Tổng hợp kiến thức Hình học Lớp 12 - Các khối đa diện đều

Nội dung text: Tổng hợp kiến thức Hình học Lớp 12 - Các khối đa diện đều

1. CÁC KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Hình vuông cạnh a HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Tên (m mặt) Loại Số Số Số mp Diện tích: Tam giác vuông . = {p;q} đỉnh cạnh đối = 𝟐𝟐 𝟐𝟐 =mp/q =mp/2 xứng 𝒂𝒂 𝑩𝑩𝑩𝑩 =𝑩𝑩𝑩𝑩 𝑩𝑩 𝑨𝑨 𝒂𝒂√𝟐𝟐 𝟐𝟐 Tứ diện đều {3;3} 4 6 6 đ 𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝑩𝑩𝑩𝑩 𝑩𝑩𝑨𝑨 = 𝟐𝟐 + Hình lập phương {4;3} 8 12 9 𝑩𝑩𝑩𝑩 𝑩𝑩𝑪𝑪 Bát diện đều {3;4} 6 12 9 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 .𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 . 𝟐𝟐 Thập nhị (12) mặt đều {5;3} 20 30 15 𝑨𝑨𝑯𝑯 =𝑨𝑨𝑩𝑩 , 𝑨𝑨𝑪𝑪 Nhị thập (20) mặt đều {3;5} 12 30 15 v.v 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑩𝑩𝑩𝑩 Tam giác thường 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭 𝑩𝑩 𝑨𝑨𝑨𝑨 + CÁC LOẠI ĐÁY THƯỜNG GẶP Đáy là hình chữ nhật × Diện tích: ab = 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 Tam giác đều cạnh a Bán kính đường tròn Đường cao: 𝒃𝒃 + 𝒄𝒄 − 𝒂𝒂 𝒂𝒂 𝒃𝒃 ngoại tiếp: 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝑨𝑨= 𝒂𝒂√𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐 Bán kính đườ𝟐𝟐ng 𝟐𝟐 + 𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄 𝒂𝒂 tròn ngoại tiếp: 𝒎𝒎 = = − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟒𝟒 = Th �𝒂𝒂 𝒃𝒃 Th 𝒂𝒂 𝒃𝒃 =𝒄𝒄 𝒂𝒂√𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝑨𝑨 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝑩𝑩 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝑪𝑪 Diđện tích:𝟑𝟑 Diện tích: . = ầ đ 𝑹𝑹 ầ 𝟐𝟐 : bán kính đường tròng nội tiếp. 𝟐𝟐𝑹𝑹 y 𝟏𝟏 𝒂𝒂 √𝟑𝟑 y L = . 𝒂𝒂 = = 𝟒𝟒 : Bán kính đường tròn ngoại tiếp 𝟐𝟐 L 𝒂𝒂 𝒉𝒉 Hình thoi có góc Hình ghép của hai 𝒓𝒓 𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ( )( )( ) 𝒐𝒐 tam giác đều. đ= : nửa chu vi 𝟐𝟐 𝒃𝒃𝒃𝒃 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝑨𝑨 𝒑𝒑 𝒓𝒓 𝟒𝟒𝑹𝑹đ ụ Tam giác vuông cân cạnh bên bằng ụ 𝑹𝑹 Cạnh huyền: 𝟔𝟔𝟎𝟎 𝒂𝒂+𝒃𝒃+𝒄𝒄 c Trí Tuyên Hình ghép của hai c Trí Tuyên a Bán kính đường 𝒑𝒑 𝟐𝟐 �𝒑𝒑 𝒑𝒑 − 𝒂𝒂 𝒑𝒑 − 𝒃𝒃 𝒑𝒑 − 𝒄𝒄 𝒂𝒂√𝟐𝟐 tam giác cân 120. tròn ngoại tiếp: Diện tích bằng ½ tích CÁC TRƯỜNG HỢP HÌNH CHÓP THƯỜNG GẶP 𝒂𝒂√𝟐𝟐 hai đường chéo = Cạnh bên vuông đáy Hai mặt cùng vuông với đáy 𝟐𝟐 Diện tích: 𝟐𝟐 𝒂𝒂 𝟐𝟐 . 𝒂𝒂 √𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝟐𝟐 – Hình thang vuông đặc biệt Ghép bởi 1 hình – vuông và 1 tam giác 0972177717 0972177717 vuông cân. Tam giác vuông Tỉ lệ 3 cạnh: Ghép bởi 2 tam giác 𝒐𝒐 : : vuông cân. 𝟔𝟔𝟎𝟎 Bán kính đường tròn𝟏𝟏 √𝟑𝟑 ngo𝟐𝟐 ại tiếp: Đường cao là giao tuyến của Đường cao là cạnh bên đó. hai mặt đó. Đường cao ứng với Mặt bên vuông với đáy Các cạnh bên bằng nhau cạnh huyền: 𝒂𝒂/ Nửa lục giác đều Là 3 tam giác đều ghép lại. (cạnh bên cùng tạo với đáy Diện tích: 𝟐𝟐 𝒂𝒂√𝟑𝟑 𝟐𝟐 = góc bằng nhau). 𝒂𝒂 √𝟑𝟑 𝟐𝟐 Diện tích:đ 𝑹𝑹 𝟐𝟐𝒂𝒂 Tam giác cân có đỉnh Đường cao = ½ cạnh 𝟑𝟑𝒂𝒂 √𝟑𝟑 Đường chéo vuông 𝒐𝒐 bên. 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 góc với cạnh bên. Cạnh đáy = cạnh bên. Hình bình hành Diện tích: √𝟑𝟑 = Đường chéo ngắn: 𝒂𝒂𝒂𝒂 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝜶𝜶 Diện tích:đ + 𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝒂𝒂 𝒂𝒂 √𝟑𝟑 Đư𝟐𝟐ờng chéo𝟐𝟐 dài Đường cao là đường cao hạ 𝟒𝟒 √𝒂𝒂 𝒃𝒃 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜶𝜶 từ đỉnh S của tam giác mặt + + bên đó. Chân đường cao trùng với 𝟐𝟐 𝟐𝟐 tâm đường tròn ngoại tiếp �𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜶𝜶 đáy.
2. GÓC CƠ BẢN VÀ KHOẢNG CÁCH CƠ BẢN TỈ SỐ THỂ TÍCH - Thi t di n qua tr c: Kh i tr Góc giữa cạnh bên và đáy Góc giữa mặt bên và đáy Chóp tam giác Chóp hình bình hành Hình ch nh t × ế ệ ụ ố ụ Kẻ từ chân đường cao tới giao Kẻ từ chân đường cao tới - Thi t di n song song ữ ậ 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒉𝒉 điểm của cạnh bên với đáy. giao tuyến của mặt bên với tr c là HCN: dây cung × Nối với S đáy. Nối với S - Quanế h ệ: = - Diụ n tích xq: = 𝒉𝒉 - Di n tíchệ 𝒉𝒉toàn𝒍𝒍 ph n: ệ 𝑺𝑺𝒙𝒙𝒙𝒙 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = + ệ ầ - Th tích 𝟐𝟐 𝑺𝑺𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒓𝒓 = . = ể 𝟐𝟐 đ KHỐ𝑽𝑽I CẦ𝑺𝑺U 𝒉𝒉 𝝅𝝅𝒓𝒓 𝒉𝒉 ( . ) = Mặt phẳng cắt (S) theo đtr (H;r) Khoảng cách từ chân đường Khoảng cách từ điểm thuộc ( . ′ ′ )′ ′ ′ ′ = ; = ; = ; = cao đến mặt xiên. đáy đến mặt thẳng đứng. 𝑽𝑽 𝑺𝑺 𝑨𝑨 𝑩𝑩 𝑪𝑪 𝑺𝑺𝑨𝑨 𝑺𝑺𝑩𝑩 𝑺𝑺𝑪𝑪 𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑺𝑺𝑺𝑺 ⋅ ⋅ Có: +′ = +′ ′ ′ 𝑺𝑺𝑨𝑨 𝑺𝑺𝑩𝑩 𝑺𝑺𝑪𝑪 𝑺𝑺𝑫𝑫 𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄 𝒅𝒅 Th Th 𝑽𝑽 𝑺𝑺 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑺𝑺𝑺𝑺 ( ) + + + = (𝒂𝒂 ′ 𝒄𝒄′ ′ 𝒃𝒃)′ 𝒅𝒅 ầ ầ 𝑽𝑽 𝑺𝑺𝑨𝑨 𝑩𝑩 𝑪𝑪 𝑫𝑫 𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄 𝒅𝒅 y L y L Dịch chuyển đinh song song Dịch đỉnh không song song 𝑽𝑽 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 ụ ụ c Trí Tuyên c Trí Tuyên = ; = = + ( ) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 ; 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝑽𝑽 𝝅𝝅𝑹𝑹 𝑺𝑺 𝟒𝟒𝟒𝟒𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟐𝟐 Kẻ vuông hai nhát: Từ điểm đó kẻ vuông góc 𝟑𝟑 𝑹𝑹 𝒓𝒓 𝒅𝒅�𝑶𝑶 𝑷𝑷 � - Kẻ HI vuông với giao tuyến. với giao tuyến của mặt đó BA CÔNG THỨC BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP - Kẻ HK vuông góc với SI với đáy. Chóp hoặc lăng trụ có cạnh Chóp hoặc lăng trụ có mặt = / = / bên vuông góc với đáy bên vuông với đáy KHỐI LĂNG TRỤ : là bán kính đường tròn ′ – – ′ : Là bán kính đường tròn Dịch chuyển 𝑺𝑺đáy: Khi thấy đáy nằm trong m𝑺𝑺ột m𝑺𝑺 ặt phẳng có thể Tách khối chóp ra khỏi lăng trụ 𝑽𝑽 𝑽𝑽𝑺𝑺 𝑽𝑽 𝑽𝑽 𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑺𝑺′𝑰𝑰 ngoại tiếp đáy. ngoại tiếp mặt bên. 0972177717 0972177717 mở rộng. đ 𝒃𝒃 𝑹𝑹 𝑹𝑹 : Là giao tuyến của mặt = + 𝟐𝟐 bên và đáy. 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝑮𝑮𝑮𝑮 𝑹𝑹 𝑹𝑹đ = + 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑮𝑮𝑻𝑻 = 𝑹𝑹 𝑹𝑹đ 𝑹𝑹𝒃𝒃 − 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟒𝟒 𝑽𝑽 𝑺𝑺 𝑽𝑽𝟐𝟐 𝑺𝑺𝟐𝟐 Làm việc với lăng trụ chỉ cần làm việc với hình chóp. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP VÀ LĂNG TRỤ KHỐI NÓN VÀ KHỐI TRỤ Thể tích khối chóp Thể tích lăng trụ - Thi t di n qua tr c: Kh i nón - Góc nh: Chóp có cạnh bên bằng nhau - Quanế h ệ: = ụ+ 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 ố (nón) � - Di nở tíchđỉ xq:𝟐𝟐 𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑨𝑨𝟐𝟐= 𝟐𝟐. . + = = ệ 𝒍𝒍 𝒉𝒉 𝒓𝒓 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 - Di n tích toàn ph n: đ ệ 𝑺𝑺𝒙𝒙𝒙𝒙 𝝅𝝅 𝒓𝒓 𝒍𝒍 𝑺𝑺𝑨𝑨 𝒉𝒉 𝑹𝑹 = + Cạnh𝑹𝑹 bên bình chia hai lần 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 ệ ầ 𝟐𝟐 đường cao. - Th tích𝒕𝒕𝒕𝒕 𝑺𝑺 𝝅𝝅𝝅𝝅𝝅𝝅 𝝅𝝅𝒓𝒓 = / . . ể= . = = . 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟐𝟐 đ đ 𝑽𝑽 𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝑺𝑺 𝒉𝒉 𝑽𝑽 𝑺𝑺 𝒉𝒉 𝝅𝝅𝒓𝒓 𝒉𝒉 𝑽𝑽 𝑺𝑺đ 𝒉𝒉 𝟑𝟑 𝟑𝟑
3. TỌA ĐỘ VECTOR VÀ ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN Ứng dụng tích có hướng của hai vector Đường thẳng (d) xác định bởi cặp ( , ) (ký hiệu - 3 vector đơn vị: , , độ Điều kiện , , đồng phẳng: , . = ( )~( , )) nghĩa là: dài 1 và đôi một vuông ( ; 𝑨𝑨; 𝒖𝒖��⃗) Diện tích tam giác : = , góc. 𝒊𝒊⃗ 𝒋𝒋⃗ 𝒌𝒌��⃗ 𝒂𝒂��⃗ �𝒃𝒃�⃗ �𝒄𝒄⃗ ��𝒂𝒂�⃗ 𝒃𝒃��⃗� 𝒄𝒄�⃗ 𝟎𝟎 𝒅𝒅 𝑨𝑨 𝒖𝒖��⃗ = ( ; ; ) 𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 = , . 𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒 𝑨𝑨 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒛𝒛 - Trục Oz: trục cao. Thể tích tứ diện 𝐀𝐀𝑩𝑩𝑩𝑩: 𝑺𝑺 𝟐𝟐 ��𝑨𝑨�����𝑨𝑨�⃗ 𝑨𝑨����𝑨𝑨�⃗�� Phương trình tham số�: 𝟏𝟏 - Tọa độ vector: Khoảng cách từ đến đường phẳng (AB): =�𝒖𝒖�⃗ +𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑽𝑽𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝟔𝟔 ��𝑨𝑨�����𝑨𝑨�⃗ 𝑨𝑨����𝑨𝑨�⃗� 𝑨𝑨����𝑨𝑨��⃗� = ( ; ; ) = + ( ) , 𝟎𝟎 𝑴𝑴 , ( ) = 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝒂𝒂 = + + 𝟎𝟎 𝒂𝒂��⃗ 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒛𝒛 ⇔ ��𝑨𝑨�����𝑨𝑨�⃗ 𝑨𝑨����𝑨𝑨���⃗�� �𝒚𝒚 𝒚𝒚 𝒃𝒃𝒃𝒃 𝒕𝒕 ∈ ℝ - Tọa độ của điểm chính Phương trình chính tắc khi𝟎𝟎 : �𝒂𝒂�⃗ 𝒙𝒙 𝒊𝒊⃗ 𝒚𝒚 𝒋𝒋⃗ 𝒛𝒛 �𝒌𝒌�⃗ Khoảng cách từ 𝒅𝒅đ�ế𝑴𝑴n m𝑨𝑨ặt𝑨𝑨 ph�ẳng ( ): 𝒛𝒛 𝒛𝒛 𝒄𝒄𝒄𝒄 là tọa độ . �𝑨𝑨�����𝑨𝑨�⃗� = = 𝑨𝑨 , . 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ≠ 𝟎𝟎 𝑴𝑴 , ( ) = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 ������⃗ 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙 𝒚𝒚 − 𝒚𝒚 𝒛𝒛 − 𝒛𝒛 Cho ( ; ; ). Tọa độ hình chiếu vuông góc củ𝑶𝑶a𝑶𝑶 lên: ������⃗ ����,�⃗ �������⃗ ��𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑨𝑨� 𝑨𝑨𝑨𝑨� 𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄 : là ( ; ; ) : là ( ; ; ) : là ( ; ; ) Khoảng cách hai𝒅𝒅 đư�𝑴𝑴ờng𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑨𝑨chéo� nhau , : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI ���𝑨𝑨����𝑨𝑨�⃗ 𝑨𝑨����𝑨𝑨�⃗�� ( 𝑨𝑨): 𝒂𝒂là 𝒃𝒃( 𝒄𝒄; ; ) ( ): là ( ; ; ) ( 𝑨𝑨 ): là ( ; ; ) , . Cho các đường ~( , ), ~( , ), ~( , ) 𝑶𝑶𝑶𝑶 𝒂𝒂 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑶𝑶𝑶𝑶 𝟎𝟎 𝒃𝒃 𝟎𝟎 𝑶𝑶𝑶𝑶 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝒄𝒄 ( , ) = 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑪𝑪𝑪𝑪 Cho các mặt phẳng , 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶 𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝟎𝟎 𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶 𝒂𝒂 𝟎𝟎 𝒄𝒄 𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶 𝟎𝟎 𝒃𝒃 𝒄𝒄 Th ���𝑨𝑨����𝑨𝑨�⃗ 𝑪𝑪𝑪𝑪� 𝑨𝑨����𝑨𝑨�⃗� Th ( )~(𝒅𝒅 , ),𝑨𝑨( �𝒖𝒖��)�⃗~(𝒅𝒅 , 𝑨𝑨), (𝒖𝒖����⃗)~𝒅𝒅( 𝑨𝑨, 𝒖𝒖��⃗) 𝒅𝒅 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑪𝑪𝑪𝑪 CÔNG THỨC TỌA ĐỘ PHÉP TOÁN PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG ���𝑨𝑨����𝑨𝑨�⃗ �𝑪𝑪𝑪𝑪�����⃗�� 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 = ( ; ; ) = ( ; ; ) ầ ầ 𝑷𝑷 𝑩𝑩 𝒏𝒏��⃗ 𝑷𝑷 𝑩𝑩 𝒏𝒏����⃗ 𝑷𝑷 𝑩𝑩 𝒏𝒏����⃗ Cho và y L Vector pháp tuyến Chọn 1 vector pháp tuyến y L Vị trí Điều kiện ± = ( 𝟏𝟏 ±𝟏𝟏 ;𝟏𝟏 ± ; ±𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 - Nếu biết : �𝒂𝒂�⃗ 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒛𝒛 𝒃𝒃��⃗ 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒛𝒛 = 𝒏𝒏��⃗ ) Chọn = ụ ụ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ��⃗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟏𝟏 = = 𝒏𝒏��⃗ ∥ 𝒂𝒂��⃗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒖𝒖����⃗ ∥ 𝒖𝒖����⃗ 𝒂𝒂��⃗ 𝒃𝒃 𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒚𝒚 𝒛𝒛 c Trí Tuyên c Trí Tuyên = ( ; ; ) 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐 - Nếu biết và : 𝒅𝒅 ≡ 𝒅𝒅 ⇔ � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒛𝒛𝟐𝟐 = �𝒏𝒏�⃗ �𝒂𝒂�⃗ 𝑨𝑨 ∈ 𝒅𝒅 ��⃗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 | | = 𝟏𝟏+ 𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝒂𝒂��⃗ 𝒃𝒃 ⇔ �𝒚𝒚 = 𝒚𝒚 Chọn , 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒌𝒌 𝒂𝒂��⃗ 𝒌𝒌𝒙𝒙 𝒌𝒌𝒚𝒚 𝒌𝒌𝒛𝒛 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒏𝒏��⃗ ⊥ 𝒂𝒂��⃗ 𝒏𝒏��⃗ ⊥ 𝒃𝒃��⃗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 �𝒖𝒖���⃗ ∥ �𝒖𝒖���⃗ 𝒛𝒛 = 𝒛𝒛 𝒅𝒅 ∥ 𝒅𝒅 ⇔ � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑨𝑨 ∉ 𝒅𝒅 �𝒂𝒂�⃗ =�𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒚𝒚+𝟏𝟏 𝒛𝒛𝟏𝟏 + 𝒙𝒙 = 𝒌𝒌𝒙𝒙 Mặt phẳng (P) xác định bởi cặp ( , )�𝒏𝒏� ⃗(ký∥ � �𝒂𝒂hi�⃗ ệ�𝒃𝒃�⃗u� ( )~( , )) ��⃗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ( 𝒅𝒅𝟏𝟏) ⊥ 𝒅𝒅( 𝟐𝟐 ) ⇔ 𝒖𝒖����𝟏𝟏⃗ ⊥ �𝒖𝒖���𝟐𝟐⃗ 𝒂𝒂��⃗ ∥ 𝒃𝒃 ⇔ �𝒚𝒚 𝒌𝒌𝒚𝒚 nghĩa là ( ) , 𝟏𝟏=𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟏𝟏= =𝟐𝟐 𝒂𝒂��⃗ ⋅ 𝒃𝒃��⃗ 𝒙𝒙 𝒙𝒙 | | 𝒚𝒚 𝒚𝒚 𝒛𝒛 𝒛𝒛 𝒛𝒛 𝒌𝒌𝒛𝒛 ( ; 𝑨𝑨 ;𝒏𝒏��⃗ ) 𝑷𝑷 𝑨𝑨 𝒏𝒏��⃗ ����𝟏𝟏⃗ ����𝟐𝟐⃗ 𝒂𝒂��⃗⋅�𝒃𝒃�⃗ 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒏𝒏 ∥ 𝒏𝒏 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒛𝒛 𝑷𝑷 ≡ 𝑷𝑷 ⇔ � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 (��⃗ ; ; ��⃗ ) ( ; ; ) ( ; ; ) = ( ; ; ) ( ) ( ) 𝑩𝑩 ∈ 𝑷𝑷 𝐜𝐜𝐜𝐜Cho𝐜𝐜� 𝒂𝒂��⃗ 𝒃𝒃� �𝒂𝒂�⃗ ⋅�𝒃𝒃� ; ; ⇔ .𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 ( ) 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒛𝒛 𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒 𝑨𝑨 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒛𝒛 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ( ; ; ) là trung điểm của . – Phương trình: � – 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒏𝒏����⃗ ∥ 𝒏𝒏����⃗ 𝑨𝑨 𝑨𝑨 𝑨𝑨 𝑩𝑩 𝑩𝑩 𝑩𝑩 𝑪𝑪 𝑪𝑪 𝑪𝑪 �𝒏𝒏�⃗ 𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄 𝑷𝑷 ∥ 𝑷𝑷 ⇔ � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ( 𝑨𝑨; 𝒙𝒙; 𝒚𝒚) là𝒛𝒛 trọng𝑩𝑩 𝒙𝒙tâm𝒚𝒚 tam𝒛𝒛 giác𝑪𝑪 𝒙𝒙 𝒚𝒚. 𝒛𝒛 0972177717 ( ) + ( ) + ( ) = 0972177717 ( ) ( ) 𝑩𝑩 ∉ 𝑷𝑷 𝑴𝑴 𝒙𝒙𝑴𝑴 𝒚𝒚𝑴𝑴 𝒛𝒛𝑴𝑴 𝐀𝐀𝑩𝑩 𝑮𝑮 𝑮𝑮 𝑮𝑮 Ngược lại, mặt phẳng có dạng 𝑮𝑮 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒛𝒛 = ( ; 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨; ) 𝒂𝒂 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟎𝟎 𝒃𝒃 𝒚𝒚 − 𝒚𝒚𝟎𝟎 𝒄𝒄 𝒛𝒛 − 𝒛𝒛𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑷𝑷𝟏𝟏 ⊥ 𝑷𝑷𝟐𝟐 ⇔ �𝒏𝒏�⃗ ⊥ 𝒏𝒏����𝟐𝟐⃗ + + + = ( ) + + + ( ) ������⃗ 𝑩𝑩 ;𝑨𝑨 𝑩𝑩 ;𝑨𝑨 𝑩𝑩 𝑨𝑨 Thì có một vector pháp tuyến là = ( ; ; ) và thay , bởi �𝒖𝒖�⃗ ⊥ 𝒏𝒏��⃗ 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙 𝒚𝒚 − 𝒚𝒚 𝒛𝒛 − 𝒛𝒛 𝒅𝒅 ∥ 𝑷𝑷 ⇔ � 𝑨𝑨 𝑩𝑩 𝑨𝑨 𝑩𝑩 𝑨𝑨 𝑩𝑩 𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒃𝒃𝒃𝒃 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒅𝒅 𝟎𝟎 ( ) ( ) + 𝒙𝒙+ 𝒙𝒙 𝒚𝒚+ 𝒚𝒚+ 𝒛𝒛 𝒛𝒛+ + hai số bất kỳ rồi giải ra ta được điểm . 𝑨𝑨 ∉ (𝑷𝑷) 𝑴𝑴 � ; ; � �𝒏𝒏�⃗ 𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 Phương trình mặt chắn: 𝒖𝒖��⃗ ⊥ 𝒏𝒏��⃗ 𝒙𝒙𝑨𝑨 𝒙𝒙𝑩𝑩 𝒙𝒙𝑪𝑪 𝒚𝒚𝑨𝑨 𝒚𝒚𝑩𝑩 𝒚𝒚𝑪𝑪 𝒛𝒛𝑨𝑨 𝒛𝒛𝑩𝑩 𝒛𝒛𝑪𝑪 𝒛𝒛 𝑨𝑨 ∈ 𝑷𝑷 𝒅𝒅 ⊂ 𝑷𝑷( ) ⇔ � 𝑮𝑮 � � ( ; ; ), ( ; ; ), 𝑨𝑨 ∈ 𝑷𝑷 𝟑𝟑 𝟑𝟑 𝟑𝟑 ( ; ; ) TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTOR - ỨNG DỤNG . Đường hoặc mặt cắt - Tham số đi⇔ểm�𝒖𝒖�⃗ ∥cắ�𝒏𝒏�t⃗ ( ). 𝑨𝑨 𝒂𝒂 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑩𝑩 𝟎𝟎 𝒃𝒃 𝟎𝟎 𝒅𝒅 ⊥ 𝑷𝑷 Định nghĩa ( ): + + = thỏa mãn (*) - Từ (*) giải PT ẩn . 𝑪𝑪 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝒄𝒄 𝒅𝒅 𝑴𝑴 𝒕𝒕 , = 1 vec tơ có: 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒛𝒛 Với 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝟏𝟏 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 𝒕𝒕 + Hướng vuông góc với cả và . 𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄 �𝒂𝒂��⃗ 𝒃𝒃��⃗� Khoảng cách Góc + Độ lớn: 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ≠ 𝟎𝟎 ��⃗ , ( ) | | 𝒂𝒂��⃗ 𝒃𝒃 | . | , = . , | + + + | ( , ) = = | |. | | + Độ lớn bằng độ lớn diện tích 𝒅𝒅�𝑴𝑴 𝑷𝑷 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ��⃗ ��⃗ ��⃗ 𝑴𝑴 +𝑴𝑴 + 𝑴𝑴 𝒖𝒖����⃗ 𝒖𝒖����⃗ hình� bình��𝒂𝒂�⃗ 𝒃𝒃 �hành� 𝒂𝒂�� ⃗hai�𝒃𝒃 �cạ𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬nh� là�𝒂𝒂�⃗ hai𝒃𝒃� Vector chỉ phương Chọn 1 vector pháp tuyến 𝒂𝒂 𝒙𝒙 𝒃𝒃𝒚𝒚 𝒄𝒄𝒛𝒛 𝒅𝒅 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝒅𝒅𝟏𝟏 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 , 𝟐𝟐 �𝒖𝒖���𝟏𝟏⃗| �𝒖𝒖�.��𝟐𝟐⃗ | - Nếu biết : ( , ) = ( ), ( ) = vector và 𝒖𝒖��⃗ √𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄 | |. | | = | | 𝟏𝟏 𝟐𝟐 Công thức tọa độ Chọn ��𝒖𝒖��⃗ 𝑨𝑨����𝑨𝑨���⃗�� 𝒏𝒏����⃗ 𝒏𝒏����⃗ 𝒂𝒂��⃗ 𝒃𝒃��⃗ 𝒖𝒖��⃗ ∥ �𝒂𝒂�⃗ 𝒅𝒅 𝑴𝑴 𝒅𝒅 [ , ]. 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜� 𝑷𝑷𝟏𝟏 𝑷𝑷𝟐𝟐 � | . | - Nếu biết và : ( , ) = 𝒖𝒖��⃗ , ( ) = 𝒏𝒏����𝟏𝟏⃗ 𝒏𝒏����𝟐𝟐⃗ , = ; ; �𝒖𝒖�⃗ �𝒂𝒂�⃗ |[ , ]| | |. | | , � �𝒖𝒖���𝟏𝟏⃗ 𝒖𝒖����𝟐𝟐⃗ 𝑨𝑨����𝟏𝟏��𝑨𝑨����𝟐𝟐⃗� 𝒖𝒖��⃗ 𝒏𝒏 𝒚𝒚𝟏𝟏 𝒛𝒛𝟏𝟏 𝒛𝒛𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒚𝒚𝟏𝟏 Chọn ��⃗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ��⃗ 𝒖𝒖��⃗ ⊥ �𝒂𝒂�⃗ 𝒖𝒖��⃗ ⊥ 𝒃𝒃 𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬�𝒅𝒅 𝑷𝑷 � �𝒂𝒂��⃗ 𝒃𝒃� ��𝒚𝒚𝟐𝟐 𝒛𝒛𝟐𝟐� �𝒛𝒛𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐� �𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒚𝒚𝟐𝟐�� 𝒖𝒖����⃗ 𝒖𝒖����⃗ 𝒖𝒖��⃗ 𝒏𝒏 �𝒖𝒖�⃗ ∥ ��𝒂𝒂�⃗ �𝒃𝒃�⃗�
4. MẶT CẦU DỊCH CHUYỂN KHOẢNG CÁCH VÀ DÙNG THỂ TÍCH Mặt cầu (S) tâm ( ; ; ), bán kính : TỈ SỐ THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ( ) + ( ) + ( ) = Đặt Đặt 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 Ngược lại, mặt cầ𝑰𝑰u𝒙𝒙 𝟐𝟐(S)𝒚𝒚 có phương𝒛𝒛 𝟐𝟐 trình:𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟐𝟐 = = = = = = 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 ′; ′; ′ ′; ′; ′; 𝒙𝒙+− 𝒙𝒙 + +𝒚𝒚 − 𝒚𝒚 + 𝒛𝒛+− 𝒛𝒛 + =𝑹𝑹 𝑨𝑨𝟏𝟏𝑨𝑨 𝑩𝑩𝟏𝟏𝑩𝑩 𝑪𝑪𝟏𝟏𝑪𝑪 𝑨𝑨𝟏𝟏𝑨𝑨 𝑩𝑩𝟏𝟏𝑩𝑩 𝑪𝑪𝟏𝟏𝑪𝑪 ′ ′ ′ ′ ′ ′ Với điều ki𝟐𝟐ện 𝟐𝟐+ 𝟐𝟐+ > thì có: 𝒂𝒂 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝒃𝒃 𝑩𝑩𝑩𝑩 𝒄𝒄 𝑪𝑪𝑪𝑪 𝒂𝒂 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝒃𝒃 𝑩𝑩𝑩𝑩 𝒄𝒄 𝑪𝑪𝑪𝑪 tâm ( 𝒙𝒙; ;𝒚𝒚𝟐𝟐 ) và𝒛𝒛𝟐𝟐 bán𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 kính 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐= 𝟐𝟐𝒄𝒄𝒄𝒄+ 𝒅𝒅+ 𝟎𝟎 𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄 − 𝒅𝒅 𝟎𝟎 Mặt cầu (S) tiếp xúc mp(P) Mặt cầu (S)𝟐𝟐 cắ𝟐𝟐t mp(P)𝟐𝟐 𝑰𝑰 −𝒂𝒂 −𝒃𝒃 −𝒄𝒄 𝑹𝑹 √𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄 − 𝒅𝒅 ( ) = ( ) = = 𝑴𝑴 𝑴𝑴 𝑵𝑵 𝒅𝒅 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑴𝑴𝑴𝑴 ∥ 𝜶𝜶 ⇒ 𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝑴𝑴𝑴𝑴 ∩ 𝜶𝜶 𝑰𝑰 ⇒ 𝑵𝑵 𝒅𝒅 𝑰𝑰𝑰𝑰 , ( ) = . + = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 + + ′ ′ ′ ′ 𝟑𝟑𝑽𝑽 . . 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 Th = 𝑨𝑨 𝑩𝑩 𝑪𝑪 𝑫𝑫 𝑨𝑨 𝑩𝑩 𝑪𝑪 𝑫𝑫 Th ′ ′ ′ 𝑽𝑽 𝒂𝒂 𝒄𝒄 𝒅𝒅�𝑨𝑨 𝑷𝑷 � 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴 . 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 ′ ′ ′ ′ + 𝑺𝑺 𝑽𝑽𝑨𝑨 𝑩𝑩 𝑪𝑪 𝑨𝑨 𝑩𝑩 𝑪𝑪 𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑨𝑨 𝑩𝑩 𝑪𝑪 𝑫𝑫 = - ĐK: , ( ) < . ′ ′ ′ 𝑽𝑽 𝟐𝟐 ầ ầ 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑨𝑨 𝑩𝑩 𝑪𝑪 - ĐK: , ( ) = - Thiết diện là đường tròn y L 𝑽𝑽 𝟑𝟑 𝒃𝒃 𝒅𝒅 y L - Tiếp điểm là hình chiếu tâm 𝒅𝒅 là� 𝑰𝑰hình𝑷𝑷 �chiế𝑹𝑹u của lên PHƯƠNG PHÁP TRẢI PHẲNG TÌM QUÃNG ĐƯỜNG 𝟐𝟐MIN TÍNH GÓC NÂNG CAO 𝒅𝒅�𝑰𝑰 𝑷𝑷 � 𝑹𝑹 của lên (P). (P) và bán kính = Dùng khoảng cách từ điểm M bất kỳ 𝑯𝑯 𝑰𝑰 ụ ụ Chú ý: 𝟐𝟐 𝟐𝟐 c Hình chóp giác đều có các c Trí Tuyên 𝑰𝑰 𝒓𝒓 √𝑹𝑹 − 𝒅𝒅 - Tương tự đối với vị trí của mặt cầu và đường thẳng. Chỉ Trí Tuyên góc ở đỉnh của mặt bên là khác trường hợp đường cắt mặt cầu sẽ là một dây cung. < . 𝒏𝒏 - Vị trí tương đối của hai mặt cầu tương tự vị trí tương đối 𝝅𝝅 Gọi là trung điểm . Tìm của hai đường tròn ở THCS. Chỉ khác khi cắt nhau thì thiết 𝒏𝒏 quãng𝜶𝜶 đường ngắn nhất đi diện là đường tròn. từ 𝑲𝑲 đến mà phải đi𝑺𝑺𝑺𝑺 qua 4 mặt bên của hình chóp. MỘT SỐ VẤN ĐỀ NÂNG CAO 𝑨𝑨 𝑲𝑲 , ( ) , ( ) – – , ( ) = ( ), ( ) = CÁC CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH TÚ DIỆN ( , ) 0972177717 0972177717 𝒅𝒅�𝑴𝑴 𝜶𝜶 � 𝒅𝒅�𝑴𝑴 𝜶𝜶 � 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬Di�𝒂𝒂ện tích𝜶𝜶 � hình chiếu 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬Dich� 𝜶𝜶 chuy𝜷𝜷 ể�n song song Giải 𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒅𝒅 𝑴𝑴 𝚫𝚫 Trải phẳng 4 mặt bên của hình chóp. Chú ý là bản sao của . Quãng đường ngắn nhất là trong . 𝑨𝑨′ Tính𝑨𝑨 sử dụng định lý hàm số cos trong tam giác với 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝚫𝚫𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 = , hai cạnh bên là và , với là cạnh bên hình 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 chóp. 𝒍𝒍 Khi dịch chuyển đường � 𝟐𝟐 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝒏𝒏𝒏𝒏 𝒍𝒍 𝒍𝒍 hay mặt song song thì góc . . ( , ) không đổi. = . . . ( , ) = . 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 NGUYÊN TẮC TỌA ĐỘ HÓA HÌNH KHÔNG GIAN 𝟏𝟏 Công𝟐𝟐 th𝑺𝑺 ức tính𝑺𝑺 góc𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 nh𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨ị di𝑨𝑨ện𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑽𝑽 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑴𝑴𝑴𝑴 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑽𝑽 Chọn và là hai 𝟔𝟔 biết 𝟑𝟑3 góc ở tam di𝑨𝑨𝑨𝑨ện: đường vuông góc ở đáy: 𝑶𝑶𝑶𝑶 𝑶𝑶𝑶𝑶 . - Sẵn có với tam giác = vuông, hình chữ nhật, . 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜸𝜸 − 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜶𝜶 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜷𝜷 vuông, thoi. 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝝋𝝋 - Kẻ trung tuyến với tam 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝜶𝜶 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝜷𝜷 giác đều. - Như thế mới dễ xác định tọa độ các điểm ở đáy. Không cần kẻ vì cao độ chính là chiều cao của hình = . . + - Tọa độ S suy ra từ tọa độ H 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑽𝑽 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 �𝟏𝟏 − 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝜶𝜶 − 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝜷𝜷 − 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝜸𝜸 𝟐𝟐 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜶𝜶 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜷𝜷 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜸𝜸 𝑶𝑶𝑶𝑶 𝒉𝒉 𝟔𝟔