Tài liệu tham khảo ôn tập và luyện thi Toán 9 - Phạm Lam

Nội dung text: Tài liệu tham khảo ôn tập và luyện thi Toán 9 - Phạm Lam

1. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam LêI NãI §ÇU Thân ái chào các bạn và các em học sinh! Toán là một môn học hay, gắn bó với các em từ những ngày đầu tiên tuổi học trò. Môn học đó càng trở nên quan trọng hơn nữa khi các em đứng trước kì thi Tuyển sinh vào các trường THPT. Chương trình Toán 9 – sau nhiểu lần chỉnh sửa của Bộ GDĐT, đến nay đã khá hoàn chỉnh, phù hợp với năng lực học tập của các em. Tuy nhiên một năm học đi qua thật nhanh, với những áp lực rất lớn của các môn học khác, rất nhiều em học sinh chưa thật sự nắm vững nội dung chương trình Toán9. Để cùng các em vượt qua kì thi quan trọng này, điều quan trọng hơn là giúp các em có phương pháp học tốt môn Toán 9, tôi soạn cuốn TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9. Hy vọng cuốn tài liệu sẽ giúp các em nhìn nhận lại một cách toàn diện nội dung chương trình Toán 9, có phương pháp giải Toán tốt hơn, nắm vững một số chuyên đề Toán 9. NỘI DUNG GỒM: Phần I: Hệ thống lại một số vấn đề cơ bản Toán 9: Phần này trình bày các dạng bài tập cơ bản về Đại số và Hình học thường gặp trong cấu trúc đề thi Tuyển sinh vào lớp 10. Mỗi dạng Toán có các ví dụ minh họa có lời giải, tiếp đó là các bài tập tương tự dành cho các em tự luyện. PhầnII: Tuyển tập một số đề thi theo cấu trúc thường gặp: Phần này trình bày 10 đề thi môn Toán tuyển sinh vào THPT theo cấu trúc đề thường gặp với đáp án, lời giải chi tiết. Với mỗi bài giải có phân bổ biểu điểm cụ thể để các em tiện đánh giá năng lực bản thân, cũng như nắm vững các bước giải quan trọng trong một bài toán. Phần III: Một số đề tự luyện: Phần này gồm 05 đề thi tự luận theo cấu trúc đề thường gặp, giúp các em thử sức với đề thi. Mặc dù đã rất cố gắng, song chắc hẳn cuốn tài liệu không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của các bạn và các em để cuốn tài liệu được hoàn thiện hơn! Email: pvlam1977@gmail.com Chân thành cảm ơn các bạn và các em! Ph¹m- Lam Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 1
2. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam PHẦN I: HỆ THỐNG CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TOÁN 9 VẤN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI A. Kiến thức cần nhớ: A.1. KiÕn thøc c¬ b¶n A.1.1. C¨n bËc hai a. C¨n bËc hai sè häc - Víi sè d­¬ng a, sè a ®­îc gäi lµ c¨n bËc hai sè häc cña a - Sè 0 còng ®­îc gäi lµ c¨n bËc hai sè häc cña 0 x 0 x a - Mét c¸ch tæng qu¸t: 2 x a b. So s¸nh c¸c c¨n bËc hai sè häc - Víi hai sè a vµ b kh«ng ©m ta cã: a b a b A.1.2. C¨n thøc bËc hai vµ h»ng ®¼ng thøc A2 A a. C¨n thøc bËc hai - Víi A lµ mét biÓu thøc ®¹i sè , ng­êi ta gäi A lµ c¨n thøc bËc hai cña A, A ®­îc gäi lµ biÓu thøc lÊy c¨n hay biÓu thøc d­íi dÊu c¨n -A x¸c ®Þnh (hay cã nghÜa) A 0 b. H»ng ®¼ng thøc A2 A - Víi mäi A ta cã A2 A - Nh­ vËy: + A2 A nÕu A 0 + A2 A nÕu A 0 ta cã: B B b. Quy t¾c khai ph­¬ng mét th­¬ng: Muèn khai ph­¬ng mét th­¬ng a/b, trong ®ã a kh«ng ©m vµ b d­¬ng ta cã thÓ lÇn l­ît khai ph­¬ng hai sè a vµ b råi lÊy kÕt qu¶ thø nhÊt chÝ cho kÕt qu¶ thø hai. c. Quy t¾c chia c¸c c¨n bËc hai: Muèn chia c¨n bËc hai cña sè a kh«ng ©m cho sè b d­¬ng ta cã thÓ chia sè a cho sè b råi khai ph­¬ng kÕt qu¶ ®ã. Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 2
3. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam A.1.5. BiÕn ®æi ®¬n gi¶n biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai a. §­a thõa sè ra ngoµi dÊu c¨n - Víi hai biÓu thøc A, B mµ B 0, ta cã A2 B A B , tøc lµ + NÕu A 0 vµ B 0 th× A2 B A B + NÕu A 0, ta cã A A B B B - Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ A 0 vµ A B2 , ta cã C C( A B) A B A B2 - Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ A 0, B 0 vµ A B , ta cã C C( A B) A B A B A.1.6. C¨n bËc ba a. Kh¸i niÖm c¨n bËc ba: - C¨n bËc ba cña mét sè a lµ sè x sao cho x3 = a - Víi mäi a th× ( 3 a)3 3 a3 a b. TÝnh chÊt - Víi a < b th× 3 a 3 b - Víi mäi a, b th× 3 ab 3 a.3 b a 3 a - Víi mäi a vµ b 0 th× 3 b 3 b Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 3
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam A.2. KiÕn thøc bæ xung (*) Dµnh cho häc sinh kh¸ giái, häc sinh «n thi chuyªn A.2.1. C¨n bËc n a. C¨n bËc n (2 n N ) cña sè a lµ mét sè mµ lòy thõa n b»ng a b. C¨n bËc lÎ (n = 2k + 1) Mäi sè ®Òu cã mét vµ chØ mét c¨n bËc lÎ C¨n bËc lÎ cña sè d­¬ng lµ sè d­¬ng C¨n bËc lÎ cña sè ©m lµ sè ©m C¨n bËc lÎ cña sè 0 lµ sè 0 c. C¨n bËc ch½n (n = 2k ) Sè ©m kh«ng cã c¨n bËc ch½n C¨n bËc ch½n cña sè 0 lµ sè 0 Sè d­¬ng cã hai c¨n bËc ch½n lµ hai sè ®èi nhau kÝ hiÖu lµ 2k a vµ 2k a d. C¸c phÐp biÕn ®æi c¨n thøc. 2k 1 A. x¸c ®Þnh víi A 2k A. x¸c ®Þnh víi A 0 2k 1 A2k 1 A víi  A 2k A2k A víi  A 2k 1 A.B 2k 1 A.2k 1 B víi  A, B 2k A.B 2k A .2k B víi  A, B mµ A.B 0 2k 1 A2k 1.B A.2k 1 B víi  A, B 2k A2k .B A .2k B víi  A, B mµ B 0 A 2k 1 A 2k 1 víi  A, B mµ B 0 B 2k 1 B A 2k A 2k víi  A, B mµ B 0, A.B 0 B 2k B m n A mn A víi  A, mµ A 0 m m An A n víi  A, mµ A 0 Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 4
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam B. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI. Bài 1: Tính: 3 - 3 3 + 3 a. A = + 2- 3 + 2 2 2+ 3 - 2 2 5 + 5 - b. B = + 5 - 5 + 1 c. C = 5. + . 20 + 5 2 HƯỚNG DẪN GIẢI: 3 - 3 3 + 3 a. A = + . 2- 3 + 2 2 2+ 3 - 2 2 2( 3 - 3) 2( 3 + 3) = + 4- 2 3 + 4 4+ 2 3 - 4 2( 3 - 3) 2( 3 + 3) = + 3 - 1+ 4 3 + 1- 4 2( 3 - 3)2 + 2( 3 + 3)2 = 3- 9 24 2 = = - 4 2 - 6 5 + 5 - (5 + )2 + (5 - )2 b. B = + = 5 - 5 + (5 - )(5 + ) 25 + 10 + 5 + 25 - 10 + 5 60 = = = 3 25 - 5 20 1 1 c. C = 5. + . 20 + 5 = 5. + . 4.5 + 5 2 2 5 2 = 5 + 5 + 5 = 3 5 5 2 1 1 x 1 : Bài 2: Cho biểu thức A = 2 x x x 1 x 1 a) Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A b) Tim giá trị của x để A = 1 . 3 c) Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9 x Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 5
6. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam HƯỚNG DẪN GIẢI: a). Điều kiện 0 x 1 x 1 x 1 x 1 A Với điều kiện đó, ta có: : 2 x x 1 x 1 x 1 x 1 1 3 9 b). Để A = thì x x (thỏa mãn điều kiện) 3 x 3 2 4 9 1 Vậy x thì A = 4 3 x 1 1 c). Ta có P = A - 9x = 9 x 9 x 1 x x 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có: 9 x 2 9 x. 6 x x 1 1 Suy ra: P 6 1 5 . Đẳng thức xảy ra khi 9 x x x 9 1 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P 5 khi x 9 x 4 Bài 3: 1) Cho biểu thức A . Tính giá trị của A khi x = 36 x 2 x 4 x 16 2) Rút gọn biểu thức B : (với x 0;x 16 ) x 4 x 4 x 2 3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên HƯỚNG DẪN GIẢI: 36 4 10 5 1) Với x = 36 (Thỏa mãn x >= 0), Ta có : A = 36 2 8 4 2) Với x 0, x 16 ta có : x( x 4) 4( x 4) x 2 (x 16)( x 2) x 2 B = = x 16 x 16 x 16 (x 16)(x 16) x 16 x 2 x 4 x 2 2 2 ( 1) . 1 . 3) Ta có: B A . x 16 x 2 x 16 x 2 x 16 Để B(A 1) nguyên, x nguyên thì x 16 là ước của 2, mà Ư(2) = 1; 2  Ta có bảng giá trị tương ứng: x 16 1 1 2 2 x 17 15 18 14 Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 6
7. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam Kết hợp ĐK x 0, x 16 , để B(A 1) nguyên thì x 14; 15; 17; 18  Bài 4: Cho biÓu thøc: x y xy P ( x y )(1 y ) x y ) x 1 x 1 1 y a). T×m ®iÒu kiÖn cña x vµ y ®Ó P x¸c ®Þnh . Rót gän P. b). T×m x,y nguyªn tháa m·n phư¬ng tr×nh P = 2. HƯỚNG DẪN GIẢI: a). §iÒu kiÖn ®Ó P x¸c ®Þnh lµ :; x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0 . x(1 x) y(1 y ) xy x y (x y) x x y y xy x y P x y 1 x 1 y x y 1 x 1 y x y x y x xy y xy x x 1 y x 1 y 1 x 1 x x y 1 x 1 y 1 x 1 y x y y y x x 1 y 1 y y 1 y x xy y. 1 y 1 y VËy P = x xy y. b) ĐKXĐ: x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0 P = 2 x xy y. = 2 x 1 y y 1 1 x 1 1 y 1 Ta cã: 1 + y 1 x 1 1 0 x 4 x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vµo ta cãc¸c cÆp gi¸ trÞ x=4, y=0 vµ x=2, y=2 (tho¶ m·n). 2 x 9 2 x 1 x 3 Bài 5:Cho biÓu thøc M = x 5 x 6 x 3 2 x a. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó M cã nghÜa vµ rót gän M b. T×m x ®Ó M = 5 c. T×m x Z ®Ó M Z. HƯỚNG DẪN GIẢI: Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 7
8. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam 2 x 9 2 x 1 x 3 M = x 5 x 6 x 3 2 x a.§K x 0; x 4; x 9 0,5® Rót gän M = 2 x 9 x 3 x 3 2 x 1 x 2 x 2 x 3 x x 2 BiÕn ®æi ta cã kÕt qu¶: M = x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 M = M x 3 x 2 x 3 x 1 b. . M 5 5 x 3 x 1 5 x 3 x 1 5 x 15 16 4 x 16 x 4 x 16 4 §èi chiÕu §K:x 0; x 4; x 9 VËy x = 16 th× M = 5 x 1 x 3 4 4 c. M = 1 x 3 x 3 x 3 Do M z nªn x 3 lµ ­íc cña 4 x 3 nhËn c¸c gi¸ trÞ: -4; -2; -1; 1; 2; 4 LËp b¶ng gi¸ trÞ ta ®­îc: x 1;4;16;25;49 v× x 4 x 1;16;25;49 1 Bài 6: Cho biểu thức P = ( - )2 . ( - ) Với a > 0 và a ≠ 1 2 2 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a để P 0 và a ≠ 1 2 2 Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 8
9. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam a 1 a 1 a 1 P ( )2 .( ) 2 2 a a 1 a 1 a a 1 ( a 1)2 ( a 1)2 P ( )2 . 2 a ( a 1)( a 1) a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 P ( )2 . 2 a a 1 (a 1)4 a 1 a P 4a a 1 a Vậy P = Víi a > 0 và a ≠ 1 a b) Tìm a để P 0 và a ≠ 1 nên a > 0 1 - a  P = 1 ( TMĐK) a a b Bài 7: Cho biểu thức: Q = - ( 1 + ) : a - a) Rút gọn Q b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Rút gọn: a a b Q = - ( 1 + ) : a - a + a a - = - . b a b a - b = - = ()2 = = Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 9
10. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam b) Khi có a = 3b ta có: Q = = = Bài 8: Cho biểu thức 1 1 2 1 1 x 3 y x x y y 3 A . : 3 3 x y x y x y x y xy a ) Rút gọn A; b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó. HƯỚNG DẪN GIẢI: Đkxđ : x > 0 , y > 0 1 1 2 1 1 x 3 y x x y y 3 a) A . : 3 3 x y x y x y x y xy x y 2 x y x y x xy y xy x y . : xy x y xy xy x y 2 x y x y x y : xy xy xy x y 2 x y xy x y . . xy x y xy 2 b) Ta có x y 0 x y 2 xy 0 x y 2 xy . x y 2 xy 2 16 Do đó A 1 ( vì xy = 16 ) xy xy 16 x y Vậy min A = 1 khi x y 4. xy 16 Bài 9: Cho biểu thức: 1 x 3 2 x 2 P x x 1 x 1 2 2 x 2x x Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 10
11. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam a) Tìm điều kiện để P có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P với x 3 2 2 . HƯỚNG DẪN GIẢI: x 0 x 1 0 a. Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi : 2 x 0 x 1 2 0 x 0 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 b) Đkxđ : x 1;x 2;x 3 1 x 3 2 x 2 P x x 1 x 1 2 2 x 2 x x x x 1 x 3 x 1 2 2 x 2 x x 1 x x 1 x 1 2 x 1 2 2 x x 2 x x x 1 x 3 x 1 2 2 x x 2 . x x 1 x 1 2 x 2 x x x 1 x 3 x 1 2 2 x . x x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 . 1 2 x x x 1 x 1 2 . x x x 2 2 x c) Thay x 3 2 2 2 1 vào biểu thức P , ta có: x 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 P 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 Bài 10: Cho biểu thức: 4 x 8x x 1 2 P = ( ) : ( ) 2 x 4 x x 2 x x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P = -1 Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 11
12. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m( x 3)P x 1 HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Ta có: x 2 x x( x 2) x 0 x 0 x 0 ĐKXĐ: 4 x 0 x 4 x 2 0 Với x > 0 và x 4ta có: 4 x 8x x 1 2 P = ( ) : ( ) 2 x x 4 x ( x 2) x 4 x ( x 2) 8x x 1 2( x 2) : ( x 2)( x 2) x ( x 2 ) 4x 8x 8x x 1 2 x 4 : ( x 2)( x 2) x ( x 2) 4 x 8 x x 3 : ( Đk: x 9) ( x 2 )( x 2 ) x ( x 2 ) 4 x( x 2) x( x 2) . ( x 2)( x 2) 3 x 4 x. x( x 2) (3 x)( x 2) 4x x 3 4x Với x > 0 , x 4, x 9 thì P = x 3 b) P = - 1 4x 1( ĐK: x > 0, x 4, x 9 ) x 3 Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 12
13. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam 4x 3 x 4x 3 x 0 Đặt x y đk y > 0 Ta có phương trình: 4y2 y 3 0 Các hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0 3 y 1 ( không thoả mãn ĐKXĐ y > 0), y ( thoả mãn ĐKXĐ y > 0) 1 2 4 3 9 Với y x thì x = ( thoả mãn đkxđ) 4 16 9 Vậy với x = thì P = - 1 16 c) m( x 3)P x 1 (đk: x > 0; x 4, x 9 ) 4 x m ( x 3) x 1 x 3 m.4 x x 1 x 1 m 4 x ( Do 4x > 0) x 1 x 1 1 1 Xét 4 x 4 x 4 x 4 4 x Có x > 9 (Thoả mãn ĐKXĐ) 1 1 ( Hai phân số dương cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn) x 9 1 1 4 x 3 6 1 1 1 1 4 4 x 4 3 6 1 1 5 4 4 x 1 8 5 x 1 18 4x 5 Theo kết quả phần trên ta có : m x 1 18 m 4x Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 13
14. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam 5 Kết luận: Với m , x 9 thì m( x 3)P x 1 18 C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN: C©u 1 Cho biểu thức : 1 1 x 2 1 A ( ) 2 . 1 x 2 x 1 x 1 2 1) Tim điều kiện của x để biểu thức A cã nghĩa . 2) Rót gọn biểu thức A . 3) Giải phương tr×nh theo x khi A = -2 . 2 x x 1 x 2 C©u2 Cho biểu thức : A ( ) : x x 1 x 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức . b) Tính giá trị của A khi x 4 2 3 x 1 1 C©u3 Cho biểu thức : A : x x x x x 2 x a) Rút gọn biểu thức A . b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A . 1 1 1 1 1 C©u4 Cho biểu thức : A= : 1- x 1 x 1 x 1 x 1 x a) Rút gọn biểu thức A . b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3 c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất . a a 1 a a 1 a 2 C©u 5 Cho biểu thức : A = : a a a a a 2 a. T×m §KX§ b) Rót gän biÓu thøc A c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó A nguyªn. x 1 2 x C©u 6 Cho biểu thức P 1 : 1 x 1 x 1 x x x x 1 a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm giá trịn nguyên của x để P x nhậ giá trị nguyên. a a a a C©u 7 Cho P 1 1 ; a 0, a 1 a 1 1 a a) Rót gọn P. Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 14
15. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam b) T×m a biết P > 2 . c) T×m a biết P = a . 2 1 2x 16x2 1 C©u 8 Cho P ; x 1 4x2 2 2 a) Chứng minh P 1 2x 3 b) Tính P khi x 2 2 5 24 2.Tính Q 12 x 1 x 1 8 x x x 3 1 C©u 9 Cho biểu thức B : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn B. b) Tính giá trị của B khi x 3 2 2 . c) Chứng minh rằng B 1 với mọi gía trị của x thỏa mãn x 0; x 1 . 1 1 C©u 10 Cho M 1 a : 1 1 a 1 a 2 a) Tìm TXĐ b) Rút gọn biểu thức M. 3 c) Tính giá trị của M tại a . 2 3 a a a a C©u 11 Cho biểu thức: A 1  1 ; a 0, a 1 . a 1 a 1 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tìm a ≥0 và a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2 y y 2 xy Cho biểu thức: S : ; x 0, y 0, x y . C©u 12 x xy x xy x y 1. Rút gọn biểu thức trên. 2. Tìm giá trị của x và y để S=1. x 2 x 2 x 1 C©u 13 Cho biểu thức: Q  ; x 0, x 1 . x 2 x 1 x 1 x 2 a. Chứng minh Q x 1 b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên. Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 15
16. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam 1 1 x 2 x 1 C©u 14 Cho biểu thức: A : ; x 0 , x 1, x 4 . x x 1 x 1 x 2 1. Rút gọn A. 2. Tìm x để A = 0. a 1 1 a 3 a C©u 15 Rút gọn biểu thức: .A ; a 1 a 2 1 a 2 a a 1 a a 1 x 2 x 1 x 1 C©u 16 Cho biểu thức: T ; x 0, x 1 . x x 1 x x 1 x 1 1. Rút gọn biểu thức T. 2. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x≠1 luôn có T<1/3. 3 1 x 1 x C©u 17 Cho biểu thức: M ; x 0; x 1. 1 x 1 x x 1. Rút gọn biểu thức M. 2. Tìm x để M ≥ 2. Bài 18: Cho biểu thức : 2mn 2mn 1 A= m+ 2 m 2 1 2 với m ≥ 0 ; n ≥ 1 1+n 1 n n a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A với m 56 24 5 . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. a 3 a 2 a a 1 1 Bài 19: Cho biểu thức P : a 2 a 1 a 1 a 1 a 1 a) Rút gọn P. 1 a 1 b) Tìm a để 1 P 8 x 1 2 x Bài 20: Cho biểu thức P 1 : 1 x 1 x 1 x x x x 1 a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn P b) Tìm các giá trị nguyên của x để P x nhận giá trị nguyên. Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 16
17. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I. §Þnh nghÜa : Ph­¬ng tr×nh bËc hai mét Èn lµ ph­¬ng tr×nh cã d¹ng ax2 bx c 0 trong ®ã x lµ Èn; a, b, c lµ nh÷ng sè cho tr­íc gäi lµ c¸c hÖ sè vµ a 0 II. C«ng thøc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai : Ph­¬ng tr×nh bËc hai ax2 bx c 0(a 0) b2 4ac *) NÕu 0 ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt : b b x ;x 1 2a 2 2a *) NÕu 0 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : b x x 1 2 2a *) NÕu 0 ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. III. C«ng thøc nghiÖm thu gän : Ph­¬ng tr×nh bËc hai ax2 bx c 0(a 0) vµ b 2b' ' b'2 ac b' ' b' ' *) NÕu ' 0 ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt : x ;x 1 a 2 a b' *) NÕu ' 0 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : x x 1 2 a *) NÕu ' 0 ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. IV. HÖ thøc Vi - Et vµ øng dông : 2 1. NÕu x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ax bx c 0(a 0) th× : b x x 1 2 a c x x 1 2 a 2. Muèn t×m hai sè u vµ v, biÕt u + v = S, uv = P, ta gi¶i ph­¬ng tr×nh : x2 Sx P 0 (§iÒu kiÖn ®Ó cã u vµ v lµ S2 4P 0 ) 3. NÕu a + b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh ax2 bx c 0(a 0) cã hai nghiÖm : Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 17
18. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam c x 1;x 1 2 a NÕu a - b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh ax2 bx c 0(a 0) cã hai nghiÖm : c x 1;x 1 2 a IV: Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước: T×m ®iÒu kiÖn tæng qu¸t ®Ó ph­¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a 0) cã: 1. Cã nghiÖm (cã hai nghiÖm) 0 2. V« nghiÖm 0 5. Hai nghiÖm cïng dÊu 0 vµ P > 0 6. Hai nghiÖm tr¸i dÊu > 0 vµ P 0 vµ P > 0 8. Hai nghiÖm ©m(nhá h¬n 0) 0; S 0 9. Hai nghiÖm ®èi nhau 0 vµ S = 0 10.Hai nghiÖm nghÞch ®¶o nhau 0 vµ P = 1 11. Hai nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm ©m cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n a.c 0 B. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI: Bµi 1. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau : a / 2x2 8 0 c / 2x2 3x 5 0 b / 3x2 5x 0 d / x4 3x2 4 0 3 2 x 2 6 e / x 3x 2x 6 0 f / 3 x 5 2 x Gi¶i a / 2x2 8 0 2x2 8 x2 4 x 2 VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x 2 x 0 x 0 2 b / 3x 5x 0 x(3x 5) 5 3x 5 0 x 3 5 VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x 0;x 3 c / 2x2 3x 5 0 NhÈm nghiÖm : Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 18
19. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam 5 5 Ta cã : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm : x 1;x 1 2 2 2 d / x4 3x2 4 0 §Æt t x2 (t 0) . Ta cã ph­¬ng tr×nh : t2 3t 4 0 a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0 4 => ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm : t 1 0 (tháa m·n); t 4 0 (lo¹i) 1 2 1 Với: t 1 x2 1 x 1 VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x 1 e / x3 3x2 2x 6 0 (x3 3x2 ) (2x 6) 0 x2 (x 3) 2(x 3) 0 (x 3)(x2 2) 0 x 3 0 x 3 x 3 VËy 2 2 x 2 0 x 2 x 2 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x 3;x 2 x 2 6 f / 3 (§KX§ : x 2;x 5 ) x 5 2 x x 2 6 Ph­¬ng tr×nh : 3 x 5 2 x (x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5) 4 x2 6x 3x2 30 15x 6x 30 4x2 15x 4 0 152 4.( 4).4 225 64 289 0; 17 15 17 1 => ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : x (tháa m·n §KX§) 1 2.( 4) 4 15 17 x 4 (tháa m·n §KX§) 2 2.( 4) Bµi 2. Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x, tham sè m : x2 mx m 3 0 (1) a/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = - 2. 2 2 3 3 b/ Gäi x1; x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. TÝnh x1 x2 ;x1 x2 theo m. 2 2 c/ T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : x1 x2 9 . d/ T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = 5. e/ T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = - 3. TÝnh nghiÖm cßn l¹i. f/ T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. g/ LËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m. HƯỚNG DẪN GIẢI: a/ Thay m = - 2 vµo ph­¬ng tr×nh (1) ta cã ph­¬ng tr×nh : Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 19
20. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam x2 2x 1 0 (x 1)2 0 x 1 0 x 1 VËy víi m = - 2 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 1. b/ Ph­¬ng tr×nh : x2 mx m 3 0 (1) Ta có: m2 4(m 3) m2 4m 12 Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1;x2 0 x1 x2 m (a) Khi ®ã theo ®Þnh lý Vi-et, ta cã : x1x2 m 3 (b) 2 2 2 2 2 *) x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 ( m) 2(m 3) m 2m 6 3 3 3 3 3 2 *) x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) ( m) 3(m 3)( m) m 3m 9m c/ Theo phÇn b : Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1;x2 0 2 2 2 Khi ®ã x1 x2 m 2m 6 2 2 2 2 Do ®ã x1 x2 9 m 2m 6 9 m 2m 15 0 2 '(m) ( 1) 1.( 15) 1 15 16 0; (m) 4 1 4 1 4 => ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : m 5;m 3 1 1 2 1 Thö l¹i : +) Víi m 5 7 0 => lo¹i. +) Víi m 3 9 0 => tháa m·n. 2 2 VËy víi m = - 3 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : x1 x2 9 . d/ Theo phÇn b : Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1;x2 0 x1 x2 m (a) Khi ®ã theo ®Þnh lý Vi-et, ta cã : x1x2 m 3 (b) HÖ thøc : 2x1 + 3x2 = 5 (c) Tõ (a) vµ (c) ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh : x1 x2 m 3x1 3x2 3m x1 3m 5 x1 3m 5 2x1 3x2 5 2x1 3x2 5 x2 m x1 x2 2m 5 x1 3m 5 Thay vµo (b) ta cã ph­¬ng tr×nh : x2 2m 5 ( 3m 5)(2 m 5) m 3 6 m 2 15m 10 m 25 m 3 6 m 2 26 m 28 0 3m 2 13m 14 0 2 ( m ) 13 4.3.14 1 0 Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 20
21. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam 13 1 m1 2 => ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt : 2.3 13 1 7 m 2 2.3 3 Thö l¹i : +) Víi m 2 0 => tháa m·n. 7 25 +) Víi m 0 => tháa m·n. 3 9 7 VËy víi m 2;m ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = 5. 3 2 e/ Ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x1 3 ( 3) m.( 3) m 3 0 2m 12 0 m 6 Khi ®ã : x1 x2 m x2 m x1 x2 6 ( 3) x2 3 VËy víi m = 6 th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = x2 = - 3. f/ Ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu ac 0 1.(m 3) 0 m 3 0 m 3 VËy víi m < - 3 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. g/ Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2. Khi ®ã theo ®Þnh lÝ Vi-et, ta cã : x1 x2 m m x1 x2 x1 x2 x1x2 3 x1x2 m 3 m x1x2 3 Vậy hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m là: x1.x2 + (x1 + x2 ) – 3 = 0 Bµi 3: Cho ph­¬ng tr×nh (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham sè m) a) T×m m ®Ó (1) cã nghiÖm b) T×m m ®Ó (1) cã nghiÖm duy nhÊt? t×m nghiÖm duy nhÊt ®ã? c) T×m m ®Ó (1) cã 1 nghiÖm b»ng 2? khi ®ã h·y t×m nghiÖm cßn l¹i(nÕu cã)? HƯỚNG DẪN GIẢI: 3 a) + NÕu m-1 = 0 m = 1 th× (1) cã d¹ng 2x - 3 = 0 x = (lµ nghiÖm) 2 + NÕu m ≠ 1. Khi ®ã (1) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai cã: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 2 (1) cã nghiÖm ’ = 3m-2 0 m 3 2 + KÕt hîp hai tr­êng hîp trªn ta cã: Víi m th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 3 3 b) + NÕu m-1 = 0 m = 1 th× (1) cã d¹ng 2x - 3 = 0 x = (lµ nghiÖm) 2 + NÕu m ≠ 1. Khi ®ã (1) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai cã: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 2 (1) cã nghiÖm duy nhÊt ’ = 3m-2 = 0 m = (tho¶ m·n m ≠ 1) 3 Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 21
22. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam 1 1 Khi ®ã x = 3 2 m 1 1 3 3 +VËy víi m = 1 th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 2 2 víi m = th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 3 3 c) Do ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 2 nªn ta cã: 3 (m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 4m – 3 = 0 m = 4 3 1 Khi ®ã (1) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai (do m -1 = -1= ≠ 0) 4 4 3 3 Theo ®inh lÝ Viet ta cã: x1.x2 = 12 x 6 m 1 1 2 4 3 VËy m = vµ nghiÖm cßn l¹i lµ x2 = 6 4 Bµi 4: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 -2(m-1)x - 3 - m = 0 a) Chøng tá r»ng ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng ©m 2 2 d) T×m m sao cho nghiÖm sè x1, x2 cña ph­¬ng tr×nh tho¶ m·n x1 +x2 10. e) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc vµo m f) H·y biÓu thÞ x1 qua x2 HƯỚNG DẪN GIẢI: 2 1 15 a) Ta cã: ’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) = m 2 4 2 1 15 Do m 0 víi mäi m; 0 > 0 víi mäi m 2 4 Ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt Hay ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm (®pcm) b) Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu a.c -3 VËy m > -3 c) Theo ý a) ta cã ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm Khi ®ã theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: S = x1 + x2 = 2(m-1) vµ P = x1.x2 = - (m+3) Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 22
23. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam Khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m S 0 2(m 1) 0 m 1 m 3 (m 3) 0 m 3 VËy m < -3 d) Theo ý a) ta cã ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: S = x1 + x2 = 2(m-1) vµ P = x1.x2 = - (m+3) 2 2 2 2 2 Khi ®ã A = x1 +x2 = (x1 + x2) - 2x1x2 = 4(m-1) +2(m+3) = 4m – 6m + 10 Theo bµi A 10 4m2 – 6m 0 2m(2m-3) 0 m 0 m 0 3 m 3 2m 3 0 2 m 2 m 0 m 0 m 0 2m 3 0 3 m 2 3 VËy m hoÆc m 0 2 e) Theo ý a) ta cã ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm x1 x2 2(m 1) x1 x2 2m 2 Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: . x1.x2 (m 3) 2x1.x2 2m 6 x1 + x2+2x1x2 = - 8 VËy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 lµ hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc m 8 x2 f) Tõ ý e) ta cã: x1 + x2+2x1x2 = - 8 x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) x1 1 2x2 8 x2 1 VËy x1 (x2 ) 1 2x2 2 Bµi 5: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 + 2x + m-1= 0 ( m lµ tham sè) a) Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ nghÞch ®¶o cña nhau b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n 3x1+2x2 = 1 1 1 c) LËp ph­¬ng tr×nh Èn y tho¶ m·n y1 x1 ; y2 x2 víi x1; x2 lµ nghiÖm cña x2 x1 ph­¬ng tr×nh ë trªn HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Ta cã ’ = 12 – (m-1) = 2 – m Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ nghÞch ®¶o cña nhau ' 0 2 m 0 m 2 m 2 P 1 m 1 1 m 2 Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 23
24. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam VËy m = 2 b) Ta cã ’ = 12 – (m-1) = 2 – m Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 0 2 – m 0 m 2 (*) Khi ®ã theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2) Theo bµi: 3x1+2x2 = 1 (3) x1 x2 2 2x1 2x2 4 x1 5 x1 5 Tõ (1) vµ (3) ta cã: 3x1 2x2 1 3x1 2x2 1 x1 x2 2 x2 7 ThÕ vµo (2) ta cã: 5(-7) = m -1 m = - 34 (tho¶ m·n (*)) VËy m = -34 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m d) Víi m 2 th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2) 1 1 x1 x2 2 2m Khi ®ã:y1 y2 x1 x2 x1 x2 2 (m≠1) x1 x2 x1 x2 m 1 1 m 1 1 1 1 m 2 y1 y2 (x1 )(x2 ) x1 x2 2 m 1 2 (m≠1) x2 x1 x1 x2 m 1 m 1 2 2 2m m y1; y2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: y - .y + = 0 (m≠1) 1 m m 1 Ph­¬ng tr×nh Èn y cÇn lËp lµ: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0 Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 24
25. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bµi 1Cho ph­¬ng tr×nh (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1). T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nguyªn. HDÉn : * m = 1 : -2x + 2 = 0 x 1 m 1 2 * m 1 : m - 1 + (-2m) +m +1 = 0 x 1 ; x 1 1 2 m 1 m 1 m 1 1; 2 m  1;0;2;3 Bµi 2: Cho ph­¬ng tr×nh x2 + (2m - 5)x - 3n = 0 . X¸c ®Þnh m vµ n ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ 3 vµ -2. 6m 3n 6 m 2 HDÉn : 4m 3n 14 n 2 1 Bµi 3: T×m m, n ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc hai sau ®©y cã nghiÖm duy nhÊt lµ : 2 mx2 + (mn + 1)x + n = 0 m 0 m 2 HDÉn : 0 1 n m 1 2 mn 1 . n 0 4 2 Bµi 4: Cho hai ph­¬ng tr×nh : x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) vµ x2 + x - 2m - 10 = 0 (2) CMR : Víi mäi m, Ýt nhÊt 1 trong 2 ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm . HDÉn : 1 2 26 > 0 cã 1 biÖt sè kh«ng ©m . m Bµi 5: Cho hai ph­¬ng tr×nh : x2 + (m - 2)x + = 0 (1) 4 vµ 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = 0 (2) CMR víi mäi m, Ýt nhÊt 1 trong 2 ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm . HDÉn : 1 (m 1)(m 4) ; 2 16(1 m)(m 4) 2 2 1. 2 16(m 1) (m 4) 0 cã 1 biÖt sè kh«ng ©m . Bµi 6: T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh sau ®©y cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung. Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 25
26. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam x2 + 2x + m = 0 x2 + mx + 2 = 0 2 HDÉn : (m -2)x0 = m - 2 : + m =2 : hai ph­¬ng tr×nh cã d¹ng : x + 2x +2 = 0 ( v« nghiÖm) + m 2 : x0 = 1 ; m = -3 Bµi 7: T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh sau ®©y cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung. x2 + (m - 2)x + 3 = 0 2x2 + mx + (m + 2) = 0 2 HDÉn : (m - 4)x0 = m - 4 : + m = 4 : hai ph­¬ng tr×nh cã d¹ng : x + 2x +3 = 0 ( v« nghiÖm) + m 4 : x0 = 1 ; m = -2 2 Bµi 8 : Gäi x1 vµ x2 lµ nh÷ng nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh : 3x - (3k - 2)x - (3k + 1) = 0 (1) T×m nh÷ng gi¸ trÞ cña k ®Ó c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n : 3x1 5x2 6 k 0 4 HDÉn : * (3k 4) 2 0 k * 32 (t/m) 3 k 15 Bµi 9 : Cho ph­¬ng tr×nh : x2 - (2m + 1)x + m2 + 2 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó gi÷a hai nghiÖm x1 , x2 ta cã hÖ thøc : 3x1 x2 5(x1 x2 ) 7 0 m 2 7 4 HDÉn : * 4m 7 0 m * 4 lo¹i m = 4 m 3 3 2 Bµi 10: Cho ph­¬ng tr×nh x 2 m 2 x m 1 0 . Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng 2 tr×nh. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó x1 1 2x2 x2 1 2x1 m 2 3 3 HDÉn : * ' = m 0 2 4 2 2 m 0 * x1 1 2x2 x2 1 2x1 m x1 x2 4x1 x2 m m m 2 0 m 2 Bµi 11: Cho ph­¬ng tr×nh x 2 2 m 3 x 2m 7 0 (1) 1 1 Gäi hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) lµ x1, x2 . h·y t×m m ®Ó m x1 1 x2 1 HDÉn : * = m 4 2 0 1 1 7 33 * m 2m 2 7m 2 0 m x1 1 x2 1 4 Bµi 11: Cho ph­¬ng tr×nh x2 - ( 2m + 1)x + m2 + m = 0. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho¶ m·n: - 2<x1<x2<4 Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 26
27. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam x1 2 m 2 HDÉn : * = 1>0 * x1= m , x2= m + 1 x1 0 ) 4 a 2 a 2 2 5 a 2 5 (t / m) Bµi 13: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai mx 2 5m 2 x 6m 5 0 2 1-T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ®èi nhau. ( m = ) 5 2-T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm nghÞch ®¶o nhau. m 1 Bµi 14: T×m gi¸ trÞ m ®Ó ph­¬ng tr×nh: a) 2x2 + mx + m - 3 = 0 Cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm ©m cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n nghiÖm d­¬ng. ( 0<m <3) b) x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 Cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu vµ b»ng nhau vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. (m = 1) Bµi 15: X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh x2 - (m + 1)x + 2m = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt sao cho x1, x2 lµ ®é dµi hai c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn b»ng 5. 0 m 3 8; m 3 8 S 0 m 1 m 6 P 0 m 0 2 2 2 x1 x2 5 m 6; m 4 Bµi 16: Sè ®o hai c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai : m 2 x 2 2 m 1 x m 0 . 2 H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó sè ®o ®­êng cao øngvíi c¹nh huyÒn lµ . 5 Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 27
28. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam m 2 ' 0 m 0 1 1 1 HD GIẢI* * m 4(t / m) khi ®ã x1 = 1; x2 = 2 m 2 2 2 2 P 0 x1 x2 2 S 0 5 Bµi 17: Cho hai ph­¬ng tr×nh x 2 2m n x 3m 0 (1) vµ x 2 m 3n x 6 0 (2) T×m m vµ n ®Ó c¸c ph­¬ng tr×nh (1) vµ (2) t­¬ng ®­¬ng. H.DẪN*Ph­¬ng tr×nh (2) cã ac = - 6<0 (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. 2m n m 3n m 2 * 3m 6 n 1 * Thö l¹i, rót kÕt luËn. Bµi 18: T×m c¸c gi¸ trÞ cña m vµ n ®Ó hai ph­¬ng tr×nh sau t­¬ng ®­¬ng : x 2 4m 3n x 9 0 (1) vµ x 2 3m 4n x 3n 0 (2) H.DẪN*Ph­¬ng tr×nh (1) cã ac = - 9<0 (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. 4m 3n 3m 4n * m n 3 9 3n * Thö l¹i, rót kÕt luËn. 2 2 2 Bµi 19: Cho ph­¬ng tr×nh x 2mx 2m 1 0 . T×m m sao cho A = 2(x 1 x 2 ) 5x1 x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. * ' m 1 2 0 2 2 9 9 9 9 9 * A 8m 18m 9 2 2m Amin m 4 8 8 8 8 2 Bµi 20: Cho ph­¬ng tr×nh x 2(m 2)x 6m 0 (1). Gäi x1 , x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 2 2 (1) . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x 1 x 2 . * ' m 1 2 3 0 2 2 2 2 2 1 * x 1 x 2 = 2m 1 15 15 x 1 x 2 15 m min 2 2 Bµi 21: Cho ph­¬ng tr×nh x 2(m 1)x m 4 0 cã hai nghiÖm x1, x2 . Chøng minh r»ng biÓu thøc H = x1 1 x2 x2 1 x1 kh«ng phô thuéc vµo m. 2 1 19 HƯỚNG DẪN: * ' m 0 2 4 * H x1 x2 2x1 x2 2 m 1 2 m 4 10 2 Bµi 22: Cho ph­¬ng tr×nh x 2(m 1)x m 3 0 cã hai nghiÖm x1, x2 . Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 28
29. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam Chøng minh r»ng biÓu thøc Q = x1 2007 2006x2 x2 2007 2008x1 kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m. 2 1 15 HƯỚNG DẪN: * ' m 0 2 4 * Q 2007 x1 x2 4014x1 x2 2007 2m 2 4014 m 3 16056 VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ BẬC NHẤT – BẬC 2 (KHUYẾT) A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I. Hµm sè bËc nhÊt a. Kh¸i niÖm hµm sè bËc nhÊt - Hµm sè bËc nhÊt lµ hµm sè ®­îc cho bëi c«ng thøc y = ax + b. Trong ®ã a, b lµ c¸c sè cho tr­íc vµ a 0 b. TÝnh chÊt Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña x thuéc R vµ cã tÝnh chÊt sau: - §ång biÕn trªn R khi a > 0 - NghÞch biÕn trªn R khi a < 0 c. §å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a 0) §å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a 0) lµ mét ®­êng th¼ng - C¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng b - Song song víi ®­êng th¼ng y = ax, nÕu b 0, trïng víi ®­êng th¼ng y = ax, nÕu b = 0 * C¸ch vÏ ®å thÞ hµm sè y = ax + b (a 0) B­íc 1. Cho x = 0 th× y = b ta ®­îc ®iÓm P(0; b) thuéc trôc tung Oy. Cho y = 0 th× x = -b/a ta ®­îc ®iÓm Q(-b/a; 0) thuéc trôc hoµnh B­íc 2. VÏ ®­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm P vµ Q ta ®­îc ®å thÞ hµm sè y = ax + b d. VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña hai ®­êng th¼ng Cho hai ®­êng th¼ng (d): y = ax + b (a 0) vµ (d’): y = a’x + b’ (a’ 0). Khi ®ã a a ' + d // d ' b b' + d ' d ' A a a ' a a ' + d  d ' b b' + d  d ' a.a ' 1 e. HÖ sè gãc cña ®­êng th¼ng y = ax + b (a 0) Gãc t¹o bëi ®­êng th¼ng y = ax + b vµ trôc Ox. - Gãc t¹o bëi ®­êng th¼ng y = ax + b vµ trôc Ox lµ gãc t¹o bëi tia Ax vµ tia AT, trong ®ã A lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox, T lµ ®iÓm thuéc ®­êng th¼ng y = ax + b vµ cã tung ®é d­¬ng HÖ sè gãc cña ®­êng th¼ng y = ax + b Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 29
30. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam -HÖ sè a trong y = ax + b ®­îc gäi lµ hÖ sè gãc cña ®­êng th¼ng y = ax +b II. Hµm sè bËc hai a. §Þnh nghÜa - Hµm sè cã d¹ng y = ax2 (a 0) b. TÝnh chÊt - Hµm sè y = ax2 (a 0) x¸c ®inh víi mäi gi¸ trÞ cña c thuéc R vµ: + NÕu a > 0 th× hµm sè nghÞch biÕn khi x 0 + NÕu a 0 c. §å thÞ cña hµm sè y = ax2 (a 0) - §å thÞ hµm sè y = ax2 (a 0) lµ mét Parabol ®i qua gèc täa ®é nhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng + NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh, O lµ ®iÓm thÊp nhÊt cña ®å thÞ + NÕu a < 0 th× ®å thÞ n»m phÝa d­êi trôc hoµnh, O lµ ®iÓm cao nhÊt cña ®å thÞ KiÕn thøc bæ xung C«ng thøc tÝnh to¹ ®é trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng vµ ®é dµi ®o¹n th¼ng Cho hai ®iÓm ph©n biÖt A víi B víi A(x1, y1) vµ B(x2, y2). Khi ®ã 2 2 - §é dµi ®o¹n th¼ng AB ®­îc tÝnh bëi c«ng thøc AB (xB xA ) (yB yA ) - Täa ®é trung ®iÓm M cña AB ®­îc tÝnh bëi c«ng thøc x x y y x A B ; y A B M 2 M 2 Quan hÖ gi÷a Parabol y = ax2 (a 0) vµ ®­êng th¼ng y = mx + n (m 0) Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) vµ ®­êng th¼ng (d): y = mx + n. Khi ®ã y ax2 - Täa ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh y mx n - Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ax2= mx + n (*) - Sè giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (*) + NÕu (*) v« nghiÖm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iÓm chung + NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau + NÕu (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt Mét sè phÐp biÕn ®æi ®å thÞ Cho hµm sè y = f(x) cã ®å thÞ lµ (C) - §å thÞ (C1): y = f(x) + b ®­îc suy ra b»ng c¸ch tÞnh tiÕn (C) däc theo trôc tung b ®¬n vÞ - §å thÞ (C2): y = f(x + a) ®­îc suy ra b»ng c¸ch tÞnh tiÕn (C) däc theo trôc hoµnh – a ®¬n vÞ - §å thÞ (C3): y = f(|x|) gåm hai phÇn + Gi÷ nguyªn phÇn ®å thÞ (C) n»m bªn ph¶i Oy, bá phÇn (C) n»m bªn tr¸i Oy + LÊy ®èi xøng phÇn (C) n»m bªn ph¶i Oy qua Oy - §å thÞ (C4): y = |f(x)| gåm hai phÇn + Gi÷ nguyªn phÇn ®å thÞ (C) n»m bªn trªn Ox, bá phÇn (C) n»m bªn d­íi Ox + LÊy ®èi xøng phÇn (C) n»m bªn trên Ox qua Oy. Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 30
31. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam III. Tương quan đồ thị Hàm số bậc nhất – Hàm số bậc hai. Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) vµ ®­êng th¼ng (d): y = mx + n. Khi ®ã: Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ax2= mx + n (*) - Sè giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (*) + NÕu (*) v« nghiÖm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iÓm chung + NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau + NÕu (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. B. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI: Baøi taäp 1: Treân cuøng maët phaúng toaï ñoä cho Parabol (P) y 2x2 vaø ñöôøng thaúng (d) y=(m-2)x+1 vaø (d’)y=-x+3 (m laø tham soá ) . Xaùc ñònh m ñeå (P) ,(d) vaø (d’) coù ñieåm chung . Giaûi: Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d’): 3 2x2=-x+3 2x2+x-3=0 (a+b+c=0) x 1; x 1 2 2 +Khi x=1 thì y=2 3 9 +Khi x thì y 2 2 3 9 Vaäy (d’) caét (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät A 1;2 & B ; 2 2 2 (m 2).1 1 m 3 A d Ñeå (P) ,(d) vaø (d’) coù ñieåm chung thì 9 3 1 B d (m 2)( ) 1 m 2 2 3 1 Vaäy vôùi m=3 hay m= thì (P) ,(d) vaø (d’) coù 1 ñieåm chung 3 Baøi taäp 2: Trong cuøng maët phaúng toaï ñoä , cho (P) : y x2 vaø ñöôøng thaúng (d) : y=mx+1 (m laø tham soá ).Xaùc ñònh m ñeå : a) (d) tieáp xuùc (P) b)(d) caét (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät . c) (d) vaø (P) khoâng coù ñieåm chung . Giaûi : Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d) laø : x2+mx+1=0 (*) m2 4 a) (d) tieáp xuùc (P)khi phöông trình (*) coù nghieäm keùp 2 m 2 0 m 4 0 m 2 b) (d) caét (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät khi (*) coù 2 nghieäm phaân bieät Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 31
32. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam 2 m 2 0 m 4 0 m 2 c) (d) vaø (P) khoâng coù ñieåm chung khi (*) voâ nghieäm 0 m2 4 0 2 m 2 x2 m 3 Baøi taäp 3: Cho (P) : y vaø (d) : y (m 1)x (m R) 2 2 2 2 Xaùc ñònh m ñeå (d) caét (P)taïi 2 ñieåm A(xA; yA) ; B(xB; yB) sao cho : x A x B 10 Giaûi: Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d)laø : x2 3 m m 2 x (*) x2 2(m 1)x 3 m 0 2 2 2 2 1 15 1 15 ' m m m 0 4 4 2 4 Vaäy phöông trình (*) coù 2 nghieäm phaân bieät laø xA ; xB xA xB 2(m 1) Theo Vieùt ta coù : xA.xB 3 m 2 2 2 Dox A x B 0 xA xB 2xA.xB 0 4m2 6m 0 2m(m 3) 0 m 0;m 3 m 3 m 0;m 3 m 0 m 3 Vaäy vôùi thì (P) caét (d) taïi 2 ñieåm phaân bieät A;B m 0 x 2 Baøi taäp 4: Trong cuøng maët phaúng toaï ñoä , cho (P) : y , ñieåm M(0;2). 2 Ñöôøng thaúng (D) ñi qua M vaø khoâng truøng vôùi Oy . Chöùng minh raèng (d) caét (P)taïi 2 ñieåm phaân bieät sao cho A·OB 90o Giaûi: - Vì (D) ñi qua M(0;2) vaø khoâng truøng vôùi Oy neân coù daïng y=ax+b - M (D) neân: 2=a.0+b b=2 vaø (D): y=ax+2 Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (D) laø : x2 ax 2 x2 2ax 4 0(*) 2 Vì phöông trình (*) coù heä soá a=1 ; c—4 (a.c<0) neân (*) coù 2 nghieäm phaân bieät Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 32
33. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam xA xB 2a A(xA; yA) ; B(xB; yB) Theo heä thöùc Vieùt ta coù: xA.xB 4 x2 x2 Vì A (P) y A ;B (P) y B A 2 B 2 4 4 2 2 x 2 2 x OA2 x 0 y 0 x2 A ;OB2 x 0 y 0 x2 B A A A 4 B B B 4 2 2 2 4 4 2 2 2 2 x A x B 2 2 x A x B AB xA xB yA yB xA xB x A x B 2 2 4 x4 x4 Ta coù OA2 OB2 x2 x2 A B A B 4 Vaäy : OA2 OB2 AB2 AOBvuoâng taïi O C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bµi 1. Cho hai hµm sè: y = x vµ y = 3x a. VÏ ®å thÞ cña hai hµm sè ®ã trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é Oxy b. §­êng th¼ng song song víi trôc Ox, c¾t Oy t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 6, c¾t c¸c ®­êng th¼ng: y = x vµ y = 3x lÇn l­ît ë A vµ B. T×m täa ®é c¸c ®iÓm A vµ B, tÝnh chu vi, diÖn tÝch tam gi¸c OAB 1 Bµi 2: Cho hµm sè y = - 2x vµ y x . 2 a. VÏ trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é Oxy ®å thÞ cña hai hµm sè trªn; 1 b. Qua ®iÓm (0; 2) vÏ ®­êng th¼ng song song víi trôc Ox c¾t ®­êng th¼ng y x vµ 2 y = - 2x lÇn l­ît t¹i A vµ B. Chøng minh tam gi¸c AOB lµ tam gi¸c vu«ng vµ tÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c ®ã. Bµi 3: Cho hµm sè: y = (m + 4)x - m + 6 (d). a. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hµm sè ®ång biÕn, nghÞch biÕn. b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m, biÕt r»ng ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(-1; 2). VÏ ®å thÞ cña hµm sè víi gi¸ trÞ t×m ®­îc cña m. c. Chøng minh r»ng khi m thay ®æi th× c¸c ®­êng th¼ng (d) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bµi 4: Cho ba ®­êng th¼ng y = -x + 1, y = x + 1 vµ y = -1. a. VÏ ba ®­êng th¼ng ®· cho trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é Oxy. b. Gäi giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng y = -x + 1 vµ y = x + 1 lµ A, giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng y = -1 víi hai ®­êng th¼ng y = -x + 1 vµ y = x + 1 theo thø tù lµ B vµ C. T×m täa ®é c¸c ®iÓm A, B, C. c. Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g×? TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. Bµi 5: Cho ®­êng th¼ng (d): ;y = - 2x + 3. Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 33
34. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam a. X¸c ®Þnh täa ®é giao ®iÓm A vµ B cña ®­êng th¼ng d víi hai trôc Ox, Oy, tÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm O(0; 0) ®Õn ®­êng th¼ng d. b. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm C(0; -2) ®Õn ®­êng th¼ng d. Bµi 6: T×m gi¸ trÞ cña k ®Ó ba ®­êng th¼ng: 1 7 2 1 y = 2x + 7 (d1)y x (d2)y x (d3) 3 3 k k ®ång quy trong mÆt ph¼ng täa ®é. Bµi 7: Cho hai ®­êng th¼ng: y = (m + 1)x - 3 vµ y = (2m - 1)x + 4. 1 a. Chøng minh r»ng khi m th× hai ®­êng th¼ng ®· cho vu«ng gãc víi nhau. 2 b. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ®­êng th¼ng ®· cho vu«ng gãc víi nhau. Bµi 8: X¸c ®Þnh hµm sè y = ax + b trong mçi tr­êng hîp sau: a. Khi a 3 , ®å thÞ hµm sè c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 3 . b. Khi a = - 5, ®å thÞ hµm sè ®i qua ®iÓm A(- 2; 3). c. §å thÞ hµm sè ®i qua hai ®iÓm M(1; 3) vµ N(- 2; 6). d. §å thÞ hµm sè song song víi ®­êng th¼ng y 7x vµ ®i qua ®iÓm 1;7 7 . Bµi 9: Cho ®­êng th¼ng: y = 4x (d). a. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d1) song song víi ®­êng th¼ng (d) vµ cã tung ®é gèc b»ng 10. b. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d2) vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng (d) vµ c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng – 8. c. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d3) song song víi ®­êng th¼ng (d) c¾t trôc Ox t¹i A, c¾t trôc Oy t¹i B vµ diÖn tÝch tam gi¸c AOB b»ng 8. 1 Bµi 10: Cho hµm sè: y = 2x + 2 (d1)y x 2 (d2). 2 a. VÏ ®å thÞ cña hai hµm sè ®· cho trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é Oxy. b. Gäi giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng (d1) víi trôc Oy lµ A, giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng (d2) víi trôc Ox lµ B, cßn giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng (d1) vµ (d2) lµ C. Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g×? T×m täa ®é c¸c ®iÓm A, B, C. c. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. 1 Bµi 11: Cho c¸c hµm sè sau: y = - x - 5 (d1) ; y x (d2) ; y = 4x (d3) 4 a. VÏ ®å thÞ cña c¸c hµm sè ®· cho trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é Oxy. b. Gäi giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng (d1) víi ®­êng th¼ng (d2) vµ (d3) lÇn l­ît lµ A vµ B. T×m täa ®é c¸c ®iÓm A, B. c. Tam gi¸c AOB lµ tam gi¸c g×? V× sao? d. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AOB. Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 34
35. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam Bµi 12: Cho hai ®­êng th¼ng: y = (k - 3)x - 3k + 3 (d1) vµ y = (2k + 1)x + k + 5 (d2). T×m c¸c gi¸ trÞ cña k ®Ó: a. (d1) vµ (d2) c¾t nhau. b. (d1) vµ (d2) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung. c. (d1) vµ (d2) song song víi nhau. d. (d1) vµ (d2) vu«ng gãc víi nhau. e. (d1) vµ (d2) trïng nhau. Bµi 13: Cho hµm sè bËc nhÊt: y = (m + 3)x + n (d). T×m c¸c gi¸ trÞ cña m, n ®Ó ®­êng th¼ng (d): a. §i qua ®iÓm A(1; - 3) vµ B(- 2; 3). b. C¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 1 3 , c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é 3 3 . c. C¾t ®­êng th¼ng 3y - x - 4 = 0. d. Song song víi ®­êng th¼ng 2x + 5y = - 1. e. Trïng víi ®­êng th¼ng y - 3x - 7 = 0. Bµi 14: Cho hµm sè: y = (m2 - 6m + 12)x2. a. Chøng tá r»ng hµm sè nghÞch biÕn trong kho¶ng (-2005; 0), ®ång biÕn trong kho¶ng (0; 2005). b. Khi m = 2, h·y t×m x ®Ó y = 8; y = 2 vµ y = - 2. 1 2 c. Khi m = 5, h·y t×m gi¸ trÞ cña y, biÕt x 1 2, x = 1- 2 vµ x . 1 2 Bµi 15. Cho ®­êng th¼ng (d): y = (k - 2)x + q. T×m c¸c gi¸ trÞ cña k vµ q biÕt r»ng ®­êng th¼ng (d) tháa m·n mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: a. §i qua ®iÓm A(-1; 2) vµ B(3; 4) b. C¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é 1 2 vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é 2 2 c. C¾t ®­êng th¼ng -2y + x - 3 = 0 d. Song song víi ®­êng th¼ng 3x + 2y = 1 Bµi 16. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho parabol (P): y = x2/4 vµ ®­êng th¼ng (d): y = mx + n. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m vµ n biÕt ®­êng th¼ng (d) tháa m·n mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: a. Song song víi ®­êng th¼ng y = x vµ tiÕp xóc víi (P) b. §i qua ®iÓm A(1,5; -1) vµ tiÕp xóc víi (P). T×m täa ®é tiÕp ®iÓm cña (P) vµ (d) trong mçi tr­êng hîp trªn. 1 Bµi 17. Cho hµm sè: y x2 . 2 1. VÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªn. 2. Trªn (P) lÊy hai ®iÓm M vµ N lÇn l­ît cã hoµnh ®é lµ - 2; 1. ViÕt ph­ong tr×nh ®­êng th¼ng MN. 3. X¸c ®Þnh hµm sè y = ax + b biÕt r»ng ®å thÞ (D) cña nã song song víi ®­êng th¼ng MN vµ chØ c¾t (P) t¹i 1 ®iÓm. Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 35
36. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam Bµi 18. Cho hµm sè: y = x2 vµ y = x + m (m lµ tham sè). 1. T×m m sao cho ®å thÞ (P) cña hµm sè y = x2 vµ ®å thÞ (D) cña y = x + m cã hai giao ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. 2. T×m ph­ong tr×nh cña ®­êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi (D) vµ (d) tiÕp xóc víi (P). 3. a). ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm theo täa ®é cña hai ®iÓm Êy. b). ¸p dông: T×m m sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A, B (ë c©u 1) lµ 3 3 . Bµi 19. Trong cïng hÖ trôc täa ®é gäi (P) lµ ®å thÞ hµm sè y = ax2 vµ (D) lµ ®å thÞ hµm sè y = - x + m. 1. T×m a biÕt r»ng (P) ®i qua A(2; -1) vµ vÏ (P) víi a t×m ®­îc. 2. T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P) (ë c©u 1) vµ t×m täa ®é tiÕp ®iÓm. 1. Gäi B lµ giao ®iÓm cña (D) (ë c©u 2) víi tung ®é. C lµ ®iÓm ®èi xøng cña A 1 Bµi 20. Cho parabol (P): y x2 vµ ®­êng th¼ng (D) qua 2 ®iÓm A vµ B trªn (P) cã hoµnh 4 ®é lÇn l­ît lµ - 2 vµ 4. 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªn. 2. ViÕt ph­ong tr×nh cña (D). 3. T×m ®iÓm M trªn cung AB cña (P) (t­¬ng øng hoµnh ®é) x  2;4 sao cho tam gi¸c MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt. 1 Bµi 21. Trong cïng hÖ trôc vu«ng gãc, cho parabol (P): y x2 vµ ®­êng th¼ng (D): 4 y = mx - 2m - 1. 1. VÏ (P). 2. T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P). 3. Chøng tá r»ng (D) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh A thuéc (P). 1 Bµi 22.Trong cïng hÖ trôc vu«ng gãc cã parabol (P): y x2 vµ ®­êng th¼ng (D) qua ®iÓm 4 3 I( ; 1) cã hÖ sè gãc m. 2 1. VÏ (P) vµ viÕt ph­ong tr×nh cña (D). 2. T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P). 3. T×m m sao cho (D) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt. 1 1 Bµi 23. Trong cïng hÖ trôc täa ®é cho parabol (P): y x2 vµ ®­êng th¼ng (D):y x 2 . 4 2 1. VÏ (P) vµ (D). 2. B»ng phÐp to¸n, t×m täa ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (D). 3. T×m täa ®é cña ®iÓm thuéc (P) sao cho t¹i ®ã ®­êng tiÕp tuyÕn cña (P) song song víi (D). Bµi 24. Cho hä ®­êng th¼ng cã ph­ong tr×nh: mx + (2m - 1)y + 3 = 0 (1). 1. ViÕt ph­ong tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua A(2; 1). Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 36
37. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam 2. Chøng minh r»ng c¸c ®­êng th¼ng trªn lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh M víi mäi m. T×m täa ®é cña M. Bµi 25. Cho parabol (P): y = x2 - 4x + 3. 1. Chøng minh ®­êng th¼ng y = 2x - 6 tiÕp xóc víi (P). 2. Gi¶i b»ng ®å thÞ bÊt ph­ong tr×nh: x2 - 4x + 3 > 2x - 4. 1 Bµi 26. Cho parabol y x2 (P), ®iÓm I(0; 2) vµ ®iÓm M(m; 0) víi m kh¸c 0. 2 1. VÏ (P). 2. ViÕt ph­ong tr×nh ®­êng th¼ng (D) ®i qua hai ®iÓm M, I. 3. Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng (D) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B víi mäi m kh¸c 0. 4. Gäi H vµ K lµ h×nh chiÕu cña A vµ B lªn trôc hoµnh. Chøng minh r»ng tam gi¸c IHK lµ tam gi¸c vu«ng. 5. Chøng minh r»ng ®é dµi ®o¹n AB > 4 víi mäi m kh¸c 0. 1 Bµi 27. Trong mÆt ph¼ng täa ®é vu«ng gãc Oxy, cho parbol (P): y x2 vµ ®iÓm I(0; -2). 4 Gäi (D) lµ ®­êng th¼ng ®i qua I vµ cã hÖ sè gãc m. 1. VÏ ®å thÞ (P). 2. Chøng tá r»ng víi mäi m, (D) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. T×m quü tÝch trung ®iÓm M cña AB. 3. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× AB ng¾n nhÊt? T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã. Bµi 28. Cho hµm sè y = x2 cã ®å thÞ (P) trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy. 1. VÏ (P). 2. Gäi A vµ B lµ hai ®iÓm n»m trªn (P) lÇn l­ît cã hoµnh ®é -1 vµ 2. Chøng minh r»ng; tam gi¸c OAB vu«ng. 3. ViÕt ph­ong tr×nh ®­êng th¼ng (D) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P). 4. Cho ®­êng th¼ng (d): y = mx + 1 (víi m lµ tham sè). a. Chøng minh r»ng; (d) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m. b. T×m m sao cho (d) c¾t ®å thÞ (P) t¹i hai ®iÓm cã hoµnh ®é x1, x2 tháa m·n: 1 1 2 2 11. VÏ (d) víi m t×m ®­îc. x1 x2 Bµi 29. Cho hµm sè: y = 2x2 (P). 1. VÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè. 2. T×m quü tÝch c¸c ®iÓm M sao cho qua M cã thÓ kÎ ®­îc hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc vµ cïng tiÕp xóc víi (P). Bµi 30. Trong cïng mÆt ph¼ng täa ®é cho parabol (P): y = - x2 + 4x - 3 vµ ®­êng th¼ng (D); 2y + 4x - 17 = 0. 1. VÏ (P) vµ (D). 2. T×m vÞ trÝ cña A thuéc (P) vµ B thuéc (D) sao cho ®é dµi ®o¹n AB ng¾n nhÊt. Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 37
38. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam Bµi 31. Cho parabol (P): y = - x2 + 6x - 5. Gäi (d) lµ ®­êng th¼ng ®i qua A(3; 2) vµ cã hÖ sè gãc m. 1. Chøng tá r»ng víi mäi m, ®­êng th¼ng (d) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt B, C. 2. X¸c ®Þnh ®­êng th¼ng (d) sao cho ®é dµi ®o¹n BC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 1 1 Bµi 32. Cho parabol (P): y x2 vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­ong tr×nh: y mx . 2 2 1. Chøng minh r»ng víi mäi m, (d) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. 2. Chøng minh r»ng víi mäi m, (d) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M, N. T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng MN. 2 Bµi 33. Cho hai ®­êng th¼ng (d1): y = (m + 2m)x vµ (d2): y = ax (a 0). 1. §Þnh a ®Ó (d2) ®i qua A(3; -1). 2. T×m c¸c gi¸ trÞ m ®Ó cho (d1) vu«ng gãc víi (d2) ë c©u 1). Bµi 34. Cho hµm sè: y = ax + b. 1. T×m a vµ b cho biÕt ®å thÞ hµm sè ®i qua hai ®iÓm M(- 1; 1) vµ N(2; 4). VÏ ®å thÞ (d1) cña hµm sè víi a, b t×m ®­îc. 2. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè y = (2m2 – m)x + m2 + m lµ mét ®­êng th¼ng song song víi (d1). VÏ (d2) võa t×m ®­îc. 3. Gäi A lµ ®iÓm trªn ®­êng th¼ng (d1) cã hoµnh ®é x = 2. T×m ph­ong tr×nh ®­êng th¼ng (d3) ®i qua A vu«ng gãc víi c¶ hai ®­êng th¼ng (d1) vµ (d2). TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1) vµ (d2). Bµi 35. Cho hµm sè: y = mx - 2m - 1 (1) (m 0). 1. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè ®i qua gèc täa ®é O. VÏ ®å thÞ (d1) võa t×m ®­îc. 2. TÝnh theo m täa ®é c¸c giao ®iÓm A, B cña ®å thÞ hµm sè (1) lÇn l­ît víi c¸c trôc Ox vµ Oy. X¸c ®Þnh m ®Ó tam gi¸c AOB cã diÖn tÝch b»ng 2 (®.v.d.t). 3. Chøng minh r»ng ®å thÞ hµm sè (1) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi m thay ®æi. Bµi 36. Cho parabol (P): y = ax2 vµ hai ®iÓm A(2; 3), B(- 1; 0). 1. T×m a biÕt r»ng (P) ®i qua ®iÓm M(1; 2). Kh¶o s¸t vµ vÏ (P) víi a t×m ®­îc. 2. T×m ph­ong tr×nh ®­êng th¼ng AB råi t×m giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng nµy víi (P) (ë c©u 1). 3. Gäi C lµ giao ®iÓm cã hoµnh ®é d­¬ng. ViÕt ph­ong tr×nh ®­êng th¼ng qua C vµ cã víi (P) mét ®iÓm chung duy nhÊt. Bµi 37: 1. Cho parabol (P): y = ax2; cho biÕt A(1; -1) (P). X¸c ®Þnh a vµ vÏ (P) víi a t×m ®­îc. 2. BiÖn luËn sè giao ®iÓm cña (P) víi ®­êng th¼ng (d): y = 2mx - m + 2. 1 3. Chøng tá r»ng, I ;2 thuéc (d) víi mäi m. T×m ph­ong tr×nh c¸c ®­êng th¼ng ®i 2 qua I vµ cã víi (P) ®iÓm chung duy nhÊt. Bµi 38. Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 38
39. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam x2 1 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè y vµ ®­êng th¼ng (d): y x . 2 2 2. Chøng minh r»ng (d) lµ mét tiÕp tuyÕn cña (P). 3. BiÖn luËn sè giao ®iÓm cña (P) vµ (d’): y = x - m b»ng hai c¸ch (®å thÞ vµ phÐp to¸n). Bµi 39. Cho parabol (P): y = ax2 vµ hai ®iÓm A(- 2; - 5) vµ B(3; 5). 1. ViÕt ph­ong tr×nh ®­êng th¼ng AB. X¸c ®Þnh a ®Ó ®­êng th¼ng AB tiÕp xóc víi (P). T×m täa ®é tiÕp ®iÓm. 2. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (P) víi a võa t×m ®­îc. 3. Mét ®­êng th¼ng (D) di ®éng lu«n lu«n vu«ng gãc víi AB vµ c¾t (P) t¹i hai ®iÓm M 5 vµ N. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña (D) ®Ó MN . 2 Bµi 40. Cho hµm sè: y = x2 - 2x + m - 1 cã ®å thÞ (P). 1. VÏ ®å thÞ (P) khi m = 1. 2. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ (P) cña hµm sè tiÕp xóc víi trôc hoµnh. 3. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ (P) cña hµm sè c¾t ®­êng th¼ng (d) cã ph­ong tr×nh: y = x + 1 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. Bµi 41. Cho ®­êng th¼ng (D1): y = mx - 3. (D2): y = 2mx + 1 - m. 1. VÏ trªn cïng mÆt ph¼ng täa ®é Oxy c¸c ®­êng th¼ng (D1) vµ (D2) øng víi m = 1. T×m täa ®é giao ®iÓm B cña chóng. Qua O viÕt ph­ong tr×nh ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi (D1) t¹i A. X¸c ®Þnh A vµ tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AOB. 2. Chøng tá r»ng c¸c ®­êng th¼ng (D1) vµ (D2) ®Òu ®i qua nh÷ng ®iÓm cè ®Þnh. T×m täa ®é cña ®iÓm cè ®Þnh. Bµi 42. Cho hai ®­êng th¼ng (d1) vµ (d2) cã ph­ong tr×nh: 3 m 1 2m (d1): y x 2m 3 vµ (d2): y (m 2)x . 2 3 1. Chøng minh r»ng (d1) vµ (d2) ®i qua c¸c ®iÓm cè ®Þnh. T×m täa ®é ®iÓm cè ®Þnh. 2. ViÕt ph­ong tr×nh c¸c ®­êng th¼ng (d1) vµ (d2); cho biÕt (d1) th¼ng gãc víi (d2). 3. ViÕt ph­ong tr×nh c¸c ®­êng th¼ng (d1) vµ (d2); cho biÕt (d1) song song víi (d2). 1 Bµi 43. Cho parabol (P): y x2 . 2 1. ViÕt ph­ong tr×nh ®­êng th¼ng cã hÖ sè gãc m vµ ®i qua ®iÓm A trªn trôc hoµnh cã hoµnh ®é lµ 1, ®­êng th¼ng nµy gäi lµ (D). 2. BiÖn luËn theo m sè giao ®iÓm cña (P) vµ (D). 3. ViÕt ph­ong tr×nh ®­êng th¼ng (D) tiÕp xóc víi (P). T×m täa ®é tiÕp ®iÓm. 4. Trong tr­êng hîp (D) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña AB. 5. T×m trªn (P) c¸c ®iÓm mµ ®­êng th¼ng (D) kh«ng ®i qua víi mäi m. Bµi 44. Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 39
40. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam Cho parabol (P): y = x2 - 4x + 3 vµ ®iÓm A(2; 1). Gäi (D) lµ ®­êng th¼ng ®i qua A vµ cã hÖ sè gãc m. 1. Chøng minh r»ng (d) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N. 2. X¸c ®Þnh m ®Ó MN ng¾n nhÊt. VẤN ĐỀ 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Phương pháp chung: Bước 1: Gọi ẩn phù hợp, đơn vị tính, điều kiện cho ẩn nếu có. Bước 2: Biểu đạt các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết. Bước 3: Lập phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 4: Giải phương trình, hệ phương trình lập được ở bước 3. Bước 5: Đối chiếu điều kiện và kết luận. B. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI – HƯỚNG DẪN GIẢI: Bài 1: Tìm vaän toác vaø chieàu daøi cuûa 1 ñoaøn taøu hoaû bieát ñoaøn taøu aáy chaïy ngang qua vaên phoøng ga töø ñaàu maùy ñeán heát toa cuoái cuøng maát 7 giaây . Cho bieát saân ga daøi 378m vaø thôøi gian keå töø khi ñaàu maùy baét ñaàu vaøo saân ga cho ñeán khi toa cuoái cuøng rôøi khoûi saân ga laø 25 giaây. HD Giaûi: +/ Goïi x (m/s)laø vaän toác cuûa ñoaøn taøu khi vaøo saân ga (x>0) Goïi y (m) laø chieàu daøi cuûa ñoaøn taøu (y>0) +/ Taøu chaïy ngang ga maát 7 giaây nghóa laø vôùi vaän toác x (m/s) taøu chaïy quaõng ñöôøng y(m) maát 7 giaây. Ta coù phöông trình : y=7x (1) +/ Khi ñaàu maùy baét ñaàu vaøo saân ga daøi 378m cho ñeán khi toa cuoái cuøng rôøi khoûi saân ga maát 25 giaây nghóa laø vôùi vaän toác x (m/s) taøu chaïy quaõng ñöôøng y+378(m) maát 25giaây . Ta coù phöông trình : y+378=25x (2) y 7x +/ Kết hợp (1) và (2) ta ñöôïc heä phöông trình : y+378=25x +/ Giaûi ra ta coù : x=21 ; y= 147 (thoaû ÑKBT) Vaäy vaän toác cuûa ñoaøn taøu laø 21m/s Chieàu daøi cuûa ñoaøn taøu laø : 147m Bài 2: Moät chieác thuyeàn xuoâi, ngöôïc doøng treân khuùc soâng daøi 40km heát 4h30 phuùt . Bieát thôøi gian thuyeàn xuoâi doøng 5km baèng thôøi gian thuyeàn ngöôïc doøng 4km . Tính vaän toùc doøng nöôùc ? HD Giaûi: Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 40
41. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam +/ Goïi x (km/h)laø vaän toác cuûa thuyeàn khi nöôùc yeân laëng. Goïi y(km/h) laø vaät toác doøng nöôùc (x,y>0) +/ Vì thôøi gian thuyeàn xuoâi doøng 5km baèng thôøi gian thuyeàn ngöôïc doøng 4km neân ta coù 5 4 phöông trình : x y x y 9 +/ Vì chieác thuyeàn xuoâi, ngöôïc doøng treân khuùc soâng daøi 40km heát 4h30 phuùt (= h) neân 2 40 40 9 ta coù phöông trình : x y x y 2 5 4 x y x y Ta coù heä phöông trình : 40 40 9 x y x y 2 +/ Giaûi ra ta coù : x=18 ; y= 2 Vaäy vaän toác doøng nöôùc laø 2 km/h Bài 3: Treân moät ñöôøng troøn chu vi 1,2 m, ta laáy 1 ñieåm coá ñònh A. Hai ñim chuyeån ñoäng M , N chaïy treân ñöôøng troøn , cuøng khôûi haønh töø A vôùi vaän toác khoâng ñoåi . Neáu chuùng di chuyeån traùi chieàu nhau thì chuùng gaëp nhau sau moãi 15 giaây. Neáu chuùng di chuyeån cuøng chieàu nhau thì ñieåm M seõ vöôït Nñuùng 1 voøng sau 60 giaây.Tìm vaän toác moãi ñieåm M, N ? HD Giaûi: +/ Goïi x(m/s) laø vaän toác cuûa ñieåm M Goïi y(m/s) laø vaän toác cuûa ñieåm N (x>y>0) +/ Khi chuùng di chuyeån traùi chieàu nhau , chuùng gaëp nhau sau moãi 15 giaây neân ta coù phöông trình : 15x+15y=1,2 (1) +/ Khi M,N di chuyeån cuøng chieàu nhau thì ñieåm M seõ vöôït N ñuùng 1 voøng sau 60 giaây neân ta coù phöông trình : 60x-60y=1 (2) 15x+15y=1,2 Ta coù heä phöông trình : 60x+60y=1 +/ Giaûi heä phöông trình ta coù x=0,05 ;y= 0,03 (thoaû ÑKBT) Vaäy vaän toác ñieåm M laø : 0,05m/s vaø vaän toác ñieåm N laø : 0,03m/s Bài 4: Moät chieác moâtoâ vaø oâtoâ cuøng ñi töø M ñeán K vôùi vaän toác khaùc nhau .Vaän toác moâtoâ laø 62 km/h coøn vaän toác oâtoâ laø 55 km/h . Ñeå 2 xe ñeán ñích cuøng 1 luùc ngöôøi ta ñaõ cho oâtoâ chaïy tröôùc 1 thôøi gian . Nhöng vì 1 lí do ñaëc bieät neân khi chaïy ñöôïc 2/3 quaõng ñöôøng Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 41
42. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam oâtoâ buoäc phaûi chaïy vôùi vaän toác 27,5 km/h .Vì vaäy khi coøn caùch K 124km thì moâtoâ ñuoåi kòp oâtoâ . Tính khoaûng caùch töø M ñeán N . HD Giải: +/ Goïi khoaûng caùch MK laø x km Goïi thôøi gian döï ñònh oâtoâ ñi tröôùc moâtoâ laø y (giôø) x x y 62 55 +/ Ta coù : 2 x x 124 3 3 x 124 y 65 27,5 62 94 +/ Giaûi heä naøy ta ruùt ra : x= 514km ; y 1 (h) 1705 Bài 5: Cho 3 voøi A,B,C cuøng chaûy vaøo 1 beå . Voøi A vaø B chaûy ñaày beå trong 71 phuùt Voøi A vaø C chaûy ñaày beå trong 63 phuùt .Voøi C vaø B chaûy ñaày beå trong 56 phuùt . a. Moãi voøi laøm ñaày beå trong bao laâu ? Caû 3 voøi cuøng môû 1 luùc thì ñaày beå trong bao laâu ? b. Bieát voøi C chaûy 10lít ít hôn moãi phuùt so vôùi voøi A vaø B cuøng chaûy 1 luùc . Tính söùc chöùa cuûa beå vaø söùc chaûy cuûa moãi voøi ? HD Giaûi: a) Voøi A laøm ñaày beå trong x phuùt ( moãi phuùt laøm ñaày 1/x beå ) Voøi B laøm ñaày beå trong y phuùt ( moãi phuùt laøm ñaày 1/y beå ) Voøi C laøm ñaày beå trong z phuùt ( moãi phuùt laøm ñaày 1/z beå ) 1 1 72 1 x y 1 1 Ta coù heä phöông trình : 63 1 x z 1 1 56 1 z y +/ Giaûi heä phöông trình ta ñöôïc : x=168 ; y=126 ; z=504/5 5 4 3 12 Neáu 3 voøi cuøng môû 1 luùc thì sau moãi phuùt ñaày beå. 504 504 504 3 voøi cuøng laøm ñaày beå sau : 42 phuùt 12 Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 42
43. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam b)Goïi dung tích cuûa beå laø t phuùt thì moãi phuùt voøi C chaûy 5/504.t lít , voøi A vaø B chaûy 3 4 ( ).t lít .Theo ñeà baøi ta coù phöông trình : 504 504 5 3 4 5040 t 10 t t 2520(l) 504 504 504 2 3.2520 Söùc chaûy voøi A : 15l / p 504 4.2520 Töông töï söùc chaûy voøi B : 20l / p 504 5.2520 söùc chaûy voøi C : 25l / p 504 Bài 6: Nhaân ngaøy 1/6 moät phaân ñoäi thieáu nieân ñöôïc taëng moät soá keïo .Soá keïo naøy ñöôïc chia heát va chia ñeàu cho caùc ñoäi vieân .Ñeå ñaûm baûo nguyeân taéc chia aáy , phaân ñoäi tröôûng ñeà xuaát caùch nhaän quaø nhö sau: Baïn thöù nhaát nhaän 1 caùi keïo vaø 1/11 soá keïo coøn laïi .Cöù tieáp tuïc nhö theá ñeán baïn cuoái cuøng thöù n nhaän nhaän n caùi keïo vaø . Hoûi phaân ñoäi thieáu nieân noùi treân coù bao nhieâu ñoäi vieân ? Moãi ñoäi vieân nhaän ñöôïc bao nhieâu caùi keïo ? HD Giaûi: +/ Goïi soá ngöôøi trong phaân ñoäi laø a Soá keïo trong phaân ñoäi ñöôïc taëng laø x (a,x>0) x 1 +/ Ngöôøi thöù nhaát nhaän ñöôïc : 1 (keïo ) 11 x 1 x 2 1 1 1 Ngöôøi thöù hai nhaän ñöôïc : 2 (keïo ) 1 1 x 1 x 2 1 x 1 00 1 2 +/ Vì hai soá keïo baèng nhau vaø coù a ngöôøi neân ta coù : 11 11 x 1 a(1 ) x 11 +/ Giaûi heä naøy ta ñöôïc x=100 ; a=10 Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 43
44. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam Bài 7: 12 ngöôøi aên 12 caùi baùnh .Moãi ngöôøi ñaøn oâng aên 2 chieác , moãi ngöôøi ñaøn baø aên 1/2 chieác vaø moãi em beù aên 1/4 chieác.Hoûi coù bao nhieâu ngöôøi ñaøn oâng , ñaøn baø vaø treû em ? HD Giaûi: +/ Goïi soá ñaøn oâng , ñaøn baø vaø treû em laàn löôït laø x,y,z.(Đơn vị: Người, x,y,z laø soá nguyeân döông vaø nhoû hôn 12) +/ Soá baùnh hoï laàn löôït aên heát laø : 2x ; y/2 ; z/4 (Bánh) x y z 12 2x 2y 2z 24 1 +/ Theo ñeà baøi ta coù heä phöông trình : y z 2x 12 8x 2y z 48 2 2 4 +/ Laáy (2) tröø (1) ta ñöôïc : 6x-z=24 (3) Vì x, z Z , 6x vaø 24 chia heát cho 6 , z cuõng chia heát cho 6 .Keát hôïp vôùi ñieàu kieän 0 0) 30 55 Löôïng axit nitôric chöùa trong dung dòch loaïi 1 laø x vaø loaïi 2 laø y 100 100 x y 100 +/ Ta coù heä phöông trình : 30 55 x y 50 100 100 +/ Giaûi heä naøy ta ñöôïc : x=20 ;y=80 Bài 9:Hai người cùng làm chung một công việc trong 12 giờ thì xong. Nếu mỗi người 5 làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc? HD Giải: Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 44
45. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam 12 Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là x (giờ), ĐK x 5 Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ) Mỗi giờ người thứ nhất làm được 1 (cv), người thứ hai làm được 1 (cv) x x 2 Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong 12giờ nên mỗi giờ cả hai đội làm được 5 12 5 1: = (cv) 5 12 Do đó ta có phương trình 1 1 5 x x 2 12 x 2 x 5 x(x 2) 12 5x2 – 14x – 24 = 0 ’ = 49 + 120 = 169, , 13 7 13 6 7 13 20 => x (loại) và x 4 (TMĐK) 5 5 5 5 Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ, người thứ hai làm xong công việc trong 4+2 = 6 giờ. C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN: DẠNG 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH: Bµi 1: Hai ng­êi ®i xe ®¹p xuÊt ph¸t cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn B. VËn tèc cña hä h¬n kÐm nhau 3 km/h nªn hä ®Õn B sím muén h¬n nhau 30phót. TÝnh vËn tèc cña mçi ng­êi, biÕt qu·ng ®­êng AB dµi 30 km. Bµi 2: Mét chiÕc thuyÒn khëi hµnh tõ mét bÕn s«ng A. Sau 5h30p mét ca n« ®uæi theo vµ ®uæi kÞp thuyÒn t¹i mét ®Þa ®iÓm c¸ch bÕn s«ng A 20 km. Hái vËn tèc cña thuyÒn biÕt vËn tèc cña ca n« ch¹y nhanh h¬n thuyÒn lµ 12km/h. Bµi 3: Hai ng­êi ®i xe ®¹p khëi hµnh cïng mét lóc tõ hai ®Þa ®iÓm A, B c¸ch nhau 54 km, ®i ng­îc chiÒu nhau vµ gÆp nhau sau 2h. TÝnh vËn tèc cña hai ng­êi ®ã biÕt r»ng 4 vËn tèc cña ng­êi ®i tõ A b»ng vËn tèc cña ng­êi ®i tõ B. 5 Bµi 4: Mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ tØnh A ®Õn tØnh B c¸ch nhau 50 km. Sau ®ã 1h30p, mét ng­êi ®i xe m¸y còng ®i tõ A ®Õn B vµ ®Õn B tr­íc ng­êi ®i xe ®¹p 1h. TÝnh vËn tèc cña mçi xe biÕt vËn tèc cña xe m¸y gÊp 2,5 lÇn vËn tèc xe ®¹p. Bµi 5: Mét «t« chuyÓn ®éng ®Òu víi vËn tèc ®· ®Þnh ®Ó ®i hÕt qu·ng ®­êng 120km. §i ®­îc nöa qu·ng ®­êng, xe nghØ 3p nªn ®Ó ®Õn n¬i ®óng giê xe ®· ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 6km/h trªn nöa qu·ng ®­êng cßn l¹i. TÝnh thêi gian xe l¨n b¸nh trªn ®­êng. Bµi 6: Mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B trong mét thêi gian ®· ®Þnh. Khi cßn c¸ch B 30 km, ng­êi ®ã nhËn thÊy r»ng sÏ ®Õn B muén nöa giê nÕu gi÷ nguyªn vËn tèc ®¹ng ®i, Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 45
46. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam nh­ng nÕu t¨ng vËn tèc thªm 5km/h th× sÏ ®Õn B sím nöa giê. TÝnh vËn tèc cña xe trªn qu·ng ®­êng ®i lóc ®Çu. Bµi 7: Mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch nhau 33 km víi vËn tèc x¸c ®Þnh. Khi tõ B trë vÒ A ng­êi Êy ®i b»ng con ®­êng kh¸c dµi h¬n tr­íc 29 km nh­ng víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc lóc ®i 3km/h. TÝnh vËn tèc lóc ®i, biÕt thêi gian vÒ nhiÒu h¬n thêi gian ®i 1h30p. Bµi 8: Hai bÕn s«ng A, B c¸ch nhau 40 km. Cïng mét lóc víi ca n« xu«i bÕn tõ bÕn A cã mét chiÕc bÌ tr«i tõ bÕn A víi vËn tèc 3km/h. Sau khi ®Õn bÕn B, ca n« trë vÒ bÕn A ngay vµ gÆp bÌ khi ®· tr«i ®­îc 8km. TÝnh vËn tèc riªng cña ca n«, biÕt r»ng vËn tèc riªng cña ca n« kh«ng ®æi. Bµi 9: Mét ca n« ch¹y xu«i dßng tõ bÕn A ®Õn bÕn B, råi l¹i ch¹y ng­îc dßng tõ bÕn B trë vÒ bÕn A mÊt tÊt c¶ 4h. tÝnh vËn tèc cña can« khi n­íc yªn lÆng, biÕt qu·ng s«ng AB dµi 30km vµ vËn tèc cña dßng n­íc lµ 4km/h. Bµi 10: Mét h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 134m. nÕu gi¶m mçi kÝch th­íc cña v­ên ®i 1m th× diÖn tÝch cña v­ên b»ng diÖn tÝch cña h×nh vu«ng cã c¹nh b»ng 28m. TÝnh c¸c kÝch th­íc cña h×nh ch÷ nhËt ®ã. Bµi 11: Mét tÊm t«n h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 48 cm. Ng­êi ta c¾t bá mçi gãc mét h×nh vu«ng cã c¹nh 2cm råi gÊp lªn thµnh mét h×nh hép ch÷ nhËt kh«ng cã n¾p cã thÓ tÝch 96 cm3. TÝnh c¸c kÝch th­íc cña h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu. Bµi 12: Mét m¶nh v­ên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 34m, nÕu t¨ng chiÒu dµi 3m vµ t¨ng chiÒu réng 2m th× diÖn tÝch t¨ng thªm 45m2. H·y tÝnh chiÒu dµi, chiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt lóc ®Çu. Bµi 13: Mét tam gi¸c vu«ng cã chu vi lµ 30m, c¹nh huyÒn 13 cm. TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng ®ã. Bµi 14: Mét s©n h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch lµ 240 m2. NÕu t¨ng chiÒu réng thªm 3m, gi¶m chiÒu dµi 4m th× diÖn tÝch kh«ng ®æi. TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng. Bµi 15: Hai m¸y cµy cïng cµy mét ®¸m ruéng. NÕu c¶ hai m¸y cïng lµm th× sÏ cµy song trong 4 ngµy. NÕu cµy riªng th× m¸y 1 sÏ cµy song nhanh h¬n m¸y 2 lµ 6 ngµy. Hái nÕu cµy riªng th× mçi m¸y cµy song ®¸m ruéng sau bao nhiªu ngµy. Bµi 16: Mét tæ may mÆc ®Þnh may 600 ¸o trong thêi gian ®· ®Þnh. Nh­ng do c¶i tiÕn kü thuËt nªn n¨ng suÊt t¨ng lªn, mçi ngµy lµm thªm 4 ¸o, nªn thêi gian s¶n xuÊt gi¶m 5 ngµy. Hái mçi ngµy tæ dù ®Þnh may bao nhiªu ¸o. Bµi 17: Mét tæ may mÆc ®Þnh may 150 bé quÇn ¸o trong thêi gian ®· ®Þnh. Nh­ng do c¶i tiÕn kü thuËt nªn n¨ng suÊt t¨ng lªn, mçi ngµy lµm thªm 5 bé quÇn ¸o, nªn thêi gian s¶n xuÊt gi¶m 1 ngµy so víi dù ®Þnh. Hái mçi ngµy tæ dù ®Þnh may bao nhiªu ¸o. Bµi 18: NÕu hai vßi n­íc cïng ch¶y vµo mét bÓ kh«ng cã n­íc th× sau 4h ®Çy bÓ. NÕu cho ch¶y riªng ®Çy bÓ th× vßi 1 cÇn Ýt thêi gian h¬n vßi 2 lµ 6h. Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y ®Çy bÓ sau bao l©u. Bµi 19: Mét tæ may mÆc cè kÕ ho¹ch may 720 bé quÇn ¸o theo n¨ng xuÊt dù kiÕn. Thêi gian lµm theo n¨ng xuÊt t¨ng 10 s¶n phÈm mçi ngµy kÐm 4 ngµy so víi thêi gian lµm theo n¨ng xuÊt gi¶m ®i 20 s¶n phÈm mçi ngµy ( t¨ng, gi¶m so víi n¨ng xuÊt dù kiÕn ). TÝnh n¨ng xuÊt dù kiÕn. Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 46
47. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam DẠNG 2: LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH: Bài 1: Để đi đoạn đường từ A đến B, một xe máy đã đi hết 3h20 phút, còn một ôtô chỉ đi hết 2h30phút. Tính chiều dài quãng đường AB biết rằng vận tốc của ôtô lớn hơn vận tốc xe máy 20km/h. Bài 2: Có hai vòi nước, vòi 1 chảy đầy bể trong 1,5 giờ, vòi 2 chảy đầy bể trong 2 giờ. Người ta đã cho vòi 1 chảy trong một thời gian, rồi khóa lại và cho vòi 2 chảy tiếp, tổng cộng trong 1,8 giờ thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi đã chảy trong bao lâu? Bài 3: Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 124m. Nếu tăng chiều dài 5m và chiều rộng 3m thì diện tích tăng thêm 225 m2. Tính kích thước của hình chữ nhật đó. Bài 5: Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc ngược chiều nhau và gặp nhau ở một điểm cách A là 2km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người. Bài 6: Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày phần việc của đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu? Bài 7: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5h20’ một chiếc cano chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng cano chạy nhanh hơn thuyền 12km. Bài 8: Một người đi xe đạp đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 30km. Khi từ B trở về A, người đó chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường cũ 6km. Vì thế, khi đi về với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút. Tính vận tốc lúc đi. Bài 9: Một xí nghiệp có kế hoạch sản xuất 180 tấn dụng cụ trong một thời gian đã định. Nhưng nhờ tinh thần thi đua, nên mỗi ngày xí nghiệp sản xuất nhiều hơn mức dự kiến 1 tấn; chẳng những rút ngắn thời gian dự định 1 ngày mà còn sản xuất thêm 10 tấn ngoài kế hoạch. Hỏi thời gian dự kiến bao nhiêu ngày ? Mỗi ngày dự kiến làm ra bao nhiêu tấn dụng cụ ? Bài 10: Một hội đồng thi có 390 thí sinh phân đều các phòng. Nếu xếp mỗi phòng thi thêm 4 thí sinh thì số phòng thi sẽ giảm đi 2 phòng. Hỏi lúc đầu mỗi phòng thi dự định xếp bao nhiêu thí sinh ? Bài 11: Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1cm. Nếu tăng thêm chiều dài ¼ của nó thì diện tích hình chữ nhật đó tăng thêm 3cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu? Bài 12: Một hình chữ nhật có chu vi là 180m. Nếu bớt mỗi chiều đi 5 mét thì diện tích chỉ còn 1276m2. Tìm độ dài mỗi chiều? Vận tốc điểm A hơn điểm B là 2,5cm/phút. Tìm vận tốc của mỗi điểm? Tính các chiều của công viên? Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 47
48. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam Bài 13: Hai người đi xe đạp cùng khởi hành tại một địa điểm về hai hướng vuông góc với nhau. Sau 2 giờ họ cách nhau 60km theo đường chim bay. Tìm vận tốc của mỗi người. Biết rằng vận tốc của người này hơn vận tốc người kia là 6km/h. Bài 14: Một xe gắn máy đi từ A đến B cách nhau 150km. Nếu mỗi giờ xe tăng thêm 10km thì đến B sớm hơn thời gian dự định là 30 phút. Tìm vận tốc ban đầu? Bài 15: Hai tỉnh A và B cách nhau 42km. Một chiếc tàu đi từ tỉnh nọ đến tỉnh kia. Khi đi ngược dòng sông từ A tới B thì vận tốc của nó nhỏ hơn vận tốc lúc xuôi dòng là 4km/h. Tính vận tốc của chiếc tàu khi xuôi dòng và khi ngược dòng, biết rằng thời gian ngược dòng nhiều hơn thời gian xuôi dòng là 1 giờ 12 phút. Bài 16: Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8h20’. Tính vận tốc của tàu khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h. Bài 17: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5h20’ một chiếc cano chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng cano chạy nhanh hơn thuyền 12km. Bài 18: Một người đi xe đạp đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 30km. Khi từ B trở về A, người đó chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường cũ 6km. Vì thế, khi đi về với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút. Tính vận tốc lúc đi. Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 48
49. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam VẤN ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: A.1 HÖ hai ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn a. Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: ax + by = c víi a, b, c R (a2 + b2 0) TËp nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: Ph­¬ng tr×nh bËc nh©t hai Èn ax + by = c lu«n lu«n cã v« sè nghiÖm. TËp nghiÖm cña nã ®­îc biÓu diÔn bëi ®­êng th¼ng (d): ax + by = c a c - NÕu a 0, b 0 th× ®­êng th¼ng (d) lµ ®å thÞ hµm sè y x b b - NÕu a 0, b = 0 th× ph­¬ng tr×nh trë thµnh ax = c hay x = c/a vµ ®­êng th¼ng (d) song song hoÆc trïng víi trôc tung - NÕu a = 0, b 0 th× ph­¬ng tr×nh trë thµnh by = c hay y = c/b vµ ®­êng th¼ng (d) song song hoÆc trïng víi trôc hoµnh b. HÖ hai ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn ax by c HÖ hai ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: trong ®ã a, b, c, a’, b’, c’ R a ' x b' y c ' Minh häa tËp nghiÖm cña hÖ hai ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn Gäi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi ®ã ta cã  (d) // (d’) th× hÖ v« nghiÖm  (d)  (d’) = A th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt  (d)  (d’) th× hÖ cã v« sè nghiÖm HÖ ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng HÖ hai ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi nhau nÕu chóng cã cïng tËp nghiÖm c. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh b»ng ph­¬ng ph¸p thÕ Quy t¾c thÕ Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh b»ng ph­¬ng ph¸p thÕ  Dïng quy t¾c thÕ biÕn ®æi hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho ®Ó ®­îc mét hÖ ph­¬ng tr×nh míi trong ®ã cã mét ph­¬ng tr×nh mét Èn  Gi¶i ph­¬ng tr×nh mét Èn võa cã råi suy ra nghiÖm cña hÖ Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 49
50. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam d. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh b»ng ph­¬ng ph¸p céng ®¹i sè Quy t¾c céng Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh b»ng ph­¬ng ph¸p thÕ  Nh©n hai vÕ cña mçi ph­¬ng tr×nh víi mét sè thÝch hîp (nÕu cÇn) sao cho c¸c hÖ sè cña mét Èn nµo ®ã trong hai ph­¬ng tr×nh b»ng nhau hoÆc ®èi nhau  ¸p dông quy t¾c céng ®¹i sè ®Ó ®­îc hÖ ph­¬ng tr×nh míi, trong ®ã cã mét ph­¬ng tr×nh mµ hÖ sè cña mét trong hai Èn b»ng 0 (ph­¬ng tr×nh mét Èn)  Gi¶i ph­¬ng tr×nh mét Èn võa thu ®­îc råi suy ra nghiÖm cña hÖ ®· cho A.2 HÖ ph­¬ng tr×nh ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh bËc hai - NÕu hai sè x vµ y tháa m·n x + y = S, x.y = P (víi S2 4P) khi ®ã hai sè x, y lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: x2 + SX + P = 0 A.3 KiÕn thøc bæ xung 1. HÖ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 1 a. §Þnh nghÜa: HÖ hai ph­¬ng tr×nh hai Èn x vµ y ®­îc gäi lµ ®èi xøng lo¹i 1 nÕu ta ®æi chç hai Èn x vµ y ®ã th× tõng ph­¬ng tr×nh cña hÖ kh«ng ®æi b. C¸ch gi¶i §Æt S = x + y, P = x.y, §k: S2 4P Gi¶i hÖ ®Ó t×m S vµ P Víi mçi cÆp (S, P) th× x vµ y lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: t2 – St + P = 0 c. VÝ dô Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh x y xy 7 x y xy 1 0 x y x2 y2 8 2 2 2 2 x y xy 13 x y x y 22 xy(x 1)(y 1) 12 A.2 HÖ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 2 d. §Þnh nghÜa HÖ hai ph­¬ng tr×nh hai Èn x vµ y ®­îc gäi lµ ®èi xøng lo¹i 2 nÕu ta ®æi chç hai Èn x vµ y th× ph­¬ng tr×nh nµy trë thµnh ph­¬ng tr×nh kia vµ ng­îc l¹i e. C¸ch gi¶i Trõ vÕ theo vÕ hai ph­¬ng tr×nh trong hÖ ®Ó ®­îc ph­¬ng tr×nh hai Èn BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh hai Èn võa t×m ®­îc thµnh ph­¬ng tr×nh tÝch Gi¶i ph­¬ng tr×nh tÝch ë trªn ®Ó biÓu diÔn x theo y (hoÆc y theo x) ThÕ x bëi y (hoÆc y bëi x) vµo 1 trong 2 ph­¬ng tr×nh trong hÖ ®Ó ®­îc ph­¬ng tr×nh mét Èn Gi¶i ph­¬ng tr×nh mét Èn võa t×m ®­îc rßi suy ra nghiÖm cña hÖ f. VÝ dô Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 2x y2 4y 5 x3 13x 6y 2 3 2y x 4x 5 y 13y 6x Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 50
51. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam A.3 HÖ ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 2 g. §Þnh nghÜa ax2 bxy cy2 0 - HÖ ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai cã d¹ng: 2 2 a ' x b' xy c ' y 0 h. C¸ch gi¶i - XÐt xem x = 0 cã lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh kh«ng - NÕu x 0, ta ®Æt y = tx råi thay vµo hai ph­¬ng tr×nh trong hÖ - Khö x råi gi¶i hÖ t×m t - Thay y = tx vµo mét trong hai ph­¬ng tr×nh cña hÖ ®Ó ®­îc ph­¬ng tr×nh mét Èn (Èn x) - Gi¶i ph­¬ng tr×nh mét Èn trªn ®Ó t×m x tõ ®ã suy ra y dùa vµo y = tx * L­u ý: ta cã thÓ thay x bëi y vµ y bëi x trong phÇn trªn ®Ó cã c¸ch gi¶i t­¬ng tù i. VÝ dô Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh x2 4xy y2 1 2x2 3xy y2 3 2 2 2 y 3xy 4 x 2xy 2y 6 B. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI: Bài 1: Giải hệ phương trình: 6x 3 2y 5 y 1 x 1 a. 4x 2 4y 2 y 1 x 1 u 2 2x 1 y 3u 2v 5 +/ Đặt u ,v . Hệ đã cho trở thành 1 y 1 x 1 2u 4v 2 v 2 2x 1 2 x 0 y 1 2x 2y 1 +/ Ta được hệ phương trình: 1 y 1 x 2y 1 y 2 x 1 2 1  Vậy S 0;  2  x(y 2) (x 2)(y 4) xy 2x xy 2y 4x 8 x y 4 x -2 b. Vậy (x 3)(2y 7) (2x 7)(y 3) 2xy 6y 7x 21 2xy 7y 6x 21 x y 0 y 2 hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (-2; 2) Bài 2: (2,0 điểm) 2x y 3 a) Giải hệ phương trình: x 3y 4 b) Xác định các giá trị của m để hệ phương trình sau vô nghiệm: Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 51
52. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam (m 2)x (m 1)y 3 ( m là tham số) x 3y 4 HD Giải: 2x y 3 2x y 3 5y 5 x 1 a) Giải hệ phương trình: x 3y 4 2x 6y 8 x 3y 4 y 1 b) Vậy, hệ phương trình có một nghiệm là: (1;1) c) Hệ phương trình vô nghiệm khi: m 2 m 1 m 2 m 1 3 1 3 3m 6 m 1 5 m 1 3 4 m 1 3 4m 4 9 2 3 4 Vậy m = -5/ 2 thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 3: 3x 2y 1 1. Giải hệ phương trình . x 3y 2 2x y m 1 2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + 3x y 4m 1 y > 1. Giải: Bài 3: (1,5 điểm) 3x 2y 1 3 3y 2 2y 1 7y 7 y 1 1. Giải hệ phương trình . x 3y 2 x 3y 2 x 3y 2 x 1 2x y m 1 2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 3x y 4m 1 1. 2x y m 1 5x 5m x m x m 3x y 4m 1 2x y m 1 2m y m 1 y m 1 Mà x + y > 1 suy ra m + m + 1 > 1 2m > 0 m > 0. Vậy với m > 0 thì hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1. Bài 4. (2,0 điểm) (m 1)x (m 1)y 4m Cho hệ phương trình , với m R x (m 2)y 2 a. Giải hệ đã cho khi m –3 Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 52
53. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam b. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó. HD Giải: Bài 4. a. Giải hệ đã cho khi m –3 2x 2y 12 x y 6 x 7 Ta được hệ phương trình x 5y 2 x 5y 2 y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y với 7;1 b. Điều kiện có nghiệm duy nhất của hệ phương trình: m 1 m 1 m 1 m 2 m 1 1 m 2 m 1 m 2 m 1 0 m 1 m 1 0 m 1 0 m 1 m 1 0 m 1 Vậy phương trình có nghiệm khi m 1 và m 1 (m 1)x (m 1)y 4m m 1 Giải hệ phương trình khi x (m 2)y 2 m 1 4m 4m 2 4m x y x (m 1)x (m 1)y 4m x y m 1 m 1 m 1 . x (m 2)y 2 2 2 x (m 2)y 2 y y m 1 m 1 4m 2 2 Vậy hệ có nghiệm (x; y) với ; m 1 m 1 Bài 5 (2,0 điểm) 2x y 5m 1 Cho hệ phương trình: ( m là tham số) x 2y 2 a) Giải hệ phương trình với m 1 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x; y thỏa mãn: x2 2y2 1 . HD Giải: a) 1,0 điểm 2x y 4 4x 2y 8 Với m 1 ta có hệ phương trình: x 2y 2 x 2y 2 5x 10 x 2y 2 x 2 y 0 b) 1,0 điểm Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 53
54. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam 2x y 5m 1 4x 2y 10m 2 Giải hệ: x 2y 2 x 2y 2 5x 10m x 2m x 2y 2 y m 1 Có: x2 2y2 1 2m 2 2 m 1 2 1 2m2 4m 3 0 2 10 2 10 Tìm được: m và m 2 2 B. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bµi 1. Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh (x 2)(y 2) xy (x 1)(y 2) (x 1)(y 3) 4 (x 5)(y 2) xy a. b. c. (x 4)(y 3) xy 6 (x 3)(y 1) (x 3)(y 5) 18 (x 5)(y 12) xy d. 9x 2y 4x 3 28 x y 2x 5y 1 x 2y 7 3 5 16 e. f. 11 3 3x 12y 15 9y 15 x 3y 7x y 2(x 1) 2 5 14 31 5 3 5 1 4 1 4 3 13 10 1 x 1 y 1 x 2y x 2y x y 36 g. h. i. 1 3 20 3 6 10 18 1 1 x 1 y 1 x 2y x 2y x y 2 5 7 4 5 m. 3 3x y x 3y 3 3 2 x 7 y 6 8 k. l. 1 2 3 5 3 13 x y 3 x y 1 3x y x 3y 5 3 1 x 7 y 6 6 1,5 x y 3 x y 1 Bµi 2. Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh x 1 y 2 1 x2 10x 25 x 5 x 2 2 y 1 9 a. b. c. x 1 3y 3 2 x y 1 1 x 10x 25 5 x x2 y2 2(xy 2) x y xy 1 0 x y xy 7 d. e. 2 2 f. 2 2 x y 6 x y x y 22 x y xy 13 Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 54
55. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam x2 y2 10 x2 y2 65 x2 y xy2 6 g. h. i. x y 4 (x 1)(y 1) 18 xy x y 5 x3 y3 1 x y 1 (x 1)(y 1) 10 k. l. m. 5 5 2 2 3 3 2 2 (x y)(xy 1) 25 x y x y x y x y x y 5 x3 y3 2 x4 y4 97 p. q. n. 2 2 2 2 x y 13 x y xy 2 xy(x y ) 78 y x 6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Bµi 1. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh 3x y m 2 9x m y 3 3 a. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm b. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph­¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm? Khi ®ã h·y t×m d¹ng tæng qu¸t nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh c. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt Bµi 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph­¬ng tr×nh mx y 4 x my 1 8 Cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn x y . Khi ®ã h·y t×m c¸c gi¸ trÞ cña x vµ y. m2 1 Bµi 3. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh 2mx 3y m x y m 1 Cã nghiÖm nguyªn, t×m nghiÖm nguyªn ®ã. Bµi 4. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh x 2y 6 2x y 2 a. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho b»ng ph­¬ng ph¸p ®å thÞ b. NghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã ph¶i lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 3x - 7y = - 8 kh«ng ? c. NghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã ph¶i lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 4,5x + 7,5y = 25 kh«ng ? Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 55
56. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam Bµi 5. Cho hai ®­êng th¼ng (d1): 2x - 3y = 8 vµ (d2): 7x - 5y = -5 T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó ®­êng th¼ng y = ax ®i qua giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng (d1) vµ (d2) Bµi 6. Cho ba ®­êng th¼ng (d1): y = 2x - 5 (d2): y = 1 (d3): y = (2m - 3)x -1 T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ba ®­êng th¼ng ®ång quy x ay 2 Bµi 7. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh ax 2y 1 T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0, y 0, y 1, y > 0 4x my 6 Bµi 10. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh mx y 2m x my m 1 T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x, y lµ c¸c sè nguyªn Bµi 11. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh (m 1)x my 2m 1 2 mx y m 2 T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn xy ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt Bµi 12. H·y t×m gi¸ trÞ cña m vµ n sao cho ®a thøc P(x) = mx3 + (m + 1)x2 - (4n + 3)x + 5n ®ång thêi chia hÕt cho (x - 1) vµ (x + 2). Bµi 13. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh (m 1)x y m 1 x (m 1)y 2 T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn: S = x + y ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt Bµi 14. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh mx my m m, n lµ c¸c tham sè mx y 2m a. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph­¬ng tr×nh b. trong tr­êng hîp hÖ cã nghiÖm duy nhÊt h·y t×m gi¸ trÞ cña m ®Ó nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0, y < 0 Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 56
57. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam Bµi 15. T×m a vµ b ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖmcã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m (m 3)x 4y 5a 3b m x my am 2b 3m 1 y2 x3 4x2 a.x T×m tham sè a ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt: Bµi 16. 2 3 2 x y 4y ay x y m Bµi 17. BiÕt cÆp sè (x, y) lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh: 2 2 2 y x m 6 H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = xy + 2(x + y). x y 2a 1 Bµi 18. Gi¶ sö (x, y) lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh: 2 2 2 X¸c ®Þnh gi¸ trÞ y x a 2a 3 cña tham sè a ®Ó hÖ tháa m·n tÝch xy nhá nhÊt. xy a2 Bµi 19. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: 1 1 1 x y b Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph­¬ng tr×nh biÕt r»ng x, y lµ ®é dµi c¸c c¹nh cña mét h×nh ch÷ nhÊt. 2x my 1 Bµi 20. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: mx 2y 1 a. Gi¶i vµ biÖn luËn theo tham sè m. b. T×m c¸c sè nguyªn m ®Ó cho hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) víi x, y lµ c¸c sè nguyªn. x my 4 Bµi 21. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: (m lµ tham sè). mx 4y 10 m a. Gi¶i vµ biÖn luËn theo m. b. Víi gi¸ trÞ nµo cña sè nguyªn m, hÖ cã nghiÖm (x; y) víi x, y lµ c¸c sè nguyªn d­¬ng. (m 1)x my 3m 1 Bµi 22. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: 2x y m 5 X¸c ®Þnh tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) mµ S = x2 + y2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. (m 1)x my 2m 1 Bµi 23 Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: 2 mx y m 2. X¸c ®Þnh tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó hÖ cã nghiÖm (x; y) mµ tÝch P = xy ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. mx y 2m Bµi 24. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: x my m 1. a. Gi¶i hÖ khi m = -1. b. T×m m ®Ó hÖ cã v« sè nghiÖm, trong ®ã cã nghiÖm: x = 1, y = 1. Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 57
58. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam mx 2y m 1 Bµi 25. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph­¬ng tr×nh sau ®©y theo tham sè m: 2x my 3. x my 2 Bµi 26. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: mx 2y 1. a. Gi¶i hÖ khi m = 2. b. T×m sè nguyªn m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) mµ x > 0 vµ y 0, y < 0. mx y 2 Bµi 29. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: 3x my 5. a. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ®· cho. b. T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) tháa m·n hÖ thøc: m2 x y 1 . m2 3 mx 2my m 1 Bµi 30. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: x (m 1)y 2. a. Chøng minh r»ng nÕu hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) th× ®iÓm M(x; y) lu«n lu«n thuéc mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh khi m thay ®æi. b. X¸c ®Þnh m ®Ó M thuéc gãc vu«ng phÇn t­ thø nhÊt. c. X¸c ®Þnh m ®Ó M thuéc ®­êng trßn cã t©m lµ gèc täa ®é vµ b¸n kÝnh b»ng 5 . mx 4y m 2 Bµi 31. Víi gi¸ trÞ nµo cña sè nguyªn m, hÖ ph­¬ng tr×nh: cã nghiÖm duy x my m. nhÊt (x; y) víi x; y lµ c¸c sè nguyªn. 2x my 1 Bµi 32. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: mx 2y 1. a. Gi¶i vµ biÖn luËn theo m. b. T×m sè nguyªn m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) víi x; y lµ c¸c sè nguyªn. c. Chøng minh r»ng khi hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y), ®iÓm M(x; y) lu«n lu«n ch¹y trªn mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh. 2 d. X¸c ®Þnh m ®Ó M thuéc ®­êng trßn cã t©m lµ gèc täa ®é vµ b¸n kÝnh b»ng . 2 Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 58
59. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam Bµi 33. Gi¶i vµ biÖn c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh: 2m2 x 3(m 1)y 3 x 2y m 1 x my 1 a. b. c. m(x y) 2y 2 x y 2 m. x y m. 2mx y 5 Bµi 34. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: mx 3y 1. a. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh lóc m = 1. b. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph­¬ng tr×nh theo tham sè. mx y 1 Bµi 35. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh (m lµ tham sè ): x y m. a. Chøng tá lóc m = 1, hÖ ph­¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm. b. Gi¶i hÖ lóc m kh¸c 1. Bµi 36. Víi gi¸ trÞ nµo cña x, y, z; ta cã ®¼ng thøc sau: 4x2 + 9y2 + 16z2 - 4x - 6y - 8z +3 = 0. x2 y2 25 Bµi 37. Víi gi¸ trÞ nµo cña m, hÖ ph­¬ng tr×nh: cã nghiÖm? mx y 3m 4 x2 y2 2a Bµi 38. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: . X¸c ®Þnh a ®Ó hÖ cã hai nghiÖm ph©n biÖt. T×m 2xy 1 2a c¸c nghiÖm ®ã. x y m Bµi 39. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: y x . X¸c ®Þnh m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. x y 8 x y m Bµi 40. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: 2 2 . X¸c ®Þnh m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. T×m y x 1 nghiÖm ®ã. xy x y 71 Bµi 41. Cho x, y lµ hai sè nguyªn d­¬ng sao cho: 2 2 . T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x y xy 880 M = x2 +y2. x my m 1 Bµi 42. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: mx y 3m 1 a. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph­¬ng tr×nh trªn. b. Kh«ng gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh, cho biÕt víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt? (a 1)x y a 1 Bµi 43. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: (a lµ tham sè). x (a 1)y 2 a. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh víi a = 2. b. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph­¬ng tr×nh. Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 59
60. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam c. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn. d. T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó nghiÖm cña hÖ tháa m·n ®iÒu kiÖn x + y nhá nhÊt. Bµi 44. LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua gèc O vµ song song víi AB biÕt: A(-1; 1), B(-1; 3). A(1; 2), B(3; 2). A(1; 5), B(4; 3). Bµi 45. Cho ba ®iÓm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1). T×m täa ®é ®Ønh D cña h×nh b×nh hµnh ABCD. Bµi 46. Cho bèn ®iÓm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5). Chøng minh r»ng bèn ®iÓm A, B, C, D th¼ng hµng. Bµi 47. Cho bèn ®iÓm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2). H·y x¸c ®Þnh tø gi¸c ABCD lµ h×nh g×? Bµi 48. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh sau v« nghiÖm, v« sè nghiÖm: 2(m 1)x (m 2)y m 3 (m 1)x my 3m 7 (m 1)x 2my 2 0 Bµi 49. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: (m lµ tham sè). 2mx (m 1)y (m 1) 0 a. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh trªn. b. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt tháa m·n x < 0, y < 0. (m 1)x y 3m 4 Bµi 50. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: (m lµ tham sè) x (m 1)y m a. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh. b. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña m ®Ó hÖ cã nghiÖm nguyªn. c. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm d­¬ng duy nhÊt. x my m 1 Bµi 51. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: (m lµ tham sè) mx y 3m 1 a. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh. b. T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt tháa m·n ®iÒu kiÖn xy nhá nhÊt. x2 y2 2a 1 Bµi 52. T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt: x y 4a Bµi 53. a. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña tham sè a hoÆc m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ sè d­¬ng, sè ©m. ax 2y 1 3x 5y m ; x ay 2 2x y 1 Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 60
61. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam 2x y m b. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh sau: cã nghiÖm 3x 2y 5 x > 0 vµ y < 0. mx y 2 c. Víi gi¸ trÞ kh¸c 0 nµo cña m th× hÖ ph­¬ng tr×nh: cã nghiÖm tháa m·n 3x my 5 m2 x y 1 m2 3 a.x y 3 Bµi 54. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: x 1 y 2 a. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh víi a = 2. b. T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. 1. T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh sau v« nghiÖm VẤN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM GIÁ TRỊ MIN–MAX CỦA BIỂU THỨC Bài 1:  x, y, z chøng minh r»ng : a) x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx b) x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz 2 2 2 c) x + y + z +3 2 (x + y + z) Gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu x2 + y2 + z2 - xy – yz - zx 1 = .2 .( x2 + y2 + z2 - xy – yz – zx) 2 1 =(x y) 2 (x z) 2 (y z) 2  0 ®óng víi mäi x;y;z R 2 V× (x-y)2 0 víix ; y DÊu b»ng x¶y ra khi x=y (x-z)2 0 víix ; z DÊu b»ng x¶y ra khi x=z (y-z)2 0 víi z; y DÊu b»ng x¶y ra khi z=y VËy x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx DÊu b»ng x¶y ra khi x = y =z b)Ta xÐt hiÖu x2 + y2 + z2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2 - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z)2 0 ®óng víi mäi x;y;z R VËy x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z R DÊu b»ng x¶y ra khi x+y=z c) Ta xÐt hiÖu x2 + y2 + z2 +3 – 2( x+ y +z ) Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 61
62. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam = x2 - 2x + 1 + y2 -2y +1 + z2 -2z +1 = (x-1)2 + (y-1) 2 +(z-1)2 0 DÊu(=)x¶y ra khi x=y=z=1 Bài 2: chøng minh r»ng : 2 2 2 2 2 a 2 b 2 a b a b c a b c a) b) 2 2 3 3 Gi¶i 2 a 2 b 2 a b a) Ta xÐt hiÖu 2 2 2 a 2 b 2 a 2 2ab b 2 = 4 4 1 = 2a 2 2b 2 a 2 b 2 2ab 4 1 = a b 2 0 4 2 a 2 b 2 a b VËy 2 2 DÊu b»ng x¶y ra khi a=b b)Ta xÐt hiÖu 2 a 2 b 2 c 2 a b c 3 3 1 =  a b 2 b c 2 c a 2  0 9 2 a 2 b 2 c 2 a b c VËy 3 3 DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c Bài 3: Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng b 2 a) a 2 ab 4 b) a 2 b 2 1 ab a b c) a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 a b c d e Gi¶i: b 2 a) a 2 ab 4 4a 2 b 2 4ab 4a 2 4a b 2 0 2a b 2 0 (bÊt ®¼ng thøc nµy lu«n ®óng) b 2 VËya 2 ab (dÊu b»ng x¶y ra khi 2a=b) 4 Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 62
63. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam b) a 2 b 2 1 ab a b 2(a 2 b 2 1 2(ab a b) a 2 2ab b 2 a 2 2a 1 b 2 2b 1 0 (a b) 2 (a 1) 2 (b 1) 2 0 BÊt ®¼ng thøc cuèi ®óng. VËy a 2 b 2 1 ab a b DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=1 c) a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 a b c d e 4 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 4a b c d e a 2 4ab 4b 2 a 2 4ac 4c 2 a 2 4ad 4d 2 a 2 4ac 4c 2 0 a 2b 2 a 2c 2 a 2d 2 a 2c 2 0 BÊt ®¼ng thøc ®óng vËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Bài 4: Chøng minh r»ng: a10 b10 a 2 b 2 a8 b8 a 4 b 4 Gi¶i: a10 b10 a 2 b 2 a8 b8 a 4 b 4 a12 a10b 2 a 2b10 b12 a12 a8b 4 a 4b8 b12 a8b 2 a 2 b 2 a 2b8 b 2 a 2 0 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0 BÊt ®¼ng thøccuèi ®óng vËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. Bài 5: Cho x.y =1 vµ x.y x 2 y 2 Chøng minh 2 2 x y Gi¶i: x 2 y 2 2 2 v× :x y nªn x- y  0 x2+y2 2 2 ( x-y) x y x2+y2- 2 2 x+2 2 y 0 x2+y2+2- 2 2 x+2 2 y -2 0 x2+y2+(2 )2- 2 2 x+2 2 y -2xy 0 v× x.y=1 nªn 2.x.y=2 (x-y-2 )2 0 §iÒu nµy lu«n lu«n ®óng . VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Sử dụng một số bất đẳng thức cổ điển thông dụng: a) x 2 y 2 2xy b) x 2 y 2 xy dÊu( = ) khi x = y = 0 c) x y 2 4xy a b d) 2 b a a a a a n 2)BÊt ®¼ng thøc Cauchy (Cosi): 1 2 3 n a a a a Víi a 0 n 1 2 3 n i Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 63
64. TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9 Toán THCS – THPT: Pham lam 3)BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski (BCS) 2 2 2 2 2 2 2 a2 a2 an . x1 x2 n a1x1 a2 x2 an xn 4) BÊt ®¼ng thøc Trª- B­-SÐp: a b c aA bB cC a b c A B C NÕu . A B C 3 3 3 a b c aA bB cC a b c A B C NÕu . A B C 3 3 3 a b c DÊu b»ng x¶y ra khi A B C Bài 6: Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Gi¶i: C¸ch 1:Dïng bÊt ®¼ng thøc phô: x y 2 4xy Tacã a b 2 4ab ; b c 2 4bc ; c a 2 4ac a b 2 b c 2 c a 2 64a 2b 2c 2 8abc 2 (a+b)(b+c)(c+a) 8abc DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c VËy a 2 b 2 c 2 d 2 a b c b c d d c a 10 Bài 7: Cho a>b>c>0 vµ a 2 b 2 c 2 1 chøng minh r»ng a3 b3 c3 1 b c a c a b 2 Gi¶i: 2 2 2 a b c Do a,b,c ®èi xøng ,gi¶ sö a b c a b c b c a c a b ¸p dông B§T Trª- b­-sÐp ta cã a b c a 2 b 2 c 2 a b c 1 3 1 a 2 . b 2 . c 2 . . =. = b c a c a b 3 b c a c a b 3 2 2 a 3 b3 c 3 1 1 VËy DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c= b c a c a b 2 3 Bài 8: Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng : a 2 b 2 c 2 d 2 a b c b c d d c a 10 Gi¶i: Ta cã a 2 b 2 2ab c 2 d 2 2cd Toán Pham lam – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 64