thức và dv = còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác, . — Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm. Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi. Dạng toán 4. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ P(x) Bài toán tổng quát: Tính nguyên hàm I = ×dx, với P(x) và Q(x) là các đa thức không căn. ò Q(x) Phương pháp giải: — Nếu bậc của tử số P(x) ³ bậc của mẫu số Q(x) ¾ ¾PP ¾® Chia đa thức. — Nếu bậc của tử số P(x) < bậc của mẫu số Q(x) ¾ ¾PP ¾® Xem xét mẫu số và khi đó: + Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số. Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp: æ ö 1 1 ç a b ÷ · = ×ç - ÷× (ax + m) ×(bx + n) an - bm èçax + m bx + n ø÷ ì mx + n A B (A + B) ×x - (Ab + Ba) ï A + B = m · = + = Þ í × (x - a) ×(x - b) x - a x - b (x - a) ×(x - b) ï Ab + Ba = - n îï
4. 1 A Bx + C · = + , với D = b2 - 4ac < 0. (x - m) ×(ax 2 + bx + c) x - m ax 2 + bx + c 1 A B C D · = + + + × (x - a)2 ×(x - b)2 x - a (x - a)2 x - b (x - b)2 + Nếu mẫu số không phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về dạng lượng giác). B- Bài tập trắc nghiệm DẠNG 1: DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN NHÓM 1 : DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM 2 2 3 Câu 1. Nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = + + là hàm số nào? 5 - 2x x x 2 3 3 A. .F (x)B.= .- ln 5 - 2x + 2ln x - + C F (x) = - ln 5 - 2x + 2ln x + + C x x 3 3 C. .F (x) =D.ln . 5 - 2x + 2ln x - + C F (x) = - ln 5 - 2x - 2ln x + + C x x Câu 2. Cho f (x) = - x 3 + 3x 2 - 2x . Một nguyên hàm F(x) của f (x) thỏa F (1) = 0 là: x 4 1 x 4 1 A. - + x 3 - x 2 + B. - + x 3 - x 2 - 4 4 4 4 x 4 x 4 C. - + x 3 - x 2 - 1 D. - + x 3 - x 2 + 1 4 4 2 Câu 3. Kết quả của ò x (x 2 + 1) dx bằng: 3 3 (x 2 + 1) (x 2 + 1) A. F(x) = + C B. F(x) = + C 3 6 x 2 æx 3 ö x 2 3 ç ÷ 2 C. F(x) = ç + x÷+ C D. F(x) = (x + 1) + C 2 èç 3 ø÷ 6 Câu 4. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 3x 2 – 3x , ta được kết quả là: 3x 3x A. F(x) = x 3 - + C B. F(x) = x 3 + + C ln 3 ln 3 x 3 3x x 3 3x C. F(x) = - + C D. F(x) = + + C 3 ln 3 3 ln 3 Câu 5. Nguyên hàm của hàm số f (x) = (1- 2x)5 là: 1 A. - (1- 2x)6 + C B. (1- 2x)6 + C C. 5(1- 2x)6 + C D. 5(1- 2x)4 + C 12 Câu 6. Tìm hàm số f (x) biết rằng f ’(x) = 2x + 1 và f (1) = 5 A. x 2 + x + 3 B. x 2 + x - 3 C. x 2 + x D. Kết quả khác Câu 7. Tìm hàm số y = f (x) biết f ¢(x) = (x 2 - x)(x + 1) và f (0) = 3 x 4 x 2 x 4 x 2 A. y = f (x) = - + 3 B. y = f (x) = - - 3 4 2 4 2 x 4 x 2 C. y = f (x) = + + 3 D. y = f (x) = 3x 2 - 1 4 2
5. NHÓM 2: HÀM SỐ VÔ TỶ ( CHỨA CĂN) 1 Câu 8. Nguyên hàm của hàm số f (x) = là 2x - 1 A. .ò f (x)dx = 2xB.- 1. + C ò f (x)dx = 2 2x - 1 + C 2x - 1 C. . f (x)dx = D. . + C f (x)dx = - 2 2x - 1 + C ò 2 ò 1 Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = . 3 - x A. .ò f (x)dx = - 2B. 3. - x + C ò f (x)dx = - 3 - x + C C. .ò f (x)dx = 2 3D.- x. + C ò f (x)dx = - 3 3 - x + C Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 1 . 1 2 A. . f (x)B.dx .= (2x + 1) 2x + 1 + C f (x)dx = (2x + 1) 2x + 1 + C ò 3 ò 3 1 1 C. . f (x)dx = -D. . 2x + 1 + C f (x)dx = 2x + 1 + C ò 3 ò 2 Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 3 x - 2 . 3 3 A. . f (x)dxB.= . (x - 2) 3 x - 2 + C f (x)dx = - (x - 2) 3 x - 2 + C ò 4 ò 4 2 2 1 - C. . f (x)dx = D.(x . - 2) x - 2 f (x)dx = (x - 2) 3 + C ò 3 ò 3 2 Câu 12. Hàm số F (x) = (x + 1) x + 1 + 2016 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 5 5 A. f (x) = (x + 1) x + 1 B. f (x) = (x + 1) x + 1 + C 2 2 2 C. f (x) = (x + 1) x + 1 D. f (x) = (x + 1) x + 1 + C 5 1 2 Câu 13. Biết một nguyên hàm của hàm số f (x) = + 1 là hàm số F (x) thỏa mãn F (- 1) = . 1- 3x 3 Khi đó F (x) là hàm số nào sau đây? 2 2 A. F (x) = x - 1- 3x + 3 B. F (x) = x - 1- 3x - 3 3 3 2 2 C. F (x) = x - 1- 3x + 1 D. F (x) = 4 - 1- 3x 3 3 a Câu 14. Biết F(x) = 6 1- x là một nguyên hàm của hàm số f (x) = . Khi đó giá trị của a bằng 1- x 1 A. .- 3 B. . 3 C. . 6 D. . 6 æ1 1ö ç ÷ Câu 15. Tính òç - ÷dx èç x 2ø÷ x x x 1 1 2 x A. - + C B. 2 x - + C C. - x + C D. - + C 2 2 2 2 x 2 x 2
6. NHÓM 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 16. Cho hàm số f (x) = 2x + sin x + 2cosx . Một nguyên hàm F(x) của f (x) thỏa F(0) = 1 là: A. x 2 - cosx + 2sin x + 2 B. x 2 + cosx + 2sin x + 2 C. 2 + cosx + 2sin x D. x 2 + cosx + 2sin x - 2 Câu 17. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = tan2 x là: tan3 x tan3 x 1 2sin x A. B. . C. tan x - x D. 3 3 cos2 x cos3 x Câu 18. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = cos4 x - sin4 x là: 1 A. cos2x B. sin 2x C. 2sin 2x D. cos2 x 2 Câu 19. Biết F(x) = ò(1+ tan2 x)dx khi đó F(x) là: 1 A. F(x) = + C B. F(x) = tan x + C cos2 x C. F(x) = - tan x + C D. F(x) = cot x + C 2 Câu 20. Gọi F1(x) là nguyên của hàm số f1(x) = sin x thỏa mãn F1(0) = 0 và F2(x) là nguyên của hàm số 2 f2(x) = cos x thỏa mãn F2(0) = 0 . Khi đó phương trình F1(x) = F2(x) có nghiệm là: p p A. x = + kp,k Î Z B. x = k,k Î Z C. x = kp,k Î Z D. x = k2p,k Î Z 2 2 Câu 21. Nguyên hàm của hàm số: y = cos2 x.sin x là: 1 1 A. cos3 x + C B. - cos3 x + C C. sin3 x + C D. Đáp án khác. 3 3 Câu 22. Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là: A. F (x) = cos6x B. F (x) = sin 6x æ ö æ ö 1ç1 1 ÷ 1çsin 6x sin 4x ÷ C. ç sin 6x + sin 4x÷ D. - ç + ÷ 2èç6 4 ÷ø 2èç 6 4 ø÷ Câu 23. Tìm ò(sin x + 1)3 cosxdx là: (cosx + 1)4 sin4 x (sin x + 1)4 A. + C B. + C C. + C D. 4(sin x + 1)3 + C 4 4 4 Câu 24. Nguyên hàm của hàm số y = sin3 x.cosx là: 1 1 A. F(x) = sin4 x + C B. F(x) = - sin4 x + C 4 4 1 1 C. F(x) = cos4 x + C D. F(x) = - cos4 x + C 4 4 cos2x Câu 25. Nguyên hàm của hàm số: y = dx là: ò sin2 x.cos2 x A. F (x) = - cosx – sin x + C B. F (x) = cosx + sin x + C C. F (x) = cot x – tan x + C D. F (x) = - cot x – tan x + C 1 Câu 26. Tìm nguyên hàm dx = ò 2 2 sin x.cos x A. 2tan 2x + C B. 2 cot 2x + C C. 4 cot 2x + C D. 2 cot 2x + C
7. NHÓM 4: HÀM SỐ MŨ, LOGARIT Câu 27. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = ex - e- x . A. .ò f (x)dx = ex +B.e- .x + C ò f (x)dx = - ex + e- x + C C. .ò f (x)dx = ex - D.e- x. + C ò f (x)dx = - ex - e- x + C Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x.3- 2x . æ öx æ öx ç2÷ 1 ç9÷ 1 A. . f (x)dxB.= .ç ÷ . + C f (x)dx = ç ÷ . + C ò èç9÷ø ln 2 - ln 9 ò èç2ø÷ ln 2 - ln 9 æ öx æ öx ç2÷ 1 ç2÷ 1 C. . f (x)dxD.= .ç ÷ . + C f (x)dx = ç ÷ . + C ò èç3ø÷ ln 2 - ln 9 ò èç9ø÷ ln 2 + ln 9 Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex (3 + e- x ) là A. .F (x) = 3ex + x + C B. . F(x) = 3ex + ex lnex + C 1 C. .F (x) = 3ex - + C D. . F(x) = 3ex - x + C ex Câu 30. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = e4x- 2 . 1 A. . f (x)dx = e2x- 1B.+ .C f (x)dx = e2x- 1 + C ò 2 ò 1 1 C. . f (x)dx = e4x- 2D.+ .C f (x)dx = e2x- 1 + C ò 2 ò 2 Câu 31. Tính ò(3cosx - 3x )dx , kết quả là: 3x 3x 3x 3x A. 3sin x - + C B. - 3sin x + + C C. 3sin x + + C D. - 3sin x - + C ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 Câu 32. Hàm số F (x) = ex + tan x + C là nguyên hàm của hàm số f (x) nào? 1 1 1 A. f (x) = ex - B. f (x) = ex + C. f (x) = ex + D. Kết quả khác sin2 x sin2 x cos2 x Câu 33. Nếu ò f (x)dx = ex + sin 2x + C thì f (x) bằng 1 A. ex + cos2x B. ex - cos2x C. ex + 2cos2x D. ex + cos2x 2 Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x - 4x . 2 x 2x (2 ) 2x A. F(x) = - + C B. F(x) = (1- 2x- 1)+ C ln 2 ln 2 ln 2 2x æ 4x ö 2x ç ÷ x C. F(x) = ç1- ÷+ C D. .F(x) = (1- 2 )+ C ln 2èç ln 2ø÷ 2ln 2 æ 2 ö Tìmex ç3 - ÷ . Câu 35. ç 5 x ÷ ò èç x e ø÷ 1 1 A. F(x) = 3ex + + C B. F(x) = - 3ex - + C 2x 4 2x 4 1 1 C. F(x) = 3ex - + C D. F(x) = - 3ex + + C 2x 4 2x 4 NHÓM 5: HÀM PHÂN THỨC
8. 3x + 5 Câu 36. Một nguyên hàm của hàm số y = là: x + 2 A. F(x) = 3x + 4ln x + 2 + C B. F(x) = - 3x + ln x + 2 + C C. F(x) = 3x - ln x + 2 + C D. F(x) = 3x + ln x + 2 + C x Câu 37. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = là: x + 1 A. ln x + 1 B. x + ln x + 1 C. x - ln x + 1 D. 2ln x + 1 x 2 + 2x - 1 Câu 38. Cho hàm số f (x) = . Một nguyên hàm F(x) của f (x) thỏa F(1) = 0 là: x 2 + 2x + 1 2 2 2 2 A. x + - 2 B. x + + 2 C. x - 2ln(x + 1) D. x - + 2 x + 1 x + 1 x + 1 x (2 + x) Câu 39. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số?f x = ( ) 2 (x + 1) x 2 - x - 1 x 2 + x + 1 x 2 x 2 + x - 1 A. B. C. D. x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 2 (x 2 + 1) Câu 40. Cho hàm số f (x) = . Một nguyên hàm F (x) của f (x) thỏa F (1) = - 4 là : x 3 x 2 2 x 2 1 A. + 2ln x - + 4 B. + 2ln x - - 4 2 x 2 2 2x 2 x 2 2 C. + 2ln x - - 4 D. F (x) = x 3 - 2x + C 2 x 2 x 3 - 1 Câu 41. Nguyên hàm của hàm số f (x) = là: x + 1 x 3 x 2 x 3 x 2 A. F (x) = - + x + 2ln x + 1 + C B. F (x) = - + x - 2ln x + 1 + C 3 2 3 2 x 3 x 2 x 3 x 2 C. F (x) = - + x - ln x + 1 + C D. F (x) = - - x - 2ln x + 1 + C 3 2 3 2 x 3 + 3x 2 + 3x - 1 1 Câu 42. Gọi hàm số F(x) là một nguyên hàm của f (x) = , biết F(1) = . Vậy F(x) là: x 2 + 2x + 1 3 x 2 2 13 x 2 2 13 A. F(x) = + x + - B. F(x) = + x + + 2 x + 1 6 2 x + 1 6 x 2 1 x 2 2 C. F(x) = + x + + C D. F(x) = + x + 2 x + 1 2 x + 1 x 2 - 2x + 1 1 Câu 43. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = biết F(1) = . Kết quả là: x 2 x 2 x 2 A. F(x) = - 2x + ln x + 2 B. F(x) = - 2x + ln x - 2 2 2 x 2 1 x 2 1 C. F(x) = - 2x + ln x + D. F(x) = - 2x + ln x - 2 2 2 2
9. ïì A = 3 2 ï 3x + 3x + 3 A B C ï Câu 44. Ta có: f (x) = = + + Û í B = 2 . x 3 - 3x + 2 2 x - 1 x - 2 ï (x - 1) ï C = 1 îï Tính ò f (x)dx = F(x) + C , ta được kết quả là: 3 2 1 F(x) = + + + C A. 2 x - 1 (x - 1) x + 2 3 B. F(x) = - + 2ln x - 1 + ln x - 2 + C x - 1 2 C. F(x) = 3ln x - 1 - + ln x - 2 + C x - 1 1 D. F(x) = - 3ln x - 1 + 2ln x + 2 - + C x - 1 1 1 Câu 45. Nguyên hàm của hàm số f (x) = - là : x x 2 1 1 A. ln x - ln x 2 + C B. ln x - + C C. ln x + + C D. Kết quả khác x x 1 Câu 46. Tính nguyên hàm dx ta được kết quả sau: ò 2x + 1 1 1 A. ln 2x + 1 + C B. - ln 2x + 1 + C C. - ln 2x + 1 + C D. ln 2x + 1 + C 2 2 2x 4 + 3 Câu 47. Nguyên hàm của hàm số f (x) = là : x 2 2x 3 3 2x 3 3 2x 3 A. - + C B. - + C C. - 3ln x 2 + C D. Kết quả khác 3 x 3 x 2 3 x dx ò 2 Câu 48.Kết quả của 1- x là: - 1 1 A. 1- x 2 + C B. + C C. + C D. - 1- x 2 + C 1- x 2 1- x 2 1 Câu 49. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = là 2x + 5 1 A. F(x) = ln 2x + 5 + 2016 B. F(x) = ln 2x + 5 2 2 1 F(x) = - F(x) = - C. 2 D. 2 (2x + 5) (2x + 5) 1 y = f x = Câu 40.Nguyên hàm của hàm số ( ) 2 là: (1+ 2x) - 1 1 2 A. F (x) = . + C B. F (x) = ln (1+ 2x) + C 2 1+ 2x 1 1 - 1 C. F (x) = . + C D. F (x) = + C 2 1+ 2x 1+ 2x
10. DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN x - 1 Câu 1. Tính ò dx x 2 - 2x + 5 2x - 2 A. + C B. 2 x 2 - 2x + 5 + C x 2 - 2x + 5 x 2 - 2x + 5 C. + C D. x 2 - 2x + 5 + C 2 x Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là x 2 + 1 A. F (x) = ln x 2 + 1 + C B. F (x) = x 2 + 1 + C 2 C. F (x) = 2 x 2 + 1 + C D. F (x) = + C 3(x 2 + 1) Câu 3. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = cosx.esinx là A. F (x) = esinx B. F (x) = ecosx C. F (x) = e- sinx D. F (x) = sin x.esinx 2016 Câu 4. Cho hàm số f (x) = x (x 2 + 1) . Khi đó : 2017 2016 (x 2 + 1) (x 2 + 1) A. f (x)dx = + C B. f (x)dx = ò 4034 ò 4032 2016 2017 (x 2 + 1) (x 2 + 1) C. f (x)dx = D. f (x)dx = ò 2016 ò 2017 2 Câu 5. Hàm số F (x) = ex là nguyên hàm của hàm số x2 2 e 2 A. f (x) = 2xex B. f (x) = e2x C. f (x) = D. f (x) = x 2ex - 1 2x Câu 6. Kết quả của ò cosx sinx + 1dx bằng: 2 3 2 3 A. F(x) = sin x + 1 + C B. F(x) = - sin x + 1 + C 3 ( ) 3 ( ) 2 2 3 C. F(x) = sin x + 1 + C D. F(x) = sin x + 1 + C 3 ( ) 3( ) ex Câu 7. Kết quả của ò dx bằng: ex + 3 A. F(x) = ex + 3 + C B. F(x) = 2 ex + 3 + C ex C. F(x) = ex + 3 + C D. F(x) = + C ex + 3x ln x Câu 8. Hàm số f (x) = có các nguyên hàm là: x 1 A. F(x) = ln2 x + C B. F(x) = ln x + C 2 1 1 C. F(x) = ln2 x + C D. F(x) = + C 2 x.x 2
11. 1 x Câu 9. Hàm số f (x) = ln x( + ) có các nguyên hàm là: x ln x ln2 x + x 2 A. F(x) = ln2 x + x 2 + C B. F(x) = + C 2 ln2 x x 2 C. F(x) = + x 2 + C D. F(x) = ln x(ln x + ) + C 2 2ln x x Câu 10. Gọi F(x) là nguyên của hàm số f (x) = thỏa mãn F(2) = 0 . Khi đó phương trình 8 - x 2 F(x) = x có nghiệm là: A. x = 0 B. x = 1 C. x = - 1 D. x = 1- 3 x 3 Câu 11. Một nguyên hàm của hàm số: y = là: 2 - x 2 1 A. F(x) = x 2 - x 2 B. - (x 2 + 4) 2 - x 2 3 1 1 C. - x 2 2 - x 2 D. - (x 2 - 4) 2 - x 2 3 3 2x Câu 12. Tìm nguyên hàm F (x) biết f (x) = . Kết quả là: x + x 2 - 1 2 2 2 2 A. F(x) = x 3 - (x 2 - 1) x 2 - 1 B. F(x) = x 3 + (x 2 - 1) x 2 - 1 3 3 3 3 2 2 2 2 C. F(x) = x 3 - (x 2 + 1) x 2 - 1 D. F(x) = x 3 + (x 2 + 1) x 2 - 1 3 3 3 3 sin x Câu 13. Tìm nguyên hàm F (x) biết f (x) = . Kết quả là: sin x + cosx 1 1 A. F(x) = x - ln sin x + cosx + C B. F(x) = x + ln sin x + cosx + C 2( ) 2( ) 1 1 C. F(x) = x - ln sin x - cosx + C D. F(x) = x + ln sin x - cosx + C 2( ) 2( ) 2 Câu 14. Tính nguyên hàm ò xex + 1dx , ta được: 1 2 1 2 A. F(x) = ex + 1 + C B. F(x) = ex - 1 + C 2 2 1 2 1 2 C. F(x) = - ex + 1 + C D. F(x) = ex + C 2 2 ln 2 Câu 15. Tính ò 2 x dx . Kết quả sai là: x A. F(x) = 2(2 x - 1)+ C B. F(x) = 2(2 x + 1)+ C C. F(x) = 2 x + C D. F(x) = 2 x + 1 + C 1 Câu 16. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của f (x) = ? 1+ x 2 x A. F(x) = - B. F(x) = ln 1+ x 2 1+ x 2
12. C. F(x) = ln(x + 1+ x 2 ) D. F(x) = ln(x - 1+ x 2 ) cosx Câu 17. Tìm dx . ò sin20 x 1 1 A. F(x) = - + C B. F(x) = + C 19sin19 x 19sin19 x 1 1 C. F(x) = - + C D. F(x) = + C 19cos19 x 19cos19 x ex Câu 18. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = thỏa F (0) = - ln 3 là ex + 2 A. F(x) = ln(ex + 2)+ ln 3 B. F(x) = ln(ex + 2)- ln 3 C. F(x) = ln(ex + 2)+ 2ln 3 D. F(x) = ln(ex + 2)- 2ln 3 Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = e3cosx .sin x 1 A. f (x)dx = e3cosx .cosx + C B. f (x)dx = 3e3cosx + C ò 3 ò 1 C. f (x)dx = - e3cosx + C D. f (x)dx = 3e3cosx .cosx + C ò 3 ò dx Câu 20. Nguyên hàm của hàm số: I = ò × là: 2x - 1 + 4 A. F(x) = 2x - 1 - 4ln( 2x - 1 + 4)+ C B. F(x) = 2x + 1 - 4ln( 2x + 1 + 4)+ C 7 C. F(x) = 2x - 1 + 4ln 2x + 1 + 4 + C D. F(x) = 2x - 1 - ln 2x - 1 + 4 + C ( ) 2 ( ) (x 2 + x)ex Câu 21. Nguyên hàm của hàm số: y = dx là: ò x + e- x A. F(x) = xex + 1- ln xex + 1 + C B. F(x) = ex + 1- ln xex + 1 + C C. F(x) = xex + 1- ln xe- x + 1 + C D. F(x) = xex + 1+ ln xex + 1 + C dx Câu 22. Nguyên hàm của hàm số: y = là: ò x 2 - a2 1 x - a 1 x + a 1 x - a 1 x + a A. ln +C B. ln +C C. ln +C D. ln +C 2a x + a 2a x - a a x + a a x - a dx Câu 23. Nguyên hàm của hàm số: y = là: ò a2 - x 2 1 a - x 1 a + x 1 x - a 1 x + a A. ln +C B. ln +C C. ln +C D. ln +C 2a a + x 2a a - x a x + a a x - a Câu 24. Nguyên hàm của hàm số: y = ò x 4x + 7 dx là: 1 é2 5 2 3 ù 1 é2 5 2 3 ù A. ê (4x + 7)2 - 7 × (4x + 7)2 ú+ C B. ê (4x + 7)2 - 7 × (4x + 7)2 ú+ C 20 ëê5 3 ûú 18 ëê5 3 ûú 1 é2 5 2 3 ù 1 é2 5 2 3 ù C. ê (4x + 7)2 - 7 × (4x + 7)2 ú+ C D. ê (4x + 7)2 - 7 × (4x + 7)2 ú+ C 14 ëê5 3 ûú 16 ëê5 3 ûú
13. DẠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Câu 1. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = xex là: x 2 A. ex + C B. ex (x - 1)+ C C. ex (x + 1)+ C D. ex + C 2 Câu 2. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = (x 2 + 2x).ex là: A. (2x + 2).ex B. x 2ex C. (x 2 + x).ex D. (x 2 - 2x).ex Câu 3. Cho hàm số f (x) = x.e- x . Một nguyên hàm F(x) của f (x) thỏa F(0) = 1 là: A. - (x + 1)e- x + 1 B. - (x + 1)e- x + 2 C. (x + 1)e- x + 1 D. (x + 1)e- x + 2 2 Câu 4. Nguyên hàm của hàm số f (x) = xex là hàm số: 2 1 2 2 2 2 A. F(x) = 2ex B. F(x) = ex C. F(x) = 2x 2ex D. F(x) = ex + xex 2 x Câu 5. Cho f (x) = ò lntdt . Đạo hàm f '(x) là hàm số nào dưới đây? 1 1 1 A. B. lnx C. ln2 x D. ln2 x x 2 Câu 6. Hàm số f (x) = (x + 1) sin x có các nguyên hàm là: A. F(x) = (x + 1) cosx + sinx + C B. F(x) = - (x + 1) cosx + sinx + C C. F(x) = - (x + 1) cosx - sinx + C D. F(x) = (x + 1) cosx - sinx + C Câu 7. Gọi hàm số F(x) là một nguyên hàm của f (x) = x cos3x , biết F(0) = 1 . Vậy F(x) là: 1 1 1 1 A. F(x) = x sin 3x + cos3x + C B. F(x) = x sin 3x + cos3x + 1 3 9 3 9 1 1 1 8 C. F(x) = x 2 sin 3x D. F(x) = x sin 3x + cos3x + 6 3 9 9 Câu 8. Tìm ò x cos2xdx là: 1 1 1 1 A. x sin 2x + cos2x + C B. x sin 2x + cos2x + C 2 4 2 2 x 2 sin 2x C. + C D. sin 2x + C 4 Câu 9. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? - x 2.cosx A. x sin xdx = + C B. x sin xdx = - x cosx + sin x + C ò 2 ò - x cos2x 1 C. x cosxdx = x sin x + cosx + C D. x sin 2xdx = + sin 2x + C ò ò 2 4 Câu 10. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? xe3x 1 A. xe3xdx = - e3x + C B. xexdx = xex - ex + C ò 3 9 ò x 2 x - x 1 C. xexdx = .ex + C D. dx = - + C ò 2 ò ex ex ex Câu 11. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? 1 A. ln xdx = x ln x - x + C B. ln xdx = + C ò ò x
14. x 2 x 2 x 3 x 3 C. x ln xdx = ln x - + C D. x 2 ln xdx = .ln x - + C ò 2 4 ò 3 9 Câu 12. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? ln3 x A. ln2 xdx = x ln2 x - 2(x ln x - x)+ C B. ln2 xdx = + C ò ò 3 ln x - ln x 1 ln x - ln x 1 C. dx = - + C D. dx = - + C ò x 2 x x ò x 3 2x 2 4x 2 Câu 13. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? x - x 1 A. dx = - + C B. xe- xdx = - xe- x - e- x + C ò e2x 2e2x 4e2x ò xe3x 1 x 2 C. xe3xdx = - e3x + C D. xe2xdx = .e2x + C ò 3 9 ò 2 Câu 14. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? x 3 1 A. x 2 ln xdx = . + C ò 3 x x 3 x 3 B. x 2 ln xdx = .ln x - + C ò 3 9 C. ò ln(x + 1+ x 2 )dx = x ln(x + 1+ x 2 )- 1+ x 2 + C ex (sin x - cosx) D. ex sin xdx = + C ò 2 Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x.sin(2x + 1) x 1 A. f (x)dx = - .cos(2x + 1)+ .sin(2x + 1)+ C ò 2 4 x 2 B. f (x)dx = - .cos(2x + 1)+ C ò 4 x 1 C. f (x)dx = .cos(2x + 1)- .sin(2x + 1)+ C ò 2 4 x 1 D. f (x)dx = - .cos(2x + 1)+ .sin(2x + 1)+ C ò 2 2 Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x.ln(1+ x) x 2 A. f (x)dx = + C ò 2(x + 1) x 2 1 B. f (x)dx = ln(1+ x)- x 3 ln(1+ x) + C ò 2 6 1 1 x C. f (x)dx = (x 2 - 1).ln(1+ x)- x 2 + + C ò 2 4 2 x 2 1 x 1 D. f (x)dx = ln(1+ x)- x 2 - + ln(x + 1) + C ò 2 4 2 2 Câu 17. Nguyên hàm của hàm số: I = ò(x - 2)sin 3xdx là: (x - 2)cos3x 1 (x - 2)cos3x 1 A. F(x) = - + sin 3x + C B. F(x) = + sin 3x + C 3 9 3 9 (x + 2)cos3x 1 (x - 2)cos3x 1 C. F(x) = - + sin 3x + C D. F(x) = - + sin 3x + C 3 9 3 3