›
›
›

Tài liệu ôn thi vào Lớp 10 môn Toán Lớp 9

docx 71 trang Đình Phong 14/10/2023 4898
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu ôn thi vào Lớp 10 môn Toán Lớp 9", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxtai_lieu_on_thi_vao_lop_10_mon_toan_lop_9.docx

Nội dung text: Tài liệu ôn thi vào Lớp 10 môn Toán Lớp 9

  1. Nội dung Phần I: Các vấn đề cơ bản Tốn 9 Vấn đề 1: Rút gọn biểu thức chứa căn - Kiến thức cần nhớ - Một số bài tốn cĩ lời giải - Một số bài tập tự luyện Vấn đề 2: Phương trình bậc hai một ẩn số - Kiến thức cần nhớ - Một số bài tập cĩ lời giải - Một số bài tập tự luyện Vấn đề 3: Hàm số đồ thị bậc nhất – Bậc hai - Một số kiến thức cần nhớ - Một số bài tập cĩ lời giải - Một số bài tập tự luyện Vấn đề 4: Giải bài tốn bằng cách lập phương trình–Hệ PT - Kiến thức cần nhớ - Một số bài tập cĩ lời giải - Một số bài tập tự luyện Vấn đề 5: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số - Kiến thức cần nhớ - Một số bài tập cĩ lời giải - Một số bài tập tự luyện Vấn đề 6: Bất đẳng thức – Giá trị Min – Max của biểu thức - Một số bài tập tiêu biểu cĩ lời giải Vấn đề 7: Hình học phẳng và khơng gian - Kiến thức cần nhớ
  2. - Một số bài tập cĩ lời giải Phần II : Một số đề thi tiêu biểu cĩ đáp án và biểu điểm Phần III: Một số đề thi tự luyện theo cấu trúc đề thường gặp Mục lục PHẦN I: CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TỐN 9 VẤN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI A. Kiến thức cần nhớ: A.1. Kiến thức cơ bản A.1.1. Căn bậc hai a. Căn bậc hai số học - Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a - Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0 x 0 x a - Một cách tổng quát: 2 x a b. So sánh các căn bậc hai số học - Với hai số a và b khơng âm ta cĩ: a b a b A.1.2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 A a. Căn thức bậc hai - Với A là một biểu thức đại số , người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn - A xác định (hay cĩ nghĩa) A 0 b. Hằng đẳng thức A2 A
  3. - Với mọi A ta cĩ A2 A - Như vậy: + A2 A nếu A 0 + A2 A nếu A 0 ta cĩ: B B b. Quy tắc khai phương một thương: Muốn khai phương một thương a/b, trong đĩ a khơng âm và b dương ta cĩ thể lần lượt khai phương hai số a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chí cho kết quả thứ hai. c. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a khơng âm cho số b dương ta cĩ thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đĩ. A.1.5. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai a. Đưa thừa số ra ngồi dấu căn - Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta cĩ A2 B A B , tức là + Nếu A 0 và B 0 thì A2 B A B + Nếu A < 0 và B 0 thì A2 B A B b. Đưa thừa số vào trong dấu căn + Nếu A 0 và B 0 thì A B A2 B + Nếu A < 0 và B 0 thì A B A2 B c. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
  4. A AB - Với các biểu thức A, B mà A.B 0 và B 0, ta cĩ B B d. Trục căn thức ở mẫu - Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta cĩ A A B B B - Với các biểu thức A, B, C mà A 0 và A B2 , ta cĩ C C( A B) A B A B2 - Với các biểu thức A, B, C mà A 0, B 0 và A B , ta cĩ C C( A B) A B A B A.1.6. Căn bậc ba a. Khái niệm căn bậc ba: - Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a - Với mọi a thì ( 3 a)3 3 a3 a b. Tính chất - Với a < b thì 3 a 3 b - Với mọi a, b thì 3 ab 3 a.3 b a 3 a - Với mọi a và b 0 thì 3 b 3 b
  5. A.2. Kiến thức bổ xung (*) Dành cho học sinh khá giỏi, học sinh ơn thi chuyên A.2.1. Căn bậc n a. Căn bậc n ( 2 n N ) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a b. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1) • Mọi số đều cĩ một và chỉ một căn bậc lẻ • Căn bậc lẻ của số dương là số dương • Căn bậc lẻ của số âm là số âm • Căn bậc lẻ của số 0 là số 0 c. Căn bậc chẵn (n = 2k ) • Số âm khơng cĩ căn bậc chẵn • Căn bậc chẵn của số 0 là số 0 • Số dương cĩ hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là 2k a và 2k a d. Các phép biến đổi căn thức. • 2k 1 A. xác định với A 2k A. xác định với A 0 • 2k 1 A2k 1 A với  A 2k A2k A với  A • 2k 1 A.B 2k 1 A.2k 1 B với  A, B 2k A.B 2k A .2k B với  A, B mà A.B 0 • 2k 1 A2k 1.B A.2k 1 B với  A, B 2k A2k .B A .2k B với  A, B mà B 0
  6. A 2k 1 A • 2k 1 với  A, B mà B 0 B 2k 1 B A 2k A 2k với  A, B mà B 0, A.B 0 B 2k B • m n A mn A với  A, mà A 0 m • m An A n với  A, mà A 0 B. MỘT SỐ BÀI TẬP CĨ LỜI GIẢI. Bài 1: Tính: 3 - 3 3 + 3 a. A = + 2- 3 + 2 2 2+ 3 - 2 2 5 + 5 5 - 5 b. B = + 5 - 5 5 + 5 1 1 c. C = 5. + . 20 + 5 5 2 HƯỚNG DẪN GIẢI: 3 - 3 3 + 3 a. A = + . 2- 3 + 2 2 2+ 3 - 2 2 2( 3 - 3) 2( 3 + 3) = + 4- 2 3 + 4 4+ 2 3 - 4
  7. 2( 3 - 3) 2( 3 + 3) = + 3 - 1+ 4 3 + 1- 4 2( 3 - 3)2 + 2( 3 + 3)2 = 3- 9 24 2 = = - 4 2 - 6 5 + 5 5 - 5 (5 + \r(5))2 + (5 - \r(5))2 b. B = + = 5 - 5 5 + 5 (5 - \r(5))(5 + \r(5)) 25 + 10 5 + 5 + 25 - 10 5 + 5 60 = = = 3 25 - 5 20 1 1 5 1 c. C = 5. + . 20 + 5 = 5. + . 4.5 + 5 5 2 52 2 5 2 = 5 + 5 + 5 = 3 5 5 2 1 1 x 1 : Bài 2: Cho biểu thức A = 2 x x x 1 x 1 a) Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A b) Tim giá trị của x để A = 1 . 3 c) Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9 x HƯỚNG DẪN GIẢI: a). Điều kiện 0 x 1 x 1 x 1 x 1 A Với điều kiện đĩ, ta cĩ: : 2 x x 1 x 1 x 1 x 1 1 3 9 b). Để A = thì x x (thỏa mãn điều kiện) 3 x 3 2 4 9 1 Vậy x thì A = 4 3
  8. x 1 1 c). Ta cĩ P = A - 9 x = 9 x 9 x 1 x x 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cơ –si cho hai số dương ta cĩ: 9 x 2 9 x. 6 x x 1 1 Suy ra: P 6 1 5 . Đẳng thức xảy ra khi 9 x x x 9 1 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P 5 khi x 9 x 4 Bài 3: 1) Cho biểu thức A . Tính giá trị của A khi x = 36 x 2 x 4 x 16 2) Rút gọn biểu thức B : (với x 0;x 16 ) x 4 x 4 x 2 3) Với các của biểu thức A và B nĩi trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên HƯỚNG DẪN GIẢI: 36 4 10 5 1) Với x = 36 (Thỏa mãn x >= 0), Ta cĩ : A = 36 2 8 4 2) Với x 0, x 16 ta cĩ : x( x 4) 4( x 4) x 2 (x 16)( x 2) x 2 B = = x 16 x 16 x 16 (x 16)(x 16) x 16 x 2 x 4 x 2 2 2 ( 1) . 1 . 3) Ta cĩ: B A . x 16 x 2 x 16 x 2 x 16 Để B(A 1) nguyên, x nguyên thì x 16 là ước của 2, mà Ư(2) = 1; 2  Ta cĩ bảng giá trị tương ứng: x 16 1 1 2 2 x 17 15 18 14 Kết hợp ĐK x 0, x 16 , để B(A 1) nguyên thì x 14; 15; 17; 18  Bài 4: Cho biểu thức:
  9. x y xy P ( x y )(1 y ) x y ) x 1 x 1 1 y a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P. b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2. HƯỚNG DẪN GIẢI: a). Điều kiện để P xác định là :; x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0 . x(1 x) y(1 y ) xy x y (x y) x x y y xy x y P x y 1 x 1 y x y 1 x 1 y x y x y x xy y xy x y 1 x 1 y x x 1 y x 1 y 1 x 1 x 1 x 1 y x y y y x x 1 y 1 y y 1 y x xy y. 1 y 1 y Vậy P = x xy y. b) ĐKXĐ: x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0 P = 2 x xy y. = 2 x 1 y y 1 1 x 1 1 y 1 Ta cĩ: 1 + y 1 x 1 1 0 x 4 x = 0; 1; 2; 3 ; 4
  10. Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào ta cĩcác cặp giá trị x=4, y=0 và x=2, y=2 (thoả mãn). 2 x 9 2 x 1 x 3 Bài 5:Cho biểu thức M = x 5 x 6 x 3 2 x a. Tìm điều kiện của x để M cĩ nghĩa và rút gọn M b. Tìm x để M = 5 c. Tìm x Z để M Z. HƯỚNG DẪN GIẢI: 2 x 9 2 x 1 x 3 M = x 5 x 6 x 3 2 x a.ĐK x 0; x 4; x 9 0,5đ Rút gọn M = 2 x 9 x 3 x 3 2 x 1 x 2 x 2 x 3 x x 2 Biến đổi ta cĩ kết quả: M = x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 M = M x 3 x 2 x 3 x 1 b. . M 5 5 x 3 x 1 5 x 3 x 1 5 x 15 16 4 x 16 x 4 x 16 4 Đối chiếu ĐK: x 0; x 4; x 9 Vậy x = 16 thì M = 5 x 1 x 3 4 4 c. M = 1 x 3 x 3 x 3 Do M z nên x 3 là ước của 4 x 3 nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4 Lập bảng giá trị ta được:
  11. x 1;4;16;25;49 vì x 4 x 1;16;25;49 a 1 a - 1 a + 1 Bài 6: Cho biểu thức P = ( - )2 . ( - ) Với a > 0 và a ≠ 1 2 2 a a + 1 a - 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a để P 0 và a ≠ 1 2 2 a a + 1 a - 1 a 1 a 1 a 1 P ( )2 .( ) 2 2 a a 1 a 1 a a 1 ( a 1)2 ( a 1)2 P ( )2 . 2 a ( a 1)( a 1) a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 P ( )2 . 2 a a 1 (a 1)4 a 1 a P 4a a 1 a Vậy P = Víi a > 0 và a ≠ 1 a b) Tìm a để P 0 và a ≠ 1 nên a > 0 1 - a  P = 1 ( TMĐK) a a a b Bài 7: Cho biểu thức: Q = - ( 1 + ) : a2 - b2 a2 - b2 a - a2 - b2 a) Rút gọn Q b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Rút gọn:
  12. a a b Q = - ( 1 + ) : a2 - b2 a2 - b2 a - a2 - b2 a a2 - b2 + a a - a2 - b2 = - . a2 - b2 a2 - b2 b a b a - b = - = a2 - b2 a2 - b2 a2 - b2 (\r(a - b))2 a - b = = (a - b)(a + b) a + b 3b - b b) Khi cĩ a = 3b ta cĩ: Q = = 2b = 1 3b + b 4b 2 Bài 8: Cho biểu thức 1 1 2 1 1 x 3 y x x y y 3 A . : 3 3 x y x y x y x y xy a ) Rút gọn A; b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A cĩ giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đĩ. HƯỚNG DẪN GIẢI: Đkxđ : x > 0 , y > 0 1 1 2 1 1 x 3 y x x y y 3 a) A . : 3 3 x y x y x y x y xy x y 2 x y x y x xy y xy x y . : xy x y xy xy x y 2 x y x y x y : xy xy xy x y 2 x y xy x y . . xy x y xy
  13. 2 b) Ta cĩ x y 0 x y 2 xy 0 x y 2 xy . x y 2 xy 2 16 Do đĩ A 1 ( vì xy = 16 ) xy xy 16 x y Vậy min A = 1 khi x y 4. xy 16 Bài 9: Cho biểu thức: 1 x 3 2 x 2 P x x 1 x 1 2 2 x 2x x a) Tìm điều kiện để P cĩ nghĩa. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P với x 3 2 2 . HƯỚNG DẪN GIẢI: x 0 x 1 0 a. Biểu thức P cĩ nghĩa khi và chỉ khi : 2 x 0 x 1 2 0 x 0 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 b) Đkxđ : x 1;x 2;x 3 1 x 3 2 x 2 P x x 1 x 1 2 2 x 2 x x x x 1 x 3 x 1 2 2 x 2 x x 1 x x 1 x 1 2 x 1 2 2 x x 2 x
  14. x x 1 x 3 x 1 2 2 x x 2 . x x 1 x 1 2 x 2 x x x 1 x 3 x 1 2 2 x . x x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 . 1 2 x x x 1 x 1 2 . x x x 2 2 x c) Thay x 3 2 2 2 1 vào biểu thức P , ta cĩ: x 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 P 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 Bài 10: Cho biểu thức: 4 x 8x x 1 2 P = ( ) : ( ) 2 x 4 x x 2 x x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P = -1 c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta cĩ: m( x 3)P x 1 HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Ta cĩ: x 2 x x( x 2) x 0 x 0 x 0 • ĐKXĐ: 4 x 0 x 4 x 2 0 • Với x > 0 và x 4 ta cĩ: 4 x 8x x 1 2 P = ( ) : ( ) 2 x x 4 x ( x 2) x
  15. 4 x ( x 2) 8x x 1 2( x 2) : ( x 2)( x 2) x ( x 2 ) 4x 8x 8x x 1 2 x 4 : ( x 2)( x 2) x ( x 2) 4 x 8 x x 3 : ( Đk: x 9) ( x 2 )( x 2 ) x ( x 2 ) 4 x( x 2) x( x 2) . ( x 2)( x 2) 3 x 4 x. x( x 2) (3 x)( x 2) 4x x 3 4x Với x > 0 , x 4, x 9 thì P = x 3 b) P = - 1 4x 1( ĐK: x > 0, x 4, x 9 ) x 3 4x 3 x 4x 3 x 0 Đặt x y đk y > 0 Ta cĩ phương trình: 4y2 y 3 0 Các hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0 3 y 1 ( khơng thoả mãn ĐKXĐ y > 0), y ( thoả mãn ĐKXĐ y > 0) 1 2 4 3 9 Với y x thì x = ( thoả mãn đkxđ) 4 16 9 Vậy với x = thì P = - 1 16 c) m( x 3)P x 1 (đk: x > 0; x 4, x 9 )
  16. 4 x m ( x 3) x 1 x 3 m.4 x x 1 x 1 m 4 x ( Do 4x > 0) x 1 x 1 1 1 • Xét 4 x 4 x 4 x 4 4 x Cĩ x > 9 (Thoả mãn ĐKXĐ) 1 1 ( Hai phân số dương cùng tử số, phân số nào cĩ mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn) x 9 1 1 4 x 3 6 1 1 1 1 4 4 x 4 3 6 1 1 5 4 4 x 1 8 5 x 1 18 4x 5 Theo kết quả phần trên ta cĩ : m x 1 18 m 4x 5 Kết luận: Với m , x 9 thì m( x 3)P x 1 18 C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Câu 1 Cho biểu thức : 1 1 x 2 1 A ( ) 2 . 1 x 2 x 1 x 1 2 1) Tim điều kiện của x để biểu thức A cĩ nghĩa . 2) Rút gọn biểu thức A . 3) Giải phương trình theo x khi A = -2 .
  17. 2 x x 1 x 2 Câu2 Cho biểu thức : A ( ) : x x 1 x 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức . b) Tính giá trị của A khi x 4 2 3 x 1 1 Câu3 Cho biểu thức : A : x x x x x 2 x a) Rút gọn biểu thức A . b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A . 1 1 1 1 1 Câu4 Cho biểu thức : A= : 1- x 1 x 1 x 1 x 1 x a) Rút gọn biểu thức A . b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3 c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất . a a 1 a a 1 a 2 Câu 5 Cho biểu thức : A = : a a a a a 2 a. Tìm ĐKXĐ b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên. x 1 2 x Câu 6 Cho biểu thức P 1 : 1 x 1 x 1 x x x x 1 a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm giá trịn nguyên của x để P x nhậ giá trị nguyên. a a a a Câu 7 Cho P 1 1 ; a 0, a 1 a 1 1 a a) Rút gọn P. b) Tìm a biết P > 2 .
  18. c) Tìm a biết P = a . 2 1 2x 16x2 1 Câu 8 Cho P ; x 1 4x2 2 2 a) Chứng minh P 1 2x 3 b) Tính P khi x 2 2 5 24 2.Tính Q 12 x 1 x 1 8 x x x 3 1 Câu 9 Cho biểu thức B : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn B. b) Tính giá trị của B khi x 3 2 2 . c) Chứng minh rằng B 1 với mọi gía trị của x thỏa mãn x 0; x 1. 1 1 Câu 10 Cho M 1 a : 1 1 a 1 a 2 a) Tìm TXĐ b) Rút gọn biểu thức M. 3 c) Tính giá trị của M tại a . 2 3 a a a a Câu 11 Cho biểu thức: A 1  1 ; a 0, a 1. a 1 a 1 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tìm a ≥0 và a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2 y y 2 xy Câu 12 Cho biểu thức: S : ; x 0, y 0, x y . x xy x xy x y 1. Rút gọn biểu thức trên. 2. Tìm giá trị của x và y để S=1.
  19. x 2 x 2 x 1 Câu 13 Cho biểu thức: Q  ; x 0, x 1. x 2 x 1 x 1 x 2 a. Chứng minh Q x 1 b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q cĩ giá trị là số nguyên. 1 1 x 2 x 1 Câu 14 Cho biểu thức: A : ; x 0 , x 1, x 4 . x x 1 x 1 x 2 1. Rút gọn A. 2. Tìm x để A = 0. a 1 1 a 3 a Câu 15 Rút gọn biểu thức: A ; a 1. a 2 1 a 2 a a 1 a a 1 x 2 x 1 x 1 Câu 16 Cho biểu thức: T ; x 0, x 1. x x 1 x x 1 x 1 1. Rút gọn biểu thức T. 2. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x≠1 luơn cĩ T<1/3. 3 1 x 1 x Câu 17 Cho biểu thức: M ; x 0; x 1. 1 x 1 x x 1. Rút gọn biểu thức M. 2. Tìm x để M ≥ 2. Bài 18: Cho biểu thức : 2mn 2mn 1 A= m+ 2 m 2 1 2 với m ≥ 0 ; n ≥ 1 1+n 1 n n a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A với m 56 24 5 . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. a 3 a 2 a a 1 1 Bài 19: Cho biểu thức P : a 2 a 1 a 1 a 1 a 1
  20. a) Rút gọn P. 1 a 1 b) Tìm a để 1 P 8 x 1 2 x Bài 20: Cho biểu thức P 1 : 1 x 1 x 1 x x x x 1 a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn P b) Tìm các giá trị nguyên của x để P x nhận giá trị nguyên. VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I. Định nghĩa : Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình cĩ dạng ax2 bx c 0 trong đĩ x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a 0 II. Cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai : Phương trình bậc hai ax2 bx c 0(a 0) b2 4ac *) Nếu 0 phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt : b b x ;x 1 2a 2 2a *) Nếu 0 phương trình cĩ nghiệm kép : b x x 1 2 2a
  21. *) Nếu 0 phương trình vơ nghiệm. III. Cơng thức nghiệm thu gọn : Phương trình bậc hai ax2 bx c 0(a 0) và b 2b' ' b'2 ac b' ' b' ' *) Nếu ' 0 phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt : x ;x 1 a 2 a b' *) Nếu ' 0 phương trình cĩ nghiệm kép : x x 1 2 a *) Nếu ' 0 phương trình vơ nghiệm. IV. Hệ thức Vi - Et và ứng dụng : 2 1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ax bx c 0(a 0) thì : b x x 1 2 a c x x 1 2 a 2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : x2 Sx P 0 (Điều kiện để cĩ u và v là S2 4P 0 ) 3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax2 bx c 0(a 0) cĩ hai nghiệm : c x 1;x 1 2 a Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax2 bx c 0(a 0) cĩ hai nghiệm : c x 1;x 1 2 a IV: Các bộ điều kiện để phương trình cĩ nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước: Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) cĩ: 1. Cĩ nghiệm (cĩ hai nghiệm) 0 2. Vơ nghiệm < 0 3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) = 0
  22. 4. Cĩ hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0 5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0 6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P 0 và P > 0 8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S 0 9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1 11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm cĩ giá trị tuyệt đối lớn hơn a.c 0 B. MỘT SỐ BÀI TẬP CĨ LỜI GIẢI: Bài 1. Giải các phương trình sau : a / 2x2 8 0 c / 2x2 3x 5 0 b / 3x2 5x 0 d / x4 3x2 4 0 3 2 x 2 6 e / x 3x 2x 6 0 f / 3 x 5 2 x Giải a / 2x2 8 0 2x2 8 x2 4 x 2 Vậy phương trình cĩ nghiệm x 2 x 0 x 0 2 b / 3x 5x 0 x(3x 5) 5 3x 5 0 x 3 5 Vậy phương trình cĩ nghiệm x 0;x 3 c / 2x2 3x 5 0 Nhẩm nghiệm :
  23. 5 5 Ta cĩ : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => phương trình cĩ nghiệm : x 1;x 1 2 2 2 d / x4 3x2 4 0 Đặt t x2 (t 0) . Ta cĩ phương trình : t2 3t 4 0 a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0 4 => phương trình cĩ nghiệm : t 1 0 (thỏa mãn); t 4 0(loại) 1 2 1 Với: t 1 x2 1 x 1 Vậy phương trình cĩ nghiệm x 1 e / x3 3x2 2x 6 0 (x3 3x2 ) (2x 6) 0 x2 (x 3) 2(x 3) 0 (x 3)(x2 2) 0 x 3 0 x 3 x 3 2 2 x 2 0 x 2 x 2 Vậy phương trình cĩ nghiệm x 3;x 2 x 2 6 f / 3 (ĐKXĐ : x 2;x 5) x 5 2 x x 2 6 Phương trình : 3 x 5 2 x (x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5) 4 x2 6x 3x2 30 15x 6x 30 4x2 15x 4 0 152 4.( 4).4 225 64 289 0; 17 15 17 1 => phương trình cĩ hai nghiệm : x (thỏa mãn ĐKXĐ) 1 2.( 4) 4 15 17 x 4 (thỏa mãn ĐKXĐ) 2 2.( 4) Bài 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : x2 mx m 3 0 (1) a/ Giải phương trình với m = - 2. 2 2 3 3 b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình. Tính x1 x2 ;x1 x2 theo m. 2 2 c/ Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x1 x2 9 . d/ Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.
  24. e/ Tìm m để phương trình cĩ nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm cịn lại. f/ Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm trái dấu. g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình khơng phụ thuộc vào giá trị của m. HƯỚNG DẪN GIẢI: a/ Thay m = - 2 vào phương trình (1) ta cĩ phương trình : x2 2x 1 0 (x 1)2 0 x 1 0 x 1 Vậy với m = - 2 phương trình cĩ nghiệm duy nhất x = 1. b/ Phương trình : x2 mx m 3 0 (1) Ta cĩ: m2 4(m 3) m2 4m 12 Phương trình cĩ nghiệm x1;x2 0 x1 x2 m (a) Khi đĩ theo định lý Vi-et, ta cĩ : x1x2 m 3 (b) 2 2 2 2 2 *) x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 ( m) 2(m 3) m 2m 6 3 3 3 3 3 2 *) x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) ( m) 3(m 3)( m) m 3m 9m c/ Theo phần b : Phương trình cĩ nghiệm x1;x2 0 2 2 2 Khi đĩ x1 x2 m 2m 6 2 2 2 2 Do đĩ x1 x2 9 m 2m 6 9 m 2m 15 0 2 '(m) ( 1) 1.( 15) 1 15 16 0; (m) 4 1 4 1 4 => phương trình cĩ hai nghiệm : m 5;m 3 1 1 2 1 Thử lại : +) Với m 5 7 0 => loại. +) Với m 3 9 0 => thỏa mãn. 2 2 Vậy với m = - 3 thì phương trình cĩ hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x1 x2 9 . d/ Theo phần b : Phương trình cĩ nghiệm x1;x2 0
  25. x1 x2 m (a) Khi đĩ theo định lý Vi-et, ta cĩ : x1x2 m 3 (b) Hệ thức : 2x1 + 3x2 = 5 (c) Từ (a) và (c) ta cĩ hệ phương trình : x1 x2 m 3x1 3x2 3m x1 3m 5 x1 3m 5 2x1 3x2 5 2x1 3x2 5 x2 m x1 x2 2m 5 x1 3m 5 Thay vào (b) ta cĩ phương trình : x2 2m 5 ( 3m 5)(2 m 5) m 3 6 m 2 15m 10 m 25 m 3 6 m 2 26 m 28 0 3m 2 13m 14 0 2 ( m ) 13 4.3.14 1 0 13 1 m1 2 => phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt : 2.3 13 1 7 m 2 2.3 3 Thử lại : +) Với m 2 0 => thỏa mãn. 7 25 +) Với m 0 => thỏa mãn. 3 9 7 Vậy với m 2;m phương trình cĩ hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5. 3 2 e/ Phương trình (1) cĩ nghiệm x1 3 ( 3) m.( 3) m 3 0 2m 12 0 m 6 Khi đĩ : x1 x2 m x2 m x1 x2 6 ( 3) x2 3 Vậy với m = 6 thì phương trình cĩ nghiệm x1 = x2 = - 3. f/ Phương trình (1) cĩ hai nghiệm trái dấu ac 0 1.(m 3) 0 m 3 0 m 3 Vậy với m < - 3 thì phương trình cĩ hai nghiệm trái dấu. g/ Giả sử phương trình cĩ hai nghiệm x1; x2. Khi đĩ theo định lí Vi-et, ta cĩ : x1 x2 m m x1 x2 x1 x2 x1x2 3 x1x2 m 3 m x1x2 3
  26. Vậy hệ thức liên hệ giữa x1; x2 khơng phụ thuộc vào m là: x1.x2 + (x1 + x2 ) – 3 = 0 Bài 3: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m) a) Tìm m để (1) cĩ nghiệm b) Tìm m để (1) cĩ nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đĩ? c) Tìm m để (1) cĩ 1 nghiệm bằng 2? khi đĩ hãy tìm nghiệm cịn lại(nếu cĩ)? HƯỚNG DẪN GIẢI: 3 a) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) cĩ dạng 2x - 3 = 0 x = (là nghiệm) 2 + Nếu m ≠ 1. Khi đĩ (1) là phương trình bậc hai cĩ: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 2 (1) cĩ nghiệm ’ = 3m-2 0 m 3 2 + Kết hợp hai trường hợp trên ta cĩ: Với m thì phương trình cĩ nghiệm 3 3 b) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) cĩ dạng 2x - 3 = 0 x = (là nghiệm) 2 + Nếu m ≠ 1. Khi đĩ (1) là phương trình bậc hai cĩ: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 2 (1) cĩ nghiệm duy nhất ’ = 3m-2 = 0 m = (thoả mãn m ≠ 1) 3 1 1 Khi đĩ x = 3 2 m 1 1 3 +Vậy với m = 1 thì phương trình cĩ nghiệm duy nhất x = 3 2 với m = 2 thì phương trình cĩ nghiệm duy nhất x = 3 3
  27. c) Do phương trình cĩ nghiệm x1 = 2 nên ta cĩ: 3 (m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 4m – 3 = 0 m = 4 3 1 Khi đĩ (1) là phương trình bậc hai (do m -1 = -1= ≠ 0) 4 4 3 3 Theo đinh lí Viet ta cĩ: x1.x2 = 12 x 6 m 1 1 2 4 3 Vậy m = và nghiệm cịn lại là x2 = 6 4 Bài 4: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x - 3 - m = 0 a) Chứng tỏ rằng phương trình cĩ nghiệm x1, x2 với mọi m b) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm cùng âm 2 2 d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x1 +x2 10. e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 khơng phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x1 qua x2 HƯỚNG DẪN GIẢI: 2 1 15 a) Ta cĩ: ’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) = m 2 4 2 1 15 Do m 0 với mọi m; 0 > 0 với mọi m 2 4 Phương trình luơn cĩ hai nghiệm phân biệt Hay phương trình luơn cĩ hai nghiệm (đpcm) b) Phương trình cĩ hai nghiệm trái dấu a.c -3 Vậy m > -3 c) Theo ý a) ta cĩ phương trình luơn cĩ hai nghiệm Khi đĩ theo định lí Viet ta cĩ: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
  28. Khi đĩ phương trình cĩ hai nghiệm âm S 0 2(m 1) 0 m 1 m 3 (m 3) 0 m 3 Vậy m < -3 d) Theo ý a) ta cĩ phương trình luơn cĩ hai nghiệm Theo định lí Viet ta cĩ: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) 2 2 2 2 2 Khi đĩ A = x1 +x2 = (x1 + x2) - 2x1x2 = 4(m-1) +2(m+3) = 4m – 6m + 10 Theo bài A 10 4m2 – 6m 0 2m(2m-3) 0 m 0 m 0 3 m 3 2m 3 0 2 m 2 m 0 m 0 m 0 2m 3 0 3 m 2 3 Vậy m hoặc m 0 2 e) Theo ý a) ta cĩ phương trình luơn cĩ hai nghiệm x1 x2 2(m 1) x1 x2 2m 2 Theo định lí Viet ta cĩ: . x1.x2 (m 3) 2x1.x2 2m 6 x1 + x2+2x1x2 = - 8 Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 khơng phụ thuộc m 8 x2 f) Từ ý e) ta cĩ: x1 + x2+2x1x2 = - 8 x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) x1 1 2x2 8 x2 1 Vậy x1 ( x2 ) 1 2x2 2 Bài 5: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số) a) Phương trình cĩ hai nghiệm là nghịch đảo của nhau b) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1 1 1 c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1 x1 ; y2 x2 với x1; x2 là nghiệm x2 x1 của phương trình ở trên
  29. HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Ta cĩ ’ = 12 – (m-1) = 2 – m Phương trình cĩ hai nghiệm là nghịch đảo của nhau ' 0 2 m 0 m 2 m 2 P 1 m 1 1 m 2 Vậy m = 2 b) Ta cĩ ’ = 12 – (m-1) = 2 – m Phương trình cĩ nghiệm 0 2 – m 0 m 2 (*) Khi đĩ theo định lí Viet ta cĩ: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2) Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3) x1 x2 2 2x1 2x2 4 x1 5 x1 5 Từ (1) và (3) ta cĩ: 3x1 2x2 1 3x1 2x2 1 x1 x2 2 x2 7 Thế vào (2) ta cĩ: 5(-7) = m -1 m = - 34 (thoả mãn (*)) Vậy m = -34 là giá trị cần tìm d) Với m 2 thì phương trình đã cho cĩ hai nghiệm Theo định lí Viet ta cĩ: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2) 1 1 x1 x2 2 2m Khi đĩ: y1 y2 x1 x2 x1 x2 2 (m≠1) x1 x2 x1 x2 m 1 1 m 1 1 1 1 m 2 y1 y2 (x1 )(x2 ) x1 x2 2 m 1 2 (m≠1) x2 x1 x1 x2 m 1 m 1 2 2 2m m y1; y2 là nghiệm của phương trình: y - .y + = 0 (m≠1) 1 m m 1 Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0
  30. C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1Cho phương trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1). Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình (1) cĩ nghiệm nguyên. HDẫn : * m = 1 : -2x + 2 = 0 x 1 m 1 2 * m 1 : m - 1 + (-2m) +m +1 = 0 x 1 ; x 1 1 2 m 1 m 1 m 1 1; 2 m 1;0;2;3 Bài 2: Cho phương trình x2 + (2m - 5)x - 3n = 0 . Xác định m và n để phương trình cĩ 2 nghiệm là 3 và -2. 6m 3n 6 m 2 HDẫn : 4m 3n 14 n 2
  31. Bài 3: Tìm m, n để phương trình bậc hai sau đây cĩ nghiệm duy nhất là 1 : 2 mx2 + (mn + 1)x + n = 0 m 0 m 2 HDẫn : 0 1 n m 1 2 mn 1 . n 0 4 2 Bài 4: Cho hai phương trình : x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) và x2 + x - 2m - 10 = 0 (2) CMR : Với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phương trình trên cĩ nghiệm . HDẫn : 1 2 26 > 0 cĩ 1 biệt số khơng âm . Bài 5: Cho hai phương trình : x2 + (m - 2)x +m = 0 (1) 4 và 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = 0 (2) CMR với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phương trình trên cĩ nghiệm . HDẫn : 1 (m 1)(m 4) ; 2 16(1 m)(m 4) 2 2 1. 2 16(m 1) (m 4) 0 cĩ 1 biệt số khơng âm . Bài 6: Tìm giá trị của m để hai phương trình sau đây cĩ ít nhất 1 nghiệm chung. x2 + 2x + m = 0 x2 + mx + 2 = 0 2 HDẫn : (m -2)x0 = m - 2 : + m =2 : hai phương trình cĩ dạng : x + 2x +2 = 0 ( vơ nghiệm) + m 2 : x 0 = 1 ; m = -3 Bài 7: Tìm giá trị của m để hai phương trình sau đây cĩ ít nhất 1 nghiệm chung. x2 + (m - 2)x + 3 = 0
  32. 2x2 + mx + (m + 2) = 0 2 HDẫn : (m - 4)x0 = m - 4 : + m = 4 : hai phương trình cĩ dạng : x + 2x +3 = 0 ( vơ nghiệm) + m 4 : x 0 = 1 ; m = -2 2 Bài 8 : Gọi x1 và x2 là những nghiệm của phương trình : 3x - (3k - 2)x - (3k + 1) = 0 (1) Tìm những giá trị của k để các nghiệm của phương trình (1) thoả mãn : 3x1 5x2 6 k 0 2 4 HDẫn : * (3k 4) 0 k * 32 (t/m) 3 k 15 Bài 9 : Cho phương trình : x2 - (2m + 1)x + m2 + 2 = 0. Xác định m để giữa hai nghiệm x1 , x2 ta cĩ hệ thức : 3x1 x2 5(x1 x2 ) 7 0 m 2 7 4 HDẫn : * 4m 7 0 m * 4 loại m = 4 m 3 3 2 Bài 10: Cho phương trình x 2 m 2 x m 1 0 . Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương 2 trình. Tìm giá trị của m để x1 1 2x2 x2 1 2x1 m 2 3 3 HDẫn : * ' = m 0 2 4 2 2 m 0 * x1 1 2x2 x2 1 2x1 m x1 x2 4x1 x2 m m m 2 0 m 2 Bài 11: Cho phương trình x 2 2 m 3 x 2m 7 0 (1) 1 1 Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1, x2 . hãy tìm m để m x1 1 x2 1
  33. HDẫn : * = m 4 2 0 1 1 7 33 * m 2m 2 7m 2 0 m x1 1 x2 1 4 Bài 11: Cho phương trình x2 - ( 2m + 1)x + m2 + m = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình cĩ hai nghiệm thoả mãn: - 2 0 * x1= m , x2= m + 1 x1 0 ) 4 a 2 a 2 2 5 a 2 5 (t / m) Bài 13: Cho phương trình bậc hai mx 2 5m 2 x 6m 5 0 1-Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm đối nhau. ( m = 2 ) 5 2-Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm nghịch đảo nhau. m 1 Bài 14: Tìm giá trị m để phương trình: a) 2x2 + mx + m - 3 = 0
  34. Cĩ 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm cĩ giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. ( 0<m <3) b) x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 Cĩ 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối. (m = 1) Bài 15: Xác định m để phương trình x2 - (m + 1)x + 2m = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt sao cho x1, x2 là độ dài hai cạnh gĩc vuơng của một tam giác vuơng cĩ cạnh huyền bằng 5. 0 m 3 8; m 3 8 S 0 m 1 m 6 P 0 m 0 2 2 2 x1 x2 5 m 6; m 4 Bài 16: Số đo hai cạnh gĩc vuơng của một tam giác vuơng là nghiệm của phương trình bậc hai : m 2 x 2 2 m 1 x m 0 . Hãy xác định giá trị của m để số đo đường cao ứngvới cạnh huyền là 2 . 5 m 2 ' 0 m 0 1 1 1 HD GIẢI* * 2 2 2 m 4(t / m) khi đĩ x1 = 1; x2 = 2 m 2 P 0 x1 x2 2 S 0 5 Bài 17: Cho hai phương trình x 2 2m n x 3m 0 (1) và x 2 m 3n x 6 0 (2) Tìm m và n để các phương trình (1) và (2) tương đương. H.DẪN*Phương trình (2) cĩ ac = - 6<0 (2) cĩ 2 nghiệm phân biệt. 2m n m 3n m 2 * 3m 6 n 1 * Thử lại, rút kết luận.
  35. Bài 18: Tìm các giá trị của m và n để hai phương trình sau tương đương : x 2 4m 3n x 9 0 (1) và x 2 3m 4n x 3n 0 (2) H.DẪN *Phương trình (1) cĩ ac = - 9<0 (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt. 4m 3n 3m 4n * m n 3 9 3n * Thử lại, rút kết luận. 2 2 2 Bài 19: Cho phương trình x 2mx 2m 1 0 . Tìm m sao cho A = 2(x 1 x 2 ) 5x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. * ' m 1 2 0 2 2 9 9 9 9 9 * A 8m 18m 9 2 2m Amin m 4 8 8 8 8 2 Bài 20: Cho phương trình x 2(m 2)x 6m 0 (1). Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương 2 2 trình (1) . Tìm giá trị nhỏ nhất của x 1 x 2 . * ' m 1 2 3 0 2 2 2 2 2 1 * x 1 x 2 = 2m 1 15 15 x 1 x 2 15 m min 2 2 Bài 21: Cho phương trình x 2(m 1)x m 4 0 cĩ hai nghiệm x1, x2 . Chứng minh rằng biểu thức H = x1 1 x2 x2 1 x1 khơng phụ thuộc vào m. 2 1 19 HƯỚNG DẪN: * ' m 0 2 4 * H x1 x2 2x1 x2 2 m 1 2 m 4 10 2 Bài 22: Cho phương trình x 2(m 1)x m 3 0 cĩ hai nghiệm x1, x2 .
  36. Chứng minh rằng biểu thức Q = x1 2007 2006x2 x2 2007 2008x1 khơng phụ thuộc vào giá trị của m. 2 1 15 HƯỚNG DẪN: * ' m 0 2 4 * Q 2007 x1 x2 4014x1 x2 2007 2m 2 4014 m 3 16056 VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ BẬC NHẤT – BẬC 2 (KHUYẾT) A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I. Hàm số bậc nhất a. Khái niệm hàm số bậc nhất - Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi cơng thức y = ax + b. Trong đĩ a, b là các số cho trước và a 0 b. Tính chất Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và cĩ tính chất sau: - Đồng biến trên R khi a > 0 - Nghịch biến trên R khi a < 0 c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng - Cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ bằng b - Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0 * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) Bước 1. Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy. Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hồnh Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’ 0). Khi đĩ
  37. a a ' + d // d ' b b' + d ' d ' A a a ' a a ' + d  d ' b b' + d  d ' a.a ' 1 e. Hệ số gĩc của đường thẳng y = ax + b (a 0) • Gĩc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox. - Gĩc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là gĩc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đĩ A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và cĩ tung độ dương • Hệ số gĩc của đường thẳng y = ax + b -Hệ số a trong y = ax + b được gọi là hệ số gĩc của đường thẳng y = ax +b II. Hàm số bậc hai a. Định nghĩa - Hàm số cĩ dạng y = ax2 (a 0) b. Tính chất - Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và: + Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0 + Nếu a 0 c. Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0) - Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh, O là điểm thấp nhất của đồ thị + Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dười trục hồnh, O là điểm cao nhất của đồ thị Kiến thức bổ xung Cơng thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đĩ
  38. 2 2 - Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi cơng thức AB (xB xA ) (yB yA ) - Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi cơng thức x x y y x A B ; y A B M 2 M 2 Quan hệ giữa Parabol y = ax2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n (m 0) Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Khi đĩ y ax2 - Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình y mx n - Hồnh độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình ax2= mx + n (*) - Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*) + Nếu (*) vơ nghiệm thì (P) và (d) khơng cĩ điểm chung + Nếu (*) cĩ nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau + Nếu (*) cĩ hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt Một số phép biến đổi đồ thị Cho hàm số y = f(x) cĩ đồ thị là (C) - Đồ thị (C1): y = f(x) + b được suy ra bằng cách tịnh tiến (C) dọc theo trục tung b đơn vị - Đồ thị (C2): y = f(x + a) được suy ra bằng cách tịnh tiến (C) dọc theo trục hồnh –a đơn vị - Đồ thị (C3): y = f(|x|) gồm hai phần + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy, bỏ phần (C) nằm bên trái Oy + Lấy đối xứng phần (C) nằm bên phải Oy qua Oy - Đồ thị (C4): y = |f(x)| gồm hai phần + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên Ox, bỏ phần (C) nằm bên dưới Ox + Lấy đối xứng phần (C) nằm bên trên Ox qua Oy. III. Tương quan đồ thị Hàm số bậc nhất – Hàm số bậc hai. Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Khi đĩ: Hồnh độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình ax2= mx + n (*) - Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*)
  39. + Nếu (*) vơ nghiệm thì (P) và (d) khơng cĩ điểm chung + Nếu (*) cĩ nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau + Nếu (*) cĩ hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. B. MỘT SỐ BÀI TẬP CĨ LỜI GIẢI: Bài tập 1: Trên cùng mặt phẳng toạ độ cho Parabol (P) y 2x2 và đường thẳng (d) y=(m-2)x+1 và (d’)y=-x+3 (m là tham số ) . Xác định m để (P) ,(d) và (d’) cĩ điểm chung . Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d’): 3 2x2=-x+3 2x2+x-3=0 (a+b+c=0) x 1; x 1 2 2 +Khi x=1 thì y=2 3 9 +Khi x thì y 2 2 3 9 Vậy (d’) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A 1;2 & B ; 2 2 2 (m 2).1 1 m 3 A d Để (P) ,(d) và (d’) cĩ điểm chung thì 9 3 1 B d (m 2)( ) 1 m 2 2 3 Vậy với m=3 hay m= 1 thì (P) ,(d) và (d’) cĩ 1 điểm chung 3 Bài tập 2: Trong cùng mặt phẳng toạ độ , cho (P) : y x2 và đường thẳng (d) : y=mx+1 (m là tham số ).Xác định m để : a) (d) tiếp xúc (P) b)(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt . c) (d) và (P) khơng cĩ điểm chung . Giải : Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d) là : x2+mx+1=0 (*) m2 4 a) (d) tiếp xúc (P)khi phương trình (*) cĩ nghiệm kép 2 m 2 0 m 4 0 m 2
  40. b) (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi (*) cĩ 2 nghiệm phân biệt 2 m 2 0 m 4 0 m 2 c) (d) và (P) khơng cĩ điểm chung khi (*) vơ nghiệm 2 0 m 4 0 2 m 2 x2 m 3 Bài tập 3: Cho (P) : y và (d) : y (m 1)x (m R) 2 2 2 2 Xác định m để (d) cắt (P)tại 2 điểm A(xA; yA) ; B(xB; yB) sao cho : x A x B 10 Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d)là : x2 3 m m 2 x (*) x2 2(m 1)x 3 m 0 2 2 2 2 1 15 1 15 ' m m m 0 4 4 2 4 Vậy phương trình (*) cĩ 2 nghiệm phân biệt là xA ; xB xA xB 2(m 1) Theo Viét ta cĩ : xA.xB 3 m 2 2 2 Dox A x B 0 xA xB 2xA.xB 0 4m2 6m 0 2m(m 3) 0 m 0;m 3 m 3 m 0;m 3 m 0 m 3 Vậy với thì (P) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt A;B m 0 x 2 Bài tập 4: Trong cùng mặt phẳng toạ độ , cho (P) : y , điểm M(0;2). 2 Đường thẳng (D) đi qua M và khơng trùng với Oy . Chứng minh rằng (d) cắt (P)tại 2 điểm phân biệt sao cho A· OB 90 Giải:
  41. - Vì (D) đi qua M(0;2) và khơng trùng với Oy nên cĩ dạng y=ax+b - M (D)nên: 2=a.0+b b=2 và (D): y=ax+2 Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (D) là : x2 ax 2 x2 2ax 4 0(*) 2 Vì phương trình (*) cĩ hệ số a=1 ; c—4 (a.c<0) nên (*) cĩ 2 nghiệm phân biệt xA xB 2a A(xA; yA) ; B(xB; yB) Theo hệ thức Viét ta cĩ: xA.xB 4 x2 x2 Vì A (P) y A ;B (P) y B A 2 B 2 4 4 2 2 x 2 2 x OA2 x 0 y 0 x2 A ;OB2 x 0 y 0 x2 B A A A 4 B B B 4 2 2 2 4 4 2 2 2 2 x A x B 2 2 x A x B AB xA xB yA yB xA xB x A x B 2 2 4 x4 x4 Ta có OA2 OB2 x2 x2 A B A B 4 Vậy : OA2 OB2 AB2 AOBvuông tại O C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Cho hai hàm số: y = x và y = 3x a. Vẽ đồ thị của hai hàm số đĩ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy b. Đường thẳng song song với trục Ox, cắt Oy tại điểm cĩ tung độ bằng 6, cắt các đường thẳng: y = x và y = 3x lần lượt ở A và B. Tìm tọa độ các điểm A và B, tính chu vi, diện tích tam giác OAB 1 Bài 2: Cho hàm số y = - 2x và y x . 2 a. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của hai hàm số trên;
  42. b. Qua điểm (0; 2) vẽ đường thẳng song song với trục Ox cắt đường thẳng 1 y x và y = - 2x lần lượt tại A và B. Chứng minh tam giác AOB là tam 2 giác vuơng và tính diện tích của tam giác đĩ. Bài 3: Cho hàm số: y = (m + 4)x - m + 6 (d). a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến. b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm được của m. c. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đường thẳng (d) luơn luơn đi qua một điểm cố định. Bài 4: Cho ba đường thẳng y = -x + 1, y = x + 1 và y = -1. a. Vẽ ba đường thẳng đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. b. Gọi giao điểm của đường thẳng y = -x + 1 và y = x + 1 là A, giao điểm của đường thẳng y = -1 với hai đường thẳng y = -x + 1 và y = x + 1 theo thứ tự là B và C. Tìm tọa độ các điểm A, B, C. c. Tam giác ABC là tam giác gì? Tính diện tích tam giác ABC. Bài 5: Cho đường thẳng (d): ;y = - 2x + 3. a. Xác định tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng d với hai trục Ox, Oy, tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng d. b. Tính khoảng cách từ điểm C(0; -2) đến đường thẳng d. Bài 6: Tìm giá trị của k để ba đường thẳng: 1 7 2 1 y = 2x + 7 (d1) y x (d2) y x (d3) 3 3 k k đồng quy trong mặt phẳng tọa độ. Bài 7: Cho hai đường thẳng: y = (m + 1)x - 3 và y = (2m - 1)x + 4.
  43. 1 a. Chứng minh rằng khi m thì hai đường thẳng đã cho vuơng gĩc với 2 nhau. b. Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng đã cho vuơng gĩc với nhau. Bài 8: Xác định hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau: a. Khi a 3 , đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ bằng 3 . b. Khi a = - 5, đồ thị hàm số đi qua điểm A(- 2; 3). c. Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(1; 3) và N(- 2; 6). d. Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y 7x và đi qua điểm 1;7 7 . Bài 9: Cho đường thẳng: y = 4x (d). a. Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với đường thẳng (d) và cĩ tung độ gốc bằng 10. b. Viết phương trình đường thẳng (d2) vuơng gĩc với đường thẳng (d) và cắt trục Ox tại điểm cĩ hồnh độ bằng – 8. c. Viết phương trình đường thẳng (d3) song song với đường thẳng (d) cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B và diện tích tam giác AOB bằng 8. 1 Bài 10: Cho hàm số: y = 2x + 2 (d1) y x 2 (d2). 2 a. Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. b. Gọi giao điểm của đường thẳng (d1) với trục Oy là A, giao điểm của đường thẳng (d2) với trục Ox là B, cịn giao điểm của đường thẳng (d1) và (d2) là C. Tam giác ABC là tam giác gì? Tìm tọa độ các điểm A, B, C. c. Tính diện tích tam giác ABC. 1 Bài 11: Cho các hàm số sau: y = - x - 5 (d1) ; y x (d2) ; y = 4x (d3) 4 a. Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
  44. b. Gọi giao điểm của đường thẳng (d1) với đường thẳng (d2) và (d3) lần lượt là A và B. Tìm tọa độ các điểm A, B. c. Tam giác AOB là tam giác gì? Vì sao? d. Tính diện tích tam giác AOB. Bài 12: Cho hai đường thẳng: y = (k - 3)x - 3k + 3 (d1) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d2). Tìm các giá trị của k để: a. (d1) và (d2) cắt nhau. b. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung. c. (d1) và (d2) song song với nhau. d. (d1) và (d2) vuơng gĩc với nhau. e. (d1) và (d2) trùng nhau. Bài 13: Cho hàm số bậc nhất: y = (m + 3)x + n (d). Tìm các giá trị của m, n để đường thẳng (d): a. Đi qua điểm A(1; - 3) và B(- 2; 3). b. Cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ bằng 1 3 , cắt trục hồnh tại điểm cĩ hồnh độ 3 3 . c. Cắt đường thẳng 3y - x - 4 = 0. d. Song song với đường thẳng 2x + 5y = - 1. e. Trùng với đường thẳng y - 3x - 7 = 0. Bài 14: Cho hàm số: y = (m2 - 6m + 12)x2. a. Chứng tỏ rằng hàm số nghịch biến trong khoảng (-2005; 0), đồng biến trong khoảng (0; 2005). b. Khi m = 2, hãy tìm x để y = 8; y = 2 và y = - 2. 1 2 c. Khi m = 5, hãy tìm giá trị của y, biết x 1 2, x = 1- 2 và x . 1 2 Bài 15. Cho đường thẳng (d): y = (k - 2)x + q. Tìm các giá trị của k và q biết rằng đường thẳng (d) thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
  45. a. Đi qua điểm A(-1; 2) và B(3; 4) b. Cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ 1 2 và cắt trục hồnh tại điểm cĩ hồnh độ 2 2 c. Cắt đường thẳng -2y + x - 3 = 0 d. Song song với đường thẳng 3x + 2y = 1 Bài 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2/4 và đường thẳng (d): y = mx + n. Tìm các giá trị của m và n biết đường thẳng (d) thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a. Song song với đường thẳng y = x và tiếp xúc với (P) b. Đi qua điểm A(1,5; -1) và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (d) trong mỗi trường hợp trên. 1 Bài 17. Cho hàm số: y x2 . 2 1. Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. 2. Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lượt cĩ hồnh độ là - 2; 1. Viết phưong trình đường thẳng MN. 3. Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nĩ song song với đường thẳng MN và chỉ cắt (P) tại 1 điểm. Bài 18. Cho hàm số: y = x2 và y = x + m (m là tham số). 1. Tìm m sao cho đồ thị (P) của hàm số y = x2 và đồ thị (D) của y = x + m cĩ hai giao điểm phân biệt A và B. 2. Tìm phưong trình của đường thẳng (d) vuơng gĩc với (D) và (d) tiếp xúc với (P). 3. a). Thiết lập cơng thức tính khoảng cách giữa hai điểm theo tọa độ của hai điểm ấy. b). áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A, B (ở câu 1) là 3 3 . Bài 19. Trong cùng hệ trục tọa độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax2 và (D) là đồ thị hàm số y = - x + m.
  46. 1. Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2; -1) và vẽ (P) với a tìm được. 2. Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) (ở câu 1) và tìm tọa độ tiếp điểm. 1. Gọi B là giao điểm của (D) (ở câu 2) với tung độ. C là điểm đối xứng của A 1 Bài 20. Cho parabol (P): y x2 và đường thẳng (D) qua 2 điểm A và B trên (P) cĩ 4 hồnh độ lần lượt là - 2 và 4. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. 2. Viết phưong trình của (D). 3. Tìm điểm M trên cung AB của (P) (tương ứng hồnh độ) x  2;4 sao cho tam giác MAB cĩ diện tích lớn nhất. 1 Bài 21. Trong cùng hệ trục vuơng gĩc, cho parabol (P): y x2 và đường thẳng (D): 4 y = mx - 2m - 1. 1. Vẽ (P). 2. Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P). 3. Chứng tỏ rằng (D) luơn luơn đi qua một điểm cố định A thuộc (P). 1 Bài 22.Trong cùng hệ trục vuơng gĩc cĩ parabol (P): y x2 và đường thẳng (D) qua 4 3 điểm I( ; 1) cĩ hệ số gĩc m. 2 1. Vẽ (P) và viết phưong trình của (D). 2. Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P). 3. Tìm m sao cho (D) và (P) cĩ hai điểm chung phân biệt. 1 Bài 23. Trong cùng hệ trục tọa độ cho parabol (P): y x2 và đường thẳng (D): 4 1 y x 2 . 2 1. Vẽ (P) và (D).
  47. 2. Bằng phép tốn, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D). 3. Tìm tọa độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đĩ đường tiếp tuyến của (P) song song với (D). Bài 24. Cho họ đường thẳng cĩ phưong trình: mx + (2m - 1)y + 3 = 0 (1). 1. Viết phưong trình đường thẳng đi qua A(2; 1). 2. Chứng minh rằng các đường thẳng trên luơn đi qua một điểm cố định M với mọi m. Tìm tọa độ của M. Bài 25. Cho parabol (P): y = x2 - 4x + 3. 1. Chứng minh đường thẳng y = 2x - 6 tiếp xúc với (P). 2. Giải bằng đồ thị bất phưong trình: x2 - 4x + 3 > 2x - 4. 1 Bài 26. Cho parabol y x2 (P), điểm I(0; 2) và điểm M(m; 0) với m khác 0. 2 1. Vẽ (P). 2. Viết phưong trình đường thẳng (D) đi qua hai điểm M, I. 3. Chứng minh rằng đường thẳng (D) luơn luơn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m khác 0. 4. Gọi H và K là hình chiếu của A và B lên trục hồnh. Chứng minh rằng tam giác IHK là tam giác vuơng. 5. Chứng minh rằng độ dài đoạn AB > 4 với mọi m khác 0. 1 Bài 27. Trong mặt phẳng tọa độ vuơng gĩc Oxy, cho parbol (P): y x2 và điểm 4 I(0; -2). Gọi (D) là đường thẳng đi qua I và cĩ hệ số gĩc m. 1. Vẽ đồ thị (P). 2. Chứng tỏ rằng với mọi m, (D) luơn luơn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm quỹ tích trung điểm M của AB. 3. Với giá trị nào của m thì AB ngắn nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đĩ. Bài 28. Cho hàm số y = x2 cĩ đồ thị (P) trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
  48. 1. Vẽ (P). 2. Gọi A và B là hai điểm nằm trên (P) lần lượt cĩ hồnh độ -1 và 2. Chứng minh rằng; tam giác OAB vuơng. 3. Viết phưong trình đường thẳng (D) song song với AB và tiếp xúc với (P). 4. Cho đường thẳng (d): y = mx + 1 (với m là tham số). a. Chứng minh rằng; (d) luơn luơn đi qua một điểm cố định với mọi m. b. Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm cĩ hồnh độ x1, x2 thỏa mãn: 1 1 2 2 11. Vẽ (d) với m tìm được. x1 x2 Bài 29. Cho hàm số: y = 2x2 (P). 1. Vẽ đồ thị (P) của hàm số. 2. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho qua M cĩ thể kẻ được hai đường thẳng vuơng gĩc và cùng tiếp xúc với (P). Bài 30. Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): y = - x2 + 4x - 3 và đường thẳng (D); 2y + 4x - 17 = 0. 1. Vẽ (P) và (D). 2. Tìm vị trí của A thuộc (P) và B thuộc (D) sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất. Bài 31. Cho parabol (P): y = - x2 + 6x - 5. Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(3; 2) và cĩ hệ số gĩc m. 1. Chứng tỏ rằng với mọi m, đường thẳng (d) luơn luơn cắt (P) tại hai điểm phân biệt B, C. 2. Xác định đường thẳng (d) sao cho độ dài đoạn BC đạt giá trị nhỏ nhất. 1 1 Bài 32. Cho parabol (P): y x2 và đường thẳng (d) cĩ phưong trình: y mx . 2 2 1. Chứng minh rằng với mọi m, (d) luơn luơn đi qua một điểm cố định. 2. Chứng minh rằng với mọi m, (d) luơn luơn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN. 2 Bài 33. Cho hai đường thẳng (d1): y = (m + 2m)x và (d2): y = ax (a 0).
  49. 1. Định a để (d2) đi qua A(3; -1). 2. Tìm các giá trị m để cho (d1) vuơng gĩc với (d2) ở câu 1). Bài 34. Cho hàm số: y = ax + b. 1. Tìm a và b cho biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(- 1; 1) và N(2; 4). Vẽ đồ thị (d1) của hàm số với a, b tìm được. 2. Xác định m để đồ thị hàm số y = (2m2 – m)x + m2 + m là một đường thẳng song song với (d1). Vẽ (d2) vừa tìm được. 3. Gọi A là điểm trên đường thẳng (d1) cĩ hồnh độ x = 2. Tìm phưong trình đường thẳng (d3) đi qua A vuơng gĩc với cả hai đường thẳng (d1) và (d2). Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2). Bài 35. Cho hàm số: y = mx - 2m - 1 (1) (m 0). 1. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O. Vẽ đồ thị (d1) vừa tìm được. 2. Tính theo m tọa độ các giao điểm A, B của đồ thị hàm số (1) lần lượt với các trục Ox và Oy. Xác định m để tam giác AOB cĩ diện tích bằng 2 (đ.v.d.t). 3. Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luơn luơn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi. Bài 36. Cho parabol (P): y = ax2 và hai điểm A(2; 3), B(- 1; 0). 1. Tìm a biết rằng (P) đi qua điểm M(1; 2). Khảo sát và vẽ (P) với a tìm được. 2. Tìm phưong trình đường thẳng AB rồi tìm giao điểm của đường thẳng này với (P) (ở câu 1). 3. Gọi C là giao điểm cĩ hồnh độ dương. Viết phưong trình đường thẳng qua C và cĩ với (P) một điểm chung duy nhất. Bài 37: 1. Cho parabol (P): y = ax2; cho biết A(1; -1) (P). Xác định a và vẽ (P) với a tìm được. 2. Biện luận số giao điểm của (P) với đường thẳng (d): y = 2mx - m + 2.
  50. 1 3. Chứng tỏ rằng, I ;2 thuộc (d) với mọi m. Tìm phưong trình các đường thẳng 2 đi qua I và cĩ với (P) điểm chung duy nhất. Bài 38. x2 1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số y và đường thẳng (d): y x . 2 2 2. Chứng minh rằng (d) là một tiếp tuyến của (P). 3. Biện luận số giao điểm của (P) và (d’): y = x - m bằng hai cách (đồ thị và phép tốn). Bài 39. Cho parabol (P): y = ax2 và hai điểm A(- 2; - 5) và B(3; 5). 1. Viết phưong trình đường thẳng AB. Xác định a để đường thẳng AB tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm. 2. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm được. 3. Một đường thẳng (D) di động luơn luơn vuơng gĩc với AB và cắt (P) tại hai 5 điểm M và N. Xác định vị trí của (D) để MN . 2 Bài 40. Cho hàm số: y = x2 - 2x + m - 1 cĩ đồ thị (P). 1. Vẽ đồ thị (P) khi m = 1. 2. Xác định m để đồ thị (P) của hàm số tiếp xúc với trục hồnh. 3. Xác định m để đồ thị (P) của hàm số cắt đường thẳng (d) cĩ phưong trình: y = x + 1 tại hai điểm phân biệt. Bài 41. Cho đường thẳng (D1): y = mx - 3. (D2): y = 2mx + 1 - m. 1. Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy các đường thẳng (D1) và (D2) ứng với m = 1. Tìm tọa độ giao điểm B của chúng. Qua O viết phưong trình đường thẳng vuơng gĩc với (D1) tại A. Xác định A và tính diện tích tam giác AOB. 2. Chứng tỏ rằng các đường thẳng (D1) và (D2) đều đi qua những điểm cố định. Tìm tọa độ của điểm cố định.
  51. Bài 42. Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) cĩ phưong trình: 3 m 1 2m (d1): y x 2m 3 và (d2): y (m 2)x . 2 3 1. Chứng minh rằng (d1) và (d2) đi qua các điểm cố định. Tìm tọa độ điểm cố định. 2. Viết phưong trình các đường thẳng (d1) và (d2); cho biết (d1) thẳng gĩc với (d2). 3. Viết phưong trình các đường thẳng (d1) và (d2); cho biết (d1) song song với (d2). 1 Bài 43. Cho parabol (P): y x2 . 2 1. Viết phưong trình đường thẳng cĩ hệ số gĩc m và đi qua điểm A trên trục hồnh cĩ hồnh độ là 1, đường thẳng này gọi là (D). 2. Biện luận theo m số giao điểm của (P) và (D). 3. Viết phưong trình đường thẳng (D) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm. 4. Trong trường hợp (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB. 5. Tìm trên (P) các điểm mà đường thẳng (D) khơng đi qua với mọi m. Bài 44. Cho parabol (P): y = x2 - 4x + 3 và điểm A(2; 1). Gọi (D) là đường thẳng đi qua A và cĩ hệ số gĩc m. 1. Chứng minh rằng (d) luơn luơn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N. 2. Xác định m để MN ngắn nhất. VẤN ĐỀ 4: GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Phương pháp chung: Bước 1: Gọi ẩn phù hợp, đơn vị tính, điều kiện cho ẩn nếu cĩ. Bước 2: Biểu đạt các đại lượng chưa biết thơng qua ẩn và các đại lượng đã biết. Bước 3: Lập phương trình hoặc hệ phương trình.
  52. Bước 4: Giải phương trình, hệ phương trình lập được ở bước 3. Bước 5: Đối chiếu điều kiện và kết luận. B. MỘT SỐ BÀI TẬP CĨ LỜI GIẢI – HƯỚNG DẪN GIẢI: Bài 1: Tìm vận tốc và chiều dài của 1 đồn tàu hoả biết đồn tàu ấy chạy ngang qua văn phịng ga từ đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây . Cho biết sân ga dài 378m và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây. HD Giải: +/ Gọi x (m/s)là vận tốc của đồn tàu khi vào sân ga (x>0) Gọi y (m) là chiều dài của đồn tàu (y>0) +/ Tàu chạy ngang ga mất 7 giây nghĩa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y(m) mất 7 giây. Ta cĩ phương trình : y=7x (1) +/ Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378m cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga mất 25 giây nghĩa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y+378(m) mất 25giây . Ta cĩ phương trình : y+378=25x (2) y 7x +/ Kết hợp (1) và (2) ta được hệ phương trình : y+378=25x +/ Giải ra ta cĩ : x=21 ; y= 147 (thoả ĐKBT) Vậy vận tốc của đồn tàu là 21m/s Chiều dài của đồn tàu là : 147m Bài 2: Một chiếc thuyền xuơi, ngược dịng trên khúc sơng dài 40km hết 4h30 phút . Biết thời gian thuyền xuơi dịng 5km bằng thời gian thuyền ngược dịng 4km . Tính vận tĩc dịng nước ? HD Giải: +/ Gọi x (km/h)là vận tốc của thuyền khi nước yên lặng.
  53. Gọi y(km/h) là vật tốc dịng nước (x,y>0) +/ Vì thời gian thuyền xuơi dịng 5km bằng thời gian thuyền ngược dịng 4km nên ta cĩ 5 4 phương trình : x y x y +/ Vì chiếc thuyền xuơi, ngược dịng trên khúc sơng dài 40km hết 4h30 phút (=9 h) nên 2 40 40 9 ta cĩ phương trình : x y x y 2 5 4 x y x y Ta cĩ hệ phương trình : 40 40 9 x y x y 2 +/ Giải ra ta cĩ : x=18 ; y= 2 Vậy vận tốc dịng nước là 2 km/h Bài 3: Trên một đường trịn chu vi 1,2 m, ta lấy 1 điểm cố định A. Hai đim chuyển động M , N chạy trên đường trịn , cùng khởi hành từ A với vận tốc khơng đổi . Nếu chúng di chuyển trái chiều nhau thì chúng gặp nhau sau mỗi 15 giây. Nếu chúng di chuyển cùng chiều nhau thì điểm M sẽ vượt Nđúng 1 vịng sau 60 giây.Tìm vận tốc mỗi điểm M, N ? HD Giải: +/ Gọi x(m/s) là vận tốc của điểm M Gọi y(m/s) là vận tốc của điểm N (x>y>0) +/ Khi chúng di chuyển trái chiều nhau , chúng gặp nhau sau mỗi 15 giây nên ta cĩ phương trình : 15x+15y=1,2 (1) +/ Khi M,N di chuyển cùng chiều nhau thì điểm M sẽ vượt N đúng 1 vịng sau 60 giây nên ta cĩ phương trình : 60x-60y=1 (2) 15x+15y=1,2 Ta cĩ hệ phương trình : 60x+60y=1 +/ Giải hệ phương trình ta cĩ x=0,05 ;y= 0,03 (thoả ĐKBT)
  54. Vậy vận tốc điểm M là : 0,05m/s và vận tốc điểm N là : 0,03m/s Bài 4: Một chiếc mơtơ và ơtơ cùng đi từ M đến K với vận tốc khác nhau .Vận tốc mơtơ là 62 km/h cịn vận tốc ơtơ là 55 km/h . Để 2 xe đến đích cùng 1 lúc người ta đã cho ơtơ chạy trước 1 thời gian . Nhưng vì 1 lí do đặc biệt nên khi chạy được 2/3 quãng đường ơtơ buộc phải chạy với vận tốc 27,5 km/h .Vì vậy khi cịn cách K 124km thì mơtơ đuổi kịp ơtơ . Tính khoảng cách từ M đến N . HD Giải: +/ Gọi khoảng cách MK là x km Gọi thời gian dự định ơtơ đi trước mơtơ là y (giờ) x x y 62 55 +/ Ta cĩ : 2 x x 124 3 3 x 124 y 65 27,5 62 94 +/ Giải hệ này ta rút ra : x= 514km ; y 1 (h) 1705 Bài 5: Cho 3 vịi A,B,C cùng chảy vào 1 bể . Vịi A và B chảy đầy bể trong 71 phút Vịi A và C chảy đầy bể trong 63 phút .Vịi C và B chảy đầy bể trong 56 phút . a. Mỗi vịi làm đầy bể trong bao lâu ? Cả 3 vịi cùng mở 1 lúc thì đầy bể trong bao lâu ? b. Biết vịi C chảy 10lít ít hơn mỗi phút so với vịi A và B cùng chảy 1 lúc . Tính sức chứa của bể và sức chảy của mỗi vịi ? HD Giải: a) Vịi A làm đầy bể trong x phút ( mỗi phút làm đầy 1/x bể ) Vịi B làm đầy bể trong y phút ( mỗi phút làm đầy 1/y bể ) Vịi C làm đầy bể trong z phút ( mỗi phút làm đầy 1/z bể )
  55. 1 1 72 1 x y 1 1 Ta cĩ hệ phương trình : 63 1 x z 1 1 56 1 z y +/ Giải hệ phương trình ta được : x=168 ; y=126 ; z=504/5 5 4 3 12 Nếu 3 vịi cùng mở 1 lúc thì sau mỗi phút đầy bể. 504 504 504 3 vịi cùng làm đầy bể sau : 42 phút 12 b)Gọi dung tích của bể là t phút thì mỗi phút vịi C chảy 5/504.t lít , vịi A và B chảy 3 4 ( ).t lít .Theo đề bài ta cĩ phương trình : 504 504 5 3 4 5040 t 10 t t 2520(l) 504 504 504 2 3.2520 Sức chảy vịi A : 15l / p 504 4.2520 Tương tự sức chảy vịi B : 20l / p 504 5.2520 sức chảy vịi C : 25l / p 504 Bài 6: Nhân ngày 1/6 một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo .Số kẹo này được chia hết va chia đều cho các đội viên .Để đảm bảo nguyên tắc chia ấy , phân đội trưởng đề xuất cách nhận quà như sau: Bạn thứ nhất nhận 1 cái kẹo và 1/11 số kẹo cịn lại .Cứ tiếp tục như thế đến bạn cuối cùng thứ n nhận nhận n cái kẹo và . Hỏi phân đội thiếu niên nĩi trên cĩ bao nhiêu đội viên ? Mỗi đội viên nhận được bao nhiêu cái kẹo ? HD Giải: +/ Gọi số người trong phân đội là a
  56. Số kẹo trong phân đội được tặng là x (a,x>0) x 1 +/ Người thứ nhất nhận được : 1 (kẹo ) 11 x 1 x 2 1 1 1 Người thứ hai nhận được : 2 (kẹo ) 1 1 x 1 x 2 1 x 1 00 1 2 +/ Vì hai số kẹo bằng nhau và cĩ a người nên ta cĩ : 11 11 x 1 a(1 ) x 11 +/ Giải hệ này ta được x=100 ; a=10 Bài 7: 12 người ăn 12 cái bánh .Mỗi người đàn ơng ăn 2 chiếc , mỗi người đàn bà ăn 1/2 chiếc và mỗi em bé ăn 1/4 chiếc.Hỏi cĩ bao nhiêu người đàn ơng , đàn bà và trẻ em ? HD Giải: +/ Gọi số đàn ơng , đàn bà và trẻ em lần lượt là x,y,z.(Đơn vị: Người, x,y,z là số nguyên dương và nhỏ hơn 12) +/ Số bánh họ lần lượt ăn hết là : 2x ; y/2 ; z/4 (Bánh) x y z 12 2x 2y 2z 24 1 +/ Theo đề bài ta cĩ hệ phương trình : y z 2x 12 8x 2y z 48 2 2 4 +/ Lấy (2) trừ (1) ta được : 6x-z=24 (3) Vì x, z Z , 6x và 24 chia hết cho 6 , z cũng chia hết cho 6 .Kết hợp với điều kiện 0<z<12 z=6. Thay z=6 vào (3) ta được x=5 , từ đĩ y=1 Vậy cĩ 5 đàn ơng , 1 đàn bà và 6 trẻ em
  57. Bài 8: Một dung dịch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích ) và một dung dịch khác chứa 55% axit nitơric .Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 và loại 2 để được 100lít dung dịch 50% axit nitơric? HD Giải: +/ Gọi x,y theo thứ tự là số lít dung dịch loại 1 và 2 (Đơn vị: Lít, x,y>0) 30 55 Lượng axit nitơric chứa trong dung dịch loại 1 là x và loại 2 là y 100 100 x y 100 +/ Ta cĩ hệ phương trình : 30 55 x y 50 100 100 +/ Giải hệ này ta được : x=20 ;y=80 Bài 9:Hai người cùng làm chung một cơng việc trong 12 giờ thì xong. Nếu mỗi 5 người làm một mình thì người thứ nhất hồn thành cơng việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong cơng việc? HD Giải: 12 Gọi thời gian người thứ nhất hồn thành một mình xong cơng việc là x (giờ), ĐK x 5 Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong cơng việc là x + 2 (giờ) Mỗi giờ người thứ nhất làm được 1 (cv), người thứ hai làm được 1 (cv) x x 2 Vì cả hai người cùng làm xong cơng việc trong 12 giờ nên mỗi giờ cả hai đội làm được 5 12 5 1: = (cv) 5 12
  58. Do đĩ ta cĩ phương trình 1 1 5 x x 2 12 x 2 x 5 x(x 2) 12 5x2 – 14x – 24 = 0 ’ = 49 + 120 = 169, , 13 7 13 6 7 13 20 => x (loại) và x 4 (TMĐK) 5 5 5 5 Vậy người thứ nhất làm xong cơng việc trong 4 giờ, người thứ hai làm xong cơng việc trong 4+2 = 6 giờ. C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN: DẠNG 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH: Bài 1: Hai người đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đến B. Vận tốc của họ hơn kém nhau 3 km/h nên họ đến B sớm muộn hơn nhau 30phút. Tính vận tốc của mỗi người, biết quãng đường AB dài 30 km. Bài 2: Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sơng A. Sau 5h30p một ca nơ đuổi theo và đuổi kịp thuyền tại một địa điểm cách bến sơng A 20 km. Hỏi vận tốc của thuyền biết vận tốc của ca nơ chạy nhanh hơn thuyền là 12km/h. Bài 3: Hai người đi xe đạp khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A, B cách nhau 54 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2h. Tính vận tốc của hai người đĩ biết rằng vận tốc của người đi từ A bằng 4 vận tốc của người đi từ B. 5 Bài 4: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km. Sau đĩ 1h30p, một người đi xe máy cũng đi từ A đến B và đến B trước người đi xe đạp 1h. Tính vận tốc của mỗi xe biết vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp. Bài 5: Một ơtơ chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đường 120km. Đi được nửa quãng đường, xe nghỉ 3p nên để đến nơi đúng giờ xe đã phải tăng
  59. vận tốc thêm 6km/h trên nửa quãng đường cịn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên đường. Bài 6: Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định. Khi cịn cách B 30 km, người đĩ nhận thấy rằng sẽ đến B muộn nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đạng đi, nhưng nếu tăng vận tốc thêm 5km/h thì sẽ đến B sớm nửa giờ. Tính vận tốc của xe trên quãng đường đi lúc đầu. Bài 7: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với vận tốc xác định. Khi từ B trở về A người ấy đi bằng con đường khác dài hơn trước 29 km nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3km/h. Tính vận tốc lúc đi, biết thời gian về nhiều hơn thời gian đi 1h30p. Bài 8: Hai bến sơng A, B cách nhau 40 km. Cùng một lúc với ca nơ xuơi bến từ bến A cĩ một chiếc bè trơi từ bến A với vận tốc 3km/h. Sau khi đến bến B, ca nơ trở về bến A ngay và gặp bè khi đã trơi được 8km. Tính vận tốc riêng của ca nơ, biết rằng vận tốc riêng của ca nơ khơng đổi. Bài 9: Một ca nơ chạy xuơi dịng từ bến A đến bến B, rồi lại chạy ngược dịng từ bến B trở về bến A mất tất cả 4h. tính vận tốc của canơ khi nước yên lặng, biết quãng sơng AB dài 30km và vận tốc của dịng nước là 4km/h. Bài 10: Một hình chữ nhật cĩ chu vi là 134m. nếu giảm mỗi kích thước của vườn đi 1m thì diện tích của vườn bằng diện tích của hình vuơng cĩ cạnh bằng 28m. Tính các kích thước của hình chữ nhật đĩ. Bài 11: Một tấm tơn hình chữ nhật cĩ chu vi là 48 cm. Người ta cắt bỏ mỗi gĩc một hình vuơng cĩ cạnh 2cm rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật khơng cĩ nắp cĩ thể tích 96 cm3. Tính các kích thước của hình chữ nhật ban đầu. Bài 12: Một mảnh vườn hình chữ nhật cĩ chu vi 34m, nếu tăng chiều dài 3m và tăng chiều rộng 2m thì diện tích tăng thêm 45m 2. Hãy tính chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật lúc đầu. Bài 13: Một tam giác vuơng cĩ chu vi là 30m, cạnh huyền 13 cm. Tính độ dài các cạnh gĩc vuơng của tam giác vuơng đĩ.
  60. Bài 14: Một sân hình chữ nhật cĩ diện tích là 240 m2. Nếu tăng chiều rộng thêm 3m, giảm chiều dài 4m thì diện tích khơng đổi. Tính chiều dài và chiều rộng. Bài 15: Hai máy cày cùng cày một đám ruộng. Nếu cả hai máy cùng làm thì sẽ cày song trong 4 ngày. Nếu cày riêng thì máy 1 sẽ cày song nhanh hơn máy 2 là 6 ngày. Hỏi nếu cày riêng thì mỗi máy cày song đám ruộng sau bao nhiêu ngày. Bài 16: Một tổ may mặc định may 600 áo trong thời gian đã định. Nhưng do cải tiến kỹ thuật nên năng suất tăng lên, mỗi ngày làm thêm 4 áo, nên thời gian sản xuất giảm 5 ngày. Hỏi mỗi ngày tổ dự định may bao nhiêu áo. Bài 17: Một tổ may mặc định may 150 bộ quần áo trong thời gian đã định. Nhưng do cải tiến kỹ thuật nên năng suất tăng lên, mỗi ngày làm thêm 5 bộ quần áo, nên thời gian sản xuất giảm 1 ngày so với dự định. Hỏi mỗi ngày tổ dự định may bao nhiêu áo. Bài 18: Nếu hai vịi nước cùng chảy vào một bể khơng cĩ nước thì sau 4h đầy bể. Nếu cho chảy riêng đầy bể thì vịi 1 cần ít thời gian hơn vịi 2 là 6h. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vịi chảy đầy bể sau bao lâu. Bài 19: Một tổ may mặc cố kế hoạch may 720 bộ quần áo theo năng xuất dự kiến. Thời gian làm theo năng xuất tăng 10 sản phẩm mỗi ngày kém 4 ngày so với thời gian làm theo năng xuất giảm đi 20 sản phẩm mỗi ngày ( tăng, giảm so với năng xuất dự kiến ). Tính năng xuất dự kiến. DẠNG 2: LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH: Bài 1: Để đi đoạn đường từ A đến B, một xe máy đã đi hết 3h20 phút, cịn một ơtơ chỉ đi hết 2h30phút. Tính chiều dài quãng đường AB biết rằng vận tốc của ơtơ lớn hơn vận tốc xe máy 20km/h. Bài 2: Cĩ hai vịi nước, vịi 1 chảy đầy bể trong 1,5 giờ, vịi 2 chảy đầy bể trong 2 giờ. Người ta đã cho vịi 1 chảy trong một thời gian, rồi khĩa lại và cho vịi 2 chảy tiếp, tổng cộng trong 1,8 giờ thì đầy bể. Hỏi mỗi vịi đã chảy trong bao lâu?
  61. Bài 3: Một đám đất hình chữ nhật cĩ chu vi 124m. Nếu tăng chiều dài 5m và chiều rộng 3m thì diện tích tăng thêm 225 m2. Tính kích thước của hình chữ nhật đĩ. Bài 5: Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc ngược chiều nhau và gặp nhau ở một điểm cách A là 2km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người. Bài 6: Hai đội cơng nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày phần việc của đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đĩ trong bao lâu? Bài 7: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sơng A. Sau đĩ 5h20’ một chiếc cano chạy từ bến sơng A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng cano chạy nhanh hơn thuyền 12km. Bài 8: Một người đi xe đạp đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 30km. Khi từ B trở về A, người đĩ chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường cũ 6km. Vì thế, khi đi về với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút. Tính vận tốc lúc đi. Bài 9: Một xí nghiệp cĩ kế hoạch sản xuất 180 tấn dụng cụ trong một thời gian đã định. Nhưng nhờ tinh thần thi đua, nên mỗi ngày xí nghiệp sản xuất nhiều hơn mức dự kiến 1 tấn; chẳng những rút ngắn thời gian dự định 1 ngày mà cịn sản xuất thêm 10 tấn ngồi kế hoạch. Hỏi thời gian dự kiến bao nhiêu ngày ? Mỗi ngày dự kiến làm ra bao nhiêu tấn dụng cụ ? Bài 10: Một hội đồng thi cĩ 390 thí sinh phân đều các phịng. Nếu xếp mỗi phịng thi thêm 4 thí sinh thì số phịng thi sẽ giảm đi 2 phịng. Hỏi lúc đầu mỗi phịng thi dự định xếp bao nhiêu thí sinh ? Bài 11: Một hình chữ nhật cĩ chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1cm. Nếu tăng thêm chiều dài ¼ của nĩ thì diện tích hình chữ nhật đĩ tăng thêm 3cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu?
  62. Bài 12: Một hình chữ nhật cĩ chu vi là 180m. Nếu bớt mỗi chiều đi 5 mét thì diện tích chỉ cịn 1276m2. Tìm độ dài mỗi chiều? Vận tốc điểm A hơn điểm B là 2,5cm/phút. Tìm vận tốc của mỗi điểm? Tính các chiều của cơng viên? Bài 13: Hai người đi xe đạp cùng khởi hành tại một địa điểm về hai hướng vuơng gĩc với nhau. Sau 2 giờ họ cách nhau 60km theo đường chim bay. Tìm vận tốc của mỗi người. Biết rằng vận tốc của người này hơn vận tốc người kia là 6km/h. Bài 14: Một xe gắn máy đi từ A đến B cách nhau 150km. Nếu mỗi giờ xe tăng thêm 10km thì đến B sớm hơn thời gian dự định là 30 phút. Tìm vận tốc ban đầu? Bài 15: Hai tỉnh A và B cách nhau 42km. Một chiếc tàu đi từ tỉnh nọ đến tỉnh kia. Khi đi ngược dịng sơng từ A tới B thì vận tốc của nĩ nhỏ hơn vận tốc lúc xuơi dịng là 4km/h. Tính vận tốc của chiếc tàu khi xuơi dịng và khi ngược dịng, biết rằng thời gian ngược dịng nhiều hơn thời gian xuơi dịng là 1 giờ 12 phút. Bài 16: Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sơng dài 80km, cả đi lẫn về mất 8h20’. Tính vận tốc của tàu khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dịng nước là 4km/h. Bài 17: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sơng A. Sau đĩ 5h20’ một chiếc cano chạy từ bến sơng A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng cano chạy nhanh hơn thuyền 12km. Bài 18: Một người đi xe đạp đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 30km. Khi từ B trở về A, người đĩ chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường cũ 6km. Vì thế, khi đi về với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút. Tính vận tốc lúc đi.
  63. VẤN ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: A.1 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn a. Phương trình bậc nhất hai ẩn • Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c R (a2 + b2 0) • Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luơn luơn cĩ vơ số nghiệm. Tập nghiệm của nĩ được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c a c - Nếu a 0, b 0 thì đường thẳng (d) là đồ thị hàm số y x b b - Nếu a 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung - Nếu a = 0, b 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hồnh b. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c • Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: trong đĩ a, b, c, a’, b’, c’ a ' x b' y c ' R • Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đĩ ta cĩ
  64. ✓ (d) // (d’) thì hệ vơ nghiệm ✓ (d)  (d’) = A thì hệ cĩ nghiệm duy nhất ✓ (d)  (d’) thì hệ cĩ vơ số nghiệm • Hệ phương trình tương đương Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng cĩ cùng tập nghiệm c. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế • Quy tắc thế • Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế ✓ Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong đĩ cĩ một phương trình một ẩn ✓ Giải phương trình một ẩn vừa cĩ rồi suy ra nghiệm của hệ d. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số • Quy tắc cộng • Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế ✓ Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đĩ trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau ✓ áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đĩ cĩ một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (phương trình một ẩn) ✓ Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho A.2 Hệ phương trình đưa về phương trình bậc hai - Nếu hai số x và y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S2 4P) khi đĩ hai số x, y là nghiệm của phương trình: x2 + SX + P = 0 A.3 Kiến thức bổ xung 1. Hệ phương trình đối xứng loại 1 a. Định nghĩa: Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y đĩ thì từng phương trình của hệ khơng đổi
  65. b. Cách giải • Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S2 4P • Giải hệ để tìm S và P • Với mỗi cặp (S, P) thì x và y là hai nghiệm của phương trình: t2 – St + P = 0 c. Ví dụ • Giải hệ phương trình x y xy 7 x y xy 1 0 x y x2 y2 8 2 2 2 2 x y xy 13 x y x y 22 xy(x 1)(y 1) 12 A.2 Hệ phương trình đối xứng loại 2 d. Định nghĩa Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại e. Cách giải • Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ để được phương trình hai ẩn • Biến đổi phương trình hai ẩn vừa tìm được thành phương trình tích • Giải phương trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) • Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn • Giải phương trình một ẩn vừa tìm được rịi suy ra nghiệm của hệ f. Ví dụ • Giải hệ phương trình 2x y2 4y 5 x3 13x 6y 2 3 2y x 4x 5 y 13y 6x A.3 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 g. Định nghĩa ax2 bxy cy2 0 - Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai cĩ dạng: 2 2 a ' x b' xy c ' y 0
  66. h. Cách giải - Xét xem x = 0 cĩ là nghiệm của hệ phương trình khơng - Nếu x 0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phương trình trong hệ - Khử x rồi giải hệ tìm t - Thay y = tx vào một trong hai phương trình của hệ để được phương trình một ẩn (ẩn x) - Giải phương trình một ẩn trên để tìm x từ đĩ suy ra y dựa vào y = tx * Lưu ý: ta cĩ thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để cĩ cách giải tương tự i. Ví dụ Giải hệ phương trình x2 4xy y2 1 2x2 3xy y2 3 2 2 2 y 3xy 4 x 2xy 2y 6 B. MỘT SỐ BÀI TẬP CĨ LỜI GIẢI: Bài 1: Giải hệ phương trình: 6x 3 2y 5 y 1 x 1 a. 4x 2 4y 2 y 1 x 1 u 2 2x 1 y 3u 2v 5 +/ Đặt u ,v . Hệ đã cho trở thành 1 y 1 x 1 2u 4v 2 v 2 2x 1 2 x 0 y 1 2x 2y 1 +/ Ta được hệ phương trình: 1 y 1 x 2y 1 y 2 x 1 2 1  Vậy S 0;  2 
  67. b. x(y 2) (x 2)(y 4) xy 2x xy 2y 4x 8 x y 4 x -2 (x 3)(2y 7) (2x 7)(y 3) 2xy 6y 7x 21 2xy 7y 6x 21 x y 0 y 2 Vậy hệ phương trình đã cho cĩ nghiệm duy nhất (-2; 2) Bài 2: (2,0 điểm) 2x y 3 a) Giải hệ phương trình: x 3y 4 b) Xác định các giá trị của m để hệ phương trình sau vơ nghiệm: (m 2)x (m 1)y 3 ( m là tham số) x 3y 4 HD Giải: 2x y 3 2x y 3 5y 5 x 1 a) Giải hệ phương trình: x 3y 4 2x 6y 8 x 3y 4 y 1 b) Vậy, hệ phương trình cĩ một nghiệm là: (1;1) c) Hệ phương trình vơ nghiệm khi: m 2 m 1 m 2 m 1 3 1 3 3m 6 m 1 5 m 1 3 4 m 1 3 4m 4 9 2 3 4 Vậy m = -5/ 2 thì hệ phương trình đã cho vơ nghiệm. Bài 3: 3x 2y 1 1. Giải hệ phương trình . x 3y 2 2x y m 1 2. Tìm m để hệ phương trình cĩ nghiệm (x; y) thỏa mãn điều 3x y 4m 1 kiện x + y > 1. Giải: Bài 3: (1,5 điểm)
  68. 3x 2y 1 3 3y 2 2y 1 7y 7 y 1 1. Giải hệ phương trình . x 3y 2 x 3y 2 x 3y 2 x 1 2x y m 1 2. Tìm m để hệ phương trình cĩ nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + 3x y 4m 1 y > 1. 2x y m 1 5x 5m x m x m 3x y 4m 1 2x y m 1 2m y m 1 y m 1 Mà x + y > 1 suy ra m + m + 1 > 1 2m > 0 m > 0. Vậy với m > 0 thì hệ phương trình cĩ nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1. Bài 4. (2,0 điểm) (m 1)x (m 1)y 4m Cho hệ phương trình , với m R x (m 2)y 2 a. Giải hệ đã cho khi m –3 b. Tìm điều kiện của m để phương trình cĩ nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đĩ. HD Giải: Bài 4. a. Giải hệ đã cho khi m –3 2x 2y 12 x y 6 x 7 Ta được hệ phương trình x 5y 2 x 5y 2 y 1 Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm x; y với 7;1 b. Điều kiện cĩ nghiệm duy nhất của hệ phương trình: m 1 m 1 m 1 m 2 m 1 1 m 2 m 1 m 2 m 1 0 m 1 m 1 0 m 1 0 m 1 m 1 0 m 1
  69. Vậy phương trình cĩ nghiệm khi m 1 và m 1 (m 1)x (m 1)y 4m m 1 Giải hệ phương trình khi x (m 2)y 2 m 1 4m 4m 2 4m x y x (m 1)x (m 1)y 4m x y m 1 m 1 m 1 . x (m 2)y 2 2 2 x (m 2)y 2 y y m 1 m 1 4m 2 2 Vậy hệ cĩ nghiệm (x; y) với ; m 1 m 1 Bài 5 (2,0 điểm) 2x y 5m 1 Cho hệ phương trình: ( m là tham số) x 2y 2 a) Giải hệ phương trình với m 1 b) Tìm m để hệ phương trình cĩ nghiệm x; y thỏa mãn: x2 2y2 1. HD Giải: a) 1,0 điểm 2x y 4 4x 2y 8 Với m 1 ta cĩ hệ phương trình: x 2y 2 x 2y 2 5x 10 x 2y 2 x 2 y 0 b) 1,0 điểm 2x y 5m 1 4x 2y 10m 2 Giải hệ: x 2y 2 x 2y 2 5x 10m x 2m x 2y 2 y m 1 2 2 Cĩ: x2 2y2 1 2m 2 m 1 1 2m2 4m 3 0 2 10 2 10 Tìm được: m và m 2 2
  70. B. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Giải các hệ phương trình (x 2)(y 2) xy (x 1)(y 2) (x 1)(y 3) 4 (x 5)(y 2) xy a. b. c. (x 4)(y 3) xy 6 (x 3)(y 1) (x 3)(y 5) 18 (x 5)(y 12) xy d. 9x 2y 4x 3 28 x y 7 3 5 2x 5y 1 x 2y e. f. 16 3x 12y 15 9y 11 3 15 x 3y 2 5 14 7x y 2(x 1) 31 5 3 5 1 4 1 4 3 13 10 1 x 1 y 1 x 2y x 2y x y 36 g. h. i. 1 3 20 3 6 10 18 1 1 x 1 y 1 x 2y x 2y x y 2 5 7 4 5 m. 3 3x y x 3y x 7 y 6 3 k. l. 3 2 1 2 3 5 3 13 8 x y 3 x y 1 3x y x 3y 5 x 7 y 6 6 3 1 1,5 x y 3 x y 1 Bài 2. Giải các hệ phương trình x 1 y 2 1 x2 10x 25 x 5 x 2 2 y 1 9 a. b. c. x 1 3y 3 2 x y 1 1 x 10x 25 5 x x2 y2 2(xy 2) x y xy 1 0 x y xy 7 d. e. 2 2 f. 2 2 x y 6 x y x y 22 x y xy 13
  71. x2 y2 10 x2 y2 65 x2 y xy2 6 g. h. i. x y 4 (x 1)(y 1) 18 xy x y 5 x3 y3 1 x y 1 (x 1)(y 1) 10 k. l. m. 5 5 2 2 3 3 2 2 (x y)(xy 1) 25 x y x y x y x y x y 5 x3 y3 2 x4 y4 97 p. q. 2 2 2 2 n. x y 13 x y xy 2 xy(x y ) 78 y x 6 Cịn nữa Bộ combo tài liệu ơn thi THPT và Chuyên Tốn gồm: - Các chuyên đề lí thuyết - Bộ câu hỏi trắc nghiệm - Bộ đề thi tuyển sinh và chuyên các tỉnh Link xem trước: on-tap-toan-9/ Cịn rất nhiều tài liệu bổ ích khác trên website: Tailieugiaovien.edu.vn Thày cơ liên hệ 0969 325 896 ( cĩ zalo ) để được tư vấn