Tuyền chọn đề thi học sinh giỏi Toán 7

116 trang thaodu 6540

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyền chọn đề thi học sinh giỏi Toán 7", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tuyen_chon_de_thi_hoc_sinh_gioi_toan_7.doc

Nội dung text: Tuyền chọn đề thi học sinh giỏi Toán 7

TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò sè 1 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u1: (2 ®iÓm) 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d Cho d·y tØ sè b»ng nhau: a b c d a b b c c d d a T×m gi¸ trÞ biÓu thøc: M= c d d a a b b c C©u2: (1 ®iÓm) . Cho S =abc bca cab . Chøng minh r»ng S kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng. C©u3: (2 ®iÓm) Mét « t« ch¹y tõ A ®Õn B víi vËn tèc 65 km/h, cïng lóc ®ã mét xe m¸y ch¹y tõ B ®Õn A víi vËn tèc 40 km/h. BiÕt kho¶ng c¸ch AB lµ 540 km vµ M lµ trung ®iÓm cña AB. Hái sau khi khëi hµnh bao l©u th× «t« c¸ch M mét kho¶ng b»ng 1/2 kho¶ng c¸ch tõ xe m¸y ®Õn M. C©u4: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, O lµ ®iÓm n»m trong tam gi¸c. a. Chøng minh r»ng: B OC A ABO ACO A b. BiÕt ABO ACO 900 vµ tia BO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc B. Chøng minh 2 r»ng: Tia CO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc C. C©u 5: (1,5®iÓm). Cho 9 ®êng th¼ng trong ®ã kh«ng cã 2 ®êng th¼ng nµo song song. CMR Ýt nhÊt còng cã 2 ®êng th¼ng mµ gãc nhän gi÷a chóng kh«ng nhá h¬n 200. C©u 6: (1,5®iÓm). Khi ch¬i c¸ ngùa, thay v× gieo 1 con sóc s¾c, ta gieo c¶ hai con sóc s¾c cïng mét lóc th× ®iÓm thÊp nhÊt lµ 2, cao nhÊt lµ 12. c¸c ®iÓm kh¸c lµ 3; 4; 5 ;6 11. H·y lËp b¶ng tÇn sè vÒ kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn mçi lo¹i ®iÓm nãi trªn? TÝnh tÇn xuÊt cña mçi lo¹i ®iÓm ®ã. HÕt §Ò sè 2. Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1: T×m c¸c sè a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b C©u 2: T×m sè nguyªn x tho¶ m·n: a, 5x-3 4 c, 4- x +2x =3 C©u3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x + 8 -x C©u 4: BiÕt r»ng :12+22+33+ +102= 385. TÝnh tæng : S= 22+ 42+ +202
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 C©u 5 : Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM .Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AM, BI c¾t c¹nh AC t¹i D. a. Chøng minh AC=3 AD b. Chøng minh ID =1/4BD HÕt §Ò sè 3 Thêi gian lµm bµi: 120 phót 3 a b c a b c a C©u 1 . ( 2®) Cho: . Chøng minh: . b c d b c d d a c b C©u 2. (1®). T×m A biÕt r»ng: A = . b c a b c a C©u 3. (2®). T×m x Z ®Ó A Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã. x 3 1 2x a). A = . b). A = . x 2 x 3 C©u 4. (2®). T×m x, biÕt: a) x 3 = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 C©u 5. (3®). Cho  ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E BC, BH AE, CK  AE, (H,K AE). Chøng minh  MHK vu«ng c©n. HÕt §Ò sè 4 Thêi gian lµm bµi : 120 phót. C©u 1 : ( 3 ®iÓm). 1. Ba ®êng cao cña tam gi¸c ABC cã ®é dµi lµ 4,12 ,a . BiÕt r»ng a lµ mét sè tù nhiªn. T×m a ? a c 2. Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc ( a,b,c ,d 0, a b, c d) ta suy ra ®îc c¸c tØ b d lÖ thøc: a c a b c d a) . b) . a b c d b d C©u 2: ( 1 ®iÓm). T×m sè nguyªn x sao cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < 0. C©u 3: (2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A =  x-a +  x-b + x-c +  x-d víi a<b<c<d. C©u 4: ( 2 ®iÓm). Cho h×nh vÏ.
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 a, BiÕt Ax // Cy. so s¸nh gãc ABC víi gãc A+ gãc C. b, gãc ABC = gãc A + gãc C. Chøng minh Ax // Cy. x A B y C C©u 5: (2 ®iÓm) Tõ ®iÓm O tïy ý trong tam gi¸c ABC, kÎ OM, ON , OP lÇn lît vu«ng gãc víi c¸c c¹nh BC, CA, Ab. Chøng minh r»ng: 2 2 2 2 2 2 AN + BP + CM = AP + BM + CN HÕt §Ò sè 5 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1(2®): 3 4 5 100 a) TÝnh: A = 1 + 23 24 25 2100 b) T×m n Z sao cho : 2n - 3  n + 1 C©u 2 (2®): a) T×m x biÕt: 3x - 2x 1 = 2 b) T×m x, y, z biÕt: 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) vµ 2x+3y-z = 50. 213 C©u 3(2®): Ba ph©n sè cã tæng b»ng , c¸c tö cña chóng tØ lÖ víi 3; 4; 5, c¸c mÉu cña 70 chóng tØ lÖ víi 5; 1; 2. T×m ba ph©n sè ®ã. C©u 4(3®): Cho tam gi¸c ABC c©n ®Ønh A. Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CA lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. Gäi I lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh ba ®iÓm B, I, C th¼ng hµng. 1 1 C©u 5(1®): T×m x, y thuéc Z biÕt: 2x + = 7 y HÕt §Ò sè 6 Thêi gian lµm bµi: 120’. C©u 1: TÝnh : 1 1 1 1 a) A = . 1.2 2.3 3.4 99.100
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 1 1 1 1 b) B = 1+ (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 20) 2 3 4 20 C©u 2: a) So s¸nh: 17 26 1 vµ 99 . 1 1 1 1 b) Chøng minh r»ng: 10 . 1 2 3 100 C©u 3: T×m sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã lµ béi cña 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tØ lÖ theo 1:2:3 C©u 4 Cho tam gi¸c ABC cã gãc B vµ gãc C nhá h¬n 900 . VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c Êy c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABD vµ ACE ( trong ®ã gãc ABD vµ gãc ACE ®Òu b»ng 900 ), vÏ DI vµ EK cïng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng BC. Chøng minh r»ng: a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK. C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = x 2001 x 1 hÕt §Ò sè 7 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1: (1,5 ®) T×m x biÕt: x 2 x 3 x 4 x 5 x 349 a, + + + + =0 327 326 325 324 5 b, 5x 3 7 C©u2:(3 ®iÓm) 0 1 2 2007 1 1 1 1 a, TÝnh tæng: S 7 7 7 7 1 2 3 99 b, CMR: 1 2! 3! 4! 100! c, Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn d¬ng n th×: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hÕt cho 10 C©u3: (2 ®iÓm) §é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi 2;3;4. Hái ba chiÒu cao t¬ng øng ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi sè nµo? C©u 4: (2,5®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B 600 hai ®êng ph©n gi¸c AP vµ CQ cña tam gi¸c c¾t nhau t¹i I. a, TÝnh gãc AIC b, CM : IP = IQ 1 C©u5: (1 ®iÓm) Cho B . T×m sè nguyªn n ®Ó B cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 2(n 1) 2 3
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 hÕt §Ò sè 8 Thêi gian : 120’ C©u 1 : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt : a) x 1 5 = - 243 . x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 b) 11 12 13 14 15 c) x - 2x = 0 (x 0 ) C©u 2 : (3®) 5 y 1 a, T×m sè nguyªn x vµ y biÕt : x 4 8 x 1 b, T×m sè nguyªn x ®Ó A cã gi¸ trÞ lµ 1 sè nguyªn biÕt : A = (x 0 ) x 3 C©u 3 : (1®) T×m x biÕt : 2. 5x 3 - 2x = 14 C©u 4 : (3®) a, Cho ABC cã c¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7; 5; 3 . C¸c gãc ngoµi t¬ng øng tØ lÖ víi c¸c sè nµo . b, Cho ABC c©n t¹i A vµ ¢ < 900 . KÎ BD vu«ng gãc víi AC . Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E sao cho : AE = AD . Chøng minh : 1) DE // BC 2) CE vu«ng gãc víi AB . HÕt §Ò sè 9 Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi1( 3 ®iÓm) 1 1 176 12 10 10 (26 ) ( 1,75) a, TÝnh: A = 3 3 7 11 3 5 ( 60 91 0,25). 1 11 b, TÝnh nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 +7 + + 100 – 410) Bµi 2: ( 2®iÓm). T×m 3 sè nguyªn d¬ng sao cho tæng c¸c nghÞch ®¶o cña chóng b»ng 2. Bµi 3: (2 ®iÓm). CÇn bao nhiªu ch÷ sè ®Ó ®¸nh sè trang mét cuèn s¸ch dµy 234 trang. Bµi 4: ( 3 ®iÓm) Cho ABC vu«ng t¹i B, ®êng cao BE T×m sè ®o c¸c gãc nhän cña tam gi¸c , biÕt EC – EA = AB. hÕt
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò sè 10 Thêi gian lµm bµi 120 phót Bµi 1(2 ®iÓm). Cho A x 5 2 x. a.ViÕt biÓu thøc A díi d¹ng kh«ng cã dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. Bµi 2 ( 2 ®iÓm) 1 1 1 1 1 1 a.Chøng minh r»ng : . 6 52 62 72 1002 4 2a 9 5a 17 3a b.T×m sè nguyªn a ®Ó : lµ sè nguyªn. a 3 a 3 a 3 Bµi 3(2,5 ®iÓm). T×m n lµ sè tù nhiªn ®Ó : A n 5 n 6 6n. Bµi 4(2 ®iÓm) Cho gãc xOy cè ®Þnh. Trªn tia Ox lÊy M, Oy lÊy N sao cho OM + ON = m kh«ng ®æi. Chøng minh : §êng trung trùc cña MN ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bµi 5(1,5 ®iÓm). T×m ®a thøc bËc hai sao cho : f x f x 1 x ¸p dông tÝnh tæng : S = 1 + 2 + 3 + + n. HÕt §Ò sè 11 Thêi gian lµm bµi: 120 phót x x 2 C©u 1: (2®) Rót gän A= x2 8x 20 C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®îc ®Òu nh nhau. 102006 53 C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiªn. 9 C©u 4 : (3®) Cho gãc xAy = 600 vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn Ax vÏ ®êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh  Ay,CM Ay, BK  AC. Chøng minh r»ng: a, K lµ trung ®iÓm cña AC. AC b, BH = 2 c, ΔKMC ®Òu
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 C©u 5 (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u díi ®©y ®óng mét nöa vµ sai 1 nöa: a, T©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2. b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3. c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4. Em h·y x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n. HÕt §Ò sè 12 Thêi gian lµm bµi 120 phót C©u 1: (2®) T×m x, biÕt: a) 3x 2 x 7 b) 2x 3 5 c) 3x 1 7 d) 3x 5 2x 3 7 C©u 2: (2®) a) TÝnh tæng S = 1+52+ 54+ + 5200 b) So s¸nh 230 + 330 + 430 vµ 3.2410 C©u 3: (2®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM vµ CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN C©u 4: (3®) Cho M,N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB vµ Ac cña tam gi¸c ABC. C¸c ®êng ph©n gi¸c vµ ph©n gi¸c ngoµi cña tam gi¸c kÎ tõ B c¾t ®êng th¼ng MN lÇn lît t¹i D vµ E c¸c tia AD vµ AE c¾t ®êng th¼ng BC theo thø tù t¹i P vµ Q. Chøng minh: a) BD  AP; BE  AQ; b) B lµ trung ®iÓm cña PQ c) AB = DE C©u 5: (1®) 14 x Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cña x th× biÓu thøc A= Cã gi¸ trÞ lín nhÊt? T×m gi¸ trÞ ®ã. 4 x HÕt §Ò sè 13 Thêi gian : 120’ C©u 1: ( 1,5 ®iÓm) T×m x, biÕt: a. 4x 3 - x = 15. b. 3x 2 - x > 1. c. 2x 3 5. C©u2: ( 2 ®iÓm)
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 a. TÝnh tæng: A= (- 7) + (-7)2 + + (- 7)2006 + (- 7)2007. Chøng minh r»ng: A chia hÕt cho 43. b. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ®Ó m2 + m.n + n2 chia hÕt cho 9 lµ: m, n chia hÕt cho 3. C©u 3: ( 23,5 ®iÓm) §é dµi c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi nhau nh thÕ nµo,biÕt nÕu céng lÇn lît ®é dµi tõng hai ®êng cao cña tam gi¸c ®ã th× c¸c tæng nµy tû lÖ theo 3:4:5. C©u 4: ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. D lµ mét ®iÓm n»m trong tam gi¸c, biÕt ADB > ADC . Chøng minh r»ng: DB 13 C©u 2: (3 ®iÓm ) a. T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tû lÖ víi 1, 2, 3. b. Chøng minh r»ng: Tæng A=7 +72+73+74+ +74n chia hÕt cho 400 (n N). C©u 3 : (1®iÓm )cho h×nh vÏ , biÕt + +  = 1800 chøng minh Ax// By. A x C   B y C©u 4 (3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c c©n ABC, cã ABC =1000. KÎ ph©n gi¸c trong cña gãc CAB c¾t AB t¹i D. Chøng minh r»ng: AD + DC =AB C©u 5 (1 ®iÓm ) TÝnh tæng. S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + + (-3)2004. HÕt §Ò sè 15 Thêi gian lµm bµi: 120 phó Bµi 1: (2,5®) Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau mét c¸ch hîp lÝ:
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 90 72 56 42 30 20 12 6 2 Bµi 2: (2,5®) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x 2 5 x Bµi 3: (4®) Cho tam gi¸c ABC. Gäi H, G,O lÇn lît lµ trùc t©m , träng t©m vµ giao ®iÓm cña 3 ®êng trung trùc trong tam gi¸c. Chøng minh r»ng: a. AH b»ng 2 lÇn kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn BC b. Ba ®iÓm H,G,O th¼ng hµng vµ GH = 2 GO Bµi 4: (1 ®) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc (3-4x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007. HÕt §Ò 16 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1(3®): Chøng minh r»ng A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hÕt cho 102 C©u 2(3®): T×m x, biÕt: a. x x 2 3 ; b. 3x 5 x 2 C©u 3(3®): Cho tam gi¸c ABC. Gäi M, N, P theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BC, CA, AB. C¸c ®êng trung trùc cña tam gi¸c gÆp nhau tai 0. C¸c ®êng cao AD, BE, CF gÆp nhau t¹i H. Gäi I, K, R theo thø tù lµ trung ®iÓm cña HA, HB, HC. a) C/m H0 vµ IM c¾t nhau t¹i Q lµ trung ®iÓm cña mçi ®o¹n. b) C/m QI = QM = QD = 0A/2 c) H·y suy ra c¸c kÕt qu¶ t¬ng tù nh kÕt qu¶ ë c©u b. C©u 4(1®): T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc A = 10 - 3|x-5| ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. HÕt §Ò 17 Thêi gian: 120 phót x 5 Bµi 1: (2®) Cho biÓu thøc A = x 3 1 a) TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = 4 b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = - 1 c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2. (3®) a) T×m x biÕt: 7 x x 1 b) TÝnh tæng M = 1 + (- 2) + (- 2)2 + +(- 2)2006
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 c) Cho ®a thøc: f(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + 1 – 4x3. Chøng tá r»ng ®a thøc trªn kh«ng cã nghiÖm Bµi 3.(1®) Hái tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g× biÕt r»ng c¸c gãc cña tam gi¸c tØ lÖ víi 1, 2, 3. Bµi 4.(3®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM vµ CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN 2006 x Bµi 5. (1®) Cho biÓu thøc A = . T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ 6 x lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. HÕt §Ò 18 Thêi gian: 120 phót C©u 1: 1.TÝnh: 15 20 25 30 1 1 1 1 a. . b. : 2 4 9 3 45.94 2.69 2. Rót gän: A = 210.38 68.20 3. BiÓu diÔn sè thËp ph©n díi d¹ng ph©n sè vµ ngîc l¹i: 7 7 a. b. c. 0, (21) d. 0,5(16) 33 22 C©u 2: Trong mét ®ît lao ®éng, ba khèi 7, 8, 9 chuyªn chë ®îc 912 m3 ®Êt. Trung b×nh mçi häc sinh khèi 7, 8, 9 theo thø tù lµm ®îc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 ®Êt. Sè häc sinh khèi 7, 8 tØ lÖ víi 1 vµ 3. Khèi 8 vµ 9 tØ lÖ víi 4 vµ 5. TÝnh sè häc sinh mçi khèi. C©u 3: 3 a.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A = (x 2) 2 4 b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = (x+1)2 + (y + 3)2 + 1 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC c©n (CA = CB) vµ C = 800. Trong tam gi¸c sao cho M BA 300 vµ M AB 100 .TÝnh M AC . C©u 5: Chøng minh r»ng : nÕu (a,b) = 1 th× (a2,a+b) = 1. HÕt §Ò19 Thêi gian: 120 phót.
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 C©u I: (2®) a 1 b 3 c 5 1) Cho vµ 5a - 3b - 4 c = 46 . X¸c ®Þnh a, b, c 2 4 6 a c 2a 2 3ab 5b 2 2c 2 3cd 5d 2 2) Cho tØ lÖ thøc : . Chøng minh : . Víi ®iÒu b d 2b 2 3ab 2d 2 3cd kiÖn mÉu thøc x¸c ®Þnh. C©u II : TÝnh : (2®) 1 1 1 1) A = 3.5 5.7 97.99 1 1 1 1 1 2) B = 3 32 33 350 351 C©u III : (1,5 ®) §æi thµnh ph©n sè c¸c sè thËp ph©n sau : a. 0,2(3) ; b. 1,12(32). C©u IV : (1.5®) X¸c ®Þnh c¸c ®a thøc bËc 3 biÕt : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = 4 ; p(3) = 1 C©u V : (3®) Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän. Dùng ra phÝa ngoµi 2 tam gi¸c vu«ng c©n ®Ønh A lµ ABD vµ ACE . Gäi M;N;P lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BC; BD;CE . a. Chøng minh : BE = CD vµ BE  víi CD b. Chøng minh tam gi¸c MNP vu«ng c©n HÕt §Ò 20 Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi 1 (1,5®): Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 3 0,375 0,3 1,5 1 0,75 a) A = 11 12 5 5 5 0,265 0,5 2,5 1,25 11 12 3 b) B = 1 + 22 + 24 + + 2100 Bµi 2 (1,5®): a) So s¸nh: 230 + 330 + 430 vµ 3.2410 b) So s¸nh: 4 + 33 vµ 29 + 14 Bµi 3 (2®): Ba m¸y xay xay ®îc 359 tÊn thãc. Sè ngµy lµm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 3:4:5, sè giê lµm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 6, 7, 8, c«ng suÊt c¸c m¸y tØ lÖ nghÞc víi 5,4,3. Hái mçi m¸y xay ®îc bao nhiªu tÊn thãc. Bµi 4 (1®): T×m x, y biÕt: 1 1 1 1 a) 3 x3 4 b) 2x 1.2 2.3 99.100 2
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Bµi 5 ( 3®): Cho ABC cã c¸c gãc nhá h¬n 1200. VÏ ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC c¸c tam gi¸c ®Òu ABD, ACE. Gäi M lµ giao ®iÓm cña DC vµ BE. Chøng minh r»ng: a) B MC 1200 b) A MB 1200 Bµi 6 (1®): Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x thuéc R. BiÕt r»ng víi mäi x ta ®Òu 1 cã: f (x) 3. f ( ) x2 . TÝnh f(2). x HÕt §Ò 21 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1 (2®) T×m x, y, z Z, biÕt a. x x = 3 - x x 1 1 b. 6 y 2 c. 2x = 3y; 5x = 7z vµ 3x - 7y + 5z = 30 C©u 2 (2®) 1 1 1 1 1 a. Cho A =( 1).( 1).( 1) ( 1) . H·y so s¸nh A víi 2 2 32 4 2 100 2 2 x 1 b. Cho B = . T×m x Z ®Ó B cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn d¬ng x 3 C©u 3 (2®) Mét ngêi ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 4km/h vµ dù ®Þnh ®Õn B lóc 11 giê 45 phót. Sau 1 khi ®i ®îc qu·ng ®êng th× ngêi ®ã ®i víi vËn tèc 3km/h nªn ®Õn B lóc 12 giê tra. 5 TÝnh qu·ng ®êngAB vµ ngêi ®ã khëi hµnh lóc mÊy giê? C©u 4 (3®) Cho ABC cã Aˆ > 900. Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC. Trªn tia ®èi cña tia IB lÊy ®iÓm D sao cho IB = ID. Nèi c víi D. a. Chøng minh AIB CID b. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC; N lµ trung ®iÓm cña CD. Chøng minh r»ng I lµ trung ®iÓm cña MN c. Chøng minh AIB AIB B IC d. T×m ®iÒu kiÖn cña ABC ®Ó AC  CD 14 x C©u 5 (1®) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = ;x Z . Khi ®ã x nhËn gi¸ 4 x trÞ nguyªn nµo? HÕt
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò 22 Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi 1: (2,5®) a. T×m x biÕt : 2x 6 +5x = 9 1 1 1 1 b. Thùc hiÖn phÐp tÝnh : (1 +2 +3 + + 90). ( 12.34 – 6.68) : ; 3 4 5 6 c. So s¸nh A = 20 +21 +22 +23+ 24 + +2100 vµ B = 2101 . Bµi 2 :(1,5®) T×m tØ lÖ ba c¹nh cña mét tam gi¸c biÕt r»ng nÕu céng lÇn lît ®é dµi tõng hai ®êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ :5 : 7 : 8. x 1 Bµi 3 :(2®) Cho biÓu thøc A = . x 1 16 25 a. TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = vµ x = . 9 9 b. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A =5. Bµi 4 :(3®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C. Tõ A, B kÎ hai ph©n gi¸c c¾t AC ë E, c¾t BC t¹i D. Tõ D, E h¹ ®êng vu«ng gãc xuèng AB c¾t AB ë M vµ N. TÝnh gãc M CN ? Bµi 5 : (1®) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc : P = -x2 – 8x +5 . Cã gi¸ trÞ lín nhÊt . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã ? HÕt §Ò 23 Thêi gian: 120 phót C©u 1: (3®) 2 2 1 3 1 1 4 5 2 a. TÝnh A = 0,25 . . . . 4 3 4 3 b. T×m sè nguyªn n, biÕt: 2-1.2n + 4.2n = 9.25 c. Chøng minh víi mäi n nguyªn d¬ng th×: 3n+3-2n+2+3n-2n chia hÕt cho 10 C©u 2: ((3®) a. 130 häc sinh thuéc 3 líp 7A, 7B, 7C cña mét trêng cïng tham gia trång c©y. Mçi häc sinh cña líp 7A, 7B, 7C theo thø tù trång ®îc 2c©y, 3 c©y, 4 c©y. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh tham gia trång c©y? BiÕt sè c©y trång ®îc cña 3 líp b»ng nhau. b. Chøng minh r»ng: - 0,7 ( 4343 - 1717 ) lµ mét sè nguyªn C©u 3: (4® ) Cho tam gi¸c c©n ABC, AB=AC. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D. Trªn Tia cña tia BC lÊy ®iÓm E sao cho BD=BE. C¸c ®êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t AB vµ AC lÇn lît ë M vµ N. Chøng minh: a. DM= ED
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 b. §êng th¼ng BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN. c. §êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn BC. HÕt §Ò 24 Thêi gian: 120 phót C©u 1: (2 ®iÓm). Rót gän biÓu thøc a. a a b. a a c. 3 x 1 2 x 3 C©u 2: T×m x biÕt: a. 5x 3 - x = 7 b. 2x 3 - 4x a2 + b2 + c2. Bµi 5:(3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cãB = C = 50 0 . Gäi K lµ ®iÓm trong tam gi¸c sao cho K BC = 100 K CB = 300 a. Chøng minh BA = BK.
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 b. TÝnh sè ®o gãc BAK. HÕt §Ò thi 26 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1. Víi mäi sè tù nhiªn n 2 h·y so s¸nh: 1 1 1 1 a. A= víi 1 . 22 32 42 n2 1 1 1 1 b. B = víi 1/2 22 42 62 2n 2 3 4 n 1 C©u 2: T×m phÇn nguyªn cña , víi 2 3 4 n 1 2 3 n C©u 3: T×m tØ lÖ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c, biÕt r»ng céng lÇn lît ®é dµi hai ®êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ 5: 7 : 8. C©u 4: Cho gãc xoy , trªn hai c¹nh ox vµ oy lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm A vµ B ®Ó cho AB cã ®é dµi nhá nhÊt. C©u 5: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c vµ a b c lµ c¸c sè h÷u tØ. PhÇn 2: Híng dÉn gi¶i Híng dÉn gi¶i ®Ò sè 1. C©u 1: Mçi tØ sè ®· cho ®Òu bít ®i 1 ta ®îc: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d 1 1= 1 1 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d +, NÕu a+b+c+d 0 th× a = b = c = d lóc ®ã M = 1+1+1+1=4 +, NÕu a+b+c+d = 0 th× a+b = - (c+d); b+c = - (d+a); c+d = - (a+b); d+a = -(b+c), lóc ®ã M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4. C©u 2: S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b) = 111(a+b+c) = 37.3(a+b+c).
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7  V× 0 S kh«ng thÓ lµ sè chÝnh ph¬ng. C©u 3: Qu·ng ®êng AB dµi 540 Km; nöa qu¶ng dêng AB dµi 270 Km. Gäi qu·ng ®êng « t« vµ xe m¸y ®· ®i lµ S1, S2. Trong cïng 1 thêi gian th× qu·ng ®êng tØ lÖ thuËn víi A M B S S vËn tèc do ®ã 1 2 t (t chÝnh lµ thêi gian cÇn t×m). V1 V2 270 a 270 2a 540 2a 270 2a (540 2a) (270 2a) 270 t= ;t 3 65 40 130 40 130 40 90 VËy sau khi khëi hµnh 3 giê th× « t« c¸ch M mét kho¶ng b»ng 1/2 kho¶ng c¸ch tõ xe m¸y ®Õn M. C©u 4: a, Tia CO c¾t AB t¹i D. +, XÐt BOD cã B OC lµ gãc ngoµi nªn B OC = B1 D1 A +, XÐt ADC cã gãc D1 lµ gãc ngoµi nªn D1 A C1 VËy B OC =A C1 + B1 D A A A b, NÕu ABO ACO 900 th× B OC = A 900 900 2 2 2 O C XÐt BOC cã: B A B C 1800 O B 1800 900 2 2 2 2 A B 1800 C C C 900 900 2 2 2 2  tia CO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc C. C©u 5: LÊy ®iÓm O tuú ý.Qua O vÏ 9 ®êng th¼ng lÇn lît song song víi 9 ®êng th¼ng ®· cho. 9 ®êng th¼ng qua O t¹o thµnh 18 gãc kh«ng cã ®iÓm trong chung, mçi gãc nµy t¬ng øng b»ng gãc gi÷a hai ®êng th¼ng trong sè 9 ®¬ng th¼ng ®· cho. Tæng sè ®o cña 18 gãc ®Ønh O lµ 3600 do ®ã Ýt nhÊt cã 1 gãc kh«ng nhá h¬n 3600 : 18 = 200, tõ ®ã suy ra Ýt nhÊt còng cã hai ®êng th¼ng mµ gãc nhän gi÷a chóng kh«ng nhá h¬n 200. C©u 6: Tæng sè ®iÓm ghi ë hai mÆt trªn cña hai con sóc s¾c cã thÓ lµ: 2 = 1+1 3 = 1+2 = 2+1
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 4 = 1+3 =2 +2 = 3+1 5 = 1+4 =2+3=3+2=4+1. 6=1+5=2+4=3+3=4+2=5+1 7=1+6=2+5=3+4= 4+3=5+2=-6+1 8= 2+6=3+5=4+4=5+3=6+2 9=3+6=4+5=5+4=6+3 10=4+6=5+5=6+4 11=5+6=6+5 12=6+6. §iÓm sè (x) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TÇn sè( n) 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 TÇn suÊt (f) 2,8% 5,6% 8,3% 11,1% 13,9% 16,7% 13,9% 11,1% 8,3% 5,6% 2,8% Nh vËy tæng sè 7 ®iÓm cã kh¶ n¨ng x¶y ra nhÊt tíi 16,7% §¸p ¸n ®Ò sè 2 C©u1: Nh©n tõng vÕ bÊt ®¼ng thøc ta ®îc : (abc)2=36abc +, NÕu mét trong c¸c sè a,b,c b»ng 0 th× 2 sè cßn l¹i còng b»ng 0 +,NÕu c¶ 3sè a,b,c kh¸c 0 th× chia 2 vÕ cho abc ta ®îc abc=36 +, Tõ abc =36 vµ ab=c ta ®îc c2=36 nªn c=6;c=-6 +, Tõ abc =36 vµ bc=4a ta ®îc 4a2=36 nªn a=3; a=-3 +, Tõ abc =36 vµ ab=9b ta ®îc 9b2=36 nªn b=2; b=-2 -, NÕu c = 6 th× avµ b cïng dÊu nªn a=3, b=2 hoÆc a=-3 , b=-2 -, NÕu c = -6 th× avµ b tr¸i dÊu nªn a=3 b=-2 hoÆc a=-3 b=2 Tãm l¹i cã 5 bé sè (a,b,c) tho· m·n bµi to¸n (0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6) C©u 2. (3®) a.(1®)5x-3 -2 4=> 3x+1>4hoÆc 3x+1 4=> x>1 *NÕu 3x+1 x 1 hoÆc x x 4 (0,25®) (1) 4-x+2x=3 => x=-1( tho¶ m·n ®k) (0,25®) *4-x x>4 (0,25®)
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 (1) x-4+2x=3 x=7/3 (lo¹i) (0,25®) C©u3. (1®)¸p dông a+b a+bTa cã A=x+8-x x+8-x=8 MinA =8 x(8-x) 0 (0,25®) x 0 * =>0 x 8 (0,25®) 8 x 0 x 0 x 0 * => kh«ng tho· m·n(0,25®) 8 x 0 x 8 VËy minA=8 khi 0 x 8(0,25®) C©u4. Ta cã S=(2.1)2+(2.2)2+ + (2.10)2(0,5®) =22.12+22.22+ +22.102 =22(12+22+ +102) =22.385=1540(0,5®) A C©u5.(3®) D E C Chøng minh: a (1,5®) B M Gäi E lµ trung ®iÓm CD trong tam gi¸c BCD cã ME lµ ®êng trung b×nh => ME//BD(0,25®) Trong tam gi¸c MAE cã I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AM (gt) mµ ID//ME(gt) Nªn D lµ trung ®iÓm cña AE => AD=DE (1)(0,5®) V× E lµ trung ®iÓm cña DC => DE=EC (2) (0,5®) So s¸nh (1)vµ (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25®) b.(1®) Trong tam gi¸c MAE ,ID lµ ®êng trung b×nh (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25®) Trong tam gi¸c BCD; ME lµ §êng trung b×nh => ME=1/2BD (2)(0,5®) So s¸nh (1) vµ (2) => ID =1/4 BD (0,25®) §¸p ¸n ®Ò sè 3 a b c a a b c a b c C©u 1. Ta cã . . . (1) Ta l¹i cã . (2) b c d d b c d b c a 3 a b c a Tõ (1) vµ(2) => . b c d d a c b a b c C©u 2. A = .= . b c a b c a 2 a b c
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 1 NÕu a+b+c 0 => A = . 2 NÕu a+b+c = 0 => A = -1. 5 C©u 3. a). A = 1 + ®Ó A Z th× x- 2 lµ íc cña 5. x 2 => x – 2 = ( 1; 5) * x = 3 => A = 6 * x = 7 => A = 2 * x = 1 => A = - 4 * x = -3 => A = 0 7 b) A = - 2 ®Ó A Z th× x+ 3 lµ íc cña 7. x 3 => x + 3 = ( 1; 7) * x = -2 => A = 5 * x = 4 => A = -1 * x = -4 => A = - 9 * x = -10 => A = -3 . C©u 4. a). x = 8 hoÆc - 2 b). x = 7 hoÆc - 11 c). x = 2. C©u 5. ( Tù vÏ h×nh)  MHK lµ  c©n t¹i M . ThËt vËy:  ACK =  BAH. (gcg) => AK = BH .  AMK =  BMH (g.c.g) => MK = MH. VËy:  MHK c©n t¹i M . §¸p ¸n ®Ò sè 4 C©u 1: Gäi x, y, z lµ ®é dµi 3 c¹nh t¬ng øng víi c¸c ®êng cao b»ng 4, 12, a. Ta cã: 4x = 12y = az = 2S x= S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (0,5 ®iÎm) Do x-y < z< x+y nªn S S 2S S S 2 2 2 (0,5 ®iÓm) 2 6 a 2 6 6 a 3 3, a , 6 Do a N nªn a=4 hoÆc a= 5. (0,5 ®iÓm) a c a b a b a a b a c 2. a. Tõ (0,75 ®iÓm) b d c d c d c c d a b c d a c a b a b b a b a b c d b. (0,75 ®iÓm) b d c d c d d c d b d C©u 2: V× tÝch cña 4 sè : x2 – 1 ; x2 – 4; x2 – 7; x2 – 10 lµ sè ©m nªn ph¶i cã 1 sè ©m hoÆc 3 sè ©m. Ta cã : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – 1. XÐt 2 trêng hîp:
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 + Cã 1 sè ©m: x2 – 10 < x2 – 7 x2 – 10 < 0 < x2 – 7 7< x2 < 10 x2 =9 ( do x Z ) x = 3. ( 0,5 ®iÓm) + cã 3 sè ©m; 1 sè d¬ng. x2 – 4< 0< x2 – 1 1 < x2 < 4 do x Z nªn kh«ng tån t¹i x. VËy x = 3 (0,5 ®iÓm) C©u 3: Tríc tiªn t×m GTNN B = x-a +  x-b víi a<b. Ta cã Min B = b – a ( 0,5 ®iÓm) Víi A =  x-a +  x-b + x-c +  x-d = [ x-a +  x-d] + [x-c +  x-b] Ta cã : Min [ x-a +  x-d] =d-a khi axd Min [x-c +  x-b] = c – b khi b x  c ( 0,5 ®iÓm) VËy A min = d-a + c – b khi b x  c ( 0, 5 ®iÓm) C©u 4: ( 2 ®iÓm) A, VÏ Bm // Ax sao cho Bm n»m trong gãc ABC Bm // Cy (0, 5 ®iÓm) Do ®ã gãc ABm = gãc A; Gãc CBm = gãcC ABm + CBm = A + C tøc lµ ABC = A + C ( 0, 5 ®iÓm) b. VÏ tia Bm sao cho ABm vµ A lµ 2 gãc so le trong vµ ABM = A Ax// Bm (1) CBm = C Cy // Bm(2) Tõ (1) vµ (2) Ax // By C©u 5: ¸p dông ®Þnh lÝ Pi ta go vµo tam gi¸c vu«ng NOA vµ NOC ta cã: AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2 CN2 – AN2 = OC2 – OA2 (1) ( 0, 5 ®iÓm) T¬ng tù ta còng cã: AP2 - BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0, 5 ®iÓm) 2 2 2 2 2 2 Tõ (1); (2) vµ (3) ta cã: AN + BP + CM = AP + BM + CN ( 0, 5 ®iÓm). Híng dÉn chÊm ®Ò sè 5: C©u 1(2®): 1 100 102 a) A = 2 - 2 (1® ) 299 2100 2100 b) 2n 3n 1 5n 1 (0,5® ) n + 1 -1 1 -5 5 n -2 0 -6 4 n  6; 2;0;4 (0,5® )
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 C©u 2(2®): 1 a) NÕu x th× : 3x - 2x - 1 = 2 => x = 3 ( th¶o m·n ) (0,5®) 2 1 NÕu x x = 1/5 ( lo¹i ) (0,5®) 2 VËy: x = 3 x 1 y 2 z 3 b) => vµ 2x + 3y - z = 50 (0,5®) 2 3 4 => x = 11, y = 17, z = 23.(0,5®) 213 C©u 3(2®): C¸c ph©n sè ph¶i t×m lµ: a, b, c ta cã : a + b + c = 70 3 4 5 9 12 15 vµ a : b : c = : : 6 : 40 : 25 (1®) => a ,b ,c (1®) 5 1 2 35 7 14 C©u 4(3®): KÎ DF // AC ( F thuéc BC ) (0,5® ) => DF = BD = CE (0,5® ) => IDF = IFC ( c.g.c ) (1® ) => gãc DIF = gãc EIC => F, I, C th¼ng hµng => B, I, C th¼ng hµng (1®) C©u 5(1®): 7.2x 1 1 => y(14x 1) 7 7 y => (x ; y ) cÇn t×m lµ ( 0 ; 7 ) - §¸p ¸n ®Ò sè 6: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C©u 1: a) Ta cã: ; ; ; ; 1.2 1 2 2.3 2 3 3.4 3 4 99.100 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 99 VËy A = 1+ 1 2 2 3 3 99 99 100 100 100 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 20.21 b) A = 1+ = 2 2 3 2 4 2 20 2 3 4 21 1 = 1+ 2 3 4 21 2 2 2 2 1 21.22 = 1 = 115. 2 2 C©u 2: a) Ta cã: 17 4; 26 5 nªn 17 26 1 4 5 1 hay 17 26 1 10 Cßn 99 < 10 .Do ®ã: 17 26 1 99
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 1 1 1 1 1 1 1 1 b) ; ; ; ; . 1 10 2 10 3 10 100 10 1 1 1 1 1 VËy: 100. 10 1 2 3 100 10 C©u 3: Gäi a,b,cña lµ c¸c ch÷ sè cña sè cã ba ch÷ sè cÇn t×m . V× mçi ch÷ sè a,b,cña kh«ng vît qu¸ 9 vµ ba ch÷ sè a,b,cña kh«ng thÓ ®ång thêi b»ng 0 , v× khi ®ã ta kh«ng ®îc sè cã ba ch÷ sè nªn: 1 a+b+c 27 MÆt kh¸c sè ph¶i t×m lµ béi cña 18 nªn a+b+c =9 hoÆc a+b+c = 18 hoÆc a+b+c=17 a b c a b c Theo gi¶ thiÕt, ta cã: Do ®ã: ( a+b+c) chia hÕt cho 6 1 2 3 6 a b c 18 Nªn : a+b+c =18 3 a=3; b=6 ; cña =9 1 2 3 6 V× sè ph¶i t×m chia hÕt cho 18 nªnch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña nã ph¶i lµ sè ch½n. VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ: 396; 936. C©u 4: a) VÏ AH  BC; ( H BC) cña ABC + hai tam gi¸c vu«ng AHB vµ BID cã: BD= AB (gt) Gãc A1= gãc B1( cïng phô víi gãc B2) AHB= BID ( c¹nh huyÒn, gãc nhän) AH BI (1) vµ DI= BH + XÐt hai tam gi¸c vu«ng AHC vµ CKE cã: Gãc A2= gãc C1( cïng phô víi gãc C2) AC=CE(gt) AHC= CKB ( c¹nh huyÒn, gãc nhän) AH= CK (2) tõ (1) vµ (2) BI= CK vµ EK = HC. b) Ta cã: DI=BH ( Chøng minh trªn) t¬ng tù: EK = HC Tõ ®ã BC= BH +Hc= DI + EK. C©u 5: Ta cã: A = x 2001 x 1 = x 2001 1 x x 2001 1 x 2000 VËy biÓu thøc ®· cho ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 2000 khi x-2001 vµ 1-x cïng dÊu, tøc lµ : 1 x 2001 biÓu ®iÓm : C©u 1: 2 ®iÓm . a. 1 ®iÓm b. 1 ®iÓm C©u 2: 2 ®iÓm : a. 1 ®iÓm b . 1 ®iÓm . C©u 3 : 1,5 ®iÓm
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 C©u 4: 3 ®iÓm : a. 2 ®iÓm ; b. 1 ®iÓm . C©u 5 : 1,5 ®iÓm . §¸p ¸n ®Ò sè 7 C©u1: x 2 x 3 x 4 x 5 x 349 a, (1) 1 1 1 1 4 0 (0,5 ® ) 327 326 325 324 5 1 1 1 1 1 (x 329)( ) 0 327 326 325 324 5 x 329 0 x 329 (0,5® ) b, a.T×m x, biÕt: 5x - 3 - x = 7 5x 3 x 7 (1) (0,25 ®) §K: x -7 (0,25 ®) 5x 3 x 7 1  . (0,25 ®) 5x 3 x 7 VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25®). C©u 2: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a, S 1 ; 7S 7 1 (0.5®) 7 7 2 73 7 4 7 2007 7 7 2 73 7 2006 1 7 1 2007 8S 7 S 7 (0,5®) 7 2007 8 1 2 3 99 2 1 3 1 100 1 b, (0,5®) 2! 3! 4! 100! 2! 3! 100! 1 1 1 (0,5®) 100! c, Ta cã3n 2 2n 2 3n 2n 3n 2 3n (2n 2 2n ) (0,5®) n n n n 2 n n 2 3 .10 2 .5 3 .10 2 .10 10 3 2 10 (0,5®) C©u 3: Gäi ®é dµi 3 c¹nh lµ a , b, c, 3 chiÒu cao t¬ng øng lµ x, y, z, diÖn tÝch S ( 0,5® ) 2S 2S 2S a b c 2S 2S 2S a b c (0,5®) (0,5®) x y z 2 3 4 2x 3y 4z x y z 2x 3y 4z vËy x, y, z tØ lÖ víi 6 ; 4 ; 3 (0,5®) 6 4 3 C©u4: GT; KL; H×nh vÏ (0,5®) a, Gãc AIC = 1200 (1 ® ) b, LÊy H AC : AH = AQ IQ IH IP (1 ® ) C©u5: B ; LN B; LN 2 n 1 2 3 NN V× n 1 2 0 2 n 1 2 3 3 ®¹t NN khi b»ng 3 (0,5®)
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 DÊu b»ng x¶y ra khi n 1 0 n 1 1 vËy B ; LN B vµ n 1 (0,5®) 3 §¸p ¸n ®Ò sè 8 C©u 1 : 3 ®iÓm . Mçi c©u 1 ®iÓm a) (x-1)5 = (-3)5 x-1 = -3 x = -3+1 x = -2 1 1 1 1 1 b) (x+2)( ) = 0 11 12 13 14 15 1 1 1 1 1 0 x+2 = 0 x = 2 11 12 13 14 15 c) x - 2x = 0 (x )2 - 2x = 0 x (x - 2) = 0 x = 0 x = 0 hoÆc x - 2 = 0 x = 2 x = 4 C©u 2 : 3 ®iÓm . Mçi c©u 1,5 ®iÓm 5 y 1 5 2y 1 5 1 2y a) , , x 4 8 x 8 8 x 8 x(1 - 2y) = 40 1-2y lµ íc lÎ cña 40 . ¦íc lÎ cña 40 lµ : 1 ; 5 . §¸p sè : x = 40 ; y = 0 x = -40 ; y = 1 x = 8 ; y = -2 x = -8 ; y = 3 x 1 4 b) T×m x z ®Ó A Z. A= 1 x 3 x 3 4 A nguyªn khi nguyªn x 3 ¦(4) = -4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4 x 3 C¸c gi¸ trÞ cña x lµ : 1 ; 4; 16 ; 25 ; 49 . C©u 3 : 1 ®iÓm 25x 3 - 2x = 14 5x 3 = x + 7 (1) §K: x -7 (0,25 ®) 5x 3 x 7 1  . (0,25 ®) 5x 3 x 7 VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25®). C©u4. (1.5 ®iÓm) C¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7, 5, 3 A B C A B C 180 0 12 7 5 3 15 15
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 A= 840 gãc ngoµi t¹i ®Ønh A lµ 960 B = 600 gãc ngoµi t¹i ®Ønh B lµ 1200 C = 360 gãc ngoµi t¹i ®Ønh C lµ 1440 C¸c gãc ngoµi t¬ng øng tØ lÖ víi 4 ; 5 ; 6 b) 1) AE = AD ADE c©n E D E1 E DA 1800 A E = (1) ABC c©n B C 1 2 1800 A A B C = (2) 1 2 Tõ (1) vµ (2) E1 A BC ED // BC a) XÐt EBC vµ DCB cã BC chung (3) E BC D CB(4) BE = CD (5) Tõ (3), (4), (5) EBC = DCB (c.g.c) B EC C DB = 900 CE  AB . . §¸p ¸n ®Ò sè 9 Bµi 1: 3 ®iÓm 31 183 176 12 10 175 31 12 475 ( ) ( .1 . a, TÝnh: A = 3 7 7 11 3 100 3 11 300 5 1 60 71 60 ( ). . 1 91 4 11 1 364 11 31 19 341 57 284 1001 284284 = 3 11 33 . 1056 1001 55 33 55 1815 1001 1001 1001 b, 1,5 ®iÓm Ta cã: +) 1 + 4 +7 + + 100 = ( 1+100) + ( 4 + 97) + .+ ( 49+ 52) = 101 . 34 = 1434 34 cÆp +) 1434 – 410 = 1024 +) ( 18 . 123 + 9 . 436 . 2 + 3 . 5310. 6 ) = 18 . ( 123 + 436 + 5310 ) = 18 . 5869 = 105642 VËy A = 105642 : 1024 103,17 Bµi 2: 2 §iÓm
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Giäi sè cÇn t×m lµ x, y, z. Sè nhá lµ x , sè lín nhÊt lµ z. Ta cã: x y z (1) 1 1 1 1 1 1 3 Theo gi¶ thiÕt: 2 (2). Do (1) nªn z = x y z x y z x 1 1 2 VËy: x = 1. Thay vµo (2) , ®îc: 1 y z y VËy y = 2. Tõ ®ã z = 2. Ba sè cÇn t×m lµ 1; 2; 2. Bµi 3: 2 §iÓm Cã 9 trang cã 1 ch÷ sè. Sè trang cã 2 ch÷ sè lµ tõ 10 ®Õn 99 nªn cã tÊt c¶ 90 trang. Trang cã 3 ch÷ sè cña cuèn s¸ch lµ tõ 100 ®Õn 234, cã tÊt c¶ 135 trang. Suy ra sè c¸c ch÷ sè trong tÊt c¶ c¸c trang lµ: 9 + 2 . 90 + 3. 135 = 9 + 180 + 405 = 594 Bµi 4 : 3 §iÓm Trªn tia EC lÊy ®iÓm D sao cho ED = EA. Hai tam gi¸c vu«ng ABE = DBE ( EA = ED, BE chung) Suy ra BD = BA ; B AD B DA . Theo gi¶ thiÕt: EC – EA = A B VËy EC – ED = AB Hay CD = AB (2) Tõ (1) vµ (2) Suy ra: DC = BD. VÏ tia ID lµ ph©n gi¸c cña gãc CBD ( I BC ). Hai tam gi¸c: CID vµ BID cã : ID lµ c¹nh chung, CD = BD ( Chøng minh trªn). C ID = I DB ( v× DI lµ ph©n gi¸c cña gãc CDB ) VËy CID = BID ( c . g . c) C = IBD . Gäi C lµ B DA = C + I BD = 2 C = 2 ( gãc ngoµi cña BCD) mµ A = D ( Chøng minh trªn) nªn A = 2 2 = 900 = 300 . Do ®ã ; C = 300 vµ A = 600 Híng dÉn gi¶i ®Ò sè 9 Bµi 1.a. XÐt 2 trêng hîp : * x 5 ta ®îc : A=7. *x 5 ta ®îc : A = -2x-3. b. XÐt x 5 2x 10 2x 3 10 3 hay A > 7. VËy : Amin = 7 khi x 5 . 1 1 1 1 Bµi 2. a. §Æt : A = 52 62 72 1002 Ta cã :
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * A . 5.6 6.7 99.100 100.101 5 101 6 2a 9 5a 17 3a 4a 26 b. Ta cã : = = a 3 a 3 a 3 a 3 4a 12 14 4(a 3) 14 14 = 4 lµ sè nguyªn a 3 a 3 a 3 Khi ®ã (a + 3) lµ íc cña 14 mµ ¦(14) = 1; 2; 7; 14 . Ta cã : a = -2;- 4;- 1; - 5; 4 ; - 10; 11 ; -17. Bµi 3. BiÕn ®æi : A 12n n n 1 30. §Ó A6n n n 1 306n *n n 1 n 30n n ¦(30) hay n {1, 2 , 3, 5 , 6 , 10 , 15 , 30}. *306 n n 1 6 n n 1 3 + n3 n 3,6,15,30. + n 1 3 n 1,10. n {1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 30}. -Thö tõng trêng hîp ta ®îc : n = 1, 3, 10, 30 tho· m·n bµi to¸n. x Bµi 4. z -Trªn Oy lÊy M’ sao cho OM’ = m. Ta cã : m N n»m gi÷a O, M’ vµ M’N = OM. -Dùng d lµ trung trùc cña OM’ vµ Oz lµ d ph©n gi¸c cña gãc xOy chóng c¾t nhau t¹i D. -ODM M ' DN(c.g.c) MD ND o n i m' y D thuéc trung trùc cña MN. d -Râ rµng : D cè ®Þnh. VËy ®êng trung trùc cña MN ®i qua D cè ®Þnh. Bµi 5. -D¹ng tæng qu¸t cña ®a thøc bËc hai lµ : f x ax2 bx c (a 0). - Ta cã : f x 1 a x 1 2 b x 1 c . a 1 2a 1 2 -f x f x 1 2ax a b x b a 0 b 1 2 1 1 VËy ®a thøc cÇn t×m lµ : f x x2 x c (c lµ h»ng sè). 2 2 ¸p dông : + Víi x = 1 ta cã : 1 f 1 f 0 . + Víi x = 2 ta cã : 1 f 2 f 1 .
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 . + Víi x = n ta cã : n f n f n 1 . n2 n n n 1 S = 1+2+3+ +n = f n f 0 = c c . 2 2 2 Lu ý : Häc sinh gi¶i c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a. Bµi h×nh kh«ng vÏ h×nh kh«ng chÊm ®iÓm. §¸p ¸n ®Ò sè 11 C©u1 (lµm ®óng ®îc 2 ®iÓm) x x 2 x x 2 x x 2 Ta cã: = = (0,25®) x2 8x 20 x2 2x 10x 20 (x 2)(x 10) §iÒu kiÖn (x-2)(x+10) 0 x 2; x -10 (0,5®) MÆt kh¸c x 2 = x-2 nÕu x>2 -x + 2 nÕu x 2 th× = = (0,5®) (x 2)(x 10) (x 2)(x 10) x 10 * NÕu x 0; y >0 ; z >0) Theo ®Ò ra ta cã x y z 94(1) 3x 4 y 5 z (2) (0,5®) BCNN (3,4,5) = 60 3x 4y 5z x y z Tõ (2) = = hay = = (0,5®) 60 60 60 20 15 12 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau ta cã : x y z x y z 94 = = = = =2 (0,5®) x= 40, y=30 vµ z =24 (0,5®) 20 15 12 20 15 12 47 Sè häc sinh ®i trång c©y cña 3 líp 7A, 7B, 7C lÇn lît lµ 40, 30, 24. C©u 3 (lµm ®óng cho 1,5®)
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 102006 53 §Ó lµ sè tù nhiªn 102006 + 53 9 (0,5®) 9  2006 2006 §Ó 10 + 53  9 10 + 53 cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 9 2006 mµ 10 + 53 = 1+ 0 +0 + + 0 + 5+3 = 9 9 102006 53 102006 + 53 9 hay lµ sè tù nhiªn (1®)  9 C©u 4 (3®) - VÏ ®îc h×nh, ghi GT, KL ®îc 0,25® a, ABC cã A1 A2 (Az lµ tia ph©n gi¸c cñaA ) A1 C1 (Ay // BC, so le trong) A2 C1 ABC c©n t¹i B mµ BK  AC BK lµ ®êng cao cña c©n ABC BK còng lµ trung tuyÕn cña c©n ABC (0,75®) hay K lµ trung ®iÓm cña AC b, XÐt cña c©n ABH vµ vu«ng BAK. Cã AB lµ c¹ng huyÒn (c¹nh chung) A 0 A2 30 0 2 A B( 30 ) V×  0 0 0 2 1 B1 90 60 30 AC AC vu«ng ABH = vu«ng BAK BH = AK mµ AK = BH (1®) 2 2 c, AMC vu«ng t¹i M cã AK = KC = AC/2 (1) MK lµ trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn KM = AC/2 (2) Tõ (10 vµ (2) KM = KC KMC c©n. MÆt kh¸c AMC cã M 900 A=300 M KC 900 300 600 AMC ®Òu (1®) C©u 5. Lµm ®óng c©u 5 ®îc 1,5® X©y dùng s¬ ®å c©y vµ gi¶i bµi to¸n §¸p ¸n : T©y ®¹t gi¶i nhÊt, Nam gi¶i nh×, §«ng gi¶i 3, B¾c gi¶i 4 §¸p ¸n ®Ò sè 12 C©u 1: (2®) 2 a) XÐt kho¶ng x ®îc x = 4,5 phï hîp 0,25 ® 3 2 5 XÐt kho¶ng x ®îc x = - phï hîp 0,25 ® 3 4
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 3 b) XÐt kho¶ng x §îc x > 4 0,2® 2 3 XÐt kho¶ng x §îc x 4 hoÆc x 810.315> (810.310)3 = 2410.3 0,8® VËy 230+330+430> 3.224 0,2® C©u 3: a) H×nh a. AB//EF v× cã hai gãc trong cïng phÝa bï nhau EF//CD v× cã hai gãc trong cïng phÝa bï nhau VËy AB//CD b) H×nh b. AB//EF V× cã cÆp gãc so le trong b»ng nhau 0,4® CD//EF v× cã cÆp gãc trong cïng phÝa bï nhau 0,4® VËy AB//CD 0,2® C©u 4: (3®) a) MN//BC MD//BD D trung ®iÓm AP 0,3 ® BP võa lµ ph©n gi¸c võa lµ trung tuyÕn nªn còng lµ ®êng cao BD  AP 0,2® T¬ng tù ta chøng minh ®îc BE  AQ 0,5 ® b) AD = DP DBP BDE (g.c.g) DP = BE BE = AD 0,5 ® MBE MAD(c.g.c) ME MD 0,3® BP = 2MD = 2ME = BQ
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 VËy B lµ trung ®iÓm cña PQ 0,2® c) BDE vu«ng ë B, BM lµ trung tuyÕn nªn BM = ME 0,4® ADB vu«ng ë D cã DM lµ trung tuyÕn nªn DM = MA 0,4® DE = DM + ME = MA + MB 0,2® C©u 5: 1® 10 10 A = 1 A lín nhÊt  lín nhÊt 0,3® 4 x 4 x 10 XÐt x > 4 th× 0  a lín nhÊt  4 - x nhá nhÊt x = 3 0,6® 4 x §¸p ¸n ®Ò sè 12 C©u 1: ( mçi ý 0,5 ®iÓm ). a/. 4x 3 - x = 15. b/. 3x 2 - x > 1. 4x 3 = x + 15 3x 2 > x + 1 3 2 * Trêng hîp 1: x - , ta cã: * Trêng hîp 1: x , ta cã: 4 3 4x + 3 = x + 15 3x - 2 > x + 1 3 x = 4 ( TM§K). x > ( TM§K). 2 2 * Trêng hîp 2: x hoÆc x < . 5 2 4 c/. 2x 3 5 5 2x 3 5 4 x 1 C©u 2: a/.Ta cã: A= (- 7) + (-7)2 + + (- 7)2006 + (- 7)2007 ( 1 ) (- 7)A = (-7)2 + (- 7)3 + + (- 7)2007 + (- 7)2008 ( 2) 8A = (- 7) – (-7)2008 1 1 Suy ra: A = .[(- 7) – (-7)2008 ] = - ( 72008 + 7 ) 8 8 * Chøng minh: A  43.
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Ta cã: A= (- 7) + (-7)2 + + (- 7)2006 + (- 7)2007 , cã 2007 sè h¹ng. Nhãm 3 sè liªn tiÕp thµnh mét nhãm (®îc 669 nhãm), ta ®îc: A=[(- 7) + (-7)2 + (- 7)3] + + [(- 7)2005 + (- 7)2006 + (- 7)2007] = (- 7)[1 + (- 7) + (- 7)2] + + (- 7)2005. [1 + (- 7) + (- 7)2] = (- 7). 43 + + (- 7)2005. 43 2005 = 43.[(- 7) + + (- 7) ]  43 VËy : A  43 b/. * §iÒu kiÖn ®ñ: 2 2 2 2 NÕu m  3 vµ n  3 th× m  3, mn  3 vµ n  3, do ®ã: m + mn + n  9. * §iÒu kiÖn cÇn: Ta cã: m2+ mn + n2 = ( m - n)2 + 3mn. (*) 2 2 2 2 2 NÕu m + mn + n  9 th× m + mn + n  3, khi ®ã tõ (*),suy ra: ( m - n)  3 ,do ®ã ( m - 2 n)  3 v× thÕ ( m - n)  9 vµ 3mn  9 nªn mn  3 ,do ®ã mét trong hai sè m hoÆc n chia hÕt cho 3 mµ ( m - n)  3 nªn c¶ 2 sè m,n ®Òu chia hÕt cho 3. C©u 3: Gäi ®é dµi c¸c c¹nh tam gi¸c lµ a, b, c ; c¸c ®êng cao t¬ng øng víi c¸c c¹nh ®ã lµ ha , hb , hc . Ta cã: (ha +hb) : ( hb + hc ) : ( ha + hc ) = 3 : 4 : 5 1 1 1 Hay: (ha +hb) = ( hb + hc ) = ( ha + hc ) = k ,( víi k 0). 3 4 5 Suy ra: (ha +hb) = 3k ; ( hb + hc ) = 4k ; ( ha + hc ) = 5k . Céng c¸c biÓu thøc trªn, ta cã: ha + hb + hc = 6k. Tõ ®ã ta cã: ha = 2k ; hb =k ; hc = 3k. MÆt kh¸c, gäi S lµ diÖn tÝch ABC , ta cã: a.ha = b.hb =c.hc a.2k = b.k = c.3k a b c = = 3 6 2 C©u 4: Gi¶ sö DC kh«ng lín h¬n DB hay DC DB. * NÕu DC = DB th× BDC c©n t¹i D nªn D BC =  A B CD .Suy ra: ABD = ACD .Khi ®ã ta cã: ADB = ADC (c_g_c) . Do ®ã: ADB = ADC ( tr¸i víi gi¶ thiÕt) . D * NÕu DC < DB th× trong BDC , ta cã D BC < B CD mµ ABC = ACB suy ra: C B
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 ABD > ACD ( 1 ) . XÐt ADB vµ ACD cã: AB = AC ; AD chung ; DC DB. C©u 5: ( 1 ®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x y x - y , ta cã: A = x 1004 -x 1003 (x 1004) (x 1003) = 2007 VËy GTLN cña A lµ: 2007. DÊu “ = ” x¶y ra khi: x -1003. Híng dÉn chÊm ®Ò 13 C©u 1-a (1 ®iÓm ) XÐt 2 trêng hîp 3x-2 0. 3x -2 kÕt luËn : Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tho¶ m·n. b-(1 ®iÓm ) XÐt 2 trêng hîp 2x +5 0 vµ 2x+5 kÕt luËn. C©u 2-a(2 ®iÓm ) Gäi sè cÇn t×m lµ abc abc 18=> abc  9. VËy (a+b+c)  9 (1) Ta cã : 1 a+b+c 27 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra a+b+c =9 hoÆc 18 hoÆc 27 (3) a b c a b c Theo bµi ra = = = (4) 1 2 3 6 Tõ (3) vµ (4) => a+b+c=18. vµ tõ (4) => a, b, c mµ abc  2 => sè cÇn t×m : 396, 936. b-(1 ®iÓm ) A=(7 +72+73+74) + (75+76+77+78) + + (74n-3+ 74n-2+74n-1+74n). = (7 +72+73+74) . (1+74+78+ +74n-4). 2 3 4 Trong ®ã : 7 +7 +7 +7 =7.400 chia hÕt cho 400 . Nªn A  400 C©u 3-a (1 ®iÓm ) Tõ C kÎ Cz//By cã : C2 + C By = 2v (gãc trong cïng phÝa) (1)  0 C1 + CAx = 2v V× theo gi¶ thiÕt C1+C2 + + = 4v =360 . VËy Cz//Ax. (2) Tõ (1) vµ (2) => Ax//By. C©u 4-(3 ®iÓm) ABC c©n, ACB =1000=> CAB = CBA =400. Trªn AB lÊy AE =AD. CÇn chøng minh AE+DC=AB (hoÆc EB=DC)
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 AED c©n, DAE = 400: 2 =200. => ADE =AED = 800 =400+EDB (gãc ngoµi cña EDB) => EDB =400 => EB=ED (1) Trªn AB lÊy C’ sao cho AC’ = AC. C CAD = C’AD ( c.g.c) D  AC’D = 1000 vµ DC’E = 800. VËy DC’E c©n => DC’ =ED (2) Tõ (1) vµ (2) cã EB=DC’. A C E B Mµ DC’ =DC. VËy AD +DC =AB. C©u 5 (1 ®iÓm). S=(-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+ + (-3)2004. -3S= (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + +(-3)2004] = (-3)1+ (-3)2+ +(-3)2005] -3S-S=[(-3)1 + (-3)2+ +(-3)2005]-(3)0-(-3)1- -(-3)2005. ( 3) 2005 1 32005 1 -4S = (-3)2005 -1. S = = 4 4 §¸p ¸n ®Ò 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Bµi 1: Ta cã : - 90 72 56 42 30 20 12 6 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = - ( ) 1® 1.2 2 3 3.4 4 5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = - ( ) 1® 1 2 2 3 3 4 8 9 9 10 1 1 9 = - ( ) = 0,5® 1 10 10 Bµi 2: A = x 2 5 x Víi x 3 0,5® Víi 2 x 5 th× A = x-2 –x+5 = 3 0,5® Víi x>5 th× A = x-2 +x –5 = 2x –7 >3 0,5® So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A trong c¸c kho¶ng ta thÊy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = 3 2 x 5 1® A Bµi 3: a. Trªn tia ®èi cña tia OC lÊy ®iÓm N sao cho ON = OC .Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. G nªn OM lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c BNC. O H 1 Do ®ã OM //BN, OM = BN B C 2
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Do OM vu«ng gãc BC => NB vu«ng gãc BC Mµ AH vu«ng gãc víi BC v× thÕ NB // AH (1®) T¬ng tù AN//BH Do ®ã NB = AH. Suy ra AH = 2OM (1®) b. Gäi I, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AG vµ HG th× IK lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c AGH nªn IK// AH 1 IK = AH => IK // OM vµ IK = OM ; 2  KIG =  OMG (so le trong) IGK = MGO nªn GK = OG vµ  IGK =  MGO Ba ®iÓm H, G, O th¼ng hµng 1® 1 Do GK = OG mµ GK = HG nªn HG = 2GO 2 §êng th¼ng qua 3 ®iÓm H, G, O ®îc gäi lµ ®êng th¼ng ¬ le. 1® Bµi 4: Tæng c¸c hÖ sè cña mét ®a thøc P(x) bÊt kú b»ng gi¸ trÞ cña ®a thøc ®ã t¹i x=1. VËy tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc: 0,5® P(x) = (3-4x+x2)2006 . (3+4x + x2)2007 B»ng P(1) = (3-4+1)2006 (3+4+1)2007 = 0 0,5® §¸p ¸n ®Ò 14 C©u 1: Ta cã: 220  0 (mod2) nªn 22011969  0 (mod2) 119  1(mod2) nªn 11969220  1(mod2) 69  -1 (mod2) nªn 69220119  -1 (mod2) VËy A  0 (mod2) hay A  2 (1®) T¬ng tù: A  3 (1®) A  17 (1®) V× 2, 3, 17 lµ c¸c sè nguyªn tè A  2.3.17 = 102 C©u 2: T×m x a) (1,5®) Víi x 0 x = ½ (0,5®) b) (1,5®) Víi x < -2 Kh«ng cã gi¸ trÞ x nµo tho¶ m·n (0,5®) Víi -2 ≤ x ≤ 5/3 Kh«ng cã gi¸ trÞ x nµo tho¶ m·n (0,5®)
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Víi x > 5/3 x = 3,5 (0,5®) Bµi 3: a) DÔ dµng chøng minh ®îc IH = 0M A IH // 0M do 0MN = HIK (g.c.g) I E Do ®ã: IHQ = M0Q (g.c.g) QH = Q0 F H N QI = QM P b) DIM vu«ng cã DQ lµ ®êng trung K Q O tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn nªn R QD = QI = QM B D M C Nhng QI lµ ®êng trung b×nh cña 0HA nªn c) T¬ng tù: QK = QN = QE = OB/2 QR = QP = QF = OC/2 Bµi 4(1®): V× 3|x-5| 0 x R Do ®ã A = 10 - 3|x-5| ≤ 10 VËy A cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 10 |x-5| = 0 x = 5 §¸p ¸n ®Ò 15. Bµi 1. §iÒu kiÖn x 0 (0,25®) 9 a) A = - (0,5®) 7 b) x 3 > 0 A = -1 x 5 x 3 x = 1 (0,5®) 8 c) Ta cã: A = 1 - . (0,25®) x 3 §Ó A Z th× x 3 lµ íc cña 8 x = {1; 25} khi ®ã A = {- 1; 0} (0,5®) Bµi 2. x 1 0 x 1 7 x x 1 x 3 a) Ta cã: 2 (1®) 7 x (x 1) x 3; x 2 b) Ta cã: 2M = 2 – 22 + 23 – 24 + - 22006 + 22007 (0,25®) 22007 1 3M = 1 + 22007 (0,25®) M = (0,5®) 3 c) Ta cã: A = x4 + 2x2 +1 1 víi mäi x §PCM. (1®) Aˆ Bˆ Cˆ 1800 Bµi 3. Ta cã: 300 Aˆ 300 ; Bˆ 600 ;Cˆ 900 (0,5®) 1 2 3 6
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 VËy tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i C (0,5®) Bµi 4. GT, KL (0,5®) a) Gãc AIC = 1200 (1®) b) LÊy H AC sao cho AH = AN (0,5®) Tõ ®ã chøng minh IH = IN = IM (1®) Bµi 5. 2000 A = 1 + (0,5®) AMax 6 – x > 0 vµ nhá nhÊt 6 x 6 – x = 1 x = 5. VËy x = 5 tho· m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n khi ®ã A Max= 2001 (0,5®) §¸p ¸n ®Ò 15 C©u 1: (2.5®) 15 20 15 40 55 1 1 1 1 1 a. a1. . . (0.5®) 2 4 2 2 2 25 30 50 30 20 1 1 1 1 a2. : = : = (0.5®) 9 3 3 3 3 45.94 2.69 210.38.(1 3) 1 b. A = (0.5®) 210.38 68.20 210.38 (1 5) 3 7 7 c. c1. = 0.(21) c2. = 0,3(18) (0.5®) 33 22 21 7 1 c3. 0,(21) = ; c4. 5,1(6) = 5 (0.5®) 99 33 6 C©u 2: (2®) Gäi khèi lîng cña 3 khèi 7, 8, 9 lÇn lît lµ a, b, c (m3) a + b + c = 912 m3. (0.5®) a b c Sè häc sinh cña 3 khèi lµ : ; ; 1,2 1,4 1,6 b a b c Theo ®Ò ra ta cã: vµ (0.5®) 3.4,1 1,2 4.1,4 5.1,6 a b c 20 (0.5®) 4.1,2 12.1,4 15.1,6 VËy a = 96 m3 ; b = 336 m3 ; c = 480 m3. Nªn sè HS c¸c khèi 7, 8, 9 lÇn lît lµ: 80 hs, 240 hs, 300 hs. (0.5®) C©u 3: ( 1.5®): a.T×m max A.
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 2 2 3 Ta cã: (x + 2) 0 (x = 2) + 4 4 Amax= khi x = -2 (0.75®) 4 b.T×m min B. Do (x – 1)2 0 ; (y + 3)2 0 B 1 VËy Bmin= 1 khi x = 1 vµ y = -3 (0.75®) C©u 4: (2.5®) KÎ CH c¾t MB t¹i E. Ta cã EAB c©n C t¹i E  EAB =30 0 EAM = 200  CEA = MAE = 20 0 (0.5®) Do ACB = 800  ACE = 40 0 AEC = 1200 ( E 1 ) (0.5®) M 0 MÆt kh¸c: EBC = 200 vµ EBC = 400 CEB = 100 30 A H B 1200 ( 2 ) (0.5®) Tõ ( 1 ) vµ ( 2 )  AEM = 120 0 Do EAC = EAM (g.c.g) AC = AM MAC c©n t¹i A (0.5®) Vµ CAM = 400  AMC = 70 0. (0.5®) C©u 5: (1.5®) Gi¶ sö a2 vµ a + b kh«ng nguyªn tè cïng nhau a2 vµ a + b Cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d: a2 chia hÕt cho d a chia hÕt cho d vµ a + b chia hÕt cho d b chia hÕta cho d (0.5®) (a,b) = d tr¸i víi gi¶ thiÕt. VËy (a2,a + b) =1. (0.5®) §¸p ¸n (to¸n 7) C©u I : 1) X¸c ®Þnh a, b ,c a 1 b 3 c 5 5(a 1) 3(b 3) 4(c 5) 5a 3b 4c 5 9 20 = 2 2 4 6 10 12 24 10 12 24 => a = -3 ; b = -11; c = -7. a 1 b 3 c 5 C¸ch 2 : = t ; sau ®ã rót a, b ,c thay vµo t×m t =- 2 t×m a,b,c. 2 4 6 2) Chøng minh a c §Æt = k => a= kb ; c = kd Thay vµo c¸c biÓu thøc : b d 2a 2 3ab 5b 2 2c 2 3cd 5d 2 k 2 3k 5 k 2 3k 5 0 => ®pcm. 2b 2 3ab 2d 2 3cd 2 3k 2 3k C©u II: TÝnh:
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 32 16 1) Ta cã :2A= 2( ) = =>A = 3.5 5.7 97.99 3 5 5 7 97 99 3 99 99 99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2) B = = = 3 32 33 350 351 ( 3) ( 32 ) ( 33 ) ( 350 ) ( 351 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 351 1 ( 351 1) => B = => B = ( 32 ) ( 33 ) ( 3) 4 ( 351 ) ( 352 ) 3 3 ( 352 ) 352 4.351 C©u III 2 1 2 3 1 7 Ta cã : 0.2(3) = 0.2 + 0.0(3) = . 0,(1).3 = . = 10 10 10 10 9 30 1 1 12 32 1 0,120(32) = 0,12 + 0,000(32) =0,12+ .0,(32)= 0,12+ .0,(01).32 = . 1000 1000 100 1000 99 1489 = 12375 C©u IV : Gäi ®a thøc bËc hai lµ : P(x) = ax(x-1)(x-2) + bx(x-1)+c(x-3) + d P(0) = 10 => -3c+d =10 (1) P(1) = 12 => -2c+d =12 =>d =12+2c thay vµo (1) ta cã -3c+12+2c =10 =>c=2 , d =16 P(2)= 4 => 2b -2+16 = 4 > b= -5 5 P(3) = 1 => 6a-30 +16 =1 => a = 2 5 VËy ®a thøc cÇn t×m lµ : P(x) = x(x 1)(x 2) 5x(x 1) 2(x 3) 16 2 5 25 => P(x) = x 3 - x 2 12x 10 2 2 C©u V: a) DÔ thÊy ADC = ABE ( c-g-c) => DC =BE . V× AE  AC; AD  AB mÆt kh¸c gãc ADC = gãc ABE => DC  Víi BE. b) Ta cã MN // DC vµ MP // BE => MN  MP 1 1 MN = DC = BE =MP; 2 2 VËy MNP vu«ng c©n t¹i M. §¸p ¸n ®Ò 20 Bµi 1:
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 3 3 3 3 3 3 3 a) A = 8 10 11 12 2 3 4 (0,25®) 5 5 5 5 5 5 5 8 10 11 12 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 3 3 8 10 11 12 2 3 4 A = (0,25®) 1 1 1 1 1 1 1 5 5 8 10 11 12 2 3 4 A = 3 + 3 = 0 (0,25®) 5 5 102 b) 4B = 22 + 24 + + 2102 (0,25®) 3B = 2102 – 1; B = 2 1 3 (0,25®) Bµi 2: a) Ta cã 430 = 230.415 (0,25®) 3.2410 = 230.311 (0,25®) mµ 415 > 311 430 > 311 230 + 330 + 430 > 3.2410 (0,25®) b) 4 =36 > 29 33 > 14 (0,25®) 36 + 33 > 29 + 14 (0,25®) Bµi 3: Gäi x1, x2 x3 lÇn lît lµ sè ngµy lµm viÖc cña 3 m¸y x x x 1 2 3 (1) (0,25®) 3 4 5 Gäi y1, y2, y3 lÇn lît lµ sè giê lµm viÖc cña c¸c m¸y y y y 1 2 3 (2) (0,25®) 6 7 8 Gäi z1, z2, z3 lÇn lît lµ c«ng suÊt cña 3 m¸y z z z 5z = 4z = 3z 1 2 3 (3) (0,25®) 1 2 3 1 1 1 5 4 3 Mµ x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) (0,25®) x y z x y z x y z 395 Tõ (1) (2) (3) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 15 (0,5®) 18 7 40 395 5 3 15 x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105; x3y3z3 = 200 (0,25®) VËy sè thãc mçi ®éi lÇn lît lµ 54, 105, 200 (0,25®) Bµi 4:
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 a) EAB =CAD (c.g.c) (0,5®) A BM A DM (1) (0,25®) Ta cã BMC MBD BDM (gãc ngoµi tam gi¸c) (0,25®) B MC M BA 600 B DM A DM B DM 600 1200 (0,25®) b) Trªn DM lÊy F sao cho MF = MB (0,5®) FBM ®Òu (0,25®) E DFBAMB (c.g.c) (0,25®) A D D FB A MB 1200 (0,5®) F Bµi 6: Ta cã 1 x 2 f (2) 3. f ( ) 4 (0,25®) 2 M 1 1 1 x f ( ) 3. f (2) (0,25®) 2 2 4 B C 47 f (2) (0,5®) 32 ®¸p ¸n ®Ò 21 C©u 1 a.NÕu x 0 suy ra x = 1 (tho· m·n) NÕu < 0 suy ra x = -3 (tho· m·n) 1 x 1 x 3 y 1 y 1 y 2 b. ; hoÆc ;hoÆc y 6 2 6 x 3 6 x 3 6 x 3 3 y 3 y 6 y 6 hoÆc ;hoÆc ; hoÆc x 3 2 x 3 1 x 3 1 y 2 y 3 hoÆc ; hoÆc x 3 3 x 3 2 Tõ ®ã ta cã c¸c cÆp sè (x,y) lµ (9,1); (-3, -1) ; (6, 2) ; (0,- 2) ; (5, 3) ; (1, -3) ; (4, 6); (2, - 6) x y z 3x 7y 5z 3x 7y 5z 30 c. Tõ 2x = 3y vµ 5x = 7z biÕn ®æi vÒ 2 21 14 10 61 89 50 63 89 50 15 x = 42; y = 28; z = 20 C©u 2 a. A lµ tÝch cña 99 sè ©m do ®ã
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 1 1 1 1 1.3 2.4 5.3 99.101 A 1 1 1 1 2 2  2  2  2 4 9 16 100 2 3 4 100 1.2.3.2 98.99 3.4.5 99.100.101 101 1 1 A 2.3.4 99.100  2.3.4 99.100 200 2 2 x 1 x 3 4 4 4 ˆ  b. B = 1 B nguyªn nguen x 3  4 x 3 x 3 x 3 x 3 x 4;25;16;1;49 C©u 3 Thêi gian ®i thùc tÕ nhiÒu h¬n thêi gian dù ®Þnh Gäi vËn tèc ®i dù ®Þnh tõ C ®Õn B lµ v1 == 4km/h VËn tèc thùc tÕ ®i tõ C ®Õn B lµ V2 = 3km/h V 4 t V 3 Ta cã: 1 va 1 1 V2 3 t2 V2 4 (t1 lµ thêi gian ®i AB víi V1; t2 lµ thêi gian ®i CB víi V2) t1 3 t2 t1 t2 t1 15 tõ 15 t2 = 15 . 4 = 60 phót = 1 giê t2 4 4 3 4 3 1 VËy qu·ng ®êng CB lµ 3km, AB = 15km Ngêi ®ã xuÊt ph¸t tõ 11 giê 45 phót – (15:4) = 8 giê C©u 4 a. Tam gi¸c AIB = tam gi¸c CID v× cã (IB = ID; gãc I1 = gãc I2; IA = IC) b. Tam gi¸c AID = tam gi¸c CIB (c.g.c) gãc B1 = gãc D1 vµ BC = AD hay MB =ND tam gi¸c BMI = tam gi¸c DNI (c.g.c) Gãc I3 = gãc I4 M, I, N th¼ng hµng vµ IM = IN Do vËy: I lµ trung ®iÓm cña MN c. Tam gi¸c AIB cã gãc BAI > 900 gãc AIB 900 d. NÕu AC vu«ng gãc víi DC th× AB vu«ng gãc víi AC do vËy tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A C©u 5. 4 x 10 10 10 P = 1 P lín nhÊt khi lín nhÊt 4 x 4 x 4 x 10 XÐt x > 4 th× 0 4 x 10 lín nhÊt 4 – x lµ sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt 4 x 4 – x = 1 x = 3 10 khi ®ã = 10 Plín nhÊt = 11. 4 x
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Híng dÉn chÊm ®Ò 22 Bµi 1 : a) T×m x . Ta cã 2x 6 + 5x =9 2x 6 = 9-5x 15 * 2x –6 0 x 3 khi ®ã 2x –6 = 9-5x x = kh«ng tho· m·n. (0,5) 7 * 2x – 6 1 . §Ó A = 5 tøc lµ 5 x x . (1) x 1 2 4 Bµi 4 : E thuéc ph©n gi¸c cña ABC nªn EN = EC ( tÝnh chÊt ph©n gi¸c) suy ra : tam gi¸c NEC c©n vµ ENC = ECN (1) . D thuéc ph©n gi¸c cña gãc CAB nªn DC = DM
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 (tÝnh chÊt ph©n gi¸c ) suy ra tam gi¸c MDC c©n . vµ DMC =DCM ,(2) . Ta l¹i cã MDB = DCM +DMC (gãc ngoµi cña CDM ) = 2DCM. T¬ng tù ta l¹i cã AEN = 2ECN . Mµ AEN = ABC (gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän). MDB = CAB (gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän ). Tam gi¸c vu«ng ABC cã ACB = 900 , CAB + CBA = 900 , suy ra CAB = ABC = AEN + MDB = 2 ( ECN + MCD ) suy ra ECN + MCD = 450 . VËy MCN = 900 –450 =450 . (1,5) Bµi 5 : Ta cã P = -x2 –8x + 5 = - x2 –8x –16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = -( x+ 4)2 + 21; (0,75) Do –( x+ 4)2 0 víi mäi x nªn –( x +4)2 +21 21 víi mäi x . DÊu (=) x¶y ra khi x = - 4 Khi ®ã P cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 21. híng dÉn ®Ò 23 C©u 1: (3®) b/ 2-1.2n + 4.2n = 9.25 suy ra 2n-1 + 2n+2 = 9.25 0,5® suy ra 2n (1/2 +4) = 9. 25 suy ra 2n-1 .9 =9. 25 suy ra n-1 = 5 suy ra n=6. 0,5® c/ 3n+2-2n+2+3n-2n=3n(32+1)-2n(22+1) = 3n.10-2n.5 0,5® n n 2n-1 n n v× 3 .10  10 vµ 2 .5 = .10  10 suy ra 3 .10-2 .5  10 0,5® Bµi 2: a/ Gäi x, y, z lÇn lît lµ sè häc sinh cña 7A, 7B, 7C tham gia trång c©y(x, y, z∈z+) ta cã: 2x=3y = 4z vµ x+y+z =130 0,5® hay x/12 = y/8 = z/6 mµ x+y+z =130 0,5® suy ra: x=60; y = 40; z=30 -7(4343-1717) b/ -0,7(4343-1717) = 0,5®10 Ta cã: 4343 = 4340.433= (434)10.433 v× 434 tËn cïng lµ 1 cßn 433 tËn cïng lµ 7 suy ra 4343 tËn cïng bëi 7
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 1717 = 1716.17 =(174)4.17 v× 174 cã tËn cïng lµ 1 suy ra (174)4 cã tËn cïng lµ 1 suy ra 1717 = 1716.17 tËn cïng bëi 7 0,5® suy ra 4343 vµ 1717 ®Òu cã tËn cïng lµ 7 nªn 4343-1717 cã tËn cïng lµ 0 suy ra 4343-1717 chia hÕt cho 10 0,5® suy ra -0,7(4343-1717) lµ mét sè nguyªn. Bµi 3: 4®( Häc sinh tù vÏ h×nh) a/∆ MDB=∆ NEC suy ra DN=EN 0,5® b/∆ MDI=∆ NEI suy ra IM=IN suy ra BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN 0,5® c/ Gäi H lµ ch©n ®êng cao vu«ng gãc kÎ tõ A xuèng BC ta cã ∆ AHB=∆ AHC suy ra HAB=HAC 0,5® gäi O lµ giao AH víi ®êng th¼ng vu«ng gãc víi MN kÎ tõ I th× ∆ OAB=∆ OAC (c.g.c) nªn OBA = OCA(1) 0,5® ∆ OIM=∆ OIN suy ra OM=ON 0,5® suy ra ∆ OBN=∆ OCN (c.c.c) OBM=OCM(2) 0,5® Tõ (1) vµ (2) suy ra OCA=OCN=900 suy ra OC ┴ AC 0,5® VËy ®iÓm O cè ®Þnh. §¸p ¸n ®Ò 24 C©u 1: (2®). a. a + a = 2a víi a 0 (0,25®) Víi a < 0 th× a + a = 0 (0,25®). b. a - a -Víi a 0 th× a - a = a – a = 0 -Víi a< 0 th× a - a = - a - a = - 2a c.3(x – 1) - 2x + 3 -Víi x + 3 0 x - 3 Ta cã: 3(x – 1) – 2 x + 3 = 3(x – 1) – 2(x + 3) = 3x – 3 – 2x – 6 = x – 9. (0,5®) -Víi x + 3 < 0  x< - 3 Tacã: 3(x – 1) - 2x + 3 = 3(x – 1) + 2(x + 3). = 3x – 3 + 2x + 6 = 5x + 3 (0,5®). C©u 2: T×m x (2®).
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 a.T×m x, biÕt: 5x - 3 - x = 7 5x 3 x 7 (1) (0,25 ®) §K: x -7 (0,25 ®) 5x 3 x 7 1  . (0,25 ®) 5x 3 x 7 VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25®). b. 2x + 3 - 4x 10B A > B 102007 1 102008 1
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Bµi 2:(2®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1 1 1 A = 1 . 1 1 (1 2).2 (1 3).3 (1 2006)2006 2 2 2 2 5 9 2007.2006 2 4 10 18 2007.2006 2 = . . . . (1) 3 6 10 2006.2007 6 12 20 2006.2007 Mµ: 2007.2006 - 2 = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008 = 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: 4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004 A = . . 2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007) 2006.3 3009 x 1 1 1 x 1 Bµi 3:(2®iÓm) Tõ: 8 y 4 y 8 4 1 x - 2 Quy ®ång mÉu vÕ ph¶i ta cã : . Do ®ã : y(x-2) =8. y 8 §Ó x, y nguyªn th× y vµ x-2 ph¶i lµ íc cña 8. Ta cã c¸c sè nguyªn t¬ng øng cÇn t×m trong b¶ng sau: Y 1 -1 2 -2 4 -4 8 -8 x-2 8 -8 4 -4 2 -2 1 -1 X 10 -6 6 -2 4 0 3 1 Bµi 4:(2 ®iÓm) Trong tam gi¸c tæng ®é dµi hai c¹nh lín h¬n c¹nh thø 3. VËy cã: b + c > a. Nh©n 2 vÕ víi a >0 ta cã: a.b + a.c > a2. (1) T¬ng tù ta cã : b.c + b.a > b2 (2) a.c + c.b > c2 (3). Céng vÕ víi vÕ cña (1), (2), (3) ta ®îc: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. Bµi 5:(3 ®iÓm) VÏ tia ph©n gi¸c A BK c¾t ®êng th¼ng CK ë I. A Ta cã: IBC c©n nªn IB = IC. 0 BIA = CIA (ccc) nªn B IA C IA 120 . Do ®ã: I BIA =BIK (gcg) BA=BK b) Tõ chøng minh trªn ta cã: K C B
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 B AK 700 §¸p ¸n ®Ò 26 C©u 1: ( 2 ®iÓm ) 1 1 a. Do víi mäi n 2 nªn . ( 0,2 ®iÓm ) n2 n2 1 1 1 1 1 A   n
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 C©u 3 (2 ®iÓm ) Gäi ha , hb ,hc lÇn lît lµ ®é dµi c¸c ®êng cao cña tam gi¸c. Theo ®Ò bµi ta cã: h h h h h h 2 h h h h h h a b b c c a a b c a b c ( 0,4 ®iÓm ) 5 7 8 20 10 hc hb ha => => ha : hb : hc = 3 : 2: 5 ( 0,4 ®iÓm ) 5 2 3 1 1 1 MÆt kh¸c S = a.h bh ch ( 0,4 ®iÓm ) 2 a 2 b 2 c a b c => (0 , 4 ®iÓm ) 1 1 1 ha hb hc 1 1 1 1 1 1 => a :b : c = : : : : 10 :15 : 6 (0 ,4 ®iÓm ) ha hb hc 3 2 5 VËy a: b: c = 10 : 10 : 6 C©u 4: ( 2 ®iÓm ) Trªn tia Ox lÊy A , trªn tia Oy lÊy B sao cho OA = OB = a ( 0,25 ®iÓm ) Ta cã: OA + OB = OA + OB = 2a => AA = BB ( 0,25 ®iÓm ) Gäi H vµ K lÇn lît lµ h×nh chiÕu Cña A vµ B trªn ®êng th¼ng A B y Tam gi¸c HAA = tam gi¸c KB B ( c¹nh huyÒn, gãc nhän ) ( 0,5 ®iÓm ) => HA KB, do ®ã HK = AB (0,25 ®iÓm) Ta chøng minh ®îc HK AB (DÊu “ = “ A trïng A B trïng B (0,25 ®iÓm) do ®ã AB AB ( 0,2 ®iÓm ) VËy AB nhá nhÊt OA = OB = a (0,25®iÓm ) C©u 5 ( 2 ®iÓm ) Gi¶ sö a b c d Q ( 0,2 ®iÓm ) => a b d a => b +b +2 bc d 2 a 2d a ( 0,2 ®iÓm) => 2bc d 2 a b c 2d a ( 1 ) ( 0,2 ®iÓm) => 4bc = d 2 a b c 2 + 4 d2a – 4b d 2 a b c a ( 0,2 ®iÓm) => 4 d d 2 a b c a = d 2 a b c 2 + 4d 2a – 4 bc ( 0,2 ®iÓm) * NÕu 4 d d 2 a b c # 0 th×: d 2 a b c 2 4d 2a 4ab a lµ sè h÷u tØ (0,2 5®iÓm ) 4d(d 2 a b c)
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 NÕu 4 d d 2 a b c = 0 th×: d =0 hoÆc d 2+ a-b – c = 0 ( 0,25 ®iÓm ) + d = 0 ta cã : a b c 0 => a b c 0 Q (0,25 ®iÓm ) + d 2+ a-b – c = 0 th× tõ (1 ) => bc d a V× a, b, c, d 0 nªn a 0 Q ( 0,25 ®iÓm ) VËy a lµ sè h÷u tØ. Do a,b,c cã vai trß nh nhau nªn a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ §Ò 1 Bµi 1. (4 ®iÓm)
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 a) Chøng minh r»ng 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55 b) TÝnh A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 Bµi 2. (4 ®iÓm) a b c a) T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng : vµ a + 2b – 3c = -20 2 3 4 b) Cã 16 tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000®. TrÞ gi¸ mçi lo¹i tiÒn trªn ®Òu b»ng nhau. Hái mçi lo¹i cã mÊy tê? Bµi 3. (4 ®iÓm) a) Cho hai ®a thøc f(x) = x5 – 3x2 + 7x4 – 9x3 + x2 - 1 x 4 g(x) = 5x4 – x5 + x2 – 2x3 + 3x2 - 1 4 TÝnh f(x) + g(x) vµ f(x) – g(x). b) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau: A = x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 t¹i x = -1. Bµi 4. (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 900, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E sao cho BE = BA. Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë D. a)So s¸nh c¸c ®é dµi DA vµ DE. b) TÝnh sè ®o gãc BED. Bµi 5. (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, ®êng trung tuyÕn AD. KÎ ®êng trung tuyÕn BE c¾t AD ë G. Gäi I, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña GA, GB. Chøng minh r»ng: a) IK// DE, IK = DE. b) AG = 2 AD. 3 §Ò 2: Môn: Toán 7 Bài 1: (3 điểm): Tính
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7  1 1 2  2 3 18 (0,06 : 7 3 .0,38) : 19 2 .4  6 2 5  3 4 a c Bài 2: (4 điểm): Cho chứng minh rằng: c b a2 c2 a b2 a2 b a a) b) b2 c2 b a2 c2 a Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: 1 15 3 6 1 a) x 4 2 b) x x 5 12 7 5 2 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC 2 2 Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y biết: 25 y 8(x 2009) §Ò 3 Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 212.35 46.92 510.73 255.492 A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1 4 2 a. x 3,2 3 5 5 x 1 x 11 b. x 7 x 7 0
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng các bình phương của 5 4 6 ba số đó bằng 24309. Tìm số A. a c a2 c2 a b) Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết H BE = 50o ; M EB =25o . Tính H EM và B ME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phân giác của góc BAC d) AM = BC
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò 4 Bµi 1: (2 ®iÓm) Cho A = 2-5+8-11+14-17+ +98-101 a, ViÕt d¹ng tæng qu¸t d¹ng thø n cña A b, TÝnh A Bµi 2: ( 3 ®iÓm) T×m x,y,z trong c¸c trêng hîp sau: a, 2x = 3y =5z vµ x 2y =5 b, 5x = 2y, 2x = 3z vµ xy = 90. y z 1 x z 2 x y 3 1 c, x y z x y z Bµi 3: ( 1 ®iÓm) a1 a2 a3 a8 a9 1. Cho vµ (a1+a2+ +a9 ≠0) a2 a3 a4 a9 a1 Chøng minh: a1 = a2 = a3= = a9 a b c a b c 2. Cho tØ lÖ thøc: vµ b ≠ 0 a b c a b c Chøng minh c = 0 Bµi 4: ( 2 ®iÓm) Cho 5 sè nguyªn a1, a2, a3, a4, a5. Gäi b1, b2, b3, b4, b5 lµ ho¸n vÞ cña 5 sè ®· cho. Chøng minh r»ng tÝch (a1-b1).(a2-b2).(a3-b3).(a4-b4).(a5-b5)  2 Bµi 5: ( 2 ®iÓm) Cho ®o¹n th¼ng AB vµ O lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng ®ã. Trªn hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau qua AB, kÎ hai tia Ax vµ By song song víi nhau. Trªn tia Ax lÊy hai ®iÓm D vµ F sao cho AC = BD vµ AE = BF. Chøng minh r»ng : ED = CF. === HÕt=== §Ò 5
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Bµi 1: (3 ®iÓm)  1  4,5: 47,375 26 18.0,75 .2,4 : 0,88  3  1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:   2 5 17,81:1,37 23 :1 3 6 2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x vµ y tho¶ m·n: 2x 27 2007 3y 10 2008 0 3. T×m c¸c sè a, b sao cho 2007ab lµ b×nh ph¬ng cña sè tù nhiªn. Bµi 2: ( 2 ®iÓm) x 1 y 2 z 3 1. T×m x,y,z biÕt: vµ x-2y+3z = -10 2 3 4 2. Cho bèn sè a,b,c,d kh¸c 0 vµ tho¶ m·n: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ 0 a3 b3 c3 a Chøng minh r»ng: b3 c3 d 3 d Bµi 3: ( 2 ®iÓm) 1 1 1 1 1. Chøng minh r»ng: 10 1 2 3 100 2. T×m x,y ®Ó C = -18-2x 6 3y 9 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bµi 4: ( 3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A cã trung tuyÕn AM. E lµ ®iÓm thuéc c¹nh BC. KÎ BH, CK vu«ng gãc víi AE (H, K thuéc AE). 1, Chøng minh: BH = AK 2, Cho biÕt MHK lµ tam gi¸c g×? T¹i sao? === HÕt=== §Ò sè 6
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 C©u 1: T×m c¸c sè a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b C©u 2: T×m sè nguyªn x tho¶ m·n: a, 5x-3 4 c, 4- x +2x =3 C©u3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x + 8 -x C©u 4: BiÕt r»ng :12+22+33+ +102= 385. TÝnh tæng : S= 22+ 42+ +202 C©u 5 : Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM .Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AM, BI c¾t c¹nh AC t¹i D. a. Chøng minh AC=3 AD b. Chøng minh ID =1/4BD HÕt §Ò sè 7 Thêi gian lµm bµi: 120 phót 3 a b c a b c a C©u 1 . ( 2®) Cho: . Chøng minh: . b c d b c d d a c b C©u 2. (1®). T×m A biÕt r»ng: A = . b c a b c a C©u 3. (2®). T×m x Z ®Ó A Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã. x 3 1 2x a). A = . b). A = . x 2 x 3 C©u 4. (2®). T×m x, biÕt: a) x 3 = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 C©u 5. (3®). Cho  ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E BC, BH AE, CK  AE, (H,K AE). Chøng minh  MHK vu«ng c©n. HÕt §Ò sè 8 Thêi gian lµm bµi : 120 phót. C©u 1 : ( 3 ®iÓm).
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 1. Ba ®êng cao cña tam gi¸c ABC cã ®é dµi lµ 4,12 ,a . BiÕt r»ng a lµ mét sè tù nhiªn. T×m a ? a c 2. Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc ( a,b,c ,d 0, a b, c d) ta suy ra ®îc c¸c tØ b d lÖ thøc: a c a b c d a) . b) . a b c d b d C©u 2: ( 1 ®iÓm). T×m sè nguyªn x sao cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < 0. C©u 3: (2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A =  x-a +  x-b + x-c +  x-d víi a<b<c<d. C©u 4: ( 2 ®iÓm). Cho h×nh vÏ. a, BiÕt Ax // Cy. so s¸nh gãc ABC víi gãc A+ gãc C. b, gãc ABC = gãc A + gãc C. Chøng minh Ax // Cy. x A B y C C©u 5: (2 ®iÓm) Tõ ®iÓm O tïy ý trong tam gi¸c ABC, kÎ OM, ON , OP lÇn lît vu«ng gãc víi c¸c c¹nh BC, CA, Ab. Chøng minh r»ng: 2 2 2 2 2 2 AN + BP + CM = AP + BM + CN HÕt §Ò sè 9 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1(2®):
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 3 4 5 100 a) TÝnh: A = 1 + 23 24 25 2100 b) T×m n Z sao cho : 2n - 3  n + 1 C©u 2 (2®): a) T×m x biÕt: 3x - 2x 1 = 2 b) T×m x, y, z biÕt: 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) vµ 2x+3y-z = 50. 213 C©u 3(2®): Ba ph©n sè cã tæng b»ng , c¸c tö cña chóng tØ lÖ víi 3; 4; 5, c¸c mÉu cña 70 chóng tØ lÖ víi 5; 1; 2. T×m ba ph©n sè ®ã. C©u 4(3®): Cho tam gi¸c ABC c©n ®Ønh A. Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CA lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. Gäi I lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh ba ®iÓm B, I, C th¼ng hµng. 1 1 C©u 5(1®): T×m x, y thuéc Z biÕt: 2x + = 7 y HÕt §Ò sè 10 Thêi gian lµm bµi: 120’. C©u 1: TÝnh : 1 1 1 1 a) A = . 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 b) B = 1+ (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 20) 2 3 4 20 C©u 2: a) So s¸nh: 17 26 1 vµ 99 . 1 1 1 1 b) Chøng minh r»ng: 10 . 1 2 3 100 C©u 3: T×m sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã lµ béi cña 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tØ lÖ theo 1:2:3 C©u 4 Cho tam gi¸c ABC cã gãc B vµ gãc C nhá h¬n 900 . VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c Êy c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABD vµ ACE ( trong ®ã gãc ABD vµ gãc ACE ®Òu b»ng 900 ), vÏ DI vµ EK cïng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng BC. Chøng minh r»ng: a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK. C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = x 2001 x 1 hÕt §Ò sè 11 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1: (1,5 ®) T×m x biÕt:
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 x 2 x 3 x 4 x 5 x 349 a, + + + + =0 327 326 325 324 5 b, 5x 3 7 C©u2:(3 ®iÓm) 0 1 2 2007 1 1 1 1 a, TÝnh tæng: S 7 7 7 7 1 2 3 99 b, CMR: 1 2! 3! 4! 100! c, Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn d¬ng n th×: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hÕt cho 10 C©u3: (2 ®iÓm) §é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi 2;3;4. Hái ba chiÒu cao t¬ng øng ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi sè nµo? C©u 4: (2,5®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B 600 hai ®êng ph©n gi¸c AP vµ CQ cña tam gi¸c c¾t nhau t¹i I. a, TÝnh gãc AIC b, CM : IP = IQ 1 C©u5: (1 ®iÓm) Cho B . T×m sè nguyªn n ®Ó B cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 2(n 1) 2 3 hÕt §Ò sè 12 Thêi gian : 120’ C©u 1 : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt : a) x 1 5 = - 243 .
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 b) 11 12 13 14 15 c) x - 2x = 0 (x 0 ) C©u 2 : (3®) 5 y 1 a, T×m sè nguyªn x vµ y biÕt : x 4 8 x 1 b, T×m sè nguyªn x ®Ó A cã gi¸ trÞ lµ 1 sè nguyªn biÕt : A = (x 0 ) x 3 C©u 3 : (1®) T×m x biÕt : 2. 5x 3 - 2x = 14 C©u 4 : (3®) a, Cho ABC cã c¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7; 5; 3 . C¸c gãc ngoµi t¬ng øng tØ lÖ víi c¸c sè nµo . b, Cho ABC c©n t¹i A vµ ¢ < 900 . KÎ BD vu«ng gãc víi AC . Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E sao cho : AE = AD . Chøng minh : 1) DE // BC 2) CE vu«ng gãc víi AB . HÕt §Ò sè 13 Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi1( 3 ®iÓm) 1 1 176 12 10 10 (26 ) ( 1,75) a, TÝnh: A = 3 3 7 11 3 5 ( 60 91 0,25). 1 11 b, TÝnh nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 +7 + + 100 – 410) Bµi 2: ( 2®iÓm). T×m 3 sè nguyªn d¬ng sao cho tæng c¸c nghÞch ®¶o cña chóng b»ng 2. Bµi 3: (2 ®iÓm). CÇn bao nhiªu ch÷ sè ®Ó ®¸nh sè trang mét cuèn s¸ch dµy 234 trang. Bµi 4: ( 3 ®iÓm) Cho ABC vu«ng t¹i B, ®êng cao BE T×m sè ®o c¸c gãc nhän cña tam gi¸c , biÕt EC – EA = AB. hÕt §Ò sè 14 Thêi gian lµm bµi 120 phót Bµi 1(2 ®iÓm). Cho A x 5 2 x. a.ViÕt biÓu thøc A díi d¹ng kh«ng cã dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. Bµi 2 ( 2 ®iÓm) 1 1 1 1 1 1 a.Chøng minh r»ng : . 6 52 62 72 1002 4 2a 9 5a 17 3a b.T×m sè nguyªn a ®Ó : lµ sè nguyªn. a 3 a 3 a 3 Bµi 3(2,5 ®iÓm). T×m n lµ sè tù nhiªn ®Ó : A n 5 n 6 6n. Bµi 4(2 ®iÓm) Cho gãc xOy cè ®Þnh. Trªn tia Ox lÊy M, Oy lÊy N sao cho OM + ON = m kh«ng ®æi. Chøng minh : §êng trung trùc cña MN ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bµi 5(1,5 ®iÓm). T×m ®a thøc bËc hai sao cho : f x f x 1 x ¸p dông tÝnh tæng : S = 1 + 2 + 3 + + n. HÕt §Ò sè 15 Thêi gian lµm bµi: 120 phót x x 2 C©u 1: (2®) Rót gän A= x2 8x 20 C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®îc ®Òu nh nhau. 102006 53 C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiªn. 9 C©u 4 : (3®) Cho gãc xAy = 600 vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn Ax vÏ ®êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh  Ay,CM Ay, BK  AC. Chøng minh r»ng: a, K lµ trung ®iÓm cña AC. AC b, BH = 2 c, ΔKMC ®Òu C©u 5 (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u díi ®©y ®óng mét nöa vµ sai 1 nöa: a, T©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2. b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3. c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4. Em h·y x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n.
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 HÕt §Ò sè 16: Thêi gian lµm bµi 120 phót C©u 1: (2®) T×m x, biÕt: a) 3x 2 x 7 b) 2x 3 5 c) 3x 1 7 d) 3x 5 2x 3 7 C©u 2: (2®) a) TÝnh tæng S = 1+52+ 54+ + 5200 b) So s¸nh 230 + 330 + 430 vµ 3.2410 C©u 3: (2®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM vµ CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN C©u 4: (3®) Cho M,N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB vµ Ac cña tam gi¸c ABC. C¸c ®êng ph©n gi¸c vµ ph©n gi¸c ngoµi cña tam gi¸c kÎ tõ B c¾t ®êng th¼ng MN lÇn lît t¹i D vµ E c¸c tia AD vµ AE c¾t ®êng th¼ng BC theo thø tù t¹i P vµ Q. Chøng minh: a) BD  AP; BE  AQ; b) B lµ trung ®iÓm cña PQ c) AB = DE 14 x C©u 5: (1®) Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cña x th× biÓu thøc A= Cã gi¸ trÞ lín nhÊt? 4 x T×m gi¸ trÞ ®ã. HÕt §Ò sè 17: C©u 1: ( 1,5 ®iÓm) T×m x, biÕt: a. 4x 3 - x = 15. b. 3x 2 - x > 1. c. 2x 3 5. C©u2: ( 2 ®iÓm) a. TÝnh tæng: A= (- 7) + (-7)2 + + (- 7)2006 + (- 7)2007. Chøng minh r»ng: A chia hÕt cho 43. b. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ®Ó m2 + m.n + n2 chia hÕt cho 9 lµ: m, n chia hÕt cho 3. C©u 3: ( 23,5 ®iÓm) §é dµi c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi nhau nh thÕ nµo,biÕt nÕu céng lÇn lît ®é dµi tõng hai ®êng cao cña tam gi¸c ®ã th× c¸c tæng nµy tû lÖ theo 3:4:5. C©u 4: ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. D lµ mét ®iÓm n»m trong tam gi¸c, biÕt
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 ADB > ADC . Chøng minh r»ng: DB 13 C©u 2: (3 ®iÓm ) a. T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tû lÖ víi 1, 2, 3. b. Chøng minh r»ng: Tæng A=7 +72+73+74+ +74n chia hÕt cho 400 (n N). C©u 3 : (1®iÓm )cho h×nh vÏ , biÕt + +  = 1800 chøng minh Ax// By. A x C   B y C©u 4 (3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c c©n ABC, cã ABC =1000. KÎ ph©n gi¸c trong cña gãc CAB c¾t AB t¹i D. Chøng minh r»ng: AD + DC =AB C©u 5 (1 ®iÓm ) TÝnh tæng. S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + + (-3)2004. HÕt §Ò sè 19 Thêi gian lµm bµi: 120 phó Bµi 1: (2,5®) Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau mét c¸ch hîp lÝ: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 90 72 56 42 30 20 12 6 2 Bµi 2: (2,5®) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x 2 5 x Bµi 3: (4®) Cho tam gi¸c ABC. Gäi H, G,O lÇn lît lµ trùc t©m , träng t©m vµ giao ®iÓm cña 3 ®êng trung trùc trong tam gi¸c. Chøng minh r»ng: a. AH b»ng 2 lÇn kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn BC b. Ba ®iÓm H,G,O th¼ng hµng vµ GH = 2 GO Bµi 4: (1 ®) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc (3-4x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007. HÕt
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò 20 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1(3®): Chøng minh r»ng A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hÕt cho 102 C©u 2(3®): T×m x, biÕt: a. x x 2 3 ; b. 3x 5 x 2 C©u 3(3®): Cho tam gi¸c ABC. Gäi M, N, P theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BC, CA, AB. C¸c ®êng trung trùc cña tam gi¸c gÆp nhau tai 0. C¸c ®êng cao AD, BE, CF gÆp nhau t¹i H. Gäi I, K, R theo thø tù lµ trung ®iÓm cña HA, HB, HC. a) C/m H0 vµ IM c¾t nhau t¹i Q lµ trung ®iÓm cña mçi ®o¹n. b) C/m QI = QM = QD = 0A/2 c) H·y suy ra c¸c kÕt qu¶ t¬ng tù nh kÕt qu¶ ë c©u b. C©u 4(1®): T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc A = 10 - 3|x-5| ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. HÕt §Ò 21: x 5 Bµi 1: (2®) Cho biÓu thøc A = x 3 1 a) TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = 4 b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = - 1 c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2. (3®) a) T×m x biÕt: 7 x x 1 b) TÝnh tæng M = 1 + (- 2) + (- 2)2 + +(- 2)2006 c) Cho ®a thøc: f(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + 1 – 4x3. Chøng tá r»ng ®a thøc trªn kh«ng cã nghiÖm Bµi 3.(1®Hái tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g× biÕt r»ng c¸c gãc cña tam gi¸c tØ lÖ víi 1, 2, 3.
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Bµi 4.(3®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM vµ CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN 2006 x Bµi 5. (1®) Cho biÓu thøc A = . T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ 6 x lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. HÕt §Ò 22 C©u 1: 1.TÝnh: 15 20 25 30 1 1 1 1 a. . b. : 2 4 9 3 45.94 2.69 2. Rót gän: A = 210.38 68.20 3. BiÓu diÔn sè thËp ph©n díi d¹ng ph©n sè vµ ngîc l¹i: 7 7 a. b. c. 0, (21) d. 0,5(16) 33 22 C©u 2: Trong mét ®ît lao ®éng, ba khèi 7, 8, 9 chuyªn chë ®îc 912 m3 ®Êt. Trung b×nh mçi häc sinh khèi 7, 8, 9 theo thø tù lµm ®îc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 ®Êt. Sè häc sinh khèi 7, 8 tØ lÖ víi 1 vµ 3. Khèi 8 vµ 9 tØ lÖ víi 4 vµ 5. TÝnh sè häc sinh mçi khèi. C©u 3: 3 a.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A = (x 2) 2 4 b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = (x+1)2 + (y + 3)2 + 1 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC c©n (CA = CB) vµ C = 800. Trong tam gi¸c sao cho M BA 300 vµ M AB 100 .TÝnh M AC . C©u 5: Chøng minh r»ng : nÕu (a,b) = 1 th× (a2,a+b) = 1. HÕt §Ò23 Thêi gian: 120 phót. C©u I: (2®) a 1 b 3 c 5 1) Cho vµ 5a - 3b - 4 c = 46 . X¸c ®Þnh a, b, c 2 4 6
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 a c 2a 2 3ab 5b 2 2c 2 3cd 5d 2 2) Cho tØ lÖ thøc : . Chøng minh : . Víi ®iÒu b d 2b 2 3ab 2d 2 3cd kiÖn mÉu thøc x¸c ®Þnh. C©u II : TÝnh : (2®) 1 1 1 1) A = 3.5 5.7 97.99 1 1 1 1 1 2) B = 3 32 33 350 351 C©u III : (1,5 ®) §æi thµnh ph©n sè c¸c sè thËp ph©n sau : a. 0,2(3) ; b. 1,12(32). C©u IV : (1.5®) X¸c ®Þnh c¸c ®a thøc bËc 3 biÕt : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = 4 ; p(3) = 1 C©u V : (3®) Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän. Dùng ra phÝa ngoµi 2 tam gi¸c vu«ng c©n ®Ønh A lµ ABD vµ ACE . Gäi M;N;P lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BC; BD;CE . a. Chøng minh : BE = CD vµ BE  víi CD b. Chøng minh tam gi¸c MNP vu«ng c©n HÕt §Ò 24 Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi 1 (1,5®): Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 3 0,375 0,3 1,5 1 0,75 a) A = 11 12 5 5 5 0,265 0,5 2,5 1,25 11 12 3 b) B = 1 + 22 + 24 + + 2100 Bµi 2 (1,5®): a) So s¸nh: 230 + 330 + 430 vµ 3.2410 b) So s¸nh: 4 + 33 vµ 29 + 14 Bµi 3 (2®): Ba m¸y xay xay ®îc 359 tÊn thãc. Sè ngµy lµm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 3:4:5, sè giê lµm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 6, 7, 8, c«ng suÊt c¸c m¸y tØ lÖ nghÞc víi 5,4,3. Hái mçi m¸y xay ®îc bao nhiªu tÊn thãc. Bµi 4 (1®): T×m x, y biÕt: 1 1 1 1 a) 3 x3 4 b) 2x 1.2 2.3 99.100 2
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Bµi 5 ( 3®): Cho ABC cã c¸c gãc nhá h¬n 1200. VÏ ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC c¸c tam gi¸c ®Òu ABD, ACE. Gäi M lµ giao ®iÓm cña DC vµ BE. Chøng minh r»ng: a) B MC 1200 b) A MB 1200 Bµi 6 (1®): Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x thuéc R. BiÕt r»ng víi mäi x ta ®Òu 1 cã: f (x) 3. f ( ) x2 . TÝnh f(2). x HÕt §Ò 25 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1 (2®) T×m x, y, z Z, biÕt a. x x = 3 - x x 1 1 b. 6 y 2 c. 2x = 3y; 5x = 7z vµ 3x - 7y + 5z = 30 C©u 2 (2®) 1 1 1 1 1 a. Cho A =( 1).( 1).( 1) ( 1) . H·y so s¸nh A víi 2 2 32 4 2 100 2 2 x 1 b. Cho B = . T×m x Z ®Ó B cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn d¬ng x 3 C©u 3 (2®) Mét ngêi ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 4km/h vµ dù ®Þnh ®Õn B lóc 11 giê 45 phót. Sau 1 khi ®i ®îc qu·ng ®êng th× ngêi ®ã ®i víi vËn tèc 3km/h nªn ®Õn B lóc 12 giê tra. 5 TÝnh qu·ng ®êngAB vµ ngêi ®ã khëi hµnh lóc mÊy giê?
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 C©u 4 (3®) Cho ABC cã Aˆ > 900. Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC. Trªn tia ®èi cña tia IB lÊy ®iÓm D sao cho IB = ID. Nèi c víi D. a. Chøng minh AIB CID b. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC; N lµ trung ®iÓm cña CD. Chøng minh r»ng I lµ trung ®iÓm cña MN c. Chøng minh AIB AIB B IC d. T×m ®iÒu kiÖn cña ABC ®Ó AC  CD 14 x C©u 5 (1®) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = ;x Z . Khi ®ã x nhËn gi¸ 4 x trÞ nguyªn nµo? HÕt §Ò 26 Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi 1: (2,5®) a. T×m x biÕt : 2x 6 +5x = 9 1 1 1 1 b. Thùc hiÖn phÐp tÝnh : (1 +2 +3 + + 90). ( 12.34 – 6.68) : ; 3 4 5 6 c. So s¸nh A = 20 +21 +22 +23+ 24 + +2100 vµ B = 2101 . Bµi 2 :(1,5®) T×m tØ lÖ ba c¹nh cña mét tam gi¸c biÕt r»ng nÕu céng lÇn lît ®é dµi tõng hai ®êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ :5 : 7 : 8. x 1 Bµi 3 :(2®) Cho biÓu thøc A = . x 1 16 25 a. TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = vµ x = . 9 9 b. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A =5. Bµi 4 :(3®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C. Tõ A, B kÎ hai ph©n gi¸c c¾t AC ë E, c¾t BC t¹i D. Tõ D, E h¹ ®êng vu«ng gãc xuèng AB c¾t AB ë M vµ N. TÝnh gãc M CN ? Bµi 5 : (1®) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc : P = -x2 – 8x +5 . Cã gi¸ trÞ lín nhÊt . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã ? HÕt
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò 27 Thêi gian: 120 phót C©u 1: (3®) 2 2 1 3 1 1 4 5 2 a. TÝnh A = 0,25 . . . . 4 3 4 3 b. T×m sè nguyªn n, biÕt: 2-1.2n + 4.2n = 9.25 c. Chøng minh víi mäi n nguyªn d¬ng th×: 3n+3-2n+2+3n-2n chia hÕt cho 10 C©u 2: ((3®) a. 130 häc sinh thuéc 3 líp 7A, 7B, 7C cña mét trêng cïng tham gia trång c©y. Mçi häc sinh cña líp 7A, 7B, 7C theo thø tù trång ®îc 2c©y, 3 c©y, 4 c©y. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh tham gia trång c©y? BiÕt sè c©y trång ®îc cña 3 líp b»ng nhau. b. Chøng minh r»ng: - 0,7 ( 4343 - 1717 ) lµ mét sè nguyªn C©u 3: (4® ) Cho tam gi¸c c©n ABC, AB=AC. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D. Trªn Tia cña tia BC lÊy ®iÓm E sao cho BD=BE. C¸c ®êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t AB vµ AC lÇn lît ë M vµ N. Chøng minh: a. DM= ED b. §êng th¼ng BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN. c. §êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn BC. HÕt
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò 28 Thêi gian: 120 phót C©u 1: (2 ®iÓm). Rót gän biÓu thøc a. a a b. a a c. 3 x 1 2 x 3 C©u 2: T×m x biÕt: a. 5x 3 - x = 7 b. 2x 3 - 4x < 9 C©u 3: (2®) T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tû lÖ víi 3 sè 1; 2; 3. C©u 4: (3,5®). Cho ABC, trªn c¹nh AB lÊy c¸c ®iÓm D vµ E. Sao cho AD = BE. Qua D vµ E vÏ c¸c ®êng song song víi BC, chóng c¾t AC theo thø tù ë M vµ N. Chøng minh r»ng DM + EN = BC. HÕt
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò 29 Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) 102006 1 102007 1 Bµi 1:(1®iÓm) H·y so s¸nh A vµ B, biÕt: A=; B = . 102007 1 102008 1 Bµi 2:(2®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1 1 1 A= 1 . 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 2006 x 1 1 Bµi 3:(2®iÓm) T×m c¸c sè x, y nguyªn biÕt r»ng: 8 y 4 Bµi 4:(2 ®iÓm) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. Bµi 5:(3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cãB = C = 50 0 . Gäi K lµ ®iÓm trong tam gi¸c sao cho K BC = 100 K CB = 300 a. Chøng minh BA = BK. b. TÝnh sè ®o gãc BAK. HÕt
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò thi 30 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1. Víi mäi sè tù nhiªn n 2 h·y so s¸nh: 1 1 1 1 a. A= víi 1 . 22 32 42 n2 1 1 1 1 b. B = víi 1/2 22 42 62 2n 2 3 4 n 1 C©u 2: T×m phÇn nguyªn cña , víi 2 3 4 n 1 2 3 n C©u 3: T×m tØ lÖ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c, biÕt r»ng céng lÇn lît ®é dµi hai ®êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ 5: 7 : 8. C©u 4: Cho gãc xoy , trªn hai c¹nh ox vµ oy lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm A vµ B ®Ó cho AB cã ®é dµi nhá nhÊt. C©u 5: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c vµ a b c lµ c¸c sè h÷u tØ.
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 ®¸p ¸n - §Ò 1 Bµi 1. 4® 4 2 4 a) 7 ( 7 + 7 – 1) = 7 . 55  55 (®pcm) 2® b) TÝnh A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 (1) 5.A = 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 + 551 (2) 1® 51 1 Trõ vÕ theo vÕ (2) cho (1) ta cã : 4A = 551 – 1 => A = 5 4 1® Bµi 2. 4® a b c a 2b 3c a 2b 3c 20 a)  5 => a = 10, b = 15, c =20. 2 3 4 2 6 12 2 6 12 4 2® b) Gäi sè tê giÊy b¹c 20 000®, 50 000®, 100 000® theo thø tù lµ x, y, z ( x, y, z N*) 0,5® Theo bµi ra ta cã: x + y + z = 16 vµ 20 000x = 50 000y = 100 000z 0,5® BiÕn ®æi: 20 000x = 50 000y = 100 000z 20000x 50000y 100000z x y z x y z 16 => 2 100000 100000 100000 5 2 1 5 2 1 8 0,5® Suy ra x = 10, y = 4, z = 2. VËy sè tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000® theo thø tù lµ 10; 4; 2. 0,5® Bµi 3. 4® a) f(x) + g(x) = 12x4 – 11x3 +2x2 - 1 x - 1 4 4 1® f(x) - g(x) = 2x5 +2x4 – 7x3 – 6x2 - 1 x + 1 4 4 1® b) A = x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 t¹i x = - 1 A = (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 + + (-1)100 = 1 + 1 + 1 + + 1 = 50 (cã 50 sè h¹ng) 2® Bµi 4. 4®: VÏ h×nh (0,5®) – phÇn a) 1,5® - phÇn b) 2®
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 b a) ABD = EBD (c.g.c) => DA = DE b) V× ABD = EBD nªn gãc A b»ng gãc BED e Do gãc A b»ng 900 nªn gãc BED b»ng 900 c a d Bµi 5: 4® a) Tam gi¸c ABC vµ tam gi¸c ABG cã: a DE//AB, DE = 1 AB, IK//AB, IK= 1 AB 2 2 i e Do ®ã DE // IK vµ DE = IK G b) GDE = GIK (g. c. g) v× cã: DE = IK (c©u a) k Gãc GDE = gãc GIK (so le trong, DE//IK) c Gãc GED = gãc GKI (so le trong, DE//IK) b d 2 GD = GI. Ta cã GD = GI = IA nªn AG = AD 3 - VÏ h×nh: 0,5® - PhÇn a) ®óng: 2® - PhÇn b) ®óng: 1,5® §Ò 2: Bài 1: 3 điểm  1 1 2  2 3 18 (0,06 : 7 3 .0,38) : 19 2 .4 =  6 2 5  3 4 109 6 15 17 38  8 19 = ( : . ) : 19 . 0.5đ  6 100 2 5 100  3 4 109 3 2 17 19  38 =  . .  : 19 1đ  6 50 15 5 50  3 109 2 323  19 =   : 0.5  6 250 250  3 109 13 3 = . = 0.5đ 6 10 19 506 3 253 = . 0.5đ 30 19 95 Bài 2: a c a) Từ suy ra c2 a.b 0.5đ c b a2 c2 a2 a.b khi đó 0.5đ b2 c2 b2 a.b a(a b) a = 0.5đ b(a b) b
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 a2 c2 a b2 c2 b b) Theo câu a) ta có: 0.5đ b2 c2 b a2 c2 a b2 c2 b b2 c2 b từ 1 1 1đ a2 c2 a a2 c2 a b2 c2 a2 c2 b a hay 0.5đ a2 c2 a b2 a2 b a vậy 0.5đ a2 c2 a Bài 3: 1 a) x 4 2 5 1 x 2 4 0.5đ 5 1 1 1 x 2 x 2 hoặc x 2 1đ 5 5 5 1 1 9 Với x 2 x 2 hay x 0.25đ 5 5 5 1 1 11 Với x 2 x 2 hay x 0.25đ 5 5 5 b) 15 3 6 1 x x 12 7 5 2 6 5 3 1 x x 0.5đ 5 4 7 2 6 5 13 ( )x 0.5đ 5 4 14 49 13 x 0.5đ 20 14 130 x 0.5đ 343 Bài 4: Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s Ta có: 5.x 4.y 3.z và x x y z 59 1đ x y z x x y z 59 hay: 60 0.5đ 1 1 1 1 1 1 1 59 5 4 3 5 5 4 3 60 Do đó: 1 1 1 x 60. 12 ; x 60. 15 ; x 60. 20 0.5đ 5 4 3 Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Bài 5: A -Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1đ 200 suy ra D AB D AC M Do đó D AB 200 : 2 100 b) ABC cân tại A, mà A 200 (gt) nên ABC (1800 200 ) : 2 800 D ABC đều nên D BC 600 Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra C ABD 800 600 200 . Tia BM là phân giác của góc ABD B nên ABM 100 Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; B AM ABD 200 ; ABM D AB 100 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6: 25 y2 8(x 2009)2 Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ 25 Vì y2 0 nên (x-2009)2 , suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 0.5đ 8 Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) 2 2 Với (x- 2009) = 0 thay vào (*) ta có y =25 suy ra y = 5 (do y ) 0.5đ Từ đó tìm được (x=2009; y=5) 0.5đ
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò 3 Bài 1:(4 điểm): Thang Đáp án điểm a) (2 điểm) 10 212.35 46.92 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 5 .74 A 0,5 điểm 6 3 9 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 22.3 84.35 125.7 5 .14 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 212.34. 3 1 510.73. 1 7 0,5 điểm 212.35. 3 1 59.73. 1 23 10 3 212.34.2 5 .7 . 6 0,5 điểm 212.35.4 59.73.9 1 10 7 0,5 điểm 6 3 2 b) (2 điểm) 3 n + 2 - Với mọi số nguyên dương n ta có: 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n 2n 2 2n =3n (32 1) 2n (22 1) 0,5 điểm =3n 10 2n 5 3n 10 2n 1 10 1 điểm = 10( 3n -2n) n 2 n 2 n n 0,5 điểm Vậy 3 2 3 2  10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2:(4 điểm) Thang Đáp án điểm a) (2 điểm) 1 4 2 1 4 16 2 0,5 điểm x 3,2 x 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 0,5 điểm x 3 5 5  1 1 x 2 x 2  3 0,5 điểm 3  x 1 2  3  x 2 1 7  3 3 0,5 điểm  x 2 1 5  3 3
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 b) (2 điểm) x 7 x 1 x 7 x 11 0 0,5 điểm x 1 10 x 7 1 x 7  0   0,5 điểm x 7 x 1 1 x 7 10  0   x 1  x 7 0  0,5 điểm 1 (x 7)10 0   x 7 0 x 7  10 0,5 điểm (x 7) 1 x 8 Bài 3: (4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. 2 3 1 0,5 điểm Theo đề bài ta có: a : b : c = : : (1) 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) 0,5 điểm a b c 2 3 k Từ (1) = k a k;b k;c 2 3 1 5 4 6 5 4 6 4 9 1 Do đó (2) k 2 ( ) 24309 25 16 36 0,5 điểm k = 180 và k = 180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. 0,5 điểm + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi đó ta có só A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 . 0,5 điểm b) (1,5 điểm) a c Từ suy ra c2 a.b c b 0,5 điểm a2 c2 a2 a.b khi đó b2 c2 b2 a.b 0,5 điểm a(a b) a = 0,5 điểm b(a b) b Bài 4: (4 điểm)
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Thang Đáp án điểm Vẽ hình 0,5 điểm A I B M C H K E a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) AMC = E MB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5 điểm AC = EB Vì AMC = EMB M AC = M EB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) M AI = M EK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) 0,5 điểm Suy ra AMI = E MK Mà AMI + I ME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) E MK + I ME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có H BE = 50o H BE = 90o - H BE = 90o - 50o =40o 0,5 điểm H EM = H EB - M EB = 40o - 25o = 15o 0,5 điểm B ME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM Nên B ME = H EM + M HE = 15o + 90o = 105o
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 ( định lý góc ngoài của tam giác ) 0,5 điểm Bài 5: (4 điểm) A 200 M D B C -Vẽ hình a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1điểm suy ra D AB D AC 0,5 điểm Do đó D AB 200 : 2 100 0,5 điểm b) ABC cân tại A, mà A 200 (gt) nên ABC (1800 200 ) : 2 800 ABC đều nên D BC 600 0,5 điểm Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ABD 800 600 200 . Tia BM là phân giác của góc ABD nên ABM 100 0,5 điểm Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; B AM ABD 200 ; ABM D AB 100 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0,5 điểm §Ò 4 Bµi Néi dung cÇn ®¹t §iÓm Sè h¹ng thø nhÊt lµ (-1)1+1(3.1-1) 1.1 Sè h¹ng thø hai lµ (-1)2+1(3.2-1) 1 D¹ng tæng qu¸t cña sè h¹ng thø n lµ: (-1)n+1(3n-1)
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 1.2 A = (-3).17 = -51 1 x 2y , 3y = 5z. NÕu x-2y = 5 x= -15, y = -10, z = -6 0,5 2.1 3 4 NÕu x-2y = -5 x= 15, y = 10, z = 6 0,5 x y x2 xy =9 x = ±6 0,5 2.2 2 5 4 10 Ta cã 2x = 3z nªn x1 = 6; y1 = 15; z1 = 4 vµ 0,25 x1 = -6; y1 = -15; z1 = -4 0,25 y z 1 x z 2 x y 3 1 = = = =2 0,5 x y z x y z 0,5 x 1 0,5 y 2 0,5 z 3 2.3 x+y+z = 0,5 = 2 0,5 x y z 1 5 5 x = ; y = ; z = - 0,5 2 6 6 a1 a2 a3 a8 a9 a1 a2 a9 1 (v× a1+a2+ +a9 ≠0) 0,25 a a a a a a a a 3.1 2 3 4 9 1 1 2 9 a = a ; a = a ; ;a = a 1 2 2 3 9 1 0,25 a1 = a2 = a3= = a9 a b c a b c (a b c) (a b c) 2b = 1 (v× b≠0) 0,25 3.2 a b c a b c (a b c) (a b c) 2b a+b+c = a+b-c 2c = 0 c = 0 0,25 §Æt c1 = a1-b1; c2 = a2-b2; ; c5 = a5-b5 0,25 XÐt tæng c + c + c + + c = (a -b )+( a -b )+ +( a -b ) = 0 0,25 4.1 1 2 3 5 1 1 2 2 5 5 c1; c2; c3; c4; c5 ph¶i cã mét sè ch½n 0,25 c1. c2. c3. c4. c5  2 0,25 AOE = BOF (c.g.c) O,E,F th¼ng hµng vµ OE = OF 0,5 4.2 AOC = BOD (c.g.c) C,O,D th¼ng hµng vµ OC = OD EOD = FOC (c.g.c) ED = CF §Ò 5 Bµi Néi dung cÇn ®¹t §iÓm 1.1 Sè bÞ chia = 4/11 0,5 Sè chia = 1/11 0,25 KÕt qu¶ = 4 0,25 1.2 V× 2x-272007 ≥ 0 x vµ (3y+10)2008 ≥ 0 y 0,25 2x-272007 = 0 vµ (3y+10)2008 = 0 0,25 x = 27/2 vµ y = -10/3 0,5 1.3 V× 00≤ab ≤99 vµ a,b N 0,25 200700 ≤ 2≤0 02007997ab 0,25 4472 < 2007ab < 4492 0,25
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 2007ab = 4482 a = 0; b= 4 0,25 2.1 x 1 y 2 z 3 0,25 §Æt k 2 3 4 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau k = -2 0,5 X = -3; y = -4; z = - 5 0,25 2.2 a b c 0,25 Tõ gi¶ thiÕt suy ra b2 = ac; c2 = bd; b c d a3 b3 c3 a3 b3 c3 0,25 Ta cã (1) b3 c3 d 3 b3 c3 d 3 a3 a a a a b c a 0,25 L¹i cã . . . . (2) b3 b b b b c d d a3 b3 c3 a 0,25 Tõ (1) vµ (2) suy ra: b3 c3 d 3 d 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3.1 Ta cã: > ; > ; > > ; = 0,5 1 10 2 10 3 10 9 10 10 10 1 1 1 1 0,5 10 1 2 3 100 3.2 Ta cã C = -18 - (2x 6 3y 9 ) -18 0,5 V× 20;x 60 3y 9 0,25 2x 6 0 0,25 Max C = -18 x = 3 vµ y = -3 3y 9 0 4.1 ABH = CAK (g.c.g) BH = AK 4.2 MAH = MCK (c.g.c) MH = MK (1) gãc AMH = gãc CMK gãc HMK = 900 (2) Tõ (1) vµ (2) MHK vu«ng c©n t¹i M §¸p ¸n ®Ò sè 6 C©u1: Nh©n tõng vÕ bÊt ®¼ng thøc ta ®îc : (abc)2=36abc +, NÕu mét trong c¸c sè a,b,c b»ng 0 th× 2 sè cßn l¹i còng b»ng 0 +,NÕu c¶ 3sè a,b,c kh¸c 0 th× chia 2 vÕ cho abc ta ®îc abc=36 +, Tõ abc =36 vµ ab=c ta ®îc c2=36 nªn c=6;c=-6 +, Tõ abc =36 vµ bc=4a ta ®îc 4a2=36 nªn a=3; a=-3 +, Tõ abc =36 vµ ab=9b ta ®îc 9b2=36 nªn b=2; b=-2 -, NÕu c = 6 th× avµ b cïng dÊu nªn a=3, b=2 hoÆc a=-3 , b=-2 -, NÕu c = -6 th× avµ b tr¸i dÊu nªn a=3 b=-2 hoÆc a=-3 b=2 Tãm l¹i cã 5 bé sè (a,b,c) tho· m·n bµi to¸n (0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6)
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 C©u 2. (3®) a.(1®)5x-3 -2 4=> 3x+1>4hoÆc 3x+1 4=> x>1 *NÕu 3x+1 x 1 hoÆc x x 4 (0,25®) (1) 4-x+2x=3 => x=-1( tho¶ m·n ®k) (0,25®) *4-x x>4 (0,25®) (1) x-4+2x=3 x=7/3 (lo¹i) (0,25®) C©u3. (1®)¸p dông a+b a+bTa cã A=x+8-x x+8-x=8 MinA =8 x(8-x) 0 (0,25®) x 0 * =>0 x 8 (0,25®) 8 x 0 x 0 x 0 * => kh«ng tho· m·n(0,25®) 8 x 0 x 8 VËy minA=8 khi 0 x 8(0,25®) C©u4. Ta cã S=(2.1)2+(2.2)2+ + (2.10)2(0,5®) =22.12+22.22+ +22.102 =22(12+22+ +102) =22.385=1540(0,5®) A C©u5.(3®) D E C Chøng minh: a (1,5®) B M Gäi E lµ trung ®iÓm CD trong tam gi¸c BCD cã ME lµ ®êng trung b×nh => ME//BD(0,25®) Trong tam gi¸c MAE cã I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AM (gt) mµ ID//ME(gt) Nªn D lµ trung ®iÓm cña AE => AD=DE (1)(0,5®) V× E lµ trung ®iÓm cña DC => DE=EC (2) (0,5®) So s¸nh (1)vµ (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25®) b.(1®) Trong tam gi¸c MAE ,ID lµ ®êng trung b×nh (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25®) Trong tam gi¸c BCD; ME lµ §êng trung b×nh => ME=1/2BD (2)(0,5®)
TuyÓn chän ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 So s¸nh (1) vµ (2) => ID =1/4 BD (0,25®) §¸p ¸n ®Ò sè 7 a b c a a b c a b c C©u 1. Ta cã . . . (1) Ta l¹i cã . (2) b c d d b c d b c a 3 a b c a Tõ (1) vµ(2) => . b c d d a c b a b c C©u 2. A = .= . b c a b c a 2 a b c 1 NÕu a+b+c 0 => A = . 2 NÕu a+b+c = 0 => A = -1. 5 C©u 3. a). A = 1 + ®Ó A Z th× x- 2 lµ íc cña 5. x 2 => x – 2 = ( 1; 5) * x = 3 => A = 6 * x = 7 => A = 2 * x = 1 => A = - 4 * x = -3 => A = 0 7 b) A = - 2 ®Ó A Z th× x+ 3 lµ íc cña 7. x 3 => x + 3 = ( 1; 7) * x = -2 => A = 5 * x = 4 => A = -1 * x = -4 => A = - 9 * x = -10 => A = -3 . C©u 4. a). x = 8 hoÆc - 2 b). x = 7 hoÆc - 11 c). x = 2. C©u 5. ( Tù vÏ h×nh)  MHK lµ  c©n t¹i M . ThËt vËy:  ACK =  BAH. (gcg) => AK = BH .  AMK =  BMH (g.c.g) => MK = MH. VËy:  MHK c©n t¹i M . §¸p ¸n ®Ò sè 8 C©u 1: Gäi x, y, z lµ ®é dµi 3 c¹nh t¬ng øng víi c¸c ®êng cao b»ng 4, 12, a. Ta cã: 4x = 12y = az = 2S x= S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (0,5 ®iÎm)