Trao đổi chuyên môn môn Toán Lớp 12 - Tỉ số diện tích và diện tích trong tam giác - Nguyễn Ngọc Ân

Nội dung text: Trao đổi chuyên môn môn Toán Lớp 12 - Tỉ số diện tích và diện tích trong tam giác - Nguyễn Ngọc Ân

1. Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com TỈ SỐ DIỆN TÍCH VÀ DIỆN TÍCH TRONG TAM GIÁC Trong tài liệu Hướng dẫn giải toán trên máy tính CASIO fx-570VN PLUS dành cho các lớp 10 -11-12 của TS. Nguyễn Thái Sơn, giảng viên trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh, xuất bản năm 2015 có giới thiệu một kết quả liên quan đến tỉ số diện tích trong tam giác nhưng không trình bày chứng minh. Bài viết nhỏ này làm rõ và bổ sung thêm một số tỉ số diện tích và diện tích trong tam giác với mong muốn chia sẻ cùng các đồng nghiệp. Tỉ số diện tích và diện tích trong tam giác liên quan đến các đường đặc biệt trong tam giác được xác định theo số đo các góc trong hoặc các cạnh của nó cũng là một bài toán thú vị khi dạy giải toán hình học cho học sinh, nhất là bồi dưỡng học sinh giỏi Máy tính cầm tay. 1. Bài toán mở đầu: Tính tỉ số diện tích tam giác liên quan đến trung tuyến: Cho tam giác ABC có ba trung tuyến AA’, BB’ và CC’. Gọi S và S’ lần lượt là diện tích các tam giác ABC và A’B’C’. Tính tỉ số giữa S’ và S. GIẢI: Đây là bài toán dễ cho học sinh. Có thể nêu vài cách tính tỉ số này như sau. A C’ B’ B A’ C Cách 1: Vì hai tam giác A’B’C’ và ABC đồng dạng theo tỉ 1/2 nên ta có: 2 S ' 1 1 . S 2 4 Cách 2: Dùng phương pháp trừ diện tích: ký hiệu S AC’B’ là diện tích tam giác AC’B’, ta có: 1 1 S ' 1 S ' S S S S S 3S S 3. S S AB 'C ' BC ' A' CA'B ' AB 'C ' 4 4 S 4 2 SAC 'B ' 1 1 Cách 3: Vì hai tam giác A’B’C’ và AC’B’ bằng nhau, dễ thấy , S 2 4 S ' 1 suy ra . S 4 1 Tỉ số diện tích trong tam giác
2. Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com Cách 4: Tam giác A’B’C’ có cạnh đáy và đường cao tương ứng cùng bằng 1/2 S ' 1 cạnh đáy và đường cao tương ứng của tam giác ABC. Suy ra . S 4 S ' 1 Vậy ta có: . S 4 2. Tỉ số diện tích tam giác liên quan đến phân giác: Cho tam giác ABC có 3 cạnh BC = a, CA = b, AB = c, ba đường phân giác trong lần lượt là AA’, BB’ và CC’. Gọi S và S’ lần lượt là diện tích các tam giác ABC và A’B’C’. Tính tỉ số giữa S’ và S. GIẢI: A B’ C’ B A’ C Sử dụng tính chất chân đường phân giác trong của tam giác, xét điểm A’, ta có: A'B AB AB AB AB.BC A'B A'C. A'B (BC A'B). A'B . A'C AC AC AC AB AC AC.BC Do đó: A'C BC A'B . Tương tự cho hai phân giác còn lại. Vậy: AB AC AB.BC AC.BC A'B , A'C AB AC AB AC AB.AC BC.AC B' A , B'C , AB BC AB BC AC.AB BC.AB C ' A ,C 'B . AC BC AC BC Từ đây, ta có: SAB 'C ' AB' AC ' AB.AC . S AC AB (AB BC)(AC BC) ABC S BC ' BA' AB.BC BC ' A' . SABC BA BC (AC AB)(AC BC) S CA' CB' AC.BC CA'B ' . SABC CB CA (AB AC)(AB BC) 2 Tỉ số diện tích trong tam giác
3. Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com Cộng lại ta được: S S S bc ca ba AB 'C ' BC ' A' CA'B ' SABC SABC SABC (c a)(b a) (c b)(b a) (c b)(c a) S S S bc ca ba AB 'C ' BC ' A' CA'B ' SABC (c a)(b a) (c b)(b a) (c b)(c a) S S S bc ca ba 1 AB 'C ' BC ' A' CA'B ' 1 SABC (c a)(b a) (c b)(b a) (c b)(c a) S bc ca ba 2abc A'B 'C ' 1 = SABC (c a)(b a) (c b)(b a) (c b)(c a) (a b)(b c)(c a) Vậy: S 2abc S (a b)(b c)(c a) 3. Tỉ số diện tích tam giác liên quan đến đường cao: Cho tam giác ABC có ba đường cao lần lượt là AA’, BB’ và CC’. Gọi S và S’ lần lượt là diện tích các tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng: S ' 2cos A.cos B.cosC S (xem Nguyễn Thái Sơn, tài liệu đã dẫn, trang 21- công thức dành cho tam giác nhọn) GIẢI: Trường hợp 1: Tam giác ABC nhọn A B’ C’ B A’ C Ta có: 1 1 S AB'.AC '.sin A ABcos A.AC cos A.sin A AB 'C ' 2 2 1 AB.AC sin A.cos A.cos A S .cos2 A 2 ABC 2 SAB 'C ' SABC .cos A 2 2 Tương tự: SBC ' A' SABC .cos B, SCA'B ' SABC .cos C. Sử dụng phương pháp trừ diện tích, ta có: 3 Tỉ số diện tích trong tam giác
4. Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com 2 2 2 SA'B 'C ' SABC SAB 'C ' SBC ' A' SCA'B ' SABC SABC cos A SABC cos B SABC cos C 2 2 2 SABC 1 cos A cos B cos C S A'B 'C ' 1 cos2 A cos2 B cos2 C SABC 1+cos2A 1+cos2B 1+cos2C 1 =1- - - 1+cos2A+cos2B+cos2C 2 2 2 2 1 1 cos2A+cos2B+1+cos2C 2cos(A+B).cos(A-B)+2cos2C 2 2 cos(A+B).cos(A-B)+cos2 (A B) cos(A+B) cos(A+B)+cos(A-B) cos(A+B) 2cosA.cosB 2cosA.cosB.cosC S ' Vậy: 2cos A.cos B.cosC 2cos A.cos B.cosC (do cosA.cosB.cosC>0). S Trường hợp 2: Tam giác ABC tù Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử A là góc tù. B A’ C A B’ C’ Ta có: AA' AC sinC ABsin B,  AB' ABcos( A) ABcos A, AC ' AC cos( A) AC cos A. Do đó: 1 1 S AB'.AC 'sin A AB.AC cos2 A.sin A,  AB 'C ' 2 2 1 1 3  SAA'C ' AA'.AC 'sin A' AC ' AC sinC( AC cos A).sin A C 2 2 2 1 1 = AC 2 sinC.cos A.cos B AC.ABsin B.cos A.cos B, 2 2 1 1 3  SAA'B ' AA'.AB'sin A' AB' AC sinC( ABcos A).sin A B 2 2 2 1 = AB.AC sinC.cos A.cosC. 2 4 Tỉ số diện tích trong tam giác
5. Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com Cộng ba diện tích lại ta được: SA'B 'C ' SAB 'C ' SAA'B ' SA' A'C ' 1 1 1 AB.AC sin A.cos2 A AB.AC sinC.cosC.cos A AC.ABsin B.cos A.cos B 2 2 2 1 AB.AC cos A(sin 2A sin 2C 2sin Bcos B) 4 1 AB.AC cos A 2cos(A C).sin(A C) 2sin B.cos B 4 1 AB.AC cos A.cos B sin(A C) sin B 2 1 A B C A (B C) AC.ABcos A.cos B.2sin cos 2 2 2 1 AC.ABsin A.2cos A.cos B.cosC S .2cos A.cos B.cosC 2 ABC S A'B 'C ' 2cos A.cos B.cosC 2cos A.cos B.cosC (do cosA<0). SA'B 'C ' Vậy công thức đúng khi góc A tù. Trường hợp 3: Tam giác ABC vuông Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử A là góc vuông. Khi đó cosA=0; mặt khác, hai điểm B’, C’ trùng với A nên tam giác A’B’C’ suy biến thành đoạn thẳng AA’ và có diện tích bằng 0. Vì vậy công thức vẫn đúng. B A’ A C Tỉ số được chứng minh. 4. Diện tích tam giác liên quan đến tâm đường tròn bàng tiếp: a) Đường tròn bàng tiếp của tam giác: Đường phân giác trong của góc A và hai đường phân giác ngoài của hai góc B, C của tam giác ABC đồng qui tại điểm A 1 gọi là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với góc A của tam giác ABC. Đường tròn bàng tiếp tâm A 1 này tiếp xúc ngoài với cạnh BC và tiếp xúc với hai cạnh còn lại kéo dài. Một tam giác có ba đường tròn bàng tiếp tương ứng với ba đỉnh của nó. 5 Tỉ số diện tích trong tam giác
6. Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com b) Bài toán: Cho tam giác ABC có ba cạnh lần lượt là BC=a, CA=b, AB=c. Gọi A 1, B1, C1 lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với các góc A, B, C. Gọi S và S’ lần lượt là diện tích các tam giác ABC và A1B1C1 . Tính tỉ số giữa S’ và S. GIẢI: Xét tam giác ABC1 ta có: 0 A 0 B 0 0 A B A B A1 90 , B1 90 , C1 180 180 . 2 2 2 2 B A1 C1 1 1 A C B1 Sử dụng định lý sin, ta có: A A AB BC AB BC AB.cos c.cos 1 1 BC 2 2 . sinC sin A A B A 1 A B C 1 1 sin cos sin cos 2 2 2 2 C C BC.cos a.cos Tương tự: BA 2 2 . 1 A A cos cos 2 2 C A C A a.cos c.cos a.cos2 c.cos2 Suy ra: C A BC BA 2 2 2 2 . 1 1 1 1 A C A C cos cos cos .cos 2 2 2 2 Xét tam giác BB1C1 vuông tại B, ta có: 6 Tỉ số diện tích trong tam giác
7. Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com A A AB.cos C c.cos BB BC tanC 2 .cot 2 . 1 1 1 C C cos 2 sin 2 2 Diện tích tam giác A1B1C1 : 2 C 2 A A 1 1 a.cos c.cos c.cos S ' C A .BB 2 2 . 2 1 1 1 A C C 2 2 cos cos sin 2 2 2 1 cosC 1 cos A a. c. 1 a(1 cosC) c(1 cos A) =c 2 2 c sinC 2 sinC a2 b2 c2 b2 c2 a2 a 1 c 1 1 a(1 cosC) c(1 cos A) 1 2ab 2bc = c c 2 2 2 1 cos C 2 a2 b2 c2 1 1 2ab abc(a b c) Khai triển thu gọn ta được: S ' 2a2b2 2b2c2 2c2a2 a4 b4 c4 Nhận xét: Nếu tam giác ABC là tam giác đều cạnh a thì từ hình vẽ dễ thấy tam 1 giác A1B1C1 cũng là tam giác đều với cạnh 2a. Khi đó theo công thức S ah ta 2 3 có S ' (2a)2 a2 3 . Mặt khác thử áp dụng công thức trên, ta có: 4 aaa(a a a) a3.3a S ' a2 3. 2a2a2 2a2a2 2a2a2 a4 a4 a4 3a4 BÀI TẬP THAM KHẢO Đặt S, S pg , Scc , Sbt lần lượt là diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác tạo bởi chân 3 đường phân giác trong, diện tích tam giác tạo bởi chân 3 đường cao, diện tích tam giác tạo bởi tâm 3 đường tròn bàng tiếp của tam giác ABC. S S 1) Tính các tỉ số pg , cc và tính S trong mỗi trường hợp sau (kết quả có thể S S bt là số đúng hoặc số gần đúng; nếu kết quả là số gần đúng thì làm tròn số đến 4 chữ số phần thập phân): 7 Tỉ số diện tích trong tam giác
8. Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com a) Tam giác ABC có a=b=c=1; b) Tam giác ABC có a=7, b=8, c=10; c) Tam giác ABC có a=6, b=8, c=10; d) Tam giác ABC có a=7, b=9, c=14. Đáp số: S S 1 S 112 S 5083 a)pg = cc ; S 3 b) pg = ; cc ; S 125,8506 S S 4 bt S 459 S 50176 bt S 5 S S 21 S c) pg = ; cc 0; S 120 d) pg = ; cc 0,7931; S 246,5265 S 21 S bt S 92 S bt 2) Tính S pg , Scc , Sbt trong mỗi trường hợp sau: a) Tam giác ABC là tam giác đều có cạnh bằng a; b) Tam giác ABC là tam giác vuông cân với cạnh góc vuông bằng a; c) Tam giác ABC là tam giác cân tại A, A 1200 và AB= a; d) Tam giác ABC là tam giác vuông tại A, B 600 và BC= a. Đáp số: a 2 3 (3 2-4)a 2 a)S =S = ; S a2 3 b) S = ; S =0; S 2a2 (1 2) pg cc 16 bt pg 2 cc bt (6-3 3)a 2 3a 2 3 c) S = ; S = ; S a2 (2 3) pg 8 cc 16 bt (3 3-5)a 2 a2 d) S = ; S =0; S (3 3) pg 4 cc bt 4 Mong được sự góp ý của các đồng nghiệp. Hy vọng với sự đam mê chuyên môn, các bạn có thể tìm thấy nhiều kết quả thú vị khác. Người viết, NGUYỄN NGỌC ẤN P/S: Mời các bạn góp ý, phản biện giùm. Cảm ơn! 8 Tỉ số diện tích trong tam giác