Tóm tắt lí thuyết Đại số Lớp 8

Nội dung text: Tóm tắt lí thuyết Đại số Lớp 8

1.  Tóm Tắt Lý Thuyết Đại Số 8  CHƯƠNG 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC QUY TẮC  Chúng ta đã biết cách nhân đơn thức với đơn thức, ví dụ: 3x3y2 . 5xy3 15x 4 y5  Ta tiếp tục với phép nhân đơn thức 2x với đa thức 4x 2 3 , như sau: 1. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC  Vậy, phép nhân đơn thức A với đa thức B1 + B2 được minh họa bởi: A(B1 + B2) = A.B1 + A.B2  Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.  Mở rộng: A(B1 + B2 + + Bn) = A.B1 + A.B2 + + A.Bn (B1 + B2 + + Bn)A = B1.A + B2.A + + Bn.A  QUY TẮC  Ta bắt đầu với phép nhân 2x + y với đa thức 2x – y, như sau:  Vậy phép nhân đa thức A1 + A2 với đa thức B1 + B2 được minh họa bởi: (A1 + A2)(B1 + B2) = A1.(B1 + B2) + A2.(B1 + B2) = A1.B1 + A1.B2 + A2.B1 + A2.B2  Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi các tích với nhau (tại đây thông thường cần thực hiện phép rút gọn). 2. NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA  NHÂN HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP THỨC  Để minh họa quy tắc “Nhân hai đa thức một biến đã sắp xếp”, chúng ta hãy bắt đầu với phép nhân đa thức P = x2 – 3x + 2 với Q = 2x + 3.  Vậy ta được: P.Q = (x2 – 3x + 2)(2x + 3) = 2x3 – 3x2 – 5x + 6.  Muốn nhân hai đa thức một biến đã sắp xếp, ta trình bày như sau:  Đa thức nọ viết dưới đa thức kia.  Kết quả của phép nhân mỗi số hạng của đa thức thứ hai với đa thức thứ nhất được viết riêng trong một dòng.  Các đơn thức đồng dạng được xếp vào cùng một cột.  Cộng theo từng cột. 3. NHỮNG HẰNG ĐẲNG  Chúng ta bắt đầu với yêu cầu thực hiện phép tính: THỨC ĐÁNG NHỚ Page 1 of 15
2.  Tóm Tắt Lý Thuyết Đại Số 8   Như vậy ở cả hai lần chúng ta đều thực hiện phép tính có dạng: (A – B)(A + B) và kết quả thu được đều A2 – B2, từ đó nảy sinh câu hỏi: “Tại sao không ghi nhận đẳng thức (A – B)(A + B) = A2 – B2 để việc tính toán đơn giản hơn?”  Cụ thể, ta sẽ có ngay: (x – 2)(x + 2) = x2 – 22 = x2 – 4 (2x2 – x)(2x2 + x) = (2x2)2 – x2 = 4x4 – x2  7 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ  Bình phương của một tổng: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2  Bình phương của một hiệu: (A – B)2 = A2 – 2AB + B2  Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A – B)(A + B)  Lập phương của một tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3  Lập phương của một hiệu: (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3  Tổng hai lập phương: A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)  Hiệu hai lập phương: A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)  Việc biến đổi: 2x 2 16x 2x.x 8.2x 2x x 8 (1) x 2 y2 x y x y (2) xy 2x 3y 6 x y 2 3 y 2 y 2 x 3 (3) được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử.  Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thành thừa số) là phép biến đổi đa thức cho trước thành tích những đơn thức hoặc đa thức. Kí hiệu: A A1.A2 An (4)  Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt 4. PHÂN TÍCH ĐA THỨC nhân tử chung – Minh họa bởi (1). THÀNH TÍCH  Phương pháp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức – Minh họa bởi (2).  Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử - Minh họa bởi (3).  Phương pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.  Phương pháp 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử thích hợp.  Phương pháp 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.  MỞ ĐẦU  Trước tiên chúng ta cần biết: 5. CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN “Với hai đa thức A và B 0, ta nói rằng A chia hết cho B nếu tìm được THỨC một đa thức C sao cho A = B.C”  Trong đó, A được gọi là đa thức bị chia, B được gọi là đa thức chia và Q được gọi là đa thức thương, kí hiệu: Page 2 of 15
3.  Tóm Tắt Lý Thuyết Đại Số 8  A Q A : B hoặc Q B  Ở đây, chúng ta sẽ sử dụng kết quả đã biết trong chương trình lớp 7 là: x m : x n x m n , x 0, m,n N,m n  Dễ thấy kết quả trên sẽ được mở rộng tự nhiên cho đa thức A như sau: Am : An Am n , A 0, m,n N, m n  CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC  Ta bắt đầu với phép chia đơn thức 15x3y2 cho đơn thức 3xy2 như sau:  Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta thực hiện như sau:  Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.  Chia mỗi lũy thừa trong A cho lũy thừa của cùng một biến trong B.  Nhân các kết quả tìm được với nhau.  Ta bắt đầu với phép tính chia đa thức 3x 3 + 15x2y – 9xy3 cho đơn thức 3x, như sau: 6. CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC  Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của A chia hết cho B) ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.  PHÉP CHIA HẾT  Để minh họa quy tắc “Chia hai đa thức một biến đã sắp xếp”, chúng ta sử dụng mẫu:  Bắt đầu với phép chia đa thức P = 3x 2 – 5x – 2 cho đa thức Q = 3x + 1, ta thực hiện theo thứ tự các bước 1, 2, 3, 4, 5, 6 như sau: 7. PHÉP CHIA HẾT  Nhận thấy, số dư cuối cùng bằng 0, do đó đây là phép chia hết và ta được: (3x2 – 5x – 2) : (3x + 1) = x – 2.  Muốn chia đa thức A cho đa thức B (trường hợp A và B là các đa thức Page 3 of 15
4.  Tóm Tắt Lý Thuyết Đại Số 8  một biến đã được sắp xếp) ta thực hiện như sau: Bước 1: Đặt phép chia. Bước 2: Chia hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia, giả sử nhận được thương là C1. Bước 3: Lấy C 1 nhân với đa thức chia, kết quả nhận được viết dưới đa thức bị chia. Thực hiện phép trừ hai đa thức này để nhận được số dư. Bước 4: Đặt vai trò số dư là số bị chia, ta quay trở lại bước 2 cho tới khi nhận được số dư có bậc nhỏ hơn số chia.  PHÉP CHIA CÓ DƯ  Trong trường hợp số dư nhận được là một đa thức khác 0 có bậc nhỏ hơn đa thức chia, ta khẳng định phép chia đó là phép chia có dư.  Chú ý: Người ta chứng minh được rằng, đối với hai đa thức của cùng một biến tùy ý A và B, B 0, tồn tại hai đa thức duy nhất Q và R sao cho: A = B.Q + R, với R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B  Với R = 0, ta nói A chia hết cho B.  Với R 0, ta nói A không chia hết cho B (phép chia có dư). https : //giaidethi24h.net Page 4 of 15