Tổng hợp 11 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Đồng Tháp (Kèm đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp 11 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Đồng Tháp (Kèm đáp án)

1. Tổng hợp 11 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Đồng Tháp (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn So với điều kiện ta có = 3 là giá trị cần tìm. 0,25 Câu 3. (1,0 điểm) Nội dung Điểm Một tờ giấy hình tam giác vuông tại có = 8 cm, = 6 cm. Ở góc , người ta cắt ra một hình vuông 푃( ∈ ,푃 ∈ ) có cạnh bằng 2 cm 1,0 (tham khảo hình bên). Tính khoảng cách từ đến . = 2 + 2 = 10 cm 0,25 Gọi là hình chiếu vuông góc của trên cạnh . 1 1 0,25 Ta có 2 2 푆 = 2 . = 24 (cm ) 푆 = 2 푃. = 8 (cm ) 1 푆 = . = 6( cm2) 2 0,25 2 Suy ra 푆 = 푆 ― 푆 ― 푆 = 10 (cm ) 2푆 = = 2 cm 0,25 Câu 4. (3,0 điểm) Nội dung Điểm Cho tam giác nhọn ( < ) có các đường cao , , 퐹 cắt nhau tai . Gọi là giao điểm của 퐹 và , kẻ 퐽 song song với 1,0 (퐽 ∈ ). Đường thẳng 퐽 cắt tại . a) Chứng minh rằng tứ giác 퐽 nội tiếp đường tròn. DeThi.edu.vn
2. Tổng hợp 11 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Đồng Tháp (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Vi 퐽// nên 퐽 ⊥ . 0,25 Ta có 푈 = 90∘ 0,25 퐽 = 90∘ 0,25 Suy ra 푈 + 퐽 = 180∘. Vậy tứ giác 퐽 nội tiếp đường tròn. 0,25 b) Chứng minh rằng là trung điểm . 1,0 Tứ giác 퐹 có 퐹 = = 90∘, suy ra 퐹 nội tiếp đường tròn. 0,25 ⇒퐹 = 퐹 (cùng chắn cung 퐹 ) (1) Tứ giác 퐽 nội tiếp đường tròn, suy ra 퐽 = 퐽 (cùng chắn cung 퐽 ) (2) 0,25 Từ (1) và (2) ⇒퐹 = 퐽⇒ là đường phân giác góc . 0,25 Mà là đường cao tam giác 0,25 ⇒ △ cân tại ⇒ là trung điểm c) Gọi 퐿 là giao điểm của hai đường thẳng 퐹 và . Chứng minh rằng 1,0 퐹퐿 = . Tứ giác 퐹 nội tiếp đường tròn nên 퐹 = 퐹 Mà 퐹 = ⇒ = 0,25 ⇒ nội tiếp đường tròn ⇒ = (3) △ cân tại nên = 0,25 Tứ giác 퐹 nội tiếp đường tròn nên 퐹 = (4) ⇒퐿퐹 nội tiếp đường tròn. 0,25 ⇒퐹퐿 = (góc ngoài của tứ giác nội tiếp) Từ (3), (4) ⇒ FLB = CAM 0,25 Câu 5. (1,0 điểm) Nội dung Điểm Phiên chợ hè Lotus sử dụng hai loại thẻ: loại thẻ giá 3000 đồng và loại thẻ giá 1,0 4000 đồng. Vào dịp nghỉ hè, bạn An muốn dùng hết số tiền tiết kiệm của mình DeThi.edu.vn
3. Tổng hợp 11 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Đồng Tháp (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn để mua thẻ loại giá 3000 đồng và thẻ loại giá 4000 đồng. Tìm số cách mua có đủ cả hai loại thẻ nếu tiền tiết kiệm của bạn An là 2023000 đồng. Ta có phương trình 3000 +4000 = 2023000⇔3 +4 = 2023 0,25 2023 3 2019 Suy ra 0,25 = 4 ≥ 1⇒1 ≤ ≤ 3 = 673 2023 3 2024 4 1 1 Mặt khác ta có = = = 506 ― + 4 4 4 0,25 Để nguyên thì ―1 chia hết cho 4, suy ra = 1 + 4 , ∈ ￿. Kéo theo = 505 ― 3 . Do đó 1 ≤ 1 + 4 ≤ 673⇔0 ≤ ≤ 168. 0,25 Vậy có 169 cặp ( , ). DeThi.edu.vn
4. Tổng hợp 11 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Đồng Tháp (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐỒNG THÁP NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: Toán (Chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. 4a 1 a 1 a) Rút gọn biểu thức P = ― a ⋅ với a > 0;a ≠ 1 a 1 a a a2 b) Cho hàm số y = (m ― 3)x2 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến khi x < 0. Bài 2. Tại một tổ bầu cử Đại biểu Quốc hội khóa XV và Hội đồng Nhân dân các cấp nhiệm kì 2021 2026. Tổ bầu cử mời cử tri tham dự lễ khai mạc và chuẩn bị ghế ngồi cho họ. Ghế được sắp xếp thành các hàng, giữ khoảng cách đảm bảo phòng chống dịch bệnh, mỗi cử tri ngồi một ghế. Nếu cử tri được mời dự đầy đủ thì khi xếp mỗi hàng 7 ghế sẽ thiếu 2 ghế, khi xếp mỗi hàng 8 ghế sẽ có 2 ghế trống. Tính số xử trị mà tổ bầu cử đã mời dự lễ khai mạc. (Mỗi cử tri là một công dân có đủ quyền bầu cử theo quy định của pháp luật) Bài 3. a) Giải phương trình ( 2 ― 2 )2 ―2( ―1)2 ―1 = 0 b) Cho phương trình x2 +2( m ― 2)x + m2 ―4 m = 0 ( m là tham số). Tìm m để phương 3 3 trình có hai nghiệm phân biệt ; thỏa mãn + = + 1 2 1 2 2 1 Bài 4. a) Giải phương trình nghiệm nguyên 16 4 + 2 = 4 ( + ) ― 1 b) Ông An có một mảnh đất hình thang vuông với đáy lớn là 16 m , đáy bé là 9 m và hai đường chéo vuông góc với nhau. Ông dự định xây dựng một công trình trên toàn bộ diện tích của mảnh đất đó. Biết rằng đơn giá xây dựng là 4 triệu đồng trên mỗi mét vuông. Tính chi phí xây dựng công trình. Bài 5. 1) Từ một tấm tôn hình quạt OAB có OA = 2dm, AOB = 120∘, người ta xác định hai điểm M,N lần lượt là trung điểm của OA,OB rồi cắt tấm tôn theo hình chữ nhật MNPQ cuộn lại tạo thành mặt xung quanh của một hình trụ sao cho MQ,NP trùng khít nhau. Tính thể tích hình trụ tạo thành. 2) Cho đường tròn (O;r), trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M sao cho AM = r, kẻ cát tuyến MBC của đường tròn (O) (B nằm giữa M và C ) sao cho AMB = 훼 với 45∘ < 훼 < 90∘. Gọi I là trung điểm của BC. DeThi.edu.vn
5. Tổng hợp 11 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Đồng Tháp (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn a) Chứng minh rằng tứ giác OAMI nội tiếp b) Tính diện tích tam giác ABC theo r, α ---------HẾT--------- DeThi.edu.vn
6. Tổng hợp 11 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Đồng Tháp (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài 1: 4 1 1 a) Rút gọn biểu thức 푃 = ― ⋅ với > 0; ≠ 1 1 2 1. Phân tích mẫu thức của ngoặc đầu tiên: ― = ( ―1). 2. Quy đồng mẫu thức trong ngoặc: 4 + 1 4 + 1 1 4 + 1 ― 1 4 ― = ― = = ― 1 ( ― 1) ― 1 ― 1 ― 1 ― 1 3. Nhân với biểu thức bên ngoài: 4 ― 1 4 4 푃 = ⋅ = = ― 1 2 2 a b) Tìm nguyên dương để hàm số = ( ―3) 2 đổng biến khi < 0 Hàm số bậc hai = 2 đồng biến khi < 0 nếu hệ số âm ( < 0 ). 1. Điều kiện: ―3 < 0⇔ < 3. 2. Vì là số nguyên dương nên ∈ {1,2}. Vậy = 1 hoặc = 2. Bài 2: Gọi số cử tri được mời là (người, ∈ ℕ∗) và số hàng ghế là (hàng, ∈ ℕ∗ ). - Trường hợp 1: Xếp mỗi hàng 7 ghế thì thiếu 2 ghế. Tổng số ghế là 7 . Vi thiếu 2 ghế mới đủ cho người nên: = 7 ―2 (1) - Trường hợp 2: Xếp mỗi hàng 8 ghế thì thừa 2 ghế trống. Tổng số ghế là 8 . Vì thừa 2 ghế nên số người ngồi thực tế là: = 8 ―2 (2) Giải hệ pt: 7 + 2 = 8 ― 2⇔ = 4. Thay = 4 vào = 7(4) + 2 = 30. Vậy số cử tri được mời là 30 người. Bài 3: a) Giài phương trình ( 2 ― 2 )2 ―2( ―1)2 ―1 = 0 Khai triển ( ―1)2 = 2 ―2 +1. Đặt 푡 = 2 ―2 . Phương trình trở thành: 푡2 ― 2(푡 + 1) ― 1 = 0⇔푡2 ― 2푡 ― 3 = 0 Phương trình này có dạng ― + = 0(1 ― ( ― 2) + ( ― 3) = 0 ), nên nghiệm là 푡 = ―1 và 푡 = 3. + Với 푡 = ―1 : 2 ―2 = ―1⇔ 2 ―2 +1 = 0⇔( ―1)2 = 0⇔x = 1. + Với 푡 = 3: 2 ―2 = 3⇔ 2 ―2 ―3 = 0. Tương tự, nghiệm là x = ―1 và x = 3. DeThi.edu.vn
7. Tổng hợp 11 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Đồng Tháp (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Vậy tập nghiệm là 푆 = {1; ― 1;3}. 3 b) Tìm để phương trình 2 +2( ―2) + 2 ―4 = 0 có 2 nghiệm thỏa mãn + = 1 2 3 + 2 1 1. Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt: Δ′ = ( ―2)2 ― ( 2 ― 4 ) = 2 ―4 +4 ― 2 +4 = 4 > 0. Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi . 2 2. Hệ thức Vi-ét: 1 + 2 = ―2( ―2) và 1 2 = ―4 . 2 Điểu kiện để tồn tại phân thức: 1 2 ≠ 0⇔ ―4 ≠ 0⇔ ≠ 0 và ≠ 4. 3. Biến đổi biểu thức: 3 3 ― = 1 ― 2 1 2 2 ― 1 ⇔3 = 1 ― 2 1 2 ―3( 1 ― 2) ⇔ = 1 ― 2 1 2 Vì 1 ≠ 2 (do Δ > 0 ), ta chia cả hai vế cho ( 1 ― 2 ): ―3 = 1⇔ 1 2 = ―3 1 2 4. Thay Vi-ét vào: 2 ―4 = ―3⇔ 2 ―4 +3 = 0. Nghiệm là = 1 hoặc = 3 (đểu thỏa mãn điều kiện ≠ 0,4). Bài 4: a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 16 4 + 2 = 4 ( + ) ― 1 Biến đổi phương trình về dạng tổng các bình phương: 16 4 + 2 = 4 2 + 4 ― 1 16 4 ― 4 2 + 1 + 2 ― 4 = 0 (16 4 ― 8 2 + 1) + 4 2 ― 4 + 2 = 0 (4 2 ― 1)2 + (2 ― )2 = 0 Vì (4 2 ― 1)2 ≥ 0 và (2 ― )2 ≥ 0 với mọi , , nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: (4 2 ― 1)2 = 0 4 2 = 1 2 = 1/4 (2 ― )2 = 0 ⇔ = 2 ⇔ = 2 Vì là số nguyên nên 2 phải là số chính phương. Tuy nhiên, 2 = 1/4 không có nghiệm nguyên . Kết luận: Phương trình vô nghiệm nguyên. b) Tinh chi phi xây dựng mảnh đất hình thang vuông DeThi.edu.vn
8. Tổng hợp 11 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Đồng Tháp (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Gọi hình thang vuông là (vuông tại và ), đáy nhỏ = 9 m, đáy lớn = 16 m. Gọi ℎ là chiều cao . Trong hình thang vuông có hai đường chéo vuông góc, ta có hệ thức: ℎ2 = . . ℎ2 = 9.16 = 144⇒ℎ = 144 = 12 m. Diện tích mảnh đất là: ( + ).ℎ (9 + 16).12 푆 = = = 25.6 = 150 m2. 2 2 Chi phí xây dựng: Chi phí = 150 m2 × 4.000.000 đồng /m2 = 600.000.000 đồng (600 triệu). Bài 5: Hình vẽ (HS tự vẽ) 1. - Hình quạt có bán kính 푅 = = 2dm, góc = 120∘. - M, N là trung điểm , ⇒ = = 1 dm. Tam giác cân tại có góc 120∘ + Độ dài đoạn (chiều rộng hình chữ nhật 푃푄): Dùng định lý hàm số cos: 2 = 12 + 12 ―2.1.1.cos (120∘) = 3⇒ = 3dm. + Hình chữ nhật 푃푄 có chiều dài 푄 được cuộn lại thành hình trụ. Trong hình quạt, 푄 là khoảng cách từ đến cung theo phương thẳng đứng (tương ứng chiều cao của hình chữ nhật). Tuy nhiên, để bài nói 푄, 푃 trùng khít nhau, nghĩa là 푄 là chiều cao trụ, trở thành chu vi đáy. - Chu vi đáy 3 3 3. = = ⇒2 = ⇒ = 2 - Chiều cao trụ ℎ = 푄. Từ tâm đến dây có khoảng cách = 1.cos (60∘) = 0,5. - Chiều cao 푄 = 푅 ― = 2 ― 0,5 = 1,5 dm. 2 3 4,5 9 - Thể tích = 2ℎ = 3 .1,5 = . .1,5 = = dm3. 2 4 2 4 8 2. a) Chứng minh tứ giác nội tiếp: - là tiếp tuyến tại ⇒ = 90∘. - I là trung điểm của dây cung ⇒ ⊥ tại (tính chất đường kính và dây cung) ⇒ = 90∘. - Tứ giác có + = 90∘ + 90∘ = 180∘. Kết luận: Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính . b) Tính diện tích tam giác theo ,훼 : + Trong △ vuông tại : = 2 + 2 = 2 + 2 = 2. + Trong △ vuông tại : = .cos 훼 = .cos 훼. DeThi.edu.vn
9. Tổng hợp 11 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Đồng Tháp (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn = .sin 훼 = .sin 훼. Trong △ vuông tại : = 2 ― 2 = 2 2 ― 2cos2 훼 = 2 ― cos2 훼. Trong △ vuông tại : = 2 ― 2 = 2 ― (2 2 ― 2cos2 훼) = cos2 훼 ― 1. DeThi.edu.vn
10. Tổng hợp 11 Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Đồng Tháp (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 4 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐỒNG THÁP NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: Toán (Chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2,0 điểm) 1 1 Cho biểu thức = 3 1 ― : 1 1 1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 2. Tìm tất cả các giá trị của thỏa 2A – x = 3. Câu 2. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình 4 ―2 2 ―3 = 0. + + 1 = 2 + 2 ― 1 2. Giải hệ phương trình 2 + 2 = 34 Câu 3. ( 2,0 điểm) 1. Cho parabol (푃): = 2( ≠ 0). Tính giá trị của biết rằng (푃) đi qua điểm ( ― 2;12) . 2. Tính số đo góc tạo bởi đường thẳng ( ): = +8 với trục hoành . Câu 4. (1,0 điểm) Bốn nửa hình tròn có bán kính bằng 2 cm tiếp xúc ngoài với nhau, được đặt trong một hình vuông như hình vẽ. Tính diện tích hình vuông. Câu 5. (3,0 điểm) Cho BC là một dây cung của đường tròn ( ;푅)( ≠ 2푅). Điểm di động trên cung lớn BC sao cho tâm O luôn nằm trong △ABC. Các đường cao , , 퐹 của △ABC đồng quy tại H. 1. Chứng minh △AEF đồng dạng với △ABC. 2. Gọi A', A1 lần lượt là trung điểm của BC, EF. Chứng minh rằng AH = 20 A' và R.AA1 = AA'.OA'. 3. Chứng minh R.(EF + FD + DE) = 2S△ABC, từ đó suy ra vị trí của điểm A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhất. ---------HẾT--------- ĐÁP ÁN DeThi.edu.vn