Tài liệu Toán 8 - Nghiệm của đa thức một biến

Nội dung text: Tài liệu Toán 8 - Nghiệm của đa thức một biến

1. Bộ Tài liệu Toán THCS Cực Hay - Cực Đẹp Giá 400k. LH Zalo O937-351-107 ĐS7-C4-CD 8. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT • Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức đó. • Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm, hoặc không có nghiệm. • Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức không) không vượt quá số bậc của đa thức đó. II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng 1.Kiểm tra xem x = a có là nghiệm của đa thức P(x) hay không Phương pháp giải:Ta tính P(a), nếu P (a) = 0 thì a là nghiệm của đa thức P(x). 1. Cho đa thức: P(x) = x3+ 2x2 - 3x. Số nào sau đây là nghiệm của đa thức P(x): 0; l; -l; -3. 2. Mỗi số x= 1 ;x = -3 có phải là một nghiệm của đa thức P(x) = x2 + 2x - 3 hay không? 3 3. Cho đa thức P(x) = 2x2 + x - 3 . Chứng tỏ rằng x = l; x = - là hai nghiệm của đa thức đó. 2 4. Cho đa thức P(x) = x2 + 5x + 6 . Chứng tỏ rằng x = -2; x = -3 là hai nghiệm của đa thức đó. 5. Cho đa thức: f (x) = (2x2 - 3x + 1) - (x2 - 7x - 2). a) Thu gọn đa thức f (x). b) Chứng minh rằng -1 và -3 là các nghiệm của f (x). 6. Cho đa thức: f (x) = 2(x2 - 3) - (x2 +5x). a) Thu gọn đa thức f (x). b) Chứng minh rằng -1 và 6 là các nghiệm của f (x) Dạng 2. Tìm nghiệm của đa thức Phương pháp giải:Để tìm nghiệm của đa thức P(x), ta tìm các giá trị của x sao cho P(x) = 0. 7.Tìm nghiệm của các đa thức sau: a) x - 10; b) 2x + 8; c) 3x + 8; d) 16 - x2 e) 4x2 - 9; f) 2x2 - 6; g) 3x2+6x; h) 4x3 + 9x 8. Tìm nghiệm của các đa thức sau: a) x + 5; b) 9 - 3x; c) -4x + 7; d) x2 - 25 1.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên
2. Bộ Tài liệu Toán THCS Cực Hay - Cực Đẹp Giá 400k. LH Zalo O937-351-107 e) 9x2 - 4; f) 5x2 - 10; g) x2 + 2x; h) x3 + x 9. Tìm nghiệm của các đa thức sau: a) (2x - 4)(x + 9); b) x2 + 4x + 3; c) x2 + 7x +12; d) x2 - x - 6; e) 2x2 + 5x + 3; f) 3x2 + 5x - 2. 10. Tìm nghiệm của các đa thức sau: a) (x - 5) (7 + x); b) x2 + 3x + 2; c) x2 +7x + 10; d) x2 + 3x - 4; e) 2x2 - 5x + 3; f) 3x2 + 5x - 2. 11. Cho hai đa thức: f (x) = 3x3 + 4x2 - 2x - l - 2x3 và g(x) = x3 + 4x2 + 3x - 2. a) Thu gọn đa thức f (x). b) Tính h(x) = f (x) - g(x). c) Tìm nghiệm của đa thức h(x). 12. Cho hai đa thức: f (x) = 5x2 - 3x3 + 6x - 8 + 4x3 - 2x2 và g(x) = - x3 - 3x2. a) Thu gọn đa thức f (x). b) Tính h(x) = f (x) + g(x). c) Tìm nghiệm của đa thức h(x) 13. Cho hai đa thức: A(x) = 2x (x - 2) - 5(x + 3) + 7x3 B(x) = -x (x + 5) - (2x - 3) + x (3x2 - 2x). a) Thu gọn các đa thức trên. b) Tìm nghiệm của đa thức C(x) = A(x) - B(x) - x2 (4x + 5) 14. Cho hai đa thức: A(x) = 6x3 - x (x + 2) + 4 (x + 3); B(x) = -x (x + l)- (4 - 3x) + x2 (x - 2). a) Thu gọn các đa thức trên. 2.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên
3. Bộ Tài liệu Toán THCS Cực Hay - Cực Đẹp Giá 400k. LH Zalo O937-351-107 b) Tìm nghiệm của đa thức C(x) = A(x) + B(x) - x2 (7x - 4). Dạng 3. Chứng minh đa thức không có nghiệm Phương pháp giải:Để chứng minh đa thức P(x) không có nghiệm, ta chứng minh P(x) nhận giá trị khác 0 với mọi giá trị của x. 15. Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm: a) x2+5; b) 3x2 + 7; c) 3x4 + l0. 16. Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm: a) x2 +1; b) 2x2 + 1; c) x4 + 2. 17. Chứng tỏ đa thức sau không có nghiệm: x2 + x + 2. 18. Chứng tỏ đa thức sau không có nghiệm: x2 + x + 1. 19. Chứng tỏ đa thức sau không có nghiệm: f (x) = 3 (x + 1)2 + 2(x - l)2 + 1 20. Chứng tỏ đa thức sau không có nghiệm: x2 + (x + 1)2 + 1. Dạng 4. Tìm đa thức một biến có nghiệm cho trước Phương pháp giải: Để tìm đa thức P(x) biết x = x0 là một nghiệm của P(x) ta cần chú ý rằng P (x0) = 0. 21. Cho đa thức P(x) = 2x + a - l. Tìm a để P (x) có nghiệm: a) x = 0; b) x = 1; c) x = -2. 22. Cho đa thức P(x) = 4x + a. Tìm a để P(x) có nghiệm: 1 a) x = 0; b) x = -2; c) x= - 2 23. Cho đa thức P(x)= 2ax + a - 6. Tìm a để P(x) có nghiệm: 1 a) x = 1; b) x = -5; c) x= - 2 24. Cho đa thức P(x) = ax + a + 5. Tìm a để P(x) có nghiệm: a) x = 1; b) x = -5; c) x = -1 25. Hãy xác định hệ số a và b để đa thức f (x) = x2 + 2ax + b nhận các số 0; 2 làm nghiệm. 26. Hãy xác định hệ số a và b để đa thức f (x) = x 2 + ax + b + 1 nhận các số 0; -2 làm nghiệm. 3.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên
4. Bộ Tài liệu Toán THCS Cực Hay - Cực Đẹp Giá 400k. LH Zalo O937-351-107 Dạng .Tổng Hợp (BÀI TẬP VỀ NHÀ) 1 27. Kiểm tra xem l; 2; -2; có phải là các nghiệm của đa thức: 2 P(x) = x3 - x2 - 4x + 4 hay không? 28. Cho đa thức Q(x) = x5 + 2x4 +2x3 - 2x2 - x5 - x4 + x2 - 5 Số 1 có phải là nghiệm của Q(x) hay không? 29. Tìm nghiệm của các đa thức sau: 1 a) x + 7; b) x - 4; c) - 8x + 20; d) x2 -100; 2 e) 4x2 -81; f) x2 - 7; g) x2 - 9x; h) x3 + 3x. 30. Tìm nghiệm của các đa thức sau: a) (x2 - 9)(x + l); b) x2 + 4x - 5; c) x2+ 9x + 20; d) x2 - x - 20; e) 2x2 +7x + 6; f) 3x2 + x - 4. 31. Cho hai đa thức P(x) = x2 + 2x - 5 và Q(x) = x2 - 9x + 5. a) Tính M(x) = P(x) + Q(x) và N(x) = P(x) - Q(x). b) Tìm nghiệm của các đa thức M(x) và N(x). 32. Cho đa thức f (x) = x2 + mx + 2. a) Xác định m để đa thức f (x) nhận x = - 2 làm một nghiệm. b) Với m tìm được ở câu a), tìm tập hợp nghiệm của đa thức f (x). 33. Cho hai đa thức: f (x) = 2x4 + 3x2 - x + l - x2 - x4 - 6x3; g(x) = 10x3 + 3 - x4 - 4x3 + 4x - 2x2. a) Thu gọn đa thức f (x), g(x) và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Tính h(x) = f (x) + g(x). c) Tìm nghiệm của đa thức h(x). 34. Cho các đa thức: 4.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên
5. Bộ Tài liệu Toán THCS Cực Hay - Cực Đẹp Giá 400k. LH Zalo O937-351-107 A(x) = x - 5x3 - 2x2 + 9x3 - (x - l) - 2x2 ; B(x) = -4x3 -2(x2 + 1) + 6x + 2x2 - 9x + 2x3; C (x) = 2x - 6x2 - 4 + x3. a) Thu gọn các đa thức trên và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Tính A(x) + B(x) - C(x). c) Tìm nghiệm của đa thức P(x) biết P(x) = C(x) - x3 + 4. 34. Cho các đa thức: f (x) = x3 (3x -1) - x (l + 3x4); g(x) = x2 (x2 + 2) - x (-x4 + 2x2 +7)+ 3; 1 h(x) = x3 (- 2 + 2x - x2 ) - (5x - 3 - 2x2) 2 a) Thu gọn rồi sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Tính A(x) = f (x) + g(x) - 2h(x). c) Tìm nghiệm của đa thức A (x). 36. Cho các đa thức: A(x) - 4x2 - 2x - 8 + 5x3 - 7x2 +1; B(x) = -3x3 + 4x2 + 9 + x - 2x - 2x3. a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Tính M(x) = A(x) + B(x), N(x) = A(x) - B(x). c) Chứng tỏ x = 2 là nghiệm của đa thức M(x) nhưng không phải là nghiệm của đa thức N(x). d) Tìm các nghiệm của đa thức M(x) HƯỚNG DẪN 1. Thay x = 0 vào đa thức P(x) ta được P(0) = 03 + 2.02 - 3.0 = 0 => x = 0 là nghiệm của đa thức P(x). Thay x = -1 vào đa thức P(x) ta được P(-l) = (-1)3 + 2.(-1)2 - 3.(-l) = 6=>x = - l không là nghiệm đa thức P(x). 5.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên
6. Bộ Tài liệu Toán THCS Cực Hay - Cực Đẹp Giá 400k. LH Zalo O937-351-107 Tương tự các số 1;- 3 là nghiệm của đa thức P(x). 2. Tương tự 1. 3 3 3. Tính được P(1) = P = 0 nên x = 1; x là nghiệm của P(x). 2 2 4. Tương tự 3. 5. a) f (x) = x2 + 4x + 3. b) Tính được f (-1) = f (-3) = 0 nên -1 và -3 là các nghiệm của f (x). 6. Tương tự 5. 7. Tìm các giá trị của x để cho mỗi đa thức có giá trị bằng 0 ta được: 8 a) x = 10; b) x = -4; c) x = d) x = 4 3 3 e) x = ± ; f) x = ± 3 ; g) x = 0,x = -2 h) x = 0 2 8. Tương tự 7. 9. Tìm các giá trị của x để cho mỗi đa thức có giá trị bằng 0 ta được: a) x = 2, x = -9 b) x = -1, x = -3 c) x = -3, x = -4 3 1 d) x = 3, x = -2 e) x = -1, x = - f) x = -2, x = 2 3 10. Tương tự 9 a) x = 5, x = -7 b) x = -1, x = -2 c) x = -2, x = -5 3 1 d) x = 1, x = -4 e) x = 1, x = f) x = 2, x = - 2 3 11. a) f (x) = x3+ 4x2 - 2x - l. b) h(x) = -5x + 1 1 c) Cho -5x +1 = 0 ta tìm được x = là nghiệm của h(x). 5 12. Tương tự 11. a) f (x) = x3 + 3x2 + 6x - 8. b) h(x) = 6x - 8. 6.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên
7. Bộ Tài liệu Toán THCS Cực Hay - Cực Đẹp Giá 400k. LH Zalo O937-351-107 4 c) Nghiệm của h(x) là x = 3 13. a) A(x) = 7x3 + 2x2 - 9x - 15; B(x) = 3x3 - 3x2 - 7x + 3. b) C(x) = -2x - 18. Nghiệm của C(x) là x = -9. 14. Tương tự 13. a) A(x) = 6x3 - x2 + 2x +12; B (x) = x3 - 3x2 + 2x - 4. b) C(x) = 4x + 8. Nghiệm của C(x) là x = -2. 15. a) Do x2 0 nên x2 + 5 > 0 vói mọi x. Vậy x2 + 5 không có nghiệm. b) Tương tự câu a. c) Tương tự câu a. Chú ý rằng x4 0 . 16. Tương tự 15. 17. Biến đổi f (x), ta có: 1 1 1 1 f (x) x2 x 2 x2 x x 2 2 4 7 1 1 1 7 x x x 2 2 2 4 2 1 1 7 1 7 7 x x x 2 2 4 2 4 4 Với  x ta có f (x) 0. Vậy f (x) không có nghiệm 18. Tương tự 17. 19. Chú ý rằng bình phương của một biểu thức luôn nhận giá trị không âm. Do đó 3(x +1)2 0,2 (x - 1)2 0 với mọi x. Suy ra f (x) 1 vói mọi x. Vậy với  x ta có f (x) 0, Vậy f (x) không có nghiệm. 20. Tương tự 19. 7.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên
8. Bộ Tài liệu Toán THCS Cực Hay - Cực Đẹp Giá 400k. LH Zalo O937-351-107 21. a) Ta có: P(0) = 0  2.0 + a - 1 = 0  a = 1. b) a = -1. c) a = 5. 22. Tương tự 21. a) a = 0. b) a = 8. c) a = 2. 23. a) Ta có: P(l) = 0  2a + a - 6 = 0  a = 2. 6 b) a = - c) Không có a thỏa mãn. 11 24. Tương tự 23. 5 5 a) a =- b) a = c) Không có a thỏa mãn. 2 4 25. Do f (x) nhận x = 0 là nghiệm, thay x = 0 vào f (x) ta được f (0) = 02 + 2.a.0 + b = 0 => b = 0. Thay x = 2 vào f (x) ta được f (2) = 22 + 2.a.2 + b = 0 =>4a + b = -4: mà b = 0 => a = -1. 26. Tương tự 25. Ta tìm được b = -1 và a = 2. 27. Tương tự 1. 28. Tương tự 1 29. Tương tự 7 5 a) x = -7; b) x = 8; c) x = d) x = ±10 2 9 e) x = ± ; f) x = ± 7 g) x = 0, x = 9; h) x = 0. 2 30. Tương tự 9. 8.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên
9. Bộ Tài liệu Toán THCS Cực Hay - Cực Đẹp Giá 400k. LH Zalo O937-351-107 a) x = ±3, x= -1; b) x = 1, x = -5; c) x = - 4, x = -5 d) x = 5 , x= -4 3 4 e) x = - 2. x = - ; f) x = 1, x = - 2 3 31. a) M (x) = 2x2 - 7x ; N(x0 = 11x - 10 7 b) m (x) có nghiệm x = 0 , x = 2 10 N (x) có nghiệm x = 11 32. a) Dof (x) nhận x = -2 làm một nghiệm nên f (-2) = 0. Từ đó tìm được m = 3. b) Với m = 3 thì f (x) = x2 + 3x + 2 có tập hợp nghiệm là {-1; -2}. 33. a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức, ta được: f (x) = x4 - 6x3 + 2x2 - x +1; g (x) = - x4 + 6x3 - 2x2 + 4x + 3. b) h (x) = 3x + 4. 4 c) Nghiệm của h(x) là x = - 3 34. a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức, ta được: A (x) = 4x3 - 4x2 +1; B (x) = -2x3 - 3x - 2; C (x) = x3 - 6x2 + 2x - 4. b) A(x) + B(x) - C(x) = x3 4- 2x2 - 5x + 3. 1 c) P(x) = -6x2 + 2x có nghiệm x = 0, x = 3 35. 9.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên
10. Bộ Tài liệu Toán THCS Cực Hay - Cực Đẹp Giá 400k. LH Zalo O937-351-107 a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức, ta được: f (x) = -3x5 + 3x4 - x3 - x; g (x) = x5 + x4 - 2x3 + 2x2 - 7x + 3; 5 3 h (x) = - x5 +2x4 - 2x3 + x2 - x + 2 2 b) A(x) = x3 -3x. c) Nghiệm của A(x) là x = 0,x = 3. 36. a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức, ta được: A (x) = 5x3 - 3x2 - 2x - 7; B(x) = -5x3 + 4x2 - x + 9. b) M(x) = x2 -3x + 2; N(x) = 10x3 - 7x2 - x - 16. c) Tính được M(2) - 0 nên x = 2 là nghiệm của M(x). Tính được N(x) = 34 0 nên x = 2 không là nghiệm của N(x). d) M(x) có nghiệm x = 2, x = 1 B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN Dạng 1. Kiểm tra xem x = a có là nghiệm của đa thức P(x) hay không 3 1 1. Chứng tỏ rằng và là các nghiệm của đa thức P(x) 6x2 7x 3 . 2 3 2. Cho đa thức M (x) x2 4x 3. Chứng tỏ rằng x 3 là nghiệm của đa thức M(x) và x 1 không phải là nghiệm của đa thức M(x). Dạng 2. Tìm nghiệm của đa thức 1. Tìm nghiệm của các đa thức sau: P(x) 2x 1; Q(x) 5 2x; R(x) x2 2x; S(x) x2 1. 2. Tìm nghiệm của các đa thức sau: 1 1 a) M(x) x 2; b) N(x) 7x 3; c)P(x) 5x . 3 3 10.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên
11. Bộ Tài liệu Toán THCS Cực Hay - Cực Đẹp Giá 400k. LH Zalo O937-351-107 3. Tìm nghiệm của các đa thức sau: 1 3 a) P(x) (x 3)(x 4); b) Q(x) x 1 2x . 3 5 4. Tìm nghiệm của các đa thức sau: a) P(x) x2 2 ; b) Q(x) x2 25. 5. Xét đa thức P(x) ax2 bx c. Chứng minh rằng: a) Nếu a b c 0 thì P(x) có một nghiệm x 1. b) Nếu a b c 0 thì P(x) có một nghiệm x 1. 6. Tìm một nghiệm của đa thức P(x) 7x2 5x 2. 1 2 11 7. Tìm một nghiệm của đa thức Q(x) x2 x . 3 5 15 8. Tìm một nghiệm của đa thức M(x) 2,5x2 3,7x 1,2. 9. Xét đa thức P(x) ax3 bx2 cx d . Chứng minh rằng: a) Nếu a b c d 0 thì P(x) có một nghiệm x 1. b) Nếu a b c d 0 thì P(x) có một nghiệm x 1. 10. Tìm một nghiệm cảu các đa thức: a) P(x) 2x3 4x2 5x 1 ; 2 3 4 13 b) Q(x) x3 x2 x 2 ; 3 4 5 60 c) R(x) 4x3 6x2 9x 7. Dạng 3. Chứng minh đa thức không có nghiệm; có nghiệm. 1. Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm: a) x2 5; b) 3x2 7; c) 3x4 10. 2. Chứng minh rằng đa thức P(x) x2 x 1 không có nghiệm. 3. Chứng minh rằng đa thức P(x) x2 2x 2 không có nghiệm. 4. Chứng tỏ đa thức f (x) 3(x 1)2 2(x 1)2 1 không có nghiệm. 5. Chứng minh rằng đa thức P(x) có ít nhất hai nghiệm biết rằng 11.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên
12. Bộ Tài liệu Toán THCS Cực Hay - Cực Đẹp Giá 400k. LH Zalo O937-351-107 x.P(x 1) (x 2)P(x). Dạng 4. Tìm đa thức một biến có nghiệm cho trước 1. Cho đa thức P(x) ax a 5. Tìm a để P(x) có nghiệm: a) x 1; b) x 5; c) x 1. 2. Hãy xác định hệ số a và b để đa thức f (x) x2 2ax b nhận các số 0;2 làm nghiệm. 3. Hãy xác định hệ số a và b để đa thức f (x) x2 ax b 1nhận các số 0; 2làm nghiệm. LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Dạng 1. Kiểm tra xem x = a có là nghiệm của đa thức P(x) hay không 3 1 1. Chứng tỏ rằng và là các nghiệm của đa thức P(x) 6x2 7x 3 . 2 3 HD 3 1 3 1 2 P P 0 . nên và là các nghiệm của đa thức P(x) 6x 7x 3 2 3 2 3 2 x 3 2. Cho đa thức M (x) x 4x 3. Chứng tỏ rằng là nghiệm của đa thức M(x) và x 1 không phải là nghiệm của đa thức M(x). HD M (3) 32 4.3 3 0 x 3là nghiệm của M(x) M ( 1) ( 1)2 4.( 1) 3 8 0 x 1không là nghiệm của M(x) Dạng 2. Tìm nghiệm của đa thức 1. Tìm nghiệm của các đa thức sau: P(x) 2x 1; Q(x) 5 2x; R(x) x2 2x; S(x) x2 1. 12.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên
13. Bộ Tài liệu Toán THCS Cực Hay - Cực Đẹp Giá 400k. LH Zalo O937-351-107 HD 1 1 P(x) 0 2x 1 0 x P x có nghiệm là x ; 2 . 2 5 Q(x) 0 5 2x x Q x có nghiệm là x 2,5 ; 2 2 x 0 R(x) 0 x 2x 0 x x 2 0  R x có hai nghiệm x 0;2 ; x 2 S(x) 0 x2 1 0 x2 1(Vô lý). Vậy S x không có nghiệm. 2. Tìm nghiệm của các đa thức sau: 1 1 a) M(x) x 2; b) N(x) 7x 3; c)P(x) 5x . 3 3 HD 3 1 a) x 6 ; b) x ; c) x . 7 15 3. Tìm nghiệm của các đa thức sau: 1 3 a) P(x) (x 3)(x 4); b) Q(x) x 1 2x . 3 5 HD 3 a)x 3 , x 4 ;b) x 3 , x . 1 2 1 2 10 4. Tìm nghiệm của các đa thức sau: a) P(x) x2 2 ; b) Q(x) x2 25. HD a) x1 2 , x2 2 ; b) x1 5 , x2 5 . 5. Xét đa thức P(x) ax2 bx c. Chứng minh rằng: a) Nếu a b c 0 thì P(x) có một nghiệm x 1. b) Nếu a b c 0 thì P(x) có một nghiệm x 1. HD a) P 1 a.12 b.1 c a b c 0 nên x 1 là một nghiệm của P x . 13.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên
14. Bộ Tài liệu Toán THCS Cực Hay - Cực Đẹp Giá 400k. LH Zalo O937-351-107 2 b) P 1 a 1 b 1 c a b c 0 nênx 1 là nghiệm của P x . 6. Tìm một nghiệm của đa thức P(x) 7x2 5x 2. HD Vì 7 5 2 0 nên P x có một nghiệm là 1 . 1 2 11 7. Tìm một nghiệm của đa thức Q(x) x2 x . 3 5 15 HD 1 2 11 Vì 0 nên Q x có một nghiệm là 1 . 3 5 15 8. Tìm một nghiệm của đa thức M(x) 2,5x2 3,7x 1,2. HD Vì 2,5 3,7 1,2 0 nên M x có một nghiệm là 1 . 9. Xét đa thức P(x) ax3 bx2 cx d . Chứng minh rằng: a) Nếu a b c d 0 thì P(x) có một nghiệm x 1. b) Nếu a b c d 0 thì P(x) có một nghiệm x 1. HD a) P 1 a.13 b.12 c.1 d a b c d 0 nên x 1 là một nghiệm của P x . 3 2 b) P 1 a. 1 b 1 c 1 d a b c d 0 nênx 1 là nghiệm của P x . 10. Tìm một nghiệm cảu các đa thức: a) P(x) 2x3 4x2 5x 1 ; 2 3 4 13 b) Q(x) x3 x2 x 2 ; 3 4 5 60 c) R(x) 4x3 6x2 9x 7. HD a) 2 4 5 1 0 nênP x có một nghiệm x 1 . 2 3 4 13 b) 2 0 nênQ x có một nghiệm x 1 . 3 4 5 60 14.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên
15. Bộ Tài liệu Toán THCS Cực Hay - Cực Đẹp Giá 400k. LH Zalo O937-351-107 c) 4 6 9 7 0 nênR x có một nghiệm x 1 . Dạng 3. Chứng minh đa thức không có nghiệm; có nghiệm. 1. Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm: a) x2 5; b) 3x2 7; c) 3x4 10. HD a)Xét x2 5 0 x2 5 (vô lý). Vậy đa thức x2 5 không có nghiệm. 7 b) Xét 3x2 7 0 x2 (vô lý). Vậy đa thức 3x2 7 không có nghiệm. 3 10 c) Xét 3x4 10 0 x4 (vô lý). Vậy đa thức 3x4 10 không có nghiệm. 3 2. Chứng minh rằng đa thức P(x) x2 x 1 không có nghiệm. Giải. Cách 1. Nếu x 0 ta có P(x) x2 x 1 1 0. Nếu 1 x 0 thì x 1 0 nên P(x) x2 (x 1) 0. Nếu x 1 thì x 1 0, x 0 nên x(x 1) 0 , do đó P(x) x(x 1) 1 0 . Vậy P(x) 0 với mọi x nên đa thức P(x) x2 x 1 không có nghiệm. Cách 2. Ta có: 1 1 1 3 x2 x 1 x2 x x 2 2 4 4 1 1 1 3 x x x 2 2 2 4 2 1 1 3 1 3 x x x . 2 2 4 2 4 2 2 1 1 3 Do x 0 với mọi x nên x 0 với mọi x. 2 2 4 Vậy P(x) không thể bằng 0 tức là P(x) x2 x 1 không có nghiệm. 3. Chứng minh rằng đa thức P(x) x2 2x 2 không có nghiệm. HD 15.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên
16. Bộ Tài liệu Toán THCS Cực Hay - Cực Đẹp Giá 400k. LH Zalo O937-351-107 x2 2x 2 x2 x x 1 1 x x 1 x 1 1 x 1 x 1 1 x 1 2 1 0;x Vậy đa thức P(x) x2 2x 2 không có nghiệm. 4. Chứng tỏ đa thức f (x) 3(x 1)2 2(x 1)2 1 không có nghiệm. HD Có 3(x 1)2 0;x 2(x 1)2 0;x f (x) 3(x 1)2 2(x 1)2 1 0;x Vậy đa thức f (x) 3(x 1)2 2(x 1)2 1 không có nghiệm. 5. Chứng minh rằng đa thức P(x) có ít nhất hai nghiệm biết rằng x.P(x 1) (x 2)P(x). Giải x.P(x 1) (x 2)P(x). Ta có: Xét x 0 0.P 1 2 .P 0 P 0 0 x 0 là một nghiệm của đa thức P x Xét x 2 2.P 3 0.P 2 P 3 0 x 2 là một nghiệm của đa thức P x Vậy đa thức P x có ít nhất hai nghiệm là: x 0; x 2 Dạng 4. Tìm đa thức một biến có nghiệm cho trước 1. Cho đa thức P(x) ax a 5. Tìm a để P(x) có nghiệm: a) x 1; b) x 5; c) x 1. HD 5 a) Để P(x) ax a 5 có nghiệm x 1 thì P(1) 0 a.1 a 5 0 a 2 5 b) Để P(x) ax a 5 có nghiệm x 5 thì P( 5) 0 a. 5 a 5 0 a 4 c) Để P(x) ax a 5 có nghiệm x 1 thì P( 1) 0 a. 1 a 5 0 0.a 5 (vô lý) Vậy không có giá trị nào của a để P(x) có nghiệm x = - 1. 16.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên
17. Bộ Tài liệu Toán THCS Cực Hay - Cực Đẹp Giá 400k. LH Zalo O937-351-107 2. Hãy xác định hệ số a và b để đa thức f (x) x2 2ax b nhận các số 0;2 làm nghiệm. HD Vì f (x) x2 2ax b nhận x 0 là nghiệm b 0 f x x2 2ax Vì f x x2 2ax nhận x 2 là nghiệm 22 2a.2 0 a 1 Vậy a 1;b 0 3. Hãy xác định hệ số a và b để đa thức f (x) x2 ax b 1nhận các số 0; 2làm nghiệm. HD Vì f (x) x2 ax b 1nhận x 0 là nghiệm b 1 f x x2 ax 2 Vì f x x2 ax nhận x 2 là nghiệm 2 2a. 2 0 a 1 Vậy a 1;b 1 17.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên