›
›
›

Tóm tắt kiến thức môn Toán Lớp 11

pdf 37 trang hangtran11 10/03/2022 9684
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tóm tắt kiến thức môn Toán Lớp 11", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftom_tat_kien_thuc_mon_toan_lop_11.pdf

Nội dung text: Tóm tắt kiến thức môn Toán Lớp 11

  1. Lưu hành nội bộ Điều chỉnh, bổ sung năm 2011
  2.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 MỤC LỤC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC 4 1. Độ và radian 4 2. Các hệ thức cơ bản 4 3. Các hệ quả cần nhớ 4 4. Các cung liên kết 5 5. Các cơng thức biến đổi 6 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 8 1. Các hàm số lượng giác 8 2. Tập xác định của hàm số 9 3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số 9 4. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số 9 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 10 1. Phương trình lượng giác cơ bản 10 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 12 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx 12 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx 13 5. Phương trình đối xứng, phản đối xứng 13 6. Phương trình lượng giác khác 13 ĐẠI SỐ TỔ HỢP 14 1. Phép đếm 14 2. Hốn vị 14 3. Chỉnh hợp 14 4. Tổ hợp 15 5. Cách phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp 15 NHỊ THỨC NEWTON 15 1. Khai triển nhị thức Newton 15 2. Tam giác Pascal 15 3. Giải phương trình 16 XÁC SUẤT 16 DÃY SỐ 17 1. Tính đơn điệu của dãy số 17 2. Tính bị chặn của dãy số 17 CẤP SỐ CỘNG 18 1. Định nghĩa 18 2. Tính chất 18 3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng 18 CẤP SỐ NHÂN 18 1. Định nghĩa 18  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  1  : 0987. 503.911
  3.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 2. Tính chất 18 3. Tổng n số hạng đầu tiên 18 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 19 1. Định nghĩa 19 2. Tính chất 19 3. Một số giới hạn cơ bản 19 4. Cách tìm giới hạn 19 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 20 HÀM SỐ LIÊN TỤC 22 y f() x x 1. Xét tính liên tục của hàm số tại 0 22 2. Tìm m để hàm số y f() x liên tục tại điểm đã chỉ ra 22 3. Chứng minh phương trình cĩ nghiệm 22 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ 22 1. Bảng các đạo hàm 22 2. Các qui tắc tính đạo hàm 23 3. Đạo hàm cấp cao 23 TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG 23 CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 26 I. Các phép biến hình 26 II. Vẽ ảnh của một hình qua phép biến hình 27 III. Tìm phương trình của ảnh 27 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 28 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 28 2. Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) 28 3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng 28 4. Tìm thiết diện 29 QUAN HỆ SONG SONG 29 I. Các định nghĩa 29 II. Các tính chất 29 III. Chứng minh hai đường thẳng song song 30 IV. Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng 30 V. Chứng minh hai mặt phẳng song song 31 VI. Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau 31 QUAN HỆ VUƠNG GĨC 31 I. Chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc 31 II. Chứng minh đường thẳng vuơng gĩc mặt phẳng 32 III. Chứng minh hai mặt phẳng vuơng gĩc 32 GĨC 33 1. Gĩc giữa hai đường thẳng a, b 33  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  2  : 0987. 503.911
  4.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 2. Gĩc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) 33 3. Gĩc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) 33 KHOẢNG CÁCH 33 1. Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a 33 2. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P) 33 3. Khoảng cách giữa đường thẳng a // (P) 34 4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) // (Q) 34 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 34 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 34 1. Định lí cơ sin 34 2. Định lí sin 35 3. Cơng thức tính diện tích tam giác 35 4. Các hệ thức lượng trong tam giác vuơng 36  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  3  : 0987. 503.911
  5.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Độ và radian: 180 0 1800 (rad ) 10 1(rad ) ; 180 (rad); 2. Các hệ thức cơ bản: sin cos * tan cos 0 ; * cot sin 0 cos sin 2 2 * sin cos 1,  ; 1 1 tan2 k , k * cos2 2 Z 1 1 cot2 (k , k ) * 2 Z sin k tan .cot 1 , k * 2 Z . 3. Các hệ quả cần nhớ: sin( k 2)sin; cos( k 2)cos tan( k )tan; cot( k )cot tan k, k Z xác định khi 2 cot xác định khi k , k Z 1 sin 1 1 cos 1 1 sin4x cos 4 x 1 sin2 2 x * 2 3 sin6x cos 6 x 1 sin2 2 x * 4  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  4  : 0987. 503.911
  6.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 Dấu các giá trị lượng giác: Gĩc phần tư I II III IV GTLG sin + + – – cos + – – + tan + – + – cot + – + – 4. Các cung liên kết: a. Cung đối: và cos( )cos; sin( ) sin tan( ) tan; cot( ) cot b. Cung bù: và sin( )sin; cos( ) cos tan( ) tan; cot( ) cot c. Cung phụ: và 2 sin cos; cos sin 2 2 tan cot; cot tan 2 2 d. Cung hơn kém nhau : và tan( )tan; cot( )cot sin( ) sin; cos( ) cos e. Cung hơn kém nhau 2 : và 2 sin cos ; cos sin 2 2 tan cot ; cot tan 2 2  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  5  : 0987. 503.911
  7.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 5. Các cơng thức biến đổi: a. Cơng thức cộng: sin(a b) = sina cosb cosa sinb cos(a b) = cosa cosb  sina sinb tana tan b tan(a b) = 1 tana tan b 1 tana tan b cot(a b) = tana tan b b. Cơng thức nhân đơi: sin2a = 2 sina.cosa cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a 2 2tan a cota 1 tan2a = 2 ; cot2a = 1 tan a 2cot a x t tan * Cơng thức tính theo 2 2t 2 t 1 t2 tanx ;sin x ;cos x 2 2 2 1 t 1 t 1 t c. Cơng thức hạ bậc: 1 cos2a 1 cos2a 1 cos2a cos2a = ; sin2a = ; tan2a = 2 2 1 cos2a Lưu ý: x 1 cosx 2cos2 * 2 x 1 cosx 2sin2 * 2 d. Cơng thức biến đổi tích về tổng:  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  6  : 0987. 503.911
  8.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 1 [sin(a b ) sin( a b )] sina.cosb = 2 1 [cos(a b ) cos( a b )] cosa.cosb = 2 1 [cos(a b ) cos( a b )] sina.sinb = 2 e. Cơng thức biến đổi tổng về tích: ABAB cos sinA + sinB = 2sin 2 2 ABAB sin sinA – sinB= 2cos 2 2 ABAB cos cosA + cosB = 2cos 2 2 ABAB sin cosA – cosB = –2sin 2 2 sin( )  ;, k k tan tan = cos .cos  2 Z  Chú ý: sinx cos x 2 sin x 2 cos x * 4 4 sinx cos x 2 sin x 2 cos x * 4 4  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  7  : 0987. 503.911
  9.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 f. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt: 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 Gĩc 2 3 5 0 6 4 3 2 3 4 6 1 2 3 3 2 1 sin 0 2 2 2 1 2 2 2 0 – 3 2 1 1 3 2 1 cos 1 2 2 2 0 – 2 – 2 2 1 1 3 3 1 – tan 0 3 1 || 3 0 1 1 3 1 3 cot || 1 3 0 3 – ||  HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Các hàm số lượng giác: ycos x y sin x - TXĐ: D= - TXĐ: D= - Là hàm số lẻ - Là hàm số chẳn - Hàm tuần hồn với chu kì 2 - Hàm tuần hồn với chu kì 2 T 1;1 T 1;1 - Tập giá trị: - Tập giá trị: - Hàm số đồng biến trong - Hàm số đồng biến trong k2 ; k 2 k2 ; k 2 2 2 - Hàm số nghịch biến trong - Hàm số nghịch biến trong 3 k2 ; k 2 k2 ; k 2 2 2  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  8  : 0987. 503.911
  10.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 y tan x y cot x \ k  \ k  - TXĐ: D= 2  - TXĐ: D= 2    - Là hàm số lẻ - Là hàm số lẻ - Hàm tuần hồn với chu kì - Hàm tuần hồn với chu kì - Tập giá trị: T - Tập giá trị: T - Hàm số đồng biến trong - Hàm số nghịch biến trong k; k k; k 2 2 x k x k - Cĩ các đường tiệm cận 2 - Cĩ các đường tiệm cận 2. Tập xác định của hàm số: P x a) y xác định khi Q x 0 Q x b) y P x xác định khi P x 0 P x c) y xác định khi Q x 0 Q x d) y sin f x ; y cos f x xác định khi f x xác định. ytan f x f x k e) xác định khi 2 f) y cot f x xác định khi f x k 3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số: a) Áp dụng các tính chất của bất đẳng thức, và với mọi x ta cĩ: 2 2 1 sinx 1; 1 cos x 1;0 sin x 1;0 cos x 1 b) Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y asin x b cos x c 2 2 2 2 x ta cĩ a b ainx bcos x a b 2 2 2 2 cabaxbxccab sin cos 4. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  9  : 0987. 503.911
  11.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 x D x D * Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu f()() x f x x D x D * Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu f()() x f x  PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình lượng giác cơ bản: a) Phương trình sin x m * Điều kiện cĩ nghiệm: m 1 1 * Tìm gĩc a sao cho sina m (sử dụng MTCT: a sin m ). Ta được: sinx sin a và áp dụng cơng thức: u v k2 sinu sin v u v k2 k  0 u v k360 Hay nếu trong phương trình cĩ cho độ. u1800 v k 360 0 * Trường hợp đặc biệt: sinu 0 u k sinu 1 u k 2 2 sinu 1 u k 2 2 * Nếu khơng phải là giá trị đặc biệt thì cĩ thể sử dụng cơng thức: uarcsin m k 2 sinu m arcsin m uarcsin m k 2 2 2 sinu sin u ; cos u sin u ; cos u sin u * 2 2 b) Phương trình cos x m * Điều kiện cĩ nghiệm: m 1 1 * Tìm gĩc a sao cho cosa m (sử dụng MTCT: a cos m ). Ta được: cosx cos a và áp dụng cơng thức:  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  10  : 0987. 503.911
  12.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 u v k2 cosu cos v u v k2 k  0 u v k360 Hay nếu trong phương trình cĩ cho độ. u v k3600 * Trường hợp đặc biệt: cosu 0 u k 2 cosu 1 u k 2 cosu 1 u k 2 * Nếu khơng phải là giá trị đặc biệt thì cĩ thể sử dụng cơng thức: uarccos m k 2 cosu m arcsin m uarccos m k 2 2 2 cosu cos u ; sin u cos u ; sin u cos u * 2 2 tan x m x k c) Phương trình 2 1 * Tìm gĩc a sao cho tana m (sử dụng MTCT: a tan m ) Ta được: tanx tan a và áp dụng cơng thức tanu tan v u v k 0 Hay u v k180 nếu trong phương trình cĩ độ. * Đặc biệt: tanu 0 u k tanu 1 u k 4 * Nếu m khơng phải là giá trị đặc biệt cĩ thể sử dụng cơng thức: tanu m u arctan m k arctan m 2 2 tanu tan u ; cot u tan u ; cot u tan u * 2 2 d) Phương trình cot x m x k 1 cot a m a tan 1 * Tìm gĩc a sao cho (sử dụng MTCT: m )  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  11  : 0987. 503.911
  13.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 Ta được: cotx cot a và áp dụng cơng thức cotu cot v u v k 0 Hay u v k180 nếu trong phương trình cĩ độ. * Đặc biệt: cotu 0 u k 2 tanu 1 u k 4 * Nếu m khơng phải là giá trị đặc biệt cĩ thể sử dụng cơng thức: cotu m u arccot m k 0arccot m cotu cot u ; tan u cot u ; tan u cot u * 2 2 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: Dạng Đặt Điều kiện 2 asin x bsin x c 0 t = sinx 1 t 1 2 acos x b cos x c 0 t = cosx 1 t 1 atan2 x b tan x c 0 x k() k Z t = tanx 2 2 x k() k Z acot x b cot x c 0 t = cotx Giải lấy nghiệm t thích hợp sau đĩ áp dụng phương trình cơ bản. Chú ý: 2 2 cos2x 2cos x 1 1 2sin x 2 2 sinx 1 cos x 2 2 cosx 1 sin x 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: a) Dạng phương trình: asin x b cos x c 2 2 2 b) Điều kiện cĩ nghiệm: a b c c) Phương pháp giải: 2 2 Chia hai về của phương trình cho a b a b c sinx cos x Ta được phương trình: 2 2 2 2 2 2 a b a b a b  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  12  : 0987. 503.911
  14.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 a b cos sin Đặt 2 2 2 2 . Ta được phương trình: a b a b c c sinx cos sin cos x sin x 2 2 2 2 (*) a b a b (*) là phương trình dạng cơ bản. 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx 2 2 a) Dạng: asinx. bsinxcosx . . ccosx . d 1 b) Phương pháp giải: * Kiểm tra cosx = 0 cĩ thoả mãn hay khơng? x ksin2 x 1 sin x 1. Lưu ý: cosx = 0 2 2 * Khi cosx 0 , chia hai vế phương trình (1) cho cosx 0 ta được: 2 2 a.tan x b .tan x c d (1 tan x ) * Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: 2 (a d ) t b . t c d 0 5. Phương trình đối xứng, phản đối xứng: a) Dạng: a.( sinx cosx ) b . sinx . cosx c 0 b) Phương pháp giải: tcos x sin x 2.cos x ; t 2. * Đặt:  4 1 t21 2sin.cos x x sin.cos x x ( t 2 1). 2 * Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này tìm t thỏa t 2. Suy ra x. Chú ý: cosx sin x 2cos x 2sin x * 4 4 cosx sin x 2cos x 2sin x * 4 4 6. Phương trình lượng giác khác: Để giải một phương trình lượng giác chưa phải là các dạng quen thuộc ta cần sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa phương trình về dạng quen  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  13  : 0987. 503.911
  15.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 thuộc, cĩ thể phân tích phương trình đã cho về dạng phương trình tích hoặc áp dụng tính chất bất đẳng thức để đưa về hệ phương trình để giải. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng: * Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng phương trình cơ bản đã biết (đưa về cùng một cung hoặc cùng một hàm số lượng giác, ). A 0 AB. 0 * Biến đổi phương trình đã cho về dạng tích: B 0 * Biến đổi phương trình về dạng cĩ thể đặt ẩn số phụ (đối xứng, đặt x t tan 2 , )  ĐẠI SỐ TỔ HỢP 1. Phép đếm: a) Qui tắc cộng: Giả sử để hồn thành hành động (H) ta cĩ thể thực hiện qua các trường hợp A hoặc B hoặc C (mỗi trường hợp đều hồn thành cơng việc) Nếu A cĩ m cách, B cĩ n cách, C cĩ p cách thì cĩ m n p cách để hồn thành (H). b) Qui tắc nhân: Giả sử để hồn thành hành động (H) ta phải qua nhiều cơng đoạn (bước) A, B, C liên tiếp nhau. Cơng đoạn A cĩ m cách, cơng đoạn B cĩ n cách, cơng đoạn C cĩ p cách Khi đĩ để hồn thành (H) thì cĩ m n p cách 2. Hốn vị: a) Hốn vị: Cho tập A cĩ n phần tử, mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của A gọi là một hốn vị. P n! b) Số các hốn vị n phần tử: n Chú ý: Giai thừa * n! n . n 1 3.2.1 * Qui ước: 0! 1 3. Chỉnh hợp: a) Chỉnh hợp:  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  14  : 0987. 503.911
  16.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 Cho tập A cĩ n phần tử, mỗi bộ sắp thứ tự gồm k phần tử lấy trong n phần tử của A ( k ,0 k n ) gọi là một chỉnh hợp chập k của n. b) Số các chỉnh hợp chập k của n: n! Ak n. n 1 n k 1 n n k ! 4. Tổ hợp: a) Tổ hợp: Cho tập A cĩ n phần tử, mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A ( k ,0 k n ) gọi là một tổ hợp chập k của n. n! C k b) Số các tổ hợp chập k của n: n k!! n k CCCCCCC0n1 k n k k k 1 k 1 c) Tính chất: n n n n n n n 1 5. Cách phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp: * Chỉnh hợp cĩ tính đến thứ tự của k phần tử. * Tổ hợp khơng tính đến thứ tự của k phần tử.  NHỊ THỨC NEWTON 1. Khai triển nhị thức Newton: n ab CaCabCab0b 1 n 1 2 n 2 2 Cab knkk Cab nnnn 1 1 Cb n n n n n n Số T Ck a n k b k hạng tổng quát thứ k+1 của khai triển: k 1 n C k 2. Tam giác Pascal: (cho biết giá trị của n ) n \ k 0 1 2 3 4 5 6 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 C k C3 20 Muốn tìm n ta tìm số ở dịng n, cột k. Ví dụ: 6 (dịng 6, cột 3)  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  15  : 0987. 503.911
  17.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 3. Giải phương trình: Để giải phương trình ta cần đặt điều kiện cho ẩn số và áp dụng cơng thức hốn vị, tổ hợp, chỉnh hợp đưa về phương trình đại số để giải. Chú ý chỉ lấy những nghiệm thỏa mãn điều kiện.  XÁC SUẤT 1. Tập hợp  tất cả các kết quả cĩ thể xảy ra của phép thử được gọi là khơng gian mẫu. n a) Gieo n con súc sắc thì  6 n b) Gieo n đồng tiền thì  2 C k c) Lấy k viên bi trong hộp cĩ n viên bi thì  n d) Hộp 1 cĩ m viên bi, hộp 2 cĩ n viên bi. Lấy k viên ở hộp 1 và h viên ở CCk h hộp 2 thì  m n 2. Một biến cố A liên quan tới phép thử T là A   . Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T thuộc  A . Mỗi phần tử của  A gọi là kết quả thuận lợi cho A. 3. Hai biến cố A, B gọi là xung khắc nếu A, B khơng đồng thời xảy ra. 4. Hai biến cố A, B gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay khơng xảy ra của biế cố nay khơng ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.  A 5. Xác suất của A là PA  AAA, , , 6. 1 2 k là các biến cố đơi một xung khắc thì PAAAPAPAPA 1 2  k 1 2 k AAA, , , 7. 1 2 k là các biến cố độc lập thì PAAAPAPAPA 1 2k 1 2 k 8. A là biến cố đối của biến cố A thì: PAPA 1 x, x , , x 9. X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là 1 2 n  n E X x p p P X x, i 1,2,3, , n a) Kỳ vọng của X là  i i với i i i 1  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  16  : 0987. 503.911
  18.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 n V X x2 p b) Phương sai của X là  i  i hay i 1 n V X x2 p 2 p P X x, i 1,2, , n EX  i  trong đĩ i i và  i 1 c) Độ lệch chuẩn:  XEX  DÃY SỐ 1. Tính đơn điệu của dãy số: u n * a) Định nghĩa: Cho dãy số n nếu  ta cĩ: u u u * n n 1 thì dãy số n là dãy số tăng. u u u * n n 1 thì dãy số n là dãy số giảm. * Một dãy tăng (hay giảm) gọi là dãy số đơn điệu. b) Cách xét tính đơn điệu của dãy số: Để xét tính đơn điệu của một dãy số ta cĩ thể áp dụng tính chất bất đẳng T u u thức để suy trực tiếp. Hoặc xét hiệu n 1 n T0, n * u * Nếu  thì n là dãy số tăng. T0, n * u * Nếu  thì n là dãy số giảm. u u0, n n Nếu n  ta cĩ thể xét u n 1 u n 1 u * u thì n là dãy số giảm. n 1 u n 1 u * u thì n là dãy số tăng. n 1 2. Tính bị chặn của dãy số: u n * a) Định nghĩa: Cho dãy số n nếu  ta cĩ: M: u M u * n thì dãy số n bị chặn trên. m: u m u * n thì dãy số n bị chặn dưới. * Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy số bị chặn.  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  17  : 0987. 503.911
  19.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 CẤP SỐ CỘNG 1. Định nghĩa: u n * u u d n là một cấp số cộng nếu  tồn tại số d sao cho n 1 n d: cơng sai u n : số hạng tổng quát thứ n. 2. Tính chất: u u n1 d a) Số hạng tổng quát thứ n: n 1 u u u2 u n 1 b) n là cấp số cộng n 1 n 1 n ,  3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: n u u n 2 u n 1 d S 1 n 1 n 2 2  CẤP SỐ NHÂN 1. Định nghĩa: u n * u u. q n là một cấp số nhân nếu  tồn tại số q sao cho n 1 n q: cơng bội u n : số hạng tổng quát thứ n. 2. Tính chất: u u. qn 1 a) Số hạng tổng quát: n 1 u u. u u 2 n 1 b) n là cấp số nhân n1 n 1 n ,  3. Tổng n số hạng đầu tiên: q 1 S n. u * thì n 1 qn 1 q 1 S u . * thì n 1 q 1 u 1 * CSN lùi vơ hạn là CSN cĩ cơng bội q 1 cĩ tổng S 1 q   GV: NGUYỄN THANH NHÀN  18  : 0987. 503.911
  20.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Định nghĩa: limu 0 n , u a) n  n nhỏ hơn một số dương cho trước nhỏ tùy ý kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. limu L lim u L 0 b) n n lim u n, u c) n  n lớn hơn một số dương cho trước tùy ý kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. lim u n, u d) n  n nhỏ hơn một số dương cho trước tùy ý kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. 2. Tính chất: limu v lim u lim v limu . v lim u .lim v a) n n n n b) n n n n ulim u limk . u k .lim u limn n limv 0 c) n n d) v lim v n n n limu L lim3 u3 L ;lim u L ( L 0) e) n n n u v  n n limu 0 f) limv 0 n n  3. Một số giới hạn cơ bản: 1 * a) lim 0 b) lim n n 0,q 1 1 n c) lim q e) lim 0 ,q 1 3 n 4. Cách tìm giới hạn: a) Đặt thừa số chung n lũy thừa cao nhất trong cả tử số và mẫu số, sau đĩ đơn giản thừa số chung đĩ rồi áp dụng các tính chất và các giới hạn cơ bản để tính. b) Khi trong giới hạn cĩ căn thức ta cĩ thể nhân chia cho biểu thức liên hợp.   GV: NGUYỄN THANH NHÀN  19  : 0987. 503.911
  21.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1. limu v lim u lim v x a x a x a 2. limu . v lim u .lim v x a x a x a u lim u x a 3. lim limv 0 x a v lim v x a x a 4. limu lim u lim u 0 x a x a x a g()()() x f x h x limf ( x ) L 5. limg ( x ) lim h ( x ) L x a x a x a 1 6. limf ( x ) lim 0 x a x a f() x 7. Qui tắc tính giới hạn: limf ( x ) x a lim f ( x ). g ( x ) ( ) (tùy theo dấu của limf ( x ) x a x a limg ( x ) L x a và L . 8. Hàm số liên tục: Hàm số y f() x liên tục tại a limf ( x ) f ( a ) x a 9. Hàm số y f() x liên tục trong (;)a b và f( a ). f ( b ) 0 thì phương trình f( x ) 0 cĩ nghiệm trong (;)a b . 10. Giới hạn một bên: a) limf ( x ) x a ; lim f ( x ) x a x a x a b) Giới hạn vơ cực: f() x f()() x f x lim khi f( a ) 0, g ( a ) 0 . Phân tích . x a g() x g( x ) ( x a ). g ( x ) 1 f() a f() x Tính M . Ta cĩ: lim M .( ) g() a x a g() x 11. Một số dạng vơ định: 0 a) Dạng vơ định 0  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  20  : 0987. 503.911
  22.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 f() x Phương pháp: Tìm lim mà f( a ) g ( a ) 0 x a g() x Phân tích tử số và mẫu số thành các thừa số trong đĩ cĩ chứa ()x a sau đĩ đơn giản tử và mẫu cho ()x a . Chú ý: ax2 bx c 0 x * Phương trình cĩ nghiệm 0 thì c ax2 bx c x x ax 0 x 0 ()x x * Cũng cĩ thể thực hiện phép chia đa thức cho 0 * Khi trong giới hạn cĩ căn thức ta cĩ thể nhân chia cho biểu thức liên hợp. b) Dạng vơ định Phương pháp: Áp dụng các cơng thức * 1 * lim x * lim 0 x x x nếu n chẵn n * lim x x nếu n lẻ * Nếu tính giới hạn dạng hữu tỷ ta đặt nhân tử x lũy thừa cao nhất ở cả tử số và mẫu số, đơn giản và áp dụng các cơng thức trên. Chú ý: b c x. a khi x x 2 2 x Nếu a 0 thì ax bx c b c x. a khi x x x2 c) Dạng vơ định và 0. 0 Phương pháp: Thực hiện phép biến đổi đưa về dạng hoặc 0   GV: NGUYỄN THANH NHÀN  21  : 0987. 503.911
  23.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 HÀM SỐ LIÊN TỤC y f() x x 1. Xét tính liên tục của hàm số tại 0 f() x f() x * Tính 0 (nếu 0 khơng tồn tại thì hàm số khơng liên tục) limf ( x ) * Tìm x x , khi cần cĩ thể tính giới hạn 1 bên. 0 f() x limf ( x ) * So sánh 0 và x x để kết luận. 0 2. Tìm m để hàm số y f() x liên tục tại điểm đã chỉ ra Phương pháp: * Tính f() a và tìm limf ( x ) x a * Hàm số liên tục tại x a limf ( x ) f ( a ) . Từ điều kiện này tìm m, x a khi cần cĩ thể tìm giới hạn 1 bên. 3. Chứng minh phương trình cĩ nghiệm: Phương pháp: * Đặt f() x là vế trái của phương trình, f() x liên tục trong D. * Tìm hai số a, b D sao cho f( a ). f ( b ) 0 thì phương trình cĩ nghiệm x (;) a b  ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ 1. Bảng các đạo hàm: Hàm số y f() x Hàm số hợp y f( u ), u g ( x ) (C )' 0 y/// y. u C: hằng số x u x / (x ) 1 / 1 / u' x u 2 x 2 u / / 1 1 1 u ' x x2 u u2 / / 1 1 x . x u ' u u  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  22  : 0987. 503.911
  24.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 Hàm số y f() x Hàm số hợp y f( u ), u g ( x ) / / sinx cos x sinu u '.cos u / / cosx sin x cosu u '.sin u 1 u' tanx/ 1 tan2 x tanu / cos2 x cos2 u 1 u' cot x / cot u / sin2 x sin2 u 2. Các qui tắc tính đạo hàm: /// Cho các hàm số u, v, w lần lượt cĩ đạo hàm u,, v w . Ta cĩ: / /// a) u v w u v w / // / / b) u. v u v uv Hệ quả: C u C u (C: hằng số) / // u u v uv c) v v2 u u() x u/ y f() u y/ d) cĩ đạo hàm theo x là x , cĩ đạo hàm theo u là u thì y f[ u ( x )] y/// y. u hàm số cĩ đạo hàm theo x là x u x 3. Đạo hàm cấp cao: / // * Đạo hàm của y gọi là đạo hàm cấp 2, kí hiệu y // /// * Đạo hàm của y gọi là đạo hàm cấp 3, kí hiệu y ()n * Đạo hàm của đạo hàm cấp n 1 gọi là đạo hàm cấp n, kí hiệu y 4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: y f x x - Đạo hàm của hàm số tại điểm 0 là hệ số gĩc của tiếp tuyến M x; y của đồ thị hàm số đĩ tại điểm 0 0 0 . y f x x - Nếu hàm số cĩ đạo hàm tại điểm 0 thì tiếp tuyến của đồ thị M x; y hàm số tại điểm 0 0 0 cĩ phương trình là: y y f' x x x 0 0 0   GV: NGUYỄN THANH NHÀN  23  : 0987. 503.911
  25.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y f x : Cĩ 7 dạng sau: M x; y C y f x Dạng 1: Tiếp tuyến tại điểm 0 0 (với 0 0 ) y y f' x x x Phương trình tiếp tuyến cĩ dạng: 0 0 0 x x Dạng 2: Tiếp tuyến tại điểm cĩ hồnh độ 0 thuộc (C) y f x f' x - Tìm 0 0 và 0 y y f' x x x - Viết phương trình tiếp tuyến dạng: 0 0 0 Chú ý: Nếu bài tốn yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của x 0 (C) và trục tung thì 0 y y Dạng 3: Tiếp tuyến tại điểm cĩ tung độ 0 thuộc (C) f x y x x - Giải phương trình 0 tìm 0 f' x - Tìm 0 y y f' x x x - Viết phương trình tiếp tuyến dạng: 0 0 0 Chú ý: Nếu bài tốn yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của y 0 (C) và trục hồnh thì 0 Dạng 4: Tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k cho trước y'' f x f' x k x x - Tính . Giải phương trình tìm nghiệm 0 y f x - Tính 0 0 y y f' x x x - Viết phương trình tiếp tuyến dạng: 0 0 0 Dạng 5: Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y ax b - Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d nên hệ số gĩc k của tiếp k a tuyến bằng a (tức là tt , viết như dạng 4) Dạng 6: Tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng d: y ax b 1 k. a 1 k - Do tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng d nên tt tt a (viết như dạng 4) Dạng 7: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: y ax b một gĩc , 0 90  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  24  : 0987. 503.911
  26.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 - Gọi ,  lần lượt là gĩc hợp bởi tiếp tuyến (d), đường thẳng ( ) với chiều dương trục hồnh. Gọi k là hệ số gĩc của tiếp tuyến, khi đĩ ta cĩ:  suy ra: tan tan  k a tan tan  tan  (1) 1 tan tan  1 ak - Giải phương trình (1) tìm được hệ số gĩc k của tiếp tuyến (như dạng 4)   GV: NGUYỄN THANH NHÀN  25  : 0987. 503.911
  27.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG I. Các phép biến hình: 1. Phép tịnh tiến theo vectơ v :  //  T () M M MM v a) Định nghĩa và kí hiệu: v /  b) Biểu thức tọa độ: M(;), x y M (';'), x y v (;) a b . Ta cĩ: x' x a / TMM () v y' y b 2. Phép đối xứng trục d: ĐMM() / a) Định nghĩa và kí hiệu: d d là đường trung trực của / MM . b) Biểu thức tọa độ: x' x M( x ; y ), M/ ( x '; y ') * qua phép đối xứng trục Ox: y' y x' x M( x ; y ), M/ ( x '; y ') * qua phép đối xứng trục Oy: y' y 3. Phép đối xứng tâm I: ĐMM() / MM / a) Định nghĩa và kí hiệu: I I là trung điểm của / b) Biểu thức tọa độ: M(;), x y M ('; x y '),(;) I a b . Ta cĩ: x' 2 a x ĐMM() / I y' 2 b y 4. Phép quay tâm O, gĩc quay : Định nghĩa và kí hiệu: Q()(,) M M// OM OM (,)O ( là gĩc định hướng) 5. Phép vị tự tâm I, tỷ số k: a) Định nghĩa và kí hiệu:   V() M M// IM kIM (,)I k / b) Biểu thức tọa độ: M(;), x y M ('; x y '),(;) I a b . Ta cĩ:  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  26  : 0987. 503.911
  28.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 x'() a k x a VMM() / (,)I k y'() b k y b Chú ý: F / MM ()()()HHMHF ///  MH () II. Vẽ ảnh của một hình qua phép biến hình: 1. Vẽ ảnh của một điểm:  / /  a) Qua phép tịnh tiến: Lấy M sao cho MM v / b) Qua phép Đối xứng trục d: Lấy M sao cho d là đường trung trực của / MM / / c) Qua phép Đối xứng tâm I: Lấy M sao cho I là trung điểm MM V M / d) Qua phép Vị tự (,)I k : Trên đường thẳng IM lấy sao cho đoạn / IM k. OM / * MM, cùng phía đối với I nếu k 0 / * MM, khác phía đối với I nếu k 0 2. Vẽ ảnh của tam giác: Lần lượt vẽ ảnh của các đỉnh. // 3. Vẽ ảnh của đường thẳng d: Trên d lấy hai điểm A, B; vẽ ảnh AB, // của A,B. Ảnh của d là đường thẳng AB 4. Vẽ ảnh của một đường trịn: / * Vẽ I là ảnh của tâm I qua phép biến hình. / * Vẽ đường trịn tâm I cĩ bán kính bằng R (nếu là phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay), bán kính bằng k .R (nếu là phép vị tự) III. Tìm phương trình của ảnh: Phương pháp: / Cho hình (H) cĩ phương trình f( x ; y ) 0 , viết phương trình ()H là ảnh x'() u x của (H) qua phép biến hình F cĩ biểu thức tọa độ y'() v y Cách giải: / * Gọi M(;), x y M (';') x y F ( M )  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  27  : 0987. 503.911
  29.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 x'() u x * Khi đĩ: y'() v y tính x theo x’, y theo y’ * M( x ; y ) ( H ) f ( x ; y ) 0 thay x,y vừa tìm được vào phương trình // f( x ; y ) 0 ta được phương trình g( x '; y ') 0 . M( x '; y ') ( H ) nên phương / trình của ()H là g( x '; y ') 0 .  ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: a) Cách 1: Để tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) ta tìm hai điểm chung phân biệt A,B. Giao tuyến là đường thẳng AB. * APAQ ( ), ( ) A là điểm chung thứ nhất. * BPBQ ( ), ( ) A là điểm chung thứ hai. Vậy ()()P Q AB b) Cách 2: (Khi đã học xong chương quan hệ song song) * Tìm một điểm chung S của (P) và (Q) ()()P  Q Sx * Chứng minh Sx song song với 1 đường thẳng cho trước. A ( d ),( d )  ( P ) A ( P ) A()()()() d a A d và A a  Chú ý: A()()()() d P A d và A P  ()()()()()()()d P Q d P và d Q    2. Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P): a) Cách 1: * Tìm một mặt phẳng phụ (Q) chứa d * Tìm giao tuyến a của (P) và (Q). * Trong mặt phẳng (Q) tìm M a  d . Suy ra M d  () P b) Cách 2: Tìm trong mặt phẳng (P) đường thẳng a mà a d M M a,() M P M d() P M d  3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: Ta chứng minh 3 điểm đĩ cùng thuộc 2 mặt phẳng phân biệt nào đĩ.  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  28  : 0987. 503.911
  30.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 APAQ ( ), ( ) BPBQABC( ), ( ) , , thẳng hàng. CPCQ( ), ( ) 4. Tìm thiết diện: Để tìm thiết diện tạo bởi một mặt phẳng với một khối đa diện ta tìm các giao điểm của mặt phẳng đĩ với các cạnh của khối đa diện (nếu cĩ). Các giao điểm đĩ chính là đỉnh của thiết diện. Ta cũng cĩ thể tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng đĩ với các mặt của đa diện.  QUAN HỆ SONG SONG I. Các định nghĩa: 1. Hai đường thẳng song song: a // b a, b cùng nằm trong một mặt phẳng và khơng cĩ điểm chung. 2. Đường thẳng song song với mặt phẳng: a // ()()P a  P  3. Hai mặt phẳng song song: ()P // ()()()QPQ   II. Các tính chất: a c  a b 1. b c   a c;()() P Q b   a b c 2. a( P ); c ( Q )     3. Ba mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt thì 3 giao tuyến đĩ song song hoặc đồng qui. a b;() a P   a() P 4. b() P   a( P ); a ( Q )   a b 5. ()()P Q b   a( P ), a ( Q )   a b 6. ()()P Q b   a() Q  a() P 7. ()()QP    GV: NGUYỄN THANH NHÀN  29  : 0987. 503.911
  31.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 8. Trong mặt phẳng (P) cĩ hai đường thẳng a, b cắt nhau cùng song song mặt phẳng (Q) thì ()()PQ ()()PR  ()()PQ 9. ()()QR   ()()PQ ()()P R a a b 10.   ()()Q R b  III. Chứng minh hai đường thẳng song song: Để chứng minh hai đường thẳng a, b song song ta cĩ thể áp dụng một trong các phương pháp sau: a c  a b 1. b c   a( P ), a ( Q )   a b 2. ()()P Q b   a( P ), c ( Q )   a b 3. a c,()() P Q b    a( P ), a ( Q )   a b 4. ()()P Q b   ()()PQ ()()P R a a b 5.   ()()Q R b  6. Chứng minh ba mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt và 3giao tuyến khơng đồng qui thì chúng song song nhau. 7. Sử dụng các tính chất hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Ta lét, tính chất hình bình hành, a() P  a b 8. Chứng minh b() P   IV. Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng: a b  a() P 1. b() P    GV: NGUYỄN THANH NHÀN  30  : 0987. 503.911
  32.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 a() Q  a() P 2. ()()QP   a b b()() P a P 3.   a() P  a () Q ()()()P Q a P 4.    a() Q  V. Chứng minh hai mặt phẳng song song: a, b ( P ), a b I   ()()PQ 1. a( Q ). b ( Q )    ()()PR  ()()PQ 2. ()()QR   ()P a  ()()PQ 3. ()Q a   VI. Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng: Giả sử a, b khơng chéo nhau suy ra a và b cùng nằm trong mặt phẳng. Từ các điều kiện đã cho dẫn đến điều trái với giả thiết.  QUAN HỆ VUƠNG GĨC I. Chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc: 1. Sử dụng các phương pháp của Hình học phẳng: Gĩc nột tiếp, định lí Pitago 0 2. a b gĩc giữa 2 đường thẳng a, b bằng 90   3. a b a. b 0 a c  a b 4. b c    GV: NGUYỄN THANH NHÀN  31  : 0987. 503.911
  33.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 a() P  a b 5. b() P   a() P  a b 6. b() P   / 7. Áp dụng định lí 3 đường vuơng gĩc: a là hình chiếu của a lên ()P , / b( P ), a  b b  a II. Chứng minh đường thẳng vuơng gĩc mặt phẳng: a b, a  c b,()() c P a P 1.   b c I  ()()QP ()()()R P a P 2.   ()()Q R a  ()()PQ ()()()P Q b a P 3.   a( Q ), a b   a b  a() P 4. b() P   a() Q  a() P 5. ()()QP   III. Chứng minh hai mặt phẳng vuơng gĩc: a() P  ()()PQ 1. a() Q   a () P b()()() Q P Q 2.   a b  0 3. Chứng minh gĩc giữa (P) và (Q) bằng 90 .   GV: NGUYỄN THANH NHÀN  32  : 0987. 503.911
  34.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 GĨC 1. Gĩc giữa hai đường thẳng a, b: // Từ một điểm O tùy ý dựng a a, b  b (thường chọn O trên a hoặc b) thì / / bằng gĩc giữa hai đường thẳng a và b . 2. Gĩc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P): 0 * Nếu a vuơng gĩc với (P) thì 90 / / * Nếu a khơng vuơng gĩc với (P) thì gĩc giữa a và a ; trong đĩ a là hình chiếu của a lên (P) (Tìm M a () P , trên a lấy điểm A khác M, H là hình chiếu của A lên (P) thì AMH ) 3. Gĩc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q): a () P a) b() Q gĩc giữa hai đường thẳng a, b.  ()()PQ  00 b) ()()PQ  c) Khi ()()P Q d , trong (P) dựng a d , trong (Q) dựng b d thì = gĩc giữa hai đường thẳng a, b. Chú ý: 0 0 * Với là gĩc giữa a và b, a và (P), (P) và (Q) thì 0 90 * Cho hình chĩp S.ABCD cĩ SH là đường cao thì ta cĩ: - SAH là gĩc giữa cạnh bên SA với (ABCD). - M là hình chiếu của S lên AB ta cĩ MH AB nên SMH là gĩc giữa (SAB) và (ABCD).  KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a: H là hình chiếu của O lên đường thẳng a thì d(,) O a OH 2. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P): H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (P) thì d( O ,( P )) OH  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  33  : 0987. 503.911
  35.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 3. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song nhau: a() P  d a,( P ) d O ,( P ) O a 4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P), (Q) song song nhau: ()()PQ  d( P ),( Q ) d O ,( P ) OQ() 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: a) Đường vuơng gĩc chung: của hai đường thẳng a, b là đường thẳng c vuơng gĩc với a, b và cắt a, b tại hai điểm A, B. AB gọi là đoạn vuơng gĩc chung của a, b. d a, b AB . b) Cách dựng: * Dựng (P) chứa b và (P) song song a. / * Dựng a là hình chiếu của a lên (P). / * Dựng B b  a . Qua B dựng c vuơng gĩc với (P), c cắt a tại A. Chú ý: d a, b d a ,( P ) Đặc biệt: Khi a b * Qua b dựng ()P a , dựng A a  () P , trong (P) dựng c qua A và c b , c cắt b tại B.  HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A c b ma C B M a 1. Định lí cơ sin: Trong tam giác ABC bất kì với BC a, CA b, AB c, ta cĩ:  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  34  : 0987. 503.911
  36.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 2 2 2 a b c 2 b . c .cos A 2 2 2 b a c 2 a . c .cos B 2 2 2 c a b 2 a . b .cos C Hệ quả: b2 c 2 a 2 a2 c 2 b 2 a2 b 2 c 2 cos A cosB cosC 2bc ; 2ac ; 2ab @ Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác. m,, m m Cho tam giác ABC cĩ các cạnh BC=a, CA=b, AB=c. Gọi a b c lần lượt là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Ta cĩ: 2(b2 c 2 ) a 2 m2 a 4 2(a2 c 2 ) b 2 m2 b 4 2(a2 b 2 ) c 2 m2 c 4 2. Định lí sin: Trong tam giác ABC bất kì với BC=a, CA=b, AB=c và R là a b c 2R bán kính đường trịn ngoại tiếp, ta cĩ: sinABC sin sin 3. Cơng thức tính diện tích tam giác: 1 1 1 S a h b h c h 2a 2 b 2 c 1 1 1 S absin C bc sin A ca sin B 2 2 2 abc S 4R S pr S p( p a )( p b )( p c ) (Hê – rơng) a b c p với 2  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  35  : 0987. 503.911
  37.  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 4. Các hệ thức lượng trong tam giác vuơng A B C H M * Các hệ thức lượng giác: AC AB sinBC cos cosBC sin BC BC AC AB tanBC cot cotCC tan AB AC * Các hệ thức về cạnh, đường cao, hình chiếu: AB2 AC 2 BC 2 AB. AC BC . AH 2. S (Pi ta go) ABC 1 1 1 AB2 BH. BC AB2 AC 2 AH 2 2 2 AC CH. BC AH HB. HC MA MB MC R   GV: NGUYỄN THANH NHÀN  36  : 0987. 503.911