Tổng hợp 25 Đề thi vào 10 chuyên Toán các tỉnh 2025-2026 (Kèm đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp 25 Đề thi vào 10 chuyên Toán các tỉnh 2025-2026 (Kèm đáp án)

1. Tổng hợp 25 Đề thi vào 10 chuyên Toán các tỉnh 2025-2026 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Ta có BEK∽ FCL, suy ra BK EK x2 BK.CL EK.FL x.x x2 CL FL CL BK Gọi G là giao điểm của EK và PU suy ra G là trực tâm của tam giác BEP suy ra B,G,M thẳng hàng. BP BU BG BK CQ CL Ta có . Tương tự ta có BC BA BF BL BC CK BP CQ BK CL suy ra . 0,25 BC BC BL CK x2 BK CL BK CL BK BK x Lại có BK 1 BL CK BK x CL x BK x x2 BK x x BK x BK BP CQ Suy ra 1 BP CQ BC . Vậy P và Q trùng nhau, hay EM và BC BC 0,25 FN cắt nhau tại một điểm thuộc đường thẳng BC. Câu 5 a b c Ta có: a2 b2 c2 2025abc suy ra 2025 bc ca ab Áp dung bất đẳng thức AM GM ta có: a b a b 2 2  bc ca bc ca c b c b c 2 2  0,25 ca ab ca ab a a c a c 2 2  bc ab bc ab b Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên, ta có: a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2025 bc ca ab a b c a b c Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 3a 2 2b2 c2 2 a 2 b2 a 2 c2 4ab 2ac 0,25 a a 1 1 . 3a 2 2b2 c2 4ab 2ac 2 2b c Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 2 1 1 1 1 0,25 2b c b b c 9 b c b b c DeThi.edu.vn
2. Tổng hợp 25 Đề thi vào 10 chuyên Toán các tỉnh 2025-2026 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 1 9 1 1 1 2 1 . b b c b b c 2 2b c 18 b c Chứng minh tương tự, ta có: b 1 2 1 2 2 2 ; 3b 2c a 18 c a c 1 2 1 2 2 2 3c 2a b 18 a b 1 1 1 1 1 675 Suy ra T . .2025 T . 6 a b c 6 2 0,25 675 1 Vậy giá trị lớn nhất của T là , dấu " " xảy ra khi a b c . 2 675 Lưu ý khi chấm bài: - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp lôgic. Nếu học sinh trình bày cách làm đúng khác thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng. - Với Câu 3, nếu học sinh không vẽ hình tương ứng yêu cầu từng phần thì không chấm điểm phần đó. - Điểm toàn bài không được làm tròn. DeThi.edu.vn
3. Tổng hợp 25 Đề thi vào 10 chuyên Toán các tỉnh 2025-2026 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 2 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC: 2025-2026 BẮC KẠN MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài:150 phút, không kể thời gian giao đề. 1 1 x 2 Câu 1 (1,0 điểm). Cho biểu thức A  với x 0, x 4. x 2 x 2 x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các số nguyên x để A nhận giá trị nguyên. Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình x2 12 5 3x x2 5. x2 1 2x 2 y b) Giải hệ phương trình y2 1 2y . x2 Câu 3 (2,0 điểm). Cho phương trình x2 6x m2 6m 0 (1) (m là tham số). a) Tìm các giá trị m nguyên để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện x1x2 5. 2 b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 8x1 x2 . Câu 4 (1,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2 xy 3x 2y2 3y 3 0 . Câu 5 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông ở A (AB < AC). Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi S là giao điểm của AI và DE. a) Chứng minh IECD là tứ giác nội tiếp. b) Gọi K, O lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh K, O, S thẳng hàng. c) Gọi M là giao điểm của KI và AC. Đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác ABC cắt đường thẳng DE tại N. Chứng minh H· NM E· MN. Câu 6 (1,0 điểm). x2 y2 1 5 Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y < 1. Chứng minh x y . 1 x 1 y x y 2 ------------------------------- Hết ------------------------------- DeThi.edu.vn
4. Tổng hợp 25 Đề thi vào 10 chuyên Toán các tỉnh 2025-2026 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN CHẤM I. Hướng dẫn chung 1. Giám khảo cần nắm vững yêu cầu chấm để đánh giá tổng quát bài làm của thí sinh, tránh cách chấm đếm ý cho điểm một cách máy móc, linh hoạt trong việc vận dụng Đáp án và thang điểm. 2. Cần khuyến khích những bài làm có tính sáng tạo, nội dung bài viết có thể không trùng với yêu cầu trong đáp án nhưng lập luận thuyết phục, . 3. Việc chi tiết hóa điểm số của các ý (nếu có) phải đảm bảo không sai lệch với tổng điểm của mỗi phần và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi. 4. Bài thi được chấm theo thang điểm 10; lấy đến 0,25; không làm tròn điểm. II. Đáp án và thang điểm Câu Nội dung Điểm a) Với x 0, x 4 ta có: x 2 x 2 x 2 A  0,25 x 2 x 2 x 2 0,25 x 2 2 1 b) Để A ¢ ¢ (1,0đ) x 2 x 2 2 x 0 L 0,25 x 2 x 2 1 x 1 Tức là là ước của 2 x 2 1 x 9 x 16 x 2 2 Vậy x 1;9;16 thì A ¢ 0,25 a) PT x2 12 x2 5 3x 5 0,25 5 Ta có: x2 12 x2 5 0 3x 5 0 x 3 PT x2 12 4 3 x2 5 3x 6 x2 4 4 x2 3 x 2 0 0,25 2 x2 12 4 3 x2 5 (2,0đ) x 2 x 2 x 2 3 0 x2 12 4 3 x2 5 1 1 Tacó : 4 x2 12 3 x2 5 4 x2 12 3 x2 5 DeThi.edu.vn
5. Tổng hợp 25 Đề thi vào 10 chuyên Toán các tỉnh 2025-2026 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn x 2 x 2 5 0,25 vì x 4 x2 12 3 x2 5 3 x 2 x 2 0 4 x2 12 3 x2 5 x 2 x 2 3 0 2 2 4 x 12 3 x 5 0,25 Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm x = 2 b) Điều kiện: x, y 0 . 2xy2 x2 1 Hệ PT 2 2 0,25 2x y y 1 x y 0,25 Trừ vế với vế ta có: x y 2xy x y 0 2xy x y 0 TH1: 2xy x y 0 vô nghiệm vì x2 1 0,25 2x 2 0 y x 0, y 0 2xy x y 0 y2 1 2y 0 x2 TH2: x = y, thế vào một phương trình trong hệ, ta có: 2x3 x2 1 0 x 1 2x2 x 1 0 x 1 Vậy hệ có duy nhất một nghiệm là: (1; 1) 0,25 a) ' m 3 2 0,25 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ' 0 m 3 2 0,25 x1x2 5 m 6m 5 m 1 m 5 0 0,25 m 2;4 là các giá trị cần tìm. 0,25 b) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi m 3 0,25 3 x1 x2 6 (2) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: (2,0đ) 2 x1x2 6m m (3) Ta lại có: 0,25 2 x1 8x1 x2 (4) Cộng theo vế của (2) và (4) ta được: 2 2 x1 1 x1 7x1 6 x1 7x1 6 0 x1 6 x1 1 2 m 1 Với m 6m 7 0 0,25 x2 7 m 7 DeThi.edu.vn
6. Tổng hợp 25 Đề thi vào 10 chuyên Toán các tỉnh 2025-2026 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn x1 6 2 m 12 0,25 Với m 6m 72 0 x2 12 m 6 Vậy m 6; 1;7;12 là các giá trị cần tìm. PT x2 y 3 x 2y2 3y 2 5 0,25 Xét phương trình bậc hai: x2 y 3 x 2y2 3y 2 0 0,25 3y 1 2 x 2y 1, x y 2 x2 y 3 x 2y2 3y 2 x 2y 1 x y 2 0,25 Vậy pt đã cho x 2y 1 x y 2 5 2 4 x x 2y 1 1 x 2 x 2y 1 5 3 (1,0đ) TH1: TH2: (loại) x y 2 5 y 1 x y 2 1 5 y 3 16 x x 2y 1 5 x 4 x 2y 1 1 3 0,25 TH3: TH4: (loại) x y 2 1 y 1 x y 2 5 5 y 3 Vậy có 2 cặp số nguyên (x; y) cần tìm là: 2; 1 , 4; 1 . a) 0,5 5 (3,0đ) 0,5 Ta có I·EC I·DC 90o I·EC I·DC 180o tứ giác IECD nội tiếp. 180o E· CD E· CD 1,0 b) Ta có: ·AES 180o D· EC 180o 90o 2 2 C· AB ·ABC E· CD Mặt khác: ·AIB 180o I·AB I·BA 180o 90o 2 2 Suy ra ·AES ·AIB. Xét tam giác IAB và tam giác EAS có I·AB S· AE 45o và ·AES ·AIB. DeThi.edu.vn
7. Tổng hợp 25 Đề thi vào 10 chuyên Toán các tỉnh 2025-2026 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn IA EA IAB ∽ EAS AB AS Mà I·AB S· AE IAE ∽ BAS . Vì tam giác IAE vuông cân tại E nên tam giác ABS vuông cân tại S, suy ra S nằm trên đường trung trực của AB suy ra K, O, S thẳng hàng. ID SI 1,0 c) Vì ID//AN AN SA IK SI KS//AM KM SA IK FI ID FI IF //AM mà ID FI AM AN KM AM AN AM Suy ra tam giác AMN cân Vậy: H· NM E· MN. Điều phải chứng minh. x2 1 y2 1 Ta có: x 1, y 1 1 x 1 x 1 y 1 y 1 1 1 5 1 1 1 9 0,25 BĐT trở thành: 2 1 x 1 y x y 2 1 x 1 y x y 2 1 1 1 Chứng minh BĐT: a b c 9 với a, b, c 0 a b c 0,25 1 1 1 1 Áp dụng BĐT AM-GM ta có: a b c 33 abc, 33 6 a b c abc (1,0đ) 1 1 1 a b c a b c 9. Dấu bằng xảy ra khi a b c 1 1 1 1 x 1 y x y 9 0,25 1 x 1 y x y Áp dụng BĐT vừa CM ta có: 1 1 1 9 1 x 1 y x y 2 1 Dấu bằng xảy ra khi 1 x 1 y x y x y 3 0,25 DeThi.edu.vn
8. Tổng hợp 25 Đề thi vào 10 chuyên Toán các tỉnh 2025-2026 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC: 2025-2026 BẠC LIÊU MÔN THI: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức = 8 + 2 15 + 7 ― 4 3 ― 5. b) Cho x, y, z dương thỏa xyz = 1 Tính giá trị của biểu thức 푃 = + + . 1 1 1 Câu 2. (2,0 điểm) 2 + ( ― 1)( + 1) = 2 2 ― 1 a) Giải hệ phương trình: 2 + 2 ― 10 = 0 b) Cho a, b, c dương thỏa abc(a + b +c) = 1 6 6 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . 푆 = 4 3 4 + 4 3 4 + 4 3 4 Câu 3. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BE, CF cắt nhau tại H, AH cắt BC tại D. Gọi M là trung điểm của HC, N là trung điểm của AC, AM cắt HN tại G. Đường thẳng qua M vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt nhau tại K. a) Chứng minh tứ giác AFDC nội tiếp. 2 2 2 3 ⋅ ⋅ b) Tính giá trị của biểu thức 2 3 . = 2 2 퐾2 3 2 + 4 ⋅ 퐾⋅ c) Giả sử tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), AO cắt BC tại P, BO cắt AC tại Q, CO cắt AB tại T. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = AP + BQ + CT theo R. Câu 4. (2,0 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình x(x – y – 1) + y(y – 1) = 3 Câu 5. (2,0 điểm) a) Một hộp đựng 15 chiếc thẻ có kích thước như nhau, trong đó có 6 thẻ màu xanh đánh số từ 1 đến 6; 5 thẻ màu đỏ đánh số từ 1 đến 5; 4 thẻ màu vàng đánh số từ 1 đến 4. Chọn ngẫu nhiên hai thẻ từ hộp. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn được hai thẻ vừa khác màu vừa khác số. b) Một công ty phân bón cần sản xuất ra một loại phân bón chứa 30% potassium. Họ có hai loại nguyên liệu: Loại A chứa 24% potassium và loại B chứa 40% potassium. Tính khối lượng của mỗi loại nguyên liệu cần sử dụng để được hỗn hợp 500 kg chứa 30% potassium. ---HẾT--- DeThi.edu.vn
9. Tổng hợp 25 Đề thi vào 10 chuyên Toán các tỉnh 2025-2026 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm) a) = 8 + 2 15 + 7 ― 4 3 ― 5 = ( 5 + 3)2 + (2 ― 3)2 ― 5 = ( 5 + 3) + (2 ― 3) ― 5 = 2. Vậy A = 2 b) Với x, y, z dương thoả mãn xyz = 1. Ta có: ⋅ x ⋅ 푃 = + + ( + + 1) x( + + 1) x + + 1 = + + + + ( ) ⋅ + + x + + 1 1 = + + 1 + + + 1 + x + + 1 + + 1 = = 1⇒푃 = 1 1 + + Câu 2 (2,0 điểm) 2 + ― 2 2 + ― = 0 (1) a) Hệ phương trình đã cho trở thành: 2 + 2 = 10 (2) Biến đổi (1) => (x – y)(x + 2y + 1) = 0 => x – y = 0 hoặc x + 2y + 1 = 0 1) với x – y = 0 => x = y thay vào (2) ta được 2 2 = 10⇒ =± 5 Khi đó, tương ứng: =± 5 2) Với x + 2y + 1 = 0 => x = -1 – 2y thay vào (2) ta được: ( ― 1 ― 2 )2 + 2 = 10⇒5 2 +4 ―9 = 0 9 Giải phương trình này ta được: = 1; = 5 Với y = 1 => x = -1 – 2.1 = -3 9 13 Với = ⇒ = ―1 ― 2 ⋅ 9 = 5 5 5 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là: 13 ―9 ( 5; 5),( ― 5; ― 5),( ― 3;1), ; 5 5 6 2 4 b) Với các số dương a, b, c ta có: 2 3 (1) 4 3 4 ― = 4 3 4 Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có: 4 +3 4 ≥ 44 4 ⋅ ( 4)3 = 4 3 2 4 2 4 3 3 3 (2) ⇒ 4 3 4 ≥ 4 3 = 4 6 3 6 3 Từ (1), (2) ta có: 2 2 (3) 4 3 4 ― ≥ 4 ⇒ 4 3 4 ≥ ― 4 6 3 6 3 Chứng minh tương tự, ta có: 2 (4) và 2 (5) 4 3 4 ≥ ― 4 4 3 4 ≥ ― 4 DeThi.edu.vn
10. Tổng hợp 25 Đề thi vào 10 chuyên Toán các tỉnh 2025-2026 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Từ (3), (4), (5) ta có: 6 6 6 3 푆 = + + ≥ ( 2 + 2 + 2) ― ( + + ) 4 + 3 4 4 + 3 4 4 + 3 4 4 Mà ( ― )2 + ( ― )2 + ( ― )2 ≥ 0 ⇒ 2 + 2 + 2 ≥ + + cũng có ( + + )2 ≥ 3( + + ) 6 6 6 1 Do đó (*) 4 3 4 + 4 3 4 + 4 3 4 ≥ 4( + + ) Từ giả thiết: abc(a + b + c) = 1 1 ⇒1 = ⋅ + ⋅ + ⋅ ≤ ( + + )2 3 ⇒ + + ≥ 3 (**) 6 6 6 Từ (*) và (**) ta được: + + ≥ 3 4 3 4 4 3 4 4 3 4 4 Vậy 푆 ≥ 3⇒Min푆 = 3; 4 4 ( + + ) = 1 1 Đạt khi ⇒ = = = = = 4 3 Chú ý: Nếu không muốn dùng bất đẳng thức AM - GM cho bốn số, ta có thể trình bày bài toán dưới dạng sử dụng bổ đề. Như sau: Bổ đề: "Chứng minh rằng với a, b, c là các số dương ta có: 6 3 ≥ 2 ― ′′. 4 + 3 4 4 Thật vậy, ta có: 4 6 ≥ (4 2 ― 3 )( 4 + 3 2) ⇒3 ( 4 ― 4 3 + 3 4) ≥ 0 ⇒3 ( ― )2( 2 + 2 + 3 2) ≥ 0 (luôn đúng với mọi a, b > 0) Câu 3 (2,0 điểm) a) Do CF, AD là các đường cao của △ , nên 퐹 ⊥ ; ⊥ ⇒ 퐹 = = 90∘ Do △ 퐹 , vuông tại F nên F thuộc đường tròn đường kính AC (1) và △ , vuông tại D nên D thuộc đường tròn đường kính AC (2) Từ (1) và (2) suy ra: F, D cùng thuộc đường tròn đường kính AC. Do đó tứ giác AFDC nội tiếp. b) Ta có: MN // AH nên = (so le trong) và = (so le trong; MK // AB) DeThi.edu.vn