›
›
›

Tổng hợp lý thuyết Toán chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2019

doc 31 trang thaodu 3170
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tổng hợp lý thuyết Toán chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2019", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doctong_hop_ly_thuyet_toan_chuan_bi_cho_ky_thi_thpt_quoc_gia_mo.doc

Nội dung text: Tổng hợp lý thuyết Toán chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2019

  1. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 ĐẠI SỐ 10 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC, CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a 0) (1) , ta cĩ: = b2 – 4ac > 0 b b x , x 1 2a 2 2a = 0 b Nghiệm kép x x 1 2 2a < 0 Vơ nghiệm 2 Nếu phương trình bậc 2: ax + bx +c = 0 (*) cĩ 2 nghiệm x1 , x2 (a 0) thì tổng và tích 2 nghiệm đĩ thỏa: b x x 1 2 a Hệ thức Vi-ét: c x .x 1 2 a Chú ý: c + Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) cĩ nhiệm x1 = 1 và x2 = a c + Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (*) cĩ nhiệm x1 = -1 và x2 = a Hệ quả: Nếu 2 số u, v cĩ tổng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghiệm của pt: x2 – S.x + P = 0 2 .PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN B 0 A B a/ A B ; b/ 2 A B A B A 0 (hayB 0) 3 .BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN A 0 B 0 B 0 A 0 a/ ; b/ A B  ; c/ A B B 0 2 A B B 0 A 0 A B 2 2 A B A B 4 .PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A B A B A B a/ A B  ; b/ A B ; B 0 B 0 A B 5.BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI B A B a/ A B ; b/ A B A B  A B ; c/ A B A2 B 2 B 0 6. a. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(cơsi) a b Cho hai số khơng âm a;b . Ta cĩ: ab . Dấu “=” xảy ra khi a = b. 2 x 0 nếu x 0 b. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI x nếu x < 0 x 0 Từ định nghĩa suy ra: với mọi x R ta cĩ: |x| 0; |x|2 = x2; x |x| và -x |x| Định lí: Với mọi số thực a và b ta cĩ: |a + b| |a| + |b| (1); |a – b| |a| + |b| (2) |a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b 0; |a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b 0 1
  2. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 HÌNH HỌC 10 I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bài 1. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ    1. Điểm .M (x, y) OM x e1 y e2 2. Cho A( xA, yA ), B( xB, yB );  2 2 a. AB (xB x A , yB y A ) ; b. AB (xB xA ) (yB yA) ; x x x A B c. Tọa độ trung điểm I của AB : 2 y y y A B 2 3.Phép toán : Cho a (a1 ,a2 ) , b (b1 ,b2 ) a1 b1 a. a b ; b. a b (a1 b1 ,a2 b2 ) ; c. m.a (ma1 ,ma2 ) ; d. a b a1b1 a2b2 a2 b2 2 2 a1b1 a2b2 e. a a1 a2 ; f. a  b a1b1 a2b2 0 ; g. Cos a, b 2 2 2 2 a1 a2 . b1 b2 Bài 2 . ĐƯỜNG THẲNG x x0 a1t 1/. Phương trình tham số : , vectơ chỉ phương là: a (a1 ,a2 ) y y0 a2t 2/. Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A2 + B2 0) a. Vectơ pháp tuyến: n (A, B) ; b. Vectơ chỉ phương là: a ( B, A) ( hay a (B, A) ) A c.Hệ số góc của đường thẳng là k (B 0) B 3/. Phương trình đường thẳng qua M( x0, y0) có hệ số góc k : y y0 k(x x0 ) x x A y y A 4/. Phương trình đường thẳng qua A(xA, yA) và B(xB, yB) : xB x A yB y A x y 5/. Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn): 1 a b x x y y 6/. Phương trình chính tắc : 0 0 M (x , y ), a (a,b) a b 0 0 Ax0 By0 C 7/. Khoảng cách từ một điểm M(x0, y0) đến đ Ax + By + C = 0 là d M ; A2 B2 8/. Vị trí tương đối của hai đường thẳng : d1: A1x + B1y + C1 = 0, d2: A2x + B2y + C2 = 0 A1 B1 A1 B1 C1 A1 B1 C1 + d1 cắt d2 ; + d1 // d 2 ; + d1  d 2 A2 B2 A2 B2 C2 A2 B2 C2 A1 A2 B1B2 9/. Góc của hai đường thẳng d1 và d2 : Xác định bởi công thức :Cos 2 2 2 2 A1 B1 A2 B2 2
  3. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 A1 x B1 y C1 A2 x B2 y C2 10/. Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d2 :: 2 2 2 2 A1 B1 A2 B2 Phương trình đường phân giác góc Phương trình đường phân giác góc tù Dấu của n1 n2 nhọn tạo bởi d1, d2 tạo bởi d1, d2 – t1 = t2 t1 = – t2 + t1 = – t2 t1 = t2 Bài 3. ĐƯỜNG TRÒN 1/. Định nghĩa : M ( C ) OM = R 2/. Phương trình đường tròn tâm I( a, b) bán kính R : Dạng 1 : (x a)2 (y b)2 R2 (C) Dạng 2 : x2 y2 2ax 2by c 0 , có tâm I(a;b), bán kính R a2 b2 c 3/. Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại M( x0, y0) 2 (x0 – a).(x – a) + (y0 – b).(y – b) = R ( Dạng 1) x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = 0 ( Dạng 2) 4/ Điều kiện để đường thẳng (D): ax + by + c = 0 tiếp xúc với đường trịn( C) là : khoảng cách từ tâm I của đường trịn đến đường thẳng (D) chính bằng bán kính đường trịn: d I, D R Bài 4. ELIP PT chính tắc x2 y2 x2 y2 1, (a2 b2 ) 1, (a2 b2 ) Lý thuyết a2 b2 a2 b2 Trục lớn, độ dài Ox, 2a Oy, 2b Trục nhỏ, độ dài Oy, 2b Ox, 2a Liên hệ a, b, c c2 = a2 – b2 c2 = b2 – a2 Tiêu điểm F1(– c, 0), F2( c, 0) F1(0,– c), F2( 0, c) Đỉnh A1,2( ± a, 0); B1,2(0, ± b) A1,2( ± a, 0); B1,2(0, ± b) c c Tâm sai e e a b 3
  4. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. Tam giác thường ( các định lý) 2 2 2 Định lí hàm số Cosin 2 2 2 b c a a b c 2bc.cosA cosA 2bc a b c a 2R a 2R.sinA;sin A Định lí hàm số Sin sinA sinB sinC 2R A B tan a b 2 Định lí hàm số Tan A B tan a b 2 Các chiếu a bCosC cCosB 2(b 2 c 2 ) a 2 Độ dài đường trung tuyến m 2 a 4 A 2bc.Cos Độ dài đường phân giác l 2 a b c 1 1 1 1.S ah bh ch ; 2. S pr 2 a 2 b 2 c Diện tích tam giác thường abc 2.S ; 4. S p( p a)( p b)( p c) 4R 1 1 1 5. S bcSinA acSinB abSinC 2 2 2 1. Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h = a 3 ; b) S = a 2 3 2 4 c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 2. Tam giác vuơng: S = 1 ab (a, b là 2 cạnh gĩc vuơng) 2 3. Tam giác vuơng cân a) S = 1 a2 (2 cạnh gĩc vuơng bằng nhau) ; b) Cạnh huyền bằng a 2 2 1 4. Tam giác cân: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 2 5. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước) 1 6. Hình thoi: S = d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo) 2 7. Hình vuơng: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2 8. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 9. Đường trịn: a) C = 2 R (R: bán kính đường trịn) b) S = R2 (R: bán kính đường trịn) Chú ý: S A B C 1.r ( p a)tan ( p b)tan ( p c)tan với rlà bán kính đường trịn bàng tiếp tam giác. p 2 2 2 A abc a b c 2. R 4S 2sinA 2sinB 2sinC c b h m Với a, b, c :cạnh tam giác; A, B, C: góc tam giác; a a ha: Đường cao tương ứng với cạnh a; ma:Đường trung tuyến vẽ từ A B a b c H a M C 3.R, r :Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác, p là nửa chu vi tam giác. 2 4
  5. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 B. Hệ thức lượng tam giác vuông: 1. AH 2 BH.CH ; A 2. AH.BC AB.AC ; 3.AB 2 BH.BC ; 1 1 1 1 1 1 4. hay ; AH 2 AB2 AC 2 h2 a2 c2 B C 5. AC 2 CH.CB ; H 6. BC 2 AB 2 AC 2 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 A. LƯỢNG GIÁC: I. CÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ: 1. Các hệ thức cơ bản: 2. Cơng thức biểu diễn theo tanx: 1. sin 2x cos2x 1; 2tanx 2 sin x 1. ; 2. 1 tan x ; 3. 2tan x 2. tanx sin2x 2 cos2x tan 2x cos x 1 tan x 1 tan 2 x 1 tan 2 x 1 3. tan x ; cot x cos x 4. cot x sin x 5. 2 1 ; 1 tan x 2 cos x 1. sin k2 sin ; 2. cos +k2 =cos ; 1 6. 1 cot 2 x sin 2 x 3. tan +k =tan ; 4. cot +k cot ; k Z 3. Các cung liên kết: a. Cung đối: và b. Cung bù: và c. Cung phụ: và 2 cos( ) cos sin( ) sin sin cos ; cos sin sin( ) sin cos( ) cos 2 2 ta n( ) ta n tan( ) tan tan cot ; cot tan 2 2 cot( ) cot cot( ) cot d. Cung sai kém nhau : và e. Cung hơn kém nhau : và 2 2 tan( ) tan sin cos ; cos sin cot( ) cot 2 2 sin( ) sin tan cot ; cot tan cos( ) cos 2 2 5
  6. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 1. Bảng giá trị lượng giác của cung và gĩc đặc biệt: 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 0 2 3 5 6 4 3 2 3 4 6 sin 0 1 2 3 1 3 2 1 0 2 2 2 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 1 2 3 1 2 2 2 2 2 2 tan 0 1 1 P 1 1 0 3 3 3 3 1 1 cot P 3 1 0 1 3 P 3 3 5.Cơng thức cộng 6.1. Cơng thức nhân đơi 2 2 6.2. Cơng thức nhân ba 1.cos(a b) cosacosb sinasinb cos 2a cos a sin a 3 1. 1. cos3a 4cos a 3cos a 2.cos(a b) cosacosb sinasinb 2 2 2cos a 1 1 2sin a 2. sin 3a 3sin a 4sin3 a 3.sin(a b) sinacosb cosasinb 2. sin 2a 2sin a cos a 3tan a tan3 a 3. tan 3a 4.sin(a b) sinacosb cosasinb 3. 2 tan a 2 tan 2a 2 1 3tan a tan a tan b 1 tan a 5. tan(a b) 1 tan a tan b 7. Cơng thức biến đổi tan a tan b 6. 3. Cơng thức hạ bậc: tích thành tổng 1 cos 2a 6. tan(a b) 1. cos2 a ; 1. 1 1 tan a tan b 2 cos a cos b [cos(a b) cos(a b)] 2 1 cos2a 2.sin2 a 1 2 2. sinasinb [cos(a b) cos(a b)] 1 cos 2a 2 3. tan2 a 1 cos 2a 1 3.sinacosb [sin(a b) sin(a b)] 2 8. Cơng thức biến đổi 9. Một số cơng thức cơ bản tổng thành tích 1. cos a sin a 2 cos(a ) ; 2. cosa sina 2sin(a ) a b a b 1. cosa cosb 2cos cos 4 4 2 2 a b a b 3. cos a sin a 2 cos(a ) ; 4. cosa sina 2sin(a ) 2. cosa cosb 2sin sin 4 4 2 2 5.cos4 a sin4 a 1 2sin2 acos2 a; 6.cos4 a sin4 a cos2a a b a b 6 6 2 2 6 6 2 2 3. sina sinb 2sin cos 7.cos a sin a 1 3sin acos a; 8. cos a sin a cos2a 1 sin acos a 2 2 a b a b sin a b sin a b 4.sina sinb 2cos sin 9. t ana tan b ; 10. t ana- tan b 2 2 cos a.cosb cos a.cosb 6
  7. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình lượng giác cơ bản: 2. Phương trình lượng giác đặc biệt: u v k2 1. sin u = 1 ; 2. sin u = -1 u k2 ; sin u = sin v ( k Z ) u k2 u v k2 2 2 3. sin u 0 u k ( k Z ) u v k2 4. cosu = 1 u k2 ; 5. cos u = -1 u k2 ; cos u = cos v ( k Z ) u v k2 6. cosu 0 u k ( k Z ) 2 tanu = tanv u = v + k ( k Z ) 7. tan u = 1 u k ; 8. tan u = -1 u k ; 4 4 9. tan u 0 u k ( k Z ) cotu = cotv u = v + k ( k Z ) 10. cot u = 1 u k ; 11. cot u = -1 u k ; 4 4 12. cot u 0 u k ( k Z ) 2 3. Phương trình bậc hai , bậc ba đối với một hàm số lượng giác: Đặt ẩn phụ: t sinx; t = cosx , điều kiện: 1 t 1; Đặt ẩn phụ: t sin2x; t = cos2x , điều kiện: 0 t 1; 4. Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx: acosx + bsinx = c (1) trong đó a2 + b2 0. Điều kiện để phương trình (1) cĩ nghiệm: a2 b2 c2 . Cách giải : chia hai vế phương trình cho a2 b2 , đưa pt về dạng :sin u = sin v hoặc cos u = cos v 5. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx : asin2x + bsinx cosx + c.cos2x = 0 . + Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm . +Xét cos x 0 chia hai vế của phương trình cho cos2x rồi đặt t = tanx, pt trở thành pt a.tan2 x b.t anx+c = 0 6. Phương trình đối xứng : a( sinx + cosx ) + b sinxcosx + c = 0 . t 2 1 a) Đặt t = sinx + cosx =2cos x - , điều kiện 2 t 2 khi đó sinx.cosx = 4 2 Ta đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai hoặc bậc 3 theo t . Gỉai chọn t, suy ra nghiệm x. b) Phương trình có dạng :a( sinx - cosx ) + bsinxcosx + c = 0 . Đặt t = sinx – cosx =2 sin x - , 4 điều kiện 2 t 2 khi đó sinx.cosx = 1 t 2 . Ta giải tương tự 6a). 2 7. Phương trình tích: A.B.C = 0 A 0  B 0  C 0 ; A 2 0 8. Tổng các bình phương: A 2 B 2 2 B 0 7
  8. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 B. HỐN VỊ - CHỈNH HỢP- TỔ HỢP - NHỊ THỨC NIUTƠN. XÁC SUẤT 1. Hốn vị: a. Định nghĩa: Cho tập A cĩ n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đĩ theo một thứ tự định trước là một phép hốn vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số phép hốn vị của tập hợp cĩ n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3 n; 0!=1! = 1. 2. Chỉnh hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A cĩ n phần tử. Xét số k ¥ mà 1 k n . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đĩ theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử. n! b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu Ak là: Ak n. n 1 n k 1 . n n n k ! 3. Tổ hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A cĩ n phần tử và số k ¥ mà 1 k n . Một tập hợp con của A cĩ k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. k n! n n 1 n k 1 k b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu C là: Cn n k! n k ! k! c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: * k n k * k k k 1 + Cho a, k ¥ :Cn Cn 0 k n ; + Cho a, k ¥ : Cn 1 Cn Cn 1 k n n n k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n 4. Khai triển nhị thức Niutơn: a b Cna b Cna Cna b Cna b Cnb k 0 Nhận xét: + Trong khai triển nhị thức Niuton ( a+b)n cĩ n + 1 số hạng. + Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n. + Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau. k n k k + Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì: T k 1 C n a b 0 1 2 n n + Cn Cn Cn Cn 2 ; 0 1 2 3 k k n n + Cn Cn Cn Cn 1 Cn 1 Cn 0 . 5. XÁC SUẤT 1. Biến cố Không gian mẫu : là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử. Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A  . Biến cố không: ; Biến cố chắc chắn: ; Biến cố đối của A: A  \ A ; Hợp hai biến cố: A  B .Giao hai biến cố: A  B (hoặc A.B); Hai biến cố xung khắc: biến cố này xảy ra thì biến cố kia khơng xảy ra.A  B =  Hai biến cố độc lập: nếu xác suất xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia. 2. Xác suất n(A)  Xác suất của biến cố: P(A) = = A ; 0 P(A) 1; P() = 1; P() = 0 n( )  (Với n(A): là số trường hợp thuận lợi để biến cố A xảy ra; n( ) là số trường hợp đồng khả năng của khơng gian mẫu) Xác suất của biến cố đối: P(A ) = 1 – P(A); Qui tắc cộng: nếu A  B =  thì P(A  B) = P(A) + P(B). Với A, B bất kì: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A.B); Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B) (Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng: a c 2b . Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân: a.c b2 ) 8
  9. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 C. DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN I. Phương pháp chứng minh qui nạp Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p ≥ 1 bằng phương pháp qui nạp, ta tiến hành theo 2 bước Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = p. Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ p (gọi là giả thiết qui nạp), chứng minh rằng nĩ cũng đúng với n = k + 1 II. Dãy số Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là dãy số vơ hạn Trong đĩ u1 là số hạng đầu và un là số hạng tổng quát III. Cách cho một dãy số 1. Dãy số cho bằng cơng thức số hạng tổng quát 2. Dãy số cho bằng phương pháp mơ tả: mơ tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. 3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi a. Cho số hạng đầu hay vài số hạng đầu b. Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng hoặc vài số hạng đứng trước nĩ. IV. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn 1. Dãy số tăng và dãy số giảm Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un với mọi số nguyên dương n Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu un+1 0 nên un+1 > un. 2. Dãy số bị chặn Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho: un ≤ M, với mọi số nguyên dương n. Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho: m ≤ un, với mọi số nguyên dương n. Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. V. Cấp số cộng 1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vơ hạn), trong đĩ kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nĩ cộng với số khơng đổi d. Số d gọi là cơng sai của cấp số cộng. Cơng thức truy hồi: un+1 = un + d với mọi số nguyên dương n. 2. Số hạng tổng quát: Nếu cấp số cộng (un) cĩ số hạng đầu u1 và cơng sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi cơng thức: un = u1 + (n – 1)d với n ≥ 2 3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng uk–m + uk+m = 2uk (với k > m ≥ 1) n(u1 un ) n[2u1 (n 1)d] 4. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: Sn = u1 + u2 + u3 + + un = 2 2 VI. Cấp số nhân 1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vơ hạn), trong đĩ kể từ số hạn thứ 2, mỗi số hạn đều là tích của số hạng đứng ngay trước nĩ với số khơng đổi q. Số q gọi là cơng bội của cấp số nhân. Nếu (un) là cấp số nhân với cơng bội q, ta cĩ un+1 = unq, với mọi số nguyên dương n. n–1 2. Số hạng tổng quát: un = u1q với n ≥ 2 3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân: (uk)² = uk–m.uk+m (k > m ≥ 1) 4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân n u1(1 q ) Cho cấp số nhân (un) với cơng bội q ≠ 1. Sn = u1 + u2 + + un = 1 q D. GIỚI HẠN I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP 1/ Chứng minh dãy số (un) cĩ giới hạn 0. Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un| ≤ vn, n và lim vn = 0 thì limun = 0 9
  10. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 2/ Tìm giới hạn của dãy số. Phương pháp: Vận dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vơ cực - Các quy tắc tìm giới hạn vơ cực của dãy số: 1 1 lim 0 ; lim 0 (k ¢ ) lim qn 0 ( q 1) ;lim C C k n n n n n n lim n lim nk (k ¢ ) lim qn (q 1) n n n Nếu lim un = a, lim vn = b thì : lim (un + vn) = a + b lim (un – vn) = a – b lim (un.vn) = a.b 1 +) Nếu limun = + thì lim 0 un limu limv = L lim(u v Dấu của un n n n n) limu =L limvn lim n v v L >0 n n L >0 + L 0 - 0 L >0 L < 0 + L < 0 L < 0 - Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số: Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n. 1 1 1 1 3 n 1 1 n2 n 3n VD: a) lim lim n b) lim lim n 1 2n 3 3 2 1 2n 1 2 2 n n 2 2 4 1 c) lim(n 4n 1) lim n 1 n n2 Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức a b a b a b; 3 a 3 b 3 a2 3 ab 3 b2 a b n2 3n n n2 3n n 3n 3 VD:lim n2 3n n =lim =lim = n2 3n n n2 3n n 2 Dùng định lí kẹp: Nếu un vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 sin n sin n 1 1 sin n VD: a) Tính lim . Vì 0 và lim 0 nên lim 0 n n n n n 3sin n 4 cosn b) Tính lim . Vì 3sin n 4 cosn (32 42 )(sin2 n cos2 n) 5 2n2 1 3sin n 4 cosn 5 5 3sin n 4 cosn nên 0 . Mà lim 0 nên lim 0 2n2 1 2n2 1 2n2 1 2n2 1 Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây: Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ bằng 0. Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu. 10
  11. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu(ta thường đặt nhân tử chung của tử, mẫu riêng). *Tính tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn Cho CSN (un) lùi vơ hạn (với q 1 ), ta cĩ : n u1 S u u q  u q  1 1 1 1 q 3/ Tìm giới hạn của hàm số a) Giới hạn đặc biệt: k k nếu k chẵn lim x x0 ; lim c c lim x ; lim x x x x x x x nếu k lẻ 0 0 ; c 1 1 1 1 lim c c ;;;lim 0 lim lim lim lim x x xk x 0 x x 0 x ; x 0 x x 0 x b) Định lí: lim f (x) L x x a) Nếu 0 thì: *lim  f (x) g(x) L M *lim  f (x) g(x) L M * lim  f (x).g(x) L.M lim g(x) M x x x x x x 0 0 0 x x0 f (x) L *lim (nếu M 0) x x0 g(x) M f(x) 0 b) Nếu lim f (x) L thì * L 0 * lim f (x) L x x x x0 0 c) Nếu lim f (x) L thì lim f (x) L x x0 x x0 c) Giới hạn một bên: lim f (x) L lim f (x) lim f (x) L x x x x x x + 0 0 0 1 + Nếu lim f x thì lim 0 x x0 x x0 f x lim f (x) lim g(x) lim f (x).g(x) lim f (x) lim g(x) f (x) x x x x Dấu của x x0 x x0 x x0 0 0 lim g(x) x x0 g(x) + ∞ L > 0 + ∞ + + ∞ - ∞ - ∞ L > 0 - - ∞ 0 + ∞ L < 0 - ∞ + - ∞ L < 0 - ∞ + ∞ - + ∞ 0 - Chú ý khi gặp các dạng vơ định: ; ; ;0. ta phải khử các dạng vơ định đĩ bằng cách: chia tử và 0 mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử và mẫu với một lượng liên hợp; 11
  12. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 Một số phương pháp khử dạng vơ định: 0 1. Dạng 0 P(x) a) L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0)= 0 x x0 Q(x) Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. x3 8 (x 2)(x2 2x 4) x2 2x 4 12 VD: lim lim lim 3 x 2 x2 4 x 2 (x 2)(x 2) x 2 x 2 4 P(x) b) L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc x x0 Q(x) Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. 2 4 x 2 4 x 2 4 x 1 1 VD: lim lim lim x 0 x x 0 x 2 4 x x 0 2 4 x 4 P(x) c) L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn khơng đồng bậc x x0 Q(x) m n m n Giả sử: P(x) = u(x) v(x) với u(x0 ) v(x0 ) a . Ta phân tích P(x) = m u(x) a a n v(x) . 3 x 1 1 x 3 x 1 1 1 1 x VD: lim lim x 0 x x 0 x x 1 1 1 1 5 = lim x 0 3 2 3 3 2 6 (x 1) x 1 1 1 1 x P(x) 2. Dạng : L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn. x Q(x) – Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. – Nếu P(x), Q(x) cĩ chứa căn thì cĩ thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp. 5 3 2 2x2 5x 3 x 2 VD: a) lim lim x 2 x 2 x 6 3 x 6x 3 1 x x2 3 2 2x 3 b) lim lim x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 1 x2 3. Dạng – : Giới hạn này thường cĩ chứa căn Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu. 1 x x 1 x x 1 VD: lim 1 x x lim lim 0 x x 1 x x x 1 x x 4. Dạng 0. : Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên. 12
  13. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 x x 2. x 0. 2 VD: lim (x 2) lim 0 x 2 x2 4 x 2 x 2 2 4/ Xét tính liên tục của hàm số Phương pháp: Xét tính liên tục của hsố f(x) tại x0: +) Tính f(x0) +) Tìm lim f x (nếu cĩ) x x0 - Nếu lim f x khơng tồn tại f(x) gián đoạn tại x0. x x0 - Nếu lim f x L f x0 f(x) gián đoạn tại x0 x x0 - Nếu lim f x L f x0 f(x) liên tục tại x0. x x0 5/ Chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình. Phương pháp: Vận dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 cĩ ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ; b). Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min f (x) ,M = max f (x) Khi đĩ với mọi T (m; M) luơn tồn tại ít a;b a;b nhất một số c (a; b) sao cho f(c) = T. 13
  14. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 HÌNH HỌC 11 A. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG I. Phép tịnh tiến  T : M M MM ' v v   Tv (M) = M , Tv (N) = N M ' N ' MN x ' x a T : M(x; y) M (x ; y ). Khi đó: v y' y b II. Phép đối xứng trục   Đd: M M M0M ' M0M (M0 là hình chiếu của M trên d) Đd(M) = M Đd(M ) = M Đd(M) = M , Đd(N) = N M N = MN x ' x ĐOx: M(x; y) M (x ; y ). Khi đó: y' y x ' x ĐOy: M(x; y) M (x ; y ). Khi đó: y' y III. Phép đối xứng tâm  ĐI: M M IM ' IM ĐI(M) = M ĐI(M ) = M   ĐI(M) = M , ĐI(N) = N M ' N ' MN x ' 2a x Cho I(a; b). ĐI: M(x; y) M (x ; y ). Khi đó: y' 2b y x ' x Đặc biệt: ĐO: M(x; y) M (x ; y ). Khi đó: y' y IV. Phép quay IM ' IM Q(I, ): M M (IM;IM ') Q(I, )(M) = M , Q(I, )(N) = N M N = MN nếu 0 · 2 Q(I, )(d) = d . Khi đó: d,d ' nếu 2 0 x ' y Q(O,90 ): M(x; y) M (x ; y ). Khi đó: y' x 0 x ' y Q(O,–90 ): M(x; y) M (x ; y ). Khi đó: y' x V. Phép vị tự   V(I,k): M M IM ' k.IM  (k 0) V(I,k)(M) = M , V(I,k)(N) = N M ' N ' k.MN x ' kx (1 k)a Cho I(a; b). V(I,k): M(x; y) M (x ; y ). Khi đó: y' ky (1 k)b 14
  15. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 B.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN, QUAN HỆ SONG SONG 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng : Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta có thể tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng. Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung đó. Các phương pháp khác: PP1: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng. Áp dụng định lí về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến. Giao tuyến sẽ là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy. PP2: Tìm phương của giao tuyến bằng cách sử dụng định lí: Nếu 2 mặt phẳng song song bị cắt bởi 1 mặt phẳng thứ ba thì 2 giao tuyến song song. Sử dụng định lí trên để xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi 1 mặt phẳng song song với 1 mặt phẳng cho trước. 2. Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P): Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho. Cụ thể: TH1: Trong (P) cĩ sẵn đường thẳng d’ cắt d tại I. Ta cĩ I là điểm cần tìm. TH2: Trong (P) khơng cĩ đường thẳng d’ cắt d. Khi đĩ ta thực hiện như sau: + Chọ mp phụ (Q) chứa d và (Q) cắt (P) theo giao tuyến d’. + Gọi I là giao điểm của d’ và d Ta cĩ I là điểm cần tìm. 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui: Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt. Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta có thể chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba. 4. Xác định thiết diện của một hình chóp với một mặt phẳng: Muốn xác định thiết diện của một hình chóp với mặt phẳng (P) ta có thể làm như sau: Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của hình chóp (có thể là mặt phẳng trung gian). Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp, ta sẽ được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác định được các giao tuyến mới với các mặt này 5. Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp: Có thể sử dụng 1 trong các cách sau: 1. Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, ) 2. Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba. 3. Áp dụng định lí về giao tuyến song song. 6. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp: Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đt d nào đó nằm trong (P). 7. Chứng minh hai mặt phẳng song song: Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia. 15
  16. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 C. QUAN HỆ VUƠNG GĨC CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuơng gĩc 0 Phương pháp 1: Chứng minh gĩc giữa hai đường thẳng a và b bằng 90 . Phương pháp 2: a  b u.v 0 (u, v lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b). Phương pháp 3: Chứng minh a  ( )  b hoặc b  ( )  a Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuơng gĩc ( a  b a  b' với b’ là hình chiếu của đt b lên mp chứa đt a).  Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuơng gĩc với mp (P). Phương pháp 1: Chứng minh: d  a và d  b với a  b = M; a,b  (P) Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a  (P) Phương pháp 3: Chứng minh: d  (Q)  (P), d  a = (P)  (Q). Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q)  (R) và (Q) (P), (R)  (P).  Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuơng gĩc. Phương pháp 1: Chứng minh (P)  a  (Q). Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R)  (Q). Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a  (Q).  Dạng 4: Tính gĩc giữa 2 đt a và b. Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’  b’ = O) - Khi đĩ: (a, b) = (a’, b’).  Dạng 5: Tính gĩc giữa đt d và mp(P). Phương pháp: Gọi gĩc giữa đt d và mp(P) là +) Nếu d  (P) thì = 900. +) Nếu d khơng vuơng gĩc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P) - Khi đĩ: = (d,d’)  Dạng 6: Tính gĩc giữa hai mp (P) và (Q). Phương pháp 1: - Xác định a  (P), b  (Q). - Tính gĩc = (a,b) Phương pháp 2: Nếu (P)  (Q) = d - Tìm (R)  d - Xác định a = (R)  (P) - Xác định b = (R)  (Q) - Tính gĩc = (a,b).  Dạng 7: Tính khoảng cách. Tính khoảng từ một điểm M đến đt a: Phương pháp: d(M ,a) MH (với H là hình chiếu vuơng gĩc của M trên a). Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P): Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P). - d(M, (P)) = AH Tính khoảng giữa đt và mp (P) song song với nĩ: d( , (P)) = d(M, (P)) (M là điểm thuộc ). Xác định đoạn vuơng gĩc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b: 16
  17. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 +) Phương pháp 1: Nếu a  b : - Dựng (P)  a và (P)  b - Xác định A = (P)  b - Dựng hình chiếu H của A lên b - AH là đoạn vuơng gĩc chung của a và b +) Phương pháp 2: - Dựng (P)  a và (P) // b. - Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’  a = H - Dựng đt vuơng gĩc với (P) tại H cắt đt b tại A. - AH là đoạn vuơng gĩc chung của a và b. +) Phương pháp 2: - Dựng đt (P)  a tại I cắt b tại O - Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O). - Kẻ IK  b’ tại K. - Dựng đt vuơng gĩc với (P) tại K, cắt b tại H. - Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A. - AH là đoạn vuơng gĩc chung của a và b. 17
  18. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 GIẢI TÍCH 12 I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1) Đạo hàm của các hàm số đơn giản : / / / 1 n / n 1 C 0 x 1 x x nx 2 x 2) Các quy tắc tính đạo hàm : / / / / / / / / / / u v u v u v u v u.v u v uv u u / v uv / v v 2 / / / / / / / / k.u k.u , k R 1 v / k v / u.v.w u vw uv w uvw k. v v 2 v v 2 / / / / / / / 1 1 ax b ad bc u u y x y u .u x , k R x x 2 cx d cx d 2 k k (Đạo hàm của hàm số hợp ) 3)Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản: Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp (u u x ) / / x .x 1 u .u 1.u / / / 1 1 1 v / x x 2 v v 2 / / 1 / u x u 2 x 2 u sin x / cos x sin u / u / .cosu cos x / sin x cosu / u / .sin u / / 1 2 / u / 2 tan x 2 1 tan x tan u u 1 tan u cos x cos 2 u / / 1 2 / u / 2 cot x 2 1 cot x cot u u . 1 cot u sin x sin 2 u / / ex ex eu u / .eu / / a x a x .ln a a u a u .u / .ln a / / 1 / u ln x ln u x u / / 1 / u log a x log u x.ln a a u.ln a A. XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1. Xét tính đơn điệu của hs y = f(x) nhờ đạo hàm: Hs y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a;b) y’ 0 (y’ 0)  x (a;b) ( y’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b)) PP: B1: Tìm TXĐ ' ' ' B2: Tìm y và các điểm tới hạn(x 0 x0TXĐ mà y ( )x =0 0 hoặc y ( )x khơng0 XĐ) B3: Lập bảng biến thiên B4: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến. 18
  19. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 2. Phương pháp tìm cực trị của hàm số y = f(x): * PP1: B1: Tìm TXĐ ' ' ' B2: Tìm y và các điểm tới hạn(x 0 x0TXĐ mà y ( )x =0 0 hoặc y ( )x khơng0 XĐ) B3: Lập bảng biến thiên B4: Tìm cực trị nếu cĩ / Chú ý: Khi x vượt qua x0 mà y đổi dấu từ (+) sang (-) thì tại x0 hs đạt giá trị cực đại / y đổi dấu từ (-) sang (+) thì tại x0 hs đạt giá trị cực tiểu / y khơng đổi dấu thì tại x0 hs khơng đạt cực trị. * PP2: B1: Tìm TXĐ ' ' ' B2: Tìm y và các điểm tới hạn(x 0 x0TXĐ mà y ( )x =0 0 hoặc y ( )x khơng0 XĐ) B3: Tìm y”, y”(x0 ) và tìm cực trị nếu cĩ Chú ý: Nếu y”(x0 ) 0 thì tại x0 hs đạt giá trị cực tiểu Nếu y”(x0 ) = 0 thì ta chuyển về PP1 để tìm cực trị 3. Hàm số y = f(x) cĩ n điểm cực trị y/ = 0 cĩ n nghiệm phân biệt . / / f (x0 ) 0 f (x0 ) 0 4. f(x) đạt cực đại tại x nếu ; f(x) đạt cực tiểu tại x nếu 0 // 0 // f (x0 ) 0 f (x0 ) 0 / f (x0 ) 0 5. f(x) cĩ đạo hàm và đạt cực trị bằng c tại x x0 f (x0 ) c B. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HS I. PP sử dụng Đạo hàm: 1/ Tìm GTLN; GTNN của hs y = f(x) liên tục trên [a;b]: - Tìm y’ và các nghiệm xi [a;b] của pt y’ = 0 - Tính f(a) ; f(b) ; f(xi ), từ đĩ suy ra GTLN; GTNN của hs y = f(x) trên [a;b] 2/ Tìm GTLN; GTNN của hs y = f(x): - Tìm TXĐ - Tìm y’ và các nghiệm xi [a;b] của pt y’ = 0 - Lập bảng biến thiên, từ đĩ suy ra GTLN; GTNN của hs y = f(x) II. PP dùng Miền giá trị hàm: B1: Xem y = f(x) là phương trình ẩn x và tham số y B2: Tìm điều kiện của y để phương trình y = f(x) cĩ nghiệm B3: Kết luận Miny và Maxy. ax2 bx + c * Hs y = cĩ TXĐ D = R được biến đổi về dạng : Ax2 + Bx + C = 0 (1) a'x2 b' x c ' - Với A = 0, tìm nghiệm x của pt (1) Miny m - Với A 0, ĐK để Pt cĩ nghiệm là 0, suy ra m y M Maxy = M * Hs y = f(sinx ;cosx) cĩ TXĐ D = R và được biến đổi về dạng a.cosx + b.sinx = c (2) 19
  20. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 2 2 2 Miny m ĐK để Pt (2) cĩ nghiệm là a b c . Từ đĩ suy ra m y M Maxy = M C.KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số : a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba :y ax 3 ax 2 cx d a 0 - TXĐ : D R - Tính đạo hàm y / ; giải phương trình y / 0 tìm x ? y ? - Tính giới hạn : nếu a 0 lim y ; limy ; nếu a 0 limy ; limy , x x x x - Lập bảng biến thiên ( xét dấu y / ), suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến ,điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số. - Đồ thị : + Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu . + Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . Đồ thị của hàm số cĩ một tâm đối xứng . Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba: y ax 3 ax 2 cx d a 0 Nếu a 0 Nếu a 0 Nếu phương trình y / 0 cĩ 2 y y nghiệm phân biệt x1; x2 + Hàm số cĩ hai cực trị + Hàm số cĩ 1 điểm uốn O O x2 x1 x x2 x1 x Nếu phương trình y / 0 cĩ nghiệm y y kép x x1 x2 + Hàm số cĩ khơng cĩ cực trị + Hàm số cĩ 1 điểm uốn O x O x Nếu phương trình y / 0 vơ nghiệm y y + Hàm số cĩ khơng cĩ cực trị + Hàm số cĩ 1 điểm uốn O x O x b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương :y ax 4 bx 2 c a 0 - TXĐ : D R - Tính đạo hàm y / ; giải phương trình y / 0 tìm x ? y ? - Tính giới hạn : nếu a 0 lim y ; lim y ; nếu a 0 lim y ; lim y x x x x - Lập bảng biến thiên (xét dấu y / ), suy ra khoảng đồng biến ,nghịch biến; điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số - Đồ thị : + Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu . 20
  21. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 + Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . Đồ thị của hàm số đối xứng qua trục.Oy Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn: y ax 4 bx 2 c a 0 Nếu a 0 Nếu a 0 Nếu phương trình y / 0 cĩ 3 y y nghiệm phân biệt.x1; x2 ; x3 + Hàm số cĩ ba cực trị x 1 O x 3 x x 1 O x 3 x Nếu phương trình y / 0 cĩ 1 y y nghiệm x 0 x + Hàm số cĩ khơng cĩ cực trị O x O ax b c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm phân thức :y , a 0,ad bc 0 cx d d  / d - TXĐ :D R \  y 0;x , nếu ad bc 0 c  c ad bc - Tính đạo hàm y / cx d 2 d y / 0;x , nếu ad bc 0 c a d - Tính giới hạn và kết luận các đường tiệm cận : y là tiệm cận ngang ; x là tiệm cận đứng c c - Lập bảng biến thiên : / d x d *Nếu y 0;x c c y / + + a a y c c d d Hàm số luơn đồng biến trên từng khoảng ; và ; và khơng cĩ cực trị . c c / d *Nếu y 0;x x d c c y / a a y c c d d Hàm số luơn nghịch biến trên khoảng ; và ; và khơng cĩ cực trị . c c - Cho điểm đặc biệt : 21
  22. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 b + Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung (nếu cĩ): Cho x 0 y d b + Tìm giao điểm của đồ thị với trục hồnh (nếu cĩ): Cho y 0 ax b 0 x a - Vẽ đồ thị : + Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . d a + Đồ thị gồm hai nhánh đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận hay điểm I ; . c c +Ta vẽ hai đường tiệm cận trước , rồi vẽ 2 nhánh riêng biệt đối xứng nhau qua I . ax b Các dạng đồ thị của hàm phân thức :y , a 0,ad bc 0 cx d y/ 0 y/ 0 y y a y c x O O x a y c d x c 2) Các bài tốn liên quan đến khảo sát hàm số : a) Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình cho trước g x,m 0 1 Cách giải : + Đưa phương trình 1 về dạng : f x Am B , trong đĩ y f x là đồ thị C đã vẽ và y Am B d là đường thẳng song song hoặc trùng với trục.Ox + Số nghiệm của phương trình 1 là số hồnh độ giao điểm của đồ thị vàC d + Dựa vào đồ thị biện luận (cĩ 5 trường hợp ), thường dựa vào yCĐ và yCT của hàm số để biện luận . b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x tại điểm M x0 ; y0 C Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị C của hàm số y f x tại điểm M x0 ; y0 C cĩ dạng : / / y f x0 x x0 y0 2 . Thế xđã0 ; choy0 ; hoặcf x 0vừa tìm vào ta được tiếp tuyến 2 cần tìm. c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x biết tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k cho trước: Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị C của hàm số y f x cĩ dạng : y k x x0 y0 3 / Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm . Do tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k nên f x0 k , giải phương trình tìm được x0 y0 f x0 .Suy ra phương trình tiếp tuyến (3) d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C của hàm số y f x biết tiếp tuyến song song hoặc vuơng gĩc với một đường thẳng cho trước. Cách giải : Phương trình tiếp tuyến cĩ dạng : y k x x0 y0 4 22
  23. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm . / + Nếu tiếp tuyến song song với đthẳng d : y ax b thì f x0 a , giải pt tìm được.x0 y0 f x0 Kết luận phương trình tiếp tuyến . 1 + Nếu tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng d : y ax b thì f / x .a 1 f / x . 0 0 a Giải phương trình này tìm được x0 y0 f x0 . Kết luận phương trình tiếp tuyến . e) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn a;b : Cách giải : / / + Tính f x , giải phương trình f x0 0 tìm nghiệm x0 a;b; Tính các giá trị : f a ;f x0 ; f b + Kết luận : (f x ) max f a ; f x ; f b ; M inf x Min f a ; f x0 ; f b  max  0  a;b a;b f) Tìm tham số m để hàm số y f x cĩ cực trị (cực đại, cực tiểu ): Cách giải : + Tính đạo hàm y / , tính hoặc / của y / . / a 0 + Để hàm số cĩ cực đại , cực tiểu thì phương trìnhy 0 cĩ hai nghiệm phân biệt  0 m g) Tìm tham số m để hàm sốy f x đạt cực trị tại x x0 : Cách giải : + Tính đạo hàm y / f / x ; / + Hàm số đạt cực trị tại x x0 f x 0 m h) Tìm tham số m để hàm sốy f x đạt cực đại tại x x0 : Cách giải :+ Tính đạo hàm y / f / x ; + Tính đạo hàm y // f // x ; / f x0 0 + Hàm số đạt cực đại tại x x  // m 0 f x0 0 i) Tìm tham số m để hàm số đạty cựcf x tiểu tại : x x0 Cách giải : + Tính đạo hàm y / f / x ; + Tính đạo hàm y // f // x / f x0 0 + Hàm số đạt cực tiểu tại x x  // m 0 f x0 0 k) Tìm tham số m để hàm số y f x luơn đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ D của nĩ. Cách giải : + Tìm MXĐ D của hàm số y f x . + Tính đạo hàm y / f / x , tính hoặc / của y / . / a 0 + Hàm số đồngy f biến x trên D y 0  x D  0 m / a 0 + Hàm số nghịchy f x biến trên D y 0x D  0 m l) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của hàm số y f x Cách giải 1 : + Tìm điểm cực đại A x A ; y A và điểm cực tiểu Bcủa x Bhàm; yB số y f x x x y y + Viết phương trình đường thẳng AB : A A xB x A yB y A Cách giải 2 : Cho hàm số bậc ba y f x +Tính y’. Viết lại y y '.g x h x .Gọi x1, x2 lần lượt là hai điểm cực trị, ta cĩ y ' x1 0; y ' x2 0 . + Khi đĩ, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y h x . f x f ' x Cho hàm số hữu tỷ y , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y . g x g ' x 23
  24. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 II . LŨY THỪA, LƠGARIT, PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT 1. Tính chất của lũy thừa: Với a 0;b 0 và với các số nguyên m, n ta cĩ: m n a n n n n a a n m n m n m n m mn 4. ab a .b ; 5. 1. a .a a ; 2. n a ; 3. a a n a b b Cho m,n là những số nguyên: Với a 0 thì am an m n ; Với 0 a 1 thì am an m n 2. Lơgarit: 1. Định nghĩa: 2. So sánh hai logarit cùng cơ số 3. Các quy tắc tính lơgarit: a. Khi 1 thì loga 1 0;loga a 1 loga bc loga b loga c log b log c b c log ab b,b ¡ b a log a log a b log a c c log b b. Khi 0 1 thì a a b,b ¡ ,b 0 log b log c b c loga b loga b 4. Với số a dương khác 1, số dương b và số 5. Với a,b là số dương khác 1 và c là số dương, nguyên dương n , ta cĩ: log c ta cĩ: a hay log b.log c log c logb c a b a 1 n 1 log b log log b ; ;log b log b a a b a a n a 1 ; log b.log a 1 loga b a b logb a 3. Gỉai phương trình mũ và lơgarit : Dạng cơ bản: f (x) g(x) f (x) 1. a = a f(x) = g(x) ; 2. a = b ( với b > 0 ) f(x) = loga b f (x) 0 loga f (x) b b 3. loga f(x) = loga g(x) 4. f(x) = a ; f (x) g(x) 0 a 1 Đặt ẩn phụ : 2f (x) f (x) f (x) b f (x) b f (x) f (x) 1. a +.a +  = 0 ; Đặt : t = a , t > 0; 2. a +.a +  = 0 ; Đặt : t = a , t > 0 Lơgarit hoá hai vế : 4. Giải bất phương trình mũ và lơgarit f (x) g(x) f (x) g(x) khi a 1 1. a > a ; f (x) g(x) khi 0 a 1 f (x) 2. a > b Nếu b > 0 f(x) > loga b nếu a > 1; f(x) loga g(x) (*) Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 1, (*) f(x) > g(x) ; 0 b . Nếu a > 1 : bpt là f(x) > a . Nếu 0 1 a >1 y y y y 1 1 1 x x x 1 x O O OO OO 24
  25. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 III .NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN 1. Nguyên hàm Cơng thức nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Một số cơng thức mở rộng 1. ; 2. dx 1dx x C cos ax b 0dx C 13. sin ax b dx C x 1 1 a 3. x dx C 1 ; 4. dx ln x C 1 x sin ax b 14 cos ax b dx C 5. sin xdx cos x C ; 6. cos xdx sin x C; a 1 1 1 tan ax b 7. 8. 15. dx C; 2 dx tan x C; dx cot x C. 2 cos x sin2 x cos ax b a x a x x 9. x , 0 a 1 ; 10. e dx e C; 1 cot ax b a dx C 16. dx C. ln a sin2 ax b a ax b 1 1 ln ax b 11. 1 ; 12. dx C ax b ax b dx C e a 1 ax b a 17. e ax b dx C; a 2. Tích phân a/. Tính chất: Giả sử các hàm số f , g liên tục trên K và a,b,c là ba số bất kì thuộc K . Khi đĩ ta cĩ: a b c c b b 1. 3. f x dx 0 f x dx f x dx f x dx 5. kf x dx k f x dx a a b a b a b b b a a 2. 4. f x dx f x dx f x g x dx f x dx g x dx ( với k ¡ . ) a b a a a b u b b/ Phương pháp đổi biến số: f u x u' x dx f u du a u a Trong đĩ: u u x cĩ đạo hàm liên tục trên K , hàm số y f u liên tục và sao cho hàm hợp f u x xác định trên K ; a và b là hai số thuộc K . b b b b c/ Phương pháp tích phân từng phần: u x v' x dx u x v x |b v x u' x dx Hay udv uv |b vdu a a a a a a Trong đĩ các hàm số u,v cĩ đạo hàm liên tục trên K và a,b là hai số thuộc K d/ Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng. C : y f x b + Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi: là S f x dx Ox : y 0 a 2dt : x a; x b C1 : y f x b + Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi: là S f x g x dx C2 : y g x a 2dt : x a; x b e/ Ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thể trịn xoay C : y f x + Thể tích khối trịn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi: Ox : y 0 2dt : x a; x b b 2 quay quanh trục hồnh là: V f x dx a 25
  26. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 IV. SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC. A. SỐ PHỨC (DẠNG ĐẠI SỐ) 1/ Số i: qui ước i2 1; Tập số phức: £ ; 2/ Số phức dạng đại số : z = a bi ( trong đĩ: a là phần thực, b là phần ảo a, b là các số thực, i là đơn vị ảo ) a1 a2 3/ Số phức bằng nhau: Cho z1 a1 b1i , z2 a2 b2i : z1= z2 b1 b2 4/ Biểu diễn hình học số phức: Điểm M biểu diễn cho số phức z a bi : M a;b 5/ Cộng, trừ, nhân hai số phức: Cho z1 a1 b1i , z2 a2 b2i a/ z1 z2 a1 a2 b1 b2 i ; b/ z1 z2 a1 a2 b1 b2 i ; c/ z1.z2 a1a2 b1b2 a1b2 a2b1 i 6/ Số phức liên hợp của z a bi là: z a bi a bi ( Chú ý: z z ) 7/ Mơđun của số phức z a bi : z a2 b2 ; 1 8/ Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số: z 1 z z 2 9/ Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z2 w được gọi là một căn bậc hai của w. a/ w là số thực: + Căn bậc hai của 0 là 0 + a 0 : cĩ 2 căn bậc hai là a và - a ; + a 0 : cĩ 2 căn bậc hai là a i và - a i . Chú ý: Hai căn bậc hai của -1 là i và -i b/ w là số phức: w a bi a,b ¡ ; b 0 : 2 z x yi x, y ¡ là căn bậc hai của w khi và chỉ khi: z2 w x yi a bi 2 2 2 2 2 2 x y a Do x yi x y 2xyi nên z w 2xy b Mỗi cặp số thực x; y nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai z =x yi của số phức w. 10/ Phương trình bậc hai: az2 bz c 0 1 ,(a 0;a,b,c là những số phức). Xét b2 4.a.c b b + Nếu 0 , (1) cĩ 2 nghiệm thực phân biệt: z , z 1 2a 2 2a b + Nếu 0 , (1) cĩ nghiệm kép: z z 1 2 2a b i b i + Nếu 0 , (1) cĩ 2 nghiệm phức phân biệt: z , z . 1 2a 2 2a 26
  27. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 HÌNH HỌC 12 I. HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 1 1. Khối chĩp: Thể tích V Sđ .h , với h: chiều cao, S : diện tích đáy. 3 đ h h h h h Khối chĩp cĩ đáy là Khối chĩp cĩ một cạnh bên Khối tứ diện đều Khối chĩp cĩ một cạnh Khối chĩp đều. một tam giác bất kì vuơng gĩc với đáy. bên vuơng với đáy là hình bình hành h h h h h Khối chĩp cĩ đáy Khối chĩp cĩ đáy Khối chĩp cĩ Trường hợp đáy là Khối chĩp đáy là hình là một tứ giác là một hình thang đáy là một hình một hình thang thang cĩ cạnh bên vuơng gĩc với đáy. vuơng thang cân h 2. Khối lăng trụ: Thể tích V Sđ . h ,với h là chiều cao, Sđ là diện tích đáy h h a h b c h Khối hộp Khối hộp chữ nhật Khối lập phương Khối lăng trụ cĩ đáy là Khối lăng trụ đứng cĩ ( các mặt đều là hình một tam giác bất kì. đáy là một tam giác bình hành). 3. Khối nĩn: bất kì. S Diện tích hình trịn: S R2 (với R là bk) Chu vi đường trịn: 2 R h Diện tích xung quanh của hình nĩn: Sxq = rl ( với l là đường sinh) Diện tích tồn phần của hình nĩn: Stp= Sxq + Sđ 1 R B Thể tích của khối nĩn: V Sđ .h , (với h là chiều cao). A H 3 4. Khối trụ: * Diện tích hình trịn: S R2 (với R là bk) * Chu vi đường trịn: 2 R h h * Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq 2 Rh ( với h là chiều cao và h= l là đường sinh) R * Diện tích tồn phần của hình trụ: Stp= Sxq + 2Sđ R * Thể tích của khối trụ: V Sđ .h 2 4 5. Khối cầu: a. Diện tích mặt cầu: S 4 R ; b. Thể tích khối cầu: V R3 3 6. Diện tích các đa giác cần nhớ: 1 a 2 3 a 3 a. ABC vuơng ở A : S= AB.AC ; b. ABC đều cạnh a: diện tích S= ; đường cao: h= 2 4 2 c. Diện tích hình vuơng : S = cạnh x cạnh; d. Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng e. Diện tích hình thoi : S = 1 (chéo dài x chéo ngắn); f. Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao 2 1 g. Diện tích hình thang :S [(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao]; h. Diện tích hình trịn : S .R2 2 27
  28. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN A. TỌA ĐỘ VECTƠ - TỌA ĐỘ ĐIỂM 1.Chou x; y; z ;v x'; y'; z' : u v x x'; y y'; z z' ; k u kx;ky;kz  ' ' ' x y z 2.Chou x; y; z ;v x ; y ; z ; u cùng phương v u kv ' ' ' k x y z x x x A B I 2 3. Nếu I xI ; yI ; zI là trung điểm của đoạn AB thì: yA yB yI 2 zA zB zI 2 x x x x A B C G 3 4. Nếu G xG ; yG ; zG là trọng tâm của tam giác ABC thì : yA yB yC yG 3 zA zB zC zG 3 x x x x x A B C D E 4 5. Nếu E xE ; yE ; zE là trọng tâm tứ diện ABCD thì: yA yB yC yD yG 4 zA zB zC zD zG 4 B. TÍCH VƠ HƯỚNG – TÍCH CĨ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG. Cho a x ; y ; z ;b x ; y ; z 1 1 1 2 2 2 1. Tích vơ hướng của hai vectơ: a.b x1.x2 y1.y2 z1.z2 là một số thực; a  b x1x2 y1 y2 z1z2 0 2 2 2 2. Độ dài vectơ: a x1 y1 z1  2 2 2 3.AB xB xA; yB yA; zB zA ;AB xB xA yB yA zB zA (khoảng cách giữa hai điểm A và B) 2 2 2 2 2 4.Bình phương vơ hướng: a a x1 y1 z1 a.b x x y y z z 5.Gĩc giữa hai vectơ: Gọi là gĩc giữa hai vectơ a và b thì cos 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 a . b x1 y1 z1 . x2 y2 z2 6.Tích cĩ hướng của hai vectơ: y z z x x y +Định nghĩa: a,b 1 1 ; 1 1 ; 1 1 y .z y .z ; z .x z .x ; x .y x .y là một vectơ. 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 y2 z 2 z2 x 2 x2 y 2 +Tính chất: +. a,b  a; a,b  b ; +. a cùng phương với b khi và chỉ khi a,b 0 +. a,b a . b sin ( là gĩc giữa hai vectơ a và b ) II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU + Trong K.gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính r cĩ phương trình: (x a)2 (y b)2 (z c)2 r2 + Phương trình : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 với a2 b2 c2 d 0 là phương trình mặt cầu cĩ tâm I(–a; –b; –c) và bán kính r a2 b2 c2 d III- PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Phương trình mặt phẳng : 28
  29. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 1) Véctơ pháp tuyến của mp: là n 0 , cĩ giá vuơng gĩc với mp 2) Cặp véctơ chỉ phương của mp: là cặp vectơ a;b 0 , khơng cùng phương và cĩ giá cùng phương với mp Chú ý: Biết cặp vtơ chỉ phương a (a ;a ;a ) , b (b ;b ;b ) =>Vectơ pháp tuyến: n a;b 1 2 3 1 2 3 3) ptmp: mp ( ) đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) và cĩ vtpt n (A; B;C) : A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) + C(z - z 0 ) = 0 * Đặc biệt: D = 0  ( ) đi qua gốc O C = 0, D 0  ( ) // Oz ; C = 0, D = 0  ( ) chứa Oz B = C = 0, D 0  ( ) // (Oyz) ; B = C = 0, D 0  ( )  (Oyz) ; ( các trường hợp khác suy ra tương tự) o Phương trình mp(Oxy) : z = 0 o Phương trình mp(Oyz) : x = 0 o Phương trình mp(Oxz) : y = 0 * Nếu mặt phẳng (P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với abc 0 thì mặt phẳng (P) cịn được viết x y z dưới dạng : 1 (2) được gọi là phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn. a b c  * Cho hai mp (P ) : A x B y C z D 0 ,(P ) : A x B y C z D 0 . Ta cĩ n (A ;B ;C ) và  1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n (A ;B ;C ) lần lượt là vectơ pháp truyến của (P ) và (P ) , ta cĩ: 2 2 2 2   1 2 n1 kn2 1) (P1 ) P (P2 ) D1 kD2   n1 kn2 2)(P1 )  (P2 ) D1 kD2   3) (P ) cắt (P ) n kn 1 2  1  2   4) (P1)  (P2 ) n1  n2 n1.n2 0 A1 A2 B1B2 C1C2 0 3. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Ax0 By0 Cz0 D Cho (P):Ax By Cz D 0 và điểm M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) : d M0 ,(P) A2 B2 C2 IV- PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và cĩ VTCP a (a1;a2 ;a3 ) cĩ dạng: x x0 ta1 y y0 ta2 , trong đĩ t là tham số. z z0 ta3 x x0 y y0 z z0 Chú ý: Nếu a1, a2, a3 đều khác 0 thì cĩ thể viết PT của dưới dạng chính tắc: a1 a2 a3 * Cho hai đường thẳng d và d lần lượt cĩ VTCP là a (a ;a ;a ), a (a ;a ;a ) và M (x ; y ; z ) d ,  1 2 3 1 2 3 0 0 0 M '(x, ; y, ; z, ) d ' . Đặt n a,a ' , ta cĩ các điều kiện sau: 0 0 0 29
  30. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 n 0 1) d // d M d n 0 2) d  d M d n 0 3) d cắt d  n.MM 0  4) d  d ' a.a ' 0  5) d chéo d’ n.MM' 0 Chú ý: Cĩ thể xét VTTĐ của 2 đường thẳng ( ), ( ’) bằng cách giải hệ ' - Nếu hệ cĩ nghiệm duy nhất thì ( ) cắt ( ’), nghiệm tìm được là tọa độ giao điểm - Nếu hệ cĩ vơ số nghiệm thì ( )  (’) - Nếu hệ vơ nghiệm thì ( ) // ( ’) khi 2 VTCP cùng phương hoặc ( ) chéo ( ’) khi 2 VTCP khác phương V. VTTĐ GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG : x x ta 0 1 Cho (P): Ax By Cz D 0 , cĩ vtpt n (A; B;C) và d : y y0 ta2 , cĩ M (x0 ; y0 ; z0 ) d, z z0 ta3 VTCP a (a1;a2 ;a3 ) a.n 0 a.n 0 d //(P) d  (P) M (P) M (P) d c¾t (P) a.n 0 d  (P) n k.a VI. GĨC 1/ Gĩc giữa 2 mặt phẳng: Cho 2 mp: ( ): Ax + By + Cz + D = 0; ( ): A’x + B’y + C’z + D’ = 0. AA' + BB' + CC' Gọi là gĩc giữa 2 mp, ta cĩ: cos = A2 B2 C 2 . A' 2 B ' 2 C ' 2 2/ Gĩc giữa 2 đường thẳng: Cho 2 đường thẳng: ( ) cĩ véctơ chỉ phương a (a ;a ;a ) 1 2 3 ( ’) cĩ véctơ chỉ phương b (b ;b ;b ) 1 2 3 a.b Gọi là gĩc giữa 2 đường thẳng, ta cĩ: cos = a . b 3/ Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng: ( ) cĩ véctơ chỉ phương a (a ;a ;a ) và mp: ( ) cĩ vtpt n = (A; B; C) 1 2 3 a.n Gọi là gĩc giữa ( ) & ( ), ta cĩ: sin = a . n 30
  31. Tổng hợp lý thuyết tốn chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG 2019 4/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu: 2 2 2 Cho mặt cầu (S): x a y b z c R2 và mp : Ax By Cz D 0 Nếu d I, R thì mp khơng cắt mặt cầu (S). Nếu d I, R thì mp tiếp xúc mặt cầu (S) tại H ( IH  tại H). Mặt phẳng được gọi là tiếp diện của (S) tại H. Nếu d I, R thì mp cắt mặt cầu (S) theo đường trịn (C) cĩ phương trình là 2 2 2 x a y b z c R2 Đường trịn (C) được gọi là đường trịn giao tuyến. Ax By Cz D 0 Tâm H của đường trịn (C) là hình chiếu của tâm I trên mp . Chúc các em ơn tập hiệu quả và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới ! 31