Tài liệu tự học - Luyện thi vào 10 - Rút gọn biểu thức đại số và các bài toán liên quan - Lê Trung

Nội dung text: Tài liệu tự học - Luyện thi vào 10 - Rút gọn biểu thức đại số và các bài toán liên quan - Lê Trung

1. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN A-LÝ THUYẾT 1. Kiến thức 6, 7, 8 quan trọng cần nhớ AMA. a. Tính chất về phân số ( phân thức): (MB 0, 0) BMB. b. Những hằng đẳng thức đáng nhớ (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 A2 - B2 = (A - B)(A + B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) 2. Các kiến thức về căn bậc hai Nếu a ≥ 0, x ≥ 0, a = x  x2 = a Để A có nghĩa A 0 AA2 AB A. B ( với AB 0; 0) AA ( với AB 0; 0) B B ABAB2 ( với B 0) Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 1
2. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê ABAB 2 ( với AB 0; 0) ABAB 2 ( với AB 0; 0) A AB ( với AB 0; B 0) BB AAB ( với B 0) B B CCAB() ( với A 0; A B2 ) AB AB 2 CCAB() ( với AB 0; 0 và AB ) AB AB 3. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN Xét biểu thức A với biến số x Dạng 1. Rút gọn biểu thức - Ngoài việc rèn kỹ năng thực hiện các phép tính trong bài toán rút gọn. Học sinh hay quên hoặc thiếu điều kiện xác định của biến x ( ĐKXĐ gồm điều kiện để các căn thức bậc hai có nghĩa, các mẫu thức khác 0 và biểu thức chia (nếu có) khác 0) Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức A khi x = m ( với m là số hoặc biểu thức chứa x) - Nếu m là biểu thức chứa căn x m ( bằng số), trước tiên phải rút gọn; nếu m là biểu thức có dạng căn trong căn thường đưa về hằng đẳng thức để rút gọn; nếu m là biểu thức ta phải đi giải phương trình tìm x. - Trước khi tính giá trị của biểu thức A, học sinh thường quên xét xem m có thỏa mãn ĐKXĐ hay không rồi mới được thay vào biểu thức dã rút gọn để tính. Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 2
3. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê x Ví dụ minh họa : Cho A , điều kiện x 0, x 1. x 1 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 3 2 2. c) Tính giá trị của biểu thức A biết x thỏa mãn phương trình x2 5 x 4 0 . Hướng dẫn giải 3 3 a) Có x 9 x 3 A 3 1 2 2 2 2 1 2 2 b) Có x 3 2 2 2 1 x 2 1 2 1 2 1 A 2 2 2 x 1 c) Có x 5 x 4 0 . Kết hợp điều kiên: x 0, x 1. x 4 x 1(loại) và x 4 (thỏa mãn) 2 Với x 4 x 2 A 2 . 2 1 Dạng 3. Tìm giá trị của biến x để A k ( với k là hằng số hoặc là biểu thức chứa x) - Thực chất đây là việc giải phương trình. - Học sinh thường quên khi tìm được giá trị của x không xét xem giá trị x dó có thỏa mãn ĐKXĐ của A hay không. x 1 Ví dụ minh họa: Cho A , điều kiện xác định x 0, x 4 . x 2 a) Tìm x biết A 2. 4x 1 b) Tìm x biết A . 4 Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 3
4. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê Hướng dẫn giải x 1 a) Có A 2 2 x 1 2 x 4 x 3 (vô lí) x 2 không tồn tại x để A 2. 4x 1 x 1 4 x 1 b) Có A 4 x 4 4 x 9 x 2 4x 2 4 x 2 x 4 4x 5 x 6 0 x 2 4 x 3 0 3 9 x x 4 16 9 Kết hợp điều kiện x 0, x 4 x 4 ( loại) và x ( thỏa mãn) 16 9 4x 1 Vậy x thì A . 16 4 Dạng 4. Tìm giá trị của biến x để A k ( hoặc A k , A k , A k , ) trong đó k là hằng số hoặc là biểu thức chứa x. - Thực chất đây là việc giải bất phương trình. - Học sinh thường mắc sai lầm khi giải bất phương trình thường dùng tích chéo hoặc sử dụng một số phép biến đổi sai. x 2 Ví dụ minh họa: Cho A , điều kiện xác định x 0, x 9 . x 3 a) Tìm x để A 1. b) Tìm x để A 2 . Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 4
5. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê Hướng dẫn giải x 2 x 2 x 2 x 3 5 a) Để A 1 1 1 0 0 0 x 3 x 3 x 3 x 3 Mà 5 0 x 3 0 x 9. Kết hợp điều kiện x 0, x 9 0 x 9 Vậy 0 x 9 thì A 1. x 2 x 2 x 2 2 x 6 x 8 b) Để A 2 2 2 0 0 0 x 3 x 3 x 3 x 3 8 x 0 x 8 x 64 TH1: 9 x 64 . x 3 0 x 3 x 9 8 x 0 x 8 x 64 TH2: (vô lí) loại x 3 0 x 3 x 9 Vậy 9 x 64 thì A 2 . Dạng 5. So sánh biểu thức A với một số hoặc một biểu thức. - Thực chất đây là việc đi xét hiệu của biểu thức A với một số hoặc một biểu thức rồi so sánh hiệu đó với số 0. 2x 1 Ví dụ minh họa: Cho A , điều kiện xác định x 0. x 1 a) So sánh A với 2. b) So sánh A với 1. Hướng dẫn giải 2x 1 2 x 1 2 x 2 1 a) Xét hiệu A 2 2 x 1 x 1 x 1 1 Có x 0 x 0 x 1 0 và 1 0 0 AA 2 0 2 . x 1 Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 5
6. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 2x 1 2 x 1 x 1 x b) Xét hiệu A 1 1 x 1 x 1 x 1 x Có x 0 x 0 và x 1 0 0 AA 1 0 1. x 1 Dạng 6. Chứng minh biểu thức A k ( hoặc A k , A k , A k ) với k là một số. - Thực chất đây là việc đưa về chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức. Ta xét hiệu A k rồi xét dấu biểu thức. x 3 Ví dụ minh họa: Cho A , điều kiện x 0.Chứng minh A 1. x 2 Hướng dẫn giải x 3 1 Cách 1: Có A 1 . x 2 x 2 1 1 Có x 0 x 0 0 1 1 hay A 1. x 2 x 2 1 1 Cách 2: Xét hiệu A 1 . Có x 0 x 0 0 với mọi x 0. x 2 x 2 A 1 0 hay A 1. Dạng 7. Tìm giá trị của biến x là số nguyên, số tự nhiên để biểu thức A có giá trị nguyên - Cách làm: chia tử thức cho mẫu thức, rồi tìm giá trị của biến x để mẫu thức là ước của phần dư (một số) - Học sinh thường quên kết hợp với điều kiên xác định của biểu thức. x 3 Ví dụ minh họa: Cho A , điều kiện xác định x 0, x 4, x 9 .Tìm x nguyên để A x 2 có giá trị nguyên Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 6
7. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê Hướng dẫn giải x 3 5 5 Có A 1 . Để A nhận giá trị nguyên là số nguyên x 2 x 2 x 2 x 2 là ước của 5 x 2  1; 1;5; 5 x 2 1 -1 5 -5 x 3 1 7 -3 x 9 (loại) 1 (thỏa mãn) 49(thỏa mãn) loại Vậy x 1;49 thì A có giá trị nguyên Dạng 8. Tìm giá trị của biến x là số thực, số bất kì để biểu thức A có giá trị nguyên - Học sinh thường nhầm lẫn cách làm của dạng này với dạng tìm giá trị của biến x là số nguyên, số tự nhiên để biểu thức A có giá trị nguyên. - Cách làm: sử dụng ĐKXĐ để xét xem biểu thức A nằm trong khoảng giá trị nào, rồi tính giá trị của biểu thức A và từ đó tìm giá trị của biến x. 2x 1 Ví dụ minh họa : Cho A , điều kiện xác định x 0.Tìm x để A có giá trị nguyên. x 2 Hướng dẫn giải 2x 1 5 Cách 1: Có A 2 x 2 x 2 5 5 Có x 0 x 0 x 2 0 0 2 2 A 2 x 2 x 2 5 5 5 1 1 Lại có x 0 x 0 x 2 2 2 A x 22 x 2 2 2 1 Vậy A 2 mà AA 0;1 2 Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 7
8. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 2x 1 1 1 +) Với A 0 0 2x 1 0 x x x 2 2 4 2x 1 +)Với A 1 1 2x 1 x 2 x 3 x 9 x 2 1  Vậy x ;9  thì A có giá trị nguyên. 4  2x 1 Cách 2: A A x 2 2 x 1 A 2 x 1 2 A x 2 2A 1 Dễ thấy A 2 không là nghiệm của phương trình A 2 x A 2 2A 1 Vì x 0 x 0 0 A 2 1 2A 1 0 A Th1: 2 (vô lí) Loại A 2 0 A 2 1 2A 1 0 A 1 Th2: 2 A 2 A 2 0 2 A 2 1 Vậy A 2 mà AA 0;1 2 2x 1 1 1 +) Với A 0 0 2x 1 0 x x x 2 2 4 2x 1 +)Với A 1 1 2x 1 x 2 x 3 x 9 x 2 1  Vậy x ;9  thì A có giá trị nguyên. 4  Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 8
9. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê Dạng 9. Tìm giá trị của tham số để phương trình hoặc bất phương trình có nghiệm - Học sinh cần biết cách tìm điều kiện để phương trình hoạc bất phương trình có nghiệm. + Học sinh đưa biểu thức chưa căn về dạng bậc hai sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm +Cô lập tham số m , tìm miền giá trị của vế chứa biến x rồi suy ra điều kiện để phương trình có nghiệm thì biể thức chứa tham số m nằm trong miền giá trị của vế chứa biến x Ví dụ minh họa 1: Cho A x x , điều kiện xác định x 0; x 1. Tìm m để phương trình A m có nghiệm x . Hướng dẫn giải 2 1 1 1 1 Có A m x x m x x m x m . 4 4 2 4 2 2 1 1 1 1 Do x 0 x x 0 m 0 2 4 2 4 Vì x 0; x 1 x 1 x x 2 m 2 Vậy m 0; m 2 thì phương trình A m có nghiệm x . x x 1 Ví dụ minh họa 2: Cho A , điều kiện xác định x 0; x . Tìm m để phương 3x 1 9 trình A m có nghiệm x . Hướng dẫn giải x x Có A m m x (1 3 m ) x m 0 (1) 3x 1 1 1 Đặt t x , có x 0; x t 0; t 9 3 (1) t2 (1 3 m ) t m 0 (2) Vì a 1 khác 0 (2) luôn là phương trình bậc hai Ta có: (1 3m )2 4 m 9 m 2 10 m 1 1 (1) Có nghiệm khi (2) có ít nhất một nghiệm t 0 và t 3 TH1: Phương trình (2) có nghiệm khi t = 0 m = 0 1 TH2: Phương trình (2) có nghiệm kép t 0; t 3 Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 9
10. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 1 m 0 9 m 1 Với m 1 t 1 (thỏa mãn) 1 4 Với m t (không thỏa mãn) 9 3 1 TH3: Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu và t 3 ac 0 m 0 2 1 1 4 m 0 (1 3m ). m 0 0 3 3 9 TH4: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt cùng dương (m 1)(9 m 1) 0 1 1 3m 0 0 m 9 m 0 1 Kết hợp điều kiện lại 0 m hoặc m = 1 9 x Ví dụ minh họa 3: Cho A , điều kiện xác định x 0 . Tìm m để phương trình x 1 A m có nghiệm. Hướng dẫn giải Ta có: A m x m x 1 m. x m x 1 m x m (1) +) TH1: Nếu m 1 thì phương trình (1) có 0. x 1 (vô lý) m +) TH2: Nếu m 1 thì phương trình (1) có x (2) 1 m Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 10
11. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê Vì x 0 x 0 m => Để phương trình A m có nghiệm thì phương trình (2) cần có 0 (3) 1 m x Vì 0 m 0 x 1 Từ (3) suy ra 1 m 0 m 1 Vậy với 0 m 1 thì phương trình A m có nghiệm. Dạng 10. Tìm giá trị của biến x để AA (hoặc AAAA ; ; ) - Nếu AA A < 0 - Nếu AA A 0 x 1 Ví dụ minh họa: Cho A , điều kiện xác định x 0 . Tìm x biết x a) AA b) AA Hướng dẫn giải x 1 a) Có AA A < 0 0 x x 1 Mà x 0 x 0 0 x 1 0 x 1. x Kết hợp điều kiện ta có 0 x 1 thì AA x 1 b) Có AA A 0 0 x Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 11
12. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê x 1 Mà x 0 x 0 0 x 1 0 x 1. x Vậy x 1 thì AA Dạng 11. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. - Học sinh cần biết cách tìm cực trị của phân thức ở một số dạng tổng quát. - Học sinh cần đưa biểu thức rút gọn A về một trong những dạng sau để tìm cực trị: + Tử thức và mẫu thức là một số hoặc là một biểu thức có dấu xác định trong tập ĐKXĐ + Biến đổi biểu thức A thành một hằng đẳng thức có chứa biến x. + Biến đổi biểu thức A thành một tổng của hai (hoặc nhiều) số dương rồi áp dụng bất đẳng thức Cô – si hoặc một vài bất đẳng thức phụ. - Học sinh thường mắc sai lầm khi chỉ chứng minh biểu thức A k ( hoặc A k ) chưa chỉ ra dấu bằng nhưng đã kết luận cực trị của biểu thức A. x 2 Ví dụ minh họa: Cho A , điều kiện xác định x 0 . x 1 a) Tìm giá trị lớn nhất của A. b) Đặt B x 3 x 4 . A. Tìm giá trị nhỏ nhất của B . c) Đặt C x 1 A . Tìm giá trị nhỏ nhất của C . Hướng dẫn giải x 2 1 a) Có A 1 . x 1 x 1 1 1 Vì x 0 x 0 x 1 1 1 1 2 A 2 . x 1 x 1 Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 2. Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x 0 . Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 12
13. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê x 2 b) Có B x3 x 4 . A x 1 x 4 . x 4 x 2 x 2 x 8 x 1 2 x 2 x 1 9 x 1 9 . 2 2 Có x 1 0 x 1 9 9 B 9. 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 9 . Dấu “=” xẩy ra x 1 0 x 1 x 1. 1 1 c) Có C x 1 A x 2 x 1 1 x 1 x 1 1 Có x 0 x 0 x 1 0 và 0 x 1 1 Áp dụng bât đẳng thức Cô – si với 2 số dương x 1 và ta có: x 1 1 1 x 1 2 x 1 . x 1 x 1 1 1 x1 2 x 1 1 3 C 3. x 1 x 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của C bằng 3. 1 2 Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x 1 = x 1 1 x 1 1 x 0. x 1 Dạng 12: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A khi x N . + Học sinh chú ý bài toán thường cho dưới dạng điều kiện xác định x a, x b trong đó a b . Ta phải tính giá trị với x là các số tự nhiện thuộc a; b và trường hợp x là số tự nhiên lớn hơn b . Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 13
14. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê x Ví dụ minh họa: Cho A , điều kiện xác định x 0; x 1.Với x và x 1 x 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. Hướng dẫn giải x 1 Ta có: A 1 x 1 x 1 Với x và x 1, ta xét các trường hợp: TH1. x 0 thì A 0 . TH2. Nếu x 2 thì x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 Do đó: A 1 1 2 2 x 1 2 1 2 1 2 1 Dấu “=” xảy ra khi x 2 . So sánh các trường hợp của P , ta thấy: maxP 2 2 khi và chỉ khi x 2 . B. BÀI TẬP x 2 1 Bài 1. Cho các biểu thức : A và B ( với x > 0; x 1) x 1 x x x 1 1. Tính giá trị của biểu thức B khi x 9 2. Đặt CAB : , rút gọn biểu thức C 3. Tìm giá trị của x để C 3 1 4. So sánh C với 4 5. Chứng minh C 2 6. Tìm x nguyên để biểu thức C có giá trị nguyên 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C 8. Tìm các giá trị của m để nghiệm x thoản mãn bất phương trình : x. C x m 3 Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 14
15. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê Hướng dẫn giải 1 1 1. Với x 9 (thỏa mãn ĐKXĐ) thay vào biểu thức B, ta được : B 9 1 8 1 Vậy khi x 9 thì giá trị của biểu thức B 8 2. Đặt CAB : , rút gọn biểu thức C x 2 1 C (): x 1 x x x 1 x 2 1 C ( ) : x 1 x ( x 1) x 1 (x )2 2 x 1 C . x( x 1) 1 (x 2)( x 1) C x( x 1) x 2 C x 3. ĐKXĐ: x > 0; x 1 Để C 3 x 2 3 x x 2 3 x 0 x x x 3 x 2 0 (*) Giải phương trình (*) ta suy ra được : x 1( loại) và x 4 ( thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy để C 3thì x 4 Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 15
16. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 2 1 127 2x 1x 2 1 4 x x 8 4 16 4. Xét hiệu C 4x 4 4 x 4 x 2 2 1 1 127 Vì 2x 0 với mọi x nên 2x 0 4 4 16 Vì x 0 nên x 0 suy ra 4x 0 2 1 127 2x 4 16 1 Suy ra 0. Do đó C 4 x 4 2 x 2 x 2 x 2 x 1 1 5. Xét hiệu C 2 2 x x x 2 2 Vì x 1 0 với mọi x nên x 1 1 0 2 x 1 1 Vì x 0 nên x 0 , suy ra 0 . Do đó C 2 x 6. ĐKXĐ: x > 0; x 1 x 2 2 Ta có : C x x x 2 Để giá trị của biểu thức C nguyên thì x nguyên x 2 Suy ra Z x là ước của 2 x Từ đó x nhận các giá trị 1 ; 2 nên x nhận các giá trị x 1 (loại) và x 4 ( TMĐK) Khi đó với x 4 thì C có giá trị là 3 Vậy với x 4 thì biểu thức C có giá trị nguyên Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 16
17. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê x 2 2 7. Ta có : C x x x 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si với hai số dương x và , ta được : x 2 x 2 2 x Amin 2 2 2 Dấu “ = ” xảy ra x x 2 ( thỏa mãn ĐKXĐ) x Vậy giá trị nhỏ nhất Amin 2 2 x 2 8. Ta có : x. C x m 3 Suy ra : x x 1 m 0 x x 1 m 0 1 5 x x m 0 4 4 2 1 5 x m 0 2 4 2 1 5 x m 2 4 2 1 1 Vì x 0 nên x 0 , suy ra x 2 4 2 1 1 5 1 5 Suy ra x m m m 1 4 2 4 4 4 Vậy với m 1 thì x thoản mãn bất phương trình : x. C x m 3 Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 17
18. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê Bài 2. Cho các biểu thức : x 3 x 9 x x 3 x 2 4x 8 M 1 : và N x 9 x x 6 2 x x 3 x 3 (với x 0; x 4; x 9) 1. Rút gọn biểu thức M 2. Tìm x để MM 3. Đặt QMN . , tìm các giá trị của x để biểu thức Q có giá trị nguyên. Hướng dẫn giải 1. Rút gọn biểu thức M x 3 x 9 x x 3 x 2 M 1 : x 9 x x 6 2 x x 3 2 3 x 3 9 x x 3 x 3 x 2 M : x 3 x 3 x 2 x 3 3 x 2 x 3 M . 2 x 3 x 2 3 M x 2 2. ĐKXĐ : x 0; x 4; x 9 Để MMM 0 3 0 x 2 x 2 0 x 2 x 4 Kết hợp với ĐKXĐ: x 0 , suy ra 0 x 4 Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 18
19. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê Vậy với 0 x 4 thì MM 3. ĐKXĐ : x 0; x 4; x 9 3 4x 8 12 QMN x 2 x 3 x 3 12 Vì x 0 x 0 0 x 3 1 1 12 Vì x 0 x 0 x 3 3 4 x 33 x 3 Do đó: 0 Q 4 Mà QZ , suy ra Q 1; 2; 3; 4 12 TH1: Q 1 1 x 3 12 x 9 x 81 ( thỏa mãn ĐKXĐ) x 3 12 TH2: Q 2 2 x 3 6 x 3 x 9 ( loại) x 3 12 TH3: Q 3 3 x 3 4 x 1 x 1 ( thỏa mãn ĐKXĐ) x 3 12 TH4: Q 4 4 x 3 3 x 0 x 0 ( thỏa mãn ĐKXĐ) x 3 Vậy để biểu thức Q có giá trị nguyên thì x 0; 1; 81 x 1 x 1 3 x 1 Bài 3. Cho biểu thức A với x 0, x 1 x 1 x 1 x 1 1) Rút gọn biểu thức A . 2) Tính giá trị của A khi x 9 . 1 3) Tìm giá trị của x để A . 2 4) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 19
20. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 5) Tìm m để phương trình mA x 2 có hai nghiệm phân biệt. 6) Tính các giá trị của x để A 1. 7) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Hướng dẫn giải x 1 x 1 3 x 1 1) A x 0; x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 x 1 x 1 3 x 1 A x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 3 x 1 A x 1 x 1 2x 3 x 1 A x 1 x 1 2x 1 x 1 A x 1 x 1 2x 1 A x 1 2 9 1 5 2) Thay x 9 (TMĐK) vào A ta được: A 9 1 4 5 Vậy với x 9 thì A 4 3) ĐKXĐ: x 0, x 1 1 2x 1 1 A 2x 1 2 4x 2 x 1 3x 3 x 1 Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 20
21. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê x 1 (Không thỏa mãn) 1 Vậy không có giá trị của x để A 2 4) ĐKXĐ: x 0, x 1 2x 12 x 1 3 3 Ta có: A 2 x 1 x 1 x 1 3 Để A nhận giá trị nguyên thì nhận giá trị nguyên 3 x 1 x 1 U x 1 3 U 3  3; 1;3;1 Ta có bảng sau: x 1 3 1 1 3 x 4 2 0 2 x   0 4 ĐK - - TM TM Vậy x 0;4 thì A nhận giá trị nguyên 5) ĐKXĐ: x 0, x 1 Để m. A x 2 2x 1 m. x 2 x 1 2m x m x x 2 x 2 m 1 x m 2 0 (1) Đặt t x t 0; t 1 ta có phương trình: 1 t2 2 m 1 x m 2 0 * Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và t2 t 1 0 0 P 0 S 0 a b c 0 Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 21
22. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 2 2 4m 9 0  m 2m 1 4. m 2 0 m 2 m 2 0 1 m 2 2m 1 0 m 2 1 (2m 1) m 2 0 m 2 Vậy với m 2 thì pt (1) có 2 nghiệm phân biệt 6) ĐKXĐ: x 0, x 1 2x 1 Để A 1 1 x 1 2x 1 x 1 0 x 1 x 2 0 x 1 Ta có : x 0  x ĐKXĐ x 1 1 x ĐKXĐ x 2 0 x 1 x 2 0 x 2 x 4 Kết hợp với điều kiện ta có 0 x 4; x 1 Vậy với 0 x 4; x 1 thì A 1 7) ĐKXĐ: x 0, x 1 3 A 2 x 0; x 1 x 1 Ta có: x 0 x 1 1 3 3 3 2 2 3 A 1 x 1 x 1 Dấu “ = “ xảy ra x 0 x 0 (TMĐK) Vậy GTNN của A là 1 khi x 0 Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 22
23. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê x1 x 1 Bài 4. Cho biểu thức B : với x 0, x 1 x x 1 x 1 x x 1 1) Rút gọn B 2) Tính giá trị của B khi x 3 2 2 3 2 2. 3) Tìm x để B x 4) Với x >1, hãy so sánh B với B Hướng dẫn giải x1 x 1 1) B : x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x x 1 x x 1 B . x 1 x x 1 x 1 x 1 B x 1 2 2 2) x 3 2 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Thay x = 2 (TMĐK) vào B ta được 2 2 1 2 1 B 3 2 2 . 2 1 1 Vậy khi x 3 2 2 3 2 2 thì B 3 2 2 3) ĐKXĐ: x 0, x 1 B x x 1 x x 1 x 1 x x x 2 x 1 0 2 x 1 2 0 x 1 2 x 1 2 0 Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 23
24. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê x 1 2 L x 1 2 2 x 1 2 x 3 2 2 4) Xét hiệu BBBB 1 CÁCH 1 +) Ta có : x 1 B 0 B có nghĩa x 1 2 +) Xét 1 B 1 0 x 1 x 1 B 1 B 1 +) Ta có : BBBB ( 1) 0 BB CÁCH 2 +) Ta có: x 1 x 1 x 1 0 x 1 Mà x 1 0 0 BB 0 0 1 x 1 2x 9 x 3 2 x 1 +) Lại có: B x 5 x 6 x 2 3 x x 1 x 1 x 1 2 B 1 1 x 1 x 1 x 1 2 Mà x 1 0 0 x 1 B 1 0 BB 1 1 0 Mà B 0 B 1 0 B 1 0 2 Từ (1) và (2) BB 1 0 BB 0 BB Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 24
25. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 2x 9 x 3 2 x 1 Bài 5. Cho biểu thức C với x 0, x 4, x 9 x 5 x 6 x 2 3 x 1) Rút gọn biểu thức C 2) Tính giá trị của x để C đạt giá trị lớn nhất 1 3) So sánh với 1 C Hướng dẫn giải 2x 9 x 3 2 x 1 1) C x 2 x 3 x 2 x 3 2x 9 x 3 x 3 2 x 1 x 2 C x 2 x 3 2x 9 x 9 2 x 3 x 2 C x 2 x 3 x x 2 C x 2 x 3 x 1 C x 3 2) ĐKXĐ: x 0, x 4, x 9 1 Để C min max C 1x 3 x 1 4 4 Ta có: 1 C x 1 x 1 x 1 Ta có: x 0  x ĐKXĐ x 1 1 1 1 x 1 4 4 x 1 4 1 3 x 1 1 3 C 1 C x ĐKXĐ 3 Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 25
26. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê Dấu “ = ” xảy ra x 0 x 0 (TMĐK) 1 Vậy GTLN của C là khi x = 0 3 1x 3 4 3) Xét hiệu 1 1 C x 1 x 1 Ta có: x 0  x ĐKXĐ x 1 1 0 4 0 x 1 1 1 0 C 1 1 x ĐKXĐ C C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN A. Đề bài x 4 x 1 x 2 3 Bài 1 . Cho biểu thức A và B : Với x 0, x 1, x 4 . x 1 x 2 x 1 x 1 1) Tìm giá trị của x để A 4. 2) Rút gọn biểu thức B 18 3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . AB. 2x 1 1 x x Bài 2. Cho hai biểu thức A và P : 1 x 0; x 1 x x 1 x 11 x x 1 1) Tính giá trị của biểu thức A với x 16 2) Rút gọn biểu thức P . A 3 ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M . P Bài 3. Cho hai biểu thức 4 2x x 13 x x 5 A x 0; x 9 và B x 0; x 9 x 3x 9 x 3 x 3 Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 26
27. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 1) Tính giá trị của biểu thức B với x 11 6 2 A 2) Rút gọn biểu thức P . B 1 3) Tìm x để P . 9 x x5 x 4 Bài 4. Cho biểu thức A và B x 0; x 1 x 2 x 1 x 2 x x 2 1 1) Tính A khi x . 4 2) Rút gọn B. A 3) Biết P . Hãy Chứng tỏ PP với x 1 . B Bài 5. Cho hai biểu thức x 2 x 2 6 x 8 4x 13 A và B x 0; x 1; x 4 x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 1) Tính giá trị của biểu thức B với x 36 2) Rút gọn biểu thức A. 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức PAB . 2 x 15 x 3 x 3 Bài 6. Cho biểu thức A và B : , x 0, x 25. 3 x x 25 x 5 x 5 1) Khi x 93 5 2. 3 5 2, Tính giá trị của A. 2) Rút gọn biểu thức B. 3) Tìm x để PAB nhận giá trị nguyên. x 2 x 1 1 Bài 7 . Cho hai biểu thức A ; B ( x 0; x 2) xx 4 x 2 x 2 Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 27
28. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê A 1) Rút gọn B và tính P B 2) Tìm x để B = |B| 3) Tìm x thỏa mãn: xP 10 x 29 x 25 2 5 x x2 x 3 x 9 x 2 Bài 8. Cho biểu thức: A và B . 1 x 1 x 3 x 3 x 9 3 (với x 0, x 9 ) 1) Tính giá trị của A khi x 19 8 3 19 8 3 2) Rút gọn B 3) Gọi MAB . . So sánh M và M 2x 2 x x 1 x2 x Bài 9. Cho biểu thức P với x 0, x 1. x x x x x x 1) Rút gọn biểu thức P . 2) Tìm giá trị của biểu thức P khi x 3 2 2 . 7 3) Chứng minh rằng với mọi giá trị của x đề biểu thức P có nghĩa thì biểu thức chỉ P nhận một giá trị nguyên. x 3 x 2 1 1 Bài 10. Cho hai biểu thức U  với x 0 và x 4 . x x 8 x 2 x 1) Rút gọn biểu thức U. 2) Tìm giá trị của U tại x 14 6 5 . 3) Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức KU 8 có giá trị là số nguyên x x x 10 9 Bài 11 . Cho hai biểu thức A và B với x 0, x 4, x . 4x 3 x 2 x 4 16 Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 28
29. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 25. 2) Rút gọn biểu thức B. 3) Tìm giá trị của x để BA 2 . x 2 6 1 Bài 12. : Cho biểu thức P : 1 x 1 x 2 x x 2 1 x với x 0 , x 1, x 4 . 1 1) Rút gọn P . 2) Tính P biết x 3 2 2 . 3) Tìm x để P . 2 x x 3 2 1 Bài 13. Cho biểu thức AB , với x 0, x 9 . 1 3xx 9 x 3 3 x 4 1) Tính giá trị biểu thức A khi x . 9 2) Rút gọn B . B 3) Cho P , tìm x để P 3 . A Bài 14 . Cho biểu thức : 1 1 x 3 x 2 x x A và B ( với x 0; x 1 ) x 1 x 1 (x 2)( x 1) x 1 1) Rút gọn và tính giá trị biểu thức A khi x 4 2 3 2) Rút gọn biểu thức B 1x 1 3) Đặt M = B : A , tìm x để 1 M 8 x x 1 x x 1 4 x 1 Bài 15. Cho biểu thức: P và Q với x 0; x 1 x x x x x x 1 1) Tính giá trị của Q khi x 25 . 2) Rút gọn biểu thức APQ . . 3) Tìm các giá trị của x để A. x 8. x 2 x 2 x 1 Bài 16. Cho biểu thức A ; B với x 0, x 1 x 2 x 1 x 1 x Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 29
30. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 1) Tính giá trị của B khi x 36 2 2) Chứng minh rằng AB. x 1 3) Tìm x để ABAB. 1 . 1 x 12 3 1 1 Bài 17. Cho hai biểu thức A và B : với x 0, x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9 . 2) Rút gọn biểu thức B . A 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M . B 2x 3 x 2 x3 x 2 x 2 Bài 18. Cho hai biểu thức A và B với x 0 và x 4 . x 2 x 2 1) Tính giá trị của A khi x 4 2 3 . 2) Tìm giá trị của x để BA 1. 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức CBA . x 1 x 1 3 x 1 Bài 19. Cho biểu thức A với x 0; x 1 x 1 x 1 x 1 1) Rút gọn biểu thức A . 2) Tìm giá trị nguyên của x để A 1. 3) Tìm m để phương trình mA x 2 có hai nghiệm phân biệt x 1 2 x Bài 20. Cho 2 biểu thức: A và B với x 0 và x 4 . x 2 x 4 x 2 1) Tính giá trị biểu thức B khi x 16 . 2) Rút gọn biểu thức MAB : . 3) Tìm các giá trị thực của x để M 1. x 1 1 x x x Bài 21. Cho hai biểu thức A và với B . x 0; x 1 x 1 x 1x 1 2 x 1 Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 30
31. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê 9 1) Tính giá trị của A khi x 4 2) Rút gọn B . 3) Với x và x 1, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức PAB . x 1 6 2x 2 1 Bài 22. Cho hai biểu thức A và B x 2 x 3 x 2 x 2 1 x với x 0; x 1; x 4 1 1) Tính giá trị của A khi x 4 2) Rút gọn biểu thức M = A.B m 3) Tìm m để phương trình M (m là tham số) có nghiệm. 2 2x 1 4 x 4 x 1 1 Bài 23. Cho hai biểu thức A ; B ( x 0; x ) 4x 2 x 1 8 x x 1 2 x 1 4 1) Tính giá trị của A khi x 1 B 1 2) Chứng minh biểu thức T . A 2x 1 1 3)Với x 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của LT 4 . T 2x 1 4) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức PT . nhận giá trị nguyên 2x 1 dương. x 2 x 2 3 12 Bài 24. Cho hai biểu thức A với x 0 và B với x 2 x 2 x 2 x 4 x 0, x 4 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9 2) Rút gọn biểu thức B 1 3) Cho biểu thức P . Với x , tìm giá trị lớn nhất của P. AB x 1 20 2x 3 x 2 Bài 25. Cho hai biểu thức A và B : với x 0, x 25 x 2 x 25 x 5 x 5 1) Khi x 16 , tính giá trị của biểu thức A 2) Rút gọn biểu thức B B m 3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm A 6 Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 31
32. Lê Trung – Uyên Vi Toán học là đam mê x 1 1 x 2 Bài 26. Cho hai biểu thức P và Q với x 0; x 4; x 9 x 4 x 2 x 2 x 3 1. Tính giá trị của biểu thức Q khi x 64 x 2. Chứng minh P x 2 3. Với x Z , tìm GTLN của biểu thức KQP . 1 Tài liệu tự hoc- luyện thi vào 10 Page 32